Microsoft PowerPoint - MehMat-II_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

MEHANIKA MATERIJALA II Aleksandar Karač Kancelarija 1111 tel: 44 44 0, lok. 19 akarac@ptf.unze.ba Josip Kačmarčik Kancelarija 115 tel: 44 91 0, lok. 114 kjosip@mf.unze.ba ptf.unze.ba/mehanika-materijala-ii

O kursu Otpornost Materijala II... Izvođenje nastave predavanja: časa sedmično vježbe: časa sedmično (auditorne/laboratorijske/rc) Obaveze studenata redovno prisustvo predavanjima i vježbama urađene zadaće (po poglavljima) SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO KRAJA SEMESTRA!!! seminarski rad (tekstualni dio + prezentacija) Cilj predmeta Kompetencije (Ishodi učenja) Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rješavanje komplikovanijih problema iz oblasti mehanike materijala Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja Proširiti analizu opterećenja elemenata na plastično područje Po završetku kursa studenti će biti u stanju: rješavati komplikovanije probleme iz oblasti savijanja dizajnirati i analizirati konstrukcije izložene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti primijeniti naprednije metode za rješavanje problema iz oblasti mehanike materijala razlikovati i biti u stanju riješiti probleme s elementima opterećenim preko granice tečenja. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II

O kursu Otpornost Materijala II... Provjera znanja kolokviranje zadataka na vježbama seminarski rad pismeni ispit (zadaci) Konačna ocjena prisustvo nastavi: 0 % zadaće: 5 % seminarski: 5 % pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!! Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!! Ocjena 6 55-64% Ocjena 7 65-74% Ocjena 8 75-84% Ocjena 9 85-94% Ocjena 10 95-100% 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 3

O kursu Otpornost Materijala II... Sadržaj/program kursa (1) Uvijanje napredni kurs sedmice () Koncentracija napona 1 sedmica (3) Prostorno stanje napona 3 sedmice (4) Savijanje greda napredni kurs 3 sedmice (5) Energetske metode 3 sedmice (6) Izvijanje sedmice 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 4

O kursu Otpornost Materijala II... LITERATURA osnovna Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici) Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003. Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 004. Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990. Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990. Vukojević D., Teorija elastičnosti, Mašinski fakultet u Zenici, 1998. Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 000. dodatna RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum s outline series, McGraw-Hill, 1998. WC Young, RG Budynas, Roark s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 00. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 5

O kursu Otpornost Materijala II... Obaveze studenata ZADAĆA 1: (1) + () + (3) Zadata: 5. mart 019. Rok za predaju: 19. april 019. (petak) ZADAĆA : (4) + (5) + (6) Zadata: 16. april 019. Rok za predaju: 7. juni 019. (petak) SEMINARSKI: Rok za predaju: 31. maj 019. PREZENTACIJA: 4. jun 019. Konsultacije Prema dogovoru/najavi!!! 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 6

O kursu Otpornost Materijala II... Korisne web stranice MecMovies to Accompany Mechanics of Materials http://web.mst.edu/~mecmovie/ Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorials http://www.onesmartclick.com/engineering/strength-of-material.html CosmoLearning, Strength of Materials http://www.cosmolearning.com/courses/strength-of-materials/ Elastic Beam Deflection Calculator http://www.aps.anl.gov/aps_engineering_support_division/mechanical_operati ons_and_maintenance/calculators/elasticbeam.html Free Mechanical Engineering Online Calculators http://www.freebyte.com/cad/calculator.htm FREE STRUCTURAL SOFT WARES http://www.taxlians.com/html/freesoft.html 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 7

Uvijanje napredni kurs Uvijanje ponavljanje Veza deformacija i napona G max Gr r max Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!! Uvijanje = čisto smicanje = dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona Opšta formula uvijanja r max T I o Uzdužni i transferzalni naponi 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 8

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Prije deformisanja Poslije deformisanja *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 9

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Raspodjela napona Izvitopereni poprečni presjek Naponi u izabranim elementima 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 10

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Maksimalni tangencijalni napon i ugao uvijanja Pravougaoni poprečni presjek T max cab 1 TL 3 cabg 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 11

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Primjer 1.1: Vratilo je izrađ eno od crvenog mesinga C8300 i eliptič nog je poprečnog presjeka. Ako se vratilo optereti momentima uvijanja kao na slici, odrediti maksimalan tangencijalni napon u dijelovim AC i BC, te ugao uvijanja φ kraja B u odnosu na kraj A. Odrediti ugao uvijanja kraja B u odnosu na kraj C. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 1

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Primjer 1.: Vratilo prikazano na slici izrađeno je od aluminijumske legure 6061-T6 i ima poprečni presjek jednakostraničnog trougla. Odrediti najveći moment uvijanja T koji se može primijeniti na kraj vratila ako je dozvoljeni tangencijalni napon 8ksi, a ugao uvijanja ograničen na 0.0 radijana. Koliki moment uvijanja se može primijeniti na puno vratilo kružnog poprečnog presjeka koji je izrađen od iste količine materijala? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 13

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Tankostjeni elementi zatvorena kontura Posmični tok df df df ( t dx) A A A ( t dx) B B B A df B da tds df tds qds df q ds sr t A A t B B Posmični tok q t sr Površina bez napona Površina bez napona 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 14

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Tankostjeni elementi zatvorena kontura df tds qds sr Srednji tangencijalni napon dt h( df) h( tds) sr Ugao uvijanja T h tds sr sr T ta m Izraz se dobija korištenjem energetskih metoda T t hds sr T t da ta sr m sr m q T A m TL A G 4 m ds t 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 15

Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Primjer 1.3: Izračunati srednji tangencijalni napon u tankostjenoj cijevi koja ima kruž ni popreč ni presjek srednjeg radijusa r sr i debljine t. Cijev je opterećena na moment uvijanja kao na slici. Koji je relativni ugao uvijanja cijevi, ako je dužina cijevi L. Primjer 1.4: Cijev je izrađena od bronze C86100 i pravougaonog je poprečnog presjeka. Ako je cijev izlož ena momentima uvijanja kao na slici, odrediti srednji tangencijalni napon u cijevi u tač kama A i B, te ugao uvijanja kraja C u odnosu na E. Cijev je uklješ tena na kraju E. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 16

Koncentracija napona* Osnovni pojmovi Stanje sa visokim lokaliziranim naponima, mnogo većim od srednjih napona usljed nagle promjene oblika, u blizini pukotina, rupa, usljed kontakta,... Nominalni naponi u presjecima I i II *D.J. Vitas I, str. 15-155 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 17

Koncentracija napona Osnovni pojmovi Maksimalni napon u presjeku II naponi Geometrijski (statički) faktor koncentracije napona* Uobičajeno je da se za DUKTILNE materijale koncentracija napona kod statički opterećenih konstrukcija NE UZIMA u obzir, pošto prelazak granice proporcionalnosti ne dovodi do pucanja, nego se javlja tečenje (plastična deformacija) i očvršćavanje materijala. Za krte materijale i konstrukcije izložene dinamičkom opterećenju koncentracija napona MORA se uzeti u obzir u procesu dizajniranja. *postoji i dinamički (efektivni) faktor koncentracije napona 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 18

Koncentracija napona Metode za određivanje faktora koncentracije napona 1. Analitičko rješenje teorija elastičnosti. Eksperimentalne metode fotoelasticimetrija, mjerne trake,... 3. Računarske simulacije MKE, MKV,... 4. Teorija membrana za probleme uvijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 19

Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 0

Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 1

Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi Primjer.1: Odrediti maksimalan normalni napon koji se javlja u šipki koja je opterećena na zatezanje silom od P=8 kn. Ako je dozvoljeni normalni napon šipke doz =10 Mpa, odrediti maksimalnu aksijalnu silu koja se može primijeniti. RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II

Koncentracija napona Problemi savijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 3

Koncentracija napona Problemi savijanja Primjer.: Promjena širine poprečnog presjeka ploče ostvarena je pomoću prelaznog radijusa kao na slici. Ako se ploča optereti momentom savijanja od 5 knm, odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u čeliku. Granica tečenja je R eh =500 MPa. RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 4

Koncentracija napona Problemi savijanja Primjer.3: Šipka s žljebovima je opterećena dvjema silama P, kao što je prikazano na slici (tzv. Four-point band test, 4PBT). Odrediti najveću silu P koja se može primijeniti, a da napon ne pređe granicu tečenja. Materijal je čelik A-36 (R eh =50 MPa). Šipka na slici je opterećena silama intenziteta P=100 lbf (jedinica pound-force, 1lbf=4.448 N). Odrediti maksimalan napon usljed savijanja koji se javlja u šipki, te skiciraj raspodjelu napona po poprečnom presjeku šipke na sredini. Svaki žljeb ima poluprečnik od r=0.15 in (inch, col, 1 in = 5.4 mm) RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 5

Koncentracija napona Problemi uvijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 6

Koncentracija napona Problemi uvijanja Primjer.4: Vratilo s prelazima, prikazano na slici, oslonjeno je u osloncima A i B pomoću ležajeva. Odrediti maksimalan napon u vratilu usljed primijenjenih momenata uvijanja. Radijusi zaobljenja na spojevima pojedinih dijelova vratila su r= 6mm. RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 7

Koncentracija napona Mehanika loma - uvod Koncentracija napona na rubu eliptičke rupe u ploči Vrste širenja pukotine Tip I Tip II Tip III Intenzitet napona, K 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 8

Prostorno stanje napona Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje. Konvencija o predznaku napona Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i zadnjoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 9

Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Materijal je izložen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona). Maksimalni tangencijalni napon max max max z y x x x y y z z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 30

Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Hooke-ov zakon u tri dimenzije 1 ( ( )) E x x y z T 1 ( ( )) E y y x z T 1 ( ) E z z x y T Promjena volumena V 1 e x y z ( x y z ) V0 E Deformacioni rad 1 E x ((1 ) x ( y z)) T 1 1 1 1 E y ((1 ) y ( x z)) T 1 1 1 1 E z ((1 ) z ( x y)) T 1 1 1 W W W 1 ( x x y y z z ) 1 ( x y z ) ( x y yz yz ) E E E (1 )(1 ) 1 ( x y z) xy xz yz 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 31

Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Sferično naponsko stanje (pojam modula kompresije) Sferično naponsko stanje (pojam modula kompresije) 0 0 1 E 3 3 0 0 0 1 E K E K modul kompresije ili zapreminski 3(1 ) modul elastičnosti - hidrostatički pritisak x y z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 3 0 Svaka ravan je ravan glavnog napona, normalni napon u svakom pravcu je jednak, ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona Mohrov krug?

Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Primjer 3.1: Dio od aluminija u obliku kvadra (vidi sliku) dimenzija a=6in, b=4in i c=3in, izloženo je triaksijalnom naponskom stanju, σ x =1000psi, σ y =-4000psi, σ z = -1000psi koji djeluju na površ i x, y i z, respektivno. Odrediti sljedeće veličine: a) maksimalan tangencijalni napon τ max u materijalu; b) promjene dimenzija dijela Δ a, Δ b i Δ c; c) promjenu zapremine Δ V; d) deformacioni rad u dijelu. (Pretpostaviti da je E=10400ksi i ν =0.33) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 33

Prostorno stanje napona Kombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka) Primjer 3.: Horizontalna sila P=80kN djeluje na kraju ploče. Ploča je debljine 10mm, a P djeluje u pravcu ose na udaljenosti d=50mm od neutralne ose. Nacrtati raspodjelu normalnog napona koji djeluje u presjeku a-a. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 34

Ravno stanje napona i primjena Ekscentrično zatezanje i pritisak (kombinacija aksijalnog naprezanja i savijanja) max P Mc P M1 M doz x A I A I I y x y Pojam jezgre presjeka 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 35

Prostorno stanje napona Kombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka) Primjer 3.3: Pravougaoni blok zanemarive težine izložen je vertikalnom silom kao na slici. Odrediti opseg vrijednosti ekscentriciteta ey uzduž y ose tako da se u nigdje u bloku ne javljaju zatežući naponi. Odrediti područje u kojem može djelovati sila, a da ne dođe do pojave zatežućih napona u bloku. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 36

Prostorno stanje napona Ravno stanje napona - ponavljanje Ravno stanje napona jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa. xy yx x y y x 1 1 1 1 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 37

Prostorno stanje napona Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi 1, x y x y xy x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi. 1 0 max,min x y 1 xy U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi x y 1 x y x y 1 1 Šta je s trećom dimenzijom? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 38

Ravno stanje napona i primjena Hooke-ov zakon za ravno stanje napona 1 x ( x y ) 1 E ( ) E 1 y ( y x ) + utjecaj temperature 1 E ( ) E z ( x y) E ( ) E x x y T y y x T z x y T E ( ) x x y 1 E ( ) y y x 1 z 0 + utjecaj temperature E ( ) E x x y T 1 1 E ( ) E y y x T 1 1 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 39

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Ravno stanje napona Ravno stanje deformacija Naponi 0 0 0 z xz x, y, xy mogu biti različiti od 0 yz xz 0 yz 0 x, y, z, xy mogu biti različiti od 0 Deformacije xz 0 yz 0 x, y, z, xy mogu biti različiti od 0 0 0 0 z xz x, y, xy mogu biti različiti od 0 yz Općenito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne dešavaju se istovremeno!!! ALI...? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 40

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije normalna deformacija x1 xdx cos dy y sin dy xy cos d dx dy dy x1 x cos y sin xy cos ds ds ds ds dx ds cos dy ds sin d dxcos dysin dycos x y xy x x y xy 1 cos sin sincos 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 41

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije tangencijalna deformacija x1y1 dx dy dy x sin y cos xy sin ds ds ds dx dy dy 1 3 x sin y cos xy sin ds ds ds dx cos ds dy ds sin ( x y)sincos xysin 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 4

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija ( x y)sincos xysin Jednačina transformacije tangencijalna deformacija x1y1 dx dy dy x sin y cos xy sin ds ds ds ( x y)sin cos xysin ( x y)sincos xycos 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 43

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije tangencijalna deformacija x1y1 ( x y)sincos xysin ( x y)sincos xycos x y xy xy 1 1 ( )sin cos cos sin x1y1 xy ( x y)sincos cos sin x y x y xy x1 cos sin x1y1 xy xy sin cos x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 44

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Glavne deformacije tg( ) x xy y 1, x y x y xy Maksimalna tangencijalna deformacija 1, x y xy Mohr-ov krug deformacija 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 45

Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Primjena jednačina transformacija Jednačine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja deformacija, pošto se u jednačinama ravnoteže ne javlja napon z. x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) 1 1 xycos( ) Analogno, jednačine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kod ravnog stanja napona, pošto z ne utiče na geometrijske ovisnosti. x1 xcos ysin xysin cos x1y1 xy ( x y)sincos cos sin I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zašto? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 46

Prostorno stanje napona Rozete mjernih traka Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere normalne deformacije. Za opšte stanje napona, najčešće se koriste klasteri mjernih traka rozete. Mjerne trake su opterećene ravnim stanjem napona. Deformaciono stanje se može odrediti pomoću rozete s tri mjerne trake ukoliko se postave jednačine za sve tri trake, pa se riješi sistem jednačina po x, y i xy : a xcos a ysin a xysin acos a b xcos b ysin b xysin bcos b c xcos c ysin c xysin ccos c 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 47

Savijanje greda napredni kurs Naponi u gredi Normalni naponi Tangencijalni naponi x My I z Formula savijanja!!!! VQ Ib Q A yda Formula tangencijalnih napona!!! Dimenzionisanje Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna provjera. Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere oblik, pa onda dimenzije. Iako tangencijalni naponi uglavnom ne predstavljaju problem, za kratke i grede opterećene velikim tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno ih je uzeti u obzir pri dimenzionisanju. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 48

Savijanje greda napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 49

Savijanje greda napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka Primjer 4.1: Konzola s nagibom AB punog kružnog poprečnog presjeka opterećena je silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Najveći prečnik konzole u presjeku B je dva puta veći od najmanjeg prečnika u presjeku A. Odrediti napon usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 50

Savijanje greda napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka Primjer 4.: Konzola s nagibom AB dužine L i kvadratnog poprečnog presjeka opterećena je koncentričnom silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Širina i visina grede se mijenjaju linearno od h A na slobodnom kraju do h B u uklještenju. Odrediti napon udaljenost x od slobodnog kraja A do poprečnog presjeka s najvećim naponom na savijanje ako je h B =3h A. Koji je intenzitet najveć eg napona? Koji je odnos najvećeg napona u gredi i maksimalnog napona u uklještenju usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 51

Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Opterećenje u ravni simetrije Opterećenje pod uglom na ose simetrije (koso savijanje) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 5

Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Predznak momenta savijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 53

Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Naponi savijanja Neutralna osa x M yz Mz y 0 I I y z tg( ) y z M yi M I z z y x M z I y y Mz y I z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 54

Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje M Psin Lx y M Pcos Lx M M z y z tg y M I I tg z M I I y z z z y y tg Općenito osim: Opterećenje je u xy-ravni (z je neutralna osa) - =0 ili 180 Opterećenje je u xz-ravni (y je neutralna osa) - =±90 I y =I z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 55

Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Primjer 4.3 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 56

Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Primjer 4.4 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 57

Savijanje greda napredni kurs Elastična linija Kriva ugiba uzdužne ose koja prolazi kroz težište svih poprečnih presjeka grede elastična linija. Dijagram momenata Dijagram momenata Elastična linija Tačka infleksije Tačka infleksije Elastična linija 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 58

Savijanje greda napredni kurs Elastična linija Relacija moment savijanja zakrivljenost grede y x y Ey x Ex Ey My x I z 1 M EI z Prije deformacije Poslije deformacije Tačka infleksije M = 0 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 59

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije 1 Zakrivljenost funkcije v=f(x) M EI z 1 dv/ dx 3/ 1 dv / dx 1 dv/ dx M 3/ 1 dv / dx EI z Elastika tačan oblik elastične linije (usljed momenta savijanja!!!) Usljed ispunjenja tolerancije ili estetskih razloga, većina vratila i osovina ima plitku elastičnu liniju, pa vrijedi da je dv/dx veoma malo!!! 1 dv/ dx M dv M 3/ 1 dv / dx EIz dx EIz 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 60

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije dv dx M EI z Jednačina momenta savijanja d v M( x) dv M( x) M( x) dx C 1 v dx C1 dx C dx ExI ( ) z( x) dx ExI ( ) z( x) ExI ( ) z( x) V( x) EI =V x dx dx dx dm d d v w( x) EI w x = w x dm d dv dv dx dx dx dx Jednačina smičućih/transferzalnih sila Jednačina opterećenja Za EI=const EI dv 3 dv 4 dv M( x) EI V 3 x dx dx EI w 4 x dx 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 61

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Konvencija o predznaku pozitivni ugib nagore pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu na x-osu koja je pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 6

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Granični uslovi Neophodni za izračunavanje konstanti integracije d v M( x) dv M( x) M( x) dx C 1 v dx C1 dx C dx ExI ( ) z( x) dx ExI ( ) z( x) ExI ( ) z( x) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 63

Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.5: Greda na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const. Primjer 4.6: Konzola na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 64

Savijanje greda napredni kurs Grede s više polja Opterećenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom 1. Greda se dijeli na polja na način da su veličine kontinuirane. Izvodi se integracija po poljima 3. Određuju se konstante integracije iz graničnih i uslova kontinuiteta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 65

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Uslovi kontinuiteta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 66

Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.7: Za gredu na slici opterećenu vertikalnom silom P, odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 67

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a ) Više diferencijalnih jednačina po poljima se svodi na jednu univerzalna elastična linija 1. koordinatni početak izabrati na lijevom kraju grede,. u svakom polju raspona grede u kome se mijenja napadni moment uzeti promjenljivu (z - a i ), gdje je a i lijeva granica tog polja grede, 3. napadni moment u sljedećem intervalu mora biti jednak napadnom momentu prethodnog intervala uvećan za član koji sadrži binom (z - a i ); za slučaj djelimično kontinualnog opterećenja to se postiže produženjem kontinualnog opterećenja do kraja grede uz istovremeno oduzimanje istog tog opterećenja, 4. integracione konstante C 1 ic javljaju se samo u prvom polju integrala diferencijalne jednačine elastične linije grede, a određuju se iz uslova oslanjanja grede. q q M (z) = F z - z + ( z-a ) -F ( z- a ) + M ( z-a ) 0 A 1 3 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 68

Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.8: Za gredu na slici odredi jednačinu elastične linije. Uzeti da su sve reakcije poznate. Primjer 4.9: Za gredu na slici opterećenu vertikalnim silama P, Odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 69

Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću metode superpozicije Diferencijalna jednačina elastične linije ispunjava dva potrebna uslova kako bi se primijenio princip superpozicije: (i)kontinuirano opterećenje w() [q(x)] linearno je vezano za ugib (ii)opterećenja ne mijenjaju značajno početnu geometriju grede Princip superpozicije sastoji se u pojedinačnom tabličnom određivanju ugiba ili nagiba za neki presjek i konačnim sabiranjiem za sva opterećenja, pri čemu treba voditi računa o predznaku ugiba/nagiba. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 70

Savijanje greda napredni kurs Elastične linije osnovnih grednih nosača 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 71

Savijanje greda napredni kurs Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 7

Savijanje greda napredni kurs Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 73

Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.10: Odredi ugib u tački C. Primjer 4.11: Odredi ugib i nagib u tački B. Primjer 4.1: Odredi ugib i nagib u tački C. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 74

Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Broj nepoznatih (reakcija, veza) veći od broja jednačina (statičkih uslova) ravnoteže!!! q a) q b) c) M T 1 q T d) e) f) Metoda integracije (preko elastične linije) Metoda superpozicije Metoda sila Metoda pomjeranja/deformacija Metoda tri momenta (Clapeyronova jednačina) itd... 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 75

Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda integracije 1. Postave se jednačine ravnoteže. Postavi se dodatna jednačina elastične linije 3. Koristeći granične uslove, riješi se sistem jednačina 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 76

Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 77

Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije kombinovanje s drugim elementima 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 78

Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije ukrštene grede 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 79

Energetske metode - osnove* W Pd 1 1 0 *R.C., Hibbeler, Mechanics of Materials, Pearson, Tenth Edition, 017. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 80

Energetske metode - osnove Rad vanjskih sila i deformacioni rad Rad sile Rad momenta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 81

Energetske metode - osnove Rad vanjskih sila i deformacioni rad Deformacioni rad normalni napon Deformacioni rad tangencijalni napon Višeosno (troosno) naprezanje 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 8

Energetske metode - osnove Deformacioni rad različitih opterećenja Aksijalno opterećenje Uvijanje Savijanje Smicanje transferzalnom silom 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 83

Energetske metode - osnove Očuvanje energije Pod pretpostavkom da se energija nastala usljed toplote, hemijskih reakcija i elektromagnetnih efekata zanemaruje, mehanička energija je uravnoteži, odnosno rad vanjskih opterećenja jednak je deformacionom radu. Primjer rama Primjer grede Ograničena upotreba: Primjenljivo samo za jednu silu ili moment koji djeluje na konstrukciju i to samo za pomjeranje/ugao na mjestu i u pravcu djelovanja sile/momenta. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 84

Energetske metode - osnove Očuvanje energije Primjer 5.1: Okvir je opterećen horzontalnom silom kao na slici. Ako je poprečni presjek svakog štapa 0. in odredi horizontalno pomjeranje tačke B. Modul elastičnosti je 9000 ksi. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 85

Energetske metode - osnove Očuvanje energije Primjer 5.: Konzola pravougaonog poprečnog presjeka opterećena silom na slobodnom kraju. Odredi pomjeranje ispod opterećenja, ako je EI konstantno. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 86

Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Posmatra se tijelo opterećeno stvarnim opterećenjima P 1,P,P 3,a traži se pomjeranje u tački A. U tačku A se u pravcu postavlja virtualna (imaginarna) sila intenziteta 1, koja u reprezentativnom elementu kreira opterećenje u. Nakon primjene stvarnih opterećenja, tačka A se pomjera za, a reprezentativni element izdužuje za dl. Na taj način, stvara se spoljašnji rad virtualnog opterećenja 1, i virtualni deformacioni rad u L. Ako se posmatra samo očuvanje virtualne energije, spoljašnji virtalni rad mora biti jednak deformacionom virtualnom radu nastao na svim elementima tijela. Virtuelna opterećenja realna pomjeranja Napomena: Analagno vrijedi i za ugaona pomjeranja s primjenom virtualnog momenta. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 87

Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjena na ramove (P=)1 virtualna sila (traženo) pomjeranje n sila u elementu usljed virtualne sile N sila u elementu usljed stvarnog opterećenja Postupak rješavanja a) Jedinično opterećenje (ovdje sila, a analogno i za moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje (ugao), pa se odrede sile (n) koje djeluju na sve elemente; b) Odrede se sile (N) koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja; c) Primijeni je izraz za virtualni rad, pri čemu je neophodno paziti na predznak sila n i N; d) Ukoliko je suma negativna, pravac djelovanja je suprotan pretpostavljenom. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 88

Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjer 5.3: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba C za ram na slici dole. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm, a modul elastičnosti je 00 GPa. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 89

Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjena na grede (P/M=)1 virtualna sila/moment (traženo) pomjeranje/ugao m moment u gredi usljed virtualne sile/momenta M moment u gredi usljed stvarnog opterećenja Postupak rješavanja a) Jedinično opterećenje (sila ili moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje/ugao; b) Postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti ta stvarna niti za virtalna opterećenja; c) Odredi se moment kao funkcija koordinate x za virtalno opterećenje d) Koristeći iste koordinate x odredi se moment kao funkcija od x usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja; e) Primijeni je izraz za virtualni rad. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 90

Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjer 5.4: Odredi vertikalno pomjeranje u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno. Primjer 5.5: Odredi nagib u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 91

Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Pomjeranje je jednako prvom izvodu deformacionog rada u tijelu u odnosu na silu koja tjeluje u tački i u pravcu pomjeranja. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 9

Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjena na ramove P N (traženo) pomjeranje spoljašnja sila promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u pravcu pomjeranja unutrašnja sila u elementu usljed stvarnog opterećenja i sile P Postupak rješavanja a) Sila P se postavi na mjesto/zglob i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje, a smatra se promjenljivom; b) Odrede se sile koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja i sile P; c) Nađu se parcijalni izvodi N/P za svaki element d) Sili P se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0; e) Primijeni se Castiglianov drugi teorem 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 93

Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjer 5.6: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba B za Primjer 5.3. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm, a modul elastičnosti je 00 GPa. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 94

Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjena na grede P/M M (traženo) pomjeranje/ugao spoljašnja sila/moment promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u pravcu pomjeranja (ugla) moment u gredi usljed stvarnog opterećenja uključujući i P/M Postupak rješavanja a)sila/moment se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje/ugao, a smatra se promjenljivom; b)postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti za sile, niti kontinuirana opterećenja niti momente; c)odredi se moment kao funkcija P/M, a zatim nađi parcijalni izvodim/p ili M/M za svaku x koordinatu d)sili/momentu se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0; e)primijeni se Castiglianov drugi teorem 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 95

Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjer 5.7/8: Uradi primjere 5.4 i 5.5 koristeći Castiglianov teorem. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 96

Izvijanje* *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. *Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 003 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 97

Izvijanje Osnovne karaktersitike i pojmovi Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata Umjesto kriterija čvrstoće (vrijednosti glavnih normalnih ili najvećih tangencijalnih napona ne prelaze kritične vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritične veličine) kriterij koji se primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 98

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifičnoj aksijalnoj sili, F kr kritična sila. Za određivanje kritične sile koristi se diferencijalna jednačina elastične linije grede. EI dv dz M 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 99

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja a) Konzola EI dv dz M dv EI F( v) dz k F EI dv cos sin dz kv k v A kz B kz v(0) A0 v'( L) 0, v( L) 0 sin( kz) Bcoskl0 Bsin kl v 1 sin( kl ) kl n 1 n 1,,3 n z v 1 1 sin n1 n1,,3 l Osnovna forma izvijanja F kr n1 kl l EI EI Fkr I I l min 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 100

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja a) Konzola viši harmonici F EI n1 l kr, n 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 101

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja b) Prosta greda EI dv dz M EI dv dz Fv k F EI dv 0 cos sin kv v A kz B kz dz v(0) 0 A0 vl ( ) 0 Bsin kl 0 F kr kl l n n 1,,3 EI F kr n EI l Osnovna forma izvijanja n 1 EI Fkr Fe I I l min 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 10

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja c) Greda s uklještenjem EI dv dz M dv EI vf zy dz k F EI dv Y Y Y kv z kz v Acos kz Bsin kz z dz EI F F v(0) 0 A0 Y vl ( ) 0 Bsin kl l F Y v'( L) 0 Bcos kl tg klkl kf Osnovna forma izvijanja F kr EI kl EI EI EI kl / kll 0.7 l l l 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 103

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja d) Greda s dva uklještenja EI dv dz M EI dv dz Fv M k F EI dv M cos sin M kv v A kzb kz dz EI F M v(0) 0 A F v'(0) 0 B0 vl ( ) 0, v'( L) 0 1cos kl 0 F kr kl l n n 1,,3 EI F kr 4n EI l Osnovna forma izvijanja n 1 EI Fkr Fe I I 0.5l min 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 104

Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja osnovna forma a) Konzola b) Prosta greda c) Greda s uklještenjem d) Greda s dva uklještenja l r redukovana dužina EI Fkr I I l r EI kr I I l A r min min EI Fkr I I l EI Fkr I I l min min EI Fkr I I 0.7l EI Fkr I I 0.5l min min Vitkost štapa odnos redukovane dužine i minimalnog poluprečnika inercije lr A E K kr lr kr i Imin 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 105

Izvijanje (u elastičnom području) Primjer 6.1: Stub od aluminijuma je fiksiran na dnu te učvršćen na vrhu pomoću užadi kako bi se onemogućilo pomjeranje u pravcu x-ose, kao što je prikazano na slici. Odrediti najveću dozvoljenu silu P koja se može primijeniti, ako je faktor sigurnosti protiv izvijanja jednak 3. Uzeti da je E=70 GPa, R eh =15 MPa, A=7500 mm, I x =61.3 10 6 mm 4, I y =3. 10 6 mm 4. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 106

Izvijanje (u elastičnom području) Primjer 6.: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi dužine 3.5 m, vanjskog prečnika 100 mm. Osnove cijevi su učvršćene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovi spojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdrže opterećenje od 100 kn. Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti da je E=7 GPa, te granica proporcionalnosti 480 MPa. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 107

Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) EI dv dx M dv EI P( e v) dx k P EI dv e cos sin kv k v A kx B kx e dx v(0) 0 Ae 1 cos kl L vl ( ) 0 Be etan k sin kl L vecoskxtan k sin kx1 Maksimalni ugib L vmax eseck 1 Formula sekante L M Pevmax Peseck P Mc P 1 ec sec P L A I A r EA r max I r A 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 108

Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) L vmax eseck 1 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 109

Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 110

Izvijanje Izvijanje u plastičnom području Engesserov postupak Neelastična deformacija (kratke i srednje duge šipke) Elastična deformacija (duge šipke) E t cr KL r 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 111

Izvijanje Izvijanje u plastičnom području Ostali postupci... a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson) b) Omega metoda c) Energetska metoda d) Ritz-ova metoda 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 11

Izvijanje 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 113

Informacije o polaganju pismenog dijela ispita 1. Ispit sadrži 6 zadataka (4 računska zadatka), od kojih svaki nosi 10-30% bodova iz sljedećih oblasti a. Uvijanje napredni kurs računski zadatak (10-15%) b. Koncentracija napona računski zadatak (10-15%) c. Primjena ravnog stanja napona: ekscentrični pritisak računski zadatak (10-15%) d. Savijanje: koso savijanje računski zadatak (10-15%) e. Savijanje: određivanje elastične linije primjena metoda integracije, Clebsch (10-5%) f. Savijanje: superpozicija ugib i nagib statički određenih problema, statični neodređeni problemi (15-5%) g. Energetske metode: greda i ram računska zadatka (15-5%) h. Izvijanje (u elastičnom području) računski zadatak (10-15%). Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu naći na web-stranici kursa 3. Obavezno ponijeti kalkulator (mobitel se ne može koristiti), te -3 prazne dvolisnice A4 formata 4. Ispit traje 135 minuta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 114

S R E T N O!!! 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II