1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor............... 21 5. Geometrijska vjerojatnost.................... 26 6. Elementi kombinatorike..................... 30 7. Riješeni primjeri.......................... 45 Zadatci za vježbu......................... 58 Temeljni pojmovi koje želimo opisati u ovom poglavlju su algebra dogadaja i vjerojatnost. Najjednostavnije je pojam dogadaja dovesti u vezu s stohastičkim pokusom. Tako nazivamo svaki pokus čiji ishod nije unaprijed odreden. Taj ishod ovisi o nekim nepredvidivim okolnostima i stoga je slučajan. Novčić bačen uvis pada na jednu od svoje dvije strane, na koju unaprijed ne možemo znati. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja ne može se unaprijed predvidjeti. Ishod pokusa zovemo elementarni dogadaj. Njih u nekom pokusu može biti konačno, ali i beskonačno mnogo. Kocka će pasti na jednu od šest svojih strana, a biranje na sreću jedne točke unutar, recimo, jediničnog kruga ima kao mogući ishod beskonačno mnogo elementarnih dogadaja. Pri svakom se pokusu mogu ostvariti ili ne različiti dogadaji. Kocka može, na primjer, pasti na paran ili na neparan broj. Hoće li se dogoditi neki dogadaj možemo predvidjeti pridružujući mu odredenu vjerojatnost. Što je dogadaj izvjesniji, njegova će vjerojatnost biti bliža jedinici. Malo vjerojatni dogadaji imat će vjerojatnost blisku nuli. Račun s dogadajima i vjerojatnostima mora se pokoravati izvjesnim zakonima koje ćemo upoznati u ovom poglavlju. 1.1. lgebra doga daja Elementarne ćemo doga daje označavati s ω. Skup svih elementarnih doga daja označavamo s Ω. Skup Ω i sam je doga daj, on se ostvaruje pri svakom ishodu pokusa. Nazivamo ga stoga sigurni doga daj. Njegova je suprotnost nemoguć doga daj, koji se pri realizaciji pokusa nikad ne može ostvariti. Označavamo ga simbolom. Različite doga daje vezane uz neki pokus označavat ćemo velikim slovima latinične abecede:,, C.... Oni se sastoje od izvjesnog broja elementarnih doga daja. To su dakle podskupovi od Ω. 1
2 1. VJEROJTNOST Primjer 1.1. acamo jednu kocku kojoj su strane označene brojevima od 1 do 6. Odredimo elementarne dogadaje i skup Ω. Elementarni su dogadaji brojevi na koje kocka može pasti: Skup svih elementarnih doga daja je ω 1 = 1, ω 2 = 2,..., ω 6 = 6. Ω = {ω 1, ω 2,...,ω 6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. U pokusu koji ima samo konačno mnogo ishoda doga daj je bilo koji podskup od Ω. Evo nekoliko doga daja vezanih uz ovaj pokus: = {pao je parni broj} = {2, 4, 6}, = {pao je broj veći od 2} = {3, 4, 5, 6}, C = {pao je parni broj manji od 5} = {2, 4} i slično. Različitih doga daja postoji 2 6 = 64, jer toliko skup Ω ima podskupova. Me du njima su nemoguć dogadaja, 6 jednočlanih (elementarnih) doga daja, 15 doga daja od po dva elemenentarna, 20 doga daja s tri elementarna itd. Primjer 1.2. Novčić je bačen tri puta. U svakom bacanju bilježimo je li se pojavilo pismo ( P ) ili glava ( G ). Odredimo Ω, elementarne doga daje te nekoliko doga daja vezanih uz ovaj pokus. Elementarnih doga daja ima osam. To su ω 1 = GGG, ω 2 = GGP, ω 3 = GPG, ω 4 = PGG, ω 5 = GPP, ω 6 = PGP, ω 7 = PPG, ω 8 = PPP, (poredak nabrajanja nije važan). Ovdje smo, kratkoće radi, s GGP označili ure denu trojku (G, G, P) i slično za ostale elementarne doga daje. Siguran doga daj sastoji se od gornjih osam elementarnih. Evo nekoliko doga daja vezanih uz ovaj pokus (ukupan broj doga daja je 2 8 = 256 ): = {pismo se pojavilo jednom} = {ω 2, ω 3, ω 4 }, = {pismo se pojavilo u drugom bacanju} = {ω 3, ω 5, ω 7, ω 8 }, C = {pojavilo se barem jedno pismo i barem jedna glava} = {ω 2, ω 3,...,ω 7 }, D = {pismo se pojavilo dvaput za redom} = {ω 5, ω 7, ω 8 }. Uspore divanje doga daja Kažemo da dogadaj povlači dogadaj ako iz realizacije dogadaja slijedi realizacija dogadaja. To znači da sadrži sve elementarne dogadaje koji ulaze u dogadaj. Pišemo, u skladu s zapisom iz teorije skupova. Koristimo takoder i zapis =. Govorimo još: je specijalni slučaj dogadaja, slijedi iz, je sadržan u, je dovoljan uvjet za, je nuždan uvjet za.
1.1. LGER DOGDJ 3 Sl. 1.1. Dogadaj povlači dogadaj Primjer 1.3. acamo dvije kocke. Označimo dogadaje = {oba broja veća su od 4}, = {zbroj brojeva na kockama veći je od 8}. Vrijedi =, jer je zbroj brojeva koji su veći od 4 sigurno veći od 8. Obrat nije ispunjen, jer zbroj brojeva može biti veći od 8 i kad jedna kocka padne na, recimo, 3, a druga na 6. Tad se ostvario, ali se nije ostvario. Primjer 1.4. acamo dvije kocke. Označimo dogadaje: = {zbroj brojeva na kockama veći je od 8}, = {oba broja veća su od 2}. Sad vrijedi =. Naime, zbroj brojeva ne može biti veći od 8 ako oba broja nisu veća od 2, jer inače najveći zbroj iznosi 2 + 6 = 8. Vezu ovih doga daja možemo izraziti još ovako: Da bi zbroj brojeva bio veći od 8, oba broja nužno moraju biti veća od 2 ( je nuždan uvjet za ). Želimo li da oba broja na kocki budu veća od 2, dovoljno je da njihov zbroj bude veći od 8 ( je dovoljan uvjet za ). Ukoliko vrijedi i, onda kažemo da su i ekvivalentni ili jednaki i pišemo =. Ekvivalentni dogadaji sastoje se od istih elementarnih dogadaja. Suprotnost ovoj situaciji je ona u kojoj i nemaju zajedničkih elementarnih dogadaja. Dogadaji i su disjunktni, ako se istovremeno ne mogu ostvariti i jedan i drugi 1. Kažemo još da se i medusobno isključuju. Tako na primjer, pri bacanju kocke su dogadaji = {pao je paran broj} i = {pao je broj 3} disjunktni. Ω Sl. 1.2. Disjunktni doga daji 1 Nije nužno da se ostvari neki od ova dva doga daja, moguće je dakle da se ne ostvari niti jedan od njih
4 1. VJEROJTNOST Primjer 1.5. Novčić bacamo četiri puta. Istaknimo sljedeće doga daje: = {pojavila su se točno tri pisma}, = {pojavile su se najviše dvije glave}, C = {pojavila se točno jedna glava}, D = {ostvario se niz PGGP}. koji od ovih doga daja povlače neki drugi, koji su ekvivalentni, a koji se me dusobno isključuju? Operacije s dogadajima Neka su, dogadaji. Pomoću njih možemo načiniti nove dogadaje: Unija i presjek doga daja Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od dogadaja, naziva se unija ili zbroj (suma) dogadaja i označava s, +, ili. Dogadaj koji se ostvaruje ako su se ostvarila oba dogadaja i naziva se presjek ili umnožak (produkt) dogadaja i označava s,, i. Ω Sl. 1.3. Unija i presjek dvaju dogadaja Primjer 1.6. acamo jednu kocku. Istaknimo dogadaje = {pao je parni broj}, = {pao je broj veći od 2}. Onda je = {pao je parni broj ili broj veći od 2} = {pao je broj veći od 1} = {2, 3, 4, 5, 6}, = {pao je parni broj veći od 2} = {4, 6}. Operacije unije i presjeka mogu se definirati i za nekoliko dogadaja. dogadaja je dogadaj = 1 2... n koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od doga daja 1,... n. Ω Unija n
1.1. LGER DOGDJ 5 1 2... n 1 2... n Sl. 1.4. Unija (lijevo) i presjek (desno) više dogadaja Presjek n dogadaja je dogadaj 1 2... n koji se ostvario ako se ostvario svaki od doga daja 1,..., n. Razlika dogadaja. Komplement dogadaja Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvari dogadaj, a da se ne ostvari dogadaj, nazivamo razlika dogadaja i i označavamo s \,. Dogadaj Ω \ nazivamo komplementom ili suprotnim dogadajem doga daja. On se ostvaruje ako i samo ako se nije ostvario. Označavamo ga s ili s c. Sl. 1.5. Razlika dvaju dogadaja (lijevo) i komplement dogadaja (desno) \ _ Uvjerite se da vrijedi \ =, =.
6 1. VJEROJTNOST Primjer 1.7. Što se može zaključiti o doga dajima,, C za koje vrijedi 1. C = ; 2. + = ; 3. + + C = ; 4. + = ; 5. + = ; 6. =? (Skiciraj gornje situacije Euler Vennovim dijagramima). 1. i C 2. 3. i C 4. =, = Ω 5. = 6. = Ω, =. De Morganovi zakoni Veza izme du operacija komplementiranja, unije i presjeka iskazana je u sljedećim formulama: Te formule nazivamo de Morganovi zakoni. Dokažimo (1.1): = (1.1) = (1.2) Ω Sl. 1.6. De Morganovi zakoni ω ω / ω / i ω / ω i ω ω. Drugu formulu možemo pokazati na sličan način. Me dutim, korisno je vidjeti da ona slijedi iz prve formule. Naime, kako za svaki doga daj vrijedi =, možemo računati ovako = po (1.1) = = te je = =. Ω Primjer 1.8. De Morganove zakone možemo ilustrirati koristeći se jednostavnim modelima serijskog i paralelnog spoja. 1. Serijski spoj. Neka u serijskom spoju dviju sklopki dogadaj označava da je prva sklopka isključena, a dogadaj da je isključena druga sklopka.
1.1. LGER DOGDJ 7 1 2 Veza izmedu točaka 1 i 2 neće postojati ako se ostvari barem jedan od dogadaja ili : { ne postoji veza } =. Veza izmedu tih točaka postojat će ako se nije ostvario niti dogadaj, niti dogadaj (nema prekida niti na jednoj sklopki): { postoji veza } =. Ova su dva dogadaja komplementarna. Zato vrijedi =. Dobili smo prvu de Morganovu formulu. 2. Paralelni spoj. Neka su dvije sklopke spojene u paralelnom spoju: Onda vrijedi: 1 2 {ne postoji veza} =, {postoji veza} = =. De Morganovi zakoni poopćavaju se na uniju i presjek n doga daja: 1 n = 1 n, 1 n = 1 n. Ilustrirajte ove formule pomoću serijskog i paralelnog spoja n sklopki. lgebra doga daja Dosadašnji pristup dogadajima i operacijama zasnivao se na intuiciji. Tako smo, na primjer, prešutno podrazumjevali da su presjek i unija dvaju dogadaja ponovo dogadaji. U strogo definiranoj matematičkoj teoriji ovi pojmovi moraju biti vrlo precizno definirani. To je nužno da bi se izbjegli mogući paradoksi unutar same teorije. Tako na primjer, potpuno je jasno da su dogadaji podskupovi skupa Ω. Medutim, obratna tvrdnja: svaki podskup od Ω je dogadaj, nije uvijek istinita! Općenito, postojat će situacije kad dogadaji neće biti svi podskupovi od Ω. Da izbjegnemo moguće paradokse, dogadaje ćemo definirati kao elemente algebre dogadaja:
8 1. VJEROJTNOST lgebra doga daja lgebra doga daja je svaka familija F podskupova od Ω na kojoj su definirane binarna operacija zbrajanja + : F F F i unarna operacija komplementiranja sa svojstvima 1) Ω F, F, 2) F = F, 3), F = + F. Elemente algebre F zovemo doga daji. Primijetimo da je bilo dovoljno zahtijevati samo Ω F, jer je = Ω pa prema svojstvu 2) on takoder pripada algebri F. Što je s umnoškom dogadaja? ko su i dogadaji, onda i pripadaju algebri F, pa toj algebri pripada i njihov zbroj +. Konačno je = + F. Dakle, umnožak dogadaja ponovo je dogadaj. Isto vrijedi i za razliku dvaju dogadaja, jer za, F vrijedi ooleova algebra \ = F. U mnogim se primjenama koristi struktura sastavljena od familije F dvije binarne operacije + i, unarne operacije komplementiranja koja zadovoljava sljedećih devet svojstava: 1) + = + = 2) ( + ) + C = + ( + C) ( ) C = ( C) 3) + = Ω = 4) ( + C) = + C + C = ( + ) ( + C) 5) ( F)( F) + = Ω, =, gdje su Ω i dva istaknuta elementa. Takvu familiju nazivamo ooleova algebra. Operacije + i mogu biti definirane na različite načine. ko su to operacije unije i presjeka, a elementi od F podskupovi, zaključujemo da je algebra doga daja primjer ooleove algebre. Primjer 1.9. Pokaži da u svakoj ooleovoj algebri vrijede relacije 1. + =, 2. = +, 3. (+)(+)(+)(+) =, 4. + + C + C = + C, 5. + + =. 1. + = jer je, ili + = + = ( + ) =, jer je +, ili + = ( + )( + ) = ( + ) =.
1.2. VJEROJTNOST 9 2. Komplementiranjem relacije + =. 3. ( + )( + )( + )( + ) = ( + )( + ) = =. 4. ++C+ C = +C+ C+ C = +C+(+ )C = +C+ C = + C. 5. ++ = + ++ = (+)+(+) = + =. Primjer 1.10. Uredaj je prikazan shemom na slici. Neka dogadaj i označava prekid na dijelu i, i = 1, 2, 3. Odredi izraz za dogadaj kao i za doga daj. = {ure daj je prestao s radom}, 1 1 2 2 3 Sl. 1.7. Ure daj prestaje s radom ako se ostvari doga daj 1 i barem jedan od doga daja 2, 3. Dakle, = 1 ( 2 + 3 ) i po de Morganovim formulama Vjerojatnost = 1 ( 2 + 3 ) = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 3. 1.2. Vjerojatnost Vjerojatnost je preslikavanje P : F [0, 1] definirano na algebri dogadaja F, koje ima svojstva 1) P(Ω) = 1, P( ) = 0 (normiranost), 2) ako je, onda vrijedi P() P() (monotonost), 3) ako su i disjunktni dogadaji, onda je P( ) = P()+P() (aditivnost). roj P() nazivamo vjerojatnost dogadaja.
10 1. VJEROJTNOST Svojstva vjerojatnosti Izvedimo neka dodatna svojstva vjerojatnosti. Neka je po volji odabran dogadaj, a njegov komplement. Onda vrijedi = Ω i pritom su i disjunktni. Zato, po svojstvima normiranosti i aditivnosti vrijedi 1 = P(Ω) = P( ) = P() + P(), te je P() = 1 P(). Time smo pokazali: Vjerojatnost komplementa Za svaki doga daj vrijedi P() = 1 P(). Pokažimo sad kako se računa vjerojatnost unije u slučaju kad i nisu disjunktni. Presjek dvaju doga daja ovdje ćemo pisati kao umnožak, dakle bez znaka. Vjerojatnost unije Za bilo koja dva dogadaja i vrijedi P( ) = P() + P() P(). Da dokažemo ovo svojstvo, doga daj prikazat ćemo kao uniju dvaju disjunktnih doga daja: = () (vidi sliku 1.8). Slično tome, možemo rastaviti ovako = i ponovo su dogadaji s desna disjunktni. = = Sl. 1.8. Skup može se rastaviti na uniju disjunktnih skupova (lijevo). Slično vrijedi i za skup (desno) Po svojstvu aditivnosti vjerojatnosti slijedi: P( ) = P() + P(), P() = P() + P().
1.2. VJEROJTNOST 11 Oduzimanjem dobivamo traženu formulu: P( ) P() = P() P(). Primjer 1.11. Neka su i doga daji, P() = 0.4, P() = 0.5, P() = 0.2. Izračunaj P( + ), P(), P(), P( ), P( + ), P(), P(). Konačni vjerojatnosni prostor P( + ) = P() + P() P() = 0.7 P() = 1 P() = 0.6 P() = 1 P() = 0.5 P( ) = P( + ) = 1 P( + ) = 0.3 P( + ) = P() = 1 P() = 0.8 P() = P() P() = 0.2 P() = P() P() = 0.3. Vjerojatnosni prostor Ω, koji posjeduje samo konačno mnogo elementarnih dogadaja nazivamo konačni vjerojatnosni prostor. Označimo njegove elemente, Ω = {ω 1, ω 2,...,ω N }. Dogadaj u ovakvu prostoru je svaki podskup od Ω. Vjerojatnost bilo kojeg dogadaja moći ćemo odrediti ako znamo vjerojatnosti elementarnih dogadaja, tj. ako poznajemo brojeve Ovi brojevi imaju svojstvo p 1 = P({ω 1 }),. p N = P({ω N }). p 1 > 0,...,p N > 0, p 1 +... + p N = 1. Zaista, kako je Ω = {ω 1, ω 2,...,ω N }, a elementarni dogadaji su medusobno disjunktni, to je 1 = P(Ω) = P({ω 1 }) +... + P({ω N }). Neka je F bilo koji dogadaj. On se sastoji od nekoliko elementarnih dogadaja: = {ω i1, ω i2,...,ω im }. Vjerojatnost doga daja računamo tako da zbrojimo vjerojatnosti tih elementarnih doga daja P() = p i1 + p i2 +... + p im.