UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA FIZIKU MHD teorija nestabilnosti u magnetno konfiniranoj plazmi - Master rad - Kandidat: Mentor: Miloš Kopunović Dr Dejan Dimitrijević (broj indeksa 17) U Nišu, maj 2017.
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ KEY WORDS DOCUMENTATION Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР: Тип документације, ТД: Тип записа, ТЗ: Врста рада, ВР: Аутор, АУ: Ментор, МН: монографска текстуални / графички мастер рад Милош Копуновић Дејан Димитријевић Наслов рада, НР: Језик публикације, ЈП: Језик извода, ЈИ: Земља публиковања, ЗП: Уже географско подручје, УГП: МHD ТЕОРИЈА НЕСТАБИЛНОСТИ У МАГНЕТНО КОНФИНИРАНОЈ ПЛАЗМИ српски енглески Р. Србија Р. Србија Година, ГО: 2017. Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) Научна област, НО: Научна дисциплина, НД: Предметна одредница/кључне речи, ПО: 50 стр. ; граф. прикази физика физика плазме МHD теорија, стабилност и нестабилност плазме, магнетно конфинирање УДК 537.8:551.551.32]:533.9+539.17 Чува се, ЧУ: Важна напомена, ВН: Извод, ИЗ: библиотека Датум прихватања теме, ДП: 16.05.2017. Датум одбране, ДО: Чланови комисије, КО: Председник: Dragan Gajić Магнетна хидродинамика ( MHD), иако доста груба апроксимациона теорија, представља најједноставнији алат за описивање најдеструктивнијих нестабилности макронестабилности, које се јављају у плазми конфинираној магнетним пољем, са сасвим задовољавајућом тачношћу. Њихово сузбијање представља основни интерес у циљу дoстизања економичне термонуклеарне фузије. У раду је приказана теоријска основа за описивање макронестабилности, описани су примери и анализиран њихов допринос дезинтегрисању фузионе плазме. Осим тога, приказани су неки од метода за сузбијање појединих нестабилности. Члан: Члан, ментор: Ana Mančić Dejan Dimitrijević Q4.16.01 - Izdawe 1
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ KEY WORDS DOCUMENTATION Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT: Type of record, TR: Contents code, CC: Author, AU: Mentor, MN: Title, TI: monograph textual / graphic master thesis Miloš Kopunović Dejan Dimitrijević MHD THEORY OF INSTABILITIES IN A MAGNETICALLY CONFINED PLASMA Language of text, LT: Language of abstract, LA: Country of publication, CP: Locality of publication, LP: Serbian English Republic of Serbia Serbia Publication year, PY: 2017 Publisher, PB: author s reprint Publication place, PP: Niš, Višegradska 33. Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) Scientific field, SF: Scientific discipline, SD: Subject/Key words, S/KW: 50 pp. ; graphic representations physics plasma physics MHD theory, plasma stability and instability, magnetic confinement UC 537.8:551.551.32]:533.9+539.17 Holding data, HD: library Note, N: Abstract, AB: Accepted by the Scientific Board on, ASB: 05.16.2017. Defended on, DE: Defended Board, DB: President: Dragan Gajić Magnetic hydrodinamics (MHD), athough pretty rough aproximation theory, represents the simplest tool for description of the most destructive instabilities macroinstabilitieswhich occure in plasma confined by a magnetic field, with satisfactory accuracy. Their elimination represents the highest interest in achieving an economical thermonuclear fusion. In this thesis, theoretical basics for description of macroinstabilities is represented, examples are given, and their contributions to desintegration of a fusion plasma are compared. Moreover, several methods for repressing some of the instabilities are represented as well. Member: Member, Mentor: Ana Mančić Dejan Dimitrijević Q4.16.01 - Izdawe 1
SADRŽAJ 1. UVOD...1 1.1. Klasifikacija plazmenih nestabilnosti... 3 2. MHD TEORIJA STABILNOSTI PLAZME......4 2.1. MHD aproksimacija...4 2.2. Uvođenje perturbacija...5 2.3. Ravnoteža plazme...6 2.4. Granični uslovi...7 2.5. Metodi teorijskog ispitivanja stabilnosti plazme...9 2.5.1. Analiza normalnih moda...9 2.5.2. Energetska analiza...10 3. NESTABILNOSTI NEKONFINIRANE PLAZME...14 3.1. Nestabilnosti dva toka talasa prostornog naelektrisanja...14 3.2. Nestabilnost vatrogasno crevo Alfven ovog talasa...17 4. NESTABILNOSTI IDEALNE PLAZME KONFINIRANE MAGNETNIM POLJEM...19 4.1. Rayleigh-Taylor ova nestabilnost plazme u gravitacionom polju...20 4.2. Žljebasta nestabilnost...22 4.2.1. Suzbijanje Žljebastih nestabilnosti u konfiguracijama sa magnetnim ogledalima...28 4.3. Nestabilnosti pinča...30 4.3.1. Nestabilnosti prekidanja (m = 0)...32 4.3.2. Azimutalno zavisne nestabilnosti ( m 0 )...34 4.3.3. Suzbijanje nestabilnosti pinča...36 5. NESTABILNOSTI REALNE PLAZME KONFINIRANE MAGNETNIM POLJEM...37 5.1. Nestabilnosti kidanja...37 5.2. Konfiniranje realne plazme u toroidalnim sistemima...45 6. ZAKLJUČAK...48 LITERATURA...50
1. UVOD Ostvarenje kontrolisane termonuklearne fuzije spada u probleme od najvišeg interesa za čovečanstvo. Ukoliko taj problem bude rešen, kako proračuni pokazuju, snabdevanje energijom biće obezbeđeno barem za nekoliko budućih milenijuma. Kao što je dobro poznato, energetski ekonomično rešenje (da se više energije dobije nego što se uloži), može se ostvariti ako se fuziono gorivo zagreje do temperatura od nekoliko desetina miliona stepeni, čime bi dovoljan broj atoma (npr. deuterijuma) imao energiju termalnog kretanja dovoljnu za savladavanje kulonovske barijere i stupio u fuzionu reakciju. Iako ovo deluje prilično jednostavno, uzimajući u obzir današnji nivo razvoja nauke i tehnike, u praksi se pokazuje da postoje ozbiljni problemi, od izdvajanja fuzionog goriva, preko njegovog zagrevanja do željenih veoma visokih temperatura, do prostornog održavanja konfiniranja vrelog fuzionog goriva dovoljno dugo (oko 1s) da se u reakciji dobije pozitivan energetski bilans. Ovaj poslednji problem je i najveća prepreka koju treba prevazići. Njegovim rešenjem, koje do danas nije nađeno, praktično bi ovladali kontrolisanom termonuklearnom fuzijom, a fuzioni generatori bi postali komercijalni uređaji. Problem u konfiniranju fuzionog goriva jeste njegova temperatura, previsoka da bi se održalo u posudi kontejneru čiji su zidovi napravljeni od bilo kog poznatog materijala. Ukoliko bi se to uradilo, posuda bi se istopila, a gorivo bi se kontaminiralo matrijalom posude. Takođe, gubici toplote bili bi jako veliki. Ipak, povoljna okolnost je ta što se na toliko visokim temperaturama supstanca sigurno nalazi u stanju plazme. Kako je naelektrisanim česticama moguće upravljati pomoću magnetnog polja, ideja je da ono odigra ulogu posude koja će zadržati fuzionu plazmu (koja se sastoji od naelektrisanih čestica) onoliko koliko je potrebno. U tu svrhu je potrebno samo da se nađe odgovarajuća konfiguracija magnetnog polja, što nažalost do danas nije učinjeno. Razlog je sama priroda plazme, koja uvek nađe način da se izmigolji iz prostorne konfiguracije koja treba da se održi magnetnim poljem. Visokotemperaturna plazma se nalazi u jako neravnotežnom stanju sa svojom okolinom. Nju treba magnetnim poljem dovesti u stanje ravnoteže i to stanje što duže održati. Kada se plazma dovede do ravnotežnog stanja, ona se skoro uvek vrlo brzo deformiše i izađe iz njega. Razlog je taj što u praksi, postignuta ravnoteža nikad nije stabilna. Da li je određena konfiguracija plazme u stabilnoj ili nestabilnoj ravnoteži, može se ispitati metodom perturbacija. Nakon uvođenja malih perturbacija plazmenih parametara, posmatra se da li se one povećavaju ili smanjuju. U prvom slučaju, plazma je nestabilna i napušta magnetno polje (ako je konfinirana), a u drugom kažemo da je plazma stabilna. Ovo se može uporediti sa ravnotežom lopte na vrhu brda i u udubljenju u zemlji. Kada se lopta nalazi na vrhu brda, ukoliko je gurnemo dobiće dodatno ubrzanje i skotrljaće se udaljavajući se sve vreme od početnog položaja. Da bi se vratila, potrebno je da rad izvrše strane sile. Ako se lopta nalazi u udubljenju, nakon malog 1
otklona od ravnotežnog položaja, bez pomoći stranih sila se vraća u početni položaj. U prvom slučaju kažemo da je lopta u nestabilnoj (labilnoj), a u drugom da je u stabilnoj ravnoteži. Gledano sa energetskog stanovišta, svaki statistički sistem će zauzeti stanje sa najnižom mogućom potencijalnom energijom i tada će se naći u stanju stabilne ravnoteže. Znači, ako postoji perturbacija tog sistema takva da mu se potencijalna energija smanji, znači da stanje sa nižom potencijalnom energijom postoji, pa početna konfiguracija nije stabilna. Dakle, ukoliko postoji proces koji dovodi do opadanja potencijalne energije plazme, ona je nestabilna. Slika 1.1: Primer stabilne (levo) i nestabilne (desno) ravnoteže u gravitacionom polju Kada se nakon perturbovanja otkrije da plazma nije stabilna, što je u praksi uvek slučaj, treba pronaći fizički uzrok nestabilnosti, kvalitativno opisati fizičku sliku plazme u tom stanju i proceniti brzinu narastanja nestabilnosti. Kako obično jedna konfiguracija ima ogroman broj nestabilnosti, treba proceniti koje su najdestruktivnije po datu konfiguraciju i razmotriti mogućnosti za njihovo suzbijanje. Pri tome treba voditi računa o tome da se u realnosti pokazuje da se veoma često suzbijanjem jedne nestabilnosti javljaju neke druge, čime se situacija znatno komplikuje. Na opisani način može se ispitivati stabilnost neke realne, eksperimentalno dobijene konfiguracije plazme, ili neke zamišljene, hipotetičke konfiguracije. U oba slučaja se polazi od jednačina magnetne hidrodinamike i to u prvom slučaju da se dobijena konfiguracija opiše, a u drugom kako bi se hipotetička konfiguracija uopšte zamislila. Naravno, u drugom slučaju je onda potrebno osmisliti i kako bi se ta konfiguracija mogla tehnički realizovati i održati. Nakon toga se za datu konfiguraciju uvode razne perturbacije i ispituje se stabilnost. Ovaj rad će biti ograničen na situacije koje se mogu ispitati malim perturbacijama, tako da se stanje sistema može opisati linearizovanim jednačinama magnetne hirodinamike (MHD), što je u mnogim slučajevima sasvim zadovoljavajuće. Ovakve nestabilnosti se često nazivaju MHD nestabilnosti. Sadržajno, ovaj rad se sastoji od šest poglavlja. U prvom, uvodnom poglavlju će još biti navedena jedna od više mogućih varijanti klasifikacja nestabilnosti koje se javljaju u plazmi. U drugoj glavi je prikazan teorijski temelj za izučavanje stabilnosti plazme u MHD modelu. Pored osnovnih jednačina u aproksimaciji magnetne hidrodinamike, u ovom poglavlju su prikazani osnovni principi uvođenja perturbacija u MHD, uslovi 2
stabilnosti plazme i ulovi koji važe na granici plazme sa plazmom, vakuumom ili čvrstim zidovima. Možda najvažniji deo ovog rada, koji se odnosi na metode teorijskog ispitivanja stabilnosti plazme, izložen je na kraju ovog poglavlja. U okviru ovog dela, kao zasebne celine su obrađena dva metoda, analiza normalnih moda i energetska analiza. Ovi metodi su na primerima ilustrovani u trećem, četvrtom i petom poglavlju. U tri središnja poglavlja ovog teksta su analizirani najznačajniji primeri plazmenih nestabilnosti koje se mogu opisati jednačinama magnetne hidrodinamike. U prvom od njih (trećem poglavlju) se opisuju nestailnosti idealne nekonfinirane plazme kroz dva primera na kojima se u jednostavnijem obliku vidi primena analize normalnih moda. Četvrto poglavlje se odnosi na nestabilnosti idealne, beskonačno provodne plazme, konfinirane magnetnim poljem. U ovom delu su prikazane analize Rayleigh-Taylor ove nestabilnosti plazme u gravitacionom polju, žljebaste nestabilnosti i nestabilnosti pinča idealne plazme. Osim toga, u ovom delu su opisani osnovni principi za suzbijanje pomenutih nestabilnosti. Konačno, u petom poglavlju su opisane nestabilnosti realne plazme, odnosno plazme za koju se smatra da ima konačnu električnu provodnost, od kojih je najvažnija nestatilnost kidanja. U poslednjoj, šestoj glavi se nalazi kratak osvrt autora ovog master rada na prethodni deo teksta, kao zaključno razmatranje opisane problematike. 1.1 KLASIFIKACIJA PLAZMENIH NESTABILNOSTI U literaturi se može naći jako veliki broj načina grupisanja plazmenih nestabilnosti. Ovde će biti navedena podela preuzeta iz reference [1]. Tu je navedeno da je sve nestabilnosti moguće svrstati u jednu od dve velike grupe: 1. Makronestabilnosti ili konfiguraciono-prostorne nestabilnosti koje nastaju prostornom distorzijom plazme, usled čega ona prelazi u stanje sa nižom potencijalnom energijom 2. Mikronestabilnosti ili kinetičke nestabilnosti koje nastaju kada plazma pređe u stanje sa nižom potencijalnom energijom tako što dođe do promene raspodele po brzinama i odstupanja od Maksvelove raspodele. Makronestabilnosti imaju dominantnu ulogu nad mikronestabilnostima kada je u pitanju gubljenje plazme iz konfiguracije konfinirane magnetnim poljem. Ovaj rad je posvećen isključivo njima. Podela nestabilnosti može dalje da se izvrši u dve podgrupe: A. Elektrostatičke nastaju razdvajanjem i nagomilavanjem naelektrisanja. Najčešće su veoma štetne za održanje magnetno konfinirane plazme B. Elektromagnetne nastaju povećanjem gustine struje, npr. usled pinč efekta. 3
2. MHD TEORIJA STABILNOSTI PLAZME 2.1 MHD APROKSIMACIJA Magnetna hidrodinamika (MHD) je dosta gruba aproksimaciona teorija za opisivanje plazme. U ovoj teoriji plazma se tretira kao jednokomponentni fluid (ne razlikuju se joni od elektrona) koji ima svojstvo električne provodnosti. S obzirom da se plazma sastoji od naelektrisanih čestica, javlja se elektromagnetna interakcija, kako između delova plazme, tako i sa spoljašnjim poljima. Zbog toga se za opisivanje plazme kao elektroprovodnog fluida mora koristiti hibridna teorija koja spaja mehaniku neprekidne sredine i elektrodinamiku. Takva teorija je upravo magnetna hidrodinamika. Njenu bazu čini sistem osnovnih jednačina iz dinamike fluida jednačina kontinuiteta mase, jednačina kretanja fluida i barotropna jednačina; dok se njima pridružuju Maksvelove jednačine i Omov zakon. Ovaj sistem jednačina je samousaglašen, jer se jednačine ne mogu rešavati zasebno, već su međusobno spregnute. Za plazmu gustine mase ρm, brzine proticanja v, pritiska p i električne provodnosti σ opšti oblik sistema MHD jednačina je: m ( m v ) 0, t dv m m f p el E j B Fv, dt (2.1) (2.2) dp p v dt j E v B el v, (2.4) 1 E el, (2.5) B 0, (2.6) 0 B E, t B 0 j. (2.3) (2.7) (2.8) U ovom sistemu jednačina f predstavlja zapreminsku gustinu sila, ρel je gustina naelektrisanja, Fv viskozna sila, j vektor gustine struje naelektrisanja, E je jačina električnog, B jačina magnetnog polja, a γ odnos specifičnih toplota pri konstantnom pritisku i pri konstantnoj zapremini (adijabatska konstanta). 4
Sistem jednačian (2.1) (2.8) napisan je u opštem obliku koji važi za sve elektroprovodne fluide (npr. za rastopljene metale i sl.). Međutim, kod fluida visoke elektroprovodnosti, kao što je visokotemperaturna plazma, sistem MHD jednačina se može pojednostaviti, tako da se dobije manji broj spregnutih jednačina u njemu. Najpre, zbog tendencije plazme ka makroskopskoj elektroneutralnosti, može se staviti da je ρel = 0. Zatim, usled visoke provodnosti magnetna interakcija postaje dominantna nad električnom. Odnos energija električnog i magnetnog polja obrnuto je srazmeran provodnosti, tako da se uticaj električnog polja može zanemariti. Uzimajući to u obzir sistem MHD jednačina se svodi na m ( m v ) 0, t dv 1 m m f p B B Fv, dt 0 dp p v dt B v B vm B, t B 0. (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) U ovom sistemu jednačina, Omov zakon je poslužio za izmene u jednačinama (2.10) i (2.12). Jednačina (2.12) dobijena je kombinovanjem izraza za rotore električnog i magnetnog polja uz odgovarajuće transformacije vektorske analize i uvođenje smene vm = 1/ μ0σ. Iako se radi o prilično gruboj aproksimaciji, sistem MHD jednačina daje sasvim zadovoljavajuće rezultate kada je u pitanju ispitivanje nekih plazmenih nestabilnosti, među kojima su neke od najdestruktivnijih po magnetno konfiniranu plazmu. 2.2 UVOĐENJE PERTURBACIJA Ispitivanje stabilnosti plazme bazira se na njenom perturbovanju, odnosno uvođenju perturbacionih članova u MHD jednačine. Pretpostavlja se da su perturbacije plazmenih parametara male u odnosu na njihove ukupne vrednosti, kako u perturbovanom tako i u neperturbovanom stanju, tako da se MHD jednačine za perturbovanu plazmu mogu linearizovati zanemarivanjem članova koji sadrže izvode višeg reda, kao i članove koji sadrže proizvode perturbacija. Nakon perturbovanja parametri plazme se mogu napisati na sledeći način: v (r, t ) v0 (r ) v1 (r, t ), m (r, t ) m 0 (r ) m1 (r, t ), v0 0 m 0 m1 (2.14) (2.15) 5
p (r, t ) p0 (r ) p1 (r, t ), B(r, t ) B0 (r ) B1 (r, t ), j (r, t ) j0 (r ) j1 (r, t ), p0 p1 B0 B1 j0 j1 (2.16) (2.17) (2.18) U jednačinama (2.14) (2.18) indeksom 0 označene su veličine u stacionarnom, neperturbovanom stanju, a indeksom 1 njihove perturbacije. Njihovim uvrštavanjem u sistem jednačina (2.9) (2.13), uz linearizaciju dobija se sistem MHD jednačina za perturbovanu plazmu: 1 ( m 0 v1 ) 0, t m0 (2.19) v1 1 p1 B1 B0 B0 B1, t 0 p1 v1 p0 p0 v1, t B1 v1 B0, t B1 0. (2.20) (2.21) (2.22) (2.23) Pri pisanju poslednjeg sistema jednačina zanemarene su zapreminske sile, kao i sile viskoznosti, koje nisu od velikog interesa za problem kome je ovaj rad posvećen. 2.3 RAVNOTEŽA PLAZME Problem konfiniranja plazme svodi se na njenom održavanju u ravnotežnom stanju. To podrazumeva da u bilo kom njenom delu vektorski zbir svih sila bude jednak nuli, bilo da te sile potiču od plazme ili konfinirajućeg magnetnog polja, kao i održanje prostorne konfiguracije plazme kao celine. Kada je u ravnotežnom stanju, plazma je u stvari stacionarna. Za takvu plazmu se MHD jednačine pišu uz uslov da je 0 i v = 0. Jednačina kretanja fluida i jednačina t za rotor magnetnog polja ovde se pišu u obliku p j B (2.24) 1 j B (2.25) 0 6
Skalarnim množenjem jednačine (2.24) vektorom jačine magnetnog polja, dobija se B p 0. To znači da je pritisak plazme konstantan duž linija sila magnetnog polja. Skalarnim množenjem iste jednačine sa j dobija se da je j p 0, što znači da je vektor gustine struje uvek paralelan izobarnim površinama. Kombinovanjem izraza (2.24) i (2.25), dobija se jednačina B2 1 p B B 2 0 0 (2.26) Izraz u zagradi sa leve strane znaka jednakosti predstavlja ukupni pritisak u plazmi. Drugi sabirak u toj zagradi B 2 2 0, koji je brojno jednak gustini energije magnetnog polja, predstavlja magnetni pritisak u određenoj tački. Uslov ravnoteže plazme može se potražiti iz zahteva da u svakoj tački pritisak plazme bude jednak magnetnom pritisku. U slučaju kada je promena vektora jačine magnetnog polja na izobarnim površima mnogo manja od njene promene u normalnom pravcu, član sa desne strane znaka jednakosti u jednačini (2.26) se može zanemariti, pa se integracijom dobija B0 2 B2 p const. 2 0 2 0 (2.27) Količnik B0 2 2 0 predstavlja magnetni pritisak u odstustvu plazme, koji je konstantan u nepromenljivom polju. Time se definiše i granični uslov za ukupni pritisak. Na granici plazme ukupni pritisak biće jednak magnetnom pritisku u vakuumu. Prema unutrašnjosti plazme magnetni pritisak opada, što znači da se plazma ponaša kao dijamagnetna sredina. Ako je plazma nehomogena izraz (2.27) zadržava isti oblik, uz zamenu veličina p i B 2 2 0 za usrednjene vrednosti ovih pritisaka p i B 2 2 0, po zapremini. Za magnetno konfiniranjne plazme veoma je važan bezdimenzioni parametar β ( beta odnos ), definisan na sledeći način: p. B0 2 0 2 (2.28) Dobijanje većeg parametra β u fuzionim reaktorima povezuje se sa uspešnijim konfiniranjem. Kada je plazma konfinirana, u realnim slučajevima, ovaj parametar ima vrednost manju od jedinice. 2.4 GRANIČNI USLOVI Da bi se dobila adekvatna predstava o konfiniranoj plazmi neophodno je uzeti u obzir uslove koji vladaju na granici plazme. Ta granica može da bude oštra, ili da predstavlja kontinualni prelaz određene širine. Graničnim uslovima definisane su 7
vrednosti određenih fizičkih veličina na granicama plazme. Promene tih veličina na granici konačne širine su u jednačinama koje slede označene dvostrukim zagradama tipa. Granice koje su ovde od interesa su: plazma-plazma, plazma-vakuum i plazmačvrsti provodni zidovi. Uslovi na tim granicama napisani su u narednih nekoliko redova. U njima je sa n označen jedinični vektor normale na graničnu površinu. Granica plazma-plazma 2 p B 0, 2 0 pp (2.29) n v pp 0, (2.30) n E n v B, pp pp n B 0, pp n B 0 j pp, pp (2.31) (2.32) (2.33) Granica plazma-vakuum 2 p B 0, 2 0 pv n m v pv 0, (2.34) (2.35) n E n v B, pv pv n B 0, pv n B 0 j pv, pv Granica plazme sa čvrstim zidom beskonačne elektroprovodnosti n E 0, B n 0, t n v 0, (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) 8
2.5 METODI TEORIJSKOG ISPITIVANJA STABILNOSTI PLAZME Analizi stabilnosti plazmenog stanja moguće je prići na tri načina, a izbor zavisi od toga šta želimo da postignemo i od složenosti konkretnog problema. Sva tri pristupa podrazumevaju uvođenje različitih perturbacija ravnotežnog stanja i dalje posmatranje ponašanja plazme. Prvi i najjednostavniji pristup je intuitivan. Podrazumeva posmatranje same perturbacije, njeno kvalitativno opisivanje i procena da li ona raste ili opada, tj. da li je ravnotežno stanje koje je izloženo perturbaciji nestabilno ili stabilno. Ovakav pristup je dosta dobar za opisivanje mehanizama koji dovode do razvoja nestabilnosti, ali se na taj način ne mogu dobiti podaci o brzini rasta nestabilnosti, kao ni o tome koliki udeo u ukupnom doprinosu nestabilnosti otpada na određene parametre. Samim tim se teško može proceniti koje su nestabilnosti najdestruktivnije. Svakako, kvalitativno opisivanje je neophodno u traženju rešenja kako određenu nestabilnost suzbiti. Za detaljniju kvantitativnu analizu stabilnosti plazme mora se koristiti metod analize normalnih moda, ili energetska analiza. 2.5.1 Analiza normalnih moda Drugi pristup za analizu plazmenih nestabilnosti je analiza normalnih moda. Ovo je ujedno i najdetaljniji pristup pomoću koga se dobijaju sve bitne informacije o plazmenim nestabilnostima. Problem ovog metoda je ograničena primenljivost na relativno jednostavne slučajeve. Za perturbovanu plazmu treba rešiti jednačine stanja, te se uz odgovarajuće granične uslove dobija disperziona jednačina, odnosno zavisnost ugaone frekvence ω od talasnog vektora k, u opštem obliku ωn = ωn(k) = ωn(kx, ky, kz), gde je n = 1, 2, 3,... Za svako n dobija se disperziona jednačina posebne talasne mode. Ispitivanjem svake mode utvrđuje se da li je plazma stabilna ili nestabilna. Ako postoji moda koja ima tendenciju porasta, plazma je nestabilna. Pretpostavimo da perturbacija ima oblik ravnog talasa, koji se može opisati jednačinom ˆ e i t ik r, (2.42) gde je ˆ amplituda ravnog talasa. Pretpostavimo najpre da je talasni vektor realan, tj. da su njegove komponente realni brojevi. To odgovara prostiranju talasa date talasne dužine kroz plazmu. U opštem slučaju, frekvenca date mode je kompleksan broj, odnosno ωn = Re ωn + i Im ωn, tako da se ravan talas može prikazati u obliku ( ˆ e Im t )e i Re t ik r. n n 9
Član u zagradi predstavlja vremenski zavisnu amplitudu perturbacije. Ako je Im ωn >0, amplituda raste sa vremenom, pa se zaključuje da je perturbovano stanje nestabilno. Ako je Im ωn < 0, amplituda je prigušena i opada sa vremenom, a stanje plazme je stabilno. Ako je Im ωn >> Re ωn, talasna moda je brzo narastajuća, ako je Im ωn >0, odnosno brzo opadajuća (jako amortizovana) ako je Im ωn < 0. U obrnutom slučaju moda je sporo narastajuća ili sporo opadajuća (slabo amortizovana). Dakle, iz odnosa imaginarnog i realnog dela frekvence može se proceniti brzina razvoja nestabilnosti. 2.5.2 Energetska analiza U mnogim slučajevima analiza normalnih moda nije primenljiva. Tada se obično stabilnost plazme ispituje na opštiji način koji podrazumeva razmatranje promene potencijalne energije plazme nakon uvođenja neke perturbacije. Sistem u stabilnoj ravnoteži zauzima stanje sa najnižom potencijalnom energijom. Ukoliko postoji perturbacija nakon koje plazma prelazi u stanje sa nižom potencijalnom energijom, plazma je nestabilna, jer to znači da stanje u kome je bila pre perturbacije nije bilo stanje sa najnižom mogućom potencijalnom energijom. U suprotnom, plazma je stabilna. Dakle, kao kriterijum plazmene stabilnosti uzima se da je promena potencijalne energije pozitivna za stabilno, i negativna za nestabilno stanje. Posmatrajmo delić plazme, čiji je vektor položaja u trenutku t u neperturbovanom stanju r0 (t ). Ako bi postojala perturbacija, taj delić bi se u istom trenutku našao u nekom drugom položaju, određenim vektorom r (t ). Razliku vektora položaja delića u perturbovanom i neperturbovanom stanju označimo sa (r0, t ). Prema tome, perturbovani položaj delića može de se napiše kao Slika 2.1: Promena položaja delića usled perturbovanja plazme 10
r (t ) r0 (t ) (r0, t ). Pretpostavlja se da je perturbacija mala, tako da važi (r0, t ) << r0 (t ). Izraz za brzinu perturbovanog fluida se svodi na (r0, t ). V1 (r, t ) V1 (r0, t ) t Prevedena na promenljivu (r0, t ) diferencijalna jednačina kretanja delića fluida (2.20) za perturbovanu plazmu dobija oblik 2 m 0 2 F ( ), t (2.45) gde je 1 F ( ) p1 B1 B0 B0 B1 0 (2.46) restituciona sila koja se javlja zbog pomeranja delića plazme iz ravnotežnog položaja. Rešavanjem jednačine (2.45) po, uz odgovarajuće granične uslove, dobija se informacija o brzini delića perturbovane plazme, a posredno i o promeni pritiska, gustine mase, gustine struje, jačine električnog i magnetnog polja. Na taj način određuje se vremenska evolucija ovih veličina, na osnovu čega može da se izvrši procena stabilnosti plazme. Jednačina (2.45) se može napisati na drugačiji način, uvođenjem operatora K definisanog izrazom (2.46) i jednačinom (2.47): m0 2 F ( ) K. t 2 (2.47) Ako uvedemo vremenski periodičnu perturbaciju frekvence ω ( r, t ) ( r )e t, rešavanje diferencijalne jednačine (2.47) se svodi na rešavanje svojstvenog problema m 0 2 K. (2.49) Rešavanjem jednačine (2.49) dobijaju se normalne mode. Njihovom analizom utvrđuje se da li je plazma stabilna, ako ne postoje narastajuće mode, što će biti ispunjeno ako je ω2 > 0, ili nestabilna, čemu odgovara ω2 < 0. S obzirom da je K autoadjungovani operator, svojstveni problem može da se reši varijacionom metodom, uzimajući da je δω = 0, tako da je 11
2 K dr. dr (2.50) m0 Integral ispod razlomačke crte je uvek pozitivan, tako da se pitanje stabilnosti plazme svodi na znak integrala koji se nalazi iznad razlomačke crte u izrazu (2.50). Ako jednačinu (2.49) posmatramo kao jednačinu kretanja oscilatora restitucione konstante K, potencijalna energija takvog oscilatora data je izrazom W 1 1 K dr F dr. 2 2 (2.51) Ako je usled malih periodičnih perturbacija potencijalna energija data izrazom (2.51) porasla, plazma je stabilna. U suprotnom slučaju, kada se nakon perturbacije potencijalna energija smanji, stanje u kome se plazma nalazi smatra se nestabilnim. Dakle, ukoliko je δw > 0, plazma je stabilna, a ako je δw < 0, plazma je nestabilna Uz primenu odgovarajućih relacija vektorske algebre i Gausove teoreme, kao i jednačina (2.21) i (2.22) za perturbovanu plazmu, jednačina (2.51) može da se napiše u obliku W 1 p 0 2 pl 2 B12 p0 j0 B1 dr + 0 1 1 1 p B B ds 1 2 S 0 0 1 (2.52) Simbolom pl ukazuje se na to da se integracija vrši po čitavoj zapremini koju zauzima plazma, dok se u drugom integralu integracija vrši po površini plazme. Ukoliko je plazma ograničena savršeno provodnim zidovima od čvrstog materijala površinski član će biti jednak nuli, u skladu sa graničnim uslovima. Međutim, ako je plazma okružena vakuumom, ovaj član je različit od nule i predstavlja prenos energije u tu oblast. Površinski integral u tom slučaju treba transformisati u zapreminski po zapremini vakuuma. Pri tome izraz za promenu potencijalne energije delića plazme koji osciluje dobija oblik W 1 p0 2 pl 1 Bv 2 dr. 2 v 2 0 2 B12 p0 j0 B1 dr + 0 1 (2.53) U poslednjem izrazu v ukazuje na to da se integracija vrši po zapremini vakuuma, dok je Bv jačina perturbovanog magnetnog polja u vakuumu. Prvi integral je nepromenjen u odnosu na jednačinu (2.52). Jednačina (2.53) daje dobar uvid u to koji bi faktori mogli da igraju najvažniju ulogu u destabilisanju plazme. Prva dva člana su 12
očigledno uvek pozitivna, tako da oni imaju stabilizujući efekat na plazmu. Treći član može da dovede do pomeranja plazme u oblast gde je njen pritisak veći od magnetnog, čime se krši uslov stabilnosti koji podrazumeva jednakost ovih pritisaka u svakoj tački i u svakom trenutku. Četvrti član može da dovede do promene komponenata gustine struje i pojave elektromagnetne nestabilnosti plazme. Uzimajući u obzir da je gradijent pritiska normalan na granicu plazme, kao i perturbacija magnetnog polja, dok je gustina stuje paralelna linijama sila spoljašnjeg polja, može se zaključiti da poslednja tri člana u izrazu (2.53) sadrže samo normalnu komponentu pomeraja, u odnosu na graničnu površinu. Metod energetske analize je pogodan za određivanje parametara stanja koji dovode do razvoja nestabilnosti. Sa druge strane, ovakvim pristupom se ne dobija podatak o brzini njenog razvoja, tj. o brzini udaljavanja od ravnotežnog stanja, što je jako važno kod upoređivanja više nestabilnosti i identifikovanja onih koje u najvećoj meri otežavaju konfiniranje, kako bi se njihovom suzbijanju posvetila najveća pažnja u pokušajima dostizanja što dužeg vremena konfiniranja i eventualno, ekonomične kontrolisane termonuklearne fuzije. 13
3. NESTABILNOSTI NEKONFINIRANE PLAZME Ovde je reč o beskonačnoj plazmi plazmi koja zauzima čitav prostor. Sve njene nestabilnosti mogu se svrstati u grupu mikronestabilnosti. Za njihovo proučavanje se može koristiti Vlasovljeva teorija, čije opisivanje prevazilazi okvire ovog rada, ali se nekim problemima može prići i preko makroskopskih jednačina fluida, što će biti pokazano u daljem tekstu na karakterističnim primerima. S obzirom da se nestabilnosti opisane u ovom poglavlju manifestuju u vidu odstupanja raspodele čestica po brzinama od Maksvelove raspodele, kada se pišu hidrodinamičke jednačine podesnije je umesto gustine mase ρm koristiti koncentraciju čestica n. Kao primer će biti navedene nestabilnosti dva toka talasa prostornog naelektrisanja i nestabilnost koja nosi naziv vatrogasno crevo. One će biti ispitane analizom normalnih moda. 3.1 NESTABILNOSTI DVA TOKA TALASA PROSTORNOG NAELEKTRISANJA Usled termalnog kretanja izvestan broj elektrona može da napusti neku zamišljenu sferu u plazmi radijusa većeg od Debajevog (to je radijus najmanje sfere u plazmi koja ima svojstvo makroskopske kvazineutralnosi), pri čemu ona postaje pozitivno naelektrisana. Zbog toga dolazi do elektrostatičkog privlačenja između nje i elektrona koji u prostoru neposredno oko sfere formiraju negativno prostorno naelektrisanje. Elektroni dobijaju ubrzanje ka centru sfere, ulaze u nju i po inerciji nastavljaju da se kreću ka njenom središnjem delu, gde dolazi do njihovog nagomilavanja i elektrostatičkog odbijanja, usled čega ponovo napuštaju sferu, a zatim se ponovo vraćaju u nju itd. Ovakvo kretanje elektrona u plazmi je neprekidan proces i nosi naziv plazmene oscilacije. Driftno kretanje sfera sa oscilujućim elektronima naziva se talas prostornog naelektrisanja. Interakcija dva talasa prostornog naelektrisanja može dovesti do prostorno i vremenski narastajućih gustina naelektrisanja (jačanja unutrašnjih električnih polja), što dovodi do pojave elektrostatičke nestabilnosti. Da bi se odredila brzina razvoja nestabilnosti metodom analize normalnih moda, potrebno je najpre naći disperzionu jedačinu iz linearizovanih jednačina magnetne hidrodinamike. S obzirom da joni imaju znatno veću masu od elektrona, možemo ih u aproksimaciji smatrati nepokretnim (uzima se da je masa jona beskonačno velika). Pretpostavimo da imamo dva talasa prostornog naelektrisanja, čije su koncentracije u ravnotežnom stanju nα0 i nβ0 i neka se oni kreću u istom pravcu (npr. pravcu z ose) različitim driftnim brzinama V 0 i V 0. Uvedimo sada perturbacije ovih veličina, koje će biti označene indeksom 1 u matematičkoj formi ravnih talasa: n 1 n 1eikz i t, (3.1) 14
n 1 n 1eikz i t, (3.2) V 1 V 1eikz i t, V V 1eikz i t. (3.3) (3.4) 1 Simbolom iznad oznake veličine predstavljena je amplituda njene perturbacije. Pretpostavlja se da su navedene perturbacije male tako da važi nα1 nα0 i Vα1 Vα0. U tom slučaju mogu se koristiti linearne jednačine magnetne hidrodinamike. Koncentracije i driftne brzine dva talasa prostornog naelektrisanja dobijaju se superpozicijom ravnotežnog stanja i perturbacije, tako da se za koncentracije i driftne brzine dobijaju izrazi: n n 0 n 1 n 0 nˆ 1eikz i t, (3.5) n n 0 n 1 n 0 nˆ 1eikz i t (3.6) V V 0 V 1 V 0 Vˆ 1eikz i t, (3.7) V V 0 V 1 V 0 Vˆ 1e ikz i t. (3.8) Jednačina kontinuiteta, čiji je opšti oblik, izražen preko koncentracija umesto n preko gustina, (nv ) 0, zamenom perturbovanih koncentracija i brzina, za t svaki od talasa prostornog naelektrisanja posebno jednačina kontinuiteta se svodi na i nˆ 1 ik (n 0Vˆ 1 nˆ 1V 0 ) 0 (3.9) i nˆ 1 ik (n 0Vˆ 1 nˆ 1V 0 ) 0. (3.10) i na Perturbovanjem koncentracija i driftnih brzina, mestimično dolazi do periodičnog razdvajanja i nagomilavanja naelektrisanja, što dovodi do pojave periodično promenljivih, lokalnih električnih polja, čiji se intenzitet menja po zakonu E Eˆ1eikz i t (3.11) Kao što se vidi iz jednačine (3.11), jačina polja u stacionarnom stanju, pre nastupanja perturbacije koncentracija i brzina, jednaka je nuli. n m V V n q E V B, uz t pretpostavku da je jačina magnetnog polja jednaka nuli, zamenom oznaka qα = qβ = -e, uvođenjem perturbacija i linearizacijom dobijaju se izrazi Iz jednačine prenosa impulsa e ˆ i Vˆ 1 ikv 0Vˆ 1 E1 me (3.12) 15
e ˆ i Vˆ 1 ikv 0Vˆ 1 E1, me 1 Kada u jednačinu E 0 (3.13) n q, zamenimo izraze za perturbovano električno i i i polje i perturbovane koncentracije, uzimanjem u obzir da je qα = qβ = -e dobija se jednačina 1 ikeˆ1 e nˆ 1 nˆ 1 (3.14) 0 Kombinovanjem jednačina (3.9), (3.10), (3.12), (3.13) i (3.14), mogu se eliminisati amplitude perturbacija koncentracija i brzina, uz uvođenje frekvenci plazmenih oscilacija p n 0 e 2, 0 me p n 0 e 2 0 me gde je e elementarno naelektrisanje, a me masa elektrona, dobija se disperzina jednačina u obliku p 2 kv 0 2 p 2 kv 0 2 1. (3.15) Postupak se dalje svodi na rešavanju ove jednačine tako da se dobije konkretan oblik zavisnosti frekvence od talasnog broja. Nakon toga se može ispitati stabilnost ravnotežnog stanja. U opštem slučaju mogu se dobiti četiri različita rešenja, od kojih svako odgovara posebnoj talasnoj modi. Stabilnost svake od njih treba ispitati i ako je barem jedna vremenski ili prostorno narastajuća, ispitivano ravnotežno stanje je nestabilno. Ako je talasni broj realan, a ugaona frekvenca kompleksan broj, koji se može napisati u obliku ωn = Re ωn + i Im ωn,1 mogu se doneti zaključci o vremenskoj evoluciji nestabilnosti. Ako je Im ωn > 0, amplituda perturbacije (talasne mode) raste sa vremenom, pa se ispitivano ravnotežno stanje može proglasiti nestabilnim. Ako je Im ωn < 0, moda je amortizovana, tako da na kraju iščezava, pa ako to važi za sve normalne mode, ispitivano stanje je stabilno. Ako je sa druge strane frekvenca realna, a talasni broj kompleksna veličina (kn = Re kn + i Im kn ) i ako disperzionu jednačinu rešimo po k, mogu se doneti zaključci o prostornom razvoju nestabilnosti. Ako postoji Im kn < 0, data moda je prostorno narastajuća, a stanje nestabilno. Nasuprot, ako za sve mode važi Im kn < 0, sve su prostorno-opadajuće, a stanje se može smatrati stabilnim. Konkretno rešavanje disperzione jednačine neće biti obuhvaćeno ovim tekstom, u kome bi akcenat trebalo da bude na nestabilnostima konfinirane plazme. Samo će biti napomenuto da je rešavanje obično numeričko, ali i da postoje specijalni slučajevi u 1 Indeks n može imati vrednosti 1, 2, 3 i 4, a svaka od njih odnosi se na jednu od četiri normalne mode, koliko se u opštem slučaju dobija rešenja disperzione jednačine po ω ili k, jer je ona u ovom slučaju jednačina četvrtog stepena po ω i k. 16
kojima je moguće do rešenja disperzione jednačine doći analitičkim putem. Jedan takav slučaj je kada talasi prostornog naelektrisanja u ravnotežnom stanju imaju iste koncentracije i kada driftuju brzinama istog intenziteta i istog intenziteta u suprotnim smerovima, tj. kada je nα0 = nβ0 i Vα0 =-Vβ0. Tada je moguće dobiti podatke o brzini i stepenu razvoja nestabilnosti, čime se procenjuje njena destruktivnost. Na kraju treba naglasiti da opisani pristup ima ozbiljan nedostatak zbog ranije uvedene pretpostavke o nepokretnim jonima beskonačne mase. Na taj način, model se ograničava na talase prostornog naelektrisanja velikih frekvenci, pri kojima se realno kretanje jona, kao i uticaj tog kretanja na kretanje elektrona, može zanemariti. 3.2 NESTABILNOST VATROGASNO CREVO ALFVEN-OVOG TALASA Kroz beskonačni elektroprovodni nestišljivi fluid u spoljašnjem magnetnom polju mogu se prostirati dve transverzalne normalne mode. Jedna od njih, kod koje delići fluida, kao i perturbacije magnetnog polja osciluju normalno na spoljašnje stacionarno magnetno polje, naziva se Alfven-ov talas. Ova moda je nestabilna (narastajuća) ako se pritisak plazme duž pravca spoljašnjeg magnetnog polja razlikuje od pritiska duž pravca normalnog na spoljašnje magnetno polje. Ovakva situacija se sreće kada postoji temperaturna anizotropija, što je čest slučaj u razređenoj plazmi koja se nalazi u jakom stacionarnom magnetnom polju. Zbog toga se sistem MHD jednačina mora dopuniti, uzimajući u obzir temperaturnu anizotropiju, kako bi se dobio zatvoreni sistem jednačina. U tu svrhu se može iskoristiti dvostruka adijabatska teorija Chew-GoldbergLow-a, u kojoj se dobijaju različite jednačine za pritisak duž pravca spoljašnjeg magnetnog polja i duž pravca normalnog na spoljašnje magnetno polje. Disperziona jednačina koja se dobija ima oblik: 2 k 2 B 2 p 2 p cos 2 p sin 2 2 m 0 2 0 2 B 2 2 2 p 1 sin 4 p cos 4 p 2 sin 2 cos 2. 2 0 (3.16) Ovde je sa ρm0 označena gustina neperturbovane plazme, sa p pritisak duž pravca normalnog na spoljašnje magnetno polje, sa p pritisak duž pravca spoljašnjeg magnetnog polja, a sa θ ugao između pravca prostiranja talasa i spoljašnjeg magnetnog polja. Za Alfven-ov talas važi da je θ = 0, pa se disperziona jednačina svodi na oblik 2 k 2 B2 p p. 2 m 0 2 0 (3.17) 17
Analizom normalnih moda dolazi se do zaključka da će Alfvenov talas biti B2 B2 nestabilan ako je p p 0, odnosno ako je p p. Ova 2 0 2 0 nestabilnost se manifestuje tako što se povećava amplituda Alfven-ovog talasa, koji je transverzalni talas, što je nekoga podsetilo na širenje vatrogasnog creva kada se kroz njega propusti voda, pa je ovaj vid nestabilnosti zbog toga dobio neobičan naziv - nestabilnost vatrogasno crevo Alfven-ovog talasa. Ova nestabilnost spada u elektromagnetne, dok prethodno opisana nestabilnost dva toka talasa prostornog naelektrisanja spada u elektrostatičke nestabilnosti. Generalno, sve elektrostatičke nestabilnosti su znatno destruktivnije po konfiguraciju plazme od elektromagnetnih, s obzirom da se znatno brže razvijaju. Zbog toga one imaju primat pri izučavanju i suzbijanju nestabilnosti, kada obe vrste postoje istovremeno u plazmi. Elektromagnetne nestabilnosti dobijaju na značaju tek kada nema elektrosattičkih, tj. kada su one suzbijene. 18
4. NESTABILNOSTI IDEALNE PLAZME KONFINIRANE MAGNETNIM POLJEM Postizanje stabilne konfiguracije plazme dodatno se otežava njenim konfiniranjem, koje se u laboratoriji realizuje pomoću magnetnog polja. Samo po sebi, konfiniranje predstavlja uzrok jako velikog broja nestabilnosti, čijim se razvojem gubi prostorna konfiguracija. Zamisao da se te nestabilnosti u potpunosti suzbiju je nerealna. Ideja je da se otkriju najdestruktivnije, one koje su najbrže rastuće i da se suzbiju kako bi konfiniranje potrajalo što duže. Održanje plazme u određenoj prostornoj formi praćeno je, pored mikronestabilnosti koje postoje i kod neograničene plazme, makronestabilnostima koje se ogledaju u deformaciji prostorne konfiguracije istezanjem, izvijanjem, promenom zapremine, translacijom, rotacijom itd. Samim tim, analiza nestabilnosti plazme konfinirane magnetnim poljem je znatno složenija nego u slučaju beskonačne plazme, ali i znatno bogatija. Stabilnost konfinirane plazme je samo u najjednostavnijim slučajevima moguće detaljno proučiti analizom normalnih moda, što podrazumeva mogućnost nalaženja rešenja disperzione jednačine za ceo skup normalnih moda, čime se dobija najdetaljnija analiza nestabilnosti. U slučaju kada metoda analize normalnih moda nije primenljiva, koristi se energeska analiza. Kao što je već rečeno u uvodnom delu, ovom metodom se može ispitatti da li je određena konfiguracija stabilna ili ne, može se odrediti koji parametri najviše utiču na razvoj nestabilnosti, ali se ne može izračunati stepen porasta nestabilnosti. U ovom, četvrtom poglavlju, biće analizirane najznačajnije nestabilnosti idealne plazme, odnosno plazme beskonačne elektroprovodnosti. Ovakva aproksimacija je često opravdana i kod realnih slučajeva zbog visokog stepena jonizacije visokotemperaturne plazme. Ako se provodnost plazme može smatrati beskonačnom, onda spoljašnje magnetno polje ne može da difuziono prodre u nju, kao što linije sila magnetnog polja koje se nalaze u plazmi ostaju zamrznute u njoj. U skladu sa tim, aproksimacija idealne plazme je sasvim zadovoljavajuća u slučajevima od najvišeg interesa, kada se ispituju nestabilnosti koje se razvijaju jako brzo, za vreme manje od vremena potrebnog da magnetno polje difunduje u plazmu, ili iz nje, što se u realnosti dešava. Ovo difundovanje je utoliko sporije ukoliko je realna provodnost plazme veća. Analize pokazuju da je karakteristično vreme narastanja idealnih MHD nestabilnosti 1, gde je γ imaginarni deo kružne frekvence perturbacije, istog reda veličine kao period Alfven-ovog talasa frekvence ωa, koji se prostire kroz tu plazmu A 1 A. Najdestruktivnije nestabilnosti u idealnom MHD modelu su žljebaste ili izmenske nestabilnosti. One su opisane u delu 4.2. Prethodno je, radi njihovog boljeg opisivanja, analizirana stabilnost plazme u gravitacionom polju, odakle se dobija teorijska osnova za izučavanje žljebastih nestabilnosti. Na kraju ove glave su obrađene nestabilnosti idealne plazme konfinirane pomoću pinč-efekta, kao vrlo česte metode za održavanje plazmene konfiguracije. 19
4.1 RAYLEIGH-TAYLOR - OVA NESTABILNOST PLAZME U GRAVITACIONOM POLJU U klasičnoj hidrodinamici Rayleigh-Taylor - ova nestabilnost nastaje kada se fluid veće gustine podupre fluidom manje gustine u gravitacionom polju. I najmanja odstupanja granične površine ova dva fluida od ravne površi (perturbacija), koja u realnosti uvek postoje, dovode do prodiranja fluida veće gustine u oblast gde se nalazi fluid manje gustine (npr. voda iznad ulja), dok ovaj drugi biva istisnut u gornji sloj. Kada je u pitanju plazma u gravitacionom polju održavana magnetnim poljem, Rayleigh-Taylor - ova nestabilnost se ogleda u tome da plazma uzima ulogu fluida veće gustine, dok se spoljašnje magnetno polje ponaša kao fluid manje gustine. U takvim okolnostima plazma je nestabilna, zbog čega će perturbovanje donje granice plazme i vakuuma dovesti do prodiranja plazme u niže slojeve i povećanja perturbacije. Rayleigh-Taylor - ova nestabilnost plazme ne daje veliki doprinos dezintegrisanju laboratorijske plazme, pa samim tim njeno ispitivanje i suzbijanje ne spada u probleme od primarnog značaja, barem kada je u pitanju kontrolisana termonuklearna fuzija. Međutim, njen značaj je indirektno veoma veliki, jer predstavlja najjednostavniji problem iz koga se može predvideti kako će se ponašati plazma u magnetnom polju sa zakrivljenim linijama sila, što je posebno važno kod konfiniranja laboratorijske plazme. Veza se ogleda u tome što centrifugalne sile nastale kretanjem čestica plazme duž zakrivljenih putanja, imaju isti efekat na stabilnost plazme kao i delovanje gravitacione sile. Posmatrajmo hladnu plazmu male gustine koja ispunjava polovinu prostora, onu za koju je y > 0, kao na slici (4.1, a), koja se nalazi u gravitacionom polju usmerenom u negativnom smeru y ose ( g gez ). Neka se ona održava uniformnim magnetnim poljem usmerenim u pozitivnom smeru z ose ( B0 B0 ez ). Pretpostavka je da je pritisak plazme znatno manji od magnetnog pritiska, kako bi održanje takve konfiguracije bilo moguće. U opisanoj situaciji će pod uticajem gravitacionog i magnetnog polja doći do driftnog kretanja čestica plazme u pravcu x ose, brzinom m g B VDG q B 2 gde indeks α u slučaju jona prelazi u j, a u slučaju elektrona u e. Odavde se vidi, što je i bilo očekivano da joni i elektroni driftuju u suprotnim smerovima x-ose. Štaviše, s obzirom da je intenzitet driftne brzine srazmeran masi, on će biti znatno veći kod jona nego kod elektrona, tako da se gravitacioni drift elektrona može zanemariti. Pretpostavimo sada da je došlo do blagog talasastog perturbovanja granice plazma-vakuum, pri čemu se na njoj javljaju udubljenja i ispupčenja kao na slici (4.1, b). Usled gravitacionog drifta jona dolazi do razdvajanja naelektrisanja u perturbovanom delu i pojave električnih polja, zbog čega se razvija elektrostatička nestabilnost. Zbog specifične preraspodele naelektrisanja, koja je prikazana na slici (4.1, b), električna polja u ispupčenjima i udubljenjima imaju suprotne smerove. 20
a) b) Slika 4.1: Plazma u gravitacionom polju održavana magnetnim poljem; a) neperturbovana plazma; b) plazma sa perturbovanom donjom granicom u obliku sinusoide U kombinovanom magnetnom i električnom polju, nastalom na opisani način, dolazi do drifta čestica plazme u pravcu y ose brzinom E B. VDE B2 Ova brzina je istog smera za jone i elektrone, jer ne zavisi od znaka naelektrisanja. Kao što se vidi sa slike i izraza za driftnu brzinu naelektrisanih čestica, u udubljenjima će se drift odvijati naviše, a u ispupčenjima naniže, zbog čega ona rastu, što dovodi do povećanja inicijalne perturbacije i razvoja nestabilnosti. Gledano sa energetskog stanovišta, ukoliko je opisana plazma nestabilna, nakon perturbacije će preći u stanje sa nižom potencijalnom energijom. Da se upravo to dešava nakon periodične perturbacije prikazane na slici (4.1, b), može se zaključiti iz sledećeg razmatranja. Pretpostavimo da homogena plazma gustine ρ na slici (4.1, a) zauzima prostor od x = 0 do x = L i od y = 0 od y = h. Pre perturbovanja njena potencijalna energija iznosi 21
L h 0 0 nepert W pot dx dy gy 1 glh 2. 2 Uvođenjem sinusoidalne perturbacije u obliku y yˆ sin kx, gde je y amplituda, menjaju se samo granice integracije u izrazu za potencijalnu energiju plazme u gravitacionom polju. Gustina ostaje ista s obzirom da se ni ukupna zapremina ne menja. Po promenljivoj y treba integraliti od donje do gornje granice prostora koji zauzima plazma, od yˆ sin kx do h. Sa druge starne, po promenljivoj x je dovoljno integraliti u 2 intervalu jednog perioda prostorno periodične perturbacije, od 0 do L =. k Potencijalna energija plazme sada iznosi L pert W pot 2 k 0 dx h dy gy yˆ sin kx 1 g 2 L 2 k dx h 2 yˆ sin 2 kx 0 1 yˆ 2 gl h 2. 2 2 Jednostavnim oduzimanjem potencijalne energije perturbovane od potencijalne energije neperturbovane plazme dobija se 1 nepert pert W pot W pot W pot glyˆ 2 0. 4 Kao što se vidi, ova razlika je pozitivna, odnosno perturbovanjem donje granice plazma vakuum dolazi do smanjenja potencijalne energije, što je dokaz da plazma u gravitacionom polju poduprta magnetnim poljem nestabilna konfiguracija. 4.2 ŽLJEBASTA NESTABILNOST Kao što je već napomenuto, nestabilnost magnetno konfinirane plazme nastale zbog gravitacionog drifta jona ne predstavlja važan faktor u njenom dezintegrisanju jer su laboratorijske plazme obično znatno razređene i nalaze se u slabom gravitacionom polju. Ipak, značaj izučavanja ove nestabilnosti ogleda se u tome što se tako dobija dobar model za predviđanje ponašanja plazme u magnetnom polju sa zakrivljenim linijama sila i usled postojanja gradijenta magnetnog polja. Centrifugalne sile u ovakvim konfiguracija igraju istu ulogu kao i gravitaciona za razvoj Rayleigh-Taylor ove nestabilnosti u gravitacionom polju, ali znatno intenzivnije, zbog čega nestabilnosti koje će biti opisane u ovom odeljku spadaju u najdestruktivnije. Štaviše, za razliku od gravitacionog drifta, koji je značajan samo za jone, centrifugalni drift u ovom slučaju utiče i na jone i na elektrone, zbog čega razdvajanje i grupisanje naelektrisanja postaje još jače izraženo, što dodatno doprinosi nestabilnosti plazme u konfiguracijama sa 22
zakrivljenim linija sila magnetnog polja i sa postojanjem gradijenta polja. U takvim poljima javlja se drift čestica mase m i naelektrisanja e čija je brzina m v 2 2 R B vd v 2 2, e 2 R B gde su sa v i v označene normalna i paralelna komponenta termalnog kretanja, a sa R radijus-vektor krivine linije sila magnetnog polja. Budući da je vektor R istog pravca u odnosu na granicu plazma-vakuum kao i vektor g u slučaju prikazanom na slici (4.1), uz smenu v 2 1 g v 2 2, 2 R izraz za brzinu drifta usled zakrivljenosti linija sila magnetnog polja i postojanja gradijenta polja, svodi se na oblik izraza za brzinu gravitacionog drifta, što ukazuje na slične mehanizme razvoja nestabilnosti u ta dva slučaja. Sa energetskog stanovišta nestabilnosti u gravitacionom polju nastaju zbog toga što plazma održana magnetnim poljem nije u stanju najniže potencijalne energije, koju teži da smanji prodiranjem u niže slojeve. Slično tome, plazma konfinirana u tri dimenzije teži da smanji unutrašnju energiju, a to postiže povećanjem zapremine, pri čemu se hladi. Najočigledniji primer nestabilne plazme konfinirane magnetnim poljem sa zakrivljenim linijama sila jeste plazma u klopci dobijenoj pomoću magnetnih ogledala. To je jednostavan sistem koji se sastoji od dva razdvojena kalema koji se nalaze na istoj osi i kroz koje protiču struje u istom smeru. Naelektrisane čestice u magnetnom polju koje stvaraju kalemovi mogu da se reflektuju od oblasti sa većom gustinom linija sila polja i tako bivaju zarobljene u prostoru između kalemova. Uslov da do toga dođe je da ugao α koji zaklapa vektor brzine kretanja čestice sa vektorom jačine magnetnog polja nije manji od neke granične vrednosti, određene odnosom maksimalnog i minimalnog intenziteta magnetnog polja, R = Bmax/Bmin (koeficijent magnetnog ogledala). Sve čestice za koje je α < arc sin (1/R)1/2 napuštaju magnetno polje, a njihovi pravci u prostoru brzina obrazuju tzv. konus gubitaka. Slika (4.2): Plazma u klopci sa magnetnim ogledalima 23
Za plazmu zarobljenu u prostoru između dva magnetna ogledala tipična je konusna nestabilnost. Ovo je kinetička nestabilnost koja nastaje zbog toga što izlaskom čestica koje obrazuju konus gubitaka iz magnetne klopke dolazi do promene raspodele po brzinama u preostaloj plazmi i odstupanja od Maksvelove. Ipak, ovaj vid nestabillnosti nije brzonarastajući i na značaju dobija samo kada se suzbije znatno opasnija nestabilnost, koja se javlja usled zakrivljenosti linija sila magnetnog polja i koja spada u najdestruktivnije. To je izmenska ili žljebasta nestabilnost. Žljebasta nestabilnost se javlja tako što se na površini plazme obrazuju rebraste izbočine i žljebovi, koji se prostiru čitavom dužinom plazme kao na slici (4.3), slično kao kod klasičnih grčkih stubova. Ove izbočine i žljebovi se zajedno kreću u azimutalnom pravcu. Kao što je već rečeno u ovom odeljku, prostorno konfinirana plazma nije u termodinamičkoj ravnoteži sa svojom okolinom, a ravnotežnom stanju se približava smanjenjem unutrašnje energije tako što se širi, a samim tim i hladi. Ovo, naravno važi i za plazmu u klopci između magnetnih ogledala ona pokazuje tendenciju širenja. Osim toga, za plazmu u magnetnoj klopci važi jedan veoma važan uslov, koji se javlja kao posledica zamrznutosti linija sila magnetnog polja. Ukupni fluks magnetnog polja kroz bilo koji presek plazme normalan na osu magnetne klopke (veličina BdS ) mora da ostane konstantan usled ma kojih transformacija plazme. S obzirom da je spoljašnje magnetno polje približno konstantno, ovaj uslov zajedno sa tendencijom plazme da se širi ka zoni sa nižim pritiskom, dovodi do pojava rebrastih izbočina na njenoj površini između kojih se granica plazme pomera ka središnjem delu i tako nastaju žljebovi. Ovakva talasasta konfiguracija površine plazme ima snažnu tendenciju povećanja amplitude usled centrifugalnog drifta jona i elektrona i razdvajanja naelektrisanja, slično povećanju amplitude perturbacije na granici plazma - vakuum u gravitacionom polju. U konfiguraciji klopke sa magnetnim ogledalima, usled nastajanja rebrastožljebaste strukture površine plazme, izbočine se šire ka oblasti slabijeg, a žljebovi ka oblasti jačeg magnetnog polja, tako da će posle malo vremena od početka formiranja takve konfiguracije ukupna zapremina izbočina biti veća od ukupne zapremine žljebova. Osim toga, izbočine su za nijansu udaljenije od centralnog dela klopke i zbog imaju malo veću dužinu od žljebova, pa samim tim i malo veću zapreminu. Dakle, formiranjem rebrasto-žljebaste perturbacije površine plazme u magnetnom polju sa zakrivljenim linijama sila kao kod klopke sa magnetnim ogledalima, dolazi do povećanja zapremine plazme i njenog hlađenja (smanjenja unutrašnje energije). Ako plazmu tretiramo kao idealni gas, njenu unutrašnju energiju možemo izraziti u sledećem obliku W pl pv 1 (4.1) gde je γ = Cp / CV adijabatska konstanta. Pretpostavlja se da su procesi koji se odvijaju u plazmi adijabatski. 24
Slika (4.3): Poprečni presek plazme u klopci sa magnetnim ogledalima, sa formiranim žljebovima i izbočinama (rebrima) Posmatrajmo poprečni presek perturbovane plazme koja se nalazi u klopci sa magnetnim ogledalima na slici (4.3). Sa I je označena površina nastala povlačenjem plazme (žljebovi), a sa II površina nastala ekspanzijom ka oblasti vakuuma (izbočine, rebra). Crna kružnica na slici označava granicu plazma - vakuum, pre formiranja žljebasto - rebraste strukture. Promena unutrašnje energije plazme je W pl VII 1 VI p p pivi piivii. I II 1 VII VI (4.2) U ovoj formuli su indeksom I označeni pritisak i zapremina u žljebu, a indeksom II u izbočini. Vezu između njih možemo uspostaviti na sledeći način: VII VI V, pii pi p, (4.3) gde su sa δ označene male promene pritiska i zapremine. Izražena preko δp i δv promena unutrašnje energije plazme je sada W pl p V p ( V ) 2. V (4.4) Uslov stabilnosti je da je promena unutrašnje energije nije negativna. Ako je to slučaj, znači da se perturbovanjem plazma hladi, što se postiže njenim širenjem, a to je nepovoljan scenario za održanje konfiguracije. Dakle, kao siguran kriterijum stabilnosti može da se navede uslov δwpl > 0. Pošto je drugi sabirak u jednačini (4.4) uvek pozitivan, uslov da plazma bude u stabilnoj konfiguraciji se svodi na δpδv > 0. S obzirom da nastajanjem žljebova i rebara dolazi do blagog porasta zapremine plazme, pritisak mora malo da opadne, tako da je δp < 0. Na osnovu toga, kriterijum stabilnosti dobija jednostavnu formu δv < 0. Dakle, u konfiguracijama sa zakrivljenim linijama sila, uslov da plazma bude stabilna u odnosu na izmenske nestabilnosti jeste da zakrivljenost linija sila magnetnog polja bude takva da smanjuje zapreminu koju zauzima plazma. U tom slučaju kažemo da magnetno polje ima povoljnu zakrivljenost 25
linija sila. U suprotnom, kada je konfiguracija magnetnog polja takva da se zapremina povećava, plazma je nestabilna, a za magnetno polje kažemo da ima nepovoljnu zakrivljenost. Magnetno polje ima povoljnu zakrivljenost u onim delovima gde su linije sila konveksne ka unutrašnjosti plazme, ka oblasti višeg pritiska. Granični uslov za pritisak jeste da na granici plazma - vakuum on opada na nulu. Sa druge strane, pritisak je najveći u sredini, na osi magnetne klopke sa ogledalima, tako da postoji gradijent pritiska usmeren od ose ka periferiji oblasti koju zauzima plazma. Uslov stabilnosti sada može da se definiše na još jedan način: magnetno polje održava plazmu u stabilnoj konfiguraciji ako su vektori poluprečnika krivina linija sila magnetnog polja i gradijenta pritiska suprotno usmereni. U suprotnom slučaju, plazma je stabilna. Zapremina fluksne cevi magnetnog polja poprečnog preseka A i dužine l je V Adl dl, B (4.5) gde je Φ= BA magnetni fluks kroz površinu A. Imajući u vidu da je fluks konstantan kroz naznačenu površinu uslov stabilnosti δv < 0 može da se napiše kao Adl dl 0. B (4.6) a) b) c) Slika (4.4): a) pozitivna zakrivljenost linija sila magnetnog polja (stabilišući efekat); b) negativna zakrivljenost linija sila magnetnog polja (destabilišući efekat); c) oblasti pozitivne i negativne zakrivljenosti kod klopke sa magnetnim ogledalima 26
Ako su linije sila magnetnog polja zatvorene linije, ovaj uslov treba napisati u obliku dl 0. B (4.7) Ukoliko na plazmu u zapremini V ne deluju odgovarajuće strane sile, ona će se raširiti. Pri tome, s obzirom da tokom širenja fluks ostaje konstantan, vrednost veličine dl mora da se poveća, srazmerno povećanju zapremine. Ovo sugeriša da se veličina B W dl B (4.8) može tretirati kao potencijalna enerija plazme, čijim se širenjem ova energija smanjuje. Infinitezimalna relativna promena zapremine sada je jednaka infinitezimalnoj relativnoj promeni veličine W. V V W W. (4.9) Uz pretpostavku da je širenje plazme adijabatsko, tako da važi pvγ = const, jednakost (4.9) se svodi na p p V V p W W. (4.10) Ovaj izraz je moguće dobiti i preuređivanjem jednačine (4.4), uz korišćenje jednakosti (4.9). Ako je plazma stabilna, nakon njenog širenja će važiti δw < 0. Na osnovu toga, uslov stabilnosti plazme je moguće napisati na još jedan način: p W dp dw (4.11) U opštem slučaju, što se vidi i na primeru klopke sa magnetnim ogledalima, isto magnetno polje u nekim delovima ima povoljnu, a u nekim delovima nepovoljnu zakrivljenost. Uzima se da je plazma stabilna ako je doprinos pozitivne zakrivljenosti veći. Kod konfiguracije sa jednostavnim magnetnim ogledalima, prevaga pada na nepovoljnu zakrivljenost, pa je plazma u njima nestabilna. Postoje i konfiguracije sa zakrivljenim linijama magnetnog polja u kojima veći doprinos imaju oblasti sa povoljnom zakrivljenošću. Međutim, u njima se razvija nova nestabilnost. Pojava žljebova i rebara može da se javi samo u ograničenoj oblasti, onoj u kojoj vlada nepovoljna zakrivljenost linija sila. U skladu sa već objašnjenim mehanizmima, plazma se u tom delu širi, odnosno duje se kao balon. Zbog toga ovaj vid žljebasteih nestabilnosti nosi naziv balonaste nestabilnosti. Ovaj oblik nestabilnosti javlja se samo kada β-parametar (odnos plazmenog i magnetnog pritiska) pređe neku graničnu vrednost. Pri pojavi balona, uz uslov da fluks mora da ostane nepromenjen, dolazi do 27
savijanja linija sila i promene energije polja, što nije slučaj kod klasične žljebaste nestabilnosti. 4.2.1. Suzbijanje žljebastih nestabilnosti u konfiguracijama sa magnetnim ogledalima Klopke sa suprotnim smerovima struje u kalemovima Razvijeno je više relativno efikasnih metoda za suzbijanje ovih nestabilnosti. Najjednostavnije rešenje jeste da se kroz kalemove u magnetnom ogledalu propuste struje iste jačine, ali u suprotnim smerovima. Na taj način se dobija magnetno polje sa šiljastom geometrijom kao na slici (4.5). Ovo polje ima jedno, za zarobljavanje plazme vrlo povoljno svojstvo, a to je da su linije sile magnetnog polja u čitavoj klopci konveksne sa strane vakuuma. To znači da su žljebaste nestabilnosti u njemu prevaziđene. Međutim, ovakva konfiguracija magnetnog polja ima jedan veliki nedostatak. Na sredini klopke može se uočiti središna ravan normalna na osu klopke, na kojoj se susreću linije sila magnetnih polja oba kalema. Ova površina predstavlja magnetnu pukotinu. Na tom mestu naelektrisane čestice mogu da pobegnu iz magnetnog polja i u pravcu normalnom na osu klopke, a ne samo u pravcu ose, kao što je slučaj kod običnih klopki sa magnetnim ogledalima. Osim toga, na sredini ose klopke sa magnetnim ogledalima javlja se tačka u kojoj je ukupna jačina magnetnog polja jednaka nuli. Kada naelektrisana čestica dođe u ovu tačku, njena ciklotronska rotacija može da pređe u pravolinijsko kretanje i ukoliko je taj pravac povoljan, čestica napušta magnetno polje kroz magnetnu pukotinu. Zbog toga se u klopci sa magnetnim ogledalima dobijenim pomoću dva kalema kroz koje se propuštaju struje iste jačine, ali suprotnih smerova, plazma zadržava nezadovoljavajuće dugo. Slika (4.5): Magnetno polje klopke sa strujama suprotnih smerova Šiljasta geometrija magnetnog polja može se primeniti između dve obične klopke sa magnetnim ogledalima koje leže na istoj osi, sa strujama suprotnih smerova u svakoj 28
od njih. U dva središnja kalema protiču struje suprotnih smerova, tako da oni formiraju klopku sa svuda povoljnom zakrivljenošću linija sila magnetnog polja. Ideja je da se plazma najpre formira u spoljašnjim klopkama. Ovo su obične klopke sa strujama istog smera u kalemovima jedne klopke, kod kojih je izražen efekat napuštanja naelektrisanih čestica u pravcu ose klopke. Ako su unutrašnji kalemovi ove dve klopke napravljeni od materijala nešto veće otpornosti nego spoljašnji, u njima će se struja brže smanjivati, tako da čestice većim delom iz spoljašnjih običnih klopki izlaze kroz unutrašnje kalemove i prelaze u prostor sa šiljastom geometrijom magnetnog polja.dobijen između dva unutrašnja kalema. U ovom delu žljebaste nestabilnosti gube na snazi, a glavni putevi bežanja čestica postaju radijalno usmereni duž magnetne pukotine. U ovakvoj konfiguraciji vreme održanja plazme se udvostručuje u odnosu na jednostruku klopku sa strujama suprotnih smerova u kalemovima. Hibridna klopka sa Ioffe-ovim multipolom Nešto bolje vreme konfiniranja plazme u magnetnoj klopci sa ogledalima dobija se u hibridnim poljima dobijenim pomoću Ioffe-ovih štapova. To su pravolinijski provodnici postavljeni paralelno osi provodnika, tako da svaki od njih prolazi kroz jedno teme odgovarajućeg mnogougla. Uvek se koristi paran broj ovih provodnika, najčešće šest, a kroz njih se propuštaju struje jednakih jačina, ali tako da kroz svaka dva susedna provodnika struje teku u suprotnim smerovima. Ovo se može realizovati i pomoću samo jednog provodnika, ispresavijanog na odgovarajući način. Pomoću Ioffe-ovih štapova se takođe dobija magnetno polje sa šiljastom geometrijom, kao na slici (4.6). U polju magnetne klopke izmenjenom pomoću četiri provodnika, magnetna pukotina ima oblik dve međusobno normalne ravni, koje se seku na osi klopke. U konfiguraciji sa šest provodnika, pukotina ima oblik tri ravni koje međusobno zaklapaju uglove od po 1200. U ovakvoj, hibridnoj klopci dobija se u idealnom slučaju magnetno polje koje raste udaljavajući se od ose klopke, odnosno polje čije su linije sile svugde konkavne sa strane plazme, što je preduslov da ne dođe do pojave žljebastih nestabilnosti. Slika (4.6): Magnetno polje hibidne klopke sa magnetnim ogledalima dobijeno pomoću šest Ioffeovih provodnika. Osa klopke je normalna na ravan u kojoj leži ova slika 29
Magnetno polje sa šer - om Još jedan način za postianje veće stabilnosti magnetnih klopki podrazumeva dodavanje šer - a, odnosno uvrtanjem magnetnih linija sila. Ovakvo polje ima osobinu da su mu linije sila u površima normalnim na pravac gradijenta parametara plazme, međusobno paralelne, ali da im se smer postepeno obrće kada se sa jedne ovakve površi pređe na drugu. Već vrlo mali šer daje solidan doprinos suzbijanju žljebastih nestabilnosti plazme. Opisana konfiguracija se može dobiti dodatnim navojcima na klopci, postavljenim na adekvatan način Polja sa minimumom B Ukoliko magnetno polje klopke zadovoljava uslove adijabatičnosti, naelektrisana čestica koja se kreće oko njegovih linija sila neće napustiti polje, kakva god perturbacija da se javi, ako njen orbitalni magnetni moment ostane nepreomenjen. Kod standardnih klopki sa magnetnim ogledalima intenzitet magnetnog polja opada sa udaljavanjem od ose klopke prema periferiji. Kada dođe do perturbacije, čestica u klopci može da se pomeri transverzalno i pređe u oblast manjeg intenziteta magnetnog polja. Kada se to desi, energija ciklotronske rotacije se smanjuje tako što se deo energije predaje magnetnom polju, a drugi deo se pretvara u kinetičku energiju drifta čestice. Ovo može da dovede do povećanja inicijalne perturbacije, odnosno do razvoja nestabilnosti. Prema tome, da bi se ostvarila veća stabilnost klopki sa magnetnim ogledalom potrebno je postići konfiguraciju magnetnog polja takvu da ono ima minimum intenziteta negde na osi klopke i da se postepeno povećava ka periferiji. Na taj način se umanjuje efekat gubitka plazme iz klopke u transverzalnom pravcu. Sa druge strane, ako se povede računa i o tome da konfiguracija magnetnog polja bude takva da se održava orbitalni magnetni moment naelektrisanih čestica, umanjiće se i efekat bežanja čestica kroz magnetna ogledala. Konfiguracije magnetnih polja koja zadovoljavaju oba, u ovom paragrafu opisana, uslova nazivaju se polja sa minimumom B. Ovakve konfiguracije se mogu dobiti adekvatnim kombinovanjem običnih polja magnetnih ogledala i polja sa šiljastom geometrijom. Treba napomenuti da polja dobijena u klopkama sa kalemovima kroz koje se propuštaju struje istih jačina, ali suprotnih smerova ne spadaju u polja sa minimumom B. Kod ovih polja je minimalna jačina polja unutar klopke jednaka nuli. U polja sa minimumom B spadaju polja čiji intenzitet ima minimalnu vrednost u unutrašnjosti klopke različitu od nule. 4.3 NESTABILNOSTI PINČA Najjednostavniji način konfiniranja plazme svakako je linearni pinč. Njegova prednost u odnosu na druge načine konfiniranja se ogleda u tome što nije potrebno uspostaviti spoljašnje magnetno polje, već se konfiniranje postiže u sopstvenom magnetnom polju plazme. Za dobijanje linearnog pinča se obično koristi zatvorena cev 30
napunejna određenim gasom pod niskim pritiskom. Na krajevima cevi su zatopljene elektrode na koje se impulsno pomoću spoljašnjeg kola dovodi visoki napon. Struja pražnjenja u prostoru između elektroda može dostići i do milion ampera. Kada se između elektroda uspostavi napon, najpre se u gasu formira plazma u tankom sloju uz zidove cevi i tu počinje da teče struja. Kako je Lorencova sila j B svugde u tom sloju usmerena ka osi cevi, dolazi do radijalnog sažimanja plazme pinč efekta. Pri tome se jonizuje i preostali gas, koji se takođe sažima. U konačnom, čitav gas u cevi za pražnjenje prelazi u stanje plazme koja zauzima oblik cilindra koji se naziva plazmeni šnur. Osa ovog cilindra se poklapa sa osom cevi za pražnjenje, ali je širina šnura znatno manja. Kada se postigne maksimalno sažimanje plazme usled pinč efekta, dešava se to da pritisak plazme postaje veći od magnetnog što dovodi do širenja plazmenog stuba sve dok se ne desi obrnuta situacija, kada se plazma ponovo sažima. Ovakvo ponašanje se ponavlja nekoliko puta, tako da se mogu uočiti radijalne pulsacije plazmenog stuba. Međutim, s obzirom da je opisana plazma jako podložna nestabilnostima, nakon nekoliko pulsacija nestabilnosti počinju da rastu i konfiguracija se brzo raspada, a pražnjenje u cevi se prekida. Ako se pretpostavi da je plazmeni stub oblika cilindra, uslov ravnoteže dobija oblik dp0 1 B0 d rb0. dr 0 r dr (4.12) Magnetno polje koje stvara linearni pinč ima iste karakteristike kao i polje linijskog provodnika. Linije sila tog polja su koncentrični krugovi sa centrima na osi pinča. Zašto je plazma u pinču nestabilna, jasno se vidi ako se ovde usvoji opšti kriterijum koji važi za stabilnost plazme u konfiguracijama sa zakrivljenim linijama sila magnetnog polja. Prema tom kriterijumu, plazma je stabilna ukoliko su linije sila magnetnog polja koje konfinira plazmju, svugde konkavne sa strane plazme (pozitivna zakrivljenost). U obrnutom slučaju, ako su linije magnetnog polja svugde konveksne sa strane plazme (negativna zakrivljenost), ona je sigurno nestabilna. U slučajevima kada se plazma nalazi u polju koje ima i pozitivnu i negativnu zakrivljenost linija sila, stabilnost je određena time koja od njih ima veći uticaj. Prema tome, da je plazmeni pinč nestabilan jasno se vidi sa slike (4.7). Stabilnost pinča se ispituje uvođenjem perturbacija. Perturbacija može da se uvede u obliku periodične finkcije promene položaja delića plazme, koja u cilindričnim koordinatama (r, θ, z) ima oblik r,, z r, z eim, (4.13) gde je r, z amplituda perturbacije. Koeficijent m se naziva moda perturbacije i karakteriše azimutalnu zavisnost perturbacije. Promenom azimutalnog ugla za 2π, perturbacija ne trpi promene, što znači da koeficijent m može imati samo celobrojne vrednosti ( m 0, 1, 2,... ). Različite mode dovode do različitih deformacija plazmenog stuba. Ove deformacije se znatno razlikuju po brzini razvoja. Najopasnije po konfiguraciju plazmenog pinča, odnosno najbrže narastajuće su one koje se vezuju za mode m = 0 i m = 1. 31
Slika (4.7): Magnetno polje linearnog pinča 4.3.1 Nestabilnosti prekidanja (m = 0) Ovaj vid nestabilnosti je zgodno ispitati energetskom analizom.. Geometrija plazmenog pinča navodi na uvođenje cilindričnih koordinata (r, θ, z). S obzirom da ne postoji azimutalna promena perturbacije, uz pretpostavku da je gustina struje u neperturbovanom stanju jednaka nuli, izraz za promenu potencijalne energije može da dobije nešto jednostavniju formu: 2 2 z 1 z 1 1 W p0 r r B0 B0 r 2 z 4 z r r r r dp0 1 dp0 z 1 z r B dr. r r r 0 dr r r z dr z B0 r (4.14) Uz prisećanje da je za stabilnu konfiguraciju potreban i dovoljan uslov δw > 0, uslov stabilnosti plazmenog pinča za m = 0 se svodi na r dp0 4, p0 dr 2 (4.15) p0. Prema ovom uslovu, da bi plazma u pinču bila stabilna gradijent B0 2 0 pritiska ne bi trebalo da bude previše veliki, odnosno ne sme da bude veći od neke granične vrednosti. gde je 2 32
a) b) Slika (4.8 ): a) izgled pinča usled razvoja nestabilnosti prekidanja; b) magnetno polje kobasičastog pinča Nestabilnosti pinča za m = 0 mogu se uvrstiti u žljebaste nestabilnosti. Početak njihovog razvoja ogleda se u pojavi žljebaste perturbacije na površini pinča koja je periodična u pravcu njegove ose, što je prikazano na slici (4.8). U azimutalnom pravcu perturbacija ne trpi promene. Žljebovi koji nastaju na površini pinča nalaze se u oblasti Sliika (4.9): Vremenska evolucija nestabilnosti prekidanja i razaranje plazmenog šnura 33
manjeg magnetnog pritiska nego udubljenja između njih. To je jasno ako se ima u vidu I da je jačina magnetnog polja obrnuto srazmerna udaljenosti od ose pinča B 0. 2 r Ovakvi uslovi su pogodni za rast žljebova i udubljenja koji se ne zaustavlja do prekidanja plazmenog stuba i razaranja pinča. Zbog ovakvog kranjeg ishoda opisana nestabilnost nosi naziv nestabilnost prekidanja. U literaturi može da se sretne i slikovitiji naziv kobasičasta nestabilnost zbog karakterističnog izgleda plazmenog stuba u toku razvoja nestabilnosti pre razaranja, koji podseća na niz vezanih kobasica. Vremenska evolucija nestabilnosti linearnog pinča za m = 0 prikazana je na slici (4.9). 4.3.2 Azimutalno zavisne nestabilnosti pinča ( m 0 ) Kada je m 0, deformacije koje nastaju na površini pinča usled razvoja nestabilnosti trpe promenu u azimutalnom pravcu. Kriterijum stabilnosti, koji će ovde biti dat bez izvođenja, a koji se dobija iz energetske analize u kombinaciji sa opštim uslovom stabilnosti datim jednačinom (4.12), ima oblik r dp0 m 2. p0 dr (4.16) Najbrže narastajuće, a samim tim i najdestruktivnije azimutalno zavisne nestabilnosti pinča su one za koje je m = 1. Razvoj ove nestabilnosti ogleda se u izvijanju plazmenog stuba na više mesta, pri čemu osa pinča postaje kriva linija. Zbog toga ovaj tip nestabilnosti nosi nazi nestabilnosti izvijanja. Ove deformacije se povećavaju jer je sa konkavne strane izvijenog plazmenog stuba gustina linija sila magnetnog polja veća nego sa konveksne strane, odnosno veći je magnetni pritisak. Konačan ishod je ponovo razaranje plazmenog stuba. Njegov izgled u toku razvoja nestabilnosti dat je na slici (4.10). Na slici (4.11) je ilustrovana vremenska evolucija nestabilnosti izvijanja. Nestabilnosti kojima odgovaraju modalni brojevi m > 1 znatno se sporije razvijaju od onih kojima odgovaraju mode m = 0 i m = 1. Njihovim razvojem plazmeni šnur dobija oblik užeta isprepletanog od m strukova. Pored opisanih hidrodinamičkih nestabilnosti, pinčovana plazma je podložna velikom broju kinetičkih nestabilnosti. Među njima su najčešće driftne nestabilnosti koje se javljaju usled postojanja nehomogenosti u plazmi, npr. temperature, pritiska, koncetracije i sl. Najdestruktivnija među driftnim nestabilnosltima pinča je strujno-konvektivna nestabilnost. Ove nestabilnosti nastaju usled postojnja radijalnog temperaturnog gradijenta. Njihovo opisivanje prevazilazi okvire ovog rada. Vreme održanja linearnog pinča iznosi oko jedne mikrosekunde. Kada je u pitanju teta pinč, može se samo reći da je situacija identična kao kod linearnog pinča, ali kod njega ne postoji jedan veliki problem sa kojim se suočava linearni pinč, barem kada je u pitanju održanje plazme radi kontrolisane termonuklearne fuzije uticaj elektroda. Najbolja bezelektrodna alternativa linearnom jeste toroidalni pinč, kod koga cev za 34
pražnjenje ima oblik krofne. Gas u njoj ima ulogu sekundara transformatora, čiji se primar sa malim brojem navojaka postavlja tako da linije sila magnetnog polja koje on stvara, imaju oblik krugova paralelnih osi cevi za pražnjenje. Struja pražnjenaj teče u smeru ovih linija. Nestabilnosti koje se razvijaju kod toroidalnog pinča su istog tipa kao kod linearnog. I njihovo suzbijanje vrši se na isti način kao kod linearnog pinča. a) b) Slika (4.10): a) Izgled plazmenog šnura u toku razvoja nestabilnosti izvijanja; b) magnetno polje na delu izvijenog palzmenog stuba Slika (4.11): Vremenska evolucija nestabilnosti izvijanja za m = 1 i razaranje plazmenog šnura 35
4.3.3 Suzbijanje nestabilnosti pinča Na sreću, postoje relativno jednostavne metode sa suzbijanje nestabilnosti koje se javljaju kod plazmenih stubova formiranih usled pinč-efekta. Nestabilnost prekidanja se najlakše može suzbiti ako se pražnjenje vrši u spoljašnjem magnetnom polju dobijenom pomoću solenoida namotanog na cev za pražnjenje tako da se njegova osa poklapa sa osom pinča. Propuštanjem struje kroz solenoid formira se magnetno polje paralelno osi cevi i plazmenog stuba koji se u njoj formira. Ovo polje ostaje zamrznuto u plazmi i sprečava njeno radijalno sažimanje. Pored suzbijanja nestabilnosti prekidanja (m = 0), primena opisanog spoljašnjeg magnetnog polja doprinosi suzbijanju nestabilnosti izvijanja (m = 1). Ovaj tip nestabilnosti se može dodatno suzbiti ako se pražnjenje odvija u cevi sa metalnim zidovima što veće provodnosti. Kada dođe do izvijanja plazmenog stuba, on se u pojedinim delovima približava zidu cevi za pražnjenje. S obzirom da magnetno polje ne može da difuziono prodre u oblast visoke provodnosti, linije sila se zgušnjavaju između stuba i zida cevi, tako da tu magnetni pritisak raste, tj. ima veću vrednost nego sa druge strane izvijenog plazmenog stuba, gde je razmak između njega i zida veći. Povećani magnetni pritisak se protivi daljem izvijanju i doprinosi vraćanju plazmenog stuba prema osi cevi. Za suzbijanje strujno-konvektivne nestabilnosti, zgodno je koristiti konfiguraciju sa tvrdim jezgrom. U takvoj konfiguraciji, plazmeni pinč se formira u cevi na čijoj je osi postavljen dobro izolovani provodnik. Kroz njega se propušta struja, suprotnog smera od struje pražnjenja. Magnetno polje ovog provodnika potiskuje plazmu iz središnjeg dela, a plazmeni stub dobija oblik cilindričnog sloja. Drugi naziv ovakve konfiguracije je cevasti pinč, iz očiglednog razloga. Magnetno polje koje formira struja koja protiče kroz provodnik u cevi ima zakrivljenost prema plazmi u svakoj tački, što ima stabilišući uticaj. Primenom opisanih metoda za suzbijanje nestabilnosti pinča vreme njegovog održanja se povećava sa otprilike 1μs, na 100μs. 36
5. NESTABILNOSTI REALNE PLAZME KONFINIRANE MAGNETNIM POLJEM U prethodnom poglavlju su opisane nestabilnosti plazme za koju se pretpostavljalo da je idealna, tj. da ima beskonačnu provodnost. Taj model je održiv samo u toku kratkog vremenskog intervala. Beskonačna provodnost podrazumeva zamrznutost linija konfinirajućeg magnetnog polja, koje okružuje plazmu, ali ne može da prodre u nju. Kako postoje nestabilnosti koje se razvijaju jako brzo, ovaj model je zbog jednostavnosti najpogodniji za njihovo opisivanje. Međutim, pri dužim vremenskim intervalima, u realnim slučajevima dolazi do izraženih efekata koji se vezuju za konačnu provodnost plazme. Pre svega, dolazi do difuzije magnetnog polja u oblast koju zauzima plazma. Ovaj proces je utoliko brži ukoliko je električna otpornost plazme veća. Pri tome se razvijaju nove nestabilnosti, koje sporije rastu od idealnih MHD nestabilnosti, ali ipak neke od njih rastu dovoljno brzo da razore plazmu pre vremena konfiniranja koje bi dalo povoljan energetski bilans u fuzionom reaktoru. Treba napomenuti da uračunavanje električne otpornosti u MHD sistem jednačina može imati i stabilišući efekat u nekim slučajevima (dovodi do prigušenja amplitude perturbacije). Kao granica vremenske skale na kojoj se može primeniti model idealne plazme, može se uzeti perioda Alfven-ovog talasa. Nestabilnosti opisane u prethodnom poglavlju razaraju strukturu plazme za vremena manja od ovog. Za to vreme je efekat difuzije magnetnog polja u plazmu zanemarljiv. Za sve nestabilnosi koje se razvijaju na većoj vremenskoj skali, magnetno polje koje je ušlo u plazmu se ne može zanemariti i mora se uračunati konačna otpornost plazme. Ove nestabilnosti se zbog toga nazivaju rezistivne nestabilnosti. Najopasnija među njima je nestabilnost kidanja. 5.1 NESTABILNOSTI KIDANJA Geometrijski je najlakše ovu nestabilnost proučiti na primeru beskonačne plazme kroz koju protiče struja u ravnom tankom sloju oblika ploče. Neka je vektor gustine struje usmeren duž z - ose. Ako je širina sloja kroz koji protiče struja u pravcu x-ose od a do +a, kao na slici (5.1, a), onda u ravnotežnom stanju važi: j, j0 0 z 0, a x a x a Amperov zakon B 0 j za ovaj slučaj svodi se na dby /dx = μ0 jz(x). Integracijom, uz odgovarajuće granične usove se dobija 37
B0 y x, By ( x) B0 y a B0 y a a x a x a x a (5.1) gde je B 0y = μ0 j0z. Profili gustine struje i jačine magnetnog polja prikazani su na slici (5.1). a) b) c) Slika (5.1 ): a) profil gustine struje tankog sloja u x-y ravni; b) promena jačine magnetnog polja kroz tanak sloj plazme kroz koji protiče struja u pravcu z - ose; c) profil magnetnog polja u x-y ravni. Ako plazmu posmatramo kao idealnu, magnetno polje izvan sloja (-a, a) imaće stabilišući efekat na nju. Ako sa druge strane u obzir uzmemo konačnu provodnost realne plazme, magnetno polje se neće zadržati izvan sloja (-a, a), već će difuziono da 38
prodire u njega. Osim toga negativne linije sila iz oblasti (-a, 0) će difundovati u oblast (0, a) i obrnuto pozitivne linije magnetnog polja iz (0, a) difuziono prelaze u oblast (-a, 0). Pri tome se negativne i pozitivne linije sila magnetnog polja međusobno mešaju i poništavaju. Ovo poništenje će, naravno biti najizraženije u ravni x = 0. Upravo takva mesta daju najveći doprinos razvoju nestabilnosti kidanja. Ne obazirući se na nestabilnost kidanja, konfiguracija prikazana na slici (5.1) biće održiva samo u specifičnom slučaju, kada ne postoje perturbacije u x-pravcu, pri kojima By 2 bi bio narušen uslov p const. Da bi se stabilnost u tom smislu poboljšala i 2 0 proširila u odnosu na širu klasu perturbacija, potrebno je dodati magnetni šer. U tu svrhu se uvodi još jedno magnetno polje u pravcu z-ose. Pošto se magnetno polje u pravcu y-ose menja kao na slici (5.1, b), vektor rezultujućeg polja polako rotira sa promenama položaja na x-osi. Ovo novo polje ima ulogu da priguši perturbacije u xpravcu i da obezbedi nestišljivost plazme u x-y ravni. U nastavku će biti pretpostavljeno da je ovo novo polje uvedeno. Rotacijom koordinatnog sistema oko x-ose može se odabrati takva orijentacija pri kojoj je u nekoj tački rezultujuće magnetno polje usmereno u smeru z-ose. Ako se odabere da ta tačka ima koordinatu x = 0, magnetno polje će izgledati isto kao na slici (5.1, c). Radi ispitivanja nestabilnosti plazme uvode se perturbacije njenih parametara u pravcu x-ose. Pretpostavimo da te perturbacije imaju oblik ravnog talasa, čija je matematička forma i t k 1 ( x, t ) ˆ 1 ( x)e y y kz z (5.2) Indeks 1 označava perturbovanu veličinu, a simbol ˆ označava amplitudu perturbacije. Za perturbaciju konkretne fizičke veličine samo se simbol ѱ menja za oznaku te veličine. Ako se zadrži orijentacija koordinatnog sistema u kome je za x = 0 vektor jačine rezultujućeg magnetnog polja orijentisan u pravcu z-ose, tj. u kome je B0y = 0 u x = 0 ravni, uzimajući u obzir da je k B 0, iz izraza za perturbacije je moguće izostaviti z-komponentu talasnog vektora (kz = 0). Svaka ravan na kojoj je taj uslov zadovoljen može biti mesto nastanka nestabilnosti kidanja. Treba imati u vidu da je ravan x = 0 odabrana proizvoljno, tako da svaka ravan x = const može biti izvor ove nestabilnosti. U neperturbovanom stanju, odnosno pre početka razvoja nestabilnosti kidanja magnetne linije sila su prave linije koje, zbog dodatnog polja u z-pravcu, leže na površima paralelnim y-z ravni. Razvojem nestabilnosti površi na kojima leže linije sila magnetnog polja se savijaju. U preseku ovih površi sa površima paralnim x-y ravni dobija se kriva linija određena jednačinama: dx Bx, dl B dy By, dl B gde je dl element luka krive. Kombinovanjem ovih jednačina dobija se 39
dx Bx. dy By (5.3) Usled uvođenja malih perturbacija, komponenta By može da se zameni sa B0 y x. Perturbovana komponenta Bx može da se napiše kao Bx Bˆ x e t sin ky, gde je γ =Imω, inkrement kojim je određena brzina rasta nestabilnosti. Ovde je, radi jednostavnosti uvedena pretpostavka da je realni deo kružne frekvence jednak nuli. Uvođenjem opisane perturbacije u jednačinu (5.3), nakon integracije uz aproksimaciju da za male perturbacije B0 y ne zavisi od x, dobija se izraz Bˆ 1 B0 y x 2 x e t cos ky C 2 k (5.4) gde je C konstanta integracije, dok k može imati samo celobrojne vrednosti. Svakoj vrednosti ove konstante odgovara projekcija jedne linije magnetnog polja na x-y ravan. Izgled ovih projekcija može se videti na slici (5.2), na kojoj se vidi da su linije za velike vrednosti x samo blago zakrivljene, dok se za manje vrednosti x, tj. u blizini x = 0, ove linije znatno više savijaju formirajući približno eliptični oblik. Površi ograničene ovim linijama su poprečni preseci eliptičnih cilindara, beskonačne visine u pravcu zose. Konkretna linija magnetnog polja će uvek ostati na istoj površi, odnosno na istom omotaču. Površ koja odvaja zatvorene površi (omotače) od blago zakrivljenih, naziva se Bˆ magnetna separatrisa. Njena jednačina se dobija za C = x e t u jednačini (5.4). k Bˆ 1 B0 y x 2 x e t (cos ky 1) 0 2 k (5.5) Oblast zatvorenih linija, odvojena separatrisom od oblasti u kojoj su linije sila magnetnog polja otvorene, naziva se magnetno ostrvo. Tačnije, u plazmi se formira lanac magnetnih ostrva, koja se dobijaju ukrštanjem dve sinusoidalne separatrise koje su u protivfazi. Poluširina ovih ostrva se dobija rešavanjem jednačine (5.5) za separatrisu po x, uz uslov ky = π i zamenu oznake x za w. t Bˆ x w 2 e 2. kb0 y (5.6) Prva stvar koja se ovde primećuje jeste da širina magnetnog ostrva eksponencijalno raste sa vremenom. Ipak, u realnim slučajevima nelinearne pojave ograničavaju rast ostrva. Takve pojave se javljaju kada magnetno ostrvo dostigne dimenzije uporedive sa širinom rezistivnog sloja (-a, a). Ako su dimenzije magnetnih ostrva male, analiza nestabilnosti kidanja se može opisati idealnim MHD modelom, uzimajući u obzir odstupanja od ovog modela samo u uskoj rezistivnoj oblasti u okolini x = 0. Kada širina ostrva (2w) postane po redu veličine približna širini rezistivnog sloja (-a, a), MHD jednačine se moraju modifikovai tako da uključuju konačnu provodnost plazme (ustvari, 40
u osnovnom sistemu jednačina menja se samo Omov zakon). Tada razvoj nestabilnosti može da poprimi nelinearni karakter i da dovede do razaranja konfiguracije plazme. Slika (5.2 ): Lanac magnetnih ostrva Kao što se vidi na slici (5.2), u unutrašnjosti magnetnih ostrva linije sila magnetnog polja se lokalno zatvaraju. To dovodi do smanjenja potencijalne energije magnetnog polja, a time i magnetnog pritiska. Unutar ostrva, magnetno polje indukuje struje suprotnog smera od struje plazme van njih, što dovodi do lokalnog hlađenja plazme u magnetnim ostrvima. Usled toga se javlja temperaturni gradijent, koji ima najveću vrednost na separatrisi na kojoj je T = 0. Ovaj gradijent uslovljava pojavu novih magnetnih polja, koja dovode do toga da se magnetne linije sila u blizini separatrise i tačaka spajanja ostrva ponašaju stohastički, lutajući u oblasti oko separatrise. Ovakvo ponašanje može da dovede do razaranja plazme. Brzina porasta magnetnih ostrva određuje brzinu razvoja nestabilnosti. B Kombinovanjem Maksvelovih jednačina za rotore polja E i t B 0 j i uprošćenog Omovog E j, primenjenih na perturbovano magnetno polje u blizini x = 0 dobija se Bˆ x 2 Bˆ x. t 0 x 2 (5.7) Integracijom ove jednačine po x duž čitave širine magnetnog ostrva, uz pretpostavku da se perturbovano magnetno polje menja konstantnom brzinom, dobija se Bˆ x 2 Bˆ x w + const. 2w t 0 x 2 w (5.8) Uvođenjem funkcije s 1 Bx 1 B B, Bx x x 0 Bx x x 0 x x 0 (5.9) 41
koja je jako važna jer karakteriše brzinu razvoja nestabilnosti, jednačina (5.8) za srazmerno male širine ostrva (w 0) se svodi na 2w Bˆ x ˆ B + const. t 0 x s (5.10) Uzimajući u obzir da je Bˆ x w2, poslednja jednačina može da se aproksimira sa w s + const. t 4 0 (5.11) Analizom normalnih moda, moguće je naći vezu brzine porasta nestabilnosti Im i veličine Δs. Ovakva analiza je prilično obimna, tako da će u narednim redovima biti napisani samo pojedini koraci izvođenja izraza zavisnosti imaginarnog dela kružne frekvence, koji karakteriše brzinu razvoja nestablnosti, od funkcije Δs. Ova zavisnost se dobija iz uslova na granici rezistivnog sloja i plazme van njega, koja se tretira kao beskonačno provodna. Za rezistivni sloj Omov zakon mora da se napiše u obliku E v B j. (5.12) Uzimajući u obzir da je B0 0 i primenom relacije vektorske analize za rotor rotora vektora, linearizovani Faradejev zakon dobija oblik B1 B0 v1 2 B1. t 0 (5.13) S obzirom da su perturbacije magnetnog polja u pravcu x-ose, za uski rezistivni sloj se 2 može uzeti da je 2 2 x, pa se uvođenjem periodičnih perturbacija, čiji je oblik određen jednačinom (5.2), iz poslednjeg izraza dobija Bx kb0 y vx i 2 Bx. 0 x 2 (5.14) Na ovom mestu je moguće doneti nekoliko zaključaka. Pre svega, treba napomenuti da jednačina (5.10) odgovara imaginarnom delu jednačine (5.14). Dalje, može se zaključiti 2 Bx da se za Bx i, rezistivni član u poslednjoj jednačini može zanemariti, čime 0 x 2 se dobija jednačina koja predstavlja idealni MHD analogon jednačini (5.14). Ako se u ovoj jednačini za idealnu plazmu, kružna frekvenca napiše kao zbir realnog i imaginarnog dela, vidi se da je Im 0. Upravo ovo pokazuje da je idealna beskonačno provodna plazma stabilna u odnosu na nestabilnosti kidanja. Treći važan 42
zaključak iz jednačine (5.14), jeste da rezistivni član i 2 Bx ima najveći uticaj kada 0 x 2 je B0y = 0, što je u ovom slučaju u ravni x = 0. To znači da će na ovoj ravni perturbacija imati najbrži porast, a nestabilnost kidanja najburniji razvoj. Projektovanjem linerizovane jednačine kretanja fluida na pravce x i y osa, uz prethodno sređivanje korišćenjem Amperovog zakona, kao i razvoja za B B, dobijaju se dve skalarne jednačine: B0 y B1 y B0 z B1z ik B0 y Bx p1 x 0 0 (5.15) B0 y B1 y B0 z B1z 1 B0 y Bx i 0u y ik p1 Bx B0 y 0 x x 0 (5.16) i 0u x Ako se jednačina (5.16) diferencira po x, a jednačina (5.15) pomnoži sa ik, pa zatim formira njihova razlika dobija se B 1 B0 y i 0 v y ik 0vx B0 y x Bx x x x 0 x 1 2 Bx B 0 x 0 y x B0 y 2 k Bx B0 y = 2 k Bx B0 y. (5.17) Pretpostavljajući da je plazma nestišljiva, pri čemu važi v v1 x ikv y 0, x (5.18) iz jednačine (5.17) se može eliminisati vy, tako da se ona svodi na oblik 2 Bx 2 2 k vx B0 y x B0 y x x 0 0 2 vx k 2 k Bx B0 y (5.19) U skladu sa jednačinom (5.1), za rezistivni sloj B0y može da se napiše kao B0 y x. Takođe, unutar sloja male širine Bx može da se smatra konstantnim. Ova konstantna komponenta perturbacionog polja biće označena kao Bx. Osim toga, nestabilnosti kidanja javljaju se usled periodičnih perturbacija relativno velike talasne dužine, odnosno usled malog talasnog broja. Iz tog razloga je opravdano zanemariti članove koji sadrže više stepene talasnog broja. U skladu sa ovim uslovima, jednačina (5.14) na granici rezistivnog sloja i idealne plazme postaje 43
Bx kb0 y xvx i 2 Bx, 0 x 2 (5.20) dok se jednačina (5.19) svodi na 0 0 2 vx 2 Bx kb x 0y x 2 x 2 (5.21) Konačno, ako se iz jednačine (5.21) izrazi 2 Bx x 2 i zameni u jednačinu (5.20) i ako se ω zapiše preko zbira realnog i imaginarnog dela, uz oznaku Im ω = γ, dobija se jednačina 0 2 vx kb0 y x i Bx kb0 y xvx, x 2 (5.22) čijim se rešavanjem dobija vrednost parametra γ, koji karakteriše brzinu rasta nestabilnosti. Jednačina (5.22) nije analitički rešiva, osim u nekim specifičnim slučajevima u kojima je moguće uvesti nekoliko aproksimacija. Stoga se vrednost parametra γ procenjuje numerički. Kao konačno rešenje se dobija 0,55 s 3 5 kb0 y 45 25. 01 5 0 4 5 (5.23) Na osnovu izraza (5.23) moguće je proceniti brzinu rasta nestabilnosti. Takođe, ako se uzme u obzir jednačina (5.11), zaključuje se da brzina rasta nestabilnosti zavisi od brzine rasta magnetnih ostrva, a ta zavisnost je određena stepenom funkcije Δs u izrazu (5.23). Pored toga, kao što je očigledno iz jednačine (5.23), brzina rasta nestabilnosti srazmerna je faktoru 3 5, što znači da je plazma nestabilnija ukoliko je rezistivnost veća, a da je u slučaju idealne plazme, kada je η = 0, ona stabilna u odnosu na nestabilnosti kidanja. Jasnija procena brzine razvoja nestabilnosti kidanja dobija se ako se uvedu neka karakteristična vremena. Jedno takvo vreme je recipročna vrednost frekvence ωa Alfven-ovog talasa koji propagira u pozitivnom smeru y-ose, normalno da dodatno polje Bz, brzinom va: 1 A A 1 B a, k y 0 y va 0 0 B0 z k y B0 y a 12 (5.24) gde je a polovina širine rezistivnog sloja, kao na slici (5.1). Drugo vreme na sa kojim je zgodno uporediti brzinu razvoja nestabilnosti je karakteristično vreme difuzije magnetnog polja, dato izrazom R a2 0 (5.25) 44
Izražena preko ovih karakterističnih vremena, brzina rasta nestabilnosti data izrazom (5.23), postaje a 0,55 2s5 3 5. 45 A R Zaključuje se da se nestabilnost kidanja razvija znatno sporije od idealnih MHD nestabilnosti, čija je brzina razvoja srazmerna τa, ali znatno brža od karakterističnih brzina difuzije magnetnog polja u plazmu. 5.2 KONFINIRANJE REALNE PLAZME U TOROIDALNIM SISTEMIMA U savremenim prototipima fuzionih reaktora, za konfiniranje plazme magnetnim poljem pretežno se koriste konfiguracije sa zatvorenim linijama sila, kako bi se eliminisalo bežanje čestica u pravcu linija magnetnog polja. Najjednostavnija i najčešće korišćena opcija je toroidalno magnetno polje (u obliku krofne), koje se jednostavno dobija propuštanjem struje kroz solenoid savijen u torus. Za opisivanje ovakvih polja uvodi se toroidalni ugao φ i poloidalni ugao θ (slika 5.2). Ipak, ovakvo polje ne može samostalno da konfinira plazmu. Razlog je postojanje jako izraženog drifta čestica plazme, koji nastaje zbog zakrivljenosti linija sila magnetnog polja i zbog postojanja gradijenta jačine magnetnog polja. Oba ova uzroka dovode do rezultujućeg toroidalnog drifta, čija brzina zavisi od znaka naelektrisanja, što znači da je drift elektrona suprotnog smera od drifta jona. Ovakvo kretanje za posledicu ima razdvajanje naelektrisanja u plazmi i pojavu električnih polja. Sada se javlja E B drift, čija brzina ne zavisi od znaka naelektrisanja i usmerena je ka spoljašnjoj strani torusa. Kako je sa te strane gustina linija sila magnetnog polja toroidalne struje manja nego sa unutrašnje strane, joni i elektroni lako napuštaju plazmu. Slika (5.3 ): Presek toroidalne konfiguracije 45
Da bi se sprečio toroidalni drift, uvodi se još jedno, poloidalno magnetno polje. Linije sila rezultujućeg polja se helikoidalno uvijaju oko ose torusa. Kada se čestica kreće duž ovakvih linija, efekti radijalnog pomeranja se usrednjavaju, a toroidalni drift poništava. Ako je u toroidalnim i poloidnim koordinatama čestica pošla iz tačke (r, θ, φ), opisavši pun toroidalan ugao dolazi u tačku (r, θ + Δθ, φ + 2π). Ugao pomeranja Δθ u r- φ ravni, naziva se ugao rotacione transformacije. Da bi se čestica vratila u početni položaj potrebno je da ugao rotacione transformacije bude jednak celobrojnom umnožku punog ugla, odnosno da veličina q(r) = 2π/ Δθ, bude ceo broj. Ova veličina se naziva faktor sigurnosti i njena vrednost ima veliki uticaj na stabilnost plazme u toroidalnim sistemima. Postoje tri vrste sistema (uređaja) za toroidalno konfiniranje plazme. Oni se međusobno razlikuju po načinu na koji se uspostavlja poloidalno magnetno polje. To su uređaji tipa: Tokamak, kod koga poloidalno polje stvara toroidalna struja plazme, koja ima ulogu sekundara transformatora. Primar tog transformatora je kalem savijen u torus. Pri tome, poloidalna komponenta jačine magnetog polja ima dosta manju vrednost od toroidalne. S obzirom da je gustina linija sila magnetnog polja veća sa unutrašnje strane torusa, sa te strane se javlja efekat magnetnog ogledala. Međutim, da bi se smanjio gubitak čestica ka spoljašnjoj strani u smeru θ = 0 ose, kod tokamaka se dodaje još jedno magnetno polje izvan torusa koje kompenzuje manji magnetni pritisak. Sistemi tipa tokamak su vodeći kandidati za prerastanje u komercijalni fuzioni generator. Na slikama (5.4) i (5.5) može se videti presek i unutrašnjost tokamaka; Stelarator, uređaj kod koga se helikoidalno polje dobija pomoću dodatnih navoja. Toroidalna struja nije potrebna za konfiniranje, pa se kod stelaratora izbegavaju sve nestabilnosti koje ona uzrokuje, što je njihova najveća prednost u odnosu na tokamake. Ipak, u realnosti obično postoji mala toroidalna struja, koja se smatra neželjenim efektom. Razne nestabilnosti se suzbijaju prilagođavanjem geometrije sistema navojaka, koja kod naprednih stelaratora postaje veoma komplikovana. Dugoročno gledano, stelaratori su dosta perspektivni kao potencijalni deo komercijalnih fuzionih reaktora. Ipak, zbog složene geometrije, njihov razvoj je sporiji nego u slučaju tokamaka i još uvek u zaostatku. Geometrija i izgled stelaratora mogu se videti na slikama (5.6) i (5.7); Toroidalni pinč sa obrnutim poljem, koji funkcioniše slično tokamaku, ali sa znatno slabijim toroidalnim poljem, koje je po inetenzitetu jačine približno jednako poloidalnom. Ovakvi sistemi su jako osetljivi na MHD nestabilnosti, pa zbog toga nemaju veliku komercijalnu perspektivu. Iz istog razloga imaju veliki eksperimentalni značaj, posebno pri ispitivanju i nalaženju metoda za suzbijanje MHD nestabilnosti u tokamacima. 46
Slika (5.4 ): Presek tokamaka ITER, koji je trenutno u fazi konstrukcije i koji bi trebalo da bude prvi fuzioni generator u kome se više energije dobija nego što se ulaže Slika (5.5): Unutrašnjost komore tokamaka JET, koji je vlasnik trenutnog rekorda u vremenu koniniranja fuzione plazme Slika (5.6): Geometrija stelaratora Slika (5.7): Izgled i presek Wendelstein 7X, trenutno najvećeg i najnaprednijeg operativnog stelaratora 47