S E M I N A R S K I R A D Primena diferencijalnog računa Marina -Dokić Marina Jokić Tatjana Jakšić Decembar, 2006. 1
Diferencijalni račun ima veliku primenu u ekonomiji, elektrotehnici, astrofizici, astronomiji, fizici... Mi ćemo se baviti proučavanjem primene u fizici. 1 KINEMATIKA TEORIJE RELATIVNOSTI 1.1 Osnovne ideje Einsteinove teorije relativnosti Da bi otklonio logičke poteškoće u koje je upala klasična fizika, Einstein je napustio pojmove apsolutnog prostora i vremena i izgradio teoriju koja je nazvana specijalna teorija relativnosti.ona se zasniva na zahtevu ekvivalentnosti svih inercijalnih sistema, što predstavlja generalizaciju klasičnog principa relativnosti i na rezultatu Michelsonovog eksperimenta, tj. jednakosti brzine svetlosti u svim inercijalnim sistemima. Zahtev za ekvivalentnošću svih inercijalnih sistema ispoljava se na taj način što svi fizički zakoni moraju biti tako formulisani da imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima. (Prostor od n dimenzija) Da bi se fizički zakoni mogli formulisati u obliku koji je invarijantan prema transformacijama koordinata, mora se uvesti takav matematički aparat koji operiše sa veličinama definisanim samim zakonom transformacije. Po analogiji sa pojmom tačke u trodimenzionom Euklidovom prostoru, ma kakav ured en skup x = (x 1,..., x n ) naziva se tačka, a same veličine x p koordinate tačke. Skup svih tako definisanih tačaka predstavlja n dimenzioni prostor koji u opštem slučaju ne mora biti metrički. (Skalari ili invarijante) Neka je Φ funkcija koordinata x p = x p (x 1,..., x n ) i označimo sa Φ vrednost ove funkcije posle transformacije na nove koordinate x p = x p (x 1,..., x n ). Ako je pri ovoj transformaciji Φ = Φ, tj. ako vrednost ove funkcije ostaje pri tome nepromenjena, ona se naziva skalar ili invarijanta. 2
(Kovarijantni i kontravarijantni vektori) Uočimo sad skup od n veličina A p. Ako se ove veličine pri transformacijama koordinata x p = x p (x 1,..., x n ) transformišu prema zakonu A p = x p x q Aq, pri čemu se prema Einsteinovoj konvenciji podrazumeva sumiranje po indeksu q, takav skup A p naziva se kontravarijantan vektor. U slučaju homogenih linearnih transformacija x p = α p q x q biće x p x q = αp q, pa gornji zakon dobija prostiji oblik A p = α p q A q. Ako imamo n veličina A p koje se transformišu prema zakonu A p = xq x p A q, ovaj skup A p naziva se kovarijantan vektor. Navedimo kao primer skup diferencijala koordinata dx p. Pošto je prema obrascu za totalni diferencijal dx p = x p x q dxq, pored enjem sa obrascem A p = x p A q vidimo da se ovaj skup x q transformiše upravo po zakonu kontravarijantnih vektora, tj. skup dx p je kontravarijantan vektor. Kao drugi primer uzimamo skup parcijalnih izvoda skalara po koordinatama Φ. Prema obrascu za posredno diferenciranje funkcija x p imamo Φ x p Φ Φ = x p x xq q x, p odakle prema obrascu A p = xq A x p q možemo zaključiti da je skup kovarijantan vektor. (Kontravarijantni, kovarijantni i mešoviti tenzori) Uočimo sad skup od n 2 veličina A pq. Ako se ove veličine pri transformaciji koordinata x p = x p (x 1,..., x n ) transformišu prema zakonu 3
A pq = x p x r x q x s Ars, pri čemu se prema Einsteinovoj konvenciji podrazumeva sumiranje po indeksima r i s, takav skup A pq naziva se kontravarijantan tenzor. U slučaju homogenih linearnih transformacija x p = α p q x q imaćemo A pq = α p r α q s A rs Ako zakon transformacije ima oblik A pq = xr xs x p x A rs, q skup A pq naziva se kovarijantan tenzor, a ako je A p q = x p x r xs x q Ar s, imaćemo mešoviti tenzor. Kao primer, navedimo skup proizvoda dvaju kontravarijantnih vektora A p B q. Oni su odred eni zakonom A p = xq x p A q, a odatle sledi A p = x p x r Ar, B q = x q x s Bs, A p B q = x p x r x q x s Ar B s pa pored enjem sa obrascem A pq = x p A rs vidimo da je skup x s A p B q kontravarijantan tenzor. Ispitajmo još kako se transformišu komponente skupa parcijalnih izvoda Ap. Odavde, prema zakonu A x q p = xq A x p q,imamo A p = xr x p A r, pa diferenciranjem po x q dobijamo x r x q tj. A p x q = 2 x r x p x q A r + xr x p A r x q, A p x q = 2 x r x p x A q r + xr x s A r x p x q x s 4
odakle zaključujemo da skup Ap u opštem slučaju nije tenzor. x q Med utim ako su transformacije oblika x p = αqx p q, prvi član otpada,pa prema obrascu A pq = xr x s A x p x q rs vidimo da u slučaju homogenih linearnih transformacija skup Ap predstavlja kovarijantan x q tenzor. (Osnovne operacije sa tenzorima.) Ako uzmemo skup zbirova odgovarajućih elemenata dvaju tenzora istog reda i tipa, npr. A pq + B pq, ovaj skup biće takod e tenzor istog reda i tipa i naziva se zbir tenzora. Skup proizvoda elemenata dvaju tenzora, npr. A p B qr, predstavljaće takod e tenzor čiji je red jednak zbiru redova datih tenzora i naziva se spoljašnji proizvod tenzora. Ako se izjednače jedan gornji i jedan donji indeks tenzora, prema Einsteinovoj konvenciji podrazumeva se da treba izvršiti sumiranje po tom indeksu. Rezultat je tenzor čiji je red za dva niži od reda početnog tenzora i ovaj proces naziva se kontrakcija tenzora. Sprovede li se spoljašnje množenje tenzora i potom kontrakcija, dobiće se novi tenzor koji se naziva unutrašnji proizvod tenzora. Operacija unutrašnjeg proizvoda pruža nam jedan kriterijum za odred ivanje tenzorskog karaktera. Posmatrajmo npr. izraz A(p, q)b pq, koji predstavlja unutrašnji proizvod tenzora A(p, q) i B rs.ako sad pretpostavimo da znamo da je ovaj izraz skalar, i to za svaki tenzor B rs, pokažimo da tada A(p, q) mora biti takod e tenzor, i to kovarijantan. Prema pretpostavci biće a otuda tj. A (p, q)b pq = A(r, s)b rs, B pq = x p x r x q x s Brs, A (p, q) x p x r x q x s Brs = A(r, s)b rs, B rs [A (p, q) x p x q A(r, s)] = 0. x r xs Pošto ova jednakost mora da važi za ma koje B rs, izraz u zagradi mora biti jednak nuli A (p, q) x p x q x r x s a posle množenja obeju strana sa xr Einsteinove konvencije imaćemo = A(r, s), x s x p x q i sumiranja u smislu 5
tj. A (p, q) x p x r x q x s xr x s = A(r, s), x r x p x s x q x p x q A (p, q) = xr x s A(r, s). x p x q Odavde vidimo da pod navedenim pretpostavkama skup A(p, q) zaista predstavlja kovarijantan tenzor. (Relativističko slaganje brzina.) Posmatrajmo kretanje neke čestice iz dva inercijalna sistema S i S i potražimo relacije izmed u komponenata brzina ove čestice u tim sistemima. Ako odgovarajuće brzine označimo sa v i v, njene komponente u sistemu S biće a u sistemu S v x = dx dt, v y = dy dt, v z = dz dt, v x = dx dt, v y = dy dt, v z = dz dt. Ove poslednje diferencijale možemo naći diferenciranjem izraza x = x ut 1 u2, y = y, z = z, t = t u x, 1 u2 koji predstavljaju transformacione obrasce, koji povezuju prostorne koordinate i vremena u dva inercijalna sistema, od kojih se drugi kreće translatorno duž X ose prvog, pa dobijamo sledeće izraze dx = odakle dobijamo tj. v x = dx udt 1 u2, dy = dy, dz = dz, dt = dx udt dt u dx = v x = v x u 1 uvx dx u dt 1 u dx dt v z = dz 1 u2, v y = dy 1 u2 dz dt u dx = dt, v y = v y dt u dx, 1 u2 dy dt u dx = dt 1 u2 1 u dx dt 1 u2, v 1 uvx z = v z 1 u2 1 uvx 6, 1 u2 1 u dx dt.,
Inverzne obrasce možemo dobiti uzajamnom izmenom veličina sa zarezom i bez njega uz istovremenu zamenu u sa u v x = v x + u, v y = v y 1 u2, v z = v z 1 u2. 1 + uv x 1 + uv x 1 + uv x Ovi obrasci izražavaju relativistički zakon slaganja brzina. 7
2 RELATIVISTIČKA DINAMIKA 2.1 Osnovna jednačina relativističke dinamike Sada ćemo razmatrati dinamiku u specijalnoj teoriji relativnosti. Pri tome ćemo se ograničiti na kretanje samo jedne čestice, tj. takvog tela čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovni pojam relativističke dinamike kao i klasične je masa, čiji se smisao sastoji u tome da ona predstavlja meru inercije čestice. Drugi, izvedeni pojam, koji se može svesti na masu i kinematičke pojmove je sila, koja nam omogućava da definišemo osnovnu jednačinu dinamike. Za nalaženje relativistički invarijantnog oblika osnovne jednačine dinamike neophodno je naći odgovarajuću jednačinu u kovarijantnom, kvadrivektorskom obliku. Zamislimo sada neku česticu, za koju u beskonačno malom vremenskom intervalu (t,t+dt) možemo uvek uzeti da se kreće uniformno, i sistem S vezan za ovu česticu. Po analogiji sa impulsom u klasičnoj mehanici uvedimo skup P µ = m 0 V µ, gde je m 0 masa u sistemu koji se kreće zajedno sa uočenom česticom, tzv. sopstvena masa. Pošto je m 0 skalar(invarijanta), ovaj skup predstavlja vektor u svetu Minkovskog i naziva se kvadrivektor impulsa. Kao prirodnu relativističku generalizaciju osnovne jednačine dinamike klasične mehanike ovde možemo uzeti d dt (m v k) = f k (x i, v i, t) d dt 0 (m 0 V µ ) = F µ (x ν, V ν, t 0 ), gde je F µ neki kvadrivektor, tzv. kvadrivektor sile ili sila Minkovskog, koji mora zavisiti od promenljivih analognih onima u klasičnoj mehanici. Gornja jednačina se naziva osnovna jednačina relativističke dinamike. (Diferencijalna jednačina kretanja) dinamike dobija oblik d dt 0 (m 0 V k ) = F k, Za µ = 1, 2, 3 osnovna jednačina 8
a izraz na levoj strani možemo transformisati na osnovu obrazaca P k = m 0V k, P 4 = icm0 i dt = dt0 (veza izmed u sopstvenog 1 v2 1 v2 1 v2 vremena(vreme u nekom sistemu koji se kreće zajedno sa telom) i vremena u ma kom drugom inercijalnom sistemu), imajući u vidu da je u = v tj. d (m 0 V k ) = dp k = d ( m 0v k ) = d dt 0 dt 0 dt 0 dt ( m 0v k ) dt = dt 0 Tako dobijamo 1 d dt ( m 0v k ). 1 d dt ( m 0v k ) = F k, d dt ( m 0v k ) = F k. Pored enjem sa osnovnom jednačinom klasične dinamike dp k dt = f k(x i, v i, t), a na osnovu našeg dopunskog postulata da dinamičke veličine moraju biti povezane istim relacijama kao u klasičnoj mehanici, zaključujemo da izraz u zagradi sa leve strane gornje jednačine d ( m 0v k ) = dt 1 v2 c 2 F k možemo interpretirati kao impuls p k m 0 v k, a izraz na desnoj strani kao silu f k = F k. Shvatimo li impuls kao proizvod mase i brzine, tj. u obliku p k = m mv k, iz obrasca p 0 v k k dalje zaključujemo da je masa 1 v2 9
m = m 0. Na osnovu dobijenih rezultata, a upotrebljavajući samo veličine koje se mogu meriti u trodimenzionom prostoru, jednačinu d ( m 0v k ) = dt 1 v2 c 2 F k možemo napisati u obliku ili vektorski d dt ( m 0v k ) = f k (x i, v i, t) d dt ( m 0 v ) = f( r, v, t). To je diferencijalna jednačina kretanja čestice u polju posmatrane sile, a njenim rešavanjem po sličnom postupku kao u klasičnoj mehanici možemo naći konačne jednačine kretanja ove čestice. 10
3 POJAM RADA I POTENCIJAL SILA 3.1 Definicija rada Ako izvesna sila dejstvuje na izvesnom putu, kažemo da ona vrši rad. Svakako, iz iskustva je poznato da je potreban utoliko veći rad ukoliko je veća sila i ukoliko je veći put pod uslovom da je sila stalna duž puta i da dejstvuje uvek u pravcu puta. No, u opštem slučaju ovi uslovi ne moraju biti ispunjeni. Posmatrajmo rad sile na beskonačno malom putu. Neka je F sila koja dejstvuje na česticu u položaju M i neka se ona pod dejstvom sile pomeri za ds pod uglom α prema sili. Tada se proizvod aktivne sile i elementarnog pomeranja može smatrati merom ovog rada i naziva se elementarni rad d A = F cos α d s = F d s, pri čemu smo oznakom napomenuli da ovaj izraz u opštem slučaju ne mora biti totalni diferencijal. Ako imamo sistem od N čestica i ako na taj sistem dejstvuju sile tako da se i ta čestica pod dejstvom sile F i pomeri za d si, ukupni elementarni rad jednak je zbiru elementarnih radova na pojedinačnim česticama d A = F idsi. Elementarna pomeranja mogu se i izraziti i pomoću odgovarajućih vektora položaja d si = r i r i = d r i, tj.elementarna pomeranja su diferencijali vektora položaja, pa prethodni izraz možemo napisati i u obliku d A = F idri. Ukupni rad jednak je zbiru odgovarajućih elementarnih radova A = N F i dri = Mi M i0 Fi dri, pri čemu M i0 i M i predstavljaju početne i krajnje položaje i te čestice sistema. 11
3.2 Konzervativne sile Sada nas interesuje pod kojim uslovom rad sila ne zavisi od oblika puta. Da bi integral A = N F i dri = Mi M i0 Fi dri bio nezavisan od oblika puta, izraz pod integralom mora biti totalni diferencijal neke funkcije položaja svih čestica F idri = df(x j, y j, z j ), pri čemu je x j skup svih apscisa čestica sistema. Tada izraz za ukupan rad ima vrednost A = df = f(x j, y j, z j ) f(x j0, y j0, z j0 ), odakle vidimo da rad u ovom slučaju zaista zavisi samo od vrednosti funkcije f u početnim i krajnjim položajima čestica sistema. Ako obrazac F idri = df(x j, y j, z j ) napišemo u razvijenom obliku, pri čemu na levoj strani razvijamo skalarne proizvode, a na desnoj totalni diferencijal, dobijamo f f f F ix dx i + F iy dy i + F iz dz i = dx i + dy i + dz i. x i y i z i Pošto su sve koordinate čestica medjusobno nezavisne, prethodna jednakost biće zadovoljena akko su svi koeficijenti uz iste diferencijale na levoj i desnoj strani medjusobno jednaki F ix = f x i, F iy = f y i, F iz = f z i (i = 1, 2,..., N). Ako uvedemo pojam parcijalnog gradijenta, ove obrasce možemo napisati i u vektorskom obliku F i = grad ri f, (i = 1, 2,..., N), pri čemu se parcijalni gradijent označava i simbolom f r i. 3.3 Potencijal sila Uzmimo negativnu vrednost funkcije sile i označimo je sa U, tj. U = f. Tada obrasci 12
F ix = f x i, F iy = f y i, F iz = f z i (i = 1, 2,..., N) dobijaju oblik F ix = U x i, F iy = U y i, F iz = U z i (i = 1, 2,..., N), a obrazac F i = grad ri f, (i = 1, 2,..., N) ima oblik F i = grad ri U, (i = 1, 2,..., N). Ovako uvedena veličina U naziva se potencijal sila ili potencijalna energija sistema. 13
4 LONGITUDINALNE OSCILACIJE ŽICE Ako posmatramo žicu izvedenu iz ravnotežnog položaja, ona će tada početi da vrši longitudinalne oscilacije, koje se sastoje iz periodičnog zgušnjavanja i razred ivanja delića duž žice. Pretpostavimo opet da su deformacije žice vrlo male. U ovom slučaju pravci napona P i P uopšte se ne razlikuju, pa je razlika njihovih intenziteta jedini razlog zbog koga se pojavljuje rezultujuća sila df, koja ima pravac žice. Njen intenzitet iznosi df = qp qp = q[p (x + dx) P (x)], gde je q normalni poprečni presek žice. Ako izraz P (x + dx) razvijemo u Tejlorov red oko tačke x, imamo P (x + dx) = P (x) + dx( P x ) x +..., te dobijamo približno, izostavljajući indeks x df = qdx P dx. Ovde koristimo empirijski Hookeov zakon, prema kome je relativna promena dužine žice srazmerna naponu u žici l l = 1 E P, pri čemu je faktor srazmernosti označen sa 1 i ovako definisano E E zavisi od prirode materijala i naziva se moduo elastičnosti. U ovom slučaju imamo te je l = dx, pa Hookeov zakon daje Odavde imamo l = u(x + dx) u(x) dx( u x ) x, l l P = E u x, = ( u x ) x, u x = 1 E P. pa zamenom u obrascu df = qdx P dx P x = E 2 u x, 2 df = qedx 2 u x 2. dobijamo 14
Ako se ova sila napiše kao proizvod mase i ubrzanja i ima u vidu da se ubrzanje delića žice na mestu x u trenutku t zbog male izmene njegove apscise x u toku vremena može približno napisati u obliku 2 u t 2. S druge strane, ova sila dejstvujući na neki uočeni element žice, mase dm = ρqdx, gde je ρ gustina žice, daje mu izvesno ubrzanje ( d2 u dt 2 ) x, te imamo prema osnovnoj jednačini dinamike df = dm( d2 u dt 2 ) x = ρqdx( d2 u dt 2 ) x. Ovde ( d2 u dt 2 ) x predstavlja ubrzanje delića žice na mestu x, a pošto ova čestica stalno ima apscisu x, navedeni izraz istovremeno predstavlja i drugi parcijalni izvod funkcije u(x, t) po t pri stalnom x, tj. 2 u t 2, pa prethodni izraz možemo napisati u obliku Iz obrazaca df = ρqdx 2 u t 2 a iz toga df = ρqdx 2 u t 2. ρqdx 2 u t 2 2 u t 2 i df = qedx 2 u x 2 = qedx 2 u x 2, = E ρ 2 u x 2. dobijamo To je diferencijalna jednačina longitudinalnih oscilacija žice i ona takod e odredjuje elongaciju delića žice kao funkciju položaja x i vremena t. 15
References [1] -Dord e Mušicki: Uvod u teorijsku fiziku I, II 16