

Šestougaoni silicenski nanoprsten sa cik-cak ivicaa u noralno agnetsko polju Dušan Jakovljević, Marko Grujić, Milan Tadić Apstrakt Silicen je blago neplanarni saćasti onosloj atoa silicijua, koji je topološki izolator zbog sopstvene spin-orbitne interackije (SO). Na ivicaa silicenskih nanotraka javlja se kvantni spinski Holov (KSH) efekat, tj. javljaju se spiralna ivična stanja. Koristeći Kejn-Melijev odel računali so elektronsku strukturu šestougaonog silicenskog nanoprstena sa cik-cak ivicaa koji se nalazi u noralno agnetsko polju. Rezultati uključuju zavisnost energijskog spektra od agnetskog polja, raspodele svojstvenih stanja elektrona spina gore i spina dole i gustinu struje verovatnoće (GSV) tih stanja. Pokazali so da na spoljašnjoj i unutrašnjoj ivici nanoprstena postoji KSH stanje. Spiralna ivična stanja se ogu kvalitativno objasniti klasični odelo agnetskog dipola u agnetsko polju. Ključne reči silicen; spin-orbitna interakcija; nanoprstenovi; kvantni spinski Holov efekat; spiralna ivična stanja.. UVOD Silicen je dvodienzionalni onosloj atoa silicijua, sličan grafenu []. Saćasta rešetka silicena nije planarna, već slabo neplanarna (engl. low-buckled) zbog čega silicen poseduje značajnu sopstvenu spin-orbitnu interakciju (SO). Zbog SO silicen je kvantni spinski Holov (KSH) izolator [2], ili drugačije, dvodienzionalni vreenski invarijantni topološki izolator [3, 4]. lektronska struktura beskonačnog onosloja poseduje energijski procep, ali se u elektronskoj strukturi nanotraka u procepu javljaju provodna stanja sa linearno disperzijo, koja su prostorno lokalizovana na ivicaa nanotrake. Dva kontrapropagirajuća oda na svakoj od ivica pripadaju suprotni spinovia, pa se ovakva stanja nazivaju spiralna ivična stanja (engl. helical edge states) i karakterišu se Z 2 topološko invarijanto [5, 6]. Koristeći foraliza topološke teorije, neoguće je izračunati topološku invarijantu za nulto-dienzionu nanostrukturu, pošto struktura nea definisanu Briluenovu zonu [7]. Međuti, ukoliko su dienzije nanodiska ili nanoprstena dovoljno velike, struktura sa zatvoreni ivicaa ora da poseduje stanja karateristična za topološki netrivijalnu fazu [7, 8, 9]. Dušan Jakovljević lektrotehnički fakultet, Univerzitet u Beogradu, Bulevar Kralja Aleksandra 73, 2 Beograd, Srbija (e-ail: jakovljevic@etf.bg.ac.rs). Marko Grujić lektrotehnički fakultet, Univerzitet u Beogradu, Bulevar Kralja Aleksandra 73, 2 Beograd, Srbija (e-ail: arko.grujic@etf.bg.ac.rs). Milan Tadić lektrotehnički fakultet, Univerzitet u Beogradu, Bulevar Kralja Aleksandra 73, 2 Beograd, Srbija (e-ail: tadic@etf.bg.ac.rs). Sl.. Šestougaoni silicenski nanoprsten sa cik-cak ivicaa. Detalj unutrašnje cik-cak ivice prikazan je u gornje desno uglu. U ovo radu, prieno Kejn-Melijevog odela [5, 6] računali so elektronsku strukturu šestougaonog silicenskog nanoprstena sa cik-cak ivicaa prikazanog na Sl., koji se nalazi u noralno agnetsko polju. Dužina stranica spoljašnjeg šestougaonika nanopstena izražena u broju saćastih ćelija duž stranice je 6, a dužina stranica šestougaonog otvora prstena je 3. Koristeći klasičan odel agnetskih dipola, na osnovu raspodela stanja i gustine struje verovatnoće (GSV), pokazali so da stanja elektrona spina gore i spina dole kontrapropagiraju oko spoljašnje i unutrašnje ivice nanoprstena, tj. da se u strukturi javlja KSH efekat.. MODL Za računanje elektronske strukture nanoprstena koristili so Kejn-Melijev odel. Hailtonijan odela zapisan u fori druge kvantizacije dat je izrazo [9]: H = t i + s SO iϕ n n + e cn c + i ν ne cn ϕ c. () n, 3 3 n, Prvi član hailtonijana predstavlja skakanje elektrona izeđu p z orbitala najbližih suseda, a ujedno je to i hailtonijan etoda jake veze za grafen. Drugi član predstavlja sopstvenu spin-orbitnu interakciju, odelovanu skokovia izeđu drugih najbližih suseda. Spinski kvatni broj ia vrednosti s =, za elektrone spina gore i s = - za elektrone spina dole, dok se paraetar ν n odnosi na ser skoka elektrona i ia Zbornik 6. Konferencije za elektroniku, telekounikacije, računarstvo, autoatiku i nuklearnu tehniku, TRAN 27, Kladovo, 5. do 8. juna 27, SBN 978-86-7466-692- str. MO3..-5

.5-3 gde je C n() koeficijent svojstvenog vektora povezan sa atoski esto n() čije su koordinate (x n(), y n() ), n prolazi kroz sve najbliže (tri) i druge najbliže susede (šest), a d x = x n x i d y = y n y su rastojanja izeđu atoskih esta n i duž x i y pravaca. -.5 -.5.5 2 2.5 3-3.5 -.5. SPKTAR ZA LKTRON SPNA GOR SPNA DOL Zavisnost energijskih nivoa elektrona spina gore i elektrona spina dole od agnetskog fluksa kroz otvor u nanoprstenu prikazana je na Sl. 2. Vrednost fluksa izražena je u kvantia agnetskog fluksa, Φ = h/e. Prikazani su energijski nivoi unutar spin-orbitnog procepa (-Δ SO Δ SO ) oko Ferijeve energije F = ev. Spinska degeneracija je uklonjena, i zbog SO spin gore i spin dole drugačije interaguju sa agnetski polje. Poredeći ove spektre sa rezultatia dobijeni za grafenske nanoprstenove, čija je elektronska struktura odelovana sao prvi člano hailtonijana (), ožeo da uočio da se sada unutar spin-orbitnog procepa javlja veliki broj energijskih nivoa. zvan spin-orbitnog procepa, > Δ SO, energijski nivoi izgledaju kao dvostruko degenerisani nivoi grafenskog šestougaonog nanoprstena (videti [2] i [3]), odnosno grupisani su u podzone od šest nivoa usled šestostruke rotacione sietrije strukture. Ta stanja ovde nećeo razatrati. Nivoi od interesa su oni unutar procepa, koji su takođe grupisani u podzone od šest nivoa, definisane tačkaa neukrštanja dva nivoa (engl. anticrossing). V. RASPODLA SVOJSTVNH STANJA SPNA GOR SPNA DOL -.5.5 2 2.5 3 6 5-4 4 3-4 Sl. 2. Zavisnost energijskih nivoa silicenskog nanoprstena sa cik-cak ivicaa od agnetskog fluksa za: (a) elektrone spina gore i (b) elektrone spina dole. 4 3 2 vrednosti + i -, ako elektron skreće desno ili levo pri skoku sa atoskog esta na esto n. Pajerlsova faza [9] r n e ϕ n = A dl, (2) r je dodatna faza elektrona pri skokovia u agnetsko polju B = Be z, čiji je agnetski vektor potencijal A = Bxe y. Nueričko dijagonalizacijo hailtonijana () za svaku vrednost agnetskog polja dobijaju se svojstvene vrednosti energije i svojstveni vektori. Paraetri skokova korišćeni u proračunia su t =.6 ev i Δ SO = 3.9 ev, a konstanta rešetke silicena je a =.386 n []. Za računanje GSV j koristili so odel adaptiran iz [] i [2]. GSV je definisana u skladu sa jednačino kontinuiteta i njena x i y koponenta na atosko estu date su kao 2d ( x( y) * j x( y) ) = n [ C C H ] n, (3) 2.2.4.6.8 - -2.2.4.6.8 Sl. 3. (a) Deo spektra sa Sl. 2(a), strelicaa i sibolia su označena odabrana karakteristična stanja elektrona spina gore. (b) sto, za deo spektra sa Sl. 2(b) i elektrone spina dole. Referenca [3] pokazuje da su stanja grafenskih nanoprstenova čija energija opada sa agnetski polje lokalizovana na spoljašnjoj ivici nanoprstena, dok su stanja čija energija raste sa agnetski polje lokalizovana na unutrašnjoj ivici. Stanje u tački neukrštanja dva nivoa odgovara sprezanju spoljašnje i unutrašnje ivice nanoprstena i ia raspodelu na obe ivice. Mapiranje prostorne raspodele u ravni prstena odabranih karakterističnih svojstvenih stanja, pokazali so da isto važi za stanja spina gore u silicensko nanoprstenu. Deo spektra sa Sl. 2(a) sa odabrani stanjia označeni sa (i ), (ii ) i (iii ) prikazan je na Sl. 3(a). Ovde je (i ) stanje čija energija opada zajedno sa flukso, stanje (ii ) ia energiju koja raste sa flukso, a stanje (iii ) je na neukrštanju dva nivoa. Raspodela stanja označenog sa (i ) prikazana je na Sl. 4(a).

Sl. 4. (a) Raspodela stanja spina gore označenog sa (i ) na Sl. 3(a). Zbog jednostavnosti prikazan je sao deo raspodele u okolini ugla nanoprstena. (b) sto kao pod (a), za stanje označeno sa (ii ) na Sl. 3(a). (c) sto kao pod (a) i (b) za stanje označeno sa (iii ) na Sl. 3(a). Radi jednostavnosti raspodela je prikazana sao na delu nanopstena u okolini njegovog ugla. Veličina krugova na atoski estia proporcionalna je verovatnoći. Jasno se uočava da je stanje lokalizovano na spoljašnjoj ivici nanoprstena. Raspodela svojstvenog stanja označenog sa (ii ) prikazana je na Sl. 4(b) i ovo stanje lokalizovano je na unutrašnjoj ivici nanoprstena. Stanje označeno sa (iii ) koje odgovara neukrštanju, ia raspodelu prikazanu na Sl. 4(c), koja je lokalizovana i na spoljašnjoj i na unutrašnjoj ivici nanoprstena. Raspodele prikazane na Sl. 4 ogu se interpretirati klasični odelo agnetskog dipola u agnetsko polju. nergija dipola data je kao = - μ B, gde je μ agnetski oent dipola. Ako je / B <, agnetski oent i agnetsko polje su istog sera, što znači da struja dipola Sl. 5. (a) Raspodela stanja spina dole označenog sa (i ) na Sl. 3(b). Zbog jednostavnosti prikazan je sao deo raspodele u okolini ugla nanoprstena. (b) sto kao pod (a), za stanje označeno sa (ii ) na Sl. 3(b). (c) sto kao pod (a) i (b) za stanje označeno sa (iii ) na Sl. 3(b). kruži suprotno seru kazaljke na satu. Sa druge strane, ako je / B >, agnetsko polje i dipol su suprotnih serova, prea toe struja dipola kruži u seru kazaljke. Na osnovu ovog razatranja ožeo da zaključio da ako energija opada, elektroni spina gore foriraju struju koja kruži po spoljašnjoj ivici nanoprstena suprotno seru kazaljke na satu. Ako energija raste, struja na unutrašnjoj ivici nanoprstena kruži u seru kazaljke. Stanje (iii ) predstavlja hibridizaciju navedena dva slučaja, sa strujaa suprotnih serova na spoljašnjoj i unutrašnjoj ivici. Odabrana stanja elektrona spina dole označena sa (i ), (ii ) i (iii ) prikazana su na Sl. 3(b), a njihove raspodele na Sl. 5. Raspodela stanja (i ) prikazana na Sl. 5(a) lokalizovana je na unutrašnjoj ivici nanoprstena, što znači da struja kruži suprotno seru kazaljke po untrašnjoj ivici. Stanje (ii )

Sl. 6. GSV u okolini ugla nanoprstena koja odgovara (a) struji (stanje (i ) na Sl. 3(a)) i (b) struji (stanje (ii ) na Sl. 3(b)). ia raspodelu lokalizovanu na spoljašnjoj ivici, pa elektroni spina dole foriraju struju dipola koja kruži u seru kazaljke, Sl. 5(b). Kao i u slučaju elektrona spina gore, stanje (iii ) ia raspodelu sa provodni kanalia na obe ivice, prikazanu na Sl. 5(c). V. GUSTNA STRUJ VROVATNOĆ U prethodno poglavlju prikazane su verovatnoće raspodele svojstvenih stanja kojia su iplicitno pridružene odgovarajuće struje agnetskog dipola, u zavisnosti od znaka / B. Da biso pokazali da stanja propagiraju i da nisu stojeći talasi, za izabrana stanja spina gore i spina dole izračunali so GSV datu sa (3). Ono što treba istaći je da je ser takve GSV suprotan od sera struje. GSV u okolini ugla nanoprstena za stanja spina gore i dole koja su lokalizovana na spoljašnjoj ivici, (i ) i (ii ), prikazane su na Sl. 6(a) i Sl. 6(b). zračunata GSV potvrđuje ranije zaključke o seru struja i. GSV za stanja lokalizovana na unutrašnjoj ivici, (ii ) i (i ), prikazane su na Sl. 7(a) i Sl. 7(b). GSV, a sai ti i struje i na unutrašnjoj ivici, su suprotnog sera. Zapažao da struja ne teče kroz foteljaste segente na spojevia susednih stranica prstena, već da ih zaobilazi kroz njegovu untrašnjost, tako da je kontinuiet duž čitave spoljašnje i unutrašnje ivice očuvan, što se nije oglo zaključiti sao razatranje prostornih raspodela na Sl. 4 i Sl. 5. Sl. 7. GSV u okolini ugla nanoprstena koja odgovara (a) struji (stanje (ii ) na Sl. 3(a)) i (b) struji (stanje (i ) na Sl. 3(b)). V. ZAKLJUČAK Teorijski so razatrali elektronsku strukturu šestougaonog silicenskog nanoprstena sa cik-cak ivicaa. Na osnovu raspodela svojstvenih stanja elektrona spina gore i stanja elektrona spina dole i njihovih GSV, pokazali so da struje elektrona spina gore i spina dole iaju suprotne serove na spoljašnjoj i unutrašnjoj ivici nanoprstena. Prea toe, spektri prikazani na Sl. 2 odgovaraju spiralni ivični stanjia. Spiralna stanja u agnetsko polju su kvalitativno opisana klasični odelo agnetskog dipola. ako je vreenska invarijantnost narušena spoljašnji agnetski polje, KSH stanje ostaje očuvano za energije unutar spinorbitnog procepa, što je u skladu sa rezultatia iz [4]. Često citirani odel [5], u koe je SO predstavljena efektivni agnetski polje suprotnih serova za spin gore i spin dole, B = sbe z, ne ože da se prieni u ovo slučaju, jer bi za neku kritičnu vrednost spoljašnjeg agnetskog polja stanja spina dole bila delokalizovana usled poništavanja spinorbitnog i spoljašnjeg agnetskog polja. ako se u slučaju nanoprstena ne ože definisati topološka Z 2 invarijanta, topološko poreklo ivičnih stanja ože se objasniti principo veze beskonačnog onosloja i ivice (engl. bulk-edge correspondence). vice nanoprstena razdvajaju topološki izolator od vakua, trivijalnog izolatora beskonačno velikog energijskog procepa, pa se na njia javljaju spiralna stanja. Zaniljiva je i pojava da struja ne teče kroz foteljaste spojeve na cikcak ivicaa, što je posledica potpuno drugačije prirode topoloških ivičnih stanja na cik-cak i foteljasti ivicaa nanotraka [6].

Važno je istaći da niso koristili fenoenološke paraetre za odelovanje SO, već realnu vrednost Δ SO za silicen, izračunatu polazeći od prvih principa u []. ZAHVALNCA Ovaj rad je podržalo Ministarstvo prosvete, nauke i tehnološkog razvoja Republike Srbije (Projekat 453). LTRATURA [] S. Cahangirov, M. Topsakal,. Aktürk, H. Şahin, S. Ciraci, Two- and One-Diensional Honeycob Structures of Silicon and Geraniu, Phys. Rev. Lett., vol. 2, no. 23684, Jun, 29. [2] C.-C. Liu, W. Feng, Y. Yao, Quantu Spin Hall ffect in Silicene and Two-Diensional Geraniu, Phys. Rev. Lett., vol. 7, no. 7682, Aug, 2. [3] M. Z. Hasan, C. L. Kane, Colloqui: Topological nsulators, Rev. Mod. Phys., vol. 82, pp. 345-367, Nov, 2. [4] X. -L. Qi, S.-C. Zhang, Topological nsulators and superconductors, Rev. Mod. Phys., vol. 83, pp. 57-, Oct, 2. [5] C. L. Kane,. J. Mele, Z 2 Topological order and the Quantu Spin Hall ffect, Phys. Rev. Lett., vol. 95, no. 4682, Sep, 25. [6] C. L. Kane,. J. Mele, Quantu Spin Hall ffect in Graphene, Phys. Rev. Lett., vol. 95, no. 2268, Nov, 25. [7] K. Kikutake, M. zawa, N. Nagosa, dge states in silicene nanodisk, Phys. Rev. B, vol. 88, no. 5432, Sep, 23. [8] P. Rakyta, M. Vigh, A. Csordás, J. Cserti, Protected edge states in silicene dots and antidots in agnetic field, Phys. Rev. B, vol. 9, no. 2542, Mar, 25. [9] M. Grujić, M. Tadić, F. M. Peeters, Chiral properties of topologicalstate loops, Phys. Rev. B, vol. 9, no. 245432, Jun, 25. [] C.-C. Liu, H. Jiang, Y. Yao, Low-energy effective Hailtonian ivolving spin-orbit coupling in silicene and two-diensional geraniu and tin, Phys. Rev. B, vol. 84, no. 9543, Nov, 2. [] D. R. da Costa, A. Chaves, G. A. Farias, L. Covaci, F. M. Peeters, Wave-packet scattering on graphene edges in the presence of a pseudoagnetic field, Phys. Rev. B, vol. 86, no. 5434, Sep, 22. [2] D. R. da Costa, A. Chaves, M. Zarenia, J. M. Pereira, G. A. Farias, F. M. Peeters, Geoetry and edge effects on the energy levels of graphene quantu rings: A coparison between tight-binding and siplified Dirac odels, Phys. Rev. B, vol. 89, no. 7548, Feb, 24. [3] D. A. Bahaon, A. L. C. Pereira, P. A. Schulz, nner and outer edge states in graphene rings: A nuerical investigation, Phys. Rev. B, vol. 79, no. 2544, Mar, 29. [4] O. Shevtsov, P. Carier, C. Petitjean, C. Groth, D. Carpentier, X. Waintal, Graphene-based Heterojunction between Two Topological nsulators, Phys. Rev. X, vol. 2, no. 34, Jul, 22. [5] G. Tkachov, ntroducing Topological nsulators: Mind the Tie Reversal, in Topological nsulators, The Physics of Spin Helicity in Quantu transport, ch., sec.3, pp. 6-9, Pan Stanford Publishing, 25. [6] M. zawa, N. Nagaosa, nterference of topologically protected edge states in silicene nanoribons, Phys. Rev B, vol. 88, no. 24(R), Sep, 23. ABSTRACT Silicene is the low-buckled honeycob onolayer of silicon atos, which is topological insulator due its intrinsic spin-orbit interaction (SO). The quantu spin Hall (QSH) effect eerges at the edges of silicene nanoribons, i.e. helical edge states appear. ploying the Kane-Mele odel, we calculated the electronic structure of hexagonal silicene nanoring with zigzag edges, subjected to a perpendicular agnetic field. The results include the agnetic field dependence of energy spectru, distributions of the spin-up and the spin-down electron eigenstates, and probability current densities of these states. We show that QSH state exists at the outer and inner edges of the nanoring. The helical edge states can be qualitatively explained using classical odel of the agnetic dipole in agnetic field. Hexagonal silicene nanoring with zigzag edges in perpendincular agnetic field Dušan Jakovljević, Marko Grujić, Milan Tadić