Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matemati ki fakultet Odsjek za ziku I ciklus studija Op²ti smjer/ Teorijska zika HATD (ODVAJANJE IZNAD PRAGA VI EG REDA) U BICIRKULARNOM LASERSKOM POLJU ZAVR NI RAD Mentor: prof. dr Azra Gazibegovi -Busuladºi Kandidat: Mirsad Tunja Sarajevo, septembar 2017.
Zahvaljujem svojoj mentorici prof. dr Azri Gazibegovi -Busuladºi na podr²ci pruºenoj prilikom izrade ovog diplomskog rada.
Saºetak U ovom diplomskom radu razmotren je proces odvajanja iznad praga (ATD) elektrona od negativnih jona u prisustvu jakog laserskog polja. Nakon kratkog uvoda u vidu razvoja oblasti Fizike jakog polja i njenih dostignu a, formulisana je kvantnomehani ka teorija procesa odvajanja iznad praga. Naro- ita paºnja je posve ena odvajanju iznad praga vi²eg reda (HATD), procesu u kojem su elektroni, rasijani na mati nom atomu, odgovorni za visokoenergetski plato u spektru. Teorija je primjenjena na slu aj bicirkularnog polja, kojeg ine dvije koplanarne kontrarotiraju e cirkularno polarizirane komponente sa frekvencijama koje su cjelobrojni umnoºak fundamentalne frekvencije ω. Poreženi su rezultati u slu aju odvajanja od jona uora i broma. Radi eventualnog poreženja sa eksperimentom, uraženo je fokalno usrednjavanje spektra. Posebna paºnja je posve ena simetrijama spektra direktnih i rasijanih elektrona. Abstract In this bachelor thesis, process of Above Threshold Detachment (ATD) - detachment of electrons from negative ions in presence of strong laser eld, is considered. After the short introduction, in which history and achievements of Strong Field Physics are mentioned, quantum mechanical theory of ATD is formulated. We specially analysed process of High-order Above Threshold Detachment (HATD), where electrons, rescattered o the parent ion, are responsible for high-energy plateau in spectrum. The theory is applied to detachment by a bicircular eld, which consists of two coplanar counterrotating circularly polarised components with frequencies that are integer multiples of fundamental frequency ω. Results for detachment from uoride and bromide ions are compared. Focal averaging is done for eventual comparision with experiment. Emphasis was put on symmetries in spectrum of direct and rescattered electrons.
Sadrºaj 1 Uvod - Atomski procesi u jakom laserskom polju 1 1.1 Jako polje?............................ 1 1.2 Laseri............................... 3 1.3 Mehanizmi jonizacije....................... 5 1.4 Atomski procesi u jakom laserskom polju............ 6 1.4.1 Laserom asistirani procesi................ 7 1.4.2 Jonizacija iznad praga.................. 8 1.4.3 Generacija vi²ih harmonika............... 10 1.5 Klasi ni opis i "kvantne orbite"................. 11 2 Negativni joni 13 2.1 Valna funkcija negativnih jona.................. 13 2.2 Potencijal interakcije....................... 15 2.3 Odvajanje iznad praga...................... 17 3 Teorijski formalizam 19 3.1 Atom u laserskom polju..................... 19 3.2 Atomski sistem jedinica..................... 20 3.3 Direktni elektroni......................... 23 3.4 Rasijani elektroni......................... 28 3.5 T-matri ni element i diferencijalna vjerovatno a odvajanja.. 30 4 Odvajanje iznad praga u bicirkularnom polju 33 4.1 Bicirkularno polje......................... 33 4.2 Direktni elektroni......................... 36 4.3 Rasijani elektroni......................... 38 4.4 Fokalno usrednjavanje...................... 39 5 Numeri ki rezultati 41 5.1 Gauss-Legendre-ova kvadratura................. 41 5.2 Spektri direktnih i rasijanih elektrona za uor i brom..... 42 5.3 Simetrije.............................. 45
5.4 Fokalno usrednjeni spektar.................... 49 6 Zaklju ak 53
Poglavlje 1 Uvod - Atomski procesi u jakom laserskom polju 1.1 Jako polje? Da bismo odgovorili na pitanje ²ta podrazumijevamo pod "jakim poljem", iskoristit emo Bohrovu teoriju atoma vodika. Genijalnim eksperimentom rasijanja alfa estica na atomima zlata, lord Rutherford 1911. godine otkriva strukturu atoma. Mežutim, po²to svaka naelektrisana estica koja ubrzava gubi energiju zra enjem, elektroni bi prilikom kruºenja (koje naravno podrazumijeva postojanje centripetalnog ubrzanja) oko jezgra eventualno izgubili energiju i "pali" u jezgro. Dakle glavni problem Rutherfordove teorije je nestabilnost atoma, a samim tim i materije uop²te. Rje²enje donosi mladi Bohr kvantiziranjem momenta impulsa te uvoženjem stacionarnih orbita na kojim elektron ne emituje zra enje. Svojom teorijom je uspje²no objasnio diskretni spektar vodika. Posmatrajmo elektron na prvoj Bohrovoj orbiti. Znaju i da Coulombova sila izmežu jezgra i elektrona ima ulogu centripetalne sile, kvantiziranjem momenta impulsa l = mrv = n h dolazimo do izraza za polupre nik prve Bohrove orbite [1]: r 1 = 4πε 0 h 2 e 2 m e. Uvr²tavaju i numeri ke vrijednosti konstanti, dobivamo vrijednost r 1 = 0.529 10 10 m. Elektri no polje na prvoj Bohrovoj orbiti ima (ogromnu) vrijednost E = e 4πε 0 r 2 1 = 5.142 10 11 V/m. 1
Slika 1.1: Spektar vodika uspje²no obja²njen Borovim modelom atoma [2]. Bogatiji opis mikrosvijeta (na nivou atoma) donosi kvantna mehanika. Kori- ²tenjem teorije perturbacije u okviru kvantne mehanike, Otto Stark (ina e glavni zi ar nacisti ke Njema ke) je analizirao utjecaj vanjskog elektri nog polja na elektrone u atomima. Taj utjecaj se manifestuje u pomjeranju spektralnih linija te njihovom umnoºavanju usljed otklanjanja degeneracije nivoa, koja je uvijek posljedica neke simetrije. Njegova teorija je bila u potpunoj saglasnosti sa eksperimentom, jer su vanjska elektri na polja koja je mogao dobiti bila iznimno mala u poreženju sa poljem unutar atoma. Standardni na in dobivanja elektri nog polja je kori- ²tenje kondenzatora spojenih na izvor napona. Zbog niza tehni kih razloga, spomenimo npr. proboj dielektrika, i danas je ostvarivanje polja pribliºnih polju u atomu na taj na in nemogu e. Ovdje u pri u ulaze laseri. 2
Slika 1.2: Cijepanje spektralnih linija usljed Starkovog efekta[3]. 1.2 Laseri Laseri su jedno od najzna ajnijih otkri a dvadesetog vijeka [4]. Razvoj lasera i laserske tehnike je izuzetno buran jo² od samog njihovog otkri a 1960. godine i tempo njihovog razvoja se moºe uporediti samo sa nuklearnom energetikom. I u ovom, 21. vijeku, brzina razvoja lasera i ²irok spektar njihove primjene predstavlja izazov za nove generacije. Naziv laser predstavlja akronim engleskih rije i: Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation, tj. poja avanje svjetlosti putem stimulisane emisije zra enja. Urežaj koji na isti na in radi, ali u mikrotalasnom podru ju, naziva se maser. Stimuliranu emisiju je 1916. godine teorijski predvidio Einstein, dok su je 1928. godine Ladenburg i Kopfermann eksperimentalno dokazali. Uz apsorpciju i spontanu emisiju, stimulisana emisija predstavlja jednu od tri fundamentalne pojave do kojih dolazi pri interakciji elektromagnetnih talasa sa materijom. Pretpostavimo da se u po etnom trenutku atom (ili molekula) nalazi u vi²em kvantnom stanju i da na taj sistem atoma (molekula) pada elektromagnetni talas frekvencije jednake frekvenciji talasa nastalog spontanim prelazom sa vi²eg na niºe kvantno stanje. Pri tome po- 3
stoji mogu nost da upadni talas stimuli²e prelaz sa vi²eg na niºi energetski nivo. U tom slu aju, emituje se dodatni talas koji ima istu fazu i smjer prostiranja kao i upadni. Slika 1.3: Tri fundamentalne pojave pri interakciji elektromagnetnih talasa sa materijom [5]. Prvi maser konstruisali su istovremeno krajem 1954. godine Prohorov i Lebedov sa Instituta Lebedov u Moskvi, kao i Charles Townes na Columbia univerzitetu u New Yorku. Nakon niza teorijskih radova Basova i Prohorova iz Sovjetskog Saveza, te Townsa i Shawlowa u Americi, ostvaren je prelaz na vidljivi dio spektra. Kona no je 1960. godine Maiman konstruisao prvi laser - impulsni rubinski laser. Slika 1.4: Razvoj lasera [4]. Na slici je gra ki prikazan razvoj lasera tokom prethodnog stolje a. Na 4
apscisi su godine, a na ordinati snaga P u Watima i intenzitet laserskog polja I koji se dobiva fokusiranjem laserskog zra enja P na povr²inu radijusa 10µm. Intenzitet je izraºen u atomskim jedinicama (I A = 3.51 10 16 W/cm 2.) Ovaj intenzitet odgovara ja ini elektri nog polja na prvoj Bohrovoj orbiti unutar atoma vodika. Ne emo detaljno ulaziti u tehnike koje su se koristile za ostvarivanje jakih intenziteta, ali primijetimo da je ve osamdesetih godina postignuta snaga od P = 1TW, ²to odgovara intenzitetu od I 10I A. U takvom laserskom polju, elektron je izloºen pribliºno 3 puta ja em polju od polja koje stvara jezgro (jer je intenzitet proporcionalan sa kvadratom elektri nog polja). Slijedi da teorija perturbacije ne moºe biti kori²tena pri prou avanju procesa u tako jakim poljima. 1.3 Mehanizmi jonizacije Fotoelektri ni efekat je jedna od pojava koja je udarila temelje kvantnoj zici. Primije en je u eksperimentima Heinricha Hertza, a teorijski obja²njen od strane Einsteina. Prema Einsteinovoj teoriji, elektroni apsorbuju kvant energije - foton iz upadnog snopa elektromagnetnog zra enja te dobivaju dovoljno energije da napuste metal. Po etkom 1930-tih godina, Maria Göppert-Mayer [6] objavljuje prvi teorijski rad na temu multifotonske jonizacije. Multifotonski procesi su se po eli eksperimentalno izu avati tridesetak godina kasnije, nedugo nakon otkri a lasera. U dovoljno jakim poljima, koja su tek tad bila ostvarena, elektron je mogao napustiti atom apsorbuju i N fotona iz laserskog polja potrebnih za jonizaciju. Vjerovatno a jonizacije u jedinici vremena je stepena funkcija laserskog intenziteta, gdje je stepen minimalni broj fotona N potreban za jonizaciju. Kineti ka energija osloboženih elektrona je, analogno kao kod Einsteinovog fotoelekti nog efekta, data sa E k = N hω I p, (1.1) gdje su ω frekvencija laserskog polja, a I p jonizacioni potencijal atoma. Sa pove anjem intenziteta lasera raste i ja ina elektri nog polja te moºe deformisati atomski potencijal do te mjere da kroz novonastalu barijeru elektron moºe tunelirati. Za dovoljno niske frekvencije, polje se u dovoljno kratkim vremenskim intervalima moºe smatrati konstantnim u okolini atoma. Potencijal koji opisuje elektron je tada V = Ze2 4πε 0 r eze 0 5
i prikazan je na graku. Sa daljim porastom intenziteta, barijera postaje sve niºa dok osnovno stanje prestane biti vezano stanje. Ovaj reºim se naziva jonizacija preko barijere. Slika 1.5: Jonizacija tuneliranjem i jonizacija preko barijere [7]. Keldish je uveo parametar koji nam govori u kojem reºimu se odvija jonizacija atoma [8]: γ = ω lasera I p =. ω tuneliranja 2U p Veli ina ω tuneliranja je obrnuto proporcionalna vremenu potrebnom za tuneliranje. U p je ponderomotorni potencijal, koji predstavlja oscilatornu energiju elektrona u laserskom polju usrednjenu po jednom opti kom ciklusu. Za linearno polarizovano polje amplitude E 0 i frekvencije ω, ona iznosi U p = e2 E 2 0 4m e ω 2. (1.2) Multifotonska jonizacija je dominantna za slu aj γ 1, dok za slu aj γ 1, tj. za jaka polja i niske frekvencije, dominira jonizacija tuneliranjem. 1.4 Atomski procesi u jakom laserskom polju Atomske procese koji se odigravaju u jakom laserskom polju moºemo podijeliti u dvije grupe: 1. Procese koji su mogu i i bez prisustva laserskog polja laserom asistirani procesi, 6
2. Procese koji su mogu i samo u prisustvu jakog laserskog polja laserom inducirani procesi. Da bi se odigrali procesi iz prve grupe, potrebni su intenziteti polja izmežu 10 8 i 10 12 W/cm 2. Za procese iz druge grupe potrebni su intenziteti od 10 12 do 10 16 W/cm 2. Navedene granice ne treba uzimati strogo, jer one zavise i od talasne duºine lasera. 1.4.1 Laserom asistirani procesi Fotoni laserskog polja igraju ulogu tre eg tijela u procesu rasijanja elektrona na atomima. Uslijed sudara sa tim tre im tijelom u toku rasijanja javljaju se tzv. o-shell amplitude rasijanja. Ovo zna i da energija sistema elektron + atom nije ista prije i nakon rasijanja. Naravno, ukupna energija elektron + atom + lasersko polje ostaje o uvana. Krajem 70-tih godina pro²log stolje a, Weingartshofer i saradnici su vr²ili eksperimente rasijanja elektrona na atomima argona u snopu CO 2 lasera intenziteta oko 10 8 W/cm 2 [9]. Uspjeli su registrovati procese koji uklju uju emisiju i apsorpciju do 11 fotona. Na graku je prikazan spektar tih elektrona uz napomenu da nula na apscisi predstavlja po etnu energiju elektrona (15.8 ev). Slika 1.6: Spektar elektrona u eksperimentu Weingartshoferove grupe [9]. Zanimljiv je i proces rasijanja X-zraka neke frekvencije ω k na atomima u 7
prisustvu laserskog polja frekvencije ω, pri kojem je mogu a emisija jo² ja ih X-zraka energije hω k = hω k + n hω. Elektron-jonska rekombinacija je takožer proces poznat prije otkri a lasera. U prisustvu jakog laserskog polja, upadni elektron se rekombinira sa jonom nakon apsorpcije n fotona laserskog polja, uz emisiju visokoenergetskog fotona. Ovaj proces se naziva LAR - laserom asistirana rekombinacija. Takožer je mogu e da se rekombinacija desi tek nakon rasijanja elektrona na jonskom potencijalu, pri emu se taj proces naziva SLAR, gdje S dolazi od engleske rije i za rasijanje Scattering. Zanimljivo je da je ovo jedan od procesa odgovornih za emisiju fotona visokih energija prilikom zagrijavanja plazme s ciljem (za sada neostvarenim) kontrolisane i isplative termonuklearne fuzije na Zemlji. 1.4.2 Jonizacija iznad praga U Saclay laboratoriji 1979. godine, grupa nau nika na elu sa Agostinijem detektovala je elektrone oslobožene ²estofotonskom i jedanaestofotonskom jonizacijom atoma ksenona [10]. U spektru elektrona osloboženih ²estofotonskom jonizacijom opaºen je dodatni pik vi²e energije, a razmak izmežu pikova odgovarao je energiji fotona laserskog polja. Dodatni pik se nije pojavio u spektru elektrona osloboženih jedanaestofotonskom jonizacijom. Slika 1.7: Spektar elektrona u eksperimentima Agostinijeve grupe [10]. Ovaj efekat su nazvali jonizacija iznad praga (Above Threshold Ionisation ATI). U po etku nije bilo na ina da se teorijski objasni proces. Problem 8
je bio u tome ²to o ito elektron primi dodatni foton, ²to zakoni o uvanja energije i impulsa zabranjuju. Posmatrajmo slobodni elektron mase m e i foton talasne duºine λ te postavimo relativisti ke izraze za zakone o uvanja [11]. Zakon o uvanja energije: hc λ + m ec 2 = m ec 2. 1 v2 c 2 Zakon o uvanja impulsa: h λ = m ev. 1 v2 c 2 Mnoºenjem relacije dobivene zakonom o uvanja impulsa sa c te kombinacijom sa zakonom o uvanja energije, dobivamo c v c + v = 1, odakle slijedi da je v = 0, ²to je u kontradikciji sa zakonom o uvanja impulsa jer bi to zna ilo da i po etni foton nema impuls. Ovo izvoženje vrijedi u slu aju elektrona koji miruje, mežutim mogu e je poop²titi rezultat na elektrone sa proizvoljnom brzinom prelaze i u sistem referencije u kojem elektron miruje. Ova apsopcija je mogu a uz prisustvo tre eg tijela. Eksperimenti u kojima se prou avala zavisnost ATI-ja od pritiska gasova su pokazali da sudari sa drugim elektronima i jonima nisu toliko bitni. Dakle, tre e tijelo koje sluºi kao rezervoar impulsa je elektronov mati ni jon. Izraz za kineti ku energiju elektrona je sli an izrazu kod multifotonske apsorpcije: E k = (N + S) hω I p, (1.3) gdje je N minimalni broj fotona potrebnih za jonizaciju, a S prekomjerni broj apsorbovanih fotona. Eksperimenti van der Wielove grupe su pokazali da pove anjem intenziteta lasera, maksimumi vi²e energije dominiraju nad maksimumima niºe energije [12]. Ovaj efekt se naziva prigu²enje maksimuma te ukazuje na potpuni pad primjene perturbacionih metoda u opisu ATI-ja. U spektru se javljaju i elektroni sa neobi no visokim energijama. Naime, pod utjecajem laserskog polja elektron se moºe vratiti mati nom jonu i elasti no se rasijati na njemu. Prilikom detekcije ovaj elektron moºe imati ve u energiju nego elektroni koji su odmah nakon jonizacije napustili lasersko polje. Ovaj efekt je nazvan jonizacija iznad praga vi²eg reda (High-order Above Threshold Ionisation HATI). 9
1.4.3 Generacija vi²ih harmonika Interakcija jakog laserskog polja i atoma vodi ka izrazito nelinearnim procesima. Primjer takvog procesa je generacija vi²ih harmonika, koja je u drugoj polovini 1980-tih godina teorijski predvižena [13] i odmah zatim eksperimentalno opaºena [14]. Kada se laserski puls fokusira na gas u atomskom stanju, zapaºa se generacija izuzetno visokog broja fotona ija je frekvencija jednaka cjelobrojnom umno²ku frekvencije laserskog polja. Tipi ni spektar harmonika prikazan je na slici. Slika 1.8: Spektar vi²ih harmonika [15]. Pri pove anju reda harmonika N, nakon naglog pada ekasnosti emisije, zapaºa se oblast tzv. platoa sa pribliºno istom ekasno² u emisije narednih harmonika. Plato zavr²ava naglim padom ekasnosti pri odreženom redu harmonika, koji ozna avamo kao cuto. U slu aju linearno polarizovanog polja opaºeni su samo neparni harmonici, ²to je posljedica kvantnomehani kih izbornih pravila i simetrije potencijala. Naru²enjem simetrije, npr. prisustvom vanjskog jakog stati kog elektri nog polja, dolazi do emisije i parnih harmonika. Kao i drugi procesi u laserskom polju, generacija vi²ih harmonika moºe biti opisana semiklasi nim modelom tri koraka. U prvom koraku atom se jonizuje jakim laserskim poljem. U drugom koraku, slobodni elektron se ubrzava poljem te se moºe, kada polje promijeni predznak, vratiti mati nom jonu. Kona no, u tre em koraku elektron se rekombinuje u osnovno stanje, emi- 10
tuju i energiju koju je apsorbovao u laserskom polju u vidu fotona energije nω h - vi²eg harmonika. Energija fotona emitovanih vi²ih harmonika moºe biti i do nekoliko stotina puta ve a od energije fotona laserskog polja kojem je atom izloºen. Takožer, trajanje pulsa harmonika je dosta kra e nego trajanje pulsa laserskog polja. Zahvaljuju i ovim osobinama, primjene vi²ih harmonika su brojne. Spomenimo izu avanje nelinearnih procesa u XUV regiji te interferometrijska mjerenja u ekstremno ultraljubi astom podru ju spektra. Ahmed Zewail je potvrdio da je tehnikom ultrabrzih femtosekundnih lasera mogu e pratiti kretanja atoma unutar molekula pri nekoj hemijskoj reakciji, te za to dobio Nobelovu nagradu [16]. Vi²i harmonici su otvorili vrata novoj oblasti zike atozici. Po²to se, po semiklasi nom Borovom modelu, period kruºenja elektrona oko jezgra vodika mjeri u atosekundama ( 150 as= 150 10 18 as), atosekundni pulsevi za atomsku ziku imaju zna aj koliko femtosekundni imaju u hemiji. Po²to ovjek nema osje aj za taj red veli ine, spomenimo da je 1 as unutar jedne sekunde isto ²to i jedna sekunda u odnosu na starost svemira. 1.5 Klasi ni opis i "kvantne orbite" Neke osobine dobivenog spektra elektrona ili vi²ih harmonika mogu se objasniti klasi nom zikom, ta nije postavljanjem drugog Newtonovog zakona za kretanje elektrona u laserskom polju zanemaruju i utjecaj Coulombovog polja mati nog atoma. Za linearno polarizovano polje duº z ose, drugi Newtonov zakon ima oblik: m d2 z(t) = ee dt 2 0 sin ωt. (1.4) Integriranjem i pretpostavljaju i, radi jednostavnosti, da je brzina elektrona u trenutku jonizacije zanemarivo mala v(t 0 ) 0, dobivamo izraz za brzinu elektrona: dz(t) = ee 0 dt mω [cos ωt cos ωt 0]. Ponovnim integriranjem, za ishodi²te uzimaju i centar atoma z(t 0 ) 0, dobivamo zavisnost koordinate z elektrona od vremena: z(t) = ee 0 mω 2 [sin ωt sin ωt 0 ω(t t 0 ) cos ωt 0 ]. U procesima vi²eg reda, elektron se vra a mati nom jonu te je uslov za povratak dat sa z(t R ) = 0, odnosno sin ωt R sin ωt 0 ω(t R t 0 ) cos ωt 0 = 0. 11
Nakon povratka elektrona mati nom jonu mogu a su tri procesa. Prvi proces je rekombinacija elektrona sa mati nim jonom uz emitovanje visokoenergetskog fotona - vi²eg harmonika. Drugi proces je elasti no rasijanje na mati nom jonu koje odgovara procesu jonizacije iznad praga vi²eg reda. Tre a mogu nost je neelasti no rasijanje izbijanjem dodatnog elektrona mati- nom jonu, ²to odgovara procesu nesekvencijalne dvostruke jonizacije. Maksimiziranjem izraza za energiju elektrona u trenutku povratka, dobivamo da je maksimalna energija fotona prilikom rekombinacije sa mati nim jonom: E max = 3.17U p + I p. (1.5) Na sli an na in, maksimiziraju i usrednjenu energiju elektrona u laserskom polju, dobivamo da je maksimalna energija koju elektron moºe imati kada ga detektujemo [17]: E max = 10.007U p. (1.6) Ova energija odgovara unazad rasijanim elektronima. Zanimljivo je da gornji izrazi jako dobro predvižaju poloºaj cutoa za HHG i HATI procese. Sa formalizmom kvantne mehanike kojim se obja²njava ne samo poloºaj cuto-a, ve i itav spektar fotona odnosno elektrona emo se upoznati u nastavku rada. Mežutim, treba spomenuti i alternativni pristup koji je dosta intuitivniji i zikalno jasniji. Pokazuje se da se HATI i HHG procesi mogu uspje²no i slikovito objasniti pomo u tzv. "kvantnih orbita", tj. trajektorija elektrona u prostor-vremenu [18]. Za razliku od klasi nih orbita, kvantne orbite imaju imaginarne dijelove koji su posljedica kvantne prirode procesa jonizacije tj. tunel efekta. U klasi noj zici postoji jedna orbita koja slijedi iz principa najmanje akcije, dok u kvantnoj zici, za potpuno opisivanje procesa laser-atomske interakcije, potrebno je uzeti u obzir nekoliko kvantnih orbita. Dakle, sa nekoliko kvantnih orbita moºemo objasniti eksperimentalne rezultate, kao i teorijske rezultate dobivene znatno sloºenijim metodama. 12
Poglavlje 2 Negativni joni Negativne jone moºemo posmatrati kao vezano stanje atoma i elektrona. Privla no mežudjelovanje atoma i elektrona je kratkodoseºno te postoji samo nekoliko stabilnih stanja negativnih jona. Veza je odrežena izmjenskim mežudjelovanjem elektrona i atoma, pa atomi sa popunjenom valentnom ljuskom obi no nemaju stabilan negativni jon. Dvostruki negativni joni ak i ne postoje u stabilnom stanju. Energija vezivanja elektrona i atoma naziva se elektronski anitet atoma. Najve i elektronski anitet imaju halogeni elementi, jer njihovim atomima nedostaje jedan elektron da bi im zadnja ljuska bila popunjena. Od hemijskih elemenata najve i elektronski anitet ima hlor i on iznosi 3.61 ev. Dakle, da bismo odvojili najslabije vezani elektron iz negativnog jona hlora, moramo uloºiti 3.61 ev. Usporedbe radi, najmanji jonizacioni potencijal ima atom cezija i iznosi 3.89 ev. Negativni joni imaju mali broj pobuženih stanja zbog kratkodoseºnosti mežudjelovanja. Negativni joni elemenata etvrte grupe imaju uvjete za postojanje vi²e pobuženih stanja, npr. silicij ima dva pobužena stanja. Trenutno najbolji metod odreživanja elektronskog aniteta je zasnovan na odvajanju elektrona od negativnih jona pomo u laserskog polja. Prvi na in je da se mijenjanjem energije fotona odredi prag fotoodvajanja. Drugi na in je da se za ksnu energiju fotona mjeri spektar energija osloboženih elektrona te zatim ra una anitet kao razlika energija elektrona i fotona. 2.1 Valna funkcija negativnih jona Naj e² e kori²ten metod analize vi²eelektronskih sistema je metod samousagla²enog polja, odnosno Hartree-Fockov metod, pri emu se analizira interakcija elektrona sa samousagla²enim poljem koje stvaraju jezgro i ostali elektroni. Predloºio ga je Hartree 1928. godine dok ga je Fock upotpunio 13
uzev²i u obzir Paulijev princip isklju enja. Talasna funkcija atoma, odnosno jona se predstavlja kao kombinacija jedno esti nih valnih funkcija u formi Slaterove determinante. Time se obezbježuje da pri zamjeni elektrona ili stanja, valna funkcija mijenja znak. U slu aju da su dva elektrona u istom stanju, talasna funkcija i² ezava, ²to je u skladu sa Paulijevim principom isklju enja. Primjenom varijacionog principa i posebno odabranim valnim funkcijama elektrona, Rutan 1951. godine pobolj²ava metod samousagla²enog polja. Valna funkcija valentnih elektrona atoma, kao i negativnih i pozitivnih jona je data u vidu razvoja ψ nlm (r) = i C i N i r n i 1 e ζ ir Y lm (θ, φ). Koecijenti se za razli ite atome i jone mogu prona i u [19]. Korist ovog postupka zavisi od broja lanova u gornjoj sumi. Energija veze slabo vezanog elektrona u negativnom jonu, odnosno elektronski anitet je znatno manji od energije veze elektrona u atomu. Slijedi da je radijus negativnih jona ve i od radijusa atoma te se u najve em dijelu oblasti nalaºenja slabo vezanog elektrona moºe zanemariti interakcija sa atomom. Veza, odrežena izmjenskim mežudjelovanjem elektrona, ostvaruje se u oblasti nalaºenja valentnih elektrona. Schrödingerova jedna ina za radijalnu valnu funkciju R(r) slabo vezanog elektrona glasi: d 2 [ dr [rr(r)] κ 2 l(l + 1) ] + [rr(r)] = 0. 2 r 2 Cijeli broj l je orbitalni kvantni broj, dok koecijent κ predstavlja grani ni uvjet, a ne vlastitu vrijednost jedna ine. Povezan je sa elektronskim anitetom na na in E ea = h2 κ 2 2m e. Dobiva se empirijski, a zatim uvr²tava u datu jedna inu. Rje²enje jedna ine moºe se izraziti preko MacDonaldove funkcije R l (r) = C r K l+1/2 (κr). Za s i p elektrone, funkcija postaje R s (r) = A r e κr, 14
R p (r) = A ( r e κr 1 + 1 ). κr Slijedi da je asimptotska valna funkcija za slabo vezani elektron ψ s (r) = A r 4π e κr, ψ p (r) = A ( r Y 1me κr 1 + 1 ). κr Za p elektrone lan sa 1/(κr) moºemo zanemariti u odnosu na jedinicu. Koecijent A se odrežuje poreženjem sa samousagla²enom valnom funkcijom valentnih elektrona u oblasti izvan atoma u kojoj je vjerovatno a nalaºenja jo² uvijek velika [20]. Proces odvajanja slabo vezanog elektrona od negativnog jona de²ava se daleko od unutra²njosti atoma. Mogu e je pokazati to procjenom ²irine barijere prilikom tuneliranja. Zbog toga je u ovom radu kori²ten asimptotski oblik valnih funkcija: ψ lm (r) = A r e κr Y lm (ˆr). (2.1) Od interesa su nam joni uora i broma, za ije je slabo vezane elektrone kvantni broj l = 1. Takožer, prora une vr²imo za vrijednost kvantnog broja j = 3/2. Koecijenti su dati sa [19]: F : A = 0.7; κ = 0.4998, Br : A = 1.49; κ = 0.498. 2.2 Potencijal interakcije Posmatraju i negativni jon kao vezu elektrona sa atomom, potencijal interakcije sastoji se od dva dijela. Prvi dio predstavlja interakciju elektrona i jezgre, dok drugi opisuje interakciju sa elektronskim oblakom atoma. Za proces rasijanja bitna veli ina je trodimenzionalna Fourierova transformacija potencijala: Ṽ (K) = 1 (2π) 3 V (r)e ik r d 3 r. U slu aju teºih atoma, odnosno jona, zbog kompleksne interakcije sa elektronskim oblakom, analiti ki izrazi za V (K) se ne mogu dobiti. Numeri ke prora une moºemo pojednostaviti kori²tenjem semiempirijskih potencijala 15
[21]. Stati ki potencijal, tj. gore navedeni potencijal interakcije elektrona sa atomom, pretpostavljamo u obliku [22]: V S (r) = Z r Φ(r). Funkcija Φ(r) se naziva funkcija zasjenjenja, zadovoljava grani ne uvjete Φ(0) = 1 i Φ 0 za r te ima isti oblik za sve atome. Odgovaraju i atom karakteri²u jedan ili vi²e parametara u funkciji Φ(r). Ovaj model se naziva "independent-particle model". Pri ra unanju diferencijalnog presjeka za elasti no rasijanje naro ito je pogodan "independent-particle model" potencijal u obliku dvostrukog Yukawa potencijala sa parametrima H i D, koji vodi ka analiti kom rje²enju u Bornovoj aproksimaciji: V S (r) = Z H e r/d r [1 + (H 1)e Hr/D ]. (2.2) Veza izmežu parametara H i D je data relacijom H = D Z 0.4, gdje je Z redni broj atoma. Parametri H i D su za razne atome dati u ref. [22]. Fourierovu transformaciju potencijala ra unamo prelaze i u sferne koordinate. Po²to je skalarni proizvod K r = Kr cos θ, deni²emo ugao θ iz sfernih koordinata u odnosu na ksni vektor K. Izraz postaje Ṽ S (K) = 1 (2π) 3 2π 0 dφ π 0 e ikr cos θ sin θdθ 0 r 2 V S (r)dr. Integriranje po φ je trivijalno, dok integraciju po θ vr²imo smjenom t = ikr cos θ. Uvr²tavanjem izraza za stati ki potencijal, ostaju nam elementarni integrali eksponencijalne funkcije u integralu po r. Rezultat je: [ Ṽ S (K) = Z D 2 2π 2 H D 2 K 2 + 1 + H 1 ( ) 2 ]. (2.3) K 2 + Prilikom rasijanja elektrona na mati nom atomu, atom biva polariziran zbog Coulombovog polja elektrona. Ovaj efekt uvaºavamo uvoženjem polarizacionog potencijala α P H+1 D V P (r) = 2(r 2 + d 2 ), (2.4) 2 gdje je α P elektrostati ka dipolna polarizabilnost atoma. Parametar d se dobiva iz formule [23]: α p d 4 = 2Z. 1/3 16
Fourierovu transformaciju potencijala opet ra unamo prelaze i u sferne koordinate: Ṽ P (K) = α P 1 2π π dφ e ikr cos θ r 2 dr sin θdθ 2 (2π) 3 0 0 0 2(r 2 + d 2 ). 2 Integral po φ je trivijalan, a integraciju po θ ponovo vr²imo smjenom t = ikr cos θ. Izraz se svodi na Ṽ P (K) = α P 4π 2 K 0 r sin Kr (r 2 + d 2 ) 2 dr. Integral po r ra unamo pomo u Cauchy-eve teoreme o ostacima (rezidijumima). Prelaze i u kompleksnu domenu, rje²avamo integral J = ze ikz (z 2 + d 2 ) 2 dz. Po²to je modul vektora K pozitivan, kontura po kojoj integriramo je zatvoreni polukrug u gornjoj poluravni kompleksne ravni. Konturom je obuhva en singularitet u z = id, koji je pol drugog reda podintegralne funkcije. Rezidijum u polu z = id iznosi ze ikz Ke Kd Res( ; z = id) =. (z 2 + d 2 ) 2 4d Slijedi da je, po Cauchy-evoj teoremi o ostacima: J = 2πi Ke Kd. 4d Imaginarni dio kompleksnog integrala odgovara na²em realnom integralu po r. Kori²tenjem parnosti podintegralne funkcije, dobivamo da je Fourierova transformacija polarizacionog potencijala Ṽ P (K) = α P 16πd e Kd. (2.5) 2.3 Odvajanje iznad praga U ovom diplomskom radu detaljnije razmatramo proces odvajanja elektrona od negativnih jona u jakom laserskom polju. Engleski naziv za ovaj proces je Above Threshold Detachment (ATD), ali se koristi i izraz Excess Photon Detachment (EPD). Ovaj proces je analogan ATI procesu, kod kojeg umjesto odvajanja elektrona dolazi do jonizacije atoma. 17
U oba procesa elektron apsorbuje vi²e fotona nego ²to mu je potrebno za oslobažanje. Dvije su razlike izmežu ova dva procesa. Prva razlika je ²to je elektronski anitet u op²tem slu aju nekoliko puta manji od jonizacionog potencijala atoma. Druga razlika je ²to u slu aju ATD-a elektron za sobom ostavlja neutralan atom, dok u slu aju ATI-ja ostavlja pozitivan jon koji ga privla i Coulombovom silom. Prva razlika izmežu ATD-a i ATI-ja predstavlja ujedno veliku te²ko u za izvoženje eksperimenata sa negativnim jonima. Naime, pri umjereno jakim poljima vrlo brzo moºe do i do efekta zasi enja. Dakle, dolazi do vrlo brzog smanjenja broja raspoloºivih jona te se ne smiju koristiti polja previsokog intenziteta. Druga razlika je ipak prednost za ATD, jer ima mnogo vi²e smisla koristiti aproksimaciju jakog polja (Strong Field Approximation SFA), koja zanemaruje utjecaj mati nog atoma (jona) na kretanje elektrona sve do eventualnog rasijanja na njemu. Slijedi da o ekujemo mnogo bolje slaganje teorije i eksperimenta nego u slu aju ATI-ja, ali i mogu nost da usporedbom analiziramo Coulombov utjecaj kod ATI-ja. Takožer je mogu e naknadno rasijanje osloboženih elektrona na mati nom atomu, ²to je analogno HATI procesu rasijanja elektrona na mati nom pozitivnom jonu. Takav proces nazivamo HATD (High-order Above Threshold Detachment). 18
Poglavlje 3 Teorijski formalizam 3.1 Atom u laserskom polju Razmatramo polja koja ne mogu ubrzati elektron do brzina uporedivih sa brzinom svjetlosti c [24], tako da atom i elektromagnetno polje moºemo opisati Schrödingerovom jedna inom ( i h t Ĥ ) ψ = 0. (3.1) Po²to je numeri ko rje²avanje Schrödingerove jedna ine izuzetno vremenski zahtjevno [25], uz niz aproksimacija emo dobiti analiti ki oblik za relevantne zikalne veli ine. Jedino e na samom kraju postupka biti potrebno koristiti numeri ku integraciju. Koristimo aproksimaciju jednog aktivnog elektrona (eng. Single Active Electron SAE), pri kojoj posmatramo interakciju samo jednog, najslabije vezanog elektrona sa laserskim poljem te poljem koje stvaraju jezgro i ostali elektroni. Takožer, koristimo semiklasi ni pristup, pri kojem se lasersko polje opisuje klasi no, a atomski sistem kvantnomehani ki [26]. Mogu e je klasi no opisivati lasersko polje jer je za visok intenzitet velika i gusto a fotona, pa se uzima da se energija polja mijenja kontinuirano. U dipolnoj aproksimaciji, koja vrijedi jer je talasna duºina laserskog zra enja mnogo ve a od dimenzija atoma, uzima se da je prostorna raspodjela elektri nog polja homogena [7]. Iz veze maksimalnih ja ina elektri nog i magnetnog polja E 0 = cb 0 te izraza za Lorentzovu silu, u slu aju nerelativisti kih brzina magnetnu komponentu elektromagnetnog polja moºemo zanemariti. Veza elektri nog polja i vektorskog potencijala je u tom slu aju data sa E(t) = t A(t). 19
Hamiltonijan Ĥ dobivamo uvoženjem interakcije sa elektromagnetnim poljem zamjenom minimalne veze ˆp ˆp qa, gdje su ˆp = i h ˆ - operator impulsa u koordinatnoj reprezentaciji, a A - vektorski potencijal elektromagnetnog polja. Hamiltonijan najslabije vezanog elektrona u polju atomskog potencijala V (r) i elektri nog polja lasera je Ĥ = (ˆp qa)2 2m e + V (r). Ovaj Hamiltonijan je neprakti an pri prora unima zikalnih veli ina. Po²to je valna funkcija u kvantnoj mehanici odrežena do na fazni faktor, moºemo na nju djelovati odgovaraju im faznim unitarnim transformacijama. Transformi²emo je na na in da nova valna funkcija zadovoljava Schrödingerovu jedna inu sa novim, prakti nijim Hamiltonijanom. Jedna od takvih transformacija je transformacija oblika ψ(r, t) = e iē h A r ψ L (r, t). Takva talasna funkcija vodi na Schrödingerovu jedna inu u tzv. "length gauge"-u (gejdºu): i h ) t ψ L(r, t) = (Ĥ0 + ee(t) r ψ L (r, t). (3.2) Ĥ 0 je vremenski nezavisan Hamiltonijan elektrona u polju atoma bez prisustva laserskog polja. Mogu e su i druge transformacije, mežutim, koji god gejdº koristili, rje²avanjem Schrödingerove jedna ine bismo trebali dobiti iste vrijednosti opservabli. Mežutim, zbog kori²tenja aproksimacija, rezultati se u razli itim gejdºovima ne moraju podudarati. 3.2 Atomski sistem jedinica U ovom radu prora une emo vr²iti u atomskim jedinicama. Naime, u raznim oblastima teorijske zike koriste se specijalni sistemi jedinica druga iji od SI. U zici elementarnih estica prora uni se vr²e u tzv. prirodnim jedinicama, gdje se uzima da su Planckova konstanta i brzina svjetlosti h = c = 1. U atomskoj zici koristimo sistem u kojem su Planckova konstanta h, masa elektrona m e, naboj elektrona e te dielektri na permitivnost ε 0 pomnoºena sa 4π jednaki jedinici. Iako na prvi pogled zbunjuju e i nepotrebno, kori²tenje ovih sistema jedinica ima par prednosti. Formule koje se koriste u bilo kojoj oblasti teorijske zike su same po sebi glomazne. Stavljaju i da su este konstante u toj oblasti jednake jedinici, 20
zi ar vi²e ne mora voditi ra una o njima te formule postaju preglednije. Osoba koja ih koristi moºe se vi²e posvetiti njihovoj srºi, a tek na kraju prora una moºe dimenzionom analizom odrediti na koji na in se konstante javljaju u rezultatu te pre i u SI. Znamo da konstante u atomskoj zici mogu imati jako malu vrijednost, npr. Planckova konstanta je reda 10 34 Js. S druge strane, zbog kona nosti memorije i nesavr²enosti zapisa realnih brojeva u njoj, svaki numeri ki tip podataka ima svoja ograni enja u smislu preciznosti i granica. Iz tih razloga bi odrežena kombinacija varijabli i konstanti tipa Planckove mogla eventualno dovesti do nastanka gre²ke u ra unanju. Kori²tenjem odgovaraju ih sistema jedinica, osim ²to je smanjen broj operacija koje ra unar izvodi, smanjena je i mogu nost nastanka i gomilanja numeri ke gre²ke. Da bismo uveli atomske jedinice za duºinu, energiju i ostale veli ine, kre emo od stacionarne Schrödingerove jedna ine za jednoelektronski jon u koordinatnoj reprezentaciji i jedinicama SI: ( ) h2 2m 2 r Ze2 ψ = Eψ. 4πε 0 r Uvode i bezdimenzionalne promjenjive ρ = r i ε = E, stacionarna Schrödingerova jedna ina poprima a W oblik ( 2 ρ + 2 Ze2 m 4πε 0 h 2 ρ a + 2ma2 h 2 ) W ε ψ = 0. Atomsku jedinicu za duºinu a 0, gdje je a 0 = Za, te atomsku jedinicu za energiju W 0, gdje je W 0 = W, biramo iz uslova Z 2 Ze 2 m 4πε 0 h 2 a = 1, ma 2 h 2 W = 1. Slijedi da su a 0 = 4πε 0 h 2 e 2 m, W 0 = h2 ma 2 0 Uvr²tavamo vrijednosti konstanti iz SI: h = h 2π = 1.054 10 34 Js, e = 1.602 10 19 C, m e = 9.109 10 31 kg, = me4 (4πε 0 h) 2. 21
ε 0 = 8.854 10 12 C 2 /(Nm 2 ). Dobivamo da je atomska jedinica za duºinu jednaka prvom Bohrovom radijusu: a 0 = 0.529 10 10 m. Atomska jedinica za energiju jednaka je dvostrukoj energiji jonizacije atoma vodika: W 0 = 4.359 10 18 J = 27.211 ev. Pomo u ovih ²est osnovnih atomskih jedinica (od kojih su prve etiri nezavisne), moºemo izraziti atomske jedinice za sve ostale zikalne veli ine. Atomska jedinica za ja inu elektri nog polja odgovara ja ini polja na prvoj Bohrovoj orbiti u atomu vodika: E A = e 4πε 0 a 2 0 = 5.142 10 11 V/m. Atomsku jedinicu za intenzitet izraºavamo preko atomske jedinice za ja inu elektri nog polja na na in: I A = cε 0E 2 A 2 = 3.509 10 20 W/m 2 = 3.509 10 16 W/cm 2. Atomska jedinica za brzinu odgovara brzini elektrona na prvoj Bohrovoj orbiti v 0 = e2 4πε 0 h = 2.187 106 m/s. Atomska jedinica za vrijeme je t 0 = a 0 v 0 = (4πε 0) 2 h 3 me 4 = 2.418 10 17 s. Atomsku jedinicu za ugaonu frekvenciju dobivamo kao ω 0 = 1 t 0 = me 4 (4πε 0 ) 2 h 3 = 4.134 1016 s 1. 22
3.3 Direktni elektroni Amplituda vjerovatno e za detekciju elektrona koji je odvojen od mati nog jona uz apsorpciju ve eg broja fotona nego ²to je potrebno je data sa M k = lim ψ k (t) U(t, t ) ψ 0 (t ). (3.3) t t U prethodnom izrazu, ψ k je kona no stanje dato u obliku Volkovljeve funkcije sa fazom k + A(t), koja odgovara slobodnom elektronu u elektri nom polju, a ψ 0 je po etno stanje (vezano stanje elektron-atom) dato u obliku valne funkcije negativnog jona. U(t, t ) je evolucioni operator Hamiltonijana 1 2 2 +r E(t)+V e a (r). Hamiltonijani koji odgovaraju elektronu vezanom za mati ni atom i slobodnom elektronu u laserskom polju su dati sa: H i = 1 2 2 + V e a (r), H f = 1 2 2 + r E(t). Evolucioni operatori koji odgovaraju Hamiltonijanima su U i i U f, te se evolucioni operator ukupnog Hamiltonijana moºe napisati preko njih na 2 na ina, u zavisnosti koji Hamiltonijan posmatramo kao perturbaciju: t U(t, t ) = U i (t, t ) i dτ U(t, τ) r E U i (τ, t ), t t U(t, t ) = U f (t, t ) i dτ U f (t, τ) V e a (r) U(τ, t ). t Amplituda je M k = lim ψ k (t) U(t, t ) ψ 0 (t ) = t t = lim ψ k (t) U i (t, t ) ψ 0 (t ) t t t i lim ψ k (t) dτ U(t, τ) r E U i (τ, t ) ψ 0 (t ). t t t Evolucioni operator U i (t, t ) propagira talasnu funkciju ψ 0 (t ) u ψ 0 (t), dok evolucioni operator U i (τ, t ) propagira talasnu funkciju ψ 0 (t ) u ψ 0 (τ), pa je amplituda 23
t M k = lim ψ k (t) ψ 0 (t) i lim dτ ψ k (t) U(t, τ)r E ψ 0 (τ). t t t Po²to su ψ k (t) i ψ 0 (t) mežusobno ortogonalne funkcije, prvi lan u gornjoj formuli i² ezava. Uvr²tavanjem izraza za evolucioni operator preko U f, dobivamo: t M k = i lim dτ ψ k (t) U f (t, τ)r E ψ 0 (τ) t [ t t i lim dτ ψ k t i τ ] dτ U f (t, τ )V e a (r)u(τ, τ) r E ψ 0 (τ). Evolucioni operator U f (t, τ), djeluju i s desne strane na ψ k (t) (u bra-u) propagira je u ψ k (τ). Isto tako, u drugom lanu U f (t, τ ) propagira ψ k (t) u ψ k (τ ). Amplituda postaje t M k = i lim dτ ψ k (τ) r E ψ 0 (τ) t t t lim dτ dτ ψ k (τ ) V e a (r)u(τ, τ)r E ψ 0 (τ). t τ Pu²tanjem limesa i promjenom oznaka nijemih varijabli, amplituda poprima oblik M k = i dt ψ k (t) r E ψ 0 (t) dt t dt ψ k (t ) V e a (r)u(t, t)r E ψ 0 (t). Sada emo primijeniti Aproksimaciju jakog polja (SFA-Strong Field Approximation) [27]. Evolucioni operator U U f, dok talasne funkcije mijenjamo Volkovljevim talasnim funkcijama (dakle valnim funkcijama koje odgovaraju slobodnom elektronu u elektri nom polju) ψ k ψk V. Ovo zna i da zanemarujemo utjecaj jona na kretanje elektrona. Ono ²to takožer jo² treba uraditi jeste uvesti smjenu varijabli. U gornjem izrazu, t je trenutak jonizacije, a t trenutak rasijanja. Pogodna varijabla je vrijeme leta (vrijeme izmežu jonizacije i rasijanja prilikom ega elektron "kupi" dodatne fotone) τ = t t. Diferenciranjem ove jednakosti dobivamo dτ = dt. Varijabla t poprima vrijednosti izmežu t i. Slijedi da varijabla τ poprima vrijednosti izmežu 0 i. 24
Amplitudu pi²emo kao M k = i dt ψ k (t) r E ψ 0 (t) dt 0 dτ ψ k (τ) V e a (r)u f (τ, t)r E ψ 0 (t). (3.4) Gore navedena Volkovljeva funkcija (u length gauge-u) ima oblik ψ (3) k = k + i t A(t) e [k+a(t 2 )] 2 dt. U length gauge-u, Hamiltonijan i akcija su Ĥ = ˆk 2 2 + r E(t), S k (t) = 1 2 t t [k + A(t )] 2 dt = k2 2 t + k A(t )dt + 1 t A 2 (t )dt. 2 (3.5) Volkovljev evolucioni operator je dat kao U L (t, t ) = d 3 k ψk V (t) ψk V (t ). Za talasne funkcije negativnih jona uzimamo asimptotski oblik, pa je vremenski zavisna talasna funkcija najslabije vezanog elektrona u negativnom jonu data sa ψ 0 (r, t) = A r e κr Y lm (θ, φ)e ii 0t, gdje je I 0 = E 0 = E 0 - elektronski anitet u slu aju odvajanja od jona (obiljeºavan jo² sa E e a ), odnosno jonizacioni potencijal u slu aju jonizacije atoma. Nulti lan amplitude M ima oblik M (0) k = i dt k + A r E A r e κr Y lm [ ] e i k 2 2 t+ t k A(t )dt + 1 t A 2 (t 2 )dt +I 0 t. (3.6) 25
Cilj nam je izra unati matri ni element oblika q r E(t) ψ. Elektri no polje moºemo izvu i ispred matri nog elementa jer zavisi samo od vremena, te moºemo ubaciti projekcioni operator d 3 r r r. Slijedi da je q r E(t) ψ = E(t)ê d 3 r q r r r ψ, gdje je ê jedini ni vektor polarizacije. Po²to u kvantnoj mehanici vrijedi da su: q r = 1 e iq r i r ψ = ψ(r), (2π) 3/2 slijedi da je matri ni element 1 q r ψ = d 3 r rψ(r)e iq r. (2π) 3/2 Valna funkcija u implusnom prostoru je data Fourierovom transformacijom valne funkcije u koordinatnom prostoru: 1 φ(q) = d 3 r ψ(r)e iq r. (2π) 3/2 Vidimo da je gornji matri ni element mogu e dobiti diferenciranjem valne funkcije u impulsnom prostoru po q i mnoºenjem sa imaginarnom jedinicom i: q r ψ = 1 (2π) i 3/2 q d 3 r ψ(r)e iq r = i φ(q) q. (3.7) Ravni val se moºe razviti u red po sfernim Besselovim funkcijama i Legendreovim polinomima: e ik r = (2l + 1)i l j l (kr)p l (ˆk ˆr) = = 4π l=0 l l=0 m= l Koriste i osobinu ortonormiranosti sfernih harmonika: dω Y m l (ˆr)Y m l (ˆr) = δ ll δ mm, slijedi da je, prelaze i u sferne koordinate: φ(q) = 2A 2π 0 dr re κr ( i) l j l (qr)yl m (ˆq). i l j l (kr)y m l (ˆk)Y l m (ˆr). Za najslabije vezane elektrone u negativnim jonima uora i broma, l = 1, pa se Besselova funkcija pona²a kao: j 1 = sin(x) x 2 cos(x). x 26
Slijedi da je valna funkcija u impulsnom prostoru φ(q) = I je integral I = 1 q 2 2 π A( i)l Y m l (ˆq) I. 0 κr sin qr e r dr 1 q 0 e κr cos qr dr. Drugi integral rje²avamo ili parcijalnom integracijom dva puta ili predstavljanjem kosinusa preko eksponencijalne funkcije. Rezultat je: I 2 = 0 e κr cos qr dr = κ κ 2 + q 2. Prvi integral rje²avamo Feynmanovim metodom diferenciranja po parametru, pri emu primje ujemo da diferenciranjem integrala po q dobivamo upravo drugi integral: I 1 q = q 0 κr sin qr e r dr = 0 e κr cos qr dr = κ κ 2 + q 2. Uz o it uvjet da je za q = 0 i integral jednak nuli, dobivamo da je I 1 = Kona no je 0 φ(q) = κr sin qr e r dr = arctan q κ. 2 ( 1 π A( i) q arctan q 2 κ 1 κ ) Y m q κ 2 + q 2 l (ˆq). (3.8) Za dobivanje matri nog elementa potreban nam je gradijent gornjeg izraza. Gradijent u sfernim koordinatama ima oblik φ = φ q ˆq + 1 φ q θ ˆθ + 1 φ q sin θ ϕ ˆϕ. Sli an matri ni element e se javiti i kod idu eg lana u amplitudi. Prora un gradijenta, a samim tim i matri nog elementa oblika q r ψ te njegov skalarni proizvod sa zadatim poljem E(t) ostavljamo za idu e poglavlje. 27
3.4 Rasijani elektroni Nakon nultog, razmotrimo idu i (prvi) lan amplitude: M (1) k = dt 0 dτ ψ V k (τ) V e a (r)u f (τ, t)r E ψ 0 (t). (3.9) Umjesto U f u izraz uvr²tavamo Volkovljev evolucioni operator: M (1) k = dt 0[ ] e i k 2 2 t+ t k A(t )dt + 1 t A 2 (t 2 )dt d 3 q k + A(t) V e a q + A(t) dτ q + A(t τ) r E(t τ) A r exp ( κr)y lm [ e i q 2 2 (t τ)+ t τ q A(t )dt + 1 t τ A 2 (t 2 )dt +I 0 (t τ) [ ] e i q2 2 t t q A(t )dt 1 t A 2 (t 2 )dt ]. Udruºivanjem izraza u eksponentima, dobivamo M (1) k 0 [ e i [ ] = dt e i k 2 2 t+ t k A(t )dt + 1 t A 2 (t 2 )dt +I 0 t d 3 q k + A(t) V e a q + A(t) dτ q + A(t τ) r E(t τ) A r exp ( κr)y lm ] q 2 2 τ+ t t τ q A(t )dt + 1 t 2 t τ A2 (t )dt +I 0 τ. Sada (pribliºnim) metodom sedlaste ta ke (verzijom vremenski zavisne WKB aproksimacije) aproksimiramo integral po q. Stacionarni impuls k s dobivamo kao rje²enje jedna ine q S(q, t, τ) = 0. Akcija je data sa S = q2 2 τ + q t t τ A(t )dt + 1 2 t t τ Gradijent akcije mora biti jednak nuli za q = k s : q S(q, t, τ) = q 2 τ + t t τ A(t )dt. 28 A 2 (t )dt + I 0 τ. (3.10)
Slijedi da je stacionarni impuls k s = α(t τ) α(t), (3.11) τ gdje je α(t) integral vektorskog potencijala po vremenu. Cilj nam je izra unati integral tipa d 3 q f(q)e is(q,t,τ). Akciju posmatramo kao kvadratni polinom po q: S = τ 2 q2 + q t t τ A(t )dt + 1 2 t t τ A 2 (t )dt + I 0 τ. Koriste i deniciju stacionarnog impulsa, prethodni izraz moºemo napisati kao S = τ ) (q 2 2q k s + 1 t A 2 (t )dt + I 0 τ. 2 2 t τ Dopunjavanjem na potpuni kvadrat, akcija postaje S = τ 2 (q k s) 2 + 1 2 t t τ Aproksimiramo integral oblika I(α, k s ) = d 3 k f(k)e iα(k ks)2. A 2 (t )dt + I 0 τ τ 2 k2 s. Smjenom k k + k s te razvojem funkcije f(k + k s ) u Taylorov red oko k s, dobivamo I(α, k s ) = d 3 k f(k + k s )e iαk2 = d 3 k e k ks f(k s )e iαk2. Dopunjavanjem eksponenta na potpuni kvadrat, izraz za integral postaje I(α, k s ) = d 3 k f(k s )e α i (k+ 1 2iα ks )2 e i 2 4α ( ) iπ 3/2. Integral po k je trodimenzionalni Gaussov integral i iznosi α Razvojem drugog eksponenta u red i zadrºavaju i se na nultom lanu, traºeni integral je pribliºno ( iπ ) 3/2f(ks I(α, k s ) = ). α 29 k 2 s.
Slijedi da je integral d 3 q f(q)e is(q,t,τ) = [ ] ( 2π ) 3/2f(ks )e i τ 2 k2 s 1 t 2 t τ A2 (t )dt I 0 τ. (3.12) iτ Koriste i deniciju stacionarnog impulsa, izraz u eksponentu moºemo napisati u obliku [ τ i 2 k2 s 1 2 t [ τ i 2 k2 s k s t τ t ] A 2 (t )dt I 0 τ = t τ A(t )dt + 1 2 t t τ ] A 2 (t )dt + I 0 τ = is(k s, t, τ). (3.13) Dakle, eksponent ima isti oblik kao i akcija nultog lana amplitude. Koriste i injenicu da je A(t) funkcija, a ne operator, fazni faktori koji doprinose u bra i ket-u se poni²te: k + A(t) V e a k s + A(t) = k V e a k s. Ovaj lan odgovara Fourierovoj transformaciji potencijala interakcije izra unatoj u prethodnom poglavlju. Deni²emo periodi ni dio integrala kvadrata vektorskog potencijala kao U I (t) = 1 2 t A 2 dt U p t. Kona no, izraz za M (1) k glasi M (1) k = dt e i(e k+u p+i 0 )t e i[k α(t)+u I(t)] 0 dτ ( 2π )3/2 k V e a k s iτ k s + A(t τ) r E(t τ) A r exp ( κr)y lm e is(ks,t,τ). (3.14) 3.5 T-matri ni element i diferencijalna vjerovatno a odvajanja Po²to je E(t) periodi na funkcija, slijedi da su i A(t), α(t) i U I (t) periodi ne funkcije. Izdvajamo periodi ni dio amplitude i razvijamo ga u Furijerov red: T k (t) = n= T k (n)e inωt. 30
Koecijenti razvoja su dati sa T k (n) = T 0 dt T T k(t)e inωt. Periodi ni dio je { T k (t) = e i[k α(t)+u I(t)] k + A(t) r E(t) ψ 0 ( 2π } i dτ )3/2 k V e a k s k s +A(t τ) r E(t τ) ψ 0 e is(ks,t,τ). iτ 0 Pi²emo amplitudu M preko periodi nog i neperiodi nog dijela: M k = i dt T k (t)e i(e k+u p+i 0 )t. (3.15) Gornji integral moºemo napisati i u obliku sume integrala sa duºinom intervala T : (n+1)t M k = i dt T k (t)e i(e k+u p+i 0 )t. n= nt Smjenom t t nt, izraz postaje M k = i n= T 0 dt T k (t)e i(e k+u p+i 0 )t e i(e k+u p+i 0 )nt. Koriste i Poissonovu sumacionu formulu dobiva se da vrijedi relacija n e in(e k+u p+i 0 )T = 2π T Izraz za M postaje T M k = 2πi 0 n dt T T k(t)e i(e k+u p+i 0 )t n δ(e k + U p + I 0 n 2π T ). = 2πi n δ(e k + U p + I 0 nω) = δ(e k + U p + I 0 nω)t k (n). (3.16) Delta funkcija predstavlja zakon o uvanja energije, a n je broj apsorbovanih fotona. 31
Vjerovatno a detekcije elektrona sa energijom E k u smjeru odreženim prostornim uglom dω je W k de k dω = M k 2 d 3 k = M k 2 k 2 dkdω. ( ) Po²to je de k = d = kdk, slijedi da je W k = k M k 2. k 2 2 Kvadrat amplitude M je dat kao M k 2 = (2π) 2 n n δ(e k + U p + I 0 nω)t k (n)δ(e k + U p + I 0 n ω)t k(n ). Koriste i osobinu delta funkcije slijedi da je 1 δ(e k + U p + I 0 nω) = lim τ 2π M k 2 τ = 2π n τ/2 τ/2 e i(e k+u p+i 0 nω)t dt = = δ(e k + U p + I 0 nω) T k (n) 2. { τ 2π, nω = E k + U p + I 0 0, ina e, Za duga ke pulseve, duºine trajanja τ mnogo ve e od perioda oscilovanja elektri nog polja, vjerovatno a emisije u jedinici vremena je W k τ = 2π n k δ(e k + U p + I 0 nω) T k (n) 2 = = n δ(e k + U p + I 0 nω)w k (n), (3.17) gdje je w k (n) = 2πk T k (n) 2 - diferencijalna vjerovatno a odvajanja u jedinici vremena pri apsorpciji n fotona. Vjerovatno a odvajanja elektrona u jedinici vremena u odreženom smjeru, uz sumiranje po m i projekciji spina je l w kθϕ,l (n) = 2 w klm (n). m= l Uzimaju i u obzir nu strukturu, brzina odvajanja za j = l ± 1/2 je w (j) 2j + 1 kθϕ,l (n) = 2l + 1 w kθϕ,l(n). (3.18) 32
Poglavlje 4 Odvajanje iznad praga u bicirkularnom polju 4.1 Bicirkularno polje Teorijski je izveden, a donekle i eksperimentalno potvržen, spektar energija elektrona odvojenih od negativnih jona u slu aju linearno polariziranog i elipti ki polariziranog polja. Od velikog interesa je visokoenergetski plato, koji odgovara raspr²enim elektronima na mati nim atomima. Sa pribliºavanjem elipticiteta ka jedinici, ²to odgovara cirkularnoj polarizaciji, visokoenergetski plato se gubi. Ovo se moºe objasniti i na osnovu klasi nih orbita, iz kojih se dobiva (za zanemarivu po etnu brzinu) nemogu nost povratka elektrona mati nom atomu, a samim tim i nemogu nost rasijanja. Povratak elektrona mati nom atomu ponekad vodi na proces rekombinacije uz emisiju vi²ih harmonika. Pove anje broja cirkularno polarizovanih harmonika vi²e energije je primije en kori²tenjem bicirkularnog polja. Bicirkularno polje je superpozicija dva cirkularno polarizovana polja koja rotiraju u istoj ravni, obi no u suprotnim smjerovima sa razli itim frekvencijama. Standardni omjer frekvencija je 1:2, ali se mogu razmatrati i ostali omjeri. Polje je dato izrazom [28]: E(t) = 1 1 [E 1 sin rωt+e 2 sin sωt ]ˆk+ 2 [ E 1 cos rωt+e 2 cos sωt]ĵ. (4.1) 2 Obiljeºavaju i odnos komponenti polja E 2 E 1 sa ε, a ve u komponentu sa E, izraz za polje postaje E(t) = E {[ [ } sin rωt + ε sin sωt ]ˆk + cos rωt + ε cos sωt]ĵ. 2 33
Vektorski potencijal je denisan kao A(t) = t E(t )dt, A(t) = E {[ cos rωt + r [ ]ˆk 2ωr s ε cos sωt + sin rωt r } ]ĵ s ε sin sωt. (4.2) Na slikama su gra ki prikazani proli elektri nog polja i vektorskog potencijala za omjere komponenti frekvencija 1 : 2 i 1 : 3 i jednake komponente E 1 = E 2. Moºe se zaklju iti da se elektri no polje pona²a gotovo kao linearno polarizirano u 3 odnosno 4 navrata unutar jednog opti kog ciklusa. Dakle, zbog ove r + s simetrije o ekujemo ve u vjerovatno u odvajanja elektrona u odreženim smjerovima [29]. Slika 4.1: Prol polja i vektorski potencijal za r : s = 1 : 2. U nastavku izvoženja izraza za T-matri ni element, dosta esti e biti integrali vektorskog potencijala i kvadrata vektorskog potencijala po vremenu. Navedimo i te izraze: α(t) = α(t) = t A(t )dt, E {[ ( r 2ε [ ( r ) 2ε ]ĵ} sin rωt+ sin sωt ]ˆk+ cos rωt+ cos sωt. 2ω2 r s) 2 s (4.3) Koriste i trigonometrijski identitet cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y, dobivamo i integral kvadrata vektorskog potencijala: t { [ ( A 2 dt = E2 r ) 2 ] t 1 + ε 2 + 2 r [(r + s)ωt] } εsin. 2ω 2 r 2 s s (r + s)ω 34
Slika 4.2: Prol polja i vektorski potencijal za r : s = 1 : 3. Izdvajamo periodi ni dio gornjeg integrala na na in: U I (t) = 1 2 t A 2 dt U p t U gornjem izrazu, U p je ponderomotorna energija: U p = ( E2 r ) 2 ) (1 + ε 2. (4.4) 4ω 2 r 2 s Dobivamo da je periodi ni dio integrala U I (t) jednak U I (t) = E2 4ω 2 r 2r [(r + s)ωt] εsin. 2 s (r + s)ω U izrazu za elektri no polje nismo uzeli u obzir po etne faze φ 1 i φ 2. Tada bi elektri no polje imalo oblik: E(t) = 1 2 [E 1 sin (rωt + φ 1 ) + E 2 sin (sωt + φ 2 )]ˆk+ + 1 2 [ E 1 cos (rωt + φ 1 ) + E 2 cos (sωt + φ 2 )]ĵ. Pokazuje se da promjena u fazi φ 1, uz ksnu vrijednost φ 2, odgovara rotaciji polja oko ose okomite na ravan polarizacije (u na²em slu aju x ose) za ugao α = sφ 1. Naprimjer, za ω 2ω polje, promjena faze za r+s 60 odgovara rotaciji polja za 40. Ovo je korisno u eksperimentu, jer je lak²e mijenjati relativne faze φ 1 i φ 2 nego rotirati detektor [28]. 35
4.2 Direktni elektroni Traºenjem gradijenta od φ(q) iz prethodnog poglavlja, dobivamo izraze za matri ne elemente q r ψ 0. Za m = ±1, matri ni element ima oblik 3 [ 2κ(κ 2 2π A sin + 2q 2 ) θe±iϕ q 2 (κ 2 + q 2 ) 2 2 q arctan q ] ê 3 q κ q r ψ 0 = 3 [ 1 2π A cos θe±iϕ q arctan q 3 κ 1 q 2 3 [ 1 2π A(±)ie±iϕ q arctan q 3 κ 1 q 2 κ ] ê κ 2 + q 2 θ κ ] ê κ 2 + q 2 ϕ. (4.5) Ovdje su uglovi θ i ϕ iz izraza za sferne harmonike tzv. uglovi mežustanja koje dobivamo projekcijom impulsa mežustanja, tj. impulsa elektrona u prisustvu polja lasera k f + A(t) na ose odabranog koordinatnog sistema. Kona ni impuls k f i odgovaraju i uglovi θ f i ϕ f odgovaraju elektronu nakon ²to napusti lasersko polje. Projekcijom na z osu, dobivamo ugao θ: cos θ = k f cos θ f + [ ] E 2ωr cos rωt + rε cos sωt s k f + A(t). (4.6) Analogno moºemo dobiti izraze za cos ϕ i sin ϕ projekcijom na ose x i y. Veza izmežu jedini nih vektora u sfernim i Dekartovim koordinatama je Uvode i oznake B i C kao polje moºemo napisati u obliku ê q = ˆk cos θ + sin θ(î cos ϕ + ĵ sin ϕ), ê θ = ˆk sin θ + cos θ(î cos ϕ + ĵ sin ϕ), ê φ = î sin ϕ + ĵ cos ϕ. B = (sin rωt + ε sin sωt), C = ( cos rωt + ε cos sωt), E = E 2 (Bˆk + Cĵ). 36
Skalarni proizvod elektri nog polja i matri nog elementa je 3 E q r ψ 0 = E {( 2κ(κ 2 + 2q 2 ) 2π Ae±iϕ 2 q 2 (κ 2 + q 2 ) 2 2 q arctan q ) 3 κ ( ) ( 1 B sin θ cos θ + C sin 2 θ sin ϕ + q arctan q 3 κ 1 κ ) q 2 κ 2 + q ( )} 2 B sin θ cos θ + C(cos 2 θ sin ϕ ± i cos ϕ). (4.7) Za m = 0, matri ni element ima oblik q r ψ 0 = 3 A [ 2κ(κ 2 2 π cos θ + 2q 2 ) q 2 (κ 2 + q 2 ) 2 2 q arctan q ] ê 3 q κ 3 A [ 1 2 π sin θ q arctan q 3 κ 1 q 2 κ ] ê κ 2 + q 2 θ. (4.8) Uz iste oznake B i C, skalarni proizvod polja i matri nog elementa je 3 A 2 π E {( 2κ(κ 2 + 2q 2 ) E q r ψ 0 = 2 q 2 (κ 2 + q 2 ) 2 2 q arctan q 3 κ ( ) B cos 2 θ + C sin θ sin ϕ cos θ + ( )} B sin 2 θ C sin θ sin ϕ cos θ. ) ( 1 q 3 arctan q κ 1 q 2 κ κ 2 + q 2 ) (4.9) Pri ra unanju T -matri nog elementa, javlja se i fazni faktor e i(nωt+k f α(ωt)+u I (ωt)). Skalarni proizvod kona nog impulsa k f α(t) je i integrala vektorskog potencijala k f α(t) = E k {[ ( f r 2ε ] sin rωt + sin sωt cos θ f + 2ω2 r s) 2 [ + cos rωt + 37 ( r s) 2ε cos sωt ] sin θ f sin ϕ f }. (4.10)
4.3 Rasijani elektroni Iz izvedenog teorijskog formalizma u prethodnom poglavlju, traºimo izraze za relevantne veli ine amplitude M (1) k. Stacionarni impuls k s, rje²enje jedna ine q S(q, t, τ) = 0, u slu aju bicirkularnog polja ima oblik α(t τ) α(t) k s = = τ = 1 E 2 ω 2 τ 1 {[ sin rφ sin rφ + r 2 ( r s [ + cos rφ + cos rφ + ( r s ) 2ε(cos ]ĵ} sφ cos sφ). ) 2ε(sin sφ sin sφ) ]ˆk+ (4.11) Ovdje smo, uz skra enu oznaku ωt = φ, uveli i oznaku ω(t τ) = φ. Impuls mežustanja dobivamo kao q = k s + A(φ ). Matri ni elementi imaju isti oblik kao i u slu aju direktnih elektrona, uz druga iji izraz za q i zamjenu φ φ. Analogno dobivamo ugao mežustanja projekcijom na koordinatne ose. Kako je najvaºnije razmatrati elektrone u ravni polarizacije (ϕ = ±π/2), izraz za θ dobivamo projekcijom vektora k s + A(φ ) na z osu. Kvadrat razlike stacionarnog i nalnog impulsa dobivamo kao (k s k f ) 2 = k 2 s + k 2 f 2k s k f, gdje je skalarni proizvod dat kao k s k f = 1 E 2 ω 2 τ k {[ ( f r ) 2ε(sin sin rφ sin rφ+ sφ sin sφ)] cos θ r 2 f + s ( r ) 2ε(cos } sφ cos sφ)] sin θ f sin ϕ f. s [ + cos rφ + cos rφ + (4.12) Faza u izrazu za amplitudu M (1) k je { S(k s, t, τ) = τ [ ( ( 2 k2s + E2 r ) 2 ) τ 1 + ε 2 + 4ω 2 r 2 s + 2 r s εsin [(r + s)φ] sin [(r + s)φ ] ] (r + s)ω 38 } + I 0 τ. (4.13)
4.4 Fokalno usrednjavanje Rezultati koje smo do sada dobili vrijede za slu aj kada je intenzitet laserskog zra enja konstantan u prostoru i vremenu. Za tako ksiran intenzitet I, spektar energije elektrona sastoji se od diskretnih pikova na energijama E k = nω I 0 U p, za n = n min, n min + 1,... U cilju usporedbe sa eksperimentalnim rezultatima, moramo uvaºiti injenicu da stvarni intenzitet polja u fokusu nije konstantan. Pretpostavljamo da je prostorno-vremenska raspodjela intenziteta u fokusu Gaussova: ( w0 ) 2e I(ρ, z, t) = I 2ρ2 w(z) 2 (t z/c)2 τ 2 0. (4.14) w(z) U izrazu za raspodjelu intenziteta, w(z) = w 0 (1 + z 2 /z0) 2 1/2 je ²irina snopa, a w 0 radijus fokusa u struku. Oznaka z 0 = w2 0 π je za Rayleigh-ev opseg, λ a τ je duºina trajanja pulsa. Iz izraza za ²irinu snopa, vidi se da je za udaljenosti z < z 0 2 ona gotovo konstantna. Obiljeºimo sa R(I) d4 N broj d 3 rdt osloboženih elektrona u jedinici zapremine i jedinici vremena, uz konstantan intenzitet polja I. Broj osloboženih elektrona unutar zapremine interakcije V i vremenu τ jednak N = d 3 r dt R[I(ρ, z, t)]. V τ Uvodimo integraciju po intenzitetu uz pomo delta funkcije na na in N = d 3 r dt { di R(I)δ I I 0 1 + z 2 /z 2 0 e 2ρ 2 w 0 (z) 2 (1+z 2 /z 0 2 (t z/c)2 ) τ }. 2 Prelaze i u cilindri ne koordinate, koristimo odgovaraju u smjenu varijabli, kao u [24]. Smatraju i da je Rayleigh-ev opseg dosta ve i od atomskog snopa, integral moºemo znatno pojednostaviti. Po²to je R(I) direktno proporcionalan sa diferencijalnom brzinom odvajanja w, prinos elektrona N usrednjen po fokusu je N Imax 0 di ( ln I ) 1/2 max w ki (n)δ(e k + E e a + U p nω). (4.15) I I n Po²to delta funkcija poni²tava integral po I, problem se svodi na ra unanje sume. Za svaku vrijednost impulsa k koji je dozvoljen delta funkcijom, prinos ra unamo kao sumu po n (E k + E e a )/ω. 39
40
Poglavlje 5 Numeri ki rezultati 5.1 Gauss-Legendre-ova kvadratura Newton-Cotesove formule, mežu kojima su dobro poznati metod pravougaonika i trapeza, pribliºno ra unaju integral neke funkcije kao linearnu kombinaciju vrijednosti te funkcije u ravnomjerno razmaknutim ta kama. Odgovaraju im izborom teºinskih koecijenata u navedenoj linearnoj kombinaciji moºe se posti i da, za poznate vrijednosti funkcije u N ta aka, formule daju ta nu vrijednost integrala ukoliko su podintegralne funkcije polinomi stepena N 1 ili niºeg. Ako ta ke u kojima uzimamo vrijednost funkcije nisu ravnomjerno razmaknute, odnosno ako se pozicija ta aka moºe birati, imamo N dodatnih stepena slobode. Mogu e je izborom pozicije N ta aka i odgovaraju ih teºinskih faktora dobiti ta nu vrijednost integrala ukoliko je podintegralna funkcija polinom stepena 2N 1 ili niºeg. Kod formula Gaussovog tipa ta nu vrijednost integrala dobivamo i za podintegralne funkcije oblika proizvoda polinoma stepena manjeg ili jednakog 2N 1 i tzv. teºinske funkcije w(x). Kod kori²tenja formula Gaussovog tipa, pretpostavlja se da se podintegralna funkcija moºe napisati u obliku f(x) = w(x)g(x), gdje je w(x) zadana teºinska funkcija. Zatim se integral ra una preko linearne kombinacije vrijednosti funkcije g(x) (a ne f(x)) u odreženim ta kama datog intervala [30]: b a f(x)dx N α k g(x k ). k=1 Pozicije ta aka (apscise) x k, k = 1,..., N i teºinski koecijenti (teºine) α k, k = 1,..., N zavise od reda formule N kao i od teºinske funkcije. U slu aju kada je teºinska funkcija w(x) = 1, govorimo o Gauss-Legendreovim formulama: b a f(x)dx N α k f(x k ). k=1 41
Nakon izvoženja koje se oslanja na teoriju ortogonalnih polinoma, pokazuje se da teºine i apscise ra unamo pomo u formula x k = a + b + b a 2 2 ξ k, b a α k = (1 ξk 2)P k (ξ k), 2 gdje je k = 1,..., N. P k (x) je Legendreov polinom k-tog reda, a ξ k nule tog polinoma. Pokazuje se da Legendreov polinom k-tog reda ima ta no k nula, te da sve leºe u intervalu od 1 do 1. Slijedi da su svi x k iz navedene formule u intervalu od a do b. Dakle, Gauss-Legendreove formule glase: b a f(x)dx (b a) N k=1 1 (1 ξk 2)P k (ξ k) f(a + b + b a 2 2 2 ξ k). (5.1) Ra unanje nula Legendreovih polinoma nije jednostavno, te se one izra unaju jednom i pamte u nekom vektoru. Isto vrijedi i za odgovaraju e teºinske koecijente. Prednost Gauss-Legendreovih formula je da tipi no rade dobro i za relativno male N. U ovom radu potrebno je numeri ki ra unati integrale po φ za direktne elektrone i po τ za rasijane. Za njihovo ra unanje kori²tena je Gauss-Legendreova integracija. Napisan je program u programskom jeziku C++ koji za odgovaraju e parametre jona i laserskog polja ra una diferencijalnu vjerovatno u odvajanja u jedinici vremena, uz mogu nost fokalnog usrednjavanja i ra unanja po svim uglovima emisije elekrona u ravni polarizacije. 5.2 Spektri direktnih i rasijanih elektrona za uor i brom Svi prora uni u ovom radu su vr²eni za bicirkularno polje odnosa frekvencija 1 : 2. Za talasnu duºinu koja odgovara manjoj frekvenciji lasera je uzeta vrijednost λ = 1800 nm. Intenzitet obje komponentne bicirkularnog polja je I= 10 13 W/cm 2. Razmotrimo prvo odvajanje od jona uora. Na gracima su prikazani logaritmi vjerovatno e odvajanja za energije iz intervala od 0 do 10Up. Primje uje se da direktni elektroni po²tuju simetriju koju ima i dato polje. Iz drugog graka se moºe primijetiti visokoenergetski plato koji odgovara rasijanim elektronima, ali i da elektroni vi²e ne po²tuju istu simetriju. Uporedimo vjerovatno e odvajanja za jone uora i broma razmatraju i elektrone pod uglom od npr. 60 u odnosu na z osu u ravni polarizacije. Moºemo 42
Slika 5.1: Direktni elektroni - uor. Slika 5.2: Direktni+rasijani elektroni - uor. primijetiti da je doprinos rasijanih elektrona za red veli ine ve i u slu aju broma. Obja²njenje je vrlo jednostavno - brom se nalazi dva mjesta ispod uora u Periodnom sistemu elemenata, ²to zna i da je dosta ve i. Slijedi 43
da je i vjerovatno a povratka elektrona mati nom atomu, a samim time i rasijanja na njemu puno ve a. Slika 5.3: Odvajanje od uora pod uglom od 60 u odnosu na z osu. Slika 5.4: Odvajanje od broma pod uglom od 60 u odnosu na z osu. 44
5.3 Simetrije Jedna od najdubljih i najljep²ih ideja sa kojim se student zike susretne je veza izmežu simetrije i zikalnih zakona. Naime, po teoremu matemati arke Emmy Noether iz 1915. godine, svakoj kontinuiranoj simetriji akcije odgovara zakon o uvanja. Tako iz invarijantnosti Lagrangeove funkcije u odnosu na rotacije u prostoru, ²to je osobina npr. gravitacione sile, slijedi zakon o uvanja momenta impulsa, koji je neophodan u izu avanju nebeske mehanike. Sli no, iz invarijantnosti Lagrangeove funkcije u odnosu na translacije u prostoru, odnosno vremenu, slijede zakoni o uvanja impulsa i energije. Od diskretnih simetrija spomenimo parnost, koju samo slaba interakcija ne po- ²tuje, te konjugaciju naboja i inverziju vremena. Kombinacija te tri operacije, po TCP teoremu iz kvantne teorije polja, je egzaktna simetrija svake interakcije. U kvantnoj teoriji polja konstrui²emo Lagranºijane na na in da po²tuju odgovaraju u simetriju, a zatim pomo u tih Lagranºijana dobivamo zikalno mjerljive veli ine: presjek rasijanja i ²irinu raspada. Lagranºijan koji opisuje slobodno Dirac-ovo i elektromagnetno polje, osim ²to je Lorentz invarijantan, posjeduje i globalnu U(1) simetriju, tj. invarijantan je u odnosu na fazne transformacije polja ψ = e iqθ ψ. Zahtjevaju i da Lagranºijan po²tuje i lokalnu U(1) simetriju ψ = e iqθ(x) ψ, u Lagranºijanu se javlja dodatni lan koji opisuje interakciju fotona i fermiona. Taj Lagranºijan opisuje kvantnu elektrodinamiku, trenutno najprecizniju teoriju u zici. Sli no, zahtjevaju i SU(3) simetriju, dobivamo kvantnu hromodinamiku, teoriju koja opisuje mežudjelovanje kvarkova unutar nukleona. Elektromagnetne i slabe interakcije su ujedinjene teorijom koja po²tuje U(1) SU(2) simetriju. Zajedno, te teorije ine Standardni model u zici elementarnih estica. Iz Lagranºijana Standardnog modela bismo mogli zaklju iti da su mase fermiona i gejdº bozona jednake nuli, ²to naravno, osim za foton, nije slu aj. Ono ²to ne dozvoljava da "ru no" dodamo maseni lan u Lagranºijan je naru²enje gauge (gejdº) simetrije teorije. Osim "ljepote" teorije koja po²tuje simetrije, naru²avanjem gejdº simetrije teorija ne bi vi²e bila renormalizabilna i imala bi nerje²iv problem sa divergencijama. Tako da, umjesto da "ru no" naru²avamo simetriju, simetrija se spontano naru²ava na nivou vakuuma. Dakle, ukoliko teorija ima vi²e vakuuma koji pod operacijom simetrije prelaze jedni u druge, sistem mora spontano izabrati jedno od ovih stanja. Ukoliko se globalna simetrija spontano slomi, u spektru se pojavljuju bezmasivne (ktivne) estice - Goldstone-ovi bozoni. S druge strane, spontanim slamanjem lokalne teorije, gejdº polja W ± i Z 0 dobivaju masu ²to je poznato kao Higgsov mehanizam. Taj mehanizam takožer daje efektivnu masu fotonima unutar superprovodnika ²to obja²njava Meisnerov efekt. 45
Slika 5.5: Direktni elektroni - uor. U ovom radu takožer traºimo simetriju u spektru osloboženih elektrona. Direktni elektroni e po²tovati simetriju datog elektri nog polja, dok e naru²enje simetrije odgovarati pojavi rasijanih elektrona. Detaljnija teorijska analiza data je u radu [28]. Naime, rotacija vektora elektri nog polja za odreženi ugao je ekvivalentna translaciji u vremenu. Pokazuje se da su T-matri ni elementi koji opisuju i direktne i rasijane elektrone invarijantni u odnosu na rotacije za ugao α j = 2πjr/(r + s), gdje je j cijeli broj, do na fazni faktor. Slijedi da je diferencijalna vjerovatno a odvajanja invarijantna u odnosu na rotacije za taj ugao. U slu aju polja odnosa frekvencija r : s = 1 : 2, taj ugao je α = 120. Za direktne elektrone postoji i dodatna reeksiona simetrija. Vektorski potencijal, kao i diferencijalna vjerovatno a odvajanja pokazuju reeksionu simetriju oko osa pod uglom β j = α j /2 = jrπ/(r + s), gdje je j cijeli broj. Reeksionu simetriju zikalno moºemo povezati sa inverzijom vremena A(t) = A( t). Kod direktnih elektrona, ista je vjerovatno a odvajanja u trenutku t i trenutku t. Mažutim, kod rasijanja, nije ista vjerovatno a da e se elektron odvojiti u trenutku t a rasijati u trenutku t+τ kao vjerovatno a da se elektron odvoji u trenutku t a rasije u t τ. Da bismo bolje primijetili simetrije u spektru elektrona, predstavili smo diferencijalnu brzinu odvajanja za elektrone detektovane sa odreženim smjerom i intenzitetom impulsa u ravni polarizacije. Logaritam diferencijalne vjerovatno e odvajanja u jedinici vremena predstavljen je bojama. Program Gnuplot je vr²io interpolaciju ina e diskretnog spektra. Inverziju vremena moºemo simulirati zamjenom frekvencija r i s, ²to mijenja spektar rasijanih, ali ne i spektar direktnih elektrona. 46
Slika 5.6: Direktni+rasijani elektroni - uor, r : s = 1 : 2. Slika 5.7: Direktni+rasijani elektroni - uor, r : s = 2 : 1. 47
Slika 5.8: Direktni elektroni - brom. Slika 5.9: Direktni+rasijani elektroni - brom. 48
5.4 Fokalno usrednjeni spektar Predstavljeni su rezultati za jon uora. Detaljnija analiza spektra za odre ene uglove i eventualna pojava zatvaranja kanala (channel-closing e ect) nije razmatrana. Slika 5.10: Direktni elektroni - uor. Prinosi elektrona su dati u logaritamskoj skali. Malo odstupanje od rotacione simetrije (u podru ju visokih energija) i za direktne i rasijane elektrone pripisujemo na inu na koji kori²teni program za crtanje (Octave) interpolira Slika 5.11: Direktni+rasijani elektroni - uor. 49