Da bismo došli do alorima kojim se jednoznačno ormira ra linearno elekrično kola, bez obzira na karakerisike njeovih elemenaa i posojanje počenih uslova, deinisaćemo eneralisanu (sandardizovanu) ranu u obliku prikazanom na Slici. Koncep eneralisane rane kola, kao šo ćemo vidjei, u mnoim slučajevima omoućava da se redukuje red sisema jednačina sanja. Prilikom cranja raa meže, eneralisanu ranu predsavljaćemo kao šo je prikazano na Slici 2. Radi jednosavnosi kasnije zapisivanja maričnih jednačina poodno je ranu orijenisai ako da njen smjer odovara reerennom smjeru napona na posmaranom prisupu eneralisanoj rani. U I U Z I Slika. Generalisana rana. I U Slika 2. Grana raa koja odovara eneralisanoj rani. Sa Slike možemo primijeii da za eneralisanu ranu važi: U U Z ( I I ) (.) I I Y ( U U ) (.2) Ukoliko svaku ranu kola ekvivaleniramo eneralisanom ranom, a zaim sa u () označimo vekor napona eneralisanih rana, sa i () vekor sruja eneralisanih rana, sa u vekor napona naponskih eneraora koji se nalaze u eneralisanim ranama, a sa i vekor sruja srujnih eneraora koji se nalaze u eneralisanim ranama, važe sledeće jednačine: u( ) u( ) Z( D) i( ) i( ) (.) i( ) i( ) Y( D) u( ) u( ) (.)
dje su Z( D) i Y( D) marice operaorskih impedansi i admiansi rana. Ove marice su bxb kvadrane marice reda. Ako kolo ne sadrži indukivno sprenue elemene ili konrolisane izvore, onda su i dijaonalne marice, a elemeni po dijaonali Z( D) Y( D) odovaraju odnosima napona I sruja, odnosno sruja i napona pojedinih rana, respekivno. Ukoliko oraničimo analizu na kola sa opornicima, kalemovima, kondezaorima i indukivno sprenuim kolima, maricu impedansi popunjavamo na osnovu sledećih relacija napon-sruja. ) Za pasivnu ranu: 2) Za ranu sa kalemom: ) Za ranu sa kondezaorom: ) Za indukivno sprenuu ranu k: u ( ) R i ( ) (.5) k k k dik uk k (.6) d uk( ) ik( ) d C (.7) k di ( ) di ( ) u (.8) d k l k () k kl d l, k; lk Sa drue srane, prilikom određivanja marice admiansi ineresuje nas relacija sruja-napon: ) Za pasivnu ranu: i ( ) G u ( ) (.9) k k k pri čemu je G k provodnos rane k. 2) Za ranu sa kalemom: ) Za ranu sa kondezaorom: ik( ) uk( ) d (.) k duk ik Ck (.) d ) Za indukivno sprenuu ranu k, relaciju sruja-napon dobijamo na osnovu (.8): i ( ) u ( ) d i ( ) (.2) k k kl l k k l, k; lk
Ukoliko je rana k sprenua sa samo jednom ranom l: Kada uvrsimo izaz sa sruju Odnosno: il i ( ) u ( ) d i ( ) (.) kl k k l k k dobijamo: i ( ) u ( ) d ( u ( ) d i ( )) kl kl k k l k k k l l (.) ( ) i ( ) u ( ) d u ( ) d 2 lk kl k k l l k k k k (.5) Na osnovu prehodne jednačine konačno dolazimo do relacije koja povezuje sruju rane k sa naponom e rane i naponom indukivno sprenue rane l: i ( ) u ( ) d u ( ) d l kl k 2 k 2 l k l lk k k lk Ovu jednačinu korisićemo u skraćenom zapisu: Gdje je: (.6) i ( ) u ( ) d u ( ) d k k k kl l (.7) k l 2 k l lk (.8) kl kl 2 k k lk (.9) Ukoliko u kolu imamo dinamičke elemene (kalemove i kondezaore) sa akumulisanom enerijom, neophodno je prilikom rešavanja kola uzei u obzir uicaj počenih uslova, j. vrijednosi sruje kalema i ( ) I, odnosno napona kondezaora u ( ) U l o c o neposredno prije dejsva pobude. Jedan od načina na koji se ovo može posići je uvođenje operaorskih šema za kalemove i kondezaore u kolu. Na Slici. Prikazane su operaorske šeme kondezaora čiji je napon neposredno prije pobude kola u renuku = iznosio u ( ) U c o. Šeme su izvedene iz izraza za napon: u( ) i( ) d i( ) d i( ) d U h( ) i( ) d C C C C (.2) iz koje sruju kodenzaora možemo izrazii na sledeći način: o ( ) ( ) ( ) i( ) CU dh du o C CUo ( ) C du (.2) d d d
Slika. Operaorska šema kondezaora. Operaorske šeme kalema prikazane su na Slici i izvode se na sličan način: - Slika. Operaorska šema kalema. i( ) u( ) d u( ) d u( ) d I h( ) u( ) d (.22) o ( ) ( ) ( ) u( ) I dh di o Io ( ) di (.2) d d d Meod nezavisnih sruja Poznao je da je alebarska suma napona rana osnovnih konura jednaka nuli. U usaljenom prosoperiodičnom režimu ovaj sisem od m b c jednačina ima oblik: B u (.2) Uvršavanjem vrijednosi za napone rana iz jednačine (.) dobijamo: B Z( D) i( ) B u ( ) Z( D) i ( ) (.25) Sruje rana se mou izrazii preko sruja osnovnih konura: i( ) B i ( ) (.26) pa imamo: B Z( D) B i ( ) B u ( ) Z( D) i ( ) (.27) ili: Z i V (.28) m
Marica: Z B Z( D) B (.29) m se naziva marica impedansi konura. Za pasivnu recipročnu mrežu, marica impedansi konura je simerična. Vekor: V B u ( ) Z( D) i ( ) (.) je vekor ekvivalennih naponskih izvora konura. Elemene marice impedansi konura mouće je inerpreirai na sledeći način. Svaki elemen na lavnoj dijaonali je suma impedansi rana koje pripadaju odovarajućoj konuri, s im šo je porebno obraii pažnju na indukivno sprenue rane. Svaki elemen koji ne pripada lavnoj dijaonali jednak je sumi impedansi u ranama koje su zajedničke odovarajućim konurama, sa predznakom plus ako se orijenacije konura u zajedničkoj rani podudaraju, a sa predznakom minus ako se orijenacije konura u zajedničkoj rani ne podudaraju. Sa drue srane, elemeni vekora V su alebarske sume napona naponskih eneraora (uključujući i evenenove eneraore) u odovarajućoj konuri, sa reerennim smjerovima izabranim ako da budu usalašeni sa orijenacijom konure. Meod nezavisnih napona Poznao je da je alebarski zbir sruja svih rana presjeka jednak nuli, pa se o može zapisai kao: Qa i( ) (.) Pošo je ran popune marice presjeka jednak n = c, odnosno, ranu marice osnovnih presjeka, dovoljno je posmarai sisem od n jednačina: Q i( ) (.2) Uvršavanjem vrijednosi za sruje rane iz jednačine (.) dobijamo: QY( D) u( ) Q i ( ) Y ( D) u ( ) (.) Naponi rana raa se mou izrazii preko napona rana sabla: u( ) Q u ( ) (.) Sada je: QY ( D) Q u ( ) Q i ( ) Y ( D) u ( ) (.5) Odnosno: Y u J (.6)
Marica: Y Q Y( D) Q (.7) se naziva marica admiansi lavnih presjeka. Elemeni marice admiansi lavnih presjeka se mou inerpreirai na sledeći naćin. Vrijednosi elemenaa na lavnoj dijaonali su jednake sumi admiansi svih rana koje pripadaju posmaranom presjeku. Elemeni koji se ne nalaze na lavnoj dijaonali su jednaki plus ili minus admiansi rane koja je zajednička za dva posmarana presjeka. Znak plus se korisi kada je orijenacija rane podudarna sa orijenacijama oba presjeka, a minus u supronom. Vekor: J Q i ( ) Y ( D) u ( ) (.8) se naziva vekor ekvivalennih srujnih eneraora osnovnih presjeka. Vrijednosi elemenaa ovo vekora su alebarske sume srujnih eneraora, uključujući i ekvivalenne Noronove eneraore, u ranama koje pripadaju odovarajućem presjeku sa reerennim smjerom koji odovara orijenaciji presjeka. Meod poencijala čvorova Alebarska suma sruja rana u svakom čvoru kola je prema prvom Kirhohovom zakonu jednaka nuli. U usaljenom prosoperiodičnom režimu ovaj sisem od c jednačina se može napisai u obliku: dje je A a Aa i( ) (.9) popuna marica incidencija. Pošo je ran popune marice incidencija jednak n = c, jednačine u ovom sisemu nisu linearno nezavisne. Ako jedan čvor u kolu izaberemo za reerenni, jednačine po prvom Kirhohovom zakonu za osale čvorove su linearno nezavisne: Ai( ) (.) U jedančini (.) A je marica incidencija za nezavisne (nereerenne) čvorove u kolu. Uvršavanjem vrijednosi za sruje rana iz jednačine (.) dobija se: AY ( D) u( ) A i( ) Y ( D) u( ) (.) Naponi rana raa se mou izrazii preko poencijala čvorova: u( ) A v( ) (.2) dje je v () vekor poencijala nezavisnih čvorova u odnosu na odabrani reerenni čvor. Sada je: ili: Marica AY( D) A v( ) A i( ) Y( D) u( ) (.) Y v() J (.) n
Yn A Y ( D) A (.5) se naziva marica admiansi čvorova. Elemeni marice admiansi čvorova se mou inerpreirai na sledeći način. Vrijednosi elemenaa na lavnoj dijaonali su jednake sumi admiansi svih rana incidennih odovarajućem čvoru. Elemeni koji se ne nalaze na lavnoj dijaonali su jednaki neaivnoj admiansi rane koja se nalazi izmedu dva čvora. Vekor: J A i ( ) Y ( D) u ( ) (.6) se naziva vekor ekvivalennih srujnih eneraora čvorova. Vrijednosi elemenaa ovo vekora su alebarske sume srujnih eneraora, uključujući i ekvivalenne Noronove eneraore, u ranama incidennim odovarajućem čvoru, sa reerennim smjerom izabranim prema čvoru. Pomjeranje naponsko i srujno eneraora Prilikom izbora rana raa posebnu pažnju reba posveii idealnim naponskim i srujnim eneraorima. Pošo je u rani određenoj idealnim eneraorom napon ili sruja eneraora poznaa velčina, ukoliko se idealni eneraori posmaraju kao zasebne eneralisane rane, nije mouće usposavii vezu izmedu napona i sruje posmarane rane, šo je neophodno za deinisanje marice impedansi odnono admiansi kola. Zbo oa u ra nećemo dodavai rane odeređene idealnim eneraorima već ćemo ransormisai kolo ako da rana bude određena rednom vezom idealno naponsko eneraora i pasivno elemena, odnosno, paralelnom vezom idealno srujno eneraora i pasivno elemena. U slučaju da u kolu iuriše idealni naponski eneraor, mouće a je premjesii u rane koje se spajaju u čvoru u koji je spojen jedan od njeovih priključaka, pri čemu se priključci ranije pozicije idealno naponsko eneraora krako spajaju. Ova ransormacija rezuluje ekvivalennim kolom jer će jednačine dobijene primjenom KZN bii nepromijenjene. Sa drue srane, u rezulujućem kolu je svaki idealni naponski eneraor redno vezan sa nekim pasivnim elemenom šo omoućava da se odredi veza izmedu napona i sruje odovarajuće rane raa. Analono, idealni srujni eneraor je mouće premjesii paralelno svim ranama koje sa polaznom pozicijom idealno srujno eneraora čine konuru, pri čemu se polazni priključci srujno eneraora osavljaju ovoreni. Dobijeno kolo je ekvivalenno polaznom jer će jednačine dobijene primjenom KZS bii nepromijenjene, ali će paralelno svakom idealnom srujnom eneraoru bii vezan jedan pasivni elemen. šo omoućava da se odredi veza izmedu napona i sruje odovarajuće rane. Ove ransormacije se nazivaju pomjeranje naponsko, odnosno, srujno eneraora, respekivno. Na Slici 5 da je primjer kola koje je porebno ransormisai pomjeranjem naponskih i srujnih eneraora. R C u u R C R R2 C u R R2 C u C2 i C2 i i Slika 5. Pomjeranje naponskih i srujnih eneraora.
ZADACI. Za kolo prikazano na slici izvesi jednačine napona osnovnih presjeka u operaorskom obliku. Poznao je da je. u ( ) U c o G 2 * * i 2 u i G2 C2 u () c G2 Rešenje: Uicaj počenih uslova uzećemo u obzir korišćenjem operaorske šeme za kondezaor. akođe rasormisaćemo kolo ako da nema naponskih eneraora. 2 2 * * 2 i i G i G2 C2 C2 U o G i ( ) u ( ) G h( ) Gra kola: b = 5 rana 2 b c 2 c = čvora broj rana sabla: n = c = ={b,c,d} a d e
Q b c d a e Marica admiansi kola: b c d a e D 2D 2D 2 D Y ( D) G G G2 C2D Vekori napona sabla, naponskih i srujnih eneraora rana, redom: ub u( ) uc( ) ; ud u ( ) ; i i ( ) i ( ) h( ) C2U o Pri čemu je i ( ) G u ( ). d Do konačno rešenja dolazimo korišćenjem jednačine (.5): D 2D 2D 2 D Q Y ( D) G G G2 C2D D 2D G 2D 2 D ( G2 C2D) G G G2 C2D
D 2D G Zm Q Y ( D) Q 2D 2 D ( G2 C2D) G G G2 C2D G D 2D G 2D G2 2 D C2D ( G2 C2D) G ( G2 C2D) G G G2 C2D i Gud( ) Gu ( ) h( ) J Q i ( ) C2U o ( ) i ( ) h( ) Gu ( ) h( ) C2U o ( ) CUo Kako je Y u J, dolazimo do konačno sisema jednačina: G D 2D G u () ( ) ( ) ( ) b G ud G u h 2D G2 2 D CD ( G2 C2D) uc( ) C2U o ( ) u ( ) G u ( ) h( ) C U ( ) G ( G2 CD) G G G2 C2D d 2 o 2. Za mrežu sa slike izvesi jednačine nazavisnih sruja u operaorskom obliku. Poznai parameri su: R, C,, C, R2, 2, k i veličine u ( ) c e( ), i ( ), i ( ) i.. 2 u ( ) C. R C - R2 k * * e() C 2
Rešenje: R C ( u ) ( ) C h R2 k 2 * * e() ( i ) ( ) h C 2 ( i ) ( ) 2 h b 2 2 d a c e b = 5 rana c = čvora broj rana sabla: n = c = 2 ={b, d} B b d a c e Marica impedansi kola: b d a c e R2 CD ( ) D 2D 2D 2D Z D R CD
Do rešenja dolazimo na osnovu jednačine: B Z( D) B i ( ) B u ( ) Z( D) i ( ) Odnosno: Z i V m Marica impedansi konrura i vekor ekvivalennih naponskih izvora konura dobijaju se prema jednačinama: Z B Z( D) B m V B u ( ) Z( D) i ( ) R2 CD B Z( D) R CD D 2D D 2 2 D R CD CD D 2D CD R2 2D 2D CD R CD CD Zm B Z( D) B D 2D CD R2 2D 2D CD R C D C D C D C D D 2D CD CD CD 2D 2D R2 CD CD CD
Vekor naponskih eneraora, vekor srujnih eneraora i vecor sruja spojnica, redom: u( ) e( ) uc ( ) h( ) ; i ( ) ; i ( ) h( ) i ( ) h( ) 2 ia i ( ) ic( ) ie e( ) u ( ) c h( ) B u ( ) e( ) uc ( ) h( ) R CD CD B Z( D) i ( ) D D i ( ) i ( ) 2 2 ( ) i ( ) 2 i ( ) 2 2 ( ) Konačno rešenje: 2 CD i ( ) h( ) R2 2D 2D CD i ( ) h( ) 2 Z i V m R C D C D C D C D i () ( ) c( ) ( ) a e u h D 2D ic ( ) i ( ) i ( ) 2 2 ( ) CD CD CD ie i ( ) 2 i ( ) 2 2 ( ) 2D 2D R 2 CD CD CD
. Dao je kolo prema šemi. Poznai su svi parameri kola, i 2 2 u i počeni uslovi i ( ) I, ( ) I i ( u ) c U. Izvesi sisem jednačina poencijala čvorova u operaorskom obliku. G G2 2 G 2 C u c ( ) u G Rešenje: Uicaj počenih uslova uzećemo u obzir korišćenjem operaorskih šema za kalemove i kondezaor. G I h() 2 G2 2 2 G I h() 2 C CU u ( ) h( ) G 5
Gra kola: e b 2 a b = 7 rana c = 5 čvorova broj nezavisnih čvorova: n = c = d c 5 Uzećemo da je čvor 5 reerenni čvor, pa je marica nezavisnih čvorova: a b c d e c 2 A c c c Operaorska marica admiansi rana kola: a b c d e D 2D 2D 2 D G Y ( D) G G2 G CD
Pri čemu je: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vekori nezavisnih naponskih i srujnih izvora: u( ) u( ) h( ) ; i Ih() I2h() ( ) CU a b c d e Jednačine poencijala čvorova dobijamo iz sledeće marične jednačine: AY( D) A v( ) A i( ) Y( D) u( ) Ili: Y v() J n dje je v () vekor poencijala nezavisnih čvorova: v v2() v () v() v()
D 2D 2D 2 D G AY ( D) G G2 G CD G G2 G ( 2) D ( 2 2) D G2 2D 2D G CD D 2D G G G G 2 ( 2) D ( 2 2) D G2 2D 2D G CD D 2D G 2 2 G2 G2 ( 2 2 2) D ( 2 2) D ( 2) D G ( 2 2) D 2D G CD 2D ( 2) D 2D G D Y AY ( D) A n G G G G G Ih() I2h() ( I I2) h( ) Ai ( ) I2h( ) CU ( ) Ih() CU
G G G 2 ( 2) D ( 2 2) D G2 2D 2D G CD D 2D G AY ( D) u ( ) u ( ) h( ) Gu ( ) h( ) Gu ( ) h( ) ( I I2) h( ) J A i ( ) Y ( D) u ( ) I2h( ) CU ( ) Ih() Sisem jednačina poencijala nezavisnih čvorova u operaorskom obliku: G2 G G G2 G v Gu ( ) h( ) 2 2 ( 2 2 2) ( 2 2) ( 2) v2 G G D D D ( I I2) h( ) G ( 2 2) D 2D G CD 2D v() I2h() CU ( 2) D 2D G D v() Ih(). Formirai sisem jednačina napona osnovnih presjeka u operaorskom obliku za kolo prema šemi. Poznai su svi paramri kola, i i počeni uslovi i ( ) I i u ( ) U. 2 c5 G 2 2 i C5 u ( ) c5 G C6
Rešenje: Uicaj počenih uslova uzećemo u obzir korišćenjem operaorskih šema za kalem i kondezaor. G 2 2 2 i C U 5 () C5 G I h() C6 Gra kola: d a b 2 2 b = 6 rana e c = čvorova broj rana sabla: n = c = c ={a,b,c} Marica osnovnih presjeka: Q a b c d e 2
Marica admiansi rana u operaorskom obliku: a b c d e D 2D 2D 2 D G Y( D) G CD 5 CD 6 Sisem jednačina napona osnovnih presjeka u operaorskom obliku je: QY ( D) Q u ( ) Q i ( ) Y ( D) u ( ) Na osnovu vrijednosi vekora nezavisnih naponskih i srujnih izvora: u ( ) ; i Ih() i ( ) h( ) C5U ( ) dolazimo do sisema jednačina: G C5D D G 2D C5D ua i ( ) h( ) C5U ( ) G 2D G C6D 2D C6D ub( ) Ih( ) C D C D G C D C Du i ( ) h( ) C U ( ) 5 6 5 6 c 5 ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2