Zakoni sačuvanja količine gibanja i enegije Zakon sačuvanja količine gibanja Poatajo sustav od dvije ili više čestica ase,, 3... Čestice unuta sustava ogu djelovati jedna na dugu tzv. unutašnji silaa, a tijela izvan sustava ogu djelovati na sustav tzv. vanjski silaa. Ako nea vanjskih sila, ili se njihova djelovanja eđusobno oništavaju tako da i je ezultanta nula, kažeo da je sustav izolian ili zatvoen. Pokazat ćeo da za izoliani sustav vijedi zakon sačuvanja količine gibanja. Zaislio sustav od dvije čestice ase i koje se centalno i elastično sudae. SLIKA: ZAKON OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA ZA SUSTAV OD DVIJE ČESTICE Kulišić slika 3.7. st. 48. Bzine čestica ije sudaa označio s v i v, a nakon sudaa s v ' i Za vijee sudaa koji taje vlo katko, čestice djeluju jedna na dugu silaa.pea 3. Newtonovo zakonu, sila kojo va čestica djeluje na dugu F, jednaka je o iznosu, a suotna o sjeu sili F, kojo duga čestica djeluje na vu: F = F v '. Količina gibanja ve čestice ije sudaa je v, a nakon sudaa je ojena količine gibanja jednaka je iljeno iulsu sile I : I = v ' v v '. Nastala Slično vijedi i za dugu česticu: količina gibanja duge čestice ije sudaa je v, nakon sudaa je v ', a nastala ojena količine gibanja jednaka je iljeno iulsu sile I : I = v' v Zbog 3. Newtonovog zakona su i iljeni iulsi sile jednaki o iznosu, a suotnog sjea:
I = I Slijedi: v v = ( v ' ) Odnosno: ' v v ' + v = v ' + v Na lijevoj stani iao ukunu količinu gibanja sustava ije sudaa, a na desnoj stani ukunu količinu gibanja sustava nakon sudaa. Pi sudau se količina gibanja tog zatvoenog sustava od dvije čestice nije oijenila. Taj zaključak ožeo ošiiti na izoliani sustav od oizvoljnog boja čestica. Pea. Newtonovo zakonu, za izoliani sustav od n čestica iao: F u d d = Funut + Fvanj = ( + + 3 +... + n ) = dt dt Za izoliani sustav je: F vanj = 0 Unutašnje sile se o 3. Newtonovo zakonu u aovia oništavaju: F + F 0 Odnosno: F ij F = 0 + ji d Slijedi da je: u = 0 dt u = Odnosno: n u ivi = konst = i= Ukuna količina gibanja zatvoenog sustava konstantna je bez obzia na to kakvi se ocesi i eđudjelovanje događaju u sustavu. To je zakon sačuvanja količine gibanja. Zakon sačuvanja količine gibanja je jedan od najvažnijih zakona u fizici koji vijedi za sve zatvoene (izoliane) sustave, bez izuzetka. On oistječe iz hoogenosti ostoa, tj. iz činjenice da sve točke ostoa iaju jednake osobine. Peda je izveden iz Newtonovih zakona, on je oćenitiji od njih te vijedi i onda kad se oni ne ogu iijeniti.
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA GIBANJE RAKETE Raketa je ojektil koji se giba tako da izbacuje čestice užaenog lina. Izgaanje goiva azvijaju se, naie, linovi koji izlaze koz laznice akete veliko bzino koja doseže i do 3000 /s. Uz goivo aketa sadži i sedstvo za izgaanje goiva te joj nije oteban kisik iz atosfee i ože se gibati i u zakoazno ostou. Izgaanje goiva nastaju linovi koji tlače stijenke akete te zbog tog tlaka linovi izlaze veliko bzino koz laznicu na stažnje dijelu akete. Što je veća sila kojo se izbacuju linovi (akcija), to je veća i eakcija na suotno kaju akete, odnosno to je veća akceleacija akete. Raketu, dakle, okeće otisak F koji djeluje na zatvoeno kaju (veličina akete iskazuje se otisko). SLIKA: RAKETA Kulišić slika 3.8. st.50 Masa akete neestano se sanjuje zbog izgaanja goiva. Za ačunanje akceleacije i bzine akete vo oao izačunati ovećanje bzine akete dv zbog izbacivanja ase linova d bzino v u odnosu na aketu. Petostavio da se aketa nalazi daleko od sveiskih tijela i da na nju ne djeluje gavitacija ni duge vanjske sile. U to slučaju su aketa i odukti izgaanja izoliani (zatvoeni) sustav u koje je sačuvana ukuna količina gibanja. 3
Zakon sačuvanja ukune količine gibanja ožeo naisati u obliku: ukuno = aketa + linovi = konst Ako je u tenutku t asa akete, a v bzina s obzio na laboatoijski sustav u koje oatao gibanje, tada je ukuna količina gibanja akete i goiva v. Zbog izbačenog izgojelog goiva ase d, asa akete u tenutku (t+dt) je ( - d ), dok je bzina akete ( v + v ). Pi to linovi izlaze iz akete bzino v u odnosu na aketu, odnosno bzino ( v + v ) u odnosu na laboatoijski sustav. Ukuna količina gibanja sustava (aketa+goivo, odnosno linovi) u tenutku (t+dt) je: ( d )( v + dv) + d ( v + v ) Zakon sačuvanja količine gibanja daje sljedeće: v = ( d )( v + dv) + d ( v + v ) Sad to iznožio: v = v + dv d v d dv + d v + d v Nakon seđivanja izaza, uz to da su d i zaneaiv d dv, dobijeo: dv ale veličine a je i njihov unožak dv + d v = 0 Pojena bzine akete je: dv = d v Ovdje je: v - bzina izbacivanja čestica lina (koja je konstantna) d - asa izbačenog lina - asa akete u tenutku kad joj je bzina v Pojena ase akete d jednaka je o iznosu asi izbačenih linova, ali je negativnog edznaka je se asa akete sanjuje: d = d Pojena bzine akete je onda: d dv = v Sad je d ojena ase akete. Sve odijelio s dt i dobijeo akceleaciju akete: 4
d dv = v / : dt dv v a = = dt d dt Sve onožio s i dobijeo silu koja okeće aketu otisak akete unutašnja sila koja nastaje izbacivanje linova iz akete i koja ubzava aketu: a dv = dt = v d dt = F Ako na aketu djeluju vanjske sile F vanj, n. gavitacija, jednadžba gibanja glasi: dv dt = F vanj + v d dt Da biso dobili bzinu v, oao integiati jednadžbu d dv = v i dobijeo: v dv = v0 0 v d Rezultat je: 0 v = v0 v ln U skalano obliku: 0 v = v0 + v ln Ovdje je 0 očetna, a konačna asa akete. Paziti na edznak: ako je +x-os u sjeu gibanja akete, tada je v x = v, v 0x =v 0 i v x = -v. Konačna bzina akete ovisi lineano o bzini izbacivanja linova i o iodno logaitu ojea očetne i konačne ase. 5
Zakon sačuvanja enegije Enegija se ojavljuje u azličiti oblicia i ože se etvaati iz jednog oblika u dugi no u izoliano sustavu je zboj enegija uvijek konstantan. To je zakon sačuvanja ukune enegije. Pogledat ćeo ije sačuvanja ukune ehaničke enegije slobodni ad. SLIKA: MEHANIČKA ENERGIJA PRI SLOBODNOM PADU Kulišić slika 4.9. st. 70. Tijelo ase se očetno nalazi na visini h i iuje: otencijalna enegija u je E = gh, a kinetička enegija E k = 0 (je je bzina jednaka 0). Ukuna ehanička enegija je E = E + E = gh + 0 gh. k =. Kada tijelo, slobodno adajući, evali ut s, otencijalna u je enegija v E = g(h s), a kinetička E k = = ( gs). Ukuna ehanička enegija je E = E + Ek = g(h s) + gs = gh gs + gs = gh. 3. U tenutku kad tijelo adne na tlo otencijalna enegija je 0, E = 0, bzina tijela ea jednadžbaa za slobodni ad iznosi v = gh i kinetička enegija je v E k = = ( gh) = gh = gh. Ukuna ehanička enegija je E = E + E = 0 + gh gh. k = 6
Vidio da je u svakoj točki utanje slobodnog ada zboj kinetičke i otencijalne enegije konstantan: ukuna ehanička enegija je sačuvana: E E + E = konst = k Iz iskustva znao da se dio ehaničke enegije često zbog tenja etvaa u duge, neehaničke oblike enegije (unuašnja enegija). Tako se i adanju tijela u zaku dio ehaničke enegije toši na svladavanje sile otoa zaka, a u to slučaju više ne vijedi elacija o sačuvanju ukune ehaničke enegije. N. vučeo li tijelo uz kosinu neko vanjsko silo F', tada je ad vanjske sile: W ' = Ek + E Wt = E E W t Ovdje je W t ad sile tenja, koji je uvijek negativan, a E i E ukuna ehanička enegija u oložaju i. U ti i nogi dugi slučajevia ehanička enegija nije očuvana. Zakon očuvanja ehaničke enegije vijedi onda kad su ad sile tenja (disiativne sile) i ad vanjskih sila (nekozevativnih sila) jednaki 0, tj. kad su sve sile, koje djeluju na sustav, konzevativne. Oćenito: kada na česticu djeluju sao konzevativne sile, ukuna ehanička enegija čestice je očuvana. Zbog toga sile koje iaju otencijalnu enegiju zoveo konzevativnia (od latinskog consevae sačuvati, odžati). Međuti, ako osi konzevativnih sila F k djeluje i sila tenja F t i neke duge nekonzevativne sile F', tada je ukuni ad svi sila jednak ojeni kinetičke enegije: W + W + W ' = E k t k W k ad što ga izvše konzevativne sile W t ad sile tenja W' ad nekih dugih nekonzevativnih sila (n. ad vanjske sile i gibanju tijela uz kosinu) Zaijenio li ad konzevativne sile ojeno otencijalne enegije dobijeo: Ek + E = Wt + W ' W k = E, Ovo je jedan od načina isanja zakona sačuvanja ukune enegije: ukuna enegija se ne ože uništiti niti ni iz čega stvoiti, ona se ože sao etvaati iz jednog oblika u dugi. Zakon sačuvanja ehaničke enegije izveden je iz Newtonovih aksioa i ože se koistiti za ješavanje aznih oblea u ehanici. 7
8
Sudai: elastičan i neelastičan saz Sudae dviju čestica ćeo oatati kao ije ijene zakona sačuvanja količine gibanja i enegije. Do sudaa dolazi kad dvije čestice (ili dva sustava čestica), ibližavajući jedna dugoj, eđusobno djeluju i tie oijene svoje gibanje. Pi sudau ne oa uvijek doći do fizičkog kontakta eđu tijelia kao kod n. akoskoskog sudaa dviju kuglica; kad se oton ibližava jezgi, odbojne Coulobove sile ijenjaju u utanju i oton se otkloni ije nego što dotakne jezgu. Poatat ćeo centalni suda, tj. kad se čestice ije i nakon sudaa gibaju o isto avcu. Petostavljao da nea vanjskih sila, odnosno da se sve vanjske sile uavnotežuju (što znači da i je ezultanta jednaka 0), tako da je sustav izolian. Čestice jedna na dugu eđusobno djeluju za vijee sudaa unutašnji silaa F i F, i čeu je ea 3. Newtonovo zakonu: F = F Za takav sustav vijedi zakon sačuvanja količine gibanja a je ukuna količina gibanja ije sudaa jednaka ukunoj količini gibanja nakon sudaa: 9
= ' + ' + Ovdje su i količine gibanja čestica ije sudaa, a čestica nakon sudaa. ' i ' količine gibanja Suda ože biti savšeno elastičan, savšeno neelastičan i djeloično elastičan. Ako je suda savšeno elastičan, tijela se nakon sudaa vaćaju u vobitan oblik, otencijalna enegija elastične defoacije, nastala iliko sudaa tijela, onovo elazi u kinetičku enegiju, i tijela se azilaze tako da i je ukuna kinetička enegija nakon sudaa jednaka ukunoj kinetičkoj enegiji ije sudaa. Za savšeno elastičan suda dva akoskoska tijela oaju biti savšeno kuta tako da ne dožive nikakvu defoaciju, ili savšeno elastična tako da unutašnja otencijalna enegija sustava bude jednaka ije i nakon sudaa. Pi savšeno neelastično sudau ne nastaje otencijalna enegija defoacije već se tijela nakon sudaa, slijeljena gibaju zajedno kao jedno tijelo, ili iuju. Pi takvo sudau kinetička enegija se djeloično ili otuno etvaa u unutašnju enegiju (otencijalnu i kinetičku enegiju teičkog gibanja olekula) te se i takvi sudaia tijela zagiju. U neelastični sudaia je sačuvana ukuna količina gibanja, ali ukuna ehanička enegija nije je se jedan njezin dio etvoio u neehanički oblik enegije. Većina akoskoskih sudaa su djeloično elastični. 0
SAVRŠENO ELASTIČAN SUDAR Poatat ćeo centalni, savšeno elastični suda dviju kuglica, tj. suda i koje bzine obiju kuglica leže na isto avcu nositelju koji olazi sedište obiju kuglica. Dvije kuglice ase i, i bzine v i v sudaaju se elastično i nakon sudaa iaju bzine v ' i v '. SLIKA: CENTRALNI ELASTIČNI SUDAR Kulišić slika 4.. st. 74 Ovaj sustav je izolian za vijee čitavog ocesa i na kuglice ne djeluju vanjske sile, tj. zboj vanjskih sila je 0. Slijedi da vijedi zakon sačuvanja količine gibanja: v + v = v ' + v' ije sudaa nakon sudaa Budući je suda savšeno elastičan, ukuna kinetička enegija ije i nakon sudaa je ista: v + v = v ' + v' Nakon seđivanja jednadžba je: ( v v ' ) = ( v ' ) v Odnosno: v v ')( v + v ') = ( v v ')( v + ') ( v Zakon sačuvanja količine gibanja naišio u dugo obliku: v v ') = ( v ') To uvstio u einačeni zakon sačuvanja kinetičke enegije i dobijeo: v v')( v + v' v v ') = 0 ( ( v Budući su i centalno sudau bzine kolineani vektoi, ovaj uvjet je isunjen sao ako je jedan od faktoa jednak 0. Ako je vi fakto ( v v' ) jednak 0, bzine se nisu ijenjale te se nije dogodio ni suda a to ne dolazi u obzi. Dakle, dugi fakto iščezava:
v + v' v v ') = 0 ( Odnosno: v v = v ' ') ( v Relativna bzina iicanja kuglica ije sudaa jednaka je o iznosu, ali suotnog sjea elativnoj bzini odicanja kuglica nakon sudaa. Relativne bzine su oijenile sao sje, a ne i iznos. Bzine kuglica nakon sudaa su onda: ( v ' = ) v + v + ( v ' = ) v + v + Posebni slučajevi:. U slučaju kad je = kugle jednostavno zaijene bzine v ' = v i v ' = v. Ako duga kugla iuje ( v = 0), tada je i v ' = 0, a v ' = v ; nakon sudaa va kugla stane dok duga odleti bzino koju je ije sudaa iala va kugla.. U slučaju kad je <<, ( v = 0), tj. kad savšeno elastična kugla ase i bzine v udaa u vlo veliku kuglu ili savšeno elastični zid. Slijedi da je v ' = v, tj. kugla se odbija jednako bzino kojo je došla, a zid i to dobije iuls sile v. Zid ne dobije nikakvu enegiju je kugla iliko sudaa ne ijenja enegiju. Ukuna ojena količine gibanja kugle je v. 3. U slučaju kad je >>, ( v = 0), tj. kad vlo velika kugla ase udai u kuglicu koja iuje. Pi to se bzina velike kugle vlo alo oijeni dok lagana kuglica odleti bzino uta većo od bzine uadne kugle.
3
4
SAVRŠENO NEELASTIČAN SUDAR Pi savšeno neelastično sudau kuglice se nakon sudaa defoiaju, slijee i zajedno gibaju bzino v ' = v' = ' v Pi to sudau kinetička enegija nije sačuvana, tj. jedan njezin dio se utoši na ojenu unutašnje enegije. Pišeo zakon sačuvanja količine gibanja: v + v = ( + ) ' Odakle je onda bzina nakon sudaa: v v' = + v + v Kinetička enegija se iliko sudaa sanjuje, a unutašnja enegija se za isti iznos oveća. Ukuna kinetička enegija ije sudaa je: E k = v + v Ukuna kinetička enegija nakon sudaa je: E k ' = ( + ) v' Razlika izeđu konačne i očetne kinetičke enegije je Q-vijednost sudaa: Q = E k E k ' Pi savšeno elastično sudau E k = E k ', a je Q vijednost jednaka 0. Pi savšeno neelastično sudau Q < 0 i iznosi: ( v v) Q = ( + ) Veličina (-Q) je ojena unutašnje enegije sustava i i neelastično sudau je ozitivna veličina. 5
Posebni slučajevi:. U slučaju kad se dvije kuglice jednake ase = sudae, bzina nakon sudaa v bit će jednaka olovici vektoskog zboja bzina ije sudaa ' + v v =. Ako je ije sudaa jedna kugla iovala, tada obje kugle iljubljene zajedno nastave v gibanje bzino v ' =. Ako su se ije sudaa kugle gibale jedna ea dugoj jednako bzino v = v, tada nakon sudaa obje kugle stanu, tj. v '= 0.. U slučaju kad je <<, v = 0, slijedi da je v '= 0, tj. kad kugla od gline adne na tlo, ondje i ostane. Kada koad željeza na nakovnju udaao čekiće, kinetička enegija čekića etvaa se u enegiju defoacije koada željeza i u unutašnju enegiju, i željezo se zagijava. 6
FAKTOR RESTITUCIJE Fakto estitucije i izavno centalno sudau dvaju tijela jednak je ojeu elativnih bzina nakon i ije sudaa: k = v v v ' v' Za savšeno elastičan suda k =, za savšeno neelastičan suda k = 0, a za djeloično elastičan suda 0 < k <. 7