Univerzitet u Beogradu Elektrotehnički fakultet Katedra za energetske pretvarače i pogone Sinhrone mašine (13E013SIM) Računske vežbe I deo Namotaji SM, indukovana ems, polje pobudnog namotaja, reakcija indukta, reaktanse SM Školska godina 018/019.
Nomenklatura δ širina međugvožđa µ 0 magnetska permeabilnost vakuuma (vazduha) µ r relativna magnetska permeabilnost ν red harmonika Ω mehanička ugaona brzina ω ugaona učestanost (ω = f) Φ fluks po polu/fluks jednog navojka (u zavisnosti od indeksa) Ψ fluks namotaja τ dužina polnog koraka B magnetska indukcija D prečnik rotora mašine E indukovana ems f učestanost F a F f I a I f k d, k q k ν k f1 k pν k tν l m n N f N pr N sec N s N z1 magnetopobudna sila reakcije indukta magnetopobudna sila pobudnog namotaja efektivna vrednost struje indukta efektivna vrednost struje pobudnog namotaja koeficijenti oblika polja reakcije indukta u d i q osi, respektivno rezultantni navojni sačinilac za ν-ti harmonik sačinilac oblika polja pobudnog namotaja pojasni navojni sačinilac za ν-ti harmonik tetivni navojni sačinilac za ν-ti harmonik aksijalna dimenzija (dužina) mašine broj žlebova po polu i fazi statora brzina obrtanja broj navojaka po fazi pobudnog namotaja broj provodnika po fazi broj sekcija po fazi broj navojaka po fazi statora broj provodnika u jednom sloju broj navojaka po sekciji i
N z broj provodnika u jednom žlebu (kod jednoslojnog namotaja N z N z1 ) p broj pari polova Q ukupan broj žlebova q broj faza namotaja statora X a y z reaktansa reakcije indukta navojni korak (izražen pomoću broja žlebova) broj žlebova po polu statora ii
1. Vodena turbina za pogon hidrogeneratora ima optimalnu ekonomičnu brzinu od približno 78 o/min. Odrediti broj polova i najbližu izvodljivu brzinu obrtanja za, sa njom direktno spregnute, sinhrone generatore za učestanost: a) 50 Hz b) 5 Hz c) 60 Hz Rešenje: Relacija koja povezuje brzinu obrtanja i učestanost rada generatora glasi: n = 60f p, Odatle, izraz za broj polova kojim se postiže ekonomična brzina glasi: p = 60f n ek, pri čemu se za broj polova usvaja najbliži ceo paran broj. Za zadate vrednosti učestanosti dobijaju se sledeći rezultati: a) p = 76; n = 79 o/min b) p = 38; n = 79 o/min c) p = 9; n = 78.6 o/min.. Motor predviđen za napon 440 V, 60 Hz, treba priključiti na mrežu učestanosti 50 Hz. Za koji napon te učestanosti će maksimalna vrednost indukcije ostati nepromenjena? Rešenje: Ako se pretpostavi da je napon na krajevima motora blizak indukovanoj elektromotornoj sili, tada važe sledeće relacije: U E ωψ f B m τl fb m. Kako bi se zadržala ista vrednost indukcije pri promenjenoj učestanosti, odnos napona i učestanosti mora ostati konstantan: U 50Hz 50 = U 60Hz 60, pa vrednost napona pri učestanosti od 50 Hz treba da bude jednaka: U 50Hz = 367 V 3. Mali ogledni trofazni četvoropolni SG ima koncentrisani dijametralni namotaj. Svaka sekcija ima 0 navojaka, a svi navojci iste faze vezani su na red. Fluks po polu koji stvara pobudni namotaj na rotoru raspodeljen je sinusoidalno u međugvožđu mašine i ima vrednost od 0.05 Wb. Rotor se obrće brzinom od 1800 o/min. a) Odrediti efektivnu vrednost indukovane ems po fazi. 1
b) Uzmimo da je fazni redosled a, b, c i da je u početnom trenutku fluks kroz fazu a maksimalan. Napisati grupu vremenskih jednačina za tri fazne ems između krajeva a, b, c i neutralne tačke namotaja (sprega zvezda). c) Pod uslovima datim u b), napisati grupu vremenskih jednačina za ems između faza a i b, b i c, c i a. Rešenje: Fluks po polu predstavlja fluks kroz jedan navojak. Ukupan fluks namotaja za koncentrisan dijametralni namotaj (pojasni i tetivni navojni sačinilac jednaki su jedinici) iznosi: Ψ = p N z1 Φ, gde je N z1 broj navojaka po sekciji (u ovom slučaju, po paru polova) generatora, a Φ fluks po polu. a) Vrednost indukovane ems po fazi dobija se iz izraza: Učestanost iznosi f = np 60 E f = f N z1 p }{{} N s Φ = 4.44 fn s Φ = 66.4 V, = 60 Hz. b) Kako je fluks kroz fazu a u trenutku t = 0 maksimalan, to se fluks kroz jedan navojak faze a može izraziti kao: ϕ a (t) = Φ cos ωt Odatle, izraz za vremenski oblik ems u fazi a glasi: e a = dϕ a dt = E f sin ωt = 377 sin 377t. Kako je rečeno da fazne ems čine simetričan sistem direktnog redosleda, to su ems-e u druge dve faze jednake: e b = 377 sin (377t /3), e c = 377 sin (377t + /3). c) Međufazne ems-e dobijaju se jednostavnim oduzimanjem odgovarajućih faznih ems: e ab = 653 sin (377t + /6), e bc = 653 sin (377t /), e ca = 653 sin (377t 5/6). Do istog rezultata se moglo doći ako se ima u vidu da je efektivna vrednost međufazne ems 3 puta veća od efektivne vrednosti fazne ems, kao i da kod trofaznog sistema direktnog redosleda međufazna ems prednjači odgovarajućoj faznoj ems za /6. 4. Trofazni dvopolni sinhroni generator ima na statoru namotaj sa 60 provodnika po fazi čiji je navojni sačinilac 0.9. Rotor generatora okreće se brzinom od 3000 o/min. Pobudni namotaj na rotoru stvara fluks prostoperiodične raspodele u međugvožđu, amplitude 3.76 10 Wb/polu. Odrediti efektivnu vrednost indukovane ems praznog hoda u jednoj fazi.
Rešenje: Indukovana ems može se odrediti na sličan način kao i u prethodnom zadatku: E f =. N pr k 1 fφ, Treba primetiti da ovde, za razliku od prethodnog zadataka, u izrazu za ems figuriše broj provodnika po fazi, a ne broj navojaka, zbog čega se koristi koeficijent.. Takođe, s obzirom na to da je namotaj raspodeljen, za razliku od prethodnog zadatka, u ovom slučaju neophodno je uvrstiti navojni sačinilac u izraz za ems. Učestanost ems, na osnovu date brzine obrtanja i broja polova, iznosi 50 Hz. Efektivna vrednost indukovane ems jednaka je: E f = 30.38 V. 5. Trofazni šesnaestopolni SG sa faznim namotajima spregnutim u zvezdu ima 144 žleba, 10 provodnika po žlebu i namotaj sa punim navojnim korakom. Fluks po polu je 3 10 Wb, sinusnog je oblika i obrće se brzinom od 39.3 rad/s. Odrediti učestanost i vrednosti indukovane ems po fazi i između faza ako su svi provodnici indukta vezani na red. Rešenje: Podaci o namotaju: Q = 144 p = 16 q = 3 N z = 10 Broj žlebova po polu i broj žlebova po polu i broj žlebova po polu i fazi iznose: z = Q p = 9, m = z q = 3. Iz date vrednosti mehaničke brzine može se odrediti učestanost kao: f = p Ω 50 Hz. Pojasni navojni sačinilac za osnovni harmonik jednak je: k p1 = m sin z m sin, z a to je istovremeno i rezultantni navojni sačnilac, jer namotaj ima pun navojni korak, pa je k t1 = 1. Efektivna vrednost fazne ems jednaka je: E f =. ( Q /q N z ) k p1 fφ = 1534.46 V. Primetiti da proizvod Q /q N z predstavlja ukupan broj provodnika po fazi. Međufazna ems jednaka je: E lin = 3 E f = 657.76 V. 3
6. Data je raspodela fluksa u međugvožđu trofazne mašine za naizmeničnu struju koju stvara pobudni namotaj na rotoru: B = 0.9 (sin θ + 0.3 sin 3θ + 0. sin 5θ) T. Rotor se obrće brzinom od 500 o/min. Podaci o namotaju: Q = 108, p = 1, dvoslojni, sprege zvezda, navojni korak y = 8 žlebova, broj provodnika po žlebu N z = 4. Dimenzije mašine: aksijalna dužina l = 1.15 m, prečnik rotora D = 1.5 m. Smatrati da je prečnik rotora približno jednak prečniku statora. Svi navojci jedne faze su vezani na red. Odrediti procentualne vrednosti viših harmonika u odnosu na osnovni, i ukupne efektivne vrednosti elektromotornih sila indukovanih: a) u provodniku, b) u navojku, c) u sekciji, d) u fazi, e) između faza. Rešenje: a) Indukovana ems u provodniku koji se kreće u magnetskom polju data je izrazom: E pr = Blv, gde je l dužina provodnika, a v brzina kretanja provodnika u magnetskom polju. Naravno, ista relacija važi ako se polje kreće, a provodnik miruje. Kako se u analiziranom slučaju ceo talas magnetske indukcije kreće jedinstvenom brzinom, amplituda svakog od harmonika magnetske indukcije preseca provodnik istom brzinom. Stoga, odnosi amplituda pojedinačnih harmonika odgovaraju odnosu amplituda odgovarajućih harmonika polja, tj. indukcije. Kako su pojedinačni harmonici ems prostoperiodične veličine, isti zaključak važi i za njihove efektivne vrednosti: E ν pr E 1 pr = B ν B 1. Procentualne vrednosti pojedinačnih harmonika u odnosu na osnovni iznose: E 3 pr/e 1 pr = 30% E 5 pr/e 1 pr = 0% Efektivna vrednost osnovnog harmonika ems jednaka je: Epr 1 = 1 B 1 l n 30 D }{{ } v = 45 V Efektivna vrednost ukupne ems u provodniku jednaka je korenu iz sume kvadrata harmonika: E pr = (Epr) 1 + (Epr) 3 + (Epr) 5 = 47.8 V b) Ems u jednom navojku jednaka je izvodu magnetskog fluksa kroz navojak, pa se efektivna vrednost ν-tog harmonika može izraziti kao: E ν nav = 1 ω ν Φ ν nav = 1 νω 1 Φ ν nav = νf 1 Φ ν nav = 4.44νf 1 Φ ν nav 4
gde je ω 1 = f 1 = p (n/30) = 314 rad/s ugaona učestanost osnovnog harmonika ems (f 1 = 50 Hz), a f ν i ω ν su učestanost i ugaona učestanost ν-tog harmonika. Fluks kroz navojak može biti manji od fluksa po polu ukoliko navojni korak nije jednak polnom koraku: Φ ν nav = Φ ν k tν. Tetivni navojni sačinilac za ν-ti harmonik dat je izrazom: ( νy ) k tν = sin. z gde je z = Q/(p). Vrednosti tetivnog navojnog sačinioca za razmatrane harmonike date su u tabeli u sledećem primeru. Očigledno, kako bi se odredio odnos harmonika ems, potrebno je poznavati relaciju između fluksa po polu i amplitude magnetske indukcije za ν-ti harmonik: Φ ν = 0 B ν sin(νθ) D ldθ/p = B ν ν Dl p = B ν ν τl U prethodnom izrazu, D je srednji prečnik rotora, l je aksijalna dužina mašine, a τ = D/p dužina luka pod jednim polom. Deljenje sa brojem pari polova pod integralom je posledica činjenice da fluks treba računati integracijom po mehaničkom uglu, a θ koje figuriše u integralu je električni ugao. Iz prethodnog izraza se jasno vidi da je odnos fluksa po polu ν-tog i osnovnog harmonika jednak: Φ ν Φ 1 = B ν νb 1, pa je odnos ν-tog i osnovnog harmonika ems u navojku jednak: E ν = f ν B ν ktν = k tνb ν, E 1 f 1 νb 1 k t1 k t1 B 1 jer je f ν = νf 1. Procentualne vrednosti pojedinačnih harmonika u odnosu na osnovni u konkretnom slučaju jednake su: E 3 nav/e 1 nav = 6.4% E 5 nav/e 1 nav = 13.1% Efektivna vrednost osnovnog harmonika ems u navojku iznosi: E 1 nav = 1 ω 1 k t1 Φ 1 = 56.6 V Primetiti da su skraćenjem navojnog koraka ems viših harmonika umanjene u odnosu na osnovni harmonik. Rezultantna ems navojka jednaka je: E nav = (E 1 nav) + (E 3 nav) + (E 5 nav) 59 V Do istog rezultata se dolazi i ako se ems navojka izračunava kao zbir ems dva provodnika udaljena za jedan navojni korak, tj. žlebova na ugaonim pozicijama θ = 0 i θ = (y/τ): e ν nav = e ν pr,0 + e ν pr,y 5
Primetiti da mala slova označavaju trenutne vrednosti ems. Izraz za vremensku promenu ν-tog harmonika magnetske indukcije na proizvoljnoj ugaonoj poziciji θ u međugvožđu glasi: b ν (θ, t) = B ν sin(νθ + ω ν t) Sada se trenutna vrednost ems u jednom navojku može izraziti kao (znak je posledica činjenice da je provodnik na poziciji (y/τ) suprotnog smera u odnosu na provodnik na poziciji 0): e ν nav = lv (b ν (0, t) b ν ((y/z), t)) [ = lvb ν sin(ω ν t) sin( νy ] z + ω νt) ( = lvb }{{} ν cos ω ν t νy ) ( νy ) sin z z }{{} E ν pr = l ω 1 p = l ω 1 p D }{{} v ( B ν k tν cos ω ν t νy z D ν = νω 1 k tν Φ }{{} ν cos Enav ν ( τl Φ νk tν cos ( ω ν t + νy z k tν ) ω ν t + νy z ) Iz prethodnog izraza je očigledno da se ems navojka može izraziti i na osnovu ems provodnika kao: E ν nav = E ν prk tν Studentima se preporučuje da provere ovo tvrđenje. c) Sekcija ili kanura predstavlja skup redno vezanih navojaka u dva žleba udaljena za jedan navojni korak. S obzirom na to da je u pitanju dvoslojni namotaj, broj provodnika po žlebu koji pripadaju jednoj sekciji je: N z1 = N z = Vrednost N z1 istovremeno predstavlja i broj navojaka koji čine jednu sekciju. S obzirom na to da se svi navojci jedne sekcije nalaze u ista dva žleba, njihove ems su u fazi, pa je ukupna ems sekcije: E sec = N z1 E nav = 117.9 V Naravno, odnosi viših harmonika i osnovnog harmonika isti su kao i za ems navojka. d) Fazni namotaj je sačinjen od većeg broja redno i/ili paralelno vezanih sekcija. S obzirom na ugaoni pomeraj između različitih sekcija, njihove ems su fazno pomerene za ugao koji odgovara električnom pomeraju između sekcija (za posmatrani harmonik). S obzirom na to, fazna ems neće biti jednaka sumi ems redno vezanih sekcija, već će biti nešto manja, što se izražava pomoću pojasnog navojnog sačinioca: k pν = sin ( ) ν m z m sin ( ) ν z ) 6
pri čemu je: z = Q p = 9 m = z q = 3 Detaljnije obrazloženje i izvođenje izraza za pojasni i tetivni navojni sačinilac može se naći u okviru materijala sa predavanja http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/ 019/03/Namotaji_reaktanse.pdf 1. Fazna ems ν-tog harmonika data je izrazom: E ν f = k pν N sec E ν sec = k pν N sec N }{{ z1 E } nav ν N s = k pν N s 4.44νf 1 k tν Φ ν = 4.44N s νf 1 k pν k tν Φ ν = 4.44N s νf 1 k ν Φ ν, gde je N sec broj sekcija po fazi, N s broj navojaka po fazi i k ν rezultantni navojni sačinilac za ν-ti harmonik. Broj sekcija po fazi jednak je: N sec = Q q = 36 pri čemu je broj žlebova Q istovremeno i ukupan broj sekcija za dvoslojni namotaj (za jednoslojni je broj sekcija jednak Q/). Dakle, broj navojaka po fazi je: N s = N sec N z1 = 7 Na osnovu prethodno izvedenog izraza za fluks po polu, dobija se da je odnos ν-tog i osnovnog harmonika fazne ems jednak: E ν f E 1 f = k νb ν k 1 B 1. Vrednosti navojnih sačinilaca za razmatrane harmonike date su u sledećoj tabeli: ν k pν k tν k ν 1 0.9598 0.9848 0.954 3 0.6667-0.8660-0.5774 5 0.176 0.648 0.1398 Procentualne vrednosti pojedinačnih harmonika u odnosu na osnovni u jednake su: E 3 f/e 1 f = 18.3% E 5 f/e 1 f =.96% 1 Postupak opisan u materijalima sa predavanja odnosi se na ems žlebova, dok se ovde istim navojnim sačiniocem množe ems sekcija. S obzirom na to da je ems svake sekcije (navojka) fazno pomerena u odnosu na ems početnog žleba sekcije za isti ugao, vektorski zbir ems sekcija određuje se na isti način kao i vektorski zbir ems žlebova donjeg sloja, samim tim je i vrednost pojasnog navojnog sačinioca ista 7
Efektivna vrednost osnovnog harmonika fazne ems jednaka je: E 1 f = 3909 V a rezultantna ems: E f = (E 1 f) + ( E 3 f ) + ( E 5 f ) = 3976 V Primetiti da su efektivne vrednosti viših harmonika (u odnosu na osnovni) dodatno umanjene u odnosu na ems navojka, što pokazuje povoljne efekte raspodeljenosti namotaja. Treba imati u vidu da raspodeljenost namotaja utiče i na smanjenje osnovnog harmonika, ali je efekat generalno izraženiji kod viših harmonika. e) Efektivne vrednosti harmonika linijske ems jednake su: E 1 lin = 3E 1 f = 6771 V E 3 lin = 0 E 5 lin = 3E 5 f = 00 V Efektivna vrednost rezultantne linijske ems iznosi: E lin = (Elin 1 ) + (Elin 5 ) = 6774 V Treći harmonik nije prisutan u međufaznoj ems, jer tripli harmonici u različitim fazama imaju istu efektivnu vrednost i fazni stav, pa se zbog toga međusobno poništavaju. 7. Promena indukcije u međugvožđu električne mašine data je sa B = B m (sin θ +0.36 sin 3θ 0.40 sin 5θ). a) Izračunati procentualne vrednosti flukseva pojedinačnih harmonika u odnosu na rezultantni fluks. b) Ako je namotaj trofazni dvoslojni, sa 5 žlebova po polu i fazi, navojni korak skraćen za 1/5, a efektivna vrednost ems prvog harmonika jednaka 1, izračunati efektivne vrednosti ems viših harmonika i efektivnu vrednost fazne i međufazne ems pri sprezi zvezda. Rešenje: a) U prethodnom zadatku je pokazano da je: pa je, na osnovu toga: Φ ν Φ 1 = B ν νb 1, Φ 3 Φ 1 = 0.1 Φ 5 Φ 1 = 0.08. Rezultantni (ukupni) fluks namotaja jednak je algebarskoj sumi flukseva pojedinačnih harmonika: Φ rez = Φ 1 + Φ 3 + Φ 5 = 1.04Φ 1. 8
Vrednosti flukseva pojedinačnih harmonika u odnosu na ukupni fluks jednake su: Φ 3 Φ rez = 0.9615 Φ 3 Φ rez = 0.1154 Φ 5 Φ rez = 0.0769. Jako je bitno uzeti u obzir znak fluksa, jer različiti harmonici mogu doprinositi smanjenju ili povećanju ukupnog fluksa! b) Navojni sačinioci za opisani namotaj dati su u tabeli. ν k pν k tν k ν 1 0.9567 0.951 0.9098 3 0.647-0.588-0.381 5 0. 0 0 Pokazano je da je odnos faznih ems ν-tog i osnovnog harmonika Ef ν/e1 f = (k νb ν )/(k 1 B 1 ). Ako se usvoji da je Ef 1 = 1, tada su viši harmonici ems: E 3 f = 0.151 E 5 f = 0 Efektivna vrednost rezultantne fazne ems jednaka je: E f = (Ef 1) + (Ef 3) + (Ef 5) = 1.011, a efektivna vrednost linijske ems: E lin = 3 E 1 f = 1.73. 8. Indukt trofazne osmopolne mašine za naizmeničnu struju, spregnut u zvezdu, za učestanost 60 Hz, ima 4 žleba po polu. Navojni korak je y/τ = 5/6, a svaki navojni deo ima 4 navojka vezana na red. Namotaj je dvoslojni. Promena magnetne indukcije u međugvožđu data je izrazom: B(θ) = B m (sin θ + 0.35 sin 3θ 0.40 sin 5θ), gde je θ ugaono rastojanje u električnim radijanima, mereno od tačke u kojoj je magnetska indukcija jednaka nuli. Mašina je neopterećena, rotor mašine obrće se sinhronom brzinom. Ukupni fluks u međugvožđu mašine je 48 mwb/polu. Odrediti efektivne vrednosti faznih i linijskih napona. Rešenje: Odnos ν-tog i osnovnog harmonika fluksa po polu dat je izrazom: Φ ν Φ 1 = B ν νb 1, pa su vrednosti trećeg i petog harmonika fluksa izražene preko osnovnog harmonika: Φ 3 = 1 /3 0.35Φ 1 = 0.117Φ 1 ; Φ 5 = 1 /3 ( 0.4)Φ 1 = 0.08Φ 1. 9
Ukupni fluks jednak je algebarskoj sumi harmonika: odakle je: Izraz za ν-ti harmonik fazne ems glasi: Φ rez = Φ 1 + Φ 3 + Φ 5 = 1.037Φ 1, Φ 1 = 46.3 mwb; Φ 3 = 5.41 mwb; Φ 5 = 3.7 mwb. E ν = 4.44 k ν N s νfφ ν, Broj navojaka po fazi statorskog namotaja jednak je: N s = N sec N z1 = Q q N z1 = 19 3 4 = 56 Podsetnik: veličina N z1 predstavlja broj navojaka po navojnom delu (sekciji/kanuri). Ukupan broj provodnika u jednom žlebu je N z = N z1 = 8. Navojni sačinioci za ν-ti harmonik dati su izrazima: k pν = sin ( ) ν m z m sin ν ; z ( k tν = sin ν y ). z Broj žlebova po polu i fazi jednak je m = z/q = 8. Vrednosti sačinilaca su date u sledećoj tabeli: ν k pν k tν k ν 1 0.956 0.966 0.93 3 0.641-0.707 0.453 5 0.195 0.59 0.05 Vrednosti harmonika fazne ems jednake su: E 1 = 914.45 V; E 3 = 501.40 V; E 5 = 63.08 V. 9. Polje koje stvara cilindrični induktor sinhrone mašine ima trapezni oblik kao na slici. a) Za koje vrednosti ugla β će peti harmonik indukcije u međugvožđu biti jednak nuli? Izračunati vrednosti osnovnog harmonika indukcije za te vrednosti ugla. b) Za manju od dve dobijene vrednosti β odrediti potrebnu vrednost pobudne struje tako da osnovni harmonik indukcije u međugvožđu bude 0.8 T. Mašina je dvopolna, pobudni namotaj ima N f = 30 navojaka, širina međugvožđa je δ = mm. Rešenje: 10
B B m β 90 0 180 0 θ Slika 1: Raspodela polja u međugvožđu mašine, 8. zadatak a) Kako bi se odredio harmonijski sadržaj trapeznog talasa magnetske indukcije, potrebno je razviti ovaj talasni oblik u Furijeov red. Prema definiciji, izraz za ν-ti harmonik funkcije B(θ) sa periodom glasi: B ν = 1 B(θ) sin(νθ)dθ. Kako je funkcija neparna u datom koordinatnom sistemu, kosinusni članovi reda jednaki su nuli. Dati izraz se može dodatno pojednostaviti ako se uoči da je funkcija simetrična u odnosu na polovinu periode (θ = 0), kao i da je simetrična u odnosu na četvrtinu periode (θ = ±/): B ν = 4 0 B(θ) sin(νθ)dθ = 4 [ β 0 B m θ ] β sin(νθ)dθ + B m sin(νθ)dθ. β Nakon kraćeg izvođenja, dobija se izraz za amplitudu ν-tog harmonika magnetske indukcije: B ν = 4 sin(νβ) ν β B m, ν = 1, 3, 5,... Dobijeni izraz važi samo za neparne harmonike indukcije, dok su parni harmonici jednaki nuli. Ovo je posledica simetrije funkcije u odnosu na četvrtinu periode. Peti harmonik će biti jednak nuli kada je ispunjeno sin(νβ) = 0. Vrednosti ugla za koje je ovo moguće postići iznose: β 1 = 36, β = 7. Vrednost osnovnog harmonika magnetske indukcije za ove dve vrednosti ugla iznosi: B (1) 1 = 1.19B m, B () 1 = 0.96B m. b) Trapezni oblik talasa magnetske indukcije ima se kod mašina sa cilindričnim rotorom i raspodeljenim pobudnim namotajem (pogledati materijale sa predavanja: http://epp. etf.rs/wp/wp-content/uploads/019/03/namotaji_reaktanse.pdf). U tom slučaju, maksimalna vrednost pobudne mps po polu data je izrazom: F fm = N fi f p 11
Pod pretpostavkom da je µ F e µ 0, maksimalna vrednost indukcije u međugvožđu jednaka je: B m = µ 0F fm δ gde je δ dužina međugvožđa. Kako je maksimalna vrednost osnovnog harmonika indukcije: B 1 = 4 sin νβ ν β B m = 4 sin νβ µ 0 N f I f ν β pδ potrebna vrednost pobudne struje iznosi: I f = pδ β 1 B 1 = 67.8 A 4µ 0 N f sin β 1 10. Polje koje stvara induktor sinhrone mašine sa isturenim polovima ima pravougaoni oblik kao na slici ako je međugvožđe pod polom konstantne širine. a) Za koje vrednosti ugla β će vrednost petog, odnosno sedmog harmonika indukcije u međugvožđu biti jednaka nuli? b) Za β = 30 odrediti potrebnu vrednost pobudne struje tako da osnovni harmonik indukcije u međugvožđu bude 0.8 T. Mašina je tridesetopolna, pobudni namotaj ima ukupno N f = 360 redno vezanih navojaka, širina međugvožđa je δ = 8 mm. B B m β 90 0 180 0 θ Rešenje: Slika : Raspodela polja u međugvožđu mašine, 9. zadatak a) Izraz za ν-ti harmonik magnetske indukcije glasi: B ν = 4 0 B(θ) sin(νθ)dθ = B ν = 4 β B m sin(νθ)dθ = 4 B m ν cos(νβ). Uslov da peti, odnosno sedmi, harmonik magnetske indukcije budu jednaki nuli svodi se na: B 5 = 0 cos(5β) = 0 β = 18 β = 54 ; B 7 = 0 cos(7β) = 0 β = 13 β = 39. b) Maksimalna vrednost mps po polu data je izrazom: F fm = N fi f p 1
Pod pretpostavkom da je µ F e µ 0, maksimalna vrednost indukcije u međugvožđu jednaka je: B m = µ 0F fm δ gde je δ dužina međugvožđa. Kako je maksimalna vrednost osnovnog harmonika indukcije: potrebna vrednost pobudne struje iznosi: B 1 = 4 cos βb m = 4 cos β µ 0N f I f pδ I f = pδ 1 4µ 0 N f cos β B 1 = 385 A 11. Ako je indukcija u međugvožđu sinhrone mašine predstavljena trapeznom krivom kao na slici, odrediti amplitude 1, 3, 5 i 7. harmonika magnetske indukcije u odnosu na B m. B B m β=30 0 90 0 180 0 θ Slika 3: Raspodela polja u međugvožđu mašine, 10. zadatak Rešenje: Na osnovu izraza za ν-ti harmonik indukcije izvedenog u 9. zadatku, dobijaju se sledeće vrednosti za tražene harmonike: B 3 = 4 sin(3/6) 9 /6 B m = 1.16B m ; B 3 = 4 sin(3/6) 9 /6 B m = 0.70B m ; B 5 = 4 sin(5/6) 5 /6 B m = 0.049B m ; B 7 = 4 sin(7/6) 49 /6 B m = 0.05B m. Primetiti da se trapeznom raspodelom postiže jako dobro slabljenje viših harmonika, jer im amplituda opada sa kvadratom reda harmonika. 1. Odrediti amplitude traženih harmonika krive indukcije iz prethodnog zadatka za β = 0, tj. za pravougaoni oblik polja. Rešenje: Harmonijski sastav pravougaonog talasa magnetske indukcije mogao bi se odrediti tako što će se ponoviti procedura prikazana u 9. i 10. zadatku. Međutim, kako pravougaona raspodela predstavlja granični slučaj trapezne raspodele za β = 0, jednostavnije 13
je izraz za ν-ti harmonik odrediti kao: 4 sin(νβ) B ν = lim β 0 ν β B m = 4 1 ν B sin νβ m lim = 4 β 0 νβ ν B m. Amplitude traženih harmonika iznose: B 1 = 4 B m = 1.73B m ; B 3 = 4 3 B m = 0.44B m ; B 5 = 4 5 B m = 0.55B m ; B 7 = 4 7 B m = 0.18B m. Pravougaona raspodela polja je manje povoljna od trapezne, jer viši harmonici polja relativno malo opadaju sa povećanjem reda harmonika, dok je osnovni harmonik neznatno veći nego u slučaju trapezne raspodele. 13. Odrediti amplitude traženih harmonika krive indukcije iz 10. zadatka za β = 90, tj. za trougaoni oblik polja. Rešenje: Trougaona raspodela predstavlja granični slučaj trapezne raspodele za β = 90. Izraz za ν-ti harmonik dobija se kao: 4 sin(νβ) B ν = lim β / ν β B m = 8 ν sin ν B m = ( 1) ν 1 8 ν B m (ν = 1, 3, 5,... ) Amplitude traženih harmonika iznose: B 1 = 8 B m = 0.811B m ; B 3 = 8 9 B m = 0.091B m ; B 5 = 4 5 B m = 0.03B m ; B 7 = 4 7 B m = 0.016B m. Kod pravougaone raspodele viši harmonici opadaju sa kvadratom reda harmonika. Međutim, osnovni harmonik je takođe značajno oslabljen. Zbog toga nije preporučljivo raspoređivati pobudni namotaj duž celog obima induktora, već samo duž jednog njegovog dela. Na ovaj način se postiže trapezna raspodela polja, koju odlikuju velika vrednost osnovnog i značajno slabljenje viših harmonika polja. 14. Trofazni hidrogenerator ima sledeće podatke: p = 96, m =, y = 5, N s = 96 navojaka po fazi, D = 1.9 m, l = 1.5 m, δ = mm, relativna širina pola rotora α = 0.733. Odrediti: a) Koeficijente oblika polja reakcije indukta k d i k q. 14
b) Vrednosti reaktansi u d i q osi za učestanost od 50 Hz. Zanemariti zasićenje u mašini. Rešenje: a) Osnovni harmonik mps reakcije indukta u d i q osi dat je izrazom istog oblika: F ad1 = k 1 q 4 F aq1 = k 1 q 4 N s I d p N s I q p gde je k 1 rezultantni navojni sačinilac za osnovni harmonik (z = 6, m =, y = 5): k 1 = k p1 k t1 = 0.933 S obzirom na promenljiv magnetski otpor u d i q osi usled anizotroponosti rotora, osnovni harmonik magnetske indukcije ne može da se izrazi prosto kao µ 0 F/δ, već je potrebno složenoperiodični talas magnetske indukcije razviti u Furijeov red. Nakon izvođenja koje je dato u materijalima sa predavanja (http://epp.etf.rs/wp/wp-content/ uploads/019/03/namotaji_reaktanse.pdf), dobijaju se sledeći izrazi za osnovni harmonik magnetske indukcije u d i q osi: B ad1 = B aq1 = α + sin α µ 0 F ad1 δ α sin α µ 0 F aq1 δ Dakle, koeficijenti oblika polja jednaki su: = k d µ 0 F ad1 δ = k q µ 0 F aq1 δ k d = k q = α + sin α α sin α = 0.970 = 0.496 b) Kada je poznata raspodela osnovnog harmonika indukcije koju stvara reakcija indukta, može se odrediti ems faznog namotaja koja odgovara datoj amplitudi osnovnog harmonika indukcije (ems reakcije indukta), u skladu sa postupkom opisanim u 6. zadatku: E ad = 4.44k 1 f 1 N s Φ ad1 = 4.44k 1 f 1 N s Dl p B ad1 = 4.44k 1 f 1 N s Dl p B ad1 E aq = 4.44k 1 f 1 N s Φ aq1 = 4.44k 1 f 1 N s Dl p B aq1 S druge strane, ems reakcije indukta može se izraziti kao proizvod reaktanse reakcije indukta i struje indukta u odgovarajućoj osi: (*) E ad = X ad I d E aq = X aq I q (**) 15
Izjednačavanjem izraza (*) i (**) i zamenom izraza za mps u izraze za osnovne harmonike indukcije, dobijaju se izrazi za reaktanse reakcije indukta po d i q osi: X ad = qf µ 0Dl δ X aq = qf µ 0Dl δ N s k 1 p N s k 1 p k d = 1.1 Ω k q = 0.579 Ω Reaktanse reakcije indukta u d i q osi daju vezu između struje indukta i vrednosti fluksa u međugvožđu koji ta struja stvara, tj. ems namotaja koja odgovara tom fluksu. NAPOMENA: Reaktansa reakcije indukta mašine sa cilindričnim rotorom izračunava se na isti način, s tim što je kod njih, zbog konstantnog međugvožđa, k d = k q = 1. 15. Trofazna dvopolna mašina ima rotor sa stalnim magnetima od Nd-Fe-B. Gustina remanentnog fluksa magneta je B r = 1.1 T, a relativna magnetska permeabilnost u radnom području je µ r = 1.05. Dužina međugvožđa pod polovima (između površine magneta i unutrašnje površine statora) je δ = 0.5 mm. Površina magneta jednaka je /3 površine pola rotora. Odrediti: a) Potrebnu debljinu stalnih magneta kako bi gustina fluksa pod polovima bila 1 T. b) Amplitudu osnovnog harmonika mps koju stvaraju stalni magneti. c) Vrednosti koeficijenata oblika polja k d i k q ako su magneti utisnuti u jezgro rotora (za potrebe ovog proračuna, magnete tretirati kao vazduh, tj. smatrati da je µ r = 1). Rešenje: a) Pod pretpostavkom da µ F e, primenom Amperovog zakona na konturu C (slika 4) dobija se: H m l m + H δ δ = 0 Indukcija stalnog magneta može se izraziti u funkciji jačine polja kao: B m = B r + µ 0 µ r H m = H m = B m B r µ 0 µ r (< 0) Sada se prvi izraz može formulisati kao: B m B r µ 0 µ r l m + B δ µ 0 δ = 0 (*) Kako je, prema zakonu o konzervaciji magnetskog fluksa, i uz zanemarivanje rasipanja linija magnetskog polja na krajevima magneta (smatra se da postoji samo radijalna komponenta polja), B m = B δ, dalje se ima da je: ( lm B δ + δ ) µ 0 µ r µ 0 = B r l m µ 0 µ r to jest: B δ = B rl m l m + µ r δ 16
Slika 4: Poprečni presek PMSM sa stalnim magnetima na površini rotora Konačno, dobija se da je za traženu vrednost indukcije B δ = 1 T potrebna debljina Nd-Fe-B magneta: l m = µ rb δ δ = 5.5 mm B r B δ NAPOMENA 1: Mašina sa površinski montiranim magnetima je uzeta kao primer, ali se isto razmatranje odnosi i na mašinu sa utisnutim magnetima. NAPOMENA : Različiti tipovi magneta imaju različite vrednosti remanentne indukcije i permeabilnosti, pa bi u slučaju upotrebe drugog tipa magneta bila potrebna i drugačija debljina magneta. b) Ekvivalentna mps stalnih magneta predstavlja ukupan pad magnetskog napona u magnetima i vazduhu usled indukcije B δ : što je, na osnovu *: F P M = B δ µ r µ 0 l m + B δ µ 0 δ F P M = B rl m µ 0 µ r Stalni magneti stvaraju polje čija gustina fluksa ima istu raspodelu kao gustina fluksa mašine sa pobudnim namotajem i isturenim polovima u 10. zadatku, pa je izraz za osnovni harmonik mps: F P M1 = 4 cos β Brl m µ 0 µ r = 486 A nav ( β = 1 /3 = ) 6 c) Sinhrone mašine sa stalnim magnetima (Permanent Magnet Synchronous Machine PMSM) izvode se tako što su magneti montirani u d osi na površini rotora (Surface Permanent Magnet Synchronous Machine SPMSM), u d osi utisnuti u jezgro rotora (Interior Permanent Magnet Synchronous Machine IPMSM), ili sa magnetima montiranim u q osi i utisnutim u jezgro rotora. Prva dva navedena tipa konstrukcije prikazani su na slici 5. 17
q d δ q d δ N h PM N h PM S S S S N μ Fe N μ Fe N μ Fe N μ Fe S S S S N N Slika 5: Tipovi konstrukcije sinhrone mašine sa stalnim magnetima: SPMSM (levo) i IPMSM (desno) SPMSM ima približno isti magnetski otpor u d i q osi, te se sa aspekta reakcije indukta može tretirati slično kao mašina sa cilindričnim rotorom (X ad X aq ), k d = k q = 1. IPMSM ima različite magnetske otpore u d i q osi, tako da je kod nje X ad X aq i k d < 1, k q < 1. Koeficijenti oblika k d i k q izračunavaju se na sličan način kao u 14. zadatku, s tim što je ovde situacija u pogledu magnetskih otpora u d i q osi obrnuta magnetska indukcija u d osi kod IPMSM ima isti talasni oblik kao magnetska indukcija u q osi kod SM sa pobudnim namotajem i isturenim polovima, i obrnuto. Raspodela osnovnog harmonika mps reakcije indukta i odgovarajućeg osnovnog harmonika magnetske indukcije u d i q osi prikazane su na slici 6. Na osnovu datih raspodela i izraza za koeficijente oblika date u 14. zadatku, može se zaključiti da su izrazi za koeficijente oblika kod IPMSM: ( α) sin( α) (1 α) sin α k d = = = 0.058 ( α) + sin( α) (1 α) + sin α k q = = = 0.609 B(θ) B(θ) B ad1 - -/ / F ad1 θ - -/ / F aq1 Baq1 θ - μ 0 q α d μ 0 μ 0 μ Fe α q d μ 0 μ 0 μ Fe (a) (b) Slika 6: Raspodela polja u d i q osi kod IPMSM 18
Dakle, za razliku od mašine sa pobudnim namotajem i isturenim polovima, kod mašine sa utisnutim magnetima je X d < X q. Kada se znaju koeficijenti oblika polja, reaktanse reakcije indukta u d i q osi se, uz poznate podatke o namotaju, mogu izračunati kao: X ad = k d X a X aq = k q X a gde je X a reaktansa reakcije indukta koja bi se imala kod mašine sa cilindričnim rotorom i međugvožđem dužine δ. 16. Trofazni sinhroni turbogenerator sa podacima: MVA, 1000 V, 50 Hz, p =, ima 60 žlebova na statoru i 100 navojaka po fazi pobudni namotaj sa 500 navojaka na rotoru. Pri tome, na rotoru su žlebovi popunjeni namotajem raspoređeni na /3 polnog koraka. Odrediti pobudnu struju koja je potrebna da bi se kompenzovala reakcija indukta statora ako generator daje u mrežu 70% nominalne snage uz induktivan sačinilac snage jednak nuli. Statorski namotaj ima pun korak motanja (y = τ). Rešenje: Parametri statorskog i pobudnog namotaja: Q 1 = 60 broj žlebova na statoru; N s = 100 broj navojaka po fazi statora; N f = 500 broj navojaka pobudnog namotaja. Potrebno je odrediti kolika je pobudna struja potrebna kako bi se generisao osnovni harmonik pobudnog fluksa jednak osnovnom harmoniku fluksa reakcije indukta. Dakle, treba da bude zadovoljen uslov: Φ f1 = Φ a1, Kako je rotor cilindričan, tj. međugvožđe konstantno, ovaj uslov se može zameniti jednakošću magnetopobudnih sila: F f1 = F a1, s obzirom na to da je F = Φ/R µ, a magnetski otpor R µ je konstantan duž obima mašine. Kompenzacija reakcije indukta podrazumeva zadavanje pobudne struje koja će obezbediti da rezultantni fluks u mašini, tj. u među gvožđu, ostane jednak onom koji se imao kada je generator bio neopterećen, čime se održava konstantan napon na krajevima generatora. Osnovni harmonik mps indukta po polu dat je izrazom: F a1 = q 4 k1 N s I a. p Vrednost pojasnog navojnog sačinioca namotaja indukta za osnovni harmonik jednaka je: ms sin z k 1 = s sin = 0.9567, z s Osnovni prostorni harmonik mps indukta u funkciji efektivne vrednosti struje indukta dat je sa: F a1 = 19.I a. 19
Osnovni harmonik pobudne mps dat je izrazom: F f1 = k f1 NfI f p. Svi parametri koji figurišu u datom izrazu su poznati, osim sačinioca oblika polja pobudnog namotaja k f1. Sačinilac oblika polja turbogeneratora izveden je u 9. zadatku: k f1 = 4 sin β β Na osnovu podatka da su žlebovi raspoređeni na /3 pola, može se zaključiti da je: β = 3 = 3 pa je sačinilac oblika polja pobudnog namotaja: k f1 = 4 sin 3 /3 = 1.053. Konačno, dobija se izraz za pobudnu mps u funkciji pobudne struje: F f1 = 63.5I f. Vrednost pobudne struje koja kompenzuje reakciju indukta dobija se izjednačavanjem mps: F f1e = F a1 = I fe = q 4 k 1 N s I a = 0.4903Ia. k f1 N f Struja indukta se može odrediti na osnovu prividne snage: pa je potrebna vrednost pobudne struje: I a = 0.7 S n = 808.9 A, 3Un I fe = 396.7 A. 17. Trofazni sinhroni hidrogenerator sa podacima: 11 MVA, 15.75 kv, 50 Hz, p = 4, ima 756 žlebova na statoru i 84 redno vezana navojka po fazi. Generator na rotoru ima 18 navojaka po polu. Odrediti ekvivalentnu mps i struju pobudnog namotaja koja je potrebna da bi se kompenzovala reakcija indukta u d i q osi, pri nominalnoj vrednosti struje indukta. Korak motanja statorskog namotaja je y = 8 žlebova. Odnos širine polnog nastavka rotora i polnog koraka iznosi α = 0.7. Rešenje: Parametri statorskog i pobudnog namotaja: Q = 756 broj žlebova statora; z = Q/(p) = 9 broj žlebova statora po polu; m = z/q = 3 broj žlebova statora po polu i fazi; N s = 84 broj redno vezanih navojaka po fazi statora; 0
N f,p = 18 broj navojaka po polu pobudnog namotaja. Potrebno je odrediti kolika je pobudna mps potrebna kako bi se generisao osnovni harmonik fluksa koji je jednak osnovnom harmoniku fluksa koji stvara nominalna struja indukta u d, odnosno q osi. U 14. zadatku pokazano je da amplitude osnovnog harmonika gustine fluksa (indukcije) koji stvara struja u uzdužnoj i poprečnoj osi iznose: gde su k d i k q sačinioci oblika polja koji iznose: B ad1 = k d µ 0 δ F ad1, (*) B aq1 = k q µ 0 δ F aq1, (**) α + sin α k d = = 0.965 α sin α k q = = 0.475 Nominalna vrednost fazne struje jednaka je I n = S n /( 3U n ) = 7735 A. Osnovni harmonici mps u d i q osi pri nominalnoj vrednosti struje su međusobno jednaki i iznose: F ad1 (I d = I n ) = F aq1 (I q = I n ) = k 1 q 4 N s I n p = 19.75 ka nav gde je k 1 = 0.945 navojni sačinilac za osnovni harmonik koji se jednostavno izračunava na osnovu datih podataka o statorskom namotaju. Ekvivalentna mps pobudnog namotaja koja odgovara reakciji indukta po d i q osi, tj. mps reakcije indukta po d i q osi svedena na pobudni namotaj, određuje se iz uslova jednakosti osnovnih harmonika gustine fluksa. Amplituda osnovnog harmonika gustine fluksa koju stvara pobudni namotaj data je u funkciji mps pobudnog namotaja kao (pogledati materijale sa predavanja): B f1 = µ 0 δ F f1 = µ 0 δ k f1f f, (***) gde je k f1 koeficijent oblika polja pobudnog namotaja, koji je za konstrukciju rotora sa isturenim polovima koja odgovara hidrogeneratoru dat kao: 4 ( α ) sin = 1.15 Sa F f je označena ukupna mps po polu pobudnog namotaja, koja iznosi: F f = N f p I f = N f,p I f, gde je N f ukupan broj navojaka pobudnog namotaja, a N f,p ranije definisan broj navojaka po polu. Sada se ekvivalentne vrednosti pobudne mps, tj. vrednosti mps reakcije indukta po d i q osi mogu odrediti izjednačavanjem izraza (***) sa (*) i (**), respektivno: B fed = B ad1 B feq = B aq1 = F fed = k d k f1 F ad1 = 16.54 ka nav = F feq = k q k f1 F aq1 = 8.14 ka nav 1
Konačno, na osnovu izraza za pobudnu mps, mogu se odrediti i odgovarajuće vrednosti ekvivalentne pobudne struje: I fed = F fed N f,p = 919 A I feq = F feq N f,p = 45 A