Microsoft PowerPoint - 5_Zidane_konstrukcije_Proracun.ppt

Транскрипт

1 SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET 1/35 Doc. dr. sc. Boris Trogrlić Stručni studij građevinarstva kolegij: ZIDANE KONSTRUKCIJE (Skripta je namijenjena studentima II. god. stručnog studija Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Splitu) Akademska godina 2008/2009. Split, siječanj O proračunu zidanih konstrukcija

2 2/35 OPĆI PREGLED PROJEKTIRANJA I PRORAČUNA ZIDANIH GRAĐEVINA OPĆI DIO TEKSTUALNI DIO GRAFIČKI DIO Tehnički opis Gradiva Program kontrole i osiguranja kakvoće Karakteristične vrijednosti djelovanja (stalno, promjenjivo, vjetar, potres) PRORAČUN MEĐUKATNIH KONSTRUKCIJA (ležajne reakcije) PRORAČUN ZIDANIH ZIDOVA Izračun proračunskih vrijednosti učinaka djelovanja (N Sd, V Sd, M Sd, itd... model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) model B: Projektiranje zidanih konstrukcija 1.1 dio: Opća pravila za zgrade Pravila za armirano i nearmirano ziđe (ENV ) model C: Histerezisna anvelopa kata (dodatno za horizontalna djelovanja) model D Složeniji proračunski modeli (numeričke metode, štapni 2D i 3D modeli, itd...) PRORAČUN TEMELJA

3 3/35 TEHIČKI OPIS: - Namjena građevine i lokacija (stambena, industrijska,... ) - Tip nosive konstrukcije (npr: omeđeni zidovi od betonskih blokova, a-b ploče kao međukatne konstrukcije,...) - Dimenzije tlocrta, broj etaža, katna visina, ukupna visina, podrum, nadgrađe - Opis koncepta nosive konstrukcije, povezanost zidova i međukatne konstrukcije (serklaži ili spone),... - Debljine zidova, međukatnih ploča, dimenzije serklaža - Temeljenje (Podaci iz elaborata o prethodnim istraživanjima i drugih elaborata) - Ostale nosive konstrukcije - Opis načina izvođenja. (Posebnosti u izvedbi pojednih elemenata konstrukcije) - Eventualno: probna opterećenja, auskultacija - praćenje ponašanja građevine i ugradnja senzora, kontrolne preglede, održavanje, itd... U slučaju rekonstrukcije potrebno je prethodno opisati postojeće stanje građevine, predviđene zahvate rekonstrukcije, rezultati prethodnih ispitivanja, itd...

4 4/35 GRADIVA: - Vrste zidnih elemenata (opeka, porobeton, beton,...) - Grupa zidnih elemenata (1, 2a, 2b) -tržište? - Normalizirana tlačna čvrstoća bloka f b (npr.: f b,min =10.0 N/mm 2 - okomito na horizontalnu sljubnicu morta i f bh,min =2.0 N/mm 2 - usporedno s horizontalnom sljubnicom morta u ravnini zida) - Podaci o klasi čvrstoće betona i armaturi za a-b ploče, serklaže, temelje, stepenišne krakove, podeste i ostale a-b konstrukcije. - Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva materijala (propisati RAZRED IZVEDBE i RAZRED PROIZVODNE KONTROLE npr: razred izvedbe: A/B/C razred kontrole proizvodnje: I./II. === > γ m = , (preporučeno 3.0) za potres === > γ m = PROGRAM KONTROLE I OSIGURANJA KAKVOĆE: KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA: - Stalno djelovanje (G), promjenjivo djelovanje (Q1), potres (S), tlak zasipa tla (Q2), vjetar (W), itd...

5 5/35 Radni primjer zidane građevine Tlocrt Presjek

6 6/35 KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA: Stalno djelovanje (G) i korisno opterećenje (Q1) Vjetar (Q2)...prema odgovarajućim normama... iz čega slijedi izračun ukupne težine za proračun na potres W=ΣG k,j + Σϕψ 2i Q k,j ϕ = koeficijent uporabnog opterećenja; ϕ= ψ 2 =koeficijent kvazistalne vrijednosti uporabnog opt; ψ 2 =

7 7/35 Djelovanje potresa (S): Ukupna proračunska sila potresa: F b = S d (T 1 ) * (W/g) * (λ) T 1 = osnovni period vibracija S d (T 1 ) = ordinata računskog spektra S d (T 1 ) = β * a g * S / q (β = 2.5, za prigušenje ξ=5%) a g = proračunsko ubrzanje tla (0.1g=VII. zona, 0.2g=VIII.; 0.3g=IX.) S = parametar tla (S=1.0/1.0/0.9, za klasu tla A/B/C) q = faktor ponašanja q = 1.5 za nearmirano ziđe; q = 2.0 za omeđeno ziđe q = 2.5 za armirano ziđe λ = popravni faktor prigušenja (λ = ) KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA: Period 1. oblika slobodnih vibracija: Za konstrukcije od zidova: n C t = L A A c = Ai c i= 1 H wi 3 / 4 1 t * H T = C 2 Računski spektar odgovora A c [m 2 ] = kombinirana računska površina nosivih zidova u prizemlju A i [m 2 ] = računska površina presjeka nosivog zida "i" u prizemlju L wi [m] = duljina nosivog zida u prizemlju u smjeru usporednom s djelovanjem sila, uz ograničenje L w /H 0.9 H [m] = visina zida (zgrade) Raspodjela horizontalne seizmičke sile po visini zgrade: Fi = Fb ziwi z jw j j

8 8/35 KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA: PRIMJER: Proračun horizontalne sile potresa za smjer X T 1x = 0.18 sec a g = 0.20 g (VIII. zona) q = 2.0 (omeđeno ziđe) S = 1.0 (klasa tla B) S d (T 1x ) = 2.5 * 0.2g * 1.0 / 2.0 = 0.25g λ = 1.00 F bxd = (0.25g) * (W/g) * 1.00 = 0.25W Razdioba proračunske seizmičke sile: F kxd = F bxd * (z k *W k ) / (Σz k *W k )

9 9/35

10 10/35 OPĆI PREGLED PROJEKTIRANJA I PRORAČUNA ZIDANIH GRAĐEVINA OPĆI DIO TEKSTUALNI DIO GRAFIČKI DIO Tehnički opis Gradiva Program kontrole i osiguranja kakvoće Karakteristične vrijednosti djelovanja (stalno, promjenjivo, vjetar, potres) PRORAČUN MEĐUKATNIH KONSTRUKCIJA (ležajne reakcije) PRORAČUN ZIDANIH ZIDOVA Izračun proračunskih vrijednosti učinaka djelovanja (N Sd, V Sd, itd... model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) model B: Projektiranje zidanih konstrukcija 1.1 dio: Opća pravila za zgrade Pravila za armirano i nearmirano ziđe (ENV ) model C: Histerezisna anvelopa kata (dodatno za horizontalna djelovanja) model D Složeniji proračunski modeli (numeričke metode, štapni 2D i 3D modeli, itd...) PRORAČUN TEMELJA

11 11/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) G, Q1 ENV S ENV

12 12/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) EC6: Uvjeti za Pojednostavljene proračunske postupke za zidane zgrade: - visina zgrade iznad tla ne premašuje 20 m; za zgrade s kosim krovom prosječna visina sljemena i strehe može se uzeti kao visina zgrade - raspon stropova oslonjenih na zidove ne prelazi [7.0 m] - raspon krova oslonjenog na zidove ne prelazi [7.0 m], osim u slučaju drvene ili čelične rešetkaste krovne konstrukcije kada raspon ne treba prijeći [14.0 m] - svijetla visina kata ne prelazi 3.0 m - jednake debljine zidova - krajnjih oslonaca stropa ili krova - karakteristične vrijednosti promjenjivih djelovanja na stropovima i krovovima ne prelaze 5.0 kn/m 2 - zidovi su bočno pridržani stropovima i krovom u horizontalnom smjeru pod pravim kutom na ravninu zida, ili stropovima ili krovom ili prikladnim ukrućenima npr. serklažima - konačni koeficijent puzanja ziđa Φ ne prelazi 2.0. Pojednostavljeni proračunski postupci za zidane zgrade prema ENV nisu primjenjivi za proračun izvanrednih situacija.

13 13/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) Kombinacije djelovanja: samo najnepovoljnije promjenjivo djelovanje Σγ g,j G k,j + 1.5Q k,1 sva nepovoljna promjenjiva djelovanja Σγ g,j G k,j ΣQ k,i Proračun međukatnih konstrukcija i proračunskog vertikalnog opterećenja zida N Sd Preko pripadajućih površina Napomena: Preporučuje se kontrolirati ΣN sd na svakoj etaži Numeričkim metodama - pomoću računala

14 14/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) Određivanje proračunske nosivosti na vertikalno opterećenje zida N R,d Primjer za ziđe od blok opeke (tlačna čvrstoća = 10.0 N/mm 2, ispitana u skladu s EN ) zidane u mortu M10 normalizirana tlačna čvrstoća: f b = 10.0x1.10 = 11.0 N/mm 2 K = 0.50 (2b grupa zidnih elemenata) Karakteristična tlačna čvrstoća nearmiranog ziđa zidanog mortom opće namjene: f k = 0.50 x x = 4.2 (N/mm 2 ) < f b < f m Proračunska vertikalna nosivost: N Rd Φ f = γ k M A Φ f k γ M A faktor smanjenja nosivosti kojim se u obzir uzimaju učinci vitkosti i ekscentričnosti opterećenja karakteristična tlačna čvrstoća nearmiranog ziđa parcijalni faktor sigurnosti za materijale netto površina zida

15 15/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) Određivanje proračunske nosivosti na vertikalno opterećenje zida N R,d Koeficijent smanjenja nosivosti: h Φ = t Koeficijent ρ n iznosi: ef ef h ef = ρ h ρ n koeficijent smanjenja, a oznaka n=2,3,4 ovisi o pridržanju zida na 2, 3 ili 4 ruba. n ρ 2 =0.75 ρ 2 =1.00 ρ 3 = ρ 2 =0.75 ρ 2 =1.00 ρ 3 L ρ = 1.5 h 3 [0.75] ρ 4 = L ρ4 = [0.75 ] 2h L ρ4 = [1.00 ] 2h

16 16/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) Određivanje proračunske nosivosti na vertikalno opterećenje zida N R,d

17 17/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) Pojednostavljena provjera posmične nosivosti zidova: Rd VSd V Rd 1 V + = ( t Lc fvko 0.4NSd ) što vrijedi ako je: ( t L ) [ ] γ c f vko V Rd t L c f b M gdje je: γ M = parcijalni koeficijent sigurnosti za materijale 1 γ M L c = duljina tlačnog dijela zida pretpostavljajući linearnu razdiobu naprezanja. Za nearmirani zid L c =3(L/2-M Sd /N Sd ) L, gdje je M Sd proračunski moment savijanja zida, a L duljina zida. f b = normalizirana tlačna čvrstoća zidnog elementa f vko =početna posmična čvrstoća

18 18/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) EC8: Pravila za jednostavne zidane zgrade:

19 19/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) EC8: Pravila za jednostavne zidane zgrade:

20 20/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) PRIMJER: Dokaz mehaničke otpornosti na djelovanje potresa Sukladno ENV , ovdje se dokazuje da predmetna građevina udovoljava pravilima "Jednostavne zidane zgrade). 1/ Vrste zidnih elemenata, Najmanja čvrstoća zidnih elemenata Mort: Sve sukladnoenv , točki 5.2 smjer X smjer Y 2/ Horizontalni serklaži: dimenzije pop. pres: 25x25 cm armatura: npr. 4φ12 (preklop p min 60 cm) + vilice φ6/20 cm armaturu sidriti u vertikalne serklaže položaj: u visini m-k 3/ Vertikalni serklaži: dimenzije pop. pres: 25x25 cm armatura: npr. 4φ12 (preklop p min 60 cm) + vilice φ6/20 cm armaturu sidriti u temelje položaj - prema nacrtima 4/ Dopušteni broj etaža: a g 0.20g; omeđeno ziđe ====> 3 etaže 5/ Tlocrt zgrade približno pravokutan: x 9.80 m omjer kraće/dulje stranice: 9.80/11.70 = 0.84 > 0.25 zidovi dulji od 30% stranice tlocrta: smjer X: 11.70*0.30=3.5 m; zidovi: Zx2; Zx3; Zx4 ; Zx6 smjer Y: 9.80*0.30=2.9 m; zidovi: Zy1, Zy2, Zy3, Zy4, Zy5

21 21/35 model A: Pojednostavljeni proračunski postupci (ENV ) + Pravila za "jednostavne zidane zgrade" (ENV ) PRIMJER: Dokaz mehaničke otpornosti na djelovanje potresa 5/ Tlocrt zgrade - nastavak razmak između krajnjih zidova ukrute: smjer X: razmak između zidova Zx2 i Zx6: L = 9.55 > 0.75*9.75 = 7.3 m smjer Y: razmak između zidova Zy1 i Zy6: L = > 0.75*11.45 = 8.6 m udio opterećenja kojeg preuzimaju zidovi za preuzimanje potresa: q zp >0.75q uk 6/ Površina horizontalnog presjeka zidova za preuzimanje potresa: 7/ Najveći razmak zidova ukrute: L u = 5.55 < 7.0 m Zaključak: Predmetna građevina ima dostatnu mehaničku otpornost na pri djelovanju potresa.

23 23/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) Kombinacije djelovanja: samo najnepovoljnije promjenjivo djelovanje Σγ g,j G k,j + 1.5Q k,1 sva nepovoljna promjenjiva djelovanja Σγ g,j G k,j ΣQ k,i Određivanje proračunskog opterećenja i proračunske nosivosti - sve prema ENV : točka 4. Proračun ziđa Nearmirano ziđe izloženo vertikalnom opterećenju: Φi,m t fk N Sd N Rd N Rd = [ kn m] γ M Φ i,m f k γ M t faktor smanjenja nosivosti Φ i ili Φ m kojim se u obzir uzimaju učinci vitkosti i ekscentričnosti opterećenja karakteristična tlačna čvrstoća nearmiranog ziđa parcijalni faktor sigurnosti za materijale debljina zida, uzimajući u obzir dubinu niša u sljubnicama veću od 5 mm Nearmirano ziđe izloženo horizontalnom opterećenju: V Sd V Rd V Rd = f vk γ t l M c f vk karakteristična posmična čvrstoća nearmiranog ziđa, prema 3.6.3, temeljena na vertikalnom opterećenju kojem se odupire tlačni dio zida, zanemarujući bilo koji dio zida vlačno napregnut t debljina zida, uzimajući u obzir dubinu niša u sljubnicama veću od 5 mm l c duljina tlačnog dijela zida, zanemarujući bilo koji dio zida vlačno napregnut γ M parcijalni faktor sigurnosti za materijale, prema Razdioba proračunske seizmičke sile - horiz. djelovanje: F kxd = F bxd * (z k *W k ) / (Σz k *W k ); F kyd = F byd * (z k *W k ) / (Σz k *W k ) k-etaža Razdioba sila na etaži na pojedini zid - sukladno krutosti zida na horizontalni pomak.

24 24/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) Proračun horizontalnog opterećenja zida V Sd Razdioba horizontalne sile F kxd sukladno krutosti pojedinih zidova na horizontalni pomak. Početna krutost zida bez otvora: GA K e = G 1.2h 1 + α E E = modul elastičnosti G = modul posmika (G E/6) t = debljina zida h = svjetla visina zida L = duljina zida A = površina zida (A=t L) α = proračunski koeficijent za punu upetost na gornjem i donjem katu α = 0.83 za konzolni zid α = 3.33 h L Početna krutost zida s otvorima za prozore: 2 Primjer: f k = 4.2 MPa; E 1000 f k = 4.2 GPa; G 0.70 GPa t = 0.25 m; α = 0.83; h = 2.8 m zid: Zx2 zid: Zy2 L = 8.45 m; A=2.11 m 2 ; ΣL i =1.6 m L = 3.00 m; A=0.75 m 2 GA K e = = MN m k 1 = 1 = K,otv. = e = MN m GA K e = = MN m K e,otv. = K e k 1 k 1 t ΣL = i A ΣL i = zbroj duljina svih otvora u zidu A = površina zida (A=t L)

25 25/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) Proračun horizontalnog opterećenja zida V Sd Izračun središta krutosti i masa: y Učinci uvrtanja: x c,j x s C.K. e Tx y i F byd e Ty x i y s C.M. F bxd y c,j x središte krutosti: središte masa: x s x = m ( x j * K y, j ) = j j K y, j ( x jm j ) j j m j y s y = m ( y j * K x, j ) = j ( y jm j ) j j j K m x, j j Globalni moment uvrtanja: G bxd ( e L ) + F * ( e 0.05L ) T = F * + Ty y byd Tx slučajni ekscentriciteti x

26 26/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) Proračun horizontalnog opterećenja zida V Sd Proračun kuta zaokreta: Jednadžba ravnoteže: j K y, j * ϕ * xc, j * xc, j + K x, j * ϕ * yc, j * y c, j = T j G K x,j, K y,j = krutost zidova na translacijski pomak ϕ = nepoznati pomak x c,j, y c,j = udaljenost središta zidova od središta krutosti Zaokret uslijed djelovanja momenta uvrtanja: ϕ = 2 K j j + y, * x c, j T G j K x, j * y 2 c, j Proračun horizontalnog opterećenja zida V Sd sila na zid 'j' uslijed djelovanja momenta uvrtanja: F Tx, j = ϕ * y * K ; F = ϕ * c, j x, j Ty, j x c, j * K y, j ukupna sila na j-ti zid (translacija+zaokret): F = F + F bx, j Hx, j Tx, j Slučajni ekscentricitet se može uzeti i prema izrazu: δ = δ = koeficijent kojim se množe djelovanja na pojedini zid x = udaljenost nosivog zida od središta zgrade L' c = razmak najudaljenijih nosivoh zidova mjereno okomito na smjer djelovanja potresa x L c

27 27/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) Proračunska nosivost na poprečnu silu: VSd V Rd γ M f vk = karakteristična posmična čvrstoća ziđa, kada na zid djeluje minimalno vertikalno opterećenje, ne uzimajući u obzir dio zida koji je naprezan vlačno. f vk = f vko + 0.4σ d ; σ d =N Sd /(t L c ) L c = duljina tlačno naprezanog dijela zida proračunata na osnovi trokutne raspodjele naprezanja za nearmirano ziđe (bez uzimanja u proračun vlačnog naprezanja): L c =3(L/2-M Sd /N Sd ) L za omeđeno ziđe (uzimanje u proračun vlačnog naprezanja - vlačne armature u vertikalnom serklažu): L c =(L/2)[1+L N Sd /(6M Sd )] L V Rd = f vk t L c

28 28/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) L c = duljina tlačno naprezanog dijela zida proračunata na osnovi trokutne raspodjele naprezanja za omeđeno ziđe (uzimanje u proračun vlačnog naprezanja - vlačne armature u vertikalnom serklažu): L c =(L/2)[1+L N Sd /(6M Sd )] L a d = proračunska duljina tlačnog područja ziđa: a d = 0.8L c e d = proračunski ekscentricitet: e d = L/2-a d /2 = (L-a d )/2 Proračun najvećeg proračunskog momenta savijanja pri djelovanju N Sd i M Sd : Proračun najmanje duljine tlačnog područja: σ N d Sd = N t Sd L < f d = γ f k M M Rd N t a Sd d,min σ d = σ d t L = fd t ad,min ad,min = f Najveći proračunski ekscentricitet: Najveći proračunski moment: e d,max = f d d L L a = d,min L σ = d fd σ = = d t L σ d fd t ad,min ed,max 1 2 fd 2 Fs Potrebna armatura vert. serklaža: A s1 = A s2 = M z f Sd yd N 2 f Sd yd

29 29/35 model B: Projektiranje zidanih konstrukcija; 1.1 dio: Opća pravila za zgrade; Pravila za armirano i nearmirano ziđe; (ENV ) Fs

31 31/35 model C: Histerezisna anvelopa kata (dodatno za horizontalna djelovanja) V=const. H(t) Uređaj za ispitivanje seizmičke otpornosti zidova (ZRMK, Ljubljana) Histerezisne petlje ovisnosti horizontalnih pomaka δ i horizontalnog opterećenja H registrirane tijekom ispitivanja seizmičke otpornosti zida

32 32/35 model C: Histerezisna anvelopa kata (dodatno za horizontalna djelovanja) Idealiziranje eksperimentalno dobivene histerezisne anvelope sa elasto-plastičnom bilinearnom anvelopom. Elasto-plastična bilinearna anvelopa određena je početnom krutošću zida, njegovom nosivošću i faktorom duktilnosti. početna krutost zida: K 0 =H cr /δ cr H cr = sila kod nastanka pukotine u zidu H u = računska nosivost zida (dobije se na temelju energetskog kriterija: površine ispod eksperimentalne i površina ispod idealizirane histerezisne anvelope trebaju biti jednake. Idealiziranje eksperimentalno dobivene histerezisne anvelope računska anvelopa idealizirana anvelopa Dovogorno - granični faktor duktilnosti: D = δ u / δ e δ e = H u / K e δ e = pomak zida na idealiziranoj granici elastičnosti K e = efektivna krutost zida Određivanje seizmičke otpornosti etaže pomoću izračunate histerezisne anvelope etaže

34 34/35 model D: Složeniji proračunski modeli (numeričke metode, štapni 2D i 3D modeli, itd...) Štapni modeli zidanih zidova Ravninski modeli zidanih zidova Proračunski model, djelovanje Pomaci Ravninski modeli zidanih zidova, s linearno elastičnim i izotropnim ponašanjem ziđa su NEODGOVARAJUĆI zbog: - niske vlačne čvrstoće ziđa te stoga jako izražene materijalne nelinarnosti Razdioba momenata savijanja po visini konstrukcije od zidova Glavna naprezanja

35 35/35 model D: Složeniji proračunski modeli (numeričke metode, štapni 2D i 3D modeli, itd...) Modeliranje prijenosa sila po zidovima s tlačnim dijagonalama Usporedba razdiobe momenata savijanja u zidovima po visini zgrade DEM discrete element method (primjer proračuna)