Microsoft PowerPoint - MehMat-II_G_predavanja_ [Compatibility Mode]
|
|
|
- Резека Вукомановић
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 MEHANIKA MATERIJALA II Aleksandar Karač Kancelarija 1111 tel: , lok. 19 Josip Kačmarčik Kancelarija 115 tel: , lok. 114 ptf.unze.ba/mehanika-materijala-ii
2 O kursu Otpornost Materijala II... Izvođenje nastave predavanja: časa sedmično vježbe: časa sedmično (auditorne/laboratorijske/rc) Obaveze studenata redovno prisustvo predavanjima i vježbama urađene zadaće (po poglavljima) SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO KRAJA SEMESTRA!!! seminarski rad (tekstualni dio + prezentacija) Cilj predmeta Kompetencije (Ishodi učenja) Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rješavanje komplikovanijih problema iz oblasti mehanike materijala Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja Proširiti analizu opterećenja elemenata na plastično područje Po završetku kursa studenti će biti u stanju: rješavati komplikovanije probleme iz oblasti savijanja dizajnirati i analizirati konstrukcije izložene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti primijeniti naprednije metode za rješavanje problema iz oblasti mehanike materijala razlikovati i biti u stanju riješiti probleme s elementima opterećenim preko granice tečenja. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II
3 O kursu Otpornost Materijala II... Provjera znanja kolokviranje zadataka na vježbama seminarski rad pismeni ispit (zadaci) Konačna ocjena prisustvo nastavi: 0 % zadaće: 5 % seminarski: 5 % pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!! Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!! Ocjena % Ocjena % Ocjena % Ocjena % Ocjena % 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 3
4 O kursu Otpornost Materijala II... Sadržaj/program kursa (1) Uvijanje napredni kurs sedmice () Koncentracija napona 1 sedmica (3) Prostorno stanje napona 3 sedmice (4) Savijanje greda napredni kurs 3 sedmice (5) Energetske metode 3 sedmice (6) Izvijanje sedmice 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 4
5 O kursu Otpornost Materijala II... LITERATURA osnovna Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici) Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003. Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 004. Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, Vukojević D., Teorija elastičnosti, Mašinski fakultet u Zenici, Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 000. dodatna RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum s outline series, McGraw-Hill, WC Young, RG Budynas, Roark s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 5
6 O kursu Otpornost Materijala II... Obaveze studenata ZADAĆA 1: (1) + () + (3) Zadata: 5. mart 019. Rok za predaju: 19. april 019. (petak) ZADAĆA : (4) + (5) + (6) Zadata: 16. april 019. Rok za predaju: 7. juni 019. (petak) SEMINARSKI: Rok za predaju: 31. maj 019. PREZENTACIJA: 4. jun 019. Konsultacije Prema dogovoru/najavi!!! 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 6
7 O kursu Otpornost Materijala II... Korisne web stranice MecMovies to Accompany Mechanics of Materials Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorials CosmoLearning, Strength of Materials Elastic Beam Deflection Calculator ons_and_maintenance/calculators/elasticbeam.html Free Mechanical Engineering Online Calculators FREE STRUCTURAL SOFT WARES 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 7
8 Uvijanje napredni kurs Uvijanje ponavljanje Veza deformacija i napona G max Gr r max Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!! Uvijanje = čisto smicanje = dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona Opšta formula uvijanja r max T I o Uzdužni i transferzalni naponi 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 8
9 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Prije deformisanja Poslije deformisanja *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 9
10 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Raspodjela napona Izvitopereni poprečni presjek Naponi u izabranim elementima 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 10
11 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Maksimalni tangencijalni napon i ugao uvijanja Pravougaoni poprečni presjek T max cab 1 TL 3 cabg 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 11
12 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Primjer 1.1: Vratilo je izrađ eno od crvenog mesinga C8300 i eliptič nog je poprečnog presjeka. Ako se vratilo optereti momentima uvijanja kao na slici, odrediti maksimalan tangencijalni napon u dijelovim AC i BC, te ugao uvijanja φ kraja B u odnosu na kraj A. Odrediti ugao uvijanja kraja B u odnosu na kraj C. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 1
13 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Primjer 1.: Vratilo prikazano na slici izrađeno je od aluminijumske legure 6061-T6 i ima poprečni presjek jednakostraničnog trougla. Odrediti najveći moment uvijanja T koji se može primijeniti na kraj vratila ako je dozvoljeni tangencijalni napon 8ksi, a ugao uvijanja ograničen na 0.0 radijana. Koliki moment uvijanja se može primijeniti na puno vratilo kružnog poprečnog presjeka koji je izrađen od iste količine materijala? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 13
14 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Tankostjeni elementi zatvorena kontura Posmični tok df df df ( t dx) A A A ( t dx) B B B A df B da tds df tds qds df q ds sr t A A t B B Posmični tok q t sr Površina bez napona Površina bez napona 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 14
15 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Tankostjeni elementi zatvorena kontura df tds qds sr Srednji tangencijalni napon dt h( df) h( tds) sr Ugao uvijanja T h tds sr sr T ta m Izraz se dobija korištenjem energetskih metoda T t hds sr T t da ta sr m sr m q T A m TL A G 4 m ds t 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 15
16 Uvijanje napredni kurs Vratila neokruglog poprečnog presjeka Primjer 1.3: Izračunati srednji tangencijalni napon u tankostjenoj cijevi koja ima kruž ni popreč ni presjek srednjeg radijusa r sr i debljine t. Cijev je opterećena na moment uvijanja kao na slici. Koji je relativni ugao uvijanja cijevi, ako je dužina cijevi L. Primjer 1.4: Cijev je izrađena od bronze C86100 i pravougaonog je poprečnog presjeka. Ako je cijev izlož ena momentima uvijanja kao na slici, odrediti srednji tangencijalni napon u cijevi u tač kama A i B, te ugao uvijanja kraja C u odnosu na E. Cijev je uklješ tena na kraju E. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 16
17 Koncentracija napona* Osnovni pojmovi Stanje sa visokim lokaliziranim naponima, mnogo većim od srednjih napona usljed nagle promjene oblika, u blizini pukotina, rupa, usljed kontakta,... Nominalni naponi u presjecima I i II *D.J. Vitas I, str /19. MEHANIKA MATERIJALA II 17
18 Koncentracija napona Osnovni pojmovi Maksimalni napon u presjeku II naponi Geometrijski (statički) faktor koncentracije napona* Uobičajeno je da se za DUKTILNE materijale koncentracija napona kod statički opterećenih konstrukcija NE UZIMA u obzir, pošto prelazak granice proporcionalnosti ne dovodi do pucanja, nego se javlja tečenje (plastična deformacija) i očvršćavanje materijala. Za krte materijale i konstrukcije izložene dinamičkom opterećenju koncentracija napona MORA se uzeti u obzir u procesu dizajniranja. *postoji i dinamički (efektivni) faktor koncentracije napona 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 18
19 Koncentracija napona Metode za određivanje faktora koncentracije napona 1. Analitičko rješenje teorija elastičnosti. Eksperimentalne metode fotoelasticimetrija, mjerne trake, Računarske simulacije MKE, MKV, Teorija membrana za probleme uvijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 19
20 Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 0
21 Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 1
22 Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi Primjer.1: Odrediti maksimalan normalni napon koji se javlja u šipki koja je opterećena na zatezanje silom od P=8 kn. Ako je dozvoljeni normalni napon šipke doz =10 Mpa, odrediti maksimalnu aksijalnu silu koja se može primijeniti. RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II
23 Koncentracija napona Problemi savijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 3
24 Koncentracija napona Problemi savijanja Primjer.: Promjena širine poprečnog presjeka ploče ostvarena je pomoću prelaznog radijusa kao na slici. Ako se ploča optereti momentom savijanja od 5 knm, odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u čeliku. Granica tečenja je R eh =500 MPa. RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 4
25 Koncentracija napona Problemi savijanja Primjer.3: Šipka s žljebovima je opterećena dvjema silama P, kao što je prikazano na slici (tzv. Four-point band test, 4PBT). Odrediti najveću silu P koja se može primijeniti, a da napon ne pređe granicu tečenja. Materijal je čelik A-36 (R eh =50 MPa). Šipka na slici je opterećena silama intenziteta P=100 lbf (jedinica pound-force, 1lbf=4.448 N). Odrediti maksimalan napon usljed savijanja koji se javlja u šipki, te skiciraj raspodjelu napona po poprečnom presjeku šipke na sredini. Svaki žljeb ima poluprečnik od r=0.15 in (inch, col, 1 in = 5.4 mm) RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 5
26 Koncentracija napona Problemi uvijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 6
27 Koncentracija napona Problemi uvijanja Primjer.4: Vratilo s prelazima, prikazano na slici, oslonjeno je u osloncima A i B pomoću ležajeva. Odrediti maksimalan napon u vratilu usljed primijenjenih momenata uvijanja. Radijusi zaobljenja na spojevima pojedinih dijelova vratila su r= 6mm. RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 7
28 Koncentracija napona Mehanika loma - uvod Koncentracija napona na rubu eliptičke rupe u ploči Vrste širenja pukotine Tip I Tip II Tip III Intenzitet napona, K 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 8
29 Prostorno stanje napona Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje. Konvencija o predznaku napona Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i zadnjoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 9
30 Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Materijal je izložen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona). Maksimalni tangencijalni napon max max max z y x x x y y z z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 30
31 Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Hooke-ov zakon u tri dimenzije 1 ( ( )) E x x y z T 1 ( ( )) E y y x z T 1 ( ) E z z x y T Promjena volumena V 1 e x y z ( x y z ) V0 E Deformacioni rad 1 E x ((1 ) x ( y z)) T E y ((1 ) y ( x z)) T E z ((1 ) z ( x y)) T W W W 1 ( x x y y z z ) 1 ( x y z ) ( x y yz yz ) E E E (1 )(1 ) 1 ( x y z) xy xz yz 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 31
32 Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Sferično naponsko stanje (pojam modula kompresije) Sferično naponsko stanje (pojam modula kompresije) E E K E K modul kompresije ili zapreminski 3(1 ) modul elastičnosti - hidrostatički pritisak x y z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 3 0 Svaka ravan je ravan glavnog napona, normalni napon u svakom pravcu je jednak, ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona Mohrov krug?
33 Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Primjer 3.1: Dio od aluminija u obliku kvadra (vidi sliku) dimenzija a=6in, b=4in i c=3in, izloženo je triaksijalnom naponskom stanju, σ x =1000psi, σ y =-4000psi, σ z = -1000psi koji djeluju na površ i x, y i z, respektivno. Odrediti sljedeće veličine: a) maksimalan tangencijalni napon τ max u materijalu; b) promjene dimenzija dijela Δ a, Δ b i Δ c; c) promjenu zapremine Δ V; d) deformacioni rad u dijelu. (Pretpostaviti da je E=10400ksi i ν =0.33) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 33
34 Prostorno stanje napona Kombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka) Primjer 3.: Horizontalna sila P=80kN djeluje na kraju ploče. Ploča je debljine 10mm, a P djeluje u pravcu ose na udaljenosti d=50mm od neutralne ose. Nacrtati raspodjelu normalnog napona koji djeluje u presjeku a-a. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 34
35 Ravno stanje napona i primjena Ekscentrično zatezanje i pritisak (kombinacija aksijalnog naprezanja i savijanja) max P Mc P M1 M doz x A I A I I y x y Pojam jezgre presjeka 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 35
36 Prostorno stanje napona Kombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka) Primjer 3.3: Pravougaoni blok zanemarive težine izložen je vertikalnom silom kao na slici. Odrediti opseg vrijednosti ekscentriciteta ey uzduž y ose tako da se u nigdje u bloku ne javljaju zatežući naponi. Odrediti područje u kojem može djelovati sila, a da ne dođe do pojave zatežućih napona u bloku. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 36
37 Prostorno stanje napona Ravno stanje napona - ponavljanje Ravno stanje napona jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa. xy yx x y y x /19. MEHANIKA MATERIJALA II 37
38 Prostorno stanje napona Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi 1, x y x y xy x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi. 1 0 max,min x y 1 xy U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi x y 1 x y x y 1 1 Šta je s trećom dimenzijom? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 38
39 Ravno stanje napona i primjena Hooke-ov zakon za ravno stanje napona 1 x ( x y ) 1 E ( ) E 1 y ( y x ) + utjecaj temperature 1 E ( ) E z ( x y) E ( ) E x x y T y y x T z x y T E ( ) x x y 1 E ( ) y y x 1 z 0 + utjecaj temperature E ( ) E x x y T 1 1 E ( ) E y y x T /19. MEHANIKA MATERIJALA II 39
40 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Ravno stanje napona Ravno stanje deformacija Naponi z xz x, y, xy mogu biti različiti od 0 yz xz 0 yz 0 x, y, z, xy mogu biti različiti od 0 Deformacije xz 0 yz 0 x, y, z, xy mogu biti različiti od z xz x, y, xy mogu biti različiti od 0 yz Općenito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne dešavaju se istovremeno!!! ALI...? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 40
41 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije normalna deformacija x1 xdx cos dy y sin dy xy cos d dx dy dy x1 x cos y sin xy cos ds ds ds ds dx ds cos dy ds sin d dxcos dysin dycos x y xy x x y xy 1 cos sin sincos 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 41
42 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije tangencijalna deformacija x1y1 dx dy dy x sin y cos xy sin ds ds ds dx dy dy 1 3 x sin y cos xy sin ds ds ds dx cos ds dy ds sin ( x y)sincos xysin 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 4
43 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija ( x y)sincos xysin Jednačina transformacije tangencijalna deformacija x1y1 dx dy dy x sin y cos xy sin ds ds ds ( x y)sin cos xysin ( x y)sincos xycos 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 43
44 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije tangencijalna deformacija x1y1 ( x y)sincos xysin ( x y)sincos xycos x y xy xy 1 1 ( )sin cos cos sin x1y1 xy ( x y)sincos cos sin x y x y xy x1 cos sin x1y1 xy xy sin cos x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 44
45 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Glavne deformacije tg( ) x xy y 1, x y x y xy Maksimalna tangencijalna deformacija 1, x y xy Mohr-ov krug deformacija 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 45
46 Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Primjena jednačina transformacija Jednačine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja deformacija, pošto se u jednačinama ravnoteže ne javlja napon z. x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) 1 1 xycos( ) Analogno, jednačine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kod ravnog stanja napona, pošto z ne utiče na geometrijske ovisnosti. x1 xcos ysin xysin cos x1y1 xy ( x y)sincos cos sin I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zašto? 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 46
47 Prostorno stanje napona Rozete mjernih traka Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere normalne deformacije. Za opšte stanje napona, najčešće se koriste klasteri mjernih traka rozete. Mjerne trake su opterećene ravnim stanjem napona. Deformaciono stanje se može odrediti pomoću rozete s tri mjerne trake ukoliko se postave jednačine za sve tri trake, pa se riješi sistem jednačina po x, y i xy : a xcos a ysin a xysin acos a b xcos b ysin b xysin bcos b c xcos c ysin c xysin ccos c 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 47
48 Savijanje greda napredni kurs Naponi u gredi Normalni naponi Tangencijalni naponi x My I z Formula savijanja!!!! VQ Ib Q A yda Formula tangencijalnih napona!!! Dimenzionisanje Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna provjera. Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere oblik, pa onda dimenzije. Iako tangencijalni naponi uglavnom ne predstavljaju problem, za kratke i grede opterećene velikim tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno ih je uzeti u obzir pri dimenzionisanju. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 48
49 Savijanje greda napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 49
50 Savijanje greda napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka Primjer 4.1: Konzola s nagibom AB punog kružnog poprečnog presjeka opterećena je silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Najveći prečnik konzole u presjeku B je dva puta veći od najmanjeg prečnika u presjeku A. Odrediti napon usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 50
51 Savijanje greda napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka Primjer 4.: Konzola s nagibom AB dužine L i kvadratnog poprečnog presjeka opterećena je koncentričnom silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Širina i visina grede se mijenjaju linearno od h A na slobodnom kraju do h B u uklještenju. Odrediti napon udaljenost x od slobodnog kraja A do poprečnog presjeka s najvećim naponom na savijanje ako je h B =3h A. Koji je intenzitet najveć eg napona? Koji je odnos najvećeg napona u gredi i maksimalnog napona u uklještenju usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 51
52 Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Opterećenje u ravni simetrije Opterećenje pod uglom na ose simetrije (koso savijanje) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 5
53 Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Predznak momenta savijanja 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 53
54 Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Naponi savijanja Neutralna osa x M yz Mz y 0 I I y z tg( ) y z M yi M I z z y x M z I y y Mz y I z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 54
55 Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje M Psin Lx y M Pcos Lx M M z y z tg y M I I tg z M I I y z z z y y tg Općenito osim: Opterećenje je u xy-ravni (z je neutralna osa) - =0 ili 180 Opterećenje je u xz-ravni (y je neutralna osa) - =±90 I y =I z 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 55
56 Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Primjer /19. MEHANIKA MATERIJALA II 56
57 Savijanje greda napredni kurs Koso savijanje Primjer /19. MEHANIKA MATERIJALA II 57
58 Savijanje greda napredni kurs Elastična linija Kriva ugiba uzdužne ose koja prolazi kroz težište svih poprečnih presjeka grede elastična linija. Dijagram momenata Dijagram momenata Elastična linija Tačka infleksije Tačka infleksije Elastična linija 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 58
59 Savijanje greda napredni kurs Elastična linija Relacija moment savijanja zakrivljenost grede y x y Ey x Ex Ey My x I z 1 M EI z Prije deformacije Poslije deformacije Tačka infleksije M = 0 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 59
60 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije 1 Zakrivljenost funkcije v=f(x) M EI z 1 dv/ dx 3/ 1 dv / dx 1 dv/ dx M 3/ 1 dv / dx EI z Elastika tačan oblik elastične linije (usljed momenta savijanja!!!) Usljed ispunjenja tolerancije ili estetskih razloga, većina vratila i osovina ima plitku elastičnu liniju, pa vrijedi da je dv/dx veoma malo!!! 1 dv/ dx M dv M 3/ 1 dv / dx EIz dx EIz 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 60
61 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije dv dx M EI z Jednačina momenta savijanja d v M( x) dv M( x) M( x) dx C 1 v dx C1 dx C dx ExI ( ) z( x) dx ExI ( ) z( x) ExI ( ) z( x) V( x) EI =V x dx dx dx dm d d v w( x) EI w x = w x dm d dv dv dx dx dx dx Jednačina smičućih/transferzalnih sila Jednačina opterećenja Za EI=const EI dv 3 dv 4 dv M( x) EI V 3 x dx dx EI w 4 x dx 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 61
62 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Konvencija o predznaku pozitivni ugib nagore pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu na x-osu koja je pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 6
63 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Granični uslovi Neophodni za izračunavanje konstanti integracije d v M( x) dv M( x) M( x) dx C 1 v dx C1 dx C dx ExI ( ) z( x) dx ExI ( ) z( x) ExI ( ) z( x) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 63
64 Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.5: Greda na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const. Primjer 4.6: Konzola na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 64
65 Savijanje greda napredni kurs Grede s više polja Opterećenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom 1. Greda se dijeli na polja na način da su veličine kontinuirane. Izvodi se integracija po poljima 3. Određuju se konstante integracije iz graničnih i uslova kontinuiteta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 65
66 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Uslovi kontinuiteta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 66
67 Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.7: Za gredu na slici opterećenu vertikalnom silom P, odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 67
68 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a ) Više diferencijalnih jednačina po poljima se svodi na jednu univerzalna elastična linija 1. koordinatni početak izabrati na lijevom kraju grede,. u svakom polju raspona grede u kome se mijenja napadni moment uzeti promjenljivu (z - a i ), gdje je a i lijeva granica tog polja grede, 3. napadni moment u sljedećem intervalu mora biti jednak napadnom momentu prethodnog intervala uvećan za član koji sadrži binom (z - a i ); za slučaj djelimično kontinualnog opterećenja to se postiže produženjem kontinualnog opterećenja do kraja grede uz istovremeno oduzimanje istog tog opterećenja, 4. integracione konstante C 1 ic javljaju se samo u prvom polju integrala diferencijalne jednačine elastične linije grede, a određuju se iz uslova oslanjanja grede. q q M (z) = F z - z + ( z-a ) -F ( z- a ) + M ( z-a ) 0 A /19. MEHANIKA MATERIJALA II 68
69 Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.8: Za gredu na slici odredi jednačinu elastične linije. Uzeti da su sve reakcije poznate. Primjer 4.9: Za gredu na slici opterećenu vertikalnim silama P, Odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 69
70 Savijanje greda napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću metode superpozicije Diferencijalna jednačina elastične linije ispunjava dva potrebna uslova kako bi se primijenio princip superpozicije: (i)kontinuirano opterećenje w() [q(x)] linearno je vezano za ugib (ii)opterećenja ne mijenjaju značajno početnu geometriju grede Princip superpozicije sastoji se u pojedinačnom tabličnom određivanju ugiba ili nagiba za neki presjek i konačnim sabiranjiem za sva opterećenja, pri čemu treba voditi računa o predznaku ugiba/nagiba. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 70
71 Savijanje greda napredni kurs Elastične linije osnovnih grednih nosača 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 71
72 Savijanje greda napredni kurs Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 7
73 Savijanje greda napredni kurs Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 73
74 Savijanje greda napredni kurs Primjer 4.10: Odredi ugib u tački C. Primjer 4.11: Odredi ugib i nagib u tački B. Primjer 4.1: Odredi ugib i nagib u tački C. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 74
75 Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Broj nepoznatih (reakcija, veza) veći od broja jednačina (statičkih uslova) ravnoteže!!! q a) q b) c) M T 1 q T d) e) f) Metoda integracije (preko elastične linije) Metoda superpozicije Metoda sila Metoda pomjeranja/deformacija Metoda tri momenta (Clapeyronova jednačina) itd /19. MEHANIKA MATERIJALA II 75
76 Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda integracije 1. Postave se jednačine ravnoteže. Postavi se dodatna jednačina elastične linije 3. Koristeći granične uslove, riješi se sistem jednačina 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 76
77 Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 77
78 Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije kombinovanje s drugim elementima 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 78
79 Savijanje greda napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije ukrštene grede 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 79
80 Energetske metode - osnove* W Pd *R.C., Hibbeler, Mechanics of Materials, Pearson, Tenth Edition, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 80
81 Energetske metode - osnove Rad vanjskih sila i deformacioni rad Rad sile Rad momenta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 81
82 Energetske metode - osnove Rad vanjskih sila i deformacioni rad Deformacioni rad normalni napon Deformacioni rad tangencijalni napon Višeosno (troosno) naprezanje 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 8
83 Energetske metode - osnove Deformacioni rad različitih opterećenja Aksijalno opterećenje Uvijanje Savijanje Smicanje transferzalnom silom 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 83
84 Energetske metode - osnove Očuvanje energije Pod pretpostavkom da se energija nastala usljed toplote, hemijskih reakcija i elektromagnetnih efekata zanemaruje, mehanička energija je uravnoteži, odnosno rad vanjskih opterećenja jednak je deformacionom radu. Primjer rama Primjer grede Ograničena upotreba: Primjenljivo samo za jednu silu ili moment koji djeluje na konstrukciju i to samo za pomjeranje/ugao na mjestu i u pravcu djelovanja sile/momenta. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 84
85 Energetske metode - osnove Očuvanje energije Primjer 5.1: Okvir je opterećen horzontalnom silom kao na slici. Ako je poprečni presjek svakog štapa 0. in odredi horizontalno pomjeranje tačke B. Modul elastičnosti je 9000 ksi. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 85
86 Energetske metode - osnove Očuvanje energije Primjer 5.: Konzola pravougaonog poprečnog presjeka opterećena silom na slobodnom kraju. Odredi pomjeranje ispod opterećenja, ako je EI konstantno. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 86
87 Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Posmatra se tijelo opterećeno stvarnim opterećenjima P 1,P,P 3,a traži se pomjeranje u tački A. U tačku A se u pravcu postavlja virtualna (imaginarna) sila intenziteta 1, koja u reprezentativnom elementu kreira opterećenje u. Nakon primjene stvarnih opterećenja, tačka A se pomjera za, a reprezentativni element izdužuje za dl. Na taj način, stvara se spoljašnji rad virtualnog opterećenja 1, i virtualni deformacioni rad u L. Ako se posmatra samo očuvanje virtualne energije, spoljašnji virtalni rad mora biti jednak deformacionom virtualnom radu nastao na svim elementima tijela. Virtuelna opterećenja realna pomjeranja Napomena: Analagno vrijedi i za ugaona pomjeranja s primjenom virtualnog momenta. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 87
88 Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjena na ramove (P=)1 virtualna sila (traženo) pomjeranje n sila u elementu usljed virtualne sile N sila u elementu usljed stvarnog opterećenja Postupak rješavanja a) Jedinično opterećenje (ovdje sila, a analogno i za moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje (ugao), pa se odrede sile (n) koje djeluju na sve elemente; b) Odrede se sile (N) koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja; c) Primijeni je izraz za virtualni rad, pri čemu je neophodno paziti na predznak sila n i N; d) Ukoliko je suma negativna, pravac djelovanja je suprotan pretpostavljenom. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 88
89 Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjer 5.3: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba C za ram na slici dole. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm, a modul elastičnosti je 00 GPa. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 89
90 Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjena na grede (P/M=)1 virtualna sila/moment (traženo) pomjeranje/ugao m moment u gredi usljed virtualne sile/momenta M moment u gredi usljed stvarnog opterećenja Postupak rješavanja a) Jedinično opterećenje (sila ili moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje/ugao; b) Postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti ta stvarna niti za virtalna opterećenja; c) Odredi se moment kao funkcija koordinate x za virtalno opterećenje d) Koristeći iste koordinate x odredi se moment kao funkcija od x usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja; e) Primijeni je izraz za virtualni rad. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 90
91 Energetske metode - osnove Metod virtualnih pomjeranja Primjer 5.4: Odredi vertikalno pomjeranje u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno. Primjer 5.5: Odredi nagib u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 91
92 Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Pomjeranje je jednako prvom izvodu deformacionog rada u tijelu u odnosu na silu koja tjeluje u tački i u pravcu pomjeranja. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 9
93 Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjena na ramove P N (traženo) pomjeranje spoljašnja sila promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u pravcu pomjeranja unutrašnja sila u elementu usljed stvarnog opterećenja i sile P Postupak rješavanja a) Sila P se postavi na mjesto/zglob i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje, a smatra se promjenljivom; b) Odrede se sile koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja i sile P; c) Nađu se parcijalni izvodi N/P za svaki element d) Sili P se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0; e) Primijeni se Castiglianov drugi teorem 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 93
94 Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjer 5.6: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba B za Primjer 5.3. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm, a modul elastičnosti je 00 GPa. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 94
95 Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjena na grede P/M M (traženo) pomjeranje/ugao spoljašnja sila/moment promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u pravcu pomjeranja (ugla) moment u gredi usljed stvarnog opterećenja uključujući i P/M Postupak rješavanja a)sila/moment se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje/ugao, a smatra se promjenljivom; b)postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti za sile, niti kontinuirana opterećenja niti momente; c)odredi se moment kao funkcija P/M, a zatim nađi parcijalni izvodim/p ili M/M za svaku x koordinatu d)sili/momentu se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0; e)primijeni se Castiglianov drugi teorem 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 95
96 Energetske metode - osnove Castiglianov (drugi) teorem Primjer 5.7/8: Uradi primjere 5.4 i 5.5 koristeći Castiglianov teorem. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 96
97 Izvijanje* *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. *Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, /19. MEHANIKA MATERIJALA II 97
98 Izvijanje Osnovne karaktersitike i pojmovi Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata Umjesto kriterija čvrstoće (vrijednosti glavnih normalnih ili najvećih tangencijalnih napona ne prelaze kritične vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritične veličine) kriterij koji se primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 98
99 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifičnoj aksijalnoj sili, F kr kritična sila. Za određivanje kritične sile koristi se diferencijalna jednačina elastične linije grede. EI dv dz M 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 99
100 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja a) Konzola EI dv dz M dv EI F( v) dz k F EI dv cos sin dz kv k v A kz B kz v(0) A0 v'( L) 0, v( L) 0 sin( kz) Bcoskl0 Bsin kl v 1 sin( kl ) kl n 1 n 1,,3 n z v 1 1 sin n1 n1,,3 l Osnovna forma izvijanja F kr n1 kl l EI EI Fkr I I l min 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 100
101 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja a) Konzola viši harmonici F EI n1 l kr, n 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 101
102 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja b) Prosta greda EI dv dz M EI dv dz Fv k F EI dv 0 cos sin kv v A kz B kz dz v(0) 0 A0 vl ( ) 0 Bsin kl 0 F kr kl l n n 1,,3 EI F kr n EI l Osnovna forma izvijanja n 1 EI Fkr Fe I I l min 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 10
103 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja c) Greda s uklještenjem EI dv dz M dv EI vf zy dz k F EI dv Y Y Y kv z kz v Acos kz Bsin kz z dz EI F F v(0) 0 A0 Y vl ( ) 0 Bsin kl l F Y v'( L) 0 Bcos kl tg klkl kf Osnovna forma izvijanja F kr EI kl EI EI EI kl / kll 0.7 l l l 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 103
104 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja d) Greda s dva uklještenja EI dv dz M EI dv dz Fv M k F EI dv M cos sin M kv v A kzb kz dz EI F M v(0) 0 A F v'(0) 0 B0 vl ( ) 0, v'( L) 0 1cos kl 0 F kr kl l n n 1,,3 EI F kr 4n EI l Osnovna forma izvijanja n 1 EI Fkr Fe I I 0.5l min 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 104
105 Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja osnovna forma a) Konzola b) Prosta greda c) Greda s uklještenjem d) Greda s dva uklještenja l r redukovana dužina EI Fkr I I l r EI kr I I l A r min min EI Fkr I I l EI Fkr I I l min min EI Fkr I I 0.7l EI Fkr I I 0.5l min min Vitkost štapa odnos redukovane dužine i minimalnog poluprečnika inercije lr A E K kr lr kr i Imin 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 105
106 Izvijanje (u elastičnom području) Primjer 6.1: Stub od aluminijuma je fiksiran na dnu te učvršćen na vrhu pomoću užadi kako bi se onemogućilo pomjeranje u pravcu x-ose, kao što je prikazano na slici. Odrediti najveću dozvoljenu silu P koja se može primijeniti, ako je faktor sigurnosti protiv izvijanja jednak 3. Uzeti da je E=70 GPa, R eh =15 MPa, A=7500 mm, I x = mm 4, I y = mm /19. MEHANIKA MATERIJALA II 106
107 Izvijanje (u elastičnom području) Primjer 6.: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi dužine 3.5 m, vanjskog prečnika 100 mm. Osnove cijevi su učvršćene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovi spojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdrže opterećenje od 100 kn. Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti da je E=7 GPa, te granica proporcionalnosti 480 MPa. 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 107
108 Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) EI dv dx M dv EI P( e v) dx k P EI dv e cos sin kv k v A kx B kx e dx v(0) 0 Ae 1 cos kl L vl ( ) 0 Be etan k sin kl L vecoskxtan k sin kx1 Maksimalni ugib L vmax eseck 1 Formula sekante L M Pevmax Peseck P Mc P 1 ec sec P L A I A r EA r max I r A 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 108
109 Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) L vmax eseck 1 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 109
110 Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 110
111 Izvijanje Izvijanje u plastičnom području Engesserov postupak Neelastična deformacija (kratke i srednje duge šipke) Elastična deformacija (duge šipke) E t cr KL r 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 111
112 Izvijanje Izvijanje u plastičnom području Ostali postupci... a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson) b) Omega metoda c) Energetska metoda d) Ritz-ova metoda 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 11
113 Izvijanje 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 113
114 Informacije o polaganju pismenog dijela ispita 1. Ispit sadrži 6 zadataka (4 računska zadatka), od kojih svaki nosi 10-30% bodova iz sljedećih oblasti a. Uvijanje napredni kurs računski zadatak (10-15%) b. Koncentracija napona računski zadatak (10-15%) c. Primjena ravnog stanja napona: ekscentrični pritisak računski zadatak (10-15%) d. Savijanje: koso savijanje računski zadatak (10-15%) e. Savijanje: određivanje elastične linije primjena metoda integracije, Clebsch (10-5%) f. Savijanje: superpozicija ugib i nagib statički određenih problema, statični neodređeni problemi (15-5%) g. Energetske metode: greda i ram računska zadatka (15-5%) h. Izvijanje (u elastičnom području) računski zadatak (10-15%). Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu naći na web-stranici kursa 3. Obavezno ponijeti kalkulator (mobitel se ne može koristiti), te -3 prazne dvolisnice A4 formata 4. Ispit traje 135 minuta 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II 114
115 S R E T N O!!! 018/19. MEHANIKA MATERIJALA II
Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o uže BD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što
Pismeni ispit iz MEHNIKE MTERIJL I - grupa 1. Kruta poluga, oslonjena na oprugu i okačena o uže D, nosi kontinuirano opterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti: a) silu i napon u užetu
Proracun strukture letelica - Vežbe 6
University of Belgrade Faculty of Mechanical Engineering Proračun strukture letelica Vežbe 6 15.4.2019. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu Danilo M. Petrašinović Jelena M. Svorcan Miloš D. Petrašinović
PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o
![PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o](/thumbs/102/155855156.jpg "PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o")
PRIMER 1 ISPITNI ZADACI Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o Homogena pločica ACBD, težine G, sa težištem u tački C, dobijena
Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]](/thumbs/99/140947091.jpg "Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]")
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA II čas Marija Nefovska-Danilović 3. Stabilnost konstrukcija 1 6.2 Osnovne jednačine štapa 6.2.1 Linearna teorija štapa Važe pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj (2) i
Динамика крутог тела
Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.
Београд, МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА ЗАДАТАК 1 За носач приказан на слици: а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач
Београд, 30.01.2016. а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач делују само концентрисане силе, б) ако је P = 0.8P cr, и на носач делује расподељено оптерећење f, одредити моменат савијања
Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]](/thumbs/103/157511151.jpg "Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]")
INŽENJERSKE SIMULACIJE Aleksandar Karač Kancelarija 1111 tel: 44 91 20, lok. 129 akarac@ptf.unze.ba Nermin Redžić Kancelarija 4202 tel: 44 91 20, lok.128 nermin.redzic@ptf.unze.ba www.ptf.unze.ba http://ptf.unze.ba/inzenjerske-simulacije
ma??? - Primer 1 Spregnuta ploca
Primer 1 - proračun spregnute ploče na profilisanom limu 1. Karakteristike spregnute ploče Spregnuta ploča je raspona 4 m. Predviđen je jedan privremeni oslonac u polovini raspona ploče u toku građenja.
Microsoft Word - TPLJ-januar 2017.doc
Београд, 21. јануар 2017. 1. За дату кружну плочу која је еластично укљештена у кружни прстен и оптерећења према слици одредити максимални напон у кружном прстену. М = 150 knm/m p = 30 kn/m 2 2. За зидни
U N I V E R Z I T E T U Z E N I C I U N I V E R S I TA S S T U D I O R U M I C A E N S I S Z E N Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Aleksandar Kar
U N I V E R Z I T E T U Z E N I C I U N I V E R S I T S S T U D I O R U M I C E N S I S Z E N Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet leksandar Karač Riješeni ispitni zadaci iz Otpornosti materijala Zenica,
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0.8 kn m, L=4m. 1. Z i = Z A = 0. Y i = Y A L q + F
Испитни задаци - Задатак 1 Задатак 1 (23. септембар 2012.) а) Статичком методом конструисати утицајне линије за силе у штаповима V b и D 4. б) Одредит
Испитни задаци - Задатак 1 Задатак 1 (23. септембар 2012.) а) Статичком методом конструисати утицајне линије за силе у штаповима V b и D 4. б) Одредити max D 4 услед задатог покретног система концентрисаних
Predavanje 8-TEMELJI I POTPORNI ZIDOVI.ppt
1 BETONSKE KONSTRUKCIJE TEMELJI OBJEKATA Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Temelji objekata 2 1.1. Podela 1.2. Temelji samci 1.3. Temeljne trake 1.4. Temeljne grede
Матрична анализа конструкција
. 5 ПРИМЕР На слици. је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су константног попречног пресека b/h=./.5 m, док је коси штап са линеарном променом висине. Одредити силе на
Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt
Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна
Rešetkasti nosači
Kombinovana naprezanja etalne konstrukcije 1 P8-1 Kontrole graničnih stanja kod kombinovanih naprezanja Ekscentrično zatezanje ( t + ) ULS - kontrole nosivosti poprečnih preseka na pojedinačna dejstva
Microsoft Word - 7. cas za studente.doc
VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке
Slide 1
Завод за унапређивање образовања и васпитања Аутори: Наставни предмет: MилојеЂурић,професор,Техничка школа Шабац, Марија Пилиповић,професор, Техничка школа Шабац, Александар Ђурић,професор,Мачванска средња
CVRSTOCA
ČVRSTOĆA 12 TEORIJE ČVRSTOĆE NAPREGNUTO STANJE Pri analizi unutarnjih sila koje se pojavljuju u kosom presjeku štapa opterećenog na vlak ili tlak, pri jednoosnom napregnutom stanju, u tim presjecima istodobno
Microsoft PowerPoint - ME_P1-Uvodno predavanje [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - ME_P1-Uvodno predavanje [Compatibility Mode]](/thumbs/103/157430298.jpg "Microsoft PowerPoint - ME_P1-Uvodno predavanje [Compatibility Mode]")
MAŠINSKI ELEMENTI dr Miloš Ristić UVOD Mašinski elementi predstavljaju tehničkonaučnu disciplinu. Izučavanjem ove discipline stiču seteorijska i praktična znanja za proračun, izbor i primenu mašinskih
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 2 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Pozn
M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Poznata su opterećenja F 1 = kn, F = 1kN, M 1 = knm, q =
Slide 1
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 4 - Dijagram interakcije Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Betonske konstrukcije 1 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Betonske konstrukcije 1 1 2
Slide 1
BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 vježbe, 12.-13.12.2017. 12.-13.12.2017. DATUM SATI TEMATSKA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponavljanje poznatih postupaka
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
5 - gredni sistemi
Гредни системи бетонских мостова 1 БЕТОНСКИ МОСТОВИ ГРЕДНИ СИСТЕМИ Типови гредних система бетонских мостова Решетка Проста греда Греда с препустима Герберова греда Континуална греда Укљештена греда 2 Трајекторије
Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 4_19 [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 4_19 [Compatibility Mode]](/thumbs/99/141489570.jpg "Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 4_19 [Compatibility Mode]")
Univerzitet u Beogradu Građevinski fakutet Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija STABILNOST KONSTRUKCIJA IV ČAS V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA DANILOVIĆ 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1 Geometrijska
NASLOV RADA (12 pt, bold, Times New Roman)
9 th International Scientific Conference on Production Engineering DEVELOPMENT AND MODERNIZATION OF PRODUCTION PRIMJENA METODE KONAČNIH ELEMENATA U ANALIZI OPTEREĆENJA PLASTIČNE PREKLOPIVE AMBALAŽE Damir
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
Microsoft Word - MABK_Temelj_proba
PRORČUN TEMELJNE STOPE STTIČKI SUSTV, GEOMETRIJSKE KRKTERISTIKE I MTERIJL r cont d eff r cont d eff Dimenzije temelja: a 300 cm b 300 cm Ed,x Ed h 80 cm zaštitni sloj temelja c 4,0 cm XC θ dy Ed Dimenzije
АНАЛИЗА ПРОБЛЕМА ТЕРМИЧКЕ ДИЛАТАЦИЈЕ L КОМПЕНЗАТОРА ПРЕМА СТАНДАРДУ AD 2000 И ДРУГИМ МЕТОДАМА Милан Травица Иновациони центар Машински факултет Универ
АНАЛИЗА ПРОБЛЕМА ТЕРМИЧКЕ ДИЛАТАЦИЈЕ L КОМПЕНЗАТОРА ПРЕМА СТАНДАРДУ AD 2000 И ДРУГИМ МЕТОДАМА Милан Травица Иновациони центар Машински факултет Универзитет у Београду Краљице Марије 16, 11000 Београд mtravica@mas.bg.ac.rs
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
Rešetkasti nosači
Elementi opterećeni savijanjem - nosači Metalne konstrukcije 1 P6-1 Slučajevi naprezanja Savijanje dominantan vid naprezanja! Savijanje može biti posledica sledećih naprezanja: čisto pravo savijanje (M
osnovni gredni elementi - primjer 2.nb
MKE: Zadatak 1 - Primjer 1 Za nosač na slici potrebno je odrediti raspodjelu momenata savijanja pomoću osnovnih grednih elemenata. Gredu diskretizirati sa elementa. Rezultate usporediti sa analitičkim
Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt
ТЕОРИЈА КРЕТАЊА ВОЗИЛА Предавање. гусенична возила, површински притисак ослањања, гусеница на подлогу ослањања G=mg p p гусеница на подлогу ослањања G=mg средњи стварни p тврда подлога средњи стварни p
Оsnovni principi u projektovanju mostova
КОЛОВОЗНА КОНСТРУКЦИЈА БЕТОНСКИХ МОСТОВА 1 Типови попречног пресека коловоне конструкције Избор типа поречног пресека зависи од : Распона коловозне конструкцие Расположиве висине Начина извођења Постоје:
ma??? - Primer 6 Proracun spregnute veze
Primer 6 Proračun spregnute veze Odrediti proračunski moment nosivosti spregnute veze grede i stuba prikazane na skici. Stub je izrađen od vrućevaljanog profila HEA400, a greda od IPE500. Veza je ostvarena
Microsoft PowerPoint - Opruge kao funkcionalni elementi vezbe2.ppt
Deformacija opruge: 8FD Gd n f m 4 8Fwn Gd 1 Broj zavojaka opruge Kod pritisnih opruga sa velikim brojem promena opterećenja preporučuje se da se broj zavojaka završava na 0.5, npr..5, 4.5, 5.5... Ukupan
Uslovi vezani za polaganje ispita iz Otpornosti materijala I
Садржај: ИНФОРМАЦИЈЕ ЗА СТУДЕНТЕ ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ КОЈИ СЛУШАЈУ ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА 1 (ОМ1) У ТОКУ ШКОЛСКЕ 2019/20 ГОДИНЕ план и програм предавања 2019/20 по недељама план
mfb_jun_2018_res.dvi
Универзитет у Београду Машински факултет Катедра за механику флуида МЕХАНИКА ФЛУИДА Б Писмени део испита Име и презиме:... Броj индекса:... Смена:... Напомене: Испит траjе 80 минута. Коришћење литературе
Microsoft Word - Elektrijada_V2_2014_final.doc
I област. У колу сталне струје са слике када је и = V, амперметар показује I =. Одредити показивање амперметра I када је = 3V и = 4,5V. Решење: а) I = ) I =,5 c) I =,5 d) I = 7,5 3 3 Слика. I област. Дата
Microsoft PowerPoint - OMT2-razdvajanje-2018
OSNOVE MAŠINSKIH TEHNOLOGIJA 2 TEHNOLOGIJA PLASTIČNOG DEFORMISANJA RAZDVAJANJE (RAZDVOJNO DEFORMISANJE) Razdvajanje (razdvojno deformisanje) je tehnologija kod koje se pomoću mašine i alata u zoni deformisanja
mfb_april_2018_res.dvi
Универзитет у Београду Машински факултет Катедра за механику флуида МЕХАНИКА ФЛУИДА Б Писмени део испита Име и презиме:... Броj индекса:... Напомене: Испит траjе 80 минута. Коришћење литературе ниjе дозвољено!
RG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
Microsoft PowerPoint - predavanje_sile_primena_2013
Примене Њутнових закона Претпоставке Објекти представљени материјалном тачком занемарите ротацију (за сада) Масе конопаца су занемариве Заинтересовани смо само за силе које делују на објекат можемо да
Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc
Dopunski zadaci za vježbu iz MFII Za treći kolokvij 1. U paralelno strujanje fluida gustoće ρ = 999.8 kg/m viskoznosti μ = 1.1 1 Pa s brzinom v = 1.6 m/s postavljana je ravna ploča duljine =.7 m (u smjeru
Ivan GLIŠOVIĆ Boško STEVANOVIĆ Marija TODOROVIĆ PRORAČUN DRVENIH KONSTRUKCIJA PREMA EVROKODU 5 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Akademska
Ivan GLIŠOVIĆ Boško STEVANOVIĆ Marija TODOROVIĆ PRORAČUN DRVENIH KONSTRUKCIJA PREMA EVROKODU 5 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Akademska misao, Beograd Dr Ivan Glišović, dipl.inž.građ., docent
Microsoft Word - Elektrijada_2008.doc
I област. У колу сталне струје са слике познато је: а) када је E, E = и E = укупна снага 3 отпорника је P = W, б) када је E =, E и E = укупна снага отпорника је P = 4 W и 3 в) када је E =, E = и E укупна
Slide 1
Грађевински факултет Универзитета у Београду МОСТОВИ Субструктура моста Вежбе 4 Програм предмета Датум бч. Предавања бч. Вежбе 1 22.02. 4 Уводно предавање - 2 01.03. 3 Дефиниције, системи, распони и материјали
ma??? - Primer 4 Bocno torziono izvijanje spregnutog nosaca
Primer 4 - Bočno-torziono izvijanje spregnutog nosača 1. Karakteriske spregnutog nosača Spregnu nosač je stačkog sistema konnualnog nosača na dva polja. Raspon jednog polja je 0 m. Betonska ploča je konnualna
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Републички педагошки завод Бања Лука Стручни савјетник за машинску групу предмета и практичну наставу Датум: године Тема: Елементи и начин
Републички педагошки завод Бања Лука Стручни савјетник за машинску групу предмета и практичну наставу Датум:.06.2009. године Тема: Елементи и начин вредновања графичког рада из раванских носачи 1 Увод:
Univerzitet u Beogradu Elektrotehnički fakultet Katedra za energetske pretvarače i pogone ISPIT IZ SINHRONIH MAŠINA (13E013SIM) 1. Poznati su podaci o
Univerzitet u Beogradu Elektrotehnički akultet Katedra za energetske pretvarače i pogone ISPIT IZ SINHRONIH MAŠINA (13E013SIM) 1. Poznati su podaci o namotaju statora sinhronog motora sa stalnim magnetima
Зборник радова 6. Међународне конференције о настави физике у средњим школама, Алексинац, март Одређивање коефицијента пригушења у ваздуху
Одређивање коефицијента пригушења у ваздуху помоћу линеарног хармонијског осцилатора Соња Ковачевић 1, Милан С. Ковачевић 2 1 Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац, Србија 2 Природно-математички факултет,
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 фебруар 1. год. 1. Пећ сачињена од три грејача отпорности R=6Ω, везана у звезду, напаја се са мреже xv, 5Hz, преко три фазна регулатора, као на слици. Угао "паљења" тиристора је
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година
Зборник радова 6. Међународне конференције о настави физике у средњим школама, Алексинац, март Нелинеарно еластично клатно Милан С. Коваче
Нелинеарно еластично клатно Милан С. Ковачевић 1, Мирослав Јовановић 2 1 Природно-математички факултет, Крагујевац, Србија 2 Гимназија Јосиф Панчић Бајина Башта, Србија Апстракт. У овом раду је описан
Ravno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
Microsoft Word - GI_novo - materijali za ispit
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO DIJAGRAMI, TABLICE I FORMULE ZA ISPIT ak.god. 2011/2012 2 1 υi s yi = pb I syi Ei Slika 1. Proračun slijeganja vrha temelja po metodi prema Mayne & Poulos. Slika 2. Proračun nosivosti
ZBIRKA TBK FIN_bez oznaka za secenje.pdf
ZBIRKA ZADATAKA TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 Ivan Ignjatović Beograd, 2018. god Impresum Autori: Naslov: Izdavač: Za izdavača: Recenzenti: Dizajn: Tiraž: Štampa: Mesto: Godina izdanja: ISBN: Dr Ivan
Neodreeni integrali - Predavanje III
Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
Шумска транспортна средства - испитна питања
I ШУМСКИ ПУТЕВИ (38 питања) 1. Како се врши рекогносцирање терена, утврђивање чворних тачака и просечног нагиба између чворних тачака? 2. Какав значај имају шумска транспортна средстава и који је степен
ЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ
Универзитет у Београду, Електротехнички факултет, Катедра за енергетске претвараче и погоне ЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ (3Е3ЕНТ) Јул 9. Трофазни уљни енергетски трансформатор са номиналним подацима: 4 V,
ПОДЈЕЛА ТЛА ПРЕМА ВЕЛИЧИНИ ЗРНА
-1- СМИЧУЋА ЧВРСТОЋА ТЛА Смичућа чврстоћа представља највећи смичући напон који се може нанијети структури тла у одређеном правцу. Када је достигнут највећи могућ смичући напон, праћен пластичним деформацијама,
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
PowerPoint Presentation
МОБИЛНЕ МАШИНЕ II предавање 4.2 \ ослоно-кретни механизми на точковима, кинематика и динамика точка Кинематика точка обимна брзини точка: = t транслаторна брзина точка: = t Услов котрљања точка без проклизавања:
?? - Tipska medjuroznjaca.xmcd
Tipska međurožnjača Poprečni presek HOP pravougaonog preseka: RHS 00/100/4 Dimenzije h 00mm b f 100mm t w 4mm t f 4mm r t w 8.0 mm Geometrijske karakteristike A.9cm G 18cm I y 100cm 4 W ely 10cm 3 W ply
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
Pitanja za pripremu i zadaci za izradu vježbi iz Praktikuma iz fizike 1 ili Praktikuma iz osnova fizike 1, I, A za profesorske
Pitanja za pripremu i zadaci za izradu vježbi iz Praktikuma iz fizike 1 ili Praktikuma iz osnova fizike 1, I, A za profesorske smjerove Opće napomene: (i) Sva direktna (neovisna) mjerenja vrijednosti nepoznatih
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
Microsoft Word - 4.Ee1.AC-DC_pretvaraci.10
AC-DC ПРЕТВАРАЧИ (ИСПРАВЉАЧИ) Задатак 1. Једнофазни исправљач са повратном диодом, са слике 1, прикључен на напон 1 V, 5 Hz напаја потрошач велике индуктивности струјом од 1 А. Нацртати таласне облике
PowerPoint Presentation
Nedjelja 6 - Lekcija Projiciranje Postupci projiciranja Projiciranje je postupak prikazivanja oblika nekog, u opštem slučaju trodimenzionalnog, predmeta dvodimenzionalnim crtežom. Postupci projiciranja
broj 043.indd - show_docs.jsf
ПРИЛОГ 1. Ширина заштитног појаса зграда, индивидуалних стамбених објеката и индивидуалних стамбено-пословних објеката зависно од притиска и пречника гасовода Пречник гасовода од 16 barа до 50 barа M >
STABILNOST SISTEMA
STABILNOST SISTEMA Najvaznija osobina sistema automatskog upravljanja je stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani sistem automatskog upravljanja
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
NAZIV PREDMETA TEHNIČKA MEHANIKA I Kod SKS003 Godina studija 1. Nositelj/i predmeta Dr.sc. Ado Matoković, prof.v.š. Bodovna vrijednost (ECTS) 7 Suradn
NAZIV PREDMETA TEHNIČKA MEHANIKA I Kod SKS003 Godina studija. Nositelj/i predmeta Dr.sc. Ado Matoković, prof.v.š. Bodovna vrijednost (ECTS) 7 Suradnici Vladimir Vetma, predavač Način izvođenja nastave
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
РЕПУБЛИКА СРБИЈА МИНИСТАРСТВО ПРИВРЕДЕ ДИРЕКЦИЈА ЗА МЕРЕ И ДРАГОЦЕНЕ МЕТАЛЕ Београд, Мике Аласа 14, ПП: 34, ПАК: телефон: (011)
РЕПУБЛИКА СРБИЈА МИНИСТАРСТВО ПРИВРЕДЕ ДИРЕКЦИЈА ЗА МЕРЕ И ДРАГОЦЕНЕ МЕТАЛЕ 11000 Београд, Мике Аласа 14, ПП: 34, ПАК: 105 305 телефон: (011) 32-82-736, телефакс: (011) 21-81-668 На основу члана 192. став
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
48. РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 2009/2010. ГОДИНЕ I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство Просвете Републике Ср
I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство Просвете Републике Србије ЗАДАЦИ ГИМНАЗИЈА ВЕЉКО ПЕТРОВИЋ СОМБОР 7.0.00.. На слици је приказана шема електричног кола. Електромоторна сила извора је ε = 50
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
?? ????????? ?????????? ?????? ?? ????????? ??????? ???????? ?? ??????? ??????:
РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 003 АСИНХРОНЕ МАШИНЕ Трофазни асинхрони мотор са намотаним ротором има податке: 380V 10A cos ϕ 08 Y 50Hz p отпор статора R s Ω Мотор је испитан
Betonske i zidane konstrukcije 2
5. STTIČKI PRORČUN PLOČE KRKTERISTIČNOG KT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 44 15 4 4 5. Statički proračun ploče karakterističnog kata 5.1. naliza opterećenja Stambeni prostor: 15 4 5, parket
Субструктура гредних мостова
Субструктура гредних мостова Стубови моста 2 Крајњи стубови - опорци Средњи стубови Крајњи стуб опорац 3 Изглед 4 Пратећи елементи крајњих стубова УЛОГА: Помажу при повезивању трупа пута на насипу и коловоза
_cas 8 temelji i gredni sistemi
Одсек ПЖA Мостови Предавање 8 29. Март 2019. Типови темеља Плитко фундирање Дубоко фундирање Шипови Бунари Кесони Извођење на сувом и извођење у воденој препреци др Снежана Машовић Школска 2018/19 2 Плитко
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
Rucka.dft
Средња машинска школа РАДОЈЕ ДАКИЋ АУТОДИЗАЛИЦА ТАРА Милош Мајсторовић Средња машинска Прорачун: школа Аутодизалице " Тара " Пројекат РАДОЈЕ ДАКИЋ Лист ПРОРАЧУН НОСИВОСТИ АУТОДИЗАЛИЦЕ " ТАРА " ПОДАЦИ:
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година