Logika i logičko zaključivanje Vježbe iz umjetne inteligencije Matko Bošnjak, 2010
Logika rvog reda
FOL sintaksa Konstante elementi domene (sku elemenata nad kojim se izvodi zaključivanje) 42, Mirko, PMF, klada,... Funkcije reslikavaju jedan ili više elemenata domene u isti taj sku DioTijela, KorijenOd,... Predikati reslikavaju jedan ili više elemenata domene u vrijednost istinitosti T ili Predak, Tata, Jeftin, Zelen,... JEDNAKOST, = Obično uključena kao rimitivni redikat ili se mora aksiomatizirati kao relacija identiteta Varijable mogu orimiti bilo koju vrijednost iz domene x, y, z, č,... Oeratori oeratori oznati iz roozicijske logike,,,, Kvantifikatori omogućavaju tvrdnje o čitavim skuovima objekata (bez otrebe za enumeracijom kao u PL),
FOL wff Izraz je: varijabla konstanta n-arna (mjesna) funkcija f(t 1,..., t n ), n 1 ništa više nije izraz wff je: konstanta T ili redikat P rimjenjen na jedan ili više izraza ako su P i Q formule, onda su to i: ( P) (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) x P x P
FOL univerzalni kvantifikator Univerzalni kvantifikator Prirodni oerator: imlikacija Svaki čovjek je razuman, svi ljudi su razumni Za svaki objekt x iz domene (D={Marko, Ivan, auto,...}) vrijedi: ako je čovjek, tada je razuman x(čovjek(x) Razuman(x)) ( Samo su ljudi razumni - x(razuman(x) Čovjek(x)) ) Dokaz sustitucijom: - odrazumijeva konjunkciju formula (Čovjek(Marko) Razuman(Marko)) (Čovjek(Ivan) Razuman(Ivan)) (Čovjek(auto) Razuman(auto))... Čitava formula je istinita! Ukoliko je formula neistinita, ostoji čovjek koji nije razuman Marko je čovjek, Marko jest razuman...auto nije čovjek...ali to ne tvrdi ništa o njegovoj razumnosti...zato što nije čovjek Dakle imamo zaključak da su razumni samo oni koji jesu ljudi...samo za te objekte se to tvrdi... Konjunkcija je rejaka, ako okušamo s konjunkcijom umjesto imlikacijom... Za svaki objekt x iz domene vrijedi: x je čovjek i x je razuman (za sve što ostoji vrijedi da je i čovjek i razuman) x(čovjek(x) Razuman(x)) x=auto čini formulu neistinitom!
FOL egzistencijalni kvantifikator Egzistencijalni kvantifikator Prirodni oerator: konjunkcija Neki ljudi nose šešire Postoji barem jedan element domene za koji vrijedi da je taj element čovjek i da nosi šešir x (Čovjek(x) NosiŠešir(x)) Dokaz sustitucijom: odrazumijeva disjunkciju (Čovjek(Marko) NosiŠešir(Marko)) (Čovjek(Ivan) NosiŠešir(Ivan)) (Čovjek(frižider) NosiŠešir(frižider))... Čitava formula je istinita čim se ojavi jedan element domene koji zadovoljava formulu Imlikacija je reslaba, ako okušamo s imlikacijom umjesto s konjunkcijom... x (Čovjek(x) NosiŠešir(x)) Sustitucija... Čovjek(kamen), čitava imlikacija istinita!!, čitava formula istinita... Takva rečenica ne govori uno jer je istinita čim je jedna remisa imlikacije neistinita I kakvu nam informaciju daje takva rečenica??...nikakvu
FOL zadatak ZADATAK 1. Pretvoriti dane rečenice u FOL formule. a) Tko radi taj i griješi b) Ne ostoje studenti odlikaši koji ne uče. c) Svatko voli nekog mizantroa. (Svatko voli nekog tko ne voli nikog). d) Metallica je najbolji bend na svijetu. e) Na svakoj tramvajskoj stanici čekaju barem 2 utnika. f) (Definiraj aran broj) (Definiraj rost broj) Goldbachova slutnja: Svaki arni broj veći od 2 se može rikazati kao suma dvaju rostih/rim brojeva
FOL tablica ekvivalencija...službeni šalabahter
FOL ravila zaključivanja za kvantifikatore...službeni šalabahter
FOL rezolucija Za dvije disjunkcije roizvoljnog broja literala, ako se jedan od literala j unificira s negacijom literala q k tada izvedi jednu disjunkciju sastavljenu od svih reostalih literala očetnih disjunkcija. SUBST( Θ,(... 1 q 1 q 2 2...... q UNIFY( kl l k......... q, q )... q... q 1 2 k 1 k + 1 n 1 2 l 1 l + 1 m UNIFY (,q) = Θ akko vrijedi da SUBST(Θ,)=SUBST(Θ,q) (ne zaboraviti standardizirati varijable!!, da bi izbjegli nemoguće sustitucije) Uvjet za rimjenu rezolucije: sve formule u bazi znanja moraju biti u tzv. konjunktivnoj normalnoj formi (CNF) l q m n q q ))
FOL konverzija u klauzalni oblik (CNF)...službeni šalabahter
FOL zadatak Zadatak 2. Dana je baza znanja: Kolači su kremasti ili suhi Svi kremasti kolači su ukusni Nema gorkih kolača. Studenti vole ukusne kolače. Rezolucijskim ostukom dokaži da student Vice voli kremaste kolače.
FOL - zadatak Zadatak 3. Dokazati rezolucijom oovrgavanjem: x y ( A(x, y) (C(x) B(x)) (D(x, y) A(x, y))) x( y z(a(y, z) C(y)) w(b(w) D(w, x)))
LITERATURA Leigh S. Cauman, First-order Logic: An Introduction [htt://books.google.hr/books?isbn=3110157 667] (Uvod u logiku rvog reda, naklada Jesenski i Turk) Bojana Dalbelo Bašić, Jan Šnajder, Umjetna inteligencija: Zaključivanje uorabom roozicijske i redikatne logike -- zbirka zadataka [htt://www.fer.hr/redmet/umjint/materijali]
Dodatni zadaci Navedene rečenice retvoriti u formule logike rvog reda: Nema onog tko Slavoniju ne zna, a ne voli. Ivan voli sve što vole mladi. Tko od drugim jamu koa, sam u nju ada. Koliko god netko učio UI, netko ju bolje zna od njega. Ako ne voliš sebe, ne možeš voljeti nikog drugog.
Dodatni zadaci Rezolucijom oovrgavanjem dokazati: x(p(x) ( yq(y, x) zs(z))), ( x yr(x, y) x S(x)) x yq(x, y) y( xr(y, x) x P(x))