UNIVERSITAS STUDIORUM ZAGRABIENSIS MDCLXIX Digitalna obradba signala školska godina 2007/2008 Predavanje 2.1. Profesor Branko Jeren Frekvencijska anal

Транскрипт

1 11. litopada 2007.

2 Otipkavanje kontinuiranog Otipkavanje kontinuiranog aperiodični dikretni ignal možemo generirati iz kontinuiranog aperiodičnog potupkom otipkavanja pokazuje e da je potupak otipkavanja ekvivalentan amplitudnoj modulaciji periodičnog niza impula ignal x(t), koji e otipkava, množi e nizom Diracovih δ impula kako bi e generirao novi ignal x (t) x (t) = x(t)comb T (t) = x(t) = n= n= δ(t nt ) = x(nt )δ(t nt ) potupak uzimanja uzoraka ili otipkavanja kontinuiranog možemo interpretirati kao pridruživanje, funkciji x(t), niza impula čiji je intenzitet proporcionalan njezinim vrijednotima na mjetu impula 2

3 Otipkavanje kontinuiranog Otipkavanje kontinuiranog 5T 3T T comb () t T (1) T xt () 3T 5T t t x () t 5T 3T T T 3T 5T t

4 4 Otipkavanje kontinuiranog Spektar otipkanog odreduje e pektar x (t) prije je pokazano kako periodični niz Diracovih δ impula možemo prikazati Fourierovim redom comb T (t) = 1 T pa x (t) prelazi u x (t) = x(t) n= k= e jkωt, δ(t nt ) = x(t) 1 T = 1 T Ω = 2π T k= k= e jkωt = x(t)e jkωt

5 Spektar otipkanog primjenom vojtva frekvencijkog pomaka, množenje e jkωt u vremenkoj domeni rezultira u frekvencijkom pomaku, Otipkavanje kontinuiranog X (jω) = 1 T k= X (j(ω kω )) do itog rezultata dolazi e primjenom vojtva množenja u vremenkoj domeni tj. konvolucije u frekvencijkoj domeni prije je pokazano kako je F{comb T (t)} = 2π T k= δ(ω k 2π T )

6 6 Spektar otipkanog Otipkavanje kontinuiranog pa je Fourierova tranformacija produkta x (t) = x(t)comb T (t) X (jω) = 1 2π X (jω) 2π T = 1 T k= k= X (j(ω k 2π T )) = 1 T δ(ω k 2π T ) = k= X (j(ω kω )) zaključuje e kako Fourierova tranformacija niza Diracovih δ impula, moduliranog x(t), je periodični kontinuirani pektar koji je natao periodičnim ponavljanjem X (jω) lijedi prikaz potupka odredivanja pektra, korištenjem vojtva množenja u vremenkoj domeni

7 Otipkavanje kontinuiranog Otipkavanje kontinuiranog Ω M X( jω) 1 0 ΩM Ω Ω 12π Ω 0 1T 0 2π δ ( Ω k Ω ) T k = Ω Ω 1 M Ω Ω Ω +Ω M 2Ω X( jω ) = X ( j( Ω kω) ) T k = 2Ω Ω Ω

8 Spektar otipkanog Otipkavanje kontinuiranog razmotrimo još jednom potupak otipkavanja potupkom modulacije niza Diracovih δ impula kontinuiranim ignalom x(t) x (t) = x(t)comb T (t) = n= x(nt )δ(t nt ) rezultirajući x (t) je niz δ impula čiji u intenziteti (površine) jednake vrijednotima x(t) u trenucima t n = nt ako izdvojimo vrijednoti ovih impula i ložimo ih u niz nataje dikretan niz uzoraka x(n) = x(nt ) zato možemo kazati kako ignal x (t) predtavlja rezultat otipkavanja kontinuiranog x(t)

9 Otipkavanje kontinuiranog Otipkavanje kontinuiranog ( x( 4 T )) ( x( 3 T )) 4T x ( 4) 3T x ( 3) ( x( 2 T )) 2T x ( 2) ( x( T )) T x ( 1) x () t = x() t comb () t T ( x (0)) ( xt ( )) ( x(2 T )) 4T 5T 6T 0 T 2T t ( x(3 T )) ( x(6 T )) xn ( ) = x( nt) x (0) x (1) ( x(4 T )) ( x(5 T )) x (2) x (3) x (6) x (4) x (5) n 9

10 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija pokazano je kako je pektar otipkanog periodičan ito tako, pokazana je veza otipkanog kontinuiranog i dikretnog, x(n) = x(nt ), pa e zaključuje kako je pektar periodičan i jano je da je, ali ada pektar, moguće prikazati Fourierovim redom prije je pokazana veza frekvencijke karakteritike i impulnog odziva dikretnog utava H(e jω ) = m= h(m)e jωm pokazano, je nadalje, kako je frekvencijka karakteritika periodična periodom 2π

11 Fourierova tranformacija aperiodičnih iz vega kazanog možemo, za bilo koji dikretni ignal 1 x(n), definirati Fourierovu tranformaciju, aperiodičnih, koja e prema englekom nazivu naziva i DTFT dicrete time Fourier tranform Otipkavanje kontinuiranog X (e jω ) = n= x(n)e jωn, ω Realni zaključujemo kako je pektar kontinuiran zbog aperiodičnoti u vremenkoj domeni periodičan periodom 2π jer je ignal dikretan u vremenkoj domeni 1 za ignale x i frekvencije ω za koje uma konvergira, što je za gotovo ve praktične primjene, pa problem konveregencije ovdje ne razmatramo

12 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija aperiodičnih kako je pektar periodičan, izraz za DTFT predtavlja Fourierov red, a x(n) koeficijente tog Fourierovog reda X (e jω ) = n= x(n)e jωn, ω Realni koeficijente Fourierovog reda, dakle x(n), odredujemo, ličnim izvodom kao i prije u lučaju Fourierovog reda periodičnih, iz x(n) = 1 2π π π X (e jωn )e jωn dω što predtavlja inverznu DTFT, dakle, inverznu Fourierovu tranformaciju aperiodičnih

13 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija aperiodičnih zaključno, par za Fourierovu tranformaciju aperiodičnih je X (e jω ) = n= x(n)e jωn x(n) = 1 π X (e jωn )e jωn dω 2π π Parevalova jednakot za aperiodične dikretne ignale konačne energije je 2 E x = n= x(n) 2 = 1 π X (e jω ) 2 dω 2π π 2 izvod ličan kao i u prijašnjim lučajevima 13

14 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija aperiodičnih primjer odreduje e Fourierova tranformacija aperiodičnog pravokutnog impula zadanog kao x(n) = { A, 0 n L 1 0, za otale n X (e jω ) = n= 1 xn ( ) A = 1 L = L 1 x(n)e jωn = Ae jωn = A 1 e jωl 1 e jω = n=0 = Ae j ω 2 (L 1) in ( ) ωl 2 in ( ) ω 2 pa u amplitudni (paran jer je ignal realan) i fazni pektar (neparan jer je ignal realan) kontinuirani i periodični n 14

15 15 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija aperiodičnih primjer A L ω = 0 X (e jω ωl ) = in( 2 ) A in( ω 2 ) inače {X (e jω )} = A ω 2 (L 1)+ + in ( ) ωl 2 in ( ) ω 2 AL = 5 3π π 0 2π π j Xe ( ω ) π 3π 2π π 0 π 2π 3π ω 0 { Xe ( j ω )} A = 1 L = 5 π 2π 3π ω

16 16 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija periodičnih pokazano je kako je Fourierov red za kontinuiran periodičan ignal x(t), perioda T 0, x(t) = k= X k e jkω 0t ignal x(t) je prikazan bekonačnim brojem frekvencijkih komponenti i njegov je pektar dikretan, pri čemu je razmak izmedu ujednih komponenti 2π T 0

17 17 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija periodičnih druge trane, povezujući kazano za periodične i dikretne ignale, vrijedi DISKRETAN periodični ignal x(n) = x(n + N) ima PERIODIČAN pektar (zbog dikretnoti u vremenkoj domeni) koji e ponavlja vakih 2π područje frekvencija je ( π, π) ili (0, 2π) dikretni PERIODIČAN ignal x(n) = x(n + N) ima DISKRETAN pektar (zbog periodičnoti u vremenkoj domeni) pri čemu je razmak izmedu ujednih frekvencijkih kompnonenti 2π N radijana Fourierov red za periodični dikretni ignal adržava najviše N frekvencijkih komponenti dakle, za dikretni periodični ignal x(n) = x(n + N), perioda N, Fourierov red adrži N harmonički vezanih kompleknih ekponencijalnih funkcija e jk 2π N n, k = 0, 1,..., N 1

18 18 Fourierova tranformacija periodičnih iz vega kazanog lijedi x(n) = N 1 k=0 X k e jk 2π N n, n = 0, 1,..., N 1 Otipkavanje kontinuiranog što je Fourierov red za dikretan periodični ignal ili, prema englekoj terminologiji DTFS dicrete time Fourier erie koeficijente Fourierovog reda, izvod ličan izvodu za kontinuirane ignale, izračunavamo iz X k = 1 N N 1 n=0 x(n)e jk 2π N n, k = 0, 1,..., N 1

19 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija periodičnih iz izraza za koeficijente Fourierovog reda X k = 1 N N 1 n=0 x(n)e jk 2π N n, k = 0, 1,..., N 1 zaključujemo kako koeficijenti Fourierovog reda X k omogućuju prikaz x(n) u frekvencijkoj domeni, tako da X k predtavljaju amplitudu i fazu vezanu uz frekvencijke komponente e jk 2π N n = e jω kn gdje je ω k = k 2π N

20 20 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija periodičnih lijedi važno vojtvo periodičnoti X k pektar dikretnog je periodičan što vrijedi i za X k koji je periodičan onovnim periodom N X k+n = 1 N N 1 n=0 pa zaključujemo: x(n)e j(k+n) 2π N n = 1 N N 1 n=0 x(n)e jk 2π N n = X k pektar periodičnog dikretnog x(n), onovnog perioda N, je periodičan niz periodom N, što znači da bilo kojih N ujednih uzoraka ili njegova pektra u dovoljni za potpuni opi u vremenkoj ili frekvencijkoj domeni

21 Otipkavanje kontinuiranog Fourierova tranformacija periodičnih zaključno, par za Fourierovu tranformaciju periodičnih je X k = 1 N x(n) = N 1 n=0 N 1 k=0 x(n)e jk 2π N n, k = 0, 1,..., N 1 X k e jk 2π N n, n = 0, 1,..., N 1 Parevalova jedankot za periodične dikretne ignale 3 P x = 1 N N 1 n=0 x(n) 2 = N 1 k=0 X k 2 3 izvod ličan kao i u prijašnjim lučajevima

22 22 Fourierova tranformacija aperiodičnih primjer odreduje e Fourierova tranformacija periodičnog pravokutnog impula zadanog kao xn ( ) Otipkavanje kontinuiranog N N + L L N N + L X k = 1 N N 1 n=0 x(n)e jk 2π N n = 1 L 1 Ae jk 2π N n = N n=0 AL N k = 0 = 1 e jk 2π N L A N 1 e jk 2π N k = 1, 2,..., N 1 n

23 Fourierova tranformacija aperiodičnih primjer X k = AL N k = 0, ±N, ±2N,... A N e jk π N (L 1) in(k π L) N in(k π N ) inače Otipkavanje kontinuiranog AL 0.25 N = A = 1 L = 5 N = π k π k 30 23

24 Fourierova tranformacija primjer uporeduju e pektri aperiodičnih i periodičnih može e uočiti kako je X k = 1 N X (k 2π N ), dakle, pektar periodičnog možemo promatrati kao frekvencijki otipkani pektar aperiodičnog Otipkavanje kontinuiranog 3π 2π π 0 π 2π π π 3π 2π π 0 π 2π π A = 1 L = 5 ω ω A = 1 L = 5 N = 20 k π k 24

25 25 Otipkavanje kontinuiranog Fourierove tranformacije jωt X( j ) x( t) e dt Ω = 1 jωt xt () = X( jω) e dω 2π jω Xe ( ) = xne ( ) n= π jωn 1 jω jωn xn ( ) = Xe ( ) e dω 2 π π 1 = () jkω0t Xk xte dt T T0 0 xt () = Xe k X k k = n= 0 jkω0t N 1 1 = x( n) e N N 1 xn ( ) = Xe k k = 0 2π jk n N 2π jk n N

26 26 Fourierove tranformacije Otipkavanje kontinuiranog kontinuiran aperiodičan dikeretan aperiodičan kontinuiran periodičan dikretan periodičan 2π T 0 N π Ω = 2π T x() t X( jω) x( n) j Xe ( Ω ) x () t X k π 2π T0 N t Ω n ω t ω n N 0 N k

27 digitalna atoji e od tri onovna koraka pretvorba kontinuiranog u dikretan ignal dikretnog pretvorba obradenog dikretnog u kontinuiran ignal ovdje e pokazuje pod kojim uvjetima treba dikretizirati kontinuirani ignal kako bi e mogao obradivati kao dikretan ignal takoder e pokazuje mogućnot rekontrukcije kontinuiranog iz dikretnog

28 Vremenka dikretizacija tipkanjem kontinuiranog pokazano je kako e otipkavanjem kontinuiranog x(t) čiji je pektar X (jω), dobiva ignal x (t) čiji je pektar periodičan i vrijedi X (jω) = 1 T k= X (j(ω k 2π T )) = 1 T k= dakle, pektar otipkanog X (jω) je periodično ponavljani pektar X (jω) kontinuiranog X (j(ω kω )) pretpotavimo da je pektar X (jω) frekvencijki ograničen X (jω) = 0 za Ω > Ω max različite frekvencije tipkanja Ω = 2π T mogu u pektru X (jω) izazvati različite rezultate zavino od toga je li Ω Ω max > Ω max Ω > 2Ω max ili Ω Ω max < Ω max Ω < 2Ω max

29 Vremenka dikretizacija tipkanjem kontinuiranog aliaing X ( jω) 1T Ω > 2Ω max Ω max 0 Ω max X ( jω) Ω Ω 1T Ω < 2Ω max 0 Ωmax Ω Ω za frekvenciju otipkavanja Ω < 2Ω max, na donjoj lici, javlja e preklapanje ponavljajućih ekcija pektra, i ta e pojava naziva, prema englekoj terminologiji, aliaing

30 Shannonov teorem otipkavanja dikretni ignal matramo ekvivalentim kontinuiranom ako je moguće rekontruirati izvorni ignal x(t) iz otipkanog x (t), odnono, ako e iz pektra X (jω) može dobiti originalni X (jω) potupak rekontrukcije pretpotavlja izdvajanje onovne ekcije pektra filtriranjem a to će biti moguće amo ako je pektar X (jω) ograničen na Ω max te ako je frekvencija otipkavanja Ω > 2Ω max gore kazano predtavlja Shannonov teorem i možemo ga precizno ikazati kao: 4 Vremenki kontinuirani ignal x(t), frekvencijama ne većim od F max, može biti egzaktno rekontruiran iz vojih uzoraka x(n) = x(nt ), ako je otipkavanje provedeno frekvencijom F = 1 T koja je veća od 2F max 4 teorem je ikazan, kao što je uobičajeno, frekvencijom u Hz uzimajući u obzir Ω = 2πF 30

31 Antialiaing filtri aliaing koji e javlja pri otipkavanju frekvencijki neomedenog, izbjegava e filtriranjem kontinuiranog tzv. antialiaing filtrom antialiaing filtri u nikopropuni analogni filtri koji propuštaju komponente pektra frekvencija nižih od pola frekvencije otipkavanja, dok više guše korite e realni filtri koji imaju konačnu širinu prijelaznog pojaa frekvencijke karakteritike i konačno gušenje u pojau gušenja 1+ δ p 1 δ p H( jω) δ Ωp Ω

32 32 Antialiaing filtri zbog konačne širine prijelaznog područja realnih antialiaing filtara potrebno je ignal otipkavati nešto većom frekvencijom od dvotruke makimalne frekvencije kod digitalne obradbe glazbenih, čije frekvencijko područje širine 20kHz oigurava vioko vjernu reprodukciju, frekvencija otipkavanja (kod CD npr.) je 44.1 khz što je dakle nešto više od dvotruke makimalne frekvencije

33 Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog periodični e pektar X (jω) može dobiti i iz x (t) = n= x(nt )δ(t nt ) X (jω) = = = x (t)e jωt dt = n= n= x(nt )δ(t nt )e jωt dt = x(nt )e jωnt u dobivenom izrazu e može prepoznati Fourierov red za periodični pektar X (jω)

34 Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog X ( jω) 1T Ω > 2Ω max Ω /2 Ωmax Ω max Ω / 2 Ω Ω Da bi e dobila onovna ekcija pektra X (jω) odnono po mogućnoti X (jω), potrebno je izvršiti filtraciju X (jω) filtrom frekvencijke karakteritike H r (jω), X c (jω) = X (jω)h r (jω)

35 Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog Ω /2 Ωmax X ( jω) 1T Ω max Hr ( jω) Ω / 2 pretpotavimo kako je H r (jω) idealan filtar 1 Ω Ω > 2Ω max Ω Ω / 2 Hr ( jω) 1 čiji je impulni odziv Ω / 2 Ω H r (jω) = { 1 Ω < Ω 2 = π T 0 Ω > Ω 2 = π T h r (t) = 1 2π H r (jω)e jωt dω = 1 T in(ω t/2) Ω t/2 = 1 T in(πt/t ) πt/t

36 36 Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog Neka je frekvencija otipkavanja Ω > 2Ω max, tako da unutar pojaa ponavljanja ( Ω /2, Ω /2) nema preklapanja ekcija pektra. Tada je uz prije izvedeno lijedi X (jω)h r (jω) = 1 T X (jω) X (jω) = n= x(nt )e jωnt [ ] 1 T X (jω) = H r (jω) x(nt )e jωnt n=

37 1 in(πt/t ) T πt/t Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog Inverznom Fourierovom tranformacijom pektra X (jω) lijedi: x(t) = 1 2π = T 2π = T 2π n= x(t) = X (jω)e jωt dω = [ ] H r (jω) x(nt )e jωnt e jωt dω = x(nt ) n= n= Ω/2 Ω /2 e jω(t nt ) dω x(nt ) in π T (t nt ) π (t nt ) Kontinuirani ignal x(t) rekontruiran je iz uzoraka otipkanog x(nt ) interpolacijom funkcijom T

38 38 Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog Možemo zaključiti kako je kontinuirani ignal x(t), koji ima frekvencijki omeden pektar tj. X (jω) = 0 za Ω > Ω /2, jednoznačno odreden trenutnim vrijednotima u jednoliko raporedenim trenutcima t n = nt = n 2π Ω. Interpolacijka funkcija predtavlja impulni odziv idealnog filtra h r (t) = 1 T in(πt/t ) πt/t Idealni filtar ima nekauzalan odziv i prema tome je neotvariv.

39 39 Obnavljanje ili rekontrukcija kontinuiranog pektra iz dikretnog h r (t) t

40 Interpolator nultog reda h r(t) T t

41 41 Interpolator prvog reda h r(t) t

42 Dikretizacija kontinuiranoga pektra pektar aperiodičnih je kontinuiran pektar aperiodičnih takoder je kontinuiran i još k tome i periodičan ovdje e razmatra potupak otipkavanja pektra tj. dikretizacija u pektralnoj domeni potupak koji ćemo ovdje primjeniti identičan je potupku primjenjenom kod otipkavanja

43 Dikretizacija kontinuiranoga pektra dikretizaciju kontinuiranog pektra možemo interpretirati kao modulaciju impulnog niza δ Ωo (Ω) = δ(ω kω o ) funkcijom X (jω) dakle: X d (jω) = X (jω) k= k= δ(ω kω o ) = k= X (jkω o )δ(ω kω o ) periodičan niz δ Ωo (Ω) nataje ponavljanjem delta funkcije vakih Ω o, i kao vaka periodična funkcija e dade predtaviti Fourierovim redom: δ Ωo (Ω) = n= c n e jntpω, T p = 2π Ω o

44 Dikretizacija kontinuiranoga pektra koeficijenti prethodnog Fourierovog reda u c n = 1 Ωo/2 δ(ω)e jntpω dω = 1 Ω o Ω o/2 Ω o pa e δ Ωo može prikazati i kao δ Ωo (Ω) = 1 Ω o odnono X d (jω) kao e jntpω n= X d (jω) = X (jω)δ Ωo (Ω) = 1 X (jω) Ω o n= e jntpω

45 Dikretizacija kontinuiranoga pektra inverznom Fourierovom X d (jω) dobiva e kontinuirani ignal x d (t) koji odgovara otipkanom pektru x d (t) = 1 2π = 1 2π x d (t) = 1 Ω o = 1 Ω o n= n= X d (jω)e jωt dω = [ ] 1 X (jω) e jntpω e jωt dω = Ω o n= 1 X (jω)e jω(t+ntp) dω 2π }{{} x(t+nt p) x(t + nt p ) dakle, otipkavanje kontinuiranog pektra X (jω), x(t), rezultira u njegovom periodičnom ponavljanju vakih T p = 2π Ω o

46 Obnavljanje kontinuiranog pektra iz dikretnog uz X d (jω) prikazan kao: X d (jω) = X (jω) δ(ω kω o ) = k= k= x d (t) dobivamo inverznom tranformacijom kao: x d (t) = 1 2π = 1 2π = 1 2π x d (t) = 1 2π k= k= X (jkω o )δ(ω kω o ) X d (jω)e jωt dω = [ ] X (jkω o )δ(ω kω o ) e jωt dω = k= X (jkω o ) X (jkω o )e jkωot, δ(ω kω o )e jωt dω = Ω o = 2π T p

47 Obnavljanje kontinuiranog pektra iz dikretnog x d (t) je periodična funkcija prikazana Fourierovim redom rekontrukciju kontinuiranog pektra realizira e izdvajanjem amo onovne ekcije od x d (t) što e potiže množenjem x d (t) idealnim pravokutnim otvorom u vremenkoj domeni { 1 t < Tp /2 w(t) = 0 t > T p /2 čiji je pektar: W (jω) = T p in(ωt p /2) ΩT p /2 = T p in(πω/ω o ) πω/ω o

48 48 Obnavljanje kontinuiranog pektra iz dikretnog prvu ekciju dobivamo množenjem w(t): [ ] x d (t)w(t) = 1 1 x(t) = X (jkω o )e jkωot w(t) Ω o 2π k= pektar X (jω), izražen uz pomoć X (jkω o ), lijedi iz X (jω) = = = Ω o 2π x(t)e jωt dt = [ Ω o 2π k= k= X (jkω o ) X (jkω o )e jkωot ] w(t)e jωt dt = Tp/2 T p/2 e j(ω kωo)t dt

49 49 Obnavljanje kontinuiranog pektra iz dikretnog pa je pektar X (jω), izražen uz pomoć X (jkω o ), X (jω) = X (jkω o ) in(π(ω kω o)/ω o ) π(ω kω o )/Ω o k= dakle, pektar je X (jω) jednoznačno odreden iz njegovih uzoraka X (jkω o ) interpolacijom funkcijom W (jω) = T p in(ωt p /2) ΩT p /2 = T p in(πω/ω o ) πω/ω o Zaključak: kontinuirani pektar koji ima omedeno trajanje, x(t) = 0 za t > T p /2, jednoznačno je odreden vojim uzorcima na jednoliko raporedenim frekvencijama Ω k = kω o = k/t p

50 Dimenzionalnot tipkanje u vremenkoj domeni ponavljanje pektra Ω (aliaing u FD) tipkanje u frekvencijkoj domeni ponavljanje u vremenkoj domeni T p (aliaing u VD) relativna greška u FD i VD može biti ocijenjena energijom i pektra izvan izabranog trajanja T p, odnono frekvencijkog pojaa Ω, prema ukupnoj energiji ε FD = 2 Ω X /2 (jω) 2 dω 2 0 X (jω) 2 dω }{{} relativna greška u FD ε VD = 2 T p/2 x(t) 2 dt 2 0 x(t) 2 dt }{{} relativna greška u VD greške e mogu ocijeniti poznavanjem brzine opadanja i pektra za t > T p /2 odnono Ω > Ω /2

51 Dimenzionalnot uz pecificiranu dozvoljenu grešku aliainga u FD i VD dobivamo T p i F - trajanje i širinu pojaa potreban broj uzoraka u VD 2π N T T = T p = N T N T = T pω Ω 2π potreban broj uzoraka u FD 2π N Ωo Ω o = Ω = N Ωo Tp N Ω o = T pω 2π pa je dimenzija = T pf = T pf N Ωo = N T = T pω 2π = T pf