MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока школа струковних студија за образовање васпитача Крушевац Ћирила и Методија Србија e-mal: mzvanov@vaspks.edu.rs Апстракт. Троугао коме су странице изражене бројевима 5 9 30 је пример Хероновог троугла који нема целобројних висина. У овом раду ће бити представљена једна класа Херонових троуглова без целобројних висина код којих је полуобим изражен бројевима који су потпуни квадрати. Кључне речи: Питагорини троуглови; Херонови троуглови; Херонови троуглови без целобројних висина. Abstrat. The trangle n whh the pages are expressed by numbers 5 9 30 s an example of Heron's trangle that does not have nteger heghts. In ths paper wll be presented a lass of Heron's trangles wthout nteger heghts n whh the sempermeter s expressed by numbers that are omplete squares. Key word: Pythagorean trangles Heronan trangles Heronan trangles wthout nteger heghts AMS Subjet Classfaton 00: D09 ZDM Subjet Classfaton 00: F70 G30 Увод У свом раду Метрика Херон је доказао чувену формулу за израчунавање површине троугла са страницама a b и. Ту формулу данас пишемо у облику P ss as bs где је s полуобим троугла. Као пример он наводи троугао са страницама 3 4 5 и израчунава његову целобројну површину 84. Отуда троуглове са целобројним страницама и површином називамо Хероновим. Правоугли троуглови којима су дужине
страница изражене природним бројевима називају се Питагорини троуглови. Ако су мере тих страница још и узајамно прости бројеви кажемо да је такав троугао примитиван Питагорин троугао. Понато је да су катете примитивног Питагориног троугла различите парности [4]. Стога је површина примитивног Питагориног троугла изражена природним бројем. Отуда је и површина осталих Питагориних троуглова који се из примитивних добијају хомотетијом такође изражена природним бројем. Закључујемо да су Питагорини троуглови једна класа Херонових троуглова. Спајањем два подударна Питагорина троугла дуж једнаке катете добија се једнакокраки Херонов троугао. Херонови троуглови могу настати и спајањем два неподударна Питагорина троугла дуж заједничке једнаке катете или исецањем мањег од тих троуглова из већег након поклапања по тој једнакој катети (Слика ). Слика. На описани начин настају Херонови троуглови којима су висине изражене природним бројем. Може се десити да се на овај начин добију троуглови којима за странице a b важи NZD a b n. У неким од тих случајева се након хомотетије са коефицијентом n добијају и Херонови троуглови којима висине нису цели бројеви. Например исецањем Питагориног троугла 493 476 405 из Питагориног троугла 8 476 4350 се добија Херонов троугао 75 405 4350. Након хомотетије са коефицијентом 45 тај троугао се пресликава у троугао 5 9 30 који је Херонов без целобројних висина (Слика ). 30
h h h 3 Слика. 44 5 44 9 4 5 Херонове троуглове без целобројних висина посебно је изучавао Јиу Паул [7]. Најмању површину у тој класи има тупоугли троугао (356). Међу оштроуглим троугловима ове класе са најмањом површином је троугао (53435). Индијски математичар Брахмагупта је користећи рационалне бројеве m n k странице Хероновог троугла израчунавао помоћу формула: a b nm k mn k m nmn k Касније су Ојлер Кармајкл и на крају Бухолц поставили услове m n NZD m n k mn k и m n којима се добијају сва узајамно m n проста решења (видети [5]). Посебно су интересантни такозвани скоро једнакостранични Херонови троуглови. То је класа Херонових троуглова којима су странице изражене са три узастопна природна броја. Такви троуглови су например (345) (345) (5553) (939495) итд. Опште решење овог проблема дао је864. Едвард Санг у раду [6]. Аналоган резултат је добијен и у раду [3] из општије класе Херонових троуглова чије су странице елементи трочланог аритметичког низа. Главни резултати У раду [] је представљено неколико класа Херонових троуглова без целобројних висина добијених поступком описаним у уводу. Овде ћемо анализирати једну од њих. Претпоставимо да су дати Питагорини троуглови 3
a b и a b и нека је a 0k 30l 9 0 9 0k 3 l k N. Тада је за l и 0 a где је b b b 0k 3 0l 9 Из тих једначине можемо посматрати два система линеарних једначина: b 0k 3 0l 9 b Из првог добијамо а из другог 0k 3 b 0l b 3 0k 3 0l 9 и 0k 3 0l 9 и b 0k 3 0l 9 b 0l 9 0k 3 Тако добијамо следеће две класе Питагориних троуглова и 0l 9 0k 3 0k 3 0k 3 0l 9 0l 9 0k 3 0k 3 0l 9 0l 9 0k 3 0l 9 Спајањем таква два одговарајућа троугла дуж подударне катете и после хомотетије са коефицијентом 5 добијамо следећу класу Херонових троуглова: 0k 3 0l 9 0k 3 0l 9 0k 3 0l 9 0l 9 0k 3 0 0 0 У табели. представљено је првих 0 троуглова из те класе за k 0. Табела. l a b s s-a s-b s- 0 9 73 80 8 7 8 37 35 360 36 34 36 85 757 840 84 756 84 3 53 369 50 5 368 5 4 4 6 400 40 60 40 3
5 349 333 3480 348 33 348 6 477 485 4760 476 484 476 7 65 567 640 64 566 64 8 793 79 790 79 78 79 9 98 88 9800 980 880 980 0 89 0693 880 88 069 88 47 745 460 46 744 46 665 4977 6640 664 4976 664 3 933 7389 930 93 7388 93 4 998 00 0 9980 0 5 59 753 580 58 75 58 6 857 5705 8560 856 5704 856 7 305 8837 3040 304 8836 304 8 3573 349 3570 357 348 357 9 396 3564 39600 3960 35640 3960 Лако се показује да је полуобим троулова из табеле изражен бројем који је потпун квдрат: 9 0l 9 90l 9 00l 9 90l 9 0l 9 9 s 0l 9. 0 0 0 0 За k 0 полуобим је: a b s 0k 3 0l 9 0k 3 0l 9 0k 3 0l 9 0l 9 0k 3 0 0 l 9 0k 3 0l 9 0l 9 0k 3 0l 9 0 0l 9 0k 6k 0 0 0 0l 9 0 0k 3 0 Он ће бити потпун квадрат акко је израз 0k 6k квадрат тј. ако важи () 0k 6k m k за које се добија у табели. већ представљена класа. Сва рационална решења једначине () добијају сменом m pk за неко рационално p (видети [4]). Након те смене и сређивања једначине добија се поред тривијалног решења и решење Тривијално решење једначине () је m 0 33
p 6 () k. 0 p За p је k 444 а m 405. У том случају је s 405 0l 47 9 l N0. Првих двадесет троуглова из ове класе тако да су им странице уређене у растући низ представљени су у табели. Табела. l a b s s-a s-b s- 0 974033 579000 5989607 5989605 57999 97405 8 97406 70649000 76989 76305 70648964 97405 36 97409 6588000 6605494 6605505 6588096 97405 84 3 97477 300058000 30049873 3004905 300057848 97405 5 4 97465 4737660000 4739633785 473963405 4737659760 97405 40 5 974373 6869607000 687580677 6875805 686960665 97405 348 6 97450 9396359000 939833549 939833305 939635854 97405 476 7 974649 3796000 3988940 3989005 3795376 97405 64 8 97487 563478000 5636533 5636505 56347708 97405 79 9 975005 9345445000 934748045 93474905 934544400 97405 980 0 9753 34547000 3453389837 34533905 345458 97405 88 97544 79594000 795466609 79546805 7959584 97405 46 975689 3847776000 384974836 384975005 3847774336 97405 664 3 975957 383863000 384035093 38403705 38386068 97405 93 4 97645 4383355000 438536805 43853905 438335780 97405 0 5 976553 4990335000 4990533497 499053605 4990334947 97405 58 6 97688 5637854000 56380569 56380805 56378544 97405 856 7 9779 634776000 6349738 634973505 6347757796 97405 304 8 977597 70573000 705443453 70544705 7056948 97405 357 9 977985 787390000 7873360065 787336405 787386040 97405 3960 У раду [] је у табели 3. представљена још једна класа Херонових троуглова код којих је полуобим потпун квадрат. Та класа такође настаје из Питагориних троуглова са заједничком непарном катетом. У уводном делу је описан поступак добијања Хероновог троугла (5 9 30) који настаје из два Питагорина троугла са заједничком парном катетом и накнадном хомотетијом. Слично је и са троуглом (7 65 80). За овај последњи такође важи да су вредности за s s-а s-b и s- потпуни квадрати. Било би интересантно описати класе троуглова којима генерички припадају ова два последња троугла. 34
Библиографија [] Buhholz R. H. (99).Perfet Pyramds. Bull. Austral. Math. So. 45 353-368 [] Живановић М. (007). Генерисање Херонових троуглова који немају целобројних висина Настава математике (Београд ) LII свеска 4 4-30. [3] Живановић М. (006). Херонове тројке као аритметички низови Настава математике (Београд ) LI свеска 3-4 43-47. [4] Мићић В. Каделбург З. Ђукић Д. (004). Увод у теорију бројева ДМС Београд [5] http://mathworld.wolfram.om/heronantrangle.html посећено 8.08.07. [6] Sang E. (864). On the theory of ommensurables Transatons of the Royal Soety of Ednburgh 3: 7 760. [7] Yu Paul (008). Heron trangles whh annot be deomposed nto two nteger rght trangles 4 st Meetng of Florda Seton of Mathematal Assoaton of Amera Prmljeno u redakju 0.08.07; revdrana verzja 8.08.07. Dostupno na nternet 8.08.07. 35