Matematika horvát nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
Važne informacije Formalni propisi:. Molimo vas da radnju ispravite čitko i kemijskom olovkom čija se boja razlikuje od one kakvom je pisao pristupnik.. U prvom od dvaju sivih pravokutnika koji se nalaze pored zadatka upisan je maksimalni broj bodova za dani zadatak, a broj bodova koje daje profesor koji ispravlja radnje upisuje se u pravokutnik pored njega. 3. U slučaju besprijekornog rješenja vas molimo da pored upisivanja maksimalnog broja bodova, upisivanjem znaka kvačice signalizirajte da ste danu misaonu cjelinu vidjeli i vrednovali kao dobru. 4. U slučaju manjkavih/netočnih rješenja vas molimo da pored označavanja pogreške i pojedine parcijalne bodove zapišete na radnju. Ako ispravak radnje time biva pregledniji, onda se može prihvatiti i zapisivanje izgubljenih parcijalnih bodova. Neka ne ostane takvih dijelova rješenja o kojima nakon ispravka nije jasno radi li se o ispravnom, pogrešnom ili suvišnom dijelu. 5. Tijekom ispravljanja koristite sljedeće oznake: ispravan korak: znak kvačice pogreška u načelu: dvostruko podcrtavanje pogreška u računanju ili druga pogreška koja nije pogreška u načelu: podcrtavanje jednom crtom pravilan korak učinjen pogrešnim početnim podatkom: isprekidani ili precrtani znak kvačice manjkavo obrazloženje, manjkavo nabrajanje ili neki drugi nedostatak: znak da nešto nedostaje nerazumljiv/nejasan dio: upitnik i / ili valovita crta 6. One dijelove rješenja koji su pisani grafitnom olovkom osim crteža nemojte vrednovati. Pitanja u svezi sa sadržajem:. Kod pojedinih smo zadataka dali i bodovanje više rješenja. Ukoliko ste dobili rješenje koje odstupa od danih, potražite one dijelove rješenja koji su ekvivalentni rješenjima Upute i na osnovi toga bodujte.. Bodovi Upute se mogu dalje dijeliti, osim ako u Uputi nije predviđeno drukčije. Međutim, bodovi koji se daju mogu biti samo cijeli. 3. Ako rješenje sadrži netočnost, pogrešku u računanju, učenik ostaje bez bodova samo za onaj dio zadatka gdje je učinio pogrešku. Ako s pogrešnim parcijalnim rješenjem, ali pravilnim postupkom učenik radi dalje i problem koji se mora riješiti u biti ne mijenja, onda mu se moraju dati sljedeći parcijalni bodovi. 4. U slučaju pogreške u načelu, u okviru jedne misaone cjeline (one su u Uputi označene dvostrukom crtom) se ne dodjeljuju bodovi niti za formalno pravilne matematičke korake. Međutim, ako učenik s pogrešnim rezultatom koji je dobio primjenom pogrešnog načela kao polaznim podatkom pravilno računa u sljedećoj misaonoj cjelini ili dijelu pitanja, onda za taj dio mora dobiti maksimalni broj bodova ako se problem koji se mora riješiti nije bitno promijenio. 83 írásbeli vizsga / 3 09. május 7.
5. Ako su u Uputi za ispravljane i vrednovanje primjedbe ili jedinice za mjerenje navedene u zagradama onda je i bez njih rješenje potpuno. 6. Od više pokušaja rješenja zadatka može se vrednovati onaj jedan koji je pristupnik označio. Tijekom ispravljanja radnje nedvosmisleno označite koju ste varijantu vrednovali, a koju niste. 7. Za rješenja zadataka se ne mogu dati nagradni bodovi (više od maksimalnog broja bodova za rješenje zadatka ili dijela zadatka). 8. Ukupni broj bodova dat za zadatak ili dio zadatka ne može biti negativan. 9. Ne oduzimaju se bodovi za one pogrešne parcijalne izračune i korake koje pristupnik u stvari nije koristio pri rješavanju zadatka. 0. Za razlaganje slijeda promišljanja se korištenje džepnog kalkulatora bez daljnjeg matematičkog objašnjenja može prihvatiti za sljedeće operacije: zbrajanje, n oduzimanje, množenje, dijeljenje, stupnjevanje, korjenovanje, n!, izračunavanje, k supstitucija tablica koje se nalaze u priručnim tablicama (sin, cos, tg, log i njihove inverzije), zadavanje približne vrijednosti brojev π i e, definiranje korijena kvadratne jednadžbe uređene na nulu. Bez daljnjeg matematičkog objašnjenja se smiju koristiti džepni kalkulatori za izračunavanje prosjeka i standardne deviacije u onim slučajevima kada se tekstom zadatka izričito ne traži prikazivanje detaljnih izračuna u svezi s tim. U ostalim slučajevima se izračuni obavljeni strojem tretiraju postupkom bez opravdanja, stoga se za to ne daju bodovi.. Korištenje prikaza (naprimjer očitavanje podataka mjerenjem) kao odlučujućeg argumenta se ne može prihvatiti.. Kod navođenja vjerojatnosti (ako zadatkom to nije drugačije definirano) može se prihvatiti i pravilan odgovor naveden u postotcima. 3. Ako tekstom zadatka nije propisana obveza zaokruživanja, onda se može prihvatiti racionalnim i pravilnim zaokruženjem dobiveni dio rješenja i konačno rješenje koje odstupa od rješenja danih u Uputi. 4. Od 3 naznačena zadatka niza zadataka II. B dijela mogu se vrednovati samo rješenja zadatka. Kandidat je, pretpostavljamo, u polje kvadrata namijenjenog u tu svrhu upisao redni broj zadatka čija se ocjena neće pribrojiti sveukupnom broju bodova. Sukladno tome se eventualno rješenje naznačenog zadatka ne mora ispraviti. Ako pristupnik nije označio koji zadatak ne želi da se vrednuje i izbor nije nedvosmisleno jasan niti iz radnje, onda je automatski posljednji u nizu navedenih zadataka onaj koji neće biti vrednovan. 83 írásbeli vizsga 3 / 3 09. május 7.
. x =, x = I. boda boda. 3 boda boda 3. x = 4 boda boda 4. V = 000 cm 3 bod V = dm 3 r π 0 = 000 (r > 0) bod r π = r 5,9 bod r 4 cm r 0,59 bod r 0,4 dm 4 boda 5. A: istinito B: lažno C: istinito boda boda Za ispravna odgovora bod, za ispravan odgovor 0 bodova. 6. 3 7 9 (= 7448) boda boda 7. Mjesto minimuma je, vrijednost minimuma je 5. bod bod boda 8. boda boda 83 írásbeli vizsga 4 / 3 09. május 7.
9. 0, π, π boda boda 0. Za kvocijent q vrijedi q 3 = 7. Od toga q = 3. 5 3 bod bod Zbroj prvih pet članova je = 3 = 4. bod 4 boda bod + 6 + 8+ 54 + 6. K(0; 3) r = 5 boda bod 3 boda. prvo rješenje (Ne uzimajući u obzir redoslijed izbora) od 3 3 učenika izabrati dva moguće je na (= 496) bod načina (broj ukupnih slučajeva). Od 4 djevojki izabrati dvije moguće je na 4 (= 9) načina (broj povoljnih slučajeva). bod Tražena vjerojatnost je 4 = 3 9 496 0,83. bod 3 boda (Uzimajući u obzir i redoslijed) broj svih mogućih izbora je 3 3 (= 99). od toga povoljnih ima 4 3 (= 8). 8 99. drugo rješenje Vjerojatnost toga da za prvu izaberemo djevoku je: 4 3. bod Vjerojatnost toga da zatim i za drugu izaberemo djevojku je: 3 3. bod Tražena vjerojatnost je njihov umnožak, to jest bod otprilike 0,83. 3 boda 83 írásbeli vizsga 5 / 3 09. május 7.
II. A 3. a) prvo rješenje (Neka x označuje cijenu odrasle ulaznice u forintama, a y cijenu dječje ulaznice.) Po tekstu: x+ 4y= 4300 x+ 5y= 6350. Izražavanje x-a iz prve jednadžbe: x = 4300 4y. Uvrštavanje u drugu jednadžbu: (4300 4y) + 5y = 6350. bod bod bod Množenje s oba dvije strane jednadžbe: x+ 8y= 8600 x+ 5y= 6350. Oduzimanje iz prve jednadžbe drugu: 3y = 50. Zbrajanje i riješavanje: bod y = 750 Ft je cijena jedne dječje ulaznice, x = 300 Ft je cijena jedne odrasle ulaznice. bod Provjera na osnovi teksta: cijena jedne odrasle ulaznice i četiri dječje ulaznice je (300 + 4 750 = ) bod 4300 Ft, a cijena dvije odrasle ulaznice i pet dječjih ulaznica je ( 300 + 5 750 = ) 6350 Ft. 6 bodova Primjedba: Ako pristupnik ne daje tekstualni odgovor (ni ne definira značenje nepoznanica) onda zbog toga neka gubi ukupno samo bod. 3. a) drugo rješenje Cijena jedne odrasle i jedne dječje ulaznice je 6350 4300 = 050 Ft. Jedna odrasla ulaznica i četiri dječje ulaznice stoje 4300 Ft, tako cijena tri dječje ulaznice je 4300 050 = 50 Ft. Jedna dječja ulaznica stoji 750 Ft. Jedna odrasla ulaznica stoji 300 Ft. boda boda bod bod 6 bodova Cijena odrasle ulaznice i 8 dječjih ulaznica je 4300 = 8600 Ft. Cijena odrasle ulaznice i 5 dječjih ulaznica je 6350 Ft, znači cijena 3 dječje ulaznice je 8600 6350 = 50 Ft. Primjedba: Ako pristupnik ne daje mjernu jedinicu ni u jednim od svojih odgovora onda zbog toga neka gubi ukupno samo bod. 83 írásbeli vizsga 6 / 3 09. május 7.
3. b) Bruto cijena je,7 puta veća od neto cijene. bod 6350 :,7 = 5000 (Ft) je neto cijena. bod PDV unutar 6350 Ft je: 6350 5000 = 350 Ft. bod Ovaj bod se daje i onda ako misao postaje jasna samo u rješenju. PDV je 350 00 6350 bod 00, 7,6% od bruto cijene. bod 5 bodova 4. a) prvo rješenje bod Visina koja pripada stranici AB je m = 3 sin 50,3 cm. bod Površina paralelograme je T 5,3 = bod =,5 cm. bod 4 boda 4. a) drugo rješenje Površina paralelograme je T = 3 5 sin 50 bod,5 cm. bod Visina koja pripada stranici AB je m,5 = 5 bod =,3 cm. bod 4 boda 4. b) prvo rješenje Kut u vrhu B paralelograme je velik 30. Kosinus poučak na stranicu AC u trokutu ABC: AC = 3 + 5 3 5 cos30. Od toga AC 53,8, tako AC 7,3 cm. bod bod bod bod 4 boda 83 írásbeli vizsga 7 / 3 09. május 7.
4. b) drugo rješenje boda BT 3,3 Nožište okomitog pravca iz vrha C paralelograme na stranicu AB neka bude točka T. BT = 3cos50,93 (cm). Pitagorin poučak u pravokutnom trokutu ATC AC ( = AT + CT ) 6,93 +,3, od toga AC 7,3 cm. bod bod 4 boda 4. c) AC = AD + DB + BC = bod = a + b + a = a + b bod CD = BA = bod = ( AD + DB) = a b bod 4 boda 5. a) Prostranost skupa podataka je ( 3 =) 8, medijan je 6, prosjek je 7, standardna deviacija je (9 7) + (3 7) +... + (0 7) 9 = bod bod bod bod = 64 8 =,67. 9 3 bod 5 bodova Ovaj bod se daje i ako pristupnik kalkulatorom ispravno računa. 5. b) Učestalost događaja A (zbroj bačenih brojeva je 5, 6, 7 ili 8) je 3, tako relativna učestalost je 3 9. bod bod boda 83 írásbeli vizsga 8 / 3 09. május 7.
5. c) Ako istovremeno bacamo dvije kockice broj elementarnih događaja kojima je vjerojatnost jednaka, je 36 (broj ukupnih slučajeva). 5 = + 4 = + 3 = 3 + = 4 +, to su 4 mogućnosti. 6 = + 5 = + 4 = 3 + 3 = 4 + = 5 +, to su 5 mogućnosti. 7 = + 6 = + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + = 6 +, to su 6 mogućnosti. 8 = + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 +, to su 5 mogućnosti. Broj povoljnih slučajeva je njihov zbroj, to jest 0. bod 3 boda* bod Vjerojatnost događaja A je 0 0,56. 36 bod 6 bodova Primjedba:. Ako pristupnik ne razlikuje igraće kockice jednu od druge, tako u ovoj smisaonoj cjelini su njegovi djelimični rezultati zaredom, 3, 3, 3 mogućnosti, onda od znakom * označena 3 boda neka dobije bod.. Ako pristupnik npr. pomoću sljedeće tabelice daje ispravan odgovor, onda neka dobije potpuni broj bodova. 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6. a) II. B Tvrdnja je istinita, jer u ponedjeljak, četrvtak, petak i subotu je najviša dnevna temperatura bila iznad 30 C, i u ovim danima je prodano više od 00 ulaznica. 6. b) Obrnuta trvdnja: Ako je broj prodanih ulaznica viši od 00 onda je ovoga dana najviša dnevna temperatura viša od 30 C. Tvrdnja je lažna, jer npr. u utorak (ili u nedjelju) je prodano više od 00 ulaznica, ali najviša dnevna temperatura je bila ispod 30 C. bod bod boda bod bod bod 3 boda 83 írásbeli vizsga 9 / 3 09. május 7.
6. c) prvo rješenje Treba izračunati volumen prizme čija je osnova (pravokutna) trapeza. Osnove trapeze su dugačke, m i,3 m, jedan njezin krak (visina trapeze) je dugačak 50 m. bod Ovaj bod se daje i onda ako misao postaje jasna samo u rješenju. bod dm, 3 dm, 500 dm Površina trapeze je T = (, +,3) 50 : = 85 (m ). bod 8500 dm Visina prizme je 6,5 m, bod 65 dm njezin volumen je V = 85 6,5 = 40,5 (m 3 ), bod 40 500 dm 3 traženim zaokruživanjem 400 m 3. 6. c) drugo rješenje (Treba izračunati zbroj volumena kvadra i prizme čija je osnova pravokutni trokut.) Volumen kvadra je,3 50 6,5 = 07,5 (m 3 ). bod 6 bodova Ovaj bod se ne daje ako pristupnik ne zaokruži ili pogrešno zaokruži rezultat. bod 07 500 dm 3 Površina pravokutnog trokuta je (,,3) 50 : = 0 (m ). bod 000 dm Visina prizme je 6,5 m, bod 65 dm njezin volumen je 0 6,5 = 330 (m 3 ), bod 330 000 dm 3 Traženi volumen je zbroj gore navedenih, to jest 40,5 (m 3 ), bod 40 500 dm 3 traženim zaokruživanjem 400 m 3. bod Ovaj bod se ne daje ako pristupnik ne zaokruži ili pogrešno zaokruži rezultat. 6 bodova 6. d) Osam natjecatelja na 8! (= 40 30) načina je moguće rasporediti u osam traka (broj ukupnih slučajeva). Ako Matiju a Saru smatramo jednim, onda sedam plivača na 7! (= 5040) načina je moguće rasporediti. bod boda Matija i Sara u jednom rasporedu mogu i mijenjati mjesta, tako 7! (= 0 080) je broj povoljnih slučajeva. Tražena vjerojatnost je 7! = bod 8! 0080 = = 0,5. bod 4030 6 bodova Matija i Sara na sedam mjesta mogu biti u susjednim trakama. Ostalih šest natjecatelja u svim slučajevima se mogu rasporediti na 6! (= 70) načina. bod 76! 83 írásbeli vizsga 0 / 3 09. május 7.
7. a) Ovi brojevi čine aritmetički niz čija diferencija je 3, a prvi član je. bod a56 = a + 55d = bod = 66 bod Treba riješiti jednadžbu 456 = + (n ) 3. bod n = 485 bod 456 je 486. član u nizu. bod 6 bodova 7. b) prvo rješenje Pretvaranjem jednadžbe pravca: 3x + y =. Jedan normirani vektor pravca je ( 3; ), bod bod normirani vektor pravca koji je okomit na njega je (; 3). bod Jednadžba okomitog pravca je: x+ 3 y= ( 4 + 3 56 = )8. boda 5 bodova Ovaj bod se daje i onda ako misao postaje jasna samo u rješenju. Ovaj bod se daje i onda ako misao postaje jasna samo u rješenju. 7. b) drugo rješenje Nagib ovoga pravca je 3, bod nagib pravca koji je okomiti na njega je. 3 bod (Tražeći jednadžbu pravca u obliku y = x+ b) 3 56 = 4 + b 3 bod 8 b = 3 bod 8 Jednadžba traženog pravca je: y = x+. 3 3 bod 5 bodova 7. c) Ovaj bod se daje i onda ako misao postaje jasna samo u rješenju. y= m( x x ) + y, znači 0 0 y = ( x 4) + 56. 3 U slučaju x < je ova funkcija strogo monotono padajuća, bod Ovi bodovi se dobiju i za u slučaju x > je strogo monotono rastuća. bod odgovarajuću skicu.. Najmanja vrijednost funkcije na mjestu x = je 0. bod Funkcija uz 4 pridružuje 39, bod f (56) > f ( 4) a uz 56 pridružuje 7. bod Područje vrijednosti je [0; 7]. bod 6 bodova 83 írásbeli vizsga / 3 09. május 7.
8. a) Od šest različitih znamenki je moguće napisati 0 9 8 7 6 5 = 500 različitih lozinki. Aplikacija toliko lozinki može isprobati za 5 00 7,5 0 0,0 sekundi. boda bod bod 4 boda 8. b) prvo rješenje Broj svih lozinki tipa B je: 6 8. Broj svih lozinki tipa C je: 6 0 0 bod. bod 0 0 6 Njihov omjer je bod 8 = 6 = 30 40. Toliko puta više vremena je potrebno aplikaciji da isproba sve moguće lozinke tipa C nego bod tipa B. 4 boda Za isprobanje svih takvih lozinki je potrebno otprilike 3,867 sati, a za isprobanje svih takvih lozinki je potrebno otprilike 7 639 sati (otprilike 3,5 godine). 8. b) drugo rješenje Lozinke tipa C su za dva karaktera duže od lozinki tipa B, i za oba dva plus karaktera imamo 6 mogućnosti, što znači 6 (= 676) puta više mogućnosti. Osim ovoga, na 0 (= 45) načina možemo izabrati da od deset karaktera koja dva budu velika slova. Tako aplikaciji za isprobanje svih lozinki tipa C je 0 6 = 30 40 puta više vremena potrebo nego za isprobanje lozinki tipa B. bod bod bod bod 4 boda 83 írásbeli vizsga / 3 09. május 7.
8. c) Ako označujemo sa slovom n broj uspoređenih nn ( ) lozinki, treba riješiti nejednadžbu < 900 bod (u kojoj je n pozitivni cijeli broj). Od toga n n 800 < 0. bod Korijeni jednadžbe n n 800 = 0 su n 4,9 i n 4,9. Pošto je glavni koeficijent izraza n n 800 = 0 pozitivan, zato rješenje nejednadžbe na skupu pozitivnih cijelih brojeva je: 0 < n < 43. Program je usporedio najviše 4 lozinke. bod bod bod bod 6 bodova Ovaj bod se daje i za odgovarajuću skicu. Primjedba: Ako pristupnik bez obrazloženja (npr. isprobavanjem) daje ispravan odgovor, onda za to neka dobije boda. 8. d) lg 77 3 97 = 77 3 97 lg 3 49 44,7 Broj znamenki ovoga broja je stvarno 3 49 45. bod bod bod 3 boda 83 írásbeli vizsga 3 / 3 09. május 7.