Univerzitet u Nišu PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku PORTFOLIO TEORIJA MASTER RAD Student: Bojana Živković Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Niš, 2019.
"Fundamentalni koncept portfolio teorije "došao" mi je jednog popodneva dok sam u biblioteci čitao "Teoriju vrednosti investicije" Johna B. Williamsa. Williams je predložio da bi vrednost akcije trebala biti jednaka sadašnjoj vrednosti njenih budućih dividendi. Pošto su buduće dividende neizvesne, Williamsov predlog vezan za vrednost akcije interpretirao sam kao očekivanu vrednost njenih diskontovanih budućih dividendi. Ukoliko bi investitor bio zainteresovan samo za očekivanu vrednost finansijskih instrumenata, on bi bio zainteresovan samo za očekivanu vrednost portfolija, a da bi maksimizirao očekivanu vrednost portfolija trebao bi investirati samo u jedan finansijski instrument finansijski instrument sa maksimalnim očekivanim obrtom. Znao sam da ovo nije bio, ili ne bi trebao da bude, način ponašanja investitora. Investitori vrše diversifikaciju zbog toga što su zainteresovani za rizik jednako kao i za obrt. Varijansa mi je pala na pamet kao mera rizika. Činjenica da varijansa portfolija zavisi od kovarijansi izme du finansijskih instrumenata obezbedila je prihvatljivost ovakvog pristupa. Pošto su bila dva kriterijuma, rizik i obrt, bilo je prirodno pretpostaviti da investitori vrše izbor iz skupa Pareto optimalnih rizik-obrt kombinacija". Harry M. Markowitz (1990) 1
Sadržaj Slike 3 Tabele 4 Uvod 6 1 Uvodni pojmovi 7 1.1 Akcije i obveznice............................... 7 1.2 Osnovni pojmovi teorije verovatnoća...................... 9 1.2.1 Slučajna promenljiva.......................... 10 1.2.2 Matematičko očekivanje i disperzija.................. 12 1.2.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije................... 13 1.2.4 Osnovni pojmovi matematičke statistike................ 13 2 Obrt 15 2.1 Obrt akcija................................... 15 2.2 Obrt portfolija.................................. 17 2.3 Udeo u portfoliju................................ 19 2.4 Obrt u srednjem................................. 20 3 Varijansa i kovarijansa obrta 21 3.1 Uzoračka varijansa obrta............................ 21 3.2 Uzoračka kovarijansa obrta........................... 23 4 Populacioni obrt i varijansa obrta 26 4.1 Očekivani obrt.................................. 26 4.2 Populaciona varijansa obrta........................... 27 4.3 Populaciona kovarijansa obrta......................... 28 5 Varijansa portfolija 29 5.1 Portfolio sastavljen od dve aktive........................ 29 5.2 Koeficijent korelacije.............................. 30 5.3 Opšta formula.................................. 31 5.4 Efekat diversifikacije.............................. 32 2
6 Efikasna granica 34 6.1 Portfolio sastavljen od dve aktive........................ 34 6.2 Kratka prodaja................................. 40 6.3 Efikasna granica................................. 41 6.4 Portfolio koji se sastoji iz više aktiva...................... 43 6.5 Bezrizična aktiva................................ 45 Zaključak 49 Literatura 51 Biografija 52 3
Slike 3.1 Grafik obrta................................... 22 6.1 Savršena pozitivna korelacija.......................... 36 6.2 Granica portfolija sa savršenom pozitivnom korelacijom........... 36 6.3 Savršena negativna korelacija.......................... 37 6.4 Granica portfolija sa savršenom negativnom korelacijom........... 38 6.5 Granica portfolija sa korelacijom 0.5...................... 39 6.6 Korelacija i granica portfolija.......................... 39 6.7 African Gold i Walmart............................. 40 6.8 Kratka prodaja sa savršenom pozitivnom korelacijom............. 41 6.9 Efekat kratke prodaje.............................. 41 6.10 Efikasna granica................................. 42 6.11 Konstrukcija skupa portfolija.......................... 44 6.12 Granica portfolija kao omotač......................... 44 6.13 Skup portfolija................................. 45 6.14 Uvo denje bezrizične aktive........................... 46 6.15 Različiti portfoliji rizičnih aktiva........................ 46 6.16 Efikasna granica portfolija sa bezrizičnom aktivom.............. 47 4
Tabele 2.1 Uobičajen i logaritamski obrt.......................... 16 2.2 Sastav i vrednost portfolija sastavljenog od aktiva A, B i C.......... 18 2.3 Cene akcija i broj akcija u portfoliju tokom perioda od 3 godine....... 19 3.1 Godišnji obrt akcija kompanije General Motors................ 22 3.2 Obrti akcija A i B................................ 23 3.3 Kovarijansna matrica.............................. 25 3.4 Obrti aktiva A, B i C............................... 25 3.5 Kovarijansna matrica obrta aktiva A, B i C................... 25 6.1 Savršena pozitivna korelacija.......................... 35 6.2 Savršena negativna korelacija.......................... 37 6.3 Obrt i standardna devijacija obrta kada je ρ AB = 1 2............... 38 5
Uvod Prvi koraci u analizi ulaganja su izračunavanje dobitaka na osnovu investicione strategije i rizika koji je uključen u tu strategiju. Investicioni analitičari odlučuju da mere dobitke koristeći koncept obrta. U ovom radu biće pokazano kako se prihodi mogu izračunati u raznim okolnostima, kako za pojedinačne aktive, tako i za portfolije. Izazov investicione analize je taj da budući obrti nikada ne mogu biti tačno predvi deni. Investitor može imati ube denja o tome kakav će obrt biti, ali tržište nikada ne prestaje da iznena duje. Prilikom izračunavanja budućeg obrta, neophodno je prilagoditi njegovu nepredvi denost odre divanjem raspona mogućih vrednosti obrta i verovatnoću realizacije svakog od njih. Odavde proističe vrednost očekivanog obrta investicije. Ostaje samo utvr divanje toga u kojoj meri je obrt neizvestan. Veličina koja se koristi za merenje neizvesnosti je varijansa obrta, tj. analitička mera rizika. Očekivani obrt i varijansa pružaju informacije neophodne za utvr divanje strategija ulaganja. U srcu investicione analize je činjenica da tržište nagra duje one koji su spremni da snose rizik. Investitor koji kupuje aktivu suočen je sa dva potencijalna rizika. Buduća cena aktive po kojoj se ona može prodati može da bude nepoznata, kao i isplate primljene na ime vlasništva nad aktivom. Što se tiče akcije, obe ove karakteristike su očigledne. Tržišna cena akcija se menja skoro neprekidno. Isplata akcija dolazi u vidu dividende. Iako se kompanije trude da održe odre deni stepen konstantnosti dividende, one su diskretne isplate i podložne su promenama. Čini se da se ovi argumenti ne odnose na obveznice čija nominalna vrednost i isplate se čine izvesnim. Ali cene obveznica variraju, tako da, iako je nominalna vrednost poznata, vrednost u bilo kom trenutku pre njenog dospeća nije. Pored toga, nominalna vrednost je data u nominalnom iznosu, dok je realna vrednost neizvesna i inflacija mora biti uzeta u obzir. Isti argument se odnosi i na realnu vrednost isplata kupona. Naravno, postoji rizik i od neplaćanja ili prevremenog plaćanja. Samo kratkoročne obveznice koje emituju državne institucije mogu se smatrati za one obveznice koje imaju približno odre dene naplate. Sa ciljem da naprave izbor ulaganja, investitori moraju biti svesni rizika prodaje aktive, ali i zadržavanja iste. Tako de, moraju biti svesni na koji način se odražava vrednost same aktive i rizik od njenog zadržavanja ili prodaje na portfolio u koji je uključena. Upravo se ovaj rad odnosi na sve prethodno rečeno, o čemu će i biti reči u nastavku. Zahvaljujem mentoru, prof. dr Miljani Jovanović, na nesebičnoj pomoći i podršci pri izradi ovog rada. 6
Glava 1 Uvodni pojmovi U ovoj glavi, tačnije, u Poglavlju 1.1 su definisani osnovni pojmovi finansijske matematike koji se koriste u daljem radu kao što je pojam aktive, akcije, dividende, obveznice, portfolija. U Poglavlju 1.2 su definisani osnovni pojmovi teorije verovatnoća, poput prostora verovatnoće, slučajne promenljive i vrste slučajnih promenljivih, njihovog očekivanja i disperzije, kao i kovarijanse i koeficijenta korelacije izme du dve slučajne promenljive. Na kraju su date osnovne definicije matematičke statistike. 1.1 Akcije i obveznice Finansijsko tržište zauzima centralno mesto u teoriji i praksi finansija, pogodno za matematičko modeliranje, tako da predstavlja osnovni interes matematičke teorije finansija. Postoji nekoliko vrsta finansijskih tržišta me du kojima su najistaknutija: tržište novca tržište obveznica tržište akcija devizno tržište tržište roba (plemenitih metala, žitarica i slično) tržište fjučersa i opcija Na tržištu finansijskih instrumenata razlikuju se: osnovni (primarni) finansijski instrumenti, finansijski derivati (sekundarni, odnosno izvedeni finansijski instrumenti). U osnovne finansijske instrumente spadaju novac, obveznice i akcije, dok su finansijski derivati složeni finansijski instrumenti koji se oslanjaju na osnovne. Definicija 1. Aktiva predstavlja sva finansijska sredstva koja investitor ili firma poseduju u datom trenutku. Akcija predstavlja vrstu aktive i spada u osnovne finansijske instrumente, njih izdaju kompanije sa ciljem uvećanja svog kapitala, dok akcionari stiču odre dena prava, kao što su pravo na učešće u donošenju poslovnih odluka kompanije i pravo na isplatu dividendi. One spadaju u vlasničke hartije od vrednosti kojima se trguje na odgovarajućem tržištu. 7
Definicija 2. Akcija predstavlja deo kapitala kompanije u vlasništvu pojedinca, odnosno akcionara. Ona predstavlja hartiju od vrednosti koju je emitovala kompanija sa ciljem uvećanja kapitala. Deo dobiti kompanije koji pripada akcionarima, u finansijskoj terminologiji se naziva dividenda. Kompanije mogu emitovati dve osnovne vrste akcija: obične (common stocks) i prioritetne, odnosno preferencijalne akcije (preferred stocks). Tako de je potrebno naglasiti da postoje akcije koje nisu praćene isplatama dividende. Značajna vrsta osnovnih finansijskih instrumenata su obveznice, koje spadaju u dužničke hartije od vrednosti. Potreba za njihovim izdavanjem nastaje kada kompanija ili država žele da prikupe veliki iznos sredstava, ali ne postoji poverilac koji bi prihvatio takav dužničkopoverilački ugovor. Definicija 3. Obveznice (bonds) su hartije od vrednsti koje investitori kupuju od emitenata, tj. izdavalaca obveznica. Na taj način emitenti obezbe duju odre dena sredstva u gotovini, a investitori, tj. vlasnici obveznica, prihoduju fiksnu kamatu u redovnim vremenskim intervalima. Postoje različite vrste obveznica. Dele se: prema načinu ostvarivanja prava: na ime i donosioca prema sigurnosti naplate: na garantovane i negarantovane prema prihodu koje donose investitoru: sa fiksnom kamatom, sa promenljivom kamatom i sa pravom učešća u dobiti prema roku dospeća: na kratkoročne (do godinu dana) i dugoročne prema valuti na koju glase: na dinarske i devizne prema emitentima: na državne, municipalne (emituju ih opštine i gradovi), druge državne (npr. emituju ih državna preduzeća), nad-nacionalne (npr. emitent je Svetska banka), korporativne. Državne obveznice su obveznice koje emituje država ili neki njen organ ili agencija, najčešće zbog finansiranja budžetskog deficita, odnosno za pokriće državnih dugova. Obveznica je vrsta ugovora kojim se njen emitent obavezuje da će vlasniku obveznice isplatiti na datum dospeća (maturity date) dug u potpunosti, tj. nominalnu vrednost obveznice (face value) i pripadajuću kamatu. Nominalna vrednost obveznice je iznos na koji je emitovana pojedinačna obveznica i predstavlja glavnicu na koju se obračunava pripadajuća kamata. Na obveznici je naznačena godišnja fiksna kamatna stopa koja odre duje koliku kamatu na godišnjem nivou obveznica donosi vlasniku obveznice i koja se naziva kuponska stopa. Kupon je godišnji prihod investitora i mogu se isplaćivati i više puta godišnje. Period izme du dve isplate naziva se kupon-period. Obveznice koje nemaju kupone nazivaju se nula-kupon obveznice (zero coupon bonds). U tom slučaju vlasnik obveznice na datum dospeća dobija nominalnu vrednost, ali ne i kamatu. U većini slučajeva se kapital investitora ili kompanije sastoji iz većeg broja istih ili različitih aktiva. Kako bi se lakše upravljalo ovim kapitalom, potrebno je objediniti sve aktive koje investitor ili kompanija poseduju, odakle proizilazi pojam portfolija. Definicija 4. Portfolio predstavlja ukupno vlasništvo firme ili pojedinca nad istim ili različitim aktivama. 8
Matematički, portfolio se može predstaviti kao ure dena k-torka broja k različitih vrsta aktiva u koje je investitor uložio svoj kapital. Prilikom izračunavanja buduće vrednosti kapitala kao i njegovog obrta, potrebno je uzeti u obzir i njegovu realnu vrednost, što dovodi do pojma inflacije. Definicija 5. Inflacija je stanje narušene monetarne ravnoteže kada je u opticaju veća količina novca od potrebne količine, što je praćeno rastom cena. Ona može nastati i kada se smanji ponuda robe na tržištu, a količina novca u opticaju ostaje nepromenjena. Stopa inflacije r i je stopa promene opšteg nivoa cena za odre deni period i izračunava se po formuli r (i) nivo cena u periodu t-nivo cena u periodu t 1 =. nivo cena u periodu t 1 Ukoliko t označava godinu, radi se o godišnjoj stopi inflacije, a ukoliko predstavlja odre deni mesec u godini, prethodni izraz predstavlja mesečnu stopu inflacije. 1.2 Osnovni pojmovi teorije verovatnoća Teorija verovatnoća se bavi slučajnim pojavama. To su one pojave koje u prirodi i društvu pod istim uslovima nemaju uvek isti ishod. One zadovoljavaju osobinu statističke homogenosti - u velikoj seriji ponavljanja eksperimenta može se uočiti neka zakonitost. Neka nadalje ω predstavlja elementarni doga daj, odnosno, ishod koji se ne može razložiti na jednostavnije ishode i neka je Ω skup svih ishoda. Stohastički (slučajni) eksperiment ima sledeće osobine: može se ponavljati proizvoljan broj puta pod istim uslovima, unapred se znaju svi mogući ishodi, ne zna se unapred koji ishod će se realizovati, u jednom eksperimentu može se realizovati samo jedan ishod. Doga daj A se definiše kao A Ω, A = {ω i ω i opisuje A}. Prema klasičnoj definiciji verovatnoće, skup svih ishoda je konačan i svi ishodi su jednako verovatni. Tada je verovatnoća doga daja A P(A) = A Ω broj povoljnih ishoda za A =. ukupan broj ishoda Me dutim, postoje eksperimenti kod kojih se Ω sastoji od beskonačnog broja elemenata i u ovakvom slučaju se ne može primeniti prethodno navedena klasična definicija verovatnoće. Potrebno je da verovatnoća bude preslikavanje iz nekog skupa u skup [0, 1]. Pre svega je potrebno definisati taj skup. Definicija 6. Familija F je σ - algebra na Ω ako važi: (1) Ω F, (2) A F A C F, (3) A 1,A 2,... F A i F. i=1 9
Potrebno je napomenuti da je jedna od karakterističnijih σ - algebri Borelova σ - algebra na skupu R, u oznaci B 1, i predstavljena je kao B 1 = { [a k,b k ) a k < b k, a k,b k R}. k=1 Tek sada se može uvesti formalna definicija verovatnoće. Definicija 7. Verovatnoća, u oznaci P, je preslikavanje P : F R za koje važe sledeće osobine: (1) P(Ω) = 1 (2) A F,P(A) 0 (3) A 1,A 2,... F A i A j = /0, i j P( A i ) = P(A i ). i=1 i=1 Doga daj čija je verovatnoća 0 zove se nemoguć doga daj, dok doga daj čija je verovatnoća 1 se naziva skoro izvestan doga daj. U ovom slučaju se (Ω,F,P) naziva prostor verovatnoća. 1.2.1 Slučajna promenljiva Neka se vrši neki eksperiment i neka je poznat skup svih ishoda. Postavlja se pitanje kako da se doga dajima dodele numeričke vrednosti, tj. kako skup Ω preslikati u skup realnih brojeva. Da bi se ovo preslikavanje realizovalo, uvodi se pojam slučajne promenljive. Definicija 8. Slučajna promenljiva X je preslikavanje koje elementarne doga daje slika u R i za koje važe sledeće osobine: (1) P{ω X(ω) = ± } = 0, (2)( S B 1 )X 1 (S) = {ω X(ω) S} F. Najjednostavnija slučajna promenljiva se naziva indikator doga daja { 1, ω A, I A (ω) = 0, ω / A. Teorema 1. Slučajna promenljiva X definisana na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) generiše prostor (R,B 1,P X ), gde je P X (S) = P(X 1 (S)) = P{ω X(ω) S}. Prostor (R,B 1,P X ) se naziva fazni prostor. Ako se skup svih ishoda Ω podeli na disjunktne doga daje A 1,A 2,...,A n, tada njihova unija predstavlja skup Ω i za ove doga daje se kaže da čine potpun sistem doga daja, tj. potpuno razbijanje skupa Ω. Neka je R X = {x 1,x 2,...,x n }, pri čemu x 1,x 2,...,x n čine rastući niz i neka je P(A k ) = p k, k = 1,...,n, za koje važi da je n k=1 p k = 1, za k = 1,2,...,n. Definicija 9. Prosta slučajna promenljiva X se definiše kao X = n x k I Ak. k=1 10
Zakon raspodele ove slučajne promenljive je ( S B 1 )P X (S) = i:xi S p i, odnosno ( ) x1 x 2... x n X :. p 1 p 2... p n Neka je R X = {x 1,x 2,...} skup sa prebrojivo mnogo vrednosti, neka doga daji A 1,A 2,... čine potpun sistem doga daja i neka su zadate verovatnoće realizacije tih doga daja, P(A k ) = p k, pri čemu je k=1 p k = 1, za k = 1,2... tada je zakon raspodele slučajne promenljive X X : ( x1 x 2... p 1 p 2... Definicija 10. Elementarna slučajna promenljiva X se definiše kao ).. X = x k I Ak. k=1 Definicija 11. Funkcija raspodele slučajne promenljive X je funkcija F(x) = P X ((,x)) = P{X < x}. Potrebno je naglasiti da funkcija raspodele jednoznačno odre duje raspodelu P X. Postoje dva osnovna tipa slučajnih promenljivih, a to su diskretne slučajne promenljive i apsolutno - neprekidne slučajne promenljive. Definicija 12. Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa ako sa verovatnoćom 1 uzima vrednosti iz prebrojivog skupa. Definicija 13. Slučajna promenljiva X je apsolutno - neprekidnog tipa ako je zadata nenegativnom integrabilnom funkcijom g(x) tako da je ( S B 1 )P x (S) = S g(x)dx. Funkcija g(x) se naziva gustina raspodele verovatnoće. Neka je data slučajna promenljiva X apsolutno - neprekidnog tipa sa gustinom g(x). U tačkama neprekidnosti gustine g(x) važi F (x) = g(x), gde je F(x) funkcija raspodele. Tačnije, važi x F(x) = P X ((,x)) = g(t)dt. Sve prethodno rečeno odnosilo se na jednodimenzionalne slučajne promenljive. Me dutim, slučajne promenljive mogu biti i višedimenzionalne. Definicija 14. Slučajna promenljiva X = (X 1,...,X n ) je preslikavanje skupa svih ishoda Ω u skup R n, tj. X : Ω R n, za koje je ( S B n ) X 1 (S) = { ω X (ω) S} F. U ovom slučaju je Borelova σ- algebra generisana sledećim intervalima I = [a 1,b 1 ) [a 2,b 2 )... [a n,b n ). Slučajna promenljiva definisana na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) odre duje novi prostor (R n,b n,p X ) koji se naziva fazni prostor. 11
1.2.2 Matematičko očekivanje i disperzija U prethodnom delu rada su definisani osnovni pojmovi teorije verovatnoća. U narednom delu biće definisani pojmovi matematičkog očekivanja i disperzije slučajne promenljive, kao i neke njihove osobine koje su neophodne u daljem radu. Definicija 15. Matematičko očekivanje proste slučajne promenljive, u oznaci EX, je EX = n x k p k, pri čemu je p k verovatnoća realizacije doga daja A k. Ukoliko je u pitanju elementarna k=1 slučajna promenljiva, njeno očekivanje je EX = x k p k, i ono postoji ako je k=1 x k p k <. k=1 Teorema 2. Slučajna promenljiva X apsolutno - neprekidnog tipa je zadata gustinom raspodele verovatnoće ϕ(x), < x < +. Tada je EX = + xϕ(x)dx, i to očekivanje postoji ako je + x ϕ(x)dx <. Osobine matematičkog očekivanja: (1) E(cX) = ce(x) (2) E(X +Y ) = EX + EY (3) X 0 EX 0 (4) X Y EX EY (5) X,Y nezavisne EXY = EXEY. Definicija 16. Moment reda n slučajne promenljive X je EX n. Centralni moment reda n se definiše kao E X EX n. Ako je n = 2, dobija se centralni moment drugog reda, odnosno disperzija: E X EX 2 = DX. Disperzija predstavlja srednje kvadratno odstupanje slučajne promenljive od njene očekivane vrednosti i naziva se još varijansa. Primenom osobina matematičkog očekivanja dobija se da je DX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Definicija 17. Kvadratni koren iz disperzije DX se naziva standardna devijacija. Osobine disperzije: (1) DX 0 (2) X = c skoro izvesno ako i samo ako je DX = 0 (3) D(cX) = c 2 DX (4) D(X + c) = DX (5) X,Y nezavisne slučajne promenljive, tada je D(X +Y ) = DX + DY. 12
1.2.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije Neka je X = (X,Y ) dvodimenzionalna slučajna promenljiva. Definicija 18. Kovarijansa se definiše na sledeći način Cov(X,Y ) = E(X EX)(Y EY ). Za slučajnu promenljivu X = (X 1,...,X n ) može se definisati kovarijaciona matrica C(X) = [Cov(X i,x j )] n n. Ova matrica je simetrična pri čemu su elementi na glavnoj dijagonali D(X i ), i = 1,2,...,n. Definicija 19. Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih X i Y se definiše kao ρ XY = Cov(X,Y ) EXY EXEY =. DXDY DXDY Koeficijent korelacije predstavlja meru linearne zavisnosti slučajnih promenljivih na koje se odnosi. Za njega važi da je 1 ρ XY 1. Ako je ρ XY = 0, kaže se da su slučajne promenljive X i Y nekorelirane. Ako su slučajne promenljive nezavisne, tada je koeficijent korelacije nula. Ako koeficijent korelacije uzima vrednosti 1 ili 1, tada su slučajne promenljive X i Y skoro izvesno u linearnoj vezi. 1.2.4 Osnovni pojmovi matematičke statistike Definicija 20. Populacija ili osnovni skup je skup elemenata čija se zajednička svojstva izučavaju statističkim metodima. Populacija se simbolički obeležava sa Ω, a njen element sa ω. Definicija 21. Obeležje je zajedničko svojstvo elemenata jedne populacije. Obeležje može biti kvantitativno ili kvalitativno. Definicija 22. Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeležje. elemenata u uzorku se naziva obim ili veličina uzorka. Broj Neka se na uzorku obima n sprovodi statistički eksperiment. Ishod tog eksperimenta će biti vektor X = (X 1,X 2,...,X n ) koji je po karakteristikama slučajna promenljiva. Vektor X se još naziva slučajni uzorak obima n. Definicija 23. Vektor x = (x 1,x 2,...,x n ) koji predstavlja realizaciju vektora X po obavljenom eksperimentu se naziva realizovani uzorak. Definicija 24. Slučajni uzorak X = (X 1,...,X n ) je prost ako su njegove koordinate nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom. Neke od statistika su navedene u nastavku: sredina uzorka X n = 1 n n i=1 X i, 13
disperzija uzorka S 2 n = 1 n n i=1 (X i X n ) 2, uzoračka standardna devijacija S n = S 2 n, popravljena disperzija uzorka S 2 n = 1 n 1 n i=1 (X i X n ) 2. Neka se posmatraju dva obeležja X i Y i uzorak ((X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X n,y n )) iz populacije na kojoj se posmatra dvodimenziono obeležje (X,Y ). Definicija 25. Uzoračka kovarijansa je definisana kao σ XY = 1 n n i=1 (X i X n )(Y i Y n ), gde su X n i Y n uzoračke sredine obeležja X i Y, respektivno. Definicija 26. Uzorački koeficijent korelacije je R XY = 1 n n i=1 (X i X n )(Y i Y n ) S X S Y, gde su S X i S Y standardne devijacije obeležja X i Y, respektivno. Jedan od osnovnih zadataka matematičke statistike je da na osnovu eksperimenta odredi raspodelu posmatranog obeležja. Rešavanje ovog problema svodi se na odre divanje tačne vrednosti parametra θ od koga zavisi raspodela razmatranog obeležja. Tačkasto ocenjivanje je jedan od načina za ocenjivanje vrednosti nepoznatog parametra. Treba definisati statistiku Y = u(x 1,X 2,...,X n ) tako da za realizovani uzorak (x 1,x 2,...,x n ), broj y = u(x 1,x 2,...,x n ) bude dobra ocena za θ. Definicija 27. Statistika Y = u(x 1,X 2,...,X n ) iz uzorka X = (X 1,X 2,...,X n ) iz populacije sa obeležjem X, čija raspodela pripada familiji dopustivih raspodela { f (x;θ),θ Θ}, je nepristrasna ocena parametra θ ako je EY = θ. Na osnovu osobina matematičkog očekivanja dobija se da je statistika X n nepristrasna ocena parametra θ = EX, dok uzoračka disperzija S 2 n nije nepristrasna, ali jeste asimptotski nepristrasna ocena parametra θ = DX, tj. EX n = EX, ES 2 n = n 1 n DX, zbog toga što se kaže da je disperzija uzorka asimptotski nepristrasna ocena disperzije obeležja kada EX n DX, n. Asimptotski nepristrasna ocena se može popraviti do nepristrasne ocene. Tako se dolazi do toga da je popravljena disperzija uzorka nepristrasna ocena disperzije obeležja, pri čemu je popravljena disperzija S 2 n = n 1 n S2 n. 14
Glava 2 Obrt Mera dobitka koja se koristi u analizi ulaganja naziva se obrt. Obrt se može izračunati za bilo koju investiciju pod uslovom da je poznata njena početna i krajnja vrednost. Obrt se definiše kao promena zarade tokom odre denog vremenskog perioda u odnosu na uložena sredstva. Vremenski period tokom koga se izračunava obrt naziva se obračunski period. Neka je V t 1 vrednost investicije u trenutku t 1 i V t njena vrednost na kraju obračunskog perioda, koji predstavlja vremenski interval [t 1,t]. Tada se obrt r izračunava na sledeći način r = V t V t 1. (2.1) V t 1 Treba naglasiti da se obrt uvek posmatra u odnosu na obračunski period. Usvojeno je da period od godinu dana bude uobičajeni obračunski period u odnosu na koji se posmatra obrt. Me dutim, postoje situacije kada je potrebno posmatrati obrt u kraćim vremenskim intervalima kao što su mesec, nedelja ili čak jedan dan. 2.1 Obrt akcija Akcija je vrsta aktive koja predstavlja deo vlasništva kompanije čija vrednost ukazuje koliko je zdrav kapital te kompanije. Može biti predmet kupovine ili prodaje putem dogovora, ali pre svega se njom trguje na berzama. Odnos ponude i potražnje na tržištu je taj koji odre duje cenu akcije. Već je ranije pomenuto da akcija može obezbe divati periodične isplate u vidu dividendi. Postupak izračunavanja obrta može se primeniti i na akcije. Prilikom izračunavanja obrta neophodno je obratiti pažnju na isplatu dividendi, jer one moraju biti deo obrta. Najpre će biti pokazano kako se računa obrt akcija koje ne obezbe duju dividendu, a zatim i obrt akcija koje obezbe duju dividendu. Neka se posmatra akcija koja ne obezbe duje dividendu za obračunski period od godinu dana u vremenskom intervalu [t 1,t]. U tom slučaju se, primenom formule (2.1), dobija da je p(t) p(t 1) r =, p(t 1) 15
gde je p(t 1) cena akcije u trenutku t 1 i p(t) cena akcije u trenutku t. Još jedan način da se izračuna obrt akcije koja ne obezbe duje dividendu je korišćenje logaritma količnika cena akcije na kraju i početku obračunskog perioda. Logaritamski obrt je jednak ( ) p(t) rt = ln, p(t 1) za obračunski period [t 1,t]. Ovaj obrt se veoma malo razlikuje od obrta iz formule (2.1) jer se može svesti na njega primenom Tejlorovog razvoja, ako se ne uzmu u obzir članovi drugog i viših stepena koji su gotovo uvek zanemarljivi. Zaista, r t = ln ( 1 + = ln(1 + r) r. p(t) p(t 1) p(t 1) Prednost rt u odnosu na r je: rt može da uzme veoma male vrednosti. Naime, ako je p(t 1) > 0, tada je ( ) p(t) lim ln =. p(t) 0+ p(t 1) rt omogućava da se obrt izračuna jednostavno tokom nekoliko uzastopnih perioda, što nije moguće uraditi sa r ( ) ( ) ( ) ( ) p(t) p(t) p(t 1) p(t) p(t 1) ln = ln = ln + ln. p(t 2) p(t 1) p(t 2) p(t 1) p(t 2) Primer 1 U ovom primeru izračunate su vrednosti za rt i r za nekoliko vrednosti p(t) i vrednosti su prikazane u Tabeli 2.1. Može se primetiti da postoje vrlo male razlike izme du r i rt. Dobija se da je, na osnovu podataka iz tabele, logaritamski obrt tokom četiri uzastopnih perioda ( ) 11100 ln = 0.0039 + 0.0271 0.0794 0.0907 = 0.1391. 12750 ) p(t) r 12750 rt 12800 0.0039 0.0039 13150 0.0273 0.0271 12150 0.0760 0.0794 11100 0.0864 0.0907 Tabela 2.1: Uobičajen i logaritamski obrt 16
Formula za izračunavanje obrta može biti prilago dena akcijama koje obezbe duju dividende. Treba naglasiti da pozitivni obrt predstavlja uvećanje kapitala investitora i isplata dividendi svakako doprinosi tom povećanju, tako da je zbog toga neophodno uključiti dividendu u izračunavanje obrta. Ako d predstavlja dividendu posmatrane akcije u toku obračunskog perioda, formula za izračunavanje obrta ovakve akcije je r = p(t) + d p(t 1). p(t 1) Prethodni izraz se može raščlaniti na dva sabirka na sledeći način r = p(t) p(t 1) p(t 1) + d p(t 1). Prvi sabirak predstavlja fiktivni obrt jer se ostvaruje samo u slučaju da je investitor prodao akciju nakon obračunskog perioda, dok drugi sabirak predstavlja stopu prinosa koja je realna jer uključuje prihod na ime dividende. Da bi se dobila realna vrednost obrta r (i) neophodno je uključiti stopu inflacije τ. Neka r (n) predstavlja nominalnu vrednost obrta (bez inflacije). Buduća vrednost jedinice valute dobijena pomoću realne stope jednaka je diskontovanoj budućoj vrednosti jedinice valute, pri čemu je buduća vrednost izračunata pomoću nominalne stope, a diskontovanje se vrši u odnosu na stopu inflacije. Tada je r (i) = 1 + r(n) 1 + τ 1. Akcije u USA obezbe duju dividendu četiri puta godišnje, dok akcije u UK obeze duju dividendu dva puta godišnje. U ovakvom slučaju, kada ima više isplata dividendi u toku godine, vrednost d je suma svih isplata na godišnjem nivou. 2.2 Obrt portfolija Već je ranije pomenuto da se može računati obrt bilo koje investicije. Do sada je obrt računat samo za pojedinačne aktive. U nastavku će biti pokazano kako se može izračunati obrt portfolija. Kupovina portfolija tako de predstavlja investiciju, pa se i u ovom slučaju može izračunati obrt. Obrt portfolija se može izračunati na dva načina. Prvi način jeste da se utvrde početna i krajnja vrednost portfolija u nekom obračunskom periodu i da se tome dodaju sve dividende u tom obračunskom periodu, ukoliko ih ima. Ako je V t 1 početna vrednost portfolija, V t njegova krajnja vrednost i d predstavlja sve isplaćene dividende u periodu [t 1,t], tada je obrt r = V t + d V t 1 V t 1. 17
Obrt portfolija se može izračunati i ako se uzimaju u obzir cene svih aktiva koje ulaze u sastav tog portfolija u periodu [t 1,t]. Neka je investitor kreirao portfolio od N različitih aktiva, pri čemu je a i broj jedinica aktive i koja ulazi u sastav portfolija. Ako je početna cena i-te aktive p i (t 1) a krajnja cena p i (t), početna cena portfolija je gde je njegova krajnja vrednost V t 1 = V t = N i=1 N i=1 a i p i (t 1), a i p i (t). Ukoliko aktive koje ulaze u sastav portfolija ne obezbe duju dividende obrt ovakvog portfolija je r = V t V t 1 = N i=1 a ip i (t) N i=1 a ip i (t 1) V t N i=1 a. ip i (t 1) Primer 2 Neka je dat portfolio sastavljen od tri akcije čije su vrednosti date u Tabeli 2.2 Akcija Broj jedinica aktiva Početna cena Krajnja cena A 100 2 3 B 200 3 2 C 150 1 2 Tabela 2.2: Sastav i vrednost portfolija sastavljenog od aktiva A, B i C Obrt ovakvog portfolija je (100 3 + 200 2 + 150 2) (100 2 + 200 3 + 150 1) r = 100 2 + 200 3 + 150 1 = 0.052 (5.2%). Prethodno izračunavanje se lako može modifikovati i ako su aktive koje ulaze u sastav portfolija akcije koje obezbe duju dividende. Ako d i predstavlja dividendu koju obezbe duje i-ta akcija, formula za izračunavanje obrta ovakvog portfolija je r = N i=1 a i (p i (t) + d i ) N i=1 a ip i (t 1) N i=1 a. ip i (t 1) Obrt se može izračunati i onda kada se zauzima kratka pozicija u akciji, što podrazumeva prodaju pozajmljene akcije. To znači da je investitor koji je pozajmio akciju od drugog investitora zadužen kod njega, tako da on zapravo ima negativan broj akcija. U ovom slučaju, obrt može biti pozitivan samo u slučaju da cena pozajmljene akcije na tržištu pada. Pored toga, ukoliko pozajmljena akcija obezbe duje dividendu, investitor koji je pozajmio akciju je u obavezi da vlasniku akcije, pored njenog vraćanja, isplati i dividendu za taj vremenski period, tako da ova isplata dividende još više umanjuje obrt investitora sa kratkom pozicijom. 18
2.3 Udeo u portfoliju Na prethodna izračunavanja obrta portfolija je uticao broj jedinica svake od aktiva koja ulazi u sastav posmatranog portfolija, na osnovu čega se izračunavala početna i krajnja vrednost port-folija. Često je jednostavnije da se u izračunavanjima koristi deo portfolija koji se odnosi na pojedinačnu aktivu, nego da se računa vrednost celog portfolija. Oba načina izračunavanja dovode do istog rezultata, ali korišćenjem pomenutog udela portfolija očiglednije je primetiti da obrt ovakvog portfolija zavisi od kombinacija aktiva koja ulaze u njegov sastav, a ne od toga koliki broj aktiva on obuhvata. Najpre treba utvrditi koliki deo portfolija se odnosi na odre denu aktivu. Ukoliko je vrednost koja je investirana u i-tu aktivu u periodu [t 1,t] u početnom trenutku Vt 1 i, udeo vrednosti portfolija koji se odnosi na aktivu i je definisan sa X i = V i t 1 V t 1, gde je V t 1 početna vrednost portfolija. Po definiciji, suma svih udela u portfoliju mora biti jednaka 1, tako da za portfolio koji se sastoji od N aktiva važi N i=1 X i = Ni=1 V t 1 i = V t 1 = 1. V t 1 V t 1 Ako vlasnik portfolija zauzima kratku poziciju u i-toj aktivi, onda je njen udeo negativan, tj. X i < 0. Nakon što se izračunaju udeli u portfoliju moguće je izračunati i obrt portfolija. Koristeći dobijene udele, obrt se dobija kao ponderisana srednja vrednost obrta svake od aktiva (težinska suma obrta svih aktiva u sastavu portfolija) r = N i=1 Važno je napomenuti da se udeli računaju na početku obračunskog perioda. One aktive koje imaju veći relativan rast formiraće i veći udeo u portfoliju. Primer 3 Neka se portfolio sastoji od dve akcije koje ne obezbe duju dividendu. Cene ovih akcija za period od 3 godine kao i broj ovih akcija u portfoliju dati su u Tabeli 2.3 X i r i. Akcija Broj akcija p(0) p(1) p(2) p(3) A 100 10 15 12 16 B 200 8 9 11 12 Tabela 2.3: Cene akcija i broj akcija u portfoliju tokom perioda od 3 godine Početna vrednost portfolija je V 0 = 100 10 + 200 8 = 2600, pa su odgovarajući udeli u portfoliju X A (0) = 1000 2600 = 5 13, X B(0) = 1600 2600 = 8 13. 19
Obrt portfolija nakon godinu dana je r = 5 13 15 10 10 + 8 13 9 8 8 = 0.269 (26.9%). Nakon godinu dana vrednost portfolija je V 1 = 100 15 + 200 9 = 3300, pa su udeli u portfoliju X A (1) = 1500 3300 = 5 11, X B(1) = 1800 3300 = 6 11, dok je obrt portfolija r = 5 12 15 + 6 11 15 11 11 9 = 0.03(3%). 9 Konačno, kako je vrednost portfolija na početku trećeg perioda V 2 = 100 12 + 200 11 = 400, udeli u portfoliju su dok je obrt jednak X A (2) = 1200 3400 = 6 17, X B(2) = 2200 3400 = 11 17, 2.4 Obrt u srednjem r = 6 16 12 + 11 12 11 = 0.176 (17.6%). 17 12 17 11 Prethodni primeri su pokazali kako obrt akcija i portfolija tokom vremena mogu da variraju. Cene akcija koje ulaze u sastav portfolija padaju i rastu tokom vremena, što inicira i variranje vrednosti celokupnog portfolija. Kada se izračuna obrt za odre dene periode, moguće je izračunati i prosečan obrt ili obrt u srednjem koji je jednak proseku svih izračunatih obrta. Kasnije će biti objašnjeno kako se obrt u srednjem može tumačiti kao prediktor onoga što se može dešavati u budućnosti. Ako se posmatra obrt neke aktive u T uzastopnih perioda, obrt u srednjem se definiše kao r = T t=1 gde je r t obrt u periodu [t 1,t]. Na primer, može se izračunati prosečan godišnji obrt na osnovu obrta iz prethodnih 10 godina. Obrt u srednjem portfolija jednak je r P = 1 T T t=1 r t T, r Pt = N i=1 gde se portfolio sastoji od N aktiva i r i predstavlja obrt u srednjem i - te aktive. r i, 20
Glava 3 Varijansa i kovarijansa obrta Glavna karakteristika najvećeg broja ulaganja je ta da se njihov obrt ne može tačno predvideti. Cena akcije može pasti, ali isto tako može i rasti, tako da obrt može biti pozitivan u jednom obračunskom periodu, dok u sledećem može biti negativan. Na primer, ulaganje u akcije kompanije Yahoo izme du oktobra 2002. i septembra 2003. donosilo je obrt od 137%, ali su zato ove iste akcije izme du oktobra 2005. i septembra 2006. donosile negativan obrt od 31%. Naredne godine su ove akcije donosile obrt od 2%. Promene ovakvih razmera na tržištu ne predstavljaju izuzetak. Investitori moraju, pored toga što vode računa o obrtu aktive u koju ulažu, da isto tako vode računa i o riziku koje to ulaganje nosi. Rizik se u ovom kontekstu ogleda u varijabilnosti obrta tokom različitih obračunskih perioda. Na primer, dva portfolija mogu imati jednake obrte, ali različite rizike. Malo je investitora koji bi se odlučili da zadrže rizičniji portfolio. Mera rizika mora da obuhvati i varijabilnost obrta. Standardna mera rizika koja se koristi u analizi ulaganja je varijansa obrta ili njegova standardna devijacija. Aktiva čiji se obrt ne menja tokom vremena nije rizična i za ovakvu aktivu varijansa obrta je jednaka 0. Obrt bilo koje druge aktive koji varira, ima pozitivnu varijansu. Što je veća varijabilnost obrta neke aktive, to je veća i varijansa. Pri konstrukciji portfolija, nije samo bitna mera rizika pojedinačnih aktiva koje ulaze u njegov sastav već i način na koji se mera rizika kombinuje kroz ove aktive, što utiče na varijansu portfolija. Dve aktive mogu biti rizične same po sebi, ali ako se ovi rizici ponište ukoliko se od ovih aktiva napravi portfolio, tada ovakav portfolio može imati vrlo malu meru rizika. Mera načina na koji su obrti povezani preko aktiva, naziva se kovarijansa obrta. Kovarijansa će se smatrati centralnim pojmom u odnosu na koji će se konstruisati portfolio. Uvo denjem varijanse obrta kao mere rizika i kovarijanse izme du aktiva, omogućeno je da se odrede varijansa i kovarijansa portfolija. 3.1 Uzoračka varijansa obrta Podaci u Tabeli 3.1 predstavljaju godišnji obrt akcija kompanije General Motors kojima se trguje na Njujorškoj berzi tokom perioda od 10 godina. 21
Godina 93 94 94 95 95 96 96 97 97 98 Obrt % 36.0 9.2 17.6 7.2 34.1 Godina 98 99 99 00 00 01 01 02 02 03 Obrt % 1.2 25.3 16.6 12.7 40.9 Tabela 3.1: Godišnji obrt akcija kompanije General Motors Na Slici 3.1 je dat grafički prikaz ovih podataka. Slika 3.1: Grafik obrta Jasno se vidi varijabilnost obrta, od najviše 36% do najmanje 41%. Postavlja se pitanje kako naći kvantitativnu meru ove varijabilnosti. Uzoračka varijansa je broj koji obuhvata celokupnu varijabilnost obrta. Razlika izme du obrta u srednjem i posmatranog obrta se naziva odstupanje od srednje vrednosti. Neka od ovih odstupanja su pozitivna (u periodima kada je posmatrani obrt veći od srednjeg), a neka negativna (u periodima kada je posmatrani obrt manji od srednjeg). Ova odstupanja se onda kvadriraju i sumiraju. Prosek se dobija deljenjem brojem opservacija. Ako je T broj opservacija, tada se varijansa uzorka računa po formuli σ 2 = 1 T T t=1 (r t r) 2. Uzoračka standardna devijacija je kvadratni koren uzoračke varijanse T 1 σ = (r t r) 2. T t=1 Uzoračka varijansa i uzoračka standardna devijacija su nenegativne vrednosti. Samo ukoliko se posmatrani obrt poklapa sa obrtom u srednjem, uzoračka varijansa je jednaka 0. U svim ostalim slučajevima, varijansa obrta je pozitivna i što je veće odstupanje od obrta u srednjem, to je njena vrednost veća. Aktive čija je varijansa obrta velika, spadaju u rizičnije aktive i vrlo je mala verovatnoća da će se investitor odlučiti za investiranje u ovakve aktive. 22
Postoji još jedna statistička komplikacija prilikom izračunavanja varijanse. Uzoračka varijansa se može posmatrati i kao ocena populacione varijanse obrta. Prethodna formula za uzoračku varijansu daje ocenu populacione varijanse koja je veoma mala za male uzorke, odnosno, kada je broj opservacija mali. Zbog toga je ova ocena pristrasna. U nastavku će biti predstavljena nepristrasna ocena populacione varijanse. Nepristrasna ocena populacione varijanse je σt 2 1 = 1 T 1 T t=1 (r t r) 2, gde je nepristrasna ocena populacione standardne devijacije T 1 σ T 1 = T 1 (r t r) 2. Bilo koja od prethodnih formula se može koristiti za izračunavanje uzoračke varijanse. Važno je samo da se tokom celog postupka koristi ista formula. Dalje u radu će se koristiti nepristrasna ocena. Naime, kako se broj ospervacija, T, povećava, to je manje važno da li će razlika biti deljena sa T ili sa T 1. Formule daju približno istu vrednost za dovoljno veliko T. 3.2 Uzoračka kovarijansa obrta Da bi neka celina dobro funkcionisala, neophodno je odabrati odgovarajuće delove i ukombinovati ih na pravi način. Slično, portfolio se može posmatrati kao celina čija funkcionalnost zavisi od načina kako su aktive koje ulaze u njegov sastav ukombinovane. Što se tiče aktiva u portfoliju nije samo bitna varijabilnost obrta svake od njih već i način na koji obrti variraju. One aktive koje imaju zanemarljive varijabilnosti obrta nemaju značajan uticaj na varijabilnost portfolija koji formiraju. To je ilustrovano sledećim primerom. Tabela 3.2 prikazuje obrte dveju obveznica u periodu izmedju 2006. i 2007. t=1 Akcija Obrt u 2006. Obrt u 2007. A 10 2 B 2 10 Tabela 3.2: Obrti akcija A i B Na osnovu podataka za dve godine, prosečni obrt svake obveznice je 6, a uzoračke varijanse obrta su σa 2 = σ B 2 = 16. Obe obveznice imaju pozitivne uzoračke varijanse, pa su obe investicije rizične. Me dutim, ukoliko se ove obveznice uključe u portfolio, varijansa će se promeniti. Neka su udeli obe obveznice u portfoliju 1. Obrt ovako kreiranog portfolija u 2006. 2 godini je r p = 1 2 10 + 1 2 2 = 6, 23
a u 2007. r p = 1 2 10 + 1 2 2 = 6. Obrt u srednjem ovog portfolija iznosi r p = 6 + 6 2 Vrednost obrta u srednjem je ista kao i za pojedinačne obveznice. Me dutim, varijansa portfolija je σp 2 = (6 6)2 + (6 6) 2 = 0, 2 što dovodi do zaključka da je ovako kreiran portfolio bezrizičan. Karakteristika prethodnog primera jeste ta da za isti posmatrani period veći obrt jedne aktive prati manji obrt druge. Me dutim, ove promene automatski prestaju da važe ukoliko se ove aktive uključe u portfolio. U ovom primeru se ogleda osnova teorije portfolija: nije bitna samo varijabilnost obrta aktiva, već u kom smeru se varijabilnost kreće. U prethodnom slučaju obrti su varirali u suprotnim smerovima i ovo je iskorišćeno prilikom formiranja portfolija kako bi se izbegla njegova varijabilnost. Potpuno uklanjanje rizika u portfoliju je pravi izazov. Opšte svojstvo kreiranja portfolija jeste upravo smanjenje rizika kombinovanjem aktiva. Na isti način se varijansa koristi za merenje varijabilnosti obrta aktiva i portfolija. Tako de se može dobiti i informacija o meri obima kretanja obrta dve akcije jednog prema drugom. Da bi se to dobilo, potrebno je definisati kovarijansu izme du obrta dve aktive. To je uobičajena mera koja pokazuje da li se obrti kreću u istom ili različitom smeru. Kovarijansa se bazira na odstupanjima od obrta u srednjem dveju aktiva u periodu t koji su pomnoženi, sabrani tokom vremena, a zatim je na dena njihova srednja vrednost. Naime, ukoliko obe posmatrane aktive imaju obrte iznad ili ispod proseka, kovarijansa je pozitivna. Suprotno tome, kada je obrt jedne aktive veći od proseka, a obrt druge ispod proseka, kovarijansa je negativna. Dakle, negativna vrednost kovarijanse ukazuje na to da se obrti kreću u suprotnim smerovima, dok pozitivna vrednost ukazuje na to da se obrti kreću u istom smeru. Vrednost nula ukazuje na to da u proseku nema obrasca u kretanju obrta ovih aktiva. Neka je obrt aktive A u periodu t r At, obrt u srednjem r A. Analogno, neka obrt aktive B u periodu t bude r Bt, obrt u srednjem neka je r B. Kovarijansa obrta izme du ove dve aktive, označena kao σ AB, je σ AB = 1 T T t=1 = 6. (r At r A )(r Bt r B ). Za skup aktiva varijanse i kovarijanse obrta se mogu predstaviti i u matričnom obliku. U ovoj matrici, elementi na glavnoj dijagonali predstavljaju varijanse, dok su elementi van dijagonale kovarijanse. Za tri aktive, A, B i C, kovarijansna matrica je sledeća 24
A B C A σa 2 B σ AB σb 2 C σ AC σ BC σc 2 Tabela 3.3: Kovarijansna matrica Primer 4 U Tabeli 3.4 dati su obrti aktiva A, B i C u vremenskom periodu od 3 godine. Aktiva 1.godina 2. godina 3. godina A 10 12 11 B 10 14 12 C 12 6 9 Tabela 3.4: Obrti aktiva A, B i C Dobija se da su obrti u srednjem r A = 11, r B = 12 i r C = 9. Kovarijansa obrta izme du aktiva A i B je σ AB = 1 ((10 11)(10 12) + (12 11)(14 12) + (11 11)(12 12)) = 1.333, 3 dok je kovarijansa obrta izme du aktiva A i C σ AC = 1 ((10 11)(12 9) + (12 11)(6 9) + (11 11)(9 9)) = 2, 3 i konačno, kovarijansa obrta izme du aktiva B i C je σ BC = 1 ((10 12)(12 9) + (14 12)(6 9) + (12 12)(9 9)]) = 4. 3 Za aktive A, B i C, u ovom slučaju, kovarijaciona matrica je A B C A 0.666 B 1.333 2.666 C 2 4 6 Tabela 3.5: Kovarijansna matrica obrta aktiva A, B i C 25
Glava 4 Populacioni obrt i varijansa obrta Prethodni način izračunavanja obrta u srednjem bazirao se na istorijskim podacima. Isto važi i za uzoračku varijansu i kovarijansu. Uzoračke vrednosti su u odre denoj meri korisne za rezimiranje ponašanja obrta u prošlosti, ali ono što je zaista potrebno za analizu ulaganja jesu predvi danja šta bi moglo da se desi u budućnosti. Investitoru su potrebne ove informacije da bi znao kakve odluke je najbolje doneti u sadašnjem trenutku. Može se konstruisati konceptualni okvir za analizu budućih vrednosti obrta na sledeći način: posmatrati aktivu i odrediti moguće nivoe obrta koji se mogu dostići, kao i verovatnoće dostizanja tih nivoa. Na primer, nakon proučavanja trenutnog poslovnog modela kompanije IBM, može se zaključiti da postoji mogućnost da akcije ove kompanije u toku sledeće godine mogu ostvariti obrt od 2% sa verovatnoćom 0.25, 4% sa verovatnoćom 0.5 i 6% sa verovatnoćom 0.25. Usvajanjem uobičajenog pristupa statističke analize, istorijski podaci posmatranih obrta postaju uzorci na osnovu kojih se mogu dobiti ocene pravih vrednosti. Obrt u srednjem, koji se izračunava na osnovu uzorka prethodno posmatranih obrta, jeste najbolja ocena očekivane vrednosti za celokupnu populaciju. Sve prethodno rečeno se odnosi i na već objašnjenu uzoračku varijansu i kovarijansu. One su, tako de, uzoračke ocene populacione varijanse i kovarijanse. Ovde se javlja i pitanje nepristrasnosti ocene uzoračke varijanse, kao ocene populacione varijanse. 4.1 Očekivani obrt Neka se posmatra jedna aktiva. Nepoznato je kakav će obrt obezbediti ova aktiva u bućnosti, tako da je moguće formirati skup svih mogućih ishoda kakav obrt može biti u budućnosti. Neka je M broj koji predstavlja mogući broj scenarija koliki može biti obrt posmatrane aktive u budućnosti. Ako je obrt po j-tom scenariju r j, a verovatnoća realizacije ovog scenarija π j, tada je očekivani obrt ove aktive Er = π 1 r 1 +... + π M r M. Ova metoda izračunavanja očekivanog obrta može se generalizovati da bi se utvrdio očekivani obrt portfolija tako što se posmatra ponderisana suma očekivanih obrta svake od aktiva koje 26
čine portfolio. U tom smislu, neka N predstavlja broj aktiva u portfoliju dok M predstavlja broj mogućih scenarija. Obrt i-te aktive po j-tom scenariju neka je r i j sa verovatnoćom realizacije π j. Neka je X i deo portfolija investiran u i-tu aktivu. Obrt portfolija po j-tom scenariju se računa kao suma ponderisanih obrta svake aktive u odnosu na njen udeo u portfoliju r P j = N i=1 X i r i j. (4.1) Očekivani obrt portfolija se dobija na osnovu obrta portfolija dobijenih za pojedinačne scenarije i njihovih verovatnoća realizacije, tj. Primenom (4.1) dobija se da je Er P = Er P = π 1 r P1 +... + π M r PM. = = N i=1 N i=1 π 1 X i r i1 +... + N i=1 π M X i r im X i (π 1 r i1 +... + π M r im ) N M i π j r i j. i=1x j=1 4.2 Populaciona varijansa obrta Varijansa populacije predstavlja prosek kvadrata odstupanja obrta od njegove očekivane vrednosti. Dok je uzoračka varijansa zapravo prosek nastao deljenjem sa brojem opservacija, populaciona varijansa je sredina ponderisanih kvadratnih odstupanja od srednje vrednosti njihovim verovatnoćama realizacije. Za izračunavanje populacione varijanse neophodno je: (i) Identifikovati različite scenarije (ii) Utvrditi obrt po svakom scenariju (iii) Zadati verovatnoće sa kojima se realizuje svaki od scenarija. Populaciona varijansa za jednu aktivu je izražena preko očekivanja na sledeći način σ 2 = E(r Er) 2. (4.2) Da bi se na ovaj način izračunala varijansa neophodno je navesti broj mogućih scenarija kao i verovatnoće realizacije svakog od njih. Neka M predstavlja broj mogućih scenarija, r j obrt po j-tom scenariju i π j verovatnoću njegove realizacije. Tada je populaciona varijansa obrta aktive jednaka σ 2 M = π j (r j Er j ) 2. j=1 27
Populaciona standardna devijacija je kvadratni koren varijanse, odnosno σ = M π j (r j Er j ) 2. j=1 4.3 Populaciona kovarijansa obrta Kovarijansa uzorka je bila uvedena kao mera relativne promene obrta dve aktive. Za dve aktive A i B, populaciona kovarijansa σ AB se definiše na sledeći način σ AB = E (r A Er A )(r B Er B ). Neka M predstavlja broj mogućih scenarija, pri čemu je verovatnoća realizacije j-tog π j. Neka su r A j i r B j obrti aktiva A i B, respektivno, po j-tom scenariju. Kovarijansa izme du obrta aktiva A i B je M σ AB = π j (r A j Er A )(r B j Er B ). j=1 Populaciona kovarijansa obrta može biti pozitivna ili negativna. Negativna kovarijansa nastaje kada se obrti ove dve aktive kreću u suprotnim smerovima, odnosno, ako je obrt aktive A iznad obrta u srednjem (r A j r A > 0) tada je obrt aktive B ispod obrta u srednjem (r B j r B < 0) i obrnuto. Kovarijansa je pozitivna ukoliko se obrti kreću u istom smeru, tj. ako su oba ili ispod ili iznad očekivanog obrta. 28
Glava 5 Varijansa portfolija Izračunavanja varijanse obrta jedne aktive kao i kovarijanse obrta izme du dve aktive su neophodna za odre divanje varijanse portfolija. Već je ranije pokazano kako varijansa portfolija zavisi od varijansi aktiva od kojih je posmatrani portfolio sastavljen. Nije dovoljna samo suma varijansi aktiva. Zbog toga je izbor aktiva koje će kreirati portfolio i esencijalno pitanje kojim se bavi analiza investiranja. Varijansa obrta portfolija se može izraziti na isti način kao i varijansa obrta individualne aktive. Ako je r P obrt posmatranog portfolija, tada je varijansa portfolija σ 2 P sledeća σ 2 P = E(r P Er P ) 2. (5.1) Cilj je naći drugačiji oblik formule (5.1) za izračunavanje varijanse. Postizanje ovog cilja trebalo bi da dovede do razumevanja kako je varijansa obrta portfolija povezana sa varijansama obrta aktiva koje ulaze u njegov sastav i kovarijansama izme du obrta već pomenutih aktiva. Analiza počinje proučavanjem varijanse portfolija koji se sastoji od dve aktive. Dobijeni rezultat se zatim proširuje na portfolio sa proizvoljnim brojem aktiva. 5.1 Portfolio sastavljen od dve aktive Neka se razmatra portfolio sastavljen od dve aktive A i B sa udelima X A i X B. Na osnovu definicije populacione varijanse, varijansa obrta portfolija predstavlja očekivanu vrednost kvadrata odstupanja obrta portfolija od očekivanog obrta. Kako je obrt portfolija r P = X A r A + X B r B, dobija se σ 2 P = E((X A r A + X B r B ) (X A Er A + X B Er B )) 2. Grupisanjem članova koji se odnose na aktive A i B posebno sledi σ 2 P = E(X A (r A Er A ) + X B (r B Er B )) 2. Posle kvadriranja unutar očekivanja, formula dobija sledeći oblik σ 2 P =E[X 2 A (r A Er A ) 2 + X 2 B(r B Er B ) 2 + 2X A X B (r A Er A )(r B Er B )] =E[X 2 A (r A Er A ) 2 ] + E[X 2 B(r B Er B )] 2 + 2E[X A X B (r A Er A )(r B Er B )]. 29