Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja 2018. Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje. Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa. U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom. Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6. Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1.(10) Ispitajte lokalne ekstreme funkcije 2.(15 = 7 + 8) Zadan je skup P R 3, (a) Dokaºite da je P ploha u R 3. f(x, y, z) := x 2 + 3xy + 4y 2 + z ln z z + 1. P... x 2 y 2 = z. (b) Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu P u sjeci²tu plohe P sa x-osi. 3.(10) Izra unajte integral (x + 1) dx dy dz, S gdje je skup S R 3 zadan sa x 2 + y 2 1 0 z 3 S... x 0 y 0. 4.(15 = 8 + 7) Zadano je vektorsko polje F : R 3 R 3, Zadana je i krivulja γ : [0, 1] R 3, (a) Izra unajte integral F (x, y, z) := ( x, y, z). γ(t) := (b) Izra unajte rotaciju vektorskog polja F. ( 1, e t2, e t2). γ F dγ. Da biste vidjeli 5. i 6. zadatak, okrenite list!
5.(15) Odrežena ovisnost opisana je formulom h(c) = RT c ( 1 + Bc ). ρgm M Iznosi konstanti u gornjoj formuli su R = 8,3145 J K 1 mol 1, T = 298,0 K, ρ = 0,980 g cm 3, g = 9,81 m s 2, dok iznosi M i B nisu poznati. Mjerenjima dobiveni su sljede i podaci: c/(g L 1 ) 1,25 3,80 7,12 9,27 h/cm 0,283 2,09 5,07 8,05 Polaznu jednadºbu interpretirajte kao jednadºbu pravca te koriste i metodu najmanjih kvadrata izra unajte M i B. 6.(15) Iz drvenog uspravnog elipti kog valjka stolar ºeli napraviti posudu maksimalnog (slobodnog) volumena. Pritom treba zadovoljiti uvjete designer -a: Za prostor za olovke potrebno je odstraniti uspravnu pravokutnu piramidu ija osnovica leºi na jednoj od osnovica valjka i to tako da su stranice pravokutne osnovice paralelne osima elipse. Ako su duljine osi osnovice valjka 10 cm i 7 cm, te ako je visina valjka 5 cm, koje su dimenzije osnovice izrezane piramide i koja joj je visina?
Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja 2018. Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje. Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa. U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom. Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6. Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1.(10) Ispitajte lokalne ekstreme funkcije 2.(15 = 7 + 8) Zadan je skup P R 3, (a) Dokaºite da je P ploha u R 3. f(x, y, z) := x x ln x y 2 2yz 4z 2 + 2. P... y 2 x = z 2. (b) Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu P u sjeci²tu plohe P sa y-osi. 3.(10) Izra unajte integral (y 1) dx dy dz, S gdje je skup S R 3 zadan sa x 2 + y 2 9 0 z 2 S... x 0 y 0. 4.(15 = 8 + 7) Zadano je vektorsko polje F : R 3 R 3, Zadana je i krivulja γ : [0, 1] R 3, (a) Izra unajte integral F (x, y, z) := (x, 2y, z). γ(t) := (b) Izra unajte rotaciju vektorskog polja F. ( e t2, 1, e t2). γ F dγ. Da biste vidjeli 5. i 6. zadatak, okrenite list!
5.(15) Odrežena ovisnost opisana je formulom 3ε 0 P m (T ) N A = 4πε 0 α + µ2 3kT. Iznosi konstanti u gornjoj formuli su N A = 6,022 10 23 mol 1, ε 0 = 8,854 10 12 J 1 C 2 m 1 i k = 1,381 10 23 J K 1, dok iznosi α i µ nisu poznati. Mjerenjima dobiveni su sljede i podaci: T/K 273 313 373 433 P m /(cm 3 mol 1 ) 122 118 111 107 Polaznu jednadºbu interpretirajte kao jednadºbu pravca te koriste i metodu najmanjih kvadrata izra unajte α i µ. 6.(15) Okrugla tikvica moºe se opisati kao staklena kugla s rupom na koju se nastavlja uspravni kruºni, otvoreni, valjak (grlo tikvice). Odredite promjer kuglastog dijela i grla te duljinu grla okrugle tikvice ako ta tikvica treba imati minimalno oplo²je uz ksirani volumen.
Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja 2018. Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje. Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa. U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom. Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6. Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1.(10) Ispitajte lokalne ekstreme funkcije 2.(15 = 7 + 8) Zadan je skup P R 3, (a) Dokaºite da je P ploha u R 3. f(x, y, z) := 1 x 2 + y(1 ln y) + xz z 2. P... x z 2 = y 2. (b) Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu P u sjeci²tu plohe P sa z-osi. 3.(10) Izra unajte integral (1 x) dx dy dz, S gdje je skup S R 3 zadan sa x 2 + y 2 16 0 z 5 S... x 0 y 0. 4.(15 = 8 + 7) Zadano je vektorsko polje F : R 3 R 3, Zadana je i krivulja γ : [0, 1] R 3, (a) Izra unajte integral F (x, y, z) := (x, y, 2z). γ(t) := (b) Izra unajte rotaciju vektorskog polja F. ( ) e t2, e t2, 1. γ F dγ. Da biste vidjeli 5. i 6. zadatak, okrenite list!
5.(15) Odrežena ovisnost opisana je formulom p(t ) = p exp(2(t r S r H )/(RT )). Iznosi konstanti u gornjoj formuli su p = 750 mmhg i R = 8,3145 J K 1 mol 1, dok iznosi r S i r H nisu poznati. Mjerenjima dobiveni su sljede i podaci: t/ C 150,0 183,1 191,2 200,0 p/mmhg 182,0 605,0 790,0 1050 Polaznu jednadºbu interpretirajte kao jednadºbu pravca te koriste i metodu najmanjih kvadrata izra unajte r S i r H. 6.(15) šelite izraditi kutiju za pakete oblika kvadra koja s jedne strane ima ksirani zbroj duljine, ²irine i visine iznosa 150 cm, a s druge strane ksiranu duljinu dijagonale 90 cm. Koje su dimenzije te kutije ako ºelite potro²iti ²to manje materijala za njenu izradu?
Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja 2018. Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje. Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa. U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom. Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6. Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1.(10) Ispitajte lokalne ekstreme funkcije 2.(15 = 7 + 8) Zadan je skup P R 3, (a) Dokaºite da je P ploha u R 3. f(x, y, z) := 1 + x(ln x 1) + y 2 + 2yz + 2z 2. P... y z 2 = x 2. (b) Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu P u sjeci²tu plohe P sa y-osi. 3.(10) Izra unajte integral (1 y) dx dy dz, S gdje je skup S R 3 zadan sa x 2 + y 2 25 0 z 4 S... x 0 y 0. 4.(15 = 8 + 7) Zadano je vektorsko polje F : R 3 R 3, Zadana je i krivulja γ : [0, 1] R 3, (a) Izra unajte integral F (x, y, z) := (x, y, z). γ(t) := (b) Izra unajte rotaciju vektorskog polja F. ( e t2, 1, e t2). γ F dγ. Da biste vidjeli 5. i 6. zadatak, okrenite list!
5.(15) Odrežena ovisnost opisana je formulom (a b c B )p exp((a + p)kt) = a(p b + c B ). Poznati su iznosi a = 0,50 mol/l i p = 0,20 mol/l, dok iznosi b i k nisu poznati. Mjerenjima dobiveni su sljede i podaci: t/min 5,00 10,0 12,0 16,0 c B /(mol/l) 0,030 0,055 0,070 0,095 Polaznu jednadºbu interpretirajte kao jednadºbu pravca te koriste i metodu najmanjih kvadrata izra unajte b i k. 6.(15) Okrugla tikvica moºe se opisati kao staklena kugla s rupom na koju se nastavlja uspravni kruºni, otvoreni, valjak (grlo tikvice). Odredite promjer kuglastog dijela i grla te duljinu grla okrugle tikvice ako ta tikvica treba imati maksimalni volumen uz uvjet da joj je oplo²je ksiranog iznosa.
Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja 2018. Instructions. You can use a calculator, a typeset or hand-written formulae sheet (booklets and logarithmic tables are not allowed), and writing utensils. The graders will ignore any illegible parts of the test. Please write your solution to Problems 14 and your solution to Problems 56 on separate sheets of paper. Please write your rst name, surname, and identication code of the form K17*** on each sheet of paper that you turn in. 1.(10) Determine the local extrema of the function 2.(15 = 7 + 8) Let P R 3 be dened by (a) Prove that P is a surface in R 3. f(x, y, z) := x 2 + 3xy + 4y 2 + z ln z z + 1. P... x 2 y 2 = z. (b) Find the equation of the tangent plane to P at the intersection of P with the x-axis. 3.(10) Compute the integral (x + 1) dx dy dz, S where the set S R 3 is dened by x 2 + y 2 1 0 z 3 S... x 0 y 0. 4.(15 = 8 + 7) Let F : R 3 R 3 be a vector eld dened by F (x, y, z) := ( x, y, z). Let γ : [0, 1] R 3 be a curve in R 3 dened by ( γ(t) := 1, e t2, e t2). (a) Compute the integral (b) Compute the rotation of F. γ F dγ. To see Problems 5 and 6, ip the paper over!
5.(15) A specic functional relationship is given by equation h(c) = RT c ( 1 + Bc ). ρgm M The values of the constants are R = 8,3145 J K 1 mol 1, T = 298,0 K, ρ = 0,980 g cm 3, g = 9,81 m s 2, while the values M and B are unknown. The experiment gave rise to the following data: c/(g L 1 ) 1,25 3,80 7,12 9,27 h/cm 0,283 2,09 5,07 8,05 Interpret the given equation as an equation of a line and use the least squares method to determine M and B. 6.(15) A carpenter is cutting a container with maximal content (empty) space from an upright elliptic cylinder. The designer requested that it is to be done this way: From the cylinder an upright rectangular pyramid is to be cut out in such a way that its base lies on one of the two bases of the cylinder and its sides lie parallel to the axes of this elliptic base. If the lengths of the major and minor axis are 10 cm and 7 cm, and the cylinder is of height 5 cm, what are the dimensions of the pyramid base and what is its height?