Dinamika Sunčevog sistema Orbitalni elementi Orbitalni parametri ili elementi (poznati i kao Keplerovi elementi) je set od 6 elemenata kojima je jedinstveno određena orbita jednog nebeskog objekta. Taj set čine velika poluosa a, ekscentricitet e, nagib putanjske ravni i, argument perihela ω, longituda uzlaznog čvora Ω i srednja anomalija M. Prva dva elementa (a i e) određuju veličinu elipse, sledeća tri elementa (i, ω i Ω) određuju položaj elipse u prostoru. Sa ovih pet elemenata je jedinstveno odredjena orbita tela oko Sunca, poslednji element (M), nam određuje gde se nebesko telo nalazi na toj orbiti. 1
Velika poluosa nam definiše koliko je elipsa udaljena od matičnog objekta i izražava se u jedinicama za dužinu (AU, m, km). Ekscentricitet je bezdimenziona veličina koja nam govori koliko orbita tela odstupa od kružne. Za e = 0 orbita je krug, za 0 < e < 1 orbita je elipsa gde spljoštenost elipse raste sa ekscentricitetom, za e = 1 orbita je parabola, a za e > 1 orbita je hiperbola. Najveći broj objekata ima eliptične putanje, tek neki kometoliki objekti imaju hiperboličke orbite. Ostala 4 elementa su uglovi, a prvi od njih nagib putanjske ravni nam govori koliko orbita posmatranog tela odstupa od referentne ravni. Referentna ravan u Sunčevom sistemu je ravan ekliptike. Dakle, i je ugao između ravni koja sadrži orbitu tela i referentne ravni, a presek ove dve ravni zovemo linijom čvorova. Linija čvorova ima dve tačke u preseku sa orbitom nebeskog objekta to su uzlazni čvor i silazni čvor. Tačka uzlaznog čvora je tačka na orbiti nebeskog objekta u kojoj objekat nakon kretanja ispod ravni ekliptike započinje svoje kretanje iznad ekliptike, analogno za silazni čvor objekat se pre te tačke kretao iznad ekliptike, nakon prolaska kroz silazni čvor objekat će se kretati ispod ekliptike. Longituda uzlaznog čvora Ω predstavlja ugao meren od referentnog pravca, koji je u Sunčevom sistemu zapravo pravac ka γ-tački do pravca linije čvorova ka uzlaznom čvoru. Argument perihela predstavlja ugao meren u ravni orbite tela od pravca ka uzlaznom čvoru do pravca ka perihelu orbite u smeru kretanja objekta po orbiti. Poslednji ugao srednje anomalije, kako je rečeno predstavlja koliki deo orbite je objekat prešao na orbiti. M je u perihelu putanje 0, a u afelu putanje 180. Interesantno je da u nekim specijamnim slučajevima ne možemo odrediti sve orbitalne parametre. Na primer, ukoliko imamo kružnu orbitu e = 0, tada nemamo najmanje rastojanje do centralnog objekta tj. ne postoji perihel putanje, pa samim tim ne možemo odrediti ni ω. Ukoliko imamo orbitu koja se nalazi u ravni ekliptike, ne postoje tačke uzlaznog i silaznog čvora pa samim time ne možemo odrediti ni Ω i ω. Zato se često u literaturi sreće parametar nazvan longituda perihela ω = ω + Ω. Prilikom ispitivanja dinamike Sunčevog sistema, a naročito pri izučavanju asteroida koristi se predstavljanje objekata u ravnima velika poluosaekscentricitet ili velika poluosa-nagib putanjske ravni. Razlog tome je da sa jedne strane imamo uvid u to gde se "ugrubo"nalazi objekat od Sunca, a sa druge strane da imamo u vidu ili koliko su na tim rastojanjima spljoštene orbite odnosno kolika mogu biti njihova perihelska rastojanja, ili koliko objekata na tim rastojanjima ima na određenim visinama od ravni ekliptike. 2
Kako bismo odredili intenzitet brzine objekata u trenutku kada je njegova srednja anomalija jednaka M, moramo pre svega koriteći ovaj i neke orbitalne parametre naći na kom rastojanju se taj objekat nalazi od Sunca. Kako bismo odredili rastojanje koristimo sledeću formulu koja nam je poznata sa ranijih kurseva: r = a(1 e cos E). Međutim da bismo odredili rastojanje neophodan nam je parametar E - ekscentrična anomalija, koji se može dobiti koričenjem srednje anomalije i numeričkim reševanjem Keplerove jednačine E = e sin E + M. Kada nam je poznato radijalno rastojanje možemo lako dobiti intenzitet 3
brzine koristeći tzv. Vis-viva jednačinu ( 2 v 2 = GM r 1 ) a Zadatak 1 Varirati jedan parametar orbite nebeskog objekta, dok ostalih 5 držite na fiksim vrednostima. Prokomentarisati dobijene orbite. 4
5
6
Zadatak 2 Izračunati intenzitet brzine u svim tačkama orbite nebeskog objekta i napraviti grafike zavisnosti brzine od srednje anomalije i zavisnost brzine od rastojanja. 7
Zadatak 3 Asteroid Vesta ima period revolucije 3.63 godina i ekscentricitet putanje od 0.098758. Naći veliku poluosu objekta, rastojanje u perihelu i afelu kao i brzinu u perihelu i afelu putanje. Zadatak 4 Napisati kod za transformaciju Keplerovih orbitalnih elemenata u kartezijanske koordinate (x, y, z, ẋ, ẏ, ż) i obrnuto. Funkcija poremećaja Zadatak 5 Razjasniti na grafiku koje oscilacije u ekscentricitetu objekta dolaze od kratkoperiodičnih, a koje od dugoperiodičnih članova poremećajne funkcije. 8
Dakle, jasno se uočava sinusoidna struktura u evoluciji ekscentriciteta na vremenskom intervalu od 100000 godina. Period oscilovanja ekscentriciteta po ovoj sinusoidi je ugrubo 60000 godina. Ove oscilacije dolaze zapravo od sekularnih poremećaja ekscentriciteta objekta, odnosno od dugoperiodičnih članova poremećajne funkcije. Pogledamo li malo izbliza, tj. na nekom kraćem intervalu (zumiramo li prethodni grafik): Možemo videti sledeće ponašanje ekscentriciteta objekta na kraćem intervalu vremena: 9
Sa poslednje prikazane slike, možemo na nekom kraćem intervalu vremena uočiti periodične oscilacije u ekscentricitetu čiji period oscilovanja je uporediv sa periodom revolucije objekta. Te oscilacije su posledica kratko periodičnih članova poremećajne funkcije. Rezonance u srednjem kretanju Zadatak 6 Uzimajući da se Jupiter nalazi na 5.2 AJ, odrediti centar rezonance 2:1 u srednjem kretanju sa Jupierom. U slučaju rezonance 2:1 u srednjem kretanju sa Jupiterom, znači da za rezonantni objekat važi da je period T zapravo 2 puta manji od Jupiterovog perioda T J, pa dakle ukoliko znamo da važi treći Keplerov zakon i uzmemo: I znajući da je 2T = T J a 3 T 2 = a3 J T 2 J za veliku poluosu dobijamo (pa samim tim i lokaciju rezonance 2:1): a = 3.27. II način: Imamo za prvi izvod rezonantnog ugla da u rezonanci važi: 2n J n a 0 10
Znajući da je definicija srednjeg dnevnog kretanja n = 2π/T, zamenom odgovarajućih vrednosti i korišćenjem trećeg Keplerovog zakona, kako bismo sa proporcija perioda prešli na odgovarajuće poluose (NAPOMENA: Ovde se koristi treći Keplerov zakon u obliku a 3 /T 2 = 1, da bismo izrazili veliku poluosu preko perioda). Zadatak 7 Naći lokaciju centra rezonance u srednjem kretanju tri tela 5J -2S -2A, ako znamo da je velika poluosa Jupitera i Saturna a J = 5.204 AJ i a S = 9.583 AJ. Kao i u prethodnom slučaju možemo koristiti izvod rezonantnog ugla u obliku: 5n J 2n S 2n a 0 Gde ovaj izraz je približno jednak nuli samo za objekte koji su zahvaćeni rezonancom. Takođe analogno prelazimo sa perioda koji je sardržan u srednjem dnevnom kretanju, na velikupoluosu koristeći III Keplerov zakon: 5 2π 2 2π 2 2π 0 a 3 2 J a 3 2 a a 3 2 S Znajući velike poluose Saturna i Jupitera lako određujemo lokaciju rezonance za koju u ovom slučaju dobijamo a a = 3.17 AJ Zadatak 8 U prethodnim primerima nismo vodili računa o D Alembert-ovim pravilima. S toga, sledeći zadatak je da nađete lokacije rezonanci 2 različita harmonika za rezonancu opisanu u zadatku 6. Glavna D Alembert-ova pravila koja moramo ispoštovati jesu da je zbir koeficijenata uz uglove kod rezonantnog ugla ϕ jednak nuli: ϕ = j 1 λ 1 + j 2 λ 2 + j 3 ω 1 + j 4 ω 2 + j 5 Ω 1 + j 6 Ω 2 6 j i = 0 i 11
I drugo, zbir koeficijenata uz longitude čvorova mora biti paran broj. Što znači da bi dva harmonika, napisana poštujući D Alembert-ova pravila bi bila, na primer: ϕ = 2λ J λ a ω J ϕ = 2λ J λ a + ω J 2Ω a Tako da prvi izvod rezonantnog ugla bi bio: 2n J n a g 5 0 2n J n a + g 5 s a 0 gde su sa g i s označene frekvencije uglova longitude perihela i longitude uzlaznog čvora respektivno (g = d ω/dt i s = dω/dt). Kao što je već napomenuto izraze iz prethodne 2 jednačine možemo izjednačiti sa nulom samo pod uslovom da su objekti u rezonanci, što u našem slučaju jesu. Rešavanjem prethodne 2 jednačine i zamenom odgovarajućih poznatih vrednosti za poluose Jupitera i Saturna i datih vrednosti za fundamentalne frekvencije u Sunčevom sistemu i frekvenciju s za posmatrani rezonantni objekat požemo potpuno analogno prethodnim zadacima izračunati lokacije ova 2 harmonika rezonance 2:1 sa Jupiterom. Zadatak 9 Odrediti širinu rezonance 2:1, na ekscentricitetu 0.1 i uporediti dobijeni rezultat sa amplitudom oscilovanja velike poluose sa grafika. 12
U ovom slučaju iskoristićemo formulu za širinu rezonance: 16Cr δa max = ±a 3n e Ako uzmemo poznatu vrednost za C r /n i podatke iz postavke zadatka dobijamo vrednost za širinu rezonance na traženom ekscentricitetu. Upoređivanjem dobijene vrednosti sa amplitudom koju možemo očitati sa grafika (od okvirno 0.1 AJ) možemo zaključiti da ova aproksimativna jednačina daje dovoljno dobru procenu za širinu rezonance, jer su ove dve vrednosti u dobroj korelaciji. Zadatak 10 Obisati i detaljno objasniti ponašanje objekata čija je evolucija velike poluose data na grafiku. 13
Ono što je ovde najbitnije uočiti jeste da što smo bliži rezonanci, oscilacije u velikoj poluosi su sve veće, tako da su najveće oscilacije u blizini centa rezonance. Ovo je svakako očekivano ponašanje jer je poznato da rezonanca kao mehanizam prouzrokuje velike oscilacije u orbitalnim parametrima (a najvažnije su oscilacije koje pravi u ekscentricitetu). Zadatak 11 Isplotovati kritični ugao i promenu velike poluose i ekscentriciteta u vremenu za date podatke. U fajlu vjupiter.list su dati orbitalni parametri Jupitera u vremenu, a u v800008.list objekat koji je zahvaćen rezonancom sa Jupiterom. Vaš zadatak je da pre svega otkrijete rezonancu u kojoj se nalazi objekat. Sa grafika koji nam govori o promeni velikepoluose u vremenu (Koji dobijamo kada u gnuplotu iskoristimo komandu pl v8000008.list u 1:2 dakle 14
plotujemo drugu kolonu fajla v800008.list u funkciji prve kolone u istom fajlu, tj. u funkciji vremena): vidimo da su oscilacije u velikoj poluosi oko vrednosti od oko 2.7 AJ. Na osnovu sada već nama poznate relacije: a 3 T 2 = a3 J T 2 J Pošto znamo veliku poluosu Jupitera i velikupoluosu oscilacija u a, zakljucujemo da je odnos perioda T J /T jednako 2.66666 što nam daje pretpostavku da se možda radi o rezonanci 8:3. Da bismo potvrdili da je objekat zaista u rezonanci nije nam dovoljno to što se sa prethodnog grafika uočavaju povećane oscilacije u a na intervalu vremena od oko 950000 godina do 1200000 godina, kao ni oscilacije u ekcentricitite na istom intervalu koji dobijamo plotom pl v8000008.list u 1:3, dakle u trećoj koloni fajla se nalazi ekscentricitet objekta: 15
već nam je od najvećeg značaja za potvrđivanje rezonance kritični ugao. Dakle ukoliko formiramo prvo objedinjeni fajl komandom iz terminala join -j 1 v800008.list vjupiter.list > vsve.list, ova dva fajla će imati prirodno spajanje na osnovu prve kolone u oba fajla i rezultat spajanja biće smešten u fajl vsve.list. Kako znamo da je kritični ugao za pretpostavljenu rezonancu definisan sa: σ = 8λ J 3λ a + 5ω J onda bi plot ovog ugla u vremenu dao odgovor na pitanje da li je objekat zaista u rezonanci 8:3 sa Jupiterom ili ne. Kako je sada fajl spojen i znamo da je λ = ω + Ω + M i ω = ω + Ω odgovarajuće kolone za ove elemente su ω a > 5, Ω a > 7, M a > 9, ω J > 15, Ω J > 17, M J > 19, pa bi shodno tome komanda za plot kritičnog ugla bila: pl "vsve.txt"u 1:(mod(3 * ($5 + $7 + $9) - 8 * ($15+$17+$19) + 5 * ($17+$15), 360)) w d. Naravno ova komanda neće raditi ukoliko pre toga ne definišemo funkciju mod kao mod(x,y) = (x-floor(x/y)*y). 16
Sa ovog grafika lako je uočljivo da je kritični ugao objekta u cirkulaciji od 0 od 360 stepeni sve to trenutka t = 950000 godina (odokativno), gde upada u libraciju oko ugrubo vrednosti od 150 stepeni, i gde ostaje u libraciji sve do nekih 1200000 godina kada menja smer cirkulacije i izlazi iz rezonance što se upravo poklapa sa povećanim oscilacijama u a i e baš u tom intervalu vremena. Zadatak 12 Plotovati promena velike poluose i ekscentriciteta u vremenu za objekat čija evolucija u vremenu je data u spojenom fajlu sa podacima o evoluciji Jupitera u v1j.txt. Plotovati i kritičan ugao objekta za pretpostavljenu rezonancu i uporediti dobijene grafike sa graficima iz prethodnog zadatka. Prvo u gnuplotu napravimo funkciju mod kako je objašnjeno u prethodnom zadatku. Zatim kako bismo isplotovali promene a, e i σ na istom grafiku možemo iskoristiti multiplot. Tako da u nastavku teksta su date komande uz objašnjenje kako dobijamo sledeći grafik (Pošto objekat ponovo ima oscilacije oko 2.7AJ pretpostavićemo istu rezonancu kao i u prethodnom zadatku): 17
set multiplot layout 3,1 ovom komandom kazete da na vašem multiplotu zelite 3 grafika u redu i jedan po koloni pl "v1j.txt"u 1:2 w l ovom komandom plotujete promenu velike poluose asteroida u funkciji vremena pl "v1j.txt"u 1:3 w l ovom komandom plotujete promenu ekscentriciteta asteroida u funkciji vremena pl "v1j.txt"u 1:(mod(3 * ($5 + $7 + $9) - 8 * ($15+$17+$19) + 5 * ($17+$15), 360)) w d ovom komandom plotujete promenu kritičnog ugla za rezonancu 8:3 u funkciji vremena, w d predstavlja da plot zelite sa tačkicama umesto sa linijama što je slučaj kada naznačite w l. Hajde sada malo da prodiskutujemo sam dobijeni grafik. Uočavamo da iz evolucije u a ili u e ne možemo ništa posebno prokomentarisati jer nigde ne vidimo povećanu oscilaciju u nekom od elemenata. Međutim, primećujemo da je oscilacija u a oko 2.7 AJ što bi naivnog čitaoca uputilo na razmišljaje da objekat jeste u rezonanci 8:3 sa Jupiterom. Ukoliko pogledamo grafik kritičnog ugla skroz donji panel slike, jedino što se uočava na ovom periodu jeste cirkulacija od 0 do 360 stepeni. Dakle, objekat definitivno nije u rezonanci 8:3 sa Jupiterom, što nam potvrđuje grafik kritičnog ugla. U poređenju sa graficima iz prethodnog zadatka možemo napraviti jasnu i nedvosmislenu razliku između objekata zahvaćenih rezonancom u srednjem kretanju, naspram onih koji to nisu. 18
Zadatak 13 Dat je grafik: pokušati što je detaljnije moguće opisati šta se dešava sa asteroidom čiji kritičan ugao i inklinacija je predstavljena na grafiku. Takođe svoja razmatranja uporediti sa evolucijom objekata, jedne grupacije asteroida kojoj pripada i posmatrani objekat koja je data u ravni a vs sin i: 19
20
Dakle, odmah se da primetiti da je objekat zahvaćen rezonancom, jer kao dokaz toga imamo promenu kritičnog ugla koji je dat na gornjem panelu prvog grafika. Međutim vešto oko čitaoca može da uoči kako je definisan kritični ugao (σ = Ω Ω C, gde je Ω C longituda uzlaznog čvora Ceresa) da se radi ne o rezonanci u srednjem kretanju već o sekularnoj rezonanci kod koje (u ovom slučaju) važi: s a s c 0 Dakle, u ovom slučaju imamo srazmernost frekvencija sporih (sekularnih) uglova. Ono što se uočava na donjem panelu prvog grafika jeste da objekat zahvaćen ovom rezonancom doživljava skok u nagibu putanjske ravni od oko pola stepena baš u onim okvirima unutar kojih je kritični ugao u libraciji. Takođe po izlasku iz rezonance cirkulacija kritičnog ugla menja smer. Na drugom grafiku možemo uporediti evoluciju objekata u kojima je isključeno gravitaciono dejstvo Ceresa (žutom bojom) i situacije kada se gravitacioni efekti Ceresa uračunavaju u model (zelenom bojom). Jasno se vidi da u slučaju kada Ceres izbacimo iz modela samim tim izbacujemo sekularnu rezonancu o kojoj smo govorili u pasusu iznad (crvenim linijama predstavljenu na graficima), da tada nemamo evoluciju u nagibu putanjske ravni sve dok objekat ne dospe u okolinu sekularne rezonance sa Saturnom označeno plavim linijama na grafiku. Sivim bojama su predsavljeni centri rezonanci u srednjem kretanju (naznačeno je na grafiku o kojim rezonancama je reč). Primećujemo da objekti zelene boje koji su zahvaćeni sekularnom rezonancom sa ceresom, u prate tu rezonancu svojom evolucijom u nagibu putanjske ravni i samim tim uspevaju da dospu na veće nagibe gde onda imamo preklapanje dveju sekularnih rezonanci, a poznato je da preklapanje rezonanci izaziva haotično kretanje objekata. Ono što valja napomenuti ovde jeste da sekularne rezonanca kada se posmatraju u ravni a vs e ili a vs sin i imaju nepravilan oblik, za razliku od sekularnih rezonanci koje su imale centar po velikoj poluosi i simetrično se širile sa ekscentricitetom, ovde sekularne rezonance u ovim ravnima, možemo uočiti (između ostalog kao što je prikazano na drugom grafiku) u vidu nekakvih "traka"unutar glavnog asteroidnog prstena. 21
Zadatak 14 Uočiti sekularne rezonance u grafiku g vs s. Na prikazanom grafiku sekularne rezonance su vidljive u vidu nekakvih pravih linija u ravni g vs s s tim što ukoliko je ta linija vertikalna radi se o g rezonanci između dva objekata, ukoliko je horizontalna radi se o s rezonanci, a ukoliko ima nekakav koeficijent pravca različit od 0 onda je reč o nekakvoj kombinaciji g i s rezonanci. Na grafiku možete uočiti neke od ovih struktura. Zadatak 15 Ispitati da li je neki objekat čija je evolucija orbitalnih parametara data fajlom v750000.txt u sekularnoj rezonanci sa Jupiterom čiji su parametri dati fajlom vjupiter.txt. Za ovakav problem posmatraćemo kritičan ugao ako je u g rezonanci prvog reda i s rezonanci prvog reda. Ukoliko uočimo libracije u nekom trenutku tokom evolucije to će biti potvrda da se objekat nalazio u nekom trenutku svoje evolucije u sekularnoj rezonanci sa Jupiterom. Dakle, komande za plot kritičnog ugla u gnuplotu su sledeće: mod(x,y) = (x-floor(x/y)*y) napravimo funkciju mod pl "v1j.txt"u 1:(mod(($5+$7) - ($17+$15), 360)) w d u slučaju da je u fajl v1j.txt smešten objedinjeni fajl evolucije i objekta i Jupieta (join komandom iz terminala), i u slučaju da je rečo g rezonanci pl "v1j.txt"u 1:(mod($7 - $17, 360)) w d ako je reč o s rezonanci 22
odnosno: pl "v1j.txt"u 1:(mod(($5+$7) + $7 - ($17+$15) - $17, 360)) w d ako je reč o kombinaciji g i s rezonanci Efekat Jarkovskog Zadatak 16 U fajlovima v750017.txt i v750017bez.txt su dati podaci o evoluciji orbitalni parametri dva objekta. Opisati koja je razlika u modelu korićenom u integraciji ova dva objekta? Korićenjem sledećih komanda u gnuplotu dobijamo grafik promene velike poluose oba objekta: pl "v750017.txt"u 1:2 w l, "v750017bez.txt"u 1:2 w l Možemo primetiti da objekat označen ljubičastom bojom ima nekakvu konstantnu evoluciju u velikoj poluosi, koju nema zeleni objekat. Do ovake drastične razlike u evoluciji dva objekata sa istim početnim uslovima je razlika u modelu. U prvom modelu za zeleni objekat nije uključen efekat Jarkovskog, dok u model za ljubičasti objekat uključena je neka vrednost da/dt koju objekat oseća zbog dejsta efekta Jarkovskog. Šta još možemo uočiti sa gra- 23
fika. Uočavamo da objekat označen zelenom bojom zbog svoje evolucije u a nikada ne prilazi blizu rezonance 8:3 sa Jupiterom koja se nalazi na oko 0.02 AJ od početnog položaja objekta. Za razliku, od njega ljubičasti objekat će usled konstantnog dejstva efekta Jarkovskog na ovaj objekat, on nakon 900000 godina uspeva pa uđe u rezonancu 8:3 sa Jupiterom (što naravno mora biti potvrđeno kritičnim uglom, pogledati prethodne zadatke kako). Takođe uočavamo da tokom boravka objekta u rezonanci on ima oscilacije u a oko konstantne vrednosti, gde opet nakon izlaska iz rezonance nastavlja se primetno dejstvo efekta Jarkovskog. Dakle, efekat Jarkovskog je zadužen za dovođenje novih objekata u zone koje su zahvaćene rezonancama (Kirkvudove praznine), iz kojih u nekim slučajevima takvi objekti bivaju transportovani u ostale delove Sunčevog sistema zbog haotičnog kretanja. Ovo haotično kretanje svakako nije zbog jedne rezonance, već u nekim slučajevima rezonanca podiže amplitude orbitalnih parametara objekta pre svega ekscentriciteta što povećava mogućnost bliskih prilaza, ili u nekim slučajevima do haotičnog kretanja dolazi zbog preklapanja rezonanci. Zadatak 17 Za objekat prečnika 500 m i gustine od 2.1 g/cm 3 odrediti maksimalnu vrednost promene velike poluose usled dejstva efekta Jarkovskog. Za ovaj problem koristićemo sledeću procenu: ( da dt Zadatak 18 ) max = 3 10 3 ( 2.5g/cm 3 ρ ) ( 5km D ) [ ] AJ Mgod Koristeći sve poznate podatke za asteroid Bennu koje možete naći na internetu, odrediti efekat Jarkovskog na objekat čiji su podaci dati: a = 2.63 AU, e = 0.2, D = 0.8 km, ρ = 3.2 g/cm 3, A = 0.15 i γ = 60. Za probleme ovog tipa pravićemo procenu poređenjem podataka za objekat sa asteroidom Bennu. ( ) da = dt ( ) da dt B ab a 1 e 2 B 1 e 2 24 ( ρb ρ ) ( DB D ) 1 A 1 A B cos γ cos γ B
Zadatak 19 Iz datih podataka o evoluciji orbitalnih parametara asteroida izračunati dejstvo efekta Jarkovskog da/dt fitovanjem linearne regresije na promenu poluose. Fitujemo linearnom funkcijom u gnuplotu na sledeći način: f(x) = a*x + b fit f(x) v750006.txt u 1:2 via a, b Koeficijent pravca prave fita je upravo vaš da/dt i on je u ovom slučaju a = 8.70896e 11 ali jedinice su ovde AU/god tako da uz manju korekciju možete dobiti da/dt u AU/Myr. pl v750006.txt u 1:2 w l, f(x) Određivanje starosti familije asteroida metodom Jarkovskog Kod ove metode neophodno je napisati kod koji možete kasnije na ispitu primeniti na neku drugu familiju sa eventualno minimalnim izmenama. Na primer neophodno je znati albedo za određene tipove familija i sl. Algoritam i postupak je sledeći. Ukoliko vam je data magniduta objekata onda morate sa nje preći na diametre preko zakona: D = 1329 10 H 5 pv gde je D prečnik asteroida H njegova magnituda a p v albedo. 25
Zatim za Neku familiju odredite centar širenja po velikoj poluosi usled dejstva efekta Jarkovskog. To proglasite za a c. Sada podelite familiju na dva dela unutrašnji za koje važi da je a < a c i spoljašnji za koje važi a > a c. U ravni u kojoj se vidi tzv. V-shape a vs 1/D radite sada odvojeno za svaki od delova (unutrašnji i spoljašnji) podelu u binove po y osi. Podelu radite tako da u svakom binu ima minimalno n članova. Najčešće će se od vas tražiti da taj broj n bude ili 20 ili 30 objekata. Tako izdeljen na pr. unutrašnji deo familije, za svaki bin odredite tačke unutar svakog bina sa minimalnom velikom poluosom a (analogno za spoljašnji deo tražite po binovima tačke sa maksimalnom velikom poluosom). Te tačke pamtite i na kraju ih fitujete koristeći linearnu funkciju. Na osnovu fita, možete odrediti koliko se objekat za koji važi da je D = 1 km udaljen po poluosi od a c, pa na osnovu date jačine dejstva efekta Jarkovskog za tu familiju da/dt odredite potrebno vreme da objekat prečnika D = 1 km od a c dospe na veliku poluosu koja odgovara fitu. Postupak ponoviti na oba dela familije. Određivanje starosti familije metodom integracije unazad Podatke potrebne za ovu vežbu možete preuzeti na linku: http : //asteroids.matf.bg.ac.rs/f am/djoske.zip U njemu se nalaze integracije unazad za sve članove T heobalda familije asteroida, i fajl sačinjavaju 3 kolone: Vreme, veliko Omega i malo omega. Podsećam da je ovom metodom moguće odrediti samo starost za mlade familije za do oko 10 Mgod. Algoritam i vaš zadatak se sastoji od sledećeg: Neophodno je naći srednju vrednost uglovnog rastojanja svih objekata po Ω i ω. Zapamtite, uglovno rastojanje između dva objekata po Ω maksimalno može biti 180. Neophodno je proći kroz sve moguće kombinacije objekata i podeliti sa brojem objekata zbir njihovih razlika. Formula bi glasila: < Ω >= 1 n n i=1;j=i+1 (Ω i Ω j ) Dakle možete očekivati oscilaciju ove vrednosti < Ω > oko 90 sve do trenutka u prošlosti (pošto radimo integraciju unazad) u kome će ova vrednost naglo pasti. Tu vrednost prograšavamo za starost familije. Postupak ponoviti 26
i za ω (jednačina je analogna). U nastavku teksta je dat primer familije za koju je procenjena starost oko 7.7 Mgod. Možete videti nagli pad ovih dveju vrednosti u datom trenutku koji proglašavamo za starost. NAPOMENA: Pre nego što odlučite za koje objekte ćete primeniti ovaj algoritam neophodno je uraditi HCM sa portala da dobijete vrednosti eksponenta Ljapunova za sve objekte ove familije. Izaberite 10 stabilnih objekata za koje ćete primeniti ovaj algoritam i odrediti starost familije. Veoma je poželjno da objekti za koje primenjujete ove objekte budu stabilni, upravo tome će vam pomoći HCM koji odradite, zatim tih 10 objekata za koje ste se odlučili uzmete iz pomenutog zip fajla koji kako je već napomenuto za taj objekat sadrži podatke o vremenu, Ω i ω. 27