Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku Različite karakterizacije proizvoda projektora Master rad Mentor: Prof. dr. D

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku Različite karakterizacije proizvoda projektora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragana Cvetković-Ilić Student: Miljan Ilić Niš, 2019.

Sadržaj 1 Uvod 1 2 Osnovni pojmovi i teoreme 2 2.1 Metrički i vektorski prostori................... 2 2.2 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori............ 5 2.3 Kvocijent prostori i direktna suma prostora.......... 7 2.4 Projektori, ortogonalni projektori i ortogonalnost....... 10 2.5 Parcijalna izometrija....................... 15 2.6 Ograničeni linearni operatori................... 16 2.7 Hilbert adjungovani operator................... 17 3 Proizvod idempotentnih operatora 19 3.1 Skup QQ............................. 19 3.2 Skupovi (QQ) T i [QQ] T..................... 25 3.3 Razlaganje operatora u QQ................... 33 4 Proizvod ortogonalnih projektora i polarne dekompozicije 37 4.1 Uvodni rezultati.......................... 37 4.2 Operatori oblika P Q, P, Q P.................. 38 4.3 Operatori oblika P QP, P, Q P................. 43 4.4 Polarna dekompozicija za P Q, P, Q P............. 48 4.5 Moore-Penrose-ov inverz za P Q................. 51 Literatura 57 Biografija 57

1 Uvod Neka je H Hilbertov prostor. Sa L(H) označimo algebru svih ograničenih linearnih operatora na H, dok skup svih idempotenata na H označavamo sa Q = {E L(H) : E 2 = E}, a skup ortogonalnih projektora na H sa P = {P Q : P = P }. Tema ovog rada biće karakterizacija skupova proizvoda ovih operatora. Izložićemo rezultate rada [2] u kome je razmatran skup X := PP = {P Q : P, Q P}. To je dalo motivaciju za izučavanje njegovog daleko šireg nadskupa QQ = {P Q : P, Q Q}, kao i skupa {P QP : P, Q P}. Razmatraćemo skup svih dekompozicija operatora T QQ, {(E, F ) Q Q : T = EF } i pokazati da u slučaju T PP postoji najoptimalnija dekompozicija operatora, naime T = P R(T ) P N(T ). Rad je podeljen na tri dela. U prvom delu su dati uvodni rezultati koji su nam potrebni u daljem radu. Tu su izloženi osnovni pojmovi i teoreme funkcionalne analize (ograničeni linearni operatori, Hilbert adjungovani operator, idempotenti i ortogonalni projektori, direktna suma potprostora, teorema o ortogonalnoj dekompoziciji, Banahovi i Hilbertovi prostori). U drugom delu se koncentrišemo na skup QQ i njegove karakterizacije. Pokazujemo da svako T L(H) takvo da je (R(T ), N(T )) X pripada skupu QQ, gde je X skup svih parova zatvorenih potprostora od H. Bavićemo se i skupovima (QQ) T = {(E, F ) Q Q : T = EF } i [QQ] T = {(E, F ) (QQ) T : R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T )} i nekim njihovim karakterizacijama, koje će nam zajedno sa projektorom H F,E, za koji važi R(H F,E ) = R(F ) i N(H F,E ) = N(E), pomoći u davanju novog opisa skupa QQ. Glavu završavamo davanjem dovoljnog uslova da operator T L(H) pripada u QQ, u slučaju da je dimenzija prostora konačna. U trećoj glavi se bavimo nekim svojstvima operatora skupa X i dajemo karakteriazciju skupa X T = {(P, Q) : P, Q P, T = P Q}, za T X. Pokazujemo i da kanonska faktorizacija T = P R(T ) P N(T ) ima neka optimalna svojstva. Govorićemo o skupovima D = {P QP : P, Q P} i D S = {(P, Q) P P : S = P QP }, kao i o rešavanju problema min{ P Q : (P, Q) D S }, za svaki S D. Takod e ćemo dati karakterizaciju skupa J X izometrijskih delova operatora iz X i pokazati da je X = {V 2 : V J X }. Zahvalio bih se svom mentoru, prof. dr. Dragani Cvetković-Ilić na podršci i pomoći prilikom izrade ovog rada. 1

2 Osnovni pojmovi i teoreme 2.1 Metrički i vektorski prostori Definicija 2.1.1. Neka je X neprazan skup. Funkcija d : X X R je metrika na skupu X ako zadovoljava sledeće uslove: 1. d(x, y) 0, za svako x, y X 2. d(x, y) = 0 ako i samo ako je x = y 3. d(x, y) = d(y, x), za svako x, y X 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), za svako x, y, z X. Ured en par (X, d) je metrički prostor. Neka je (X, d) metrički prostor, a X i r > 0. Skupovi K(a, r) = {x X : d(x, a) < r}, K[a, r] = {x X : d(x, a) r}, nazivaju se, respektivno, otvorena i zatvorena kugla u X sa centrom a i poluprečnikom r. Niz (x n ) n u (X, d) konvergira ka x X ako d(x n, x) 0 kada n. Funkcija f sa metričkog prostora X u metrički prostor Y je neprekidna u tački a X ako za svako ε > 0, postoji δ > 0, tako da iz d(x, a) < δ sledi d(f(x), f(a)) < ε. Za podskup E metričkog prostora X kažemo da je ograničen ako je sadržan u nekoj kugli (otvorenoj ili zatvorenoj) prostora X. Tačka a E je unutrašnja tačka skupa E ako postoji r > 0 tako da je K(a, r) E. Skup svih unutrašnjih tačaka označava se sa inte. Skup E je otvoren ako je E = inte. Tačka a X je atherentna tačka skupa E ako i samo ako postoji niz (a n ) n u E koji konvergira ka a. Skup svih atherentnih tačaka skupa E označavamo sa E i nazivamo zatvorenje skupa E. Podskup E metričkog prostora X je zatvoren ako i samo ako za svaki niz (x n ) n iz E za koji je lim x n = x, x X, n sledi x E tj. ako i samo ako je E = E. Skup E je otvoren ako i samo ako je skup X \ E zatvoren. Neka su X i Y metrički prostori i neka je funkcija f : X Y. Inverzna slika skupa E Y funkcijom f je skup f 1 (E) = {x X : f(x) E}. 2

Inverzna slika zatvorenog (otvorenog) skupa u Y neprekidnom funkcijom f je zatvoren (otvoren) skup u X. Skup E X je gust u X ako je E = X. Prostor X je separabilan ako postoji najviše prebrojiv skup E X koji je gust u X. Skup K X je kompaktan ako svaki niz tačaka (x n ) n u K sadrži konvergentan podniz čija je granična vrednost u K. Skup K X je relativno kompaktan ako je K kompaktan skup. Niz tačaka (x n ) n metričkog prostora (X, d) je Košijev niz ako za svako ε > 0, postoji n 0 N, tako da iz m, n n 0 sledi d(x m, x n ) < ε. Svaki konvergentan niz je Košijev. Obrnuto u opštem slučaju ne važi. Metrički prostor (X, d) je kompletan ako je u njemu svaki Košijev niz konvergentan. Neka je X neprazan skup i K polje realnih brojeva R ili polje kompleksnih brojeva C. Neka je definisana operacija + na skupu X koja je asocijativna, komutativna i za koju postoji neutralni element 0 u odnosu na koju je svaki element invertibilan (x + 0 = 0 + x = x i postoji ( x) X tako da važi x + ( x) = ( x) + x = 0 za svako x X ). Neka je definisana operacija : K X X (pišemo α x = αx) tako da su zadovoljeni sledeći uslovi: 1. 1x = x, za svako x X 2. α(x + y) = αx + αy, za svako α K i za svako x, y X 3. (α + β)x = αx + βx, za svako α, β K i za svako x X 4. α(βx) = (αβ)x, za svako α, β K i za svako x X U tom slučaju za ured enu trojku (X, +, ) kažemo da je vektorski prostor nad K. Obično kažemo X je vektorski prostor nad K. Ako su x 1, x 2,..., x n X i α 1, α 2,..., α n K, vektor α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n se zove linearna kombinacija vektora x 1, x 2,..., x n. Skup svih linearnih kombinacija vektora iz skupa A X zove se lineal nad skupom A u oznaci Lin(A) = {α 1 x 1 + + α n x n : x 1, x 2,..., x n X, α 1, α 2,..., α n K, n N}. Vektori x 1, x 2,..., x n X su linearno nezavisni ako iz α 1 x 1 + + α n x n = 0 sledi α 1 = α 2 = = α n = 0. Vektori x 1, x 2,..., x n X su linearno 3

zavisni ako nisu linearno nezavisni. Familija {x i : i I} vektora prostora X je linearno nezavisna ako je za svaki konačan podskup I 0 I, familija {x i : i I 0 } linearno nezavisna. Familija {e i : i I} je algebarska (Hamelova) baza vektorskog prostora X ako je ona linearno nezavisna i ako za skup E = {e i : i I} važi Lin(E) = X. Teorema 2.1.1. Važe sledeća tvrd enja: 1. Svaki vektorski prostor ima bar jednu algebarsku bazu. 2. Svake dve algebarske baze imaju isti kardinalni broj. Kardinalni broj bilo koje algebarske baze vektorskog prostora X naziva se (algebarska) dimenzija prostora X i označava se sa dim X. Ako je kardinalni broj algebarske dimenzije beskonačan, pišemo dim X = i kažemo da je prostor beskonačno-dimenzionalan. Ako je dim X < kažemo da je prostor konačno-dimenzionalan (dim{0} = 0). Definicija 2.1.2. Za neprazan podskup P X kažemo da je potprostor vektorskog prostora X ako zadovoljava: 1. x, y P x + y P 2. x P α K αx P. Neka su X i Y vektorski prostori nad istim poljem skalara K. Preslikavanje A : X Y je linearno ako važi A(αx + βy) = αa(x) + βa(y), za svako x, y X i svako α, β K. Pišemo Ax umesto A(x). Skup svih linearnih preslikavanja sa X u Y, označavamo sa L(X, Y), i to je vektorski prostor sa uobičajnim algebarskim operacijama. Za A, B L(X, Y) i α K, x X važi (A + B)x = Ax + Bx, (αa)x = αax. Nula u prostoru L(X, Y) je preslikavanje 0 definisano sa 0x = 0, za svako x X. Element prostora L(X, Y) nazivamo (linearan) operator. Ako je X = Y, umesto L(X, Y) pišemo L(X ). Identičan operator I L(X ) je definisan sa Ix = x, za svako x X. Kada je potrebno naglasiti na kom je prostoru definisan identičan operator često se umesto I piše I X. 4

Jezgro operatora A, u oznaci N (A), je skup N (A) = {x X : Ax = 0} Slika operatora A, u oznaci R(A), je skup R(A) = {Ax : x X }. Jezgro i slika operatora A su potprostori, respektivno, u X i Y. A je injektivno preslikavanje ako i samo ako je N (A) = {0}. A je surjektivno preslikavanje ako i samo ako je R(A) = Y. Ako je A injektivno i surjektivno preslikanje tada je A bijektivno preslikavanje, a kako se radi o linearnom preslikavanju, tada se za A kaže da je izomorfizam vektorskih prostora X i Y. Ako je A izomorfizam, tada postoji inverzno preslikavanje A 1 L(Y, X ) preslikavanja A tako da je AA 1 = I Y i A 1 A = I X. Lema 2.1.1. Neka su X i Y vektorski prostori i A L(X, Y) injektivno preslikavanje. Ako je familija {x i : i I} linearno nezavisna, tada je i familija {Ax i : i I} linearno nezavisna. Teorema 2.1.2. Dva vektorska prostora su izomorfna ako i samo ako imaju jednake dimenzije. 2.2 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori Definicija 2.2.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K. Normom na X nazivamo funkciju : X R koja zadovoljava sedeće uslove: 1. x 0, za svako x X 2. x = 0 ako i samo ako x = 0 3. λx = λ x, za svako λ K i svako x X 4. x + y x + y, za svako x, y X. Par (X, ) naziva se normirani prostor (obično kažemo X je normiran prostor). Ako je X normiran prostor i dimenzija vektorskog prostora X konačna (beskonačna), tada se kaže da je normiran prostor X konačno-dimenzionalan (beskonačno-dimenzionalan). 5

Definicija 2.2.2. Neka je X normiran prostor i funkcija d : X X R definisana sa d(x, y) = x y, za svako x, y X. Tada je (X, d) metrički prostor. Za funkciju d se kaže da je metrika definsana normom ili prirodna metrika na normiranom prostoru. Kako je (X, ) normirani prostor ujedno i metrički prostor (X, d), to se svi pojmovi i stavovi za metričke prostore na prirodan način prenose i na normirane prostore. Definicija 2.2.3. Normirani prostor X je Banahov ako je (X, d) kompletan metrički prostor, gde je d metrika definisana normom. Teorema 2.2.1. Svaki konačno-dimenzionalni potprostor normiranog prostora je komletan (Banahov). Teorema 2.2.2. Svaki konačno-dimenzionalni potprostor Y normiranog prostora X je zatvoren u X. Teorema 2.2.3. Neka je Y potprostor Banahovog prostora X. Y je kompletan ako i samo ako je Y zatvoren. Definicija 2.2.4. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru X je funkcija s : X X C koja zadovoljava sledeće uslove: 1. s(λ 1 x 1 + λ 2 x 2, y) = λ 1 s(x 1, y) + λ 2 s(x 2, y), za svako λ 1, λ 2 C i svako x 1, x 2, y X 2. s(x, λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 s(x, y 1 ) + λ 2 s(x, y 2 ), za svako λ 1, λ 2 C i svako x, y 1, y 2 X 3. s(x, y) = s(y, x), za svako x, y X 4. s(x, x) 0, za svako x X 5. s(x, x) = 0 ako i samo ako x = 0. Ured eni par (X, s) naziva se unitaran prostor. U unitarnom prostoru skalarni proizvod se obično ozačava sa (, ), tj. (x, y) = s(x, y) za svako x, y X. Kao i kod normiranog prostora, obično se kaže X je unitaran prostor. 6

Definicija 2.2.5. Neka je X unitaran prostor. Za normu x = (x, x) 1 2, x X, kaže se da je norma definisana skalarnim proizvodom. Podrazumeva se da je unitaran prostor X normiran prostor sa ovom normom. Ako je unitaran prostor X Banahov, tada se za X kaže da je Hilbertov prostor. Teorema 2.2.4 (Polarizaciona jednakost). Ako je X kompleksan unitaran prostor, tada za svako x, y X imamo (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) + i 4 ( x + iy 2 x iy 2 ). Ako je X realan unitaran prostor, tada za svako x, y X imamo (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ). 2.3 Kvocijent prostori i direktna suma prostora Ako je Y potprostor vektorskog prostora X, tada je kvocijent prostor (faktor prostor, količnik prostor) X /Y = {x + Y : x X } vektorski prostor, sa operacijama sabiranje vektora (x + Y ) + (y + Y ) = (x + y) + Y, za svako x, y X, i množenja vektora skalarom λ(x + Y ) = λx + Y, za svako λ K i svako x X. Napomenimo da je Y nula u vektorskom prostoru X /Y. Teorema 2.3.1. Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X i Y : X /Y R funkcija definisana sa x + Y Y = inf{ x + y : y Y } Tada je Y norma na vektorskom prostoru X /Y. Definicija 2.3.1. Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X. Norma Y naziva se kvocijent norma na vektorskom prostoru X /Y. 7

Neka su M i N potprostori vektorskog prostora X. Tada skup Z = M + N = {x + y : x M, y N} označava sumu potprostora M i N i on je takod e potprostor prostora X. Ako je M N = {0}, kažemo da je Z direktana suma potprostora M i N, i u tom slučaju koristi se oznaka Z = M N. Ako je X = M N, kaže se da je potprostor N algebarski komplement potprostora M. Teorema 2.3.2. U vektorskom prostoru X svaki potprostor ima algebarski komplement. Neka važi X = M N, gde su M i N potprostori vektorskog prostora X. Posmatrajmo preslikavanje Q M : X X /M definisano sa Q M x = x + M, za svako x X i njegovu restrikciju na N, u oznaci Q : N X /M. Preslikavanje Q M je linearno preslikavanje, pa je takvo i preslikavanje Q. Neka je Qx = M za neko x N. Tada je x + M = M tj. x M. Kako je N M = {0} sledi x = 0. Dakle, Q je injektivno preslikavanje. Neka je Y X /M proizvoljno. Tada postoji x X tako da je Y = x + M. Kako je X = M N sledi x = x 1 + x 2 za x 1 M i x 2 N. Imamo Y = x + M = Q M (x 1 + x 2 ) = x 1 + M + x 2 + M = x 2 + M = Qx 2. Sledi Q je surjektivno preslikavanje. Dokazali smo da je Q izomorfizam tj. vektorski prostori N i X /M su izomorfni, pa na osnovu Teoreme 2.1.2 sledi da je dim N = dim X /M. Definicija 2.3.2. Kodimenzija prostora M, u oznaci codimm, je definisana sa codimm = dim X /M. Lema 2.3.1. Neka su M, N X potprostori vektorskog prostora X tako da je M N = {0}. Tada je dim N codimm. Dokaz. Preslikavanja Q je linearno i injektivno. Na osnovu Leme 2.1.1 sledi dim N dim X /M = codimm. 8

Lema 2.3.2. Neka su X i Y vektorski prostori i A L(X, Y). codimn (A) = dim R(A). Dokaz. Neka je preslikavanje A 1 : X /N (A) R(A) dato sa Tada je A 1 (x + N (A)) = Ax. Lako se pokazuje da je preslikavanje A 1 izomorfizam, pa sledi codimn (A) = dim X /N (A) = dim R(A). Teorema 2.3.3. Bilo koja dva algebarska komplementa potprostora M imaju jednaku dimenziju i ona je jednaka codimm. Teorema 2.3.4 (Kato). Neka su X i Y Banahovi prostori i A B(X, Y). Ako je Z zatvoren potprostor u Y takav da je R(A) Z zatvoren potprostor u Y, tada je R(A) zatvoren potprostor u Y. Posledica 2.3.1. Neka su X i Y Banahovi prostori i A B(X, Y). Ako je Y/R(A) konačno-dimenzionalan prostor, tada je R(A) zatvoren potprostor u Y. Lema 2.3.3. Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem K, A L(X, Y) i potprostor M X tako da je X = M N (A). Tada je preslikavanje A M : M R(A), definisano sa A M x = Ax za svako x M, izomorfizam. Dokaz. Neka je A M x = 0 za neko x M. Tada je x N (A). Kako je N (A) M = {0} sledi x = 0. Dakle, A M je injektivno preslikavanje. Neka je y Y proizvoljno. Tada postoji x X tako da je y = Ax. Kako je X = M N (A) sledi x = x 1 + x 2 za x 1 M i x 2 N (A). Imamo y = A(x 1 +x 2 ) = Ax 1 +Ax 2 = A M x 1. Sledi preslikavanje A M je surjektivno. A M je linearno, pa sledi A M je izomorfizam. Definicija 2.3.3. Ako je X normiran prostor, M i N zatvoreni potprostori u X i X = M N, tada se kaže da je potprostor N topološki komplement potprostora M, i da je X topološka direktna suma potprostora M i N. Teorema 2.3.5. Svaki konačno-dimenzionalni potprostor M X normiranog prostora X ima topološki komplement tj. postoji zatvoren potprostor N u X takav da je X = M N. 9

Teorema 2.3.6. Ako je M zatvoren potprostor normiranog prostora X i codimm < tada postoji zatvoren potprostor N u X tako da je X = M N. Teorema 2.3.7. Neka je M zatvoren potprostor Banahovog prostora X. Tada postoji zatvoren potprostor N u X tako da je X = M N ako i samo ako postoji projektor P B(X ) takav da je R(P ) = M. 2.4 Projektori, ortogonalni projektori i ortogonalnost Neka je X unitaran prostor i x, y X. Ako je (x, y) = 0, kaže se da je x ortogonalan na y, i označava sa x y. Kako iz (x, y) = 0 sledi (y, x) = 0, to je simetrična relacija. Ako su E i F podskupovi u X i ako je svaki vektor iz E ortogonalan na svaki vektor iz F, tada je skup E ortogonalan na skup F, i to se označava sa E F. Očigledno je tada i F E. Ako E X, tada E označava skup svih y X takvih da je y x, za svako x E. Skup E naziva se ortogonalni komplement skupa E. Obično se piše E umesto (E ). Teorema 2.4.1 (Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji). Neka je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Za z X, postoje jednoznačno odred eni vektori x M i y M tako da je z = x + y. Prema tome X = M M i ova direktna suma naziva se ortogonalna suma. Definicija 2.4.1. Neka je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Tada se svako x X može na jedinstven način prikazati kao x = x 1 + x 2, gde je x 1 M i x 2 M. Preslikavanje P : X X defenisano sa P x = x 1 naziva se ortogonalni projektor i označava sa P M. Teorema 2.4.2. Ako su E i F podskupovi unitarnog prostora X tada važi: 1. E je zatvoren potprostor u X 2. E E {0} 10

3. X = {0}, {0} = X 4. Ako je E F tada je F E 5. E E 6. E = E. Ako je M potprostor Hilbertovog prostora X tada: 7. M = M = Lin(M) = Lin(M) 8. M M = {0} 9. M = M 10. M = X M = {0}. Definicija 2.4.2. Podskup E unitarnog prostora X je ortogonalan ako iz x, y E i x y sledi x y. Ortogonalan skup E je ortonormiran ako je norma svakog elementa iz E jednaka 1. Ortonormiran skup E je kompletan (potpun, maksimalan) ako nije pravi podskup nijednog ortonormiranog skupa u X. Teorema 2.4.3. Ako je X {0}, tada X sadrži kompletan ortonormiran skup. Teorema 2.4.4 (Pitagorina teorema). Neka je {x 1, x 2,..., x n } ortogonalan podskup unitarnog prostora X. Tada je n x k 2 = k=1 n x k 2. k=1 Teorema 2.4.5 (Beselova nejednakost). Neka je {e n : n N} ortonormiran skup u unitarnom prostoru X. Tada je (x, e i ) 2 x 2. i=1 Teorema 2.4.6. Neka je {e i : i I} ortonormiran skup u unitarnom prostoru X i x X. Tada je (x, e i ) = 0 za najviše prebrojivo mnogo i I. 11

Definicija 2.4.3. Neka je {e i } i I ortonormiran skup u unitarnom prostoru X i x X. Skalari α i = (x, e i ), i I, nazivaju se Furijeovi koeficijenti elementa x u odnosu na ortonormirani skup {e i } i I. Teorema 2.4.7. Neka je {e i } i I ortonormiran skup u Hilbertovom prostoru X. Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. Skup {e i } i I je kompletan 2. Ako je x X, i (x, e i ) = 0 za svako i I, tada je x = 0 3. X je najmanji zatvoren potprostor koji sadrži skup {e i } i I 4. Ako je x X, tada je x = i I (x, e i )e i (Furijeov razvoj) 5. Ako x, y X, tada je (x, y) = i I (x, e i )(e i, y) (Parsevalova jednakost) 6. Ako je x X, tada je x 2 = i I (x, e i ) 2 (Parsevalova jednakost). Definicija 2.4.4 (Hilbertova baza). Neka je {e i } i I ortonormiran skup u Hilbertovom prostoru X. Ako je X najmanji zatvoren potprostor koji sadrži skup {e i } i I, tada je skup {e i } i I Hilbertova (ortonormirana) baza prostora X. Teorema 2.4.8. Svaki Hilbertov prostor ima ortonormiranu bazu. Teorema 2.4.9. Sve ortonormirane baze u Hilbertovom prostoru imaju isti kardinalni broj. Taj broj nazivamo Hilbertova (ortogonalna) dimenzija prostora. Kako je svaki ortonormirani skup i linearno nezavisan, to ortogonalana dimenzija nije veća od algebarske dimenzije. Ako je bar jedna od ovih dimenzija konačna, tada je konačna i druga i one su jednake. Definicija 2.4.5. Unitarni prostori (X, (, ) 1 ) i (Y, (, ) 2 ) su izomorfni ako postoji izomorfizam A vektorskih prostora X i Y takav da je (Ax, Ay) 2 = (x, y) 1, za svako x, y X. 12

Teorema 2.4.10. Hilbertovi prostori su izomorfni ako i samo ako imaju iste ortogonalne dimenzije. Teorema 2.4.11. U separabilnom unitarnom prostoru svaka ortonormirana familija je najviše prebrojiva. Preslikavanje P : X X je idempotent ako je P 2 = P. Linearni idempotent naziva se projektor. Operatori 0 i I su trivijalni projektori. Za svaki projektor važi R(P ) = {x X : P x = x}. P je projektor ako i samo ako je I P projektor, i u tom slučaju je R(P ) = N (I P ) i N (P ) = R(I P ). Takod e, za svaki projektor P, potprostori R(P ) i N (P ) su algebarski komplementarni tj. P odred uje razlaganje prostora X na direktnu sumu X = R(P ) N (P ). Sa druge strane, svaka direktna suma prostora X odred uje projektor. Zaista, ako je X = M N, tada se svako x X može jednoznačno prikazati kao x = x 1 + x 2, gde je x 1 M i x 2 N. Preslikavanje P : X X, definisano sa P x = x 1 je projektor, i važi R(P ) = M i N (P ) = N. Kaže se da je P projektor na M paralelno sa N i označava sa P M,N. Kako je N (A) = A 1 {0}, to je N (A) zatvoren potprostor za proizvoljni A B(X, Y), gde su X i Y unitarni prostori. Sledi, ako je P B(X ) projektor, tada su R(P ) = N (I P ) i N (P ) zatvoreni potprostori. Definicija 2.4.6. Ako je X normirani prostor, M i N zatvoreni potprostori u X i X = M N, onda se kaže da je potprostor N topološki komplement potprostora M, i da je X topološka direktna suma potprostora M i N. Poznato je da u Hilbertovom prostoru X svaki zatvoren potprostor M ima topološki komplement, a na osnovu Teoreme 2.4.1 takav jedan komplement je M. Definicija 2.4.7. Neka je X Hilbertov prostor i M zatvoren potprostor u X. Kako je X = M M, tada se svako x X može na jedinstven način prikazati kao x = x 1 + 2 gde je x 1 M i x 2 M. Preslikavanje P : X X, definisano sa P x = x 1 naziva se ortogonalan projektor, ili preciznije ortogonalan projektor na M i često se označava sa P M. Iz P = P 2 P P, ako je 0 P, sledi da je 1 P. U Hilbertovom prostoru projektori sa normom 1 su opisani sledećom teoremom. 13

Teorema 2.4.12. Neka je X Hilbertov prostor i P B(X ). projektor i P 0, tada su sledeći uslovi ekvivalentni: Ako je P 1. P je ortogonalan projektor 2. P = 1 3. P je hermitski operator 4. P je normalan operator 5. P je pozitivan operator Teorema 2.4.13. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P 1 i P 2 ortogonalni projektori iz B(X ). Tada je P 1 P 2 orotgonalan projektor ako i samo ako je P 1 P 2 = P 2 P 1. U tom slučaju je P 1 P 2 = P R(P1 ) R(P 2 ). Teorema 2.4.14. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P 1 i P 2 ortogonalni projektori iz B(X ). Tada je P 1 + P 2 orotgonalan projektor ako i samo ako je P 1 P 2 = 0. U tom slučaju je R(P 1 ) + R(P 2 ) zatvoren potprostor u X i važi P 1 + P 2 = P R(P1 )+R(P 2 ). Lema 2.4.1. Ako su M 1 i M 2 zatvoreni potprostori u Hilbertovom prostoru X, i P M1, P M2 odgovarajući ortogonalni projektori, tada je M 1 M 2 P M1 P M2 = 0. U vezi sa prethodnom lemom, sledeća definicija deluje prirodno. Definicija 2.4.8. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P i Q ortogonalni projektori iz B(X ). Kaže se da je projektor P ortogonalan na projektor Q, u oznaci P Q, ako je P Q = 0. Teorema 2.4.15. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P 1 i P 2 ortogonalni projektori iz B(X ). Tada su sledeći uslovi ekvivalentni: 1. R(P 1 ) R(P 2 ), 2. P 2 P 1 = P 1, 14

3. P 1 P 2 = P 1, 4. P 1 x P 2 x za svako x X, 5. P 1 P 2, 6. N(P 2 ) N(P 1 ), 7. P 2 P 1 je ortogonalan projektor. Ako važi jedan od gore navedenih uslova (a prema tome i svi uslovi), tada je 2.5 Parcijalna izometrija P 2 P 1 = P R(P2 ) [R(P 1 )]. Definicija 2.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori. Operator V B(X, Y ) je parcijalna izometrija ako je V x = x za svako x N(V ). Potprostori N(V ) i R(V ) nazivaji se, respektivno, početni i krajnji prostor parcijalne izometrije V. Očigledno, ako je V parcijalna izometrija, tada je V 1, i V je izometrija ako i samo ako je N(V ) = {0}. Lema 2.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori. Ako je V B(X, Y ) parcijalna izometrija, tada je slika operatora V, R(V ) zatvoren potprostor u Y. Lema 2.5.2. Neka su X i Y Hilbertovi prostori. Ako je V B(X, Y ) parcijalna izometrija, tada je V parcijalna izometrija i V V = P N(V ) V V = P R(V ). Teorema 2.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i V B(X, Y ). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. V je parcijalna izometrija, 15

2. V j eparcijalna izometrija, 3. V V je ortogonalan projektor, 4. V V je ortogonalan projektor, 5. V V V = V, 6. V V V = V. 2.6 Ograničeni linearni operatori Definicija 2.6.1. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara K. Operator A L(X, Y) je ograničen ako postoji realan broj M 0 tako da je Za x 0, iz definicije sledi: Ax M x, za svako x X. Ax Operator A je ograničen ako i samo ako je sup x 0 x <. Definicija 2.6.2. Neka su X i Y normirani prostori i A L(X, Y) ograničen operator. Norma operatora A, u oznaci A, definisana je sa: Ax A = sup x 0 x. Direkto iz definicije sledi Ax A x, za svako x X. Skup svih ograničenih operatora iz X u Y označavamo sa B(X, Y). Ukoliko je X = Y, umesto B(X, X ) pišemo B(X ). Prostor B(X, K) označava se sa X i naziva prostor linearnih ograničenih funkcionela na X ili dualni prostor prostora X. Neka je Z normiran prostor nad poljem K, S B(X, Y) i T B(Y, Z). Tada je T S B(X, Z) i T S T S. Teorema 2.6.1. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara K. Tada je B(X, Y) vektorski potprostor u L(X, Y) i norma operatora jeste norma na prostoru B(X, Y). Teorema 2.6.2. Neka su X i Y normirani prostori i A L(X, Y). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 16

1. A je ravnomerno neprekidno preslikavanje na X 2. A je neprekidno preslikavanje na X 3. A je neprekidno preslikavanje u tački 0 4. A B(X, Y). Teorema 2.6.3. Neka je X normiran i Y Banahov prostor. Tada je B(X, Y) Banahov prostor. Teorema 2.6.4 (Teorema o ograničenom inverzu). Neka su X i Y Banahovi prostori i A B(X, Y). Ako je operator A bijektivan tada postoji A 1 i A 1 B(Y, X ). Definicija 2.6.3. Neka su X i Y normirani prostori i A B(X, Y). Minimum modul operatora A, označen sa j(a), definiše se sa Ax j(a) = inf Ax = inf x =1 x 0 x Teorema 2.6.5. Neka su X i Y Banahovi prostori i A B(X, Y). Tada važi j(a) > 0 N (A) = {0} i R(A) = R(A). 2.7 Hilbert adjungovani operator Teorema 2.7.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A B(X, Y). Tada postoji jedinstveno odred en operator T B(X, Y) tako da je (Ax, y) = (x, T y), za svako x X i svako y Y. Definicija 2.7.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A B(X, Y). Operator T B(X, Y), definisan prethodnom teoremom, označava se sa A, i naziva Hilbert adjungovani operator operatora A. Teorema 2.7.2. Neka su X, Y i Z Hilbertovi prostori, A, B B(X, Y), C B(Y, Z) i λ C. Tada je: 1. (A y, x) = (y, Ax), za svako x X i svako y Y 2. (A + B) = A + B 17

3. (λa) = λa 4. (CA) = A C 5. (A ) = A 6. A = A 7. A A = AA = A 2 8. 0 = 0 i I = I 9. A A = 0 ako i samo ako A = 0. Teorema 2.7.3. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A B(X, Y). Ako postoji A 1 B(Y, X ), tada postoji (A ) 1 B(X, Y) i (A ) 1 = (A 1 ). Teorema 2.7.4. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A B(X, Y). Tada važi: 1. N (A) = R(A ), N (A ) = R(A) 2. R(A) = N (A ), R(A ) = N (A) 3. N (A A) = N (A), N (AA ) = N (A ) 4. R(A) = R(AA ), R(A ) = R(A A) 5. X = N (A) R(A ), Y = N (A ) R(A). Lema 2.7.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A B(X, Y). Tada je R(A) zatvoren ako i samo ako je R(A ) zatvoren. 18

3 Proizvod idempotentnih operatora 3.1 Skup QQ U ovom poglavlju opisaćemo skup QQ := {EF : E, F Q}, gde je Q := {E L(H) : E 2 = E}. Primetimo da u QQ ne postoje injektivni operatori, ni operatori guste slike, izuzev identičnog operatora. U [2] je( pokazano da, ) ako je P := {E Q : E = E} tada za T PP ured en par P R(T ), P N(T ) ima optimalna svojstva u skupu {(P, Q) P P : T = P Q},to jest za sve P, Q P takve da je T = P Q vazi: ) - R (P R(T ) R(P ), N(P N(T ) ) N(Q). - (P R(T ) P N(T ) )x (P Q)x, za svaki x H. Pokazaćemo da je situacija totalno drugačija u skupu QQ, u smislu da ne postoji takva specifična faktorizacija operatora T QQ i da nije evidentno na koji način definisati optimalnu faktorizaciju za T. Sledeći rezultat je glavni alat u daljem radu. Lema 3.1.1. Neka je T QQ. Tada postoje E, F Q takvi da važi T = EF, R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T ). Dokaz. Neka je T = E F za E, F Q. Trivijalno, R(T ) R(E ) i N(F ) N(T ). Definišemo sledeće operatore E = P R(T ) E i F = F P N(T ). Očito je T = EF. Proverimo sada da E i F zadovoljavaju uslove leme. Prvo, E 2 = P R(T ) E P R(T ) E = P R(T ) E = E zbog toga što važi R(T ) R(E ). Štaviše R(E) R(T ), pa za x R(T ) važi x = P R(T ) E x = Ex, to jest, R(T ) R(E), pa važi R(E) = R(T ). S druge strane, F 2 = F P N(T ) F P N(T ) = F P N(T ) = F, zato što N(F ) N(T ) = N(P N(T ) ). Takod e, N(T ) N(F ) i za x N(F ) važi P N(T ) x N(F ) N(T ). Kako je još i P N(T ) x N(T ), imamo da je P N(T ) x N(T ) N(T ) = {0}, tj. x N(T ) pa je N(F ) N(T ), odnosno N(F ) = N(T ), što je i trebalo dokazati. Treba primetiti da, za proizvoljno T QQ, faktorizacija T = EF gde su E, F Q i važi R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T ) nije jedinstvena. 19

Primer 3.1.1. Neka je data matrica T = 1 1 1 0 0 0 2 i neka su: 2 0 0 2 1 1 3 3 1 0 0 0 1 2 2 2 2 2 E = 0 0 1, F = 1 1 0, E = 0 0 1, F 2 2 = 1 1 2. 2 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Jednostavna računica pokazuje da je T = EF = E F ; E, F, E, F Q i da važi R(E) = R(E ) = R(T ), N(F ) = N(F ) = N(T ). Za T QQ, prethodna lema daje motivaciju za sledeću definiciju: (QQ) T := {(E, F ) Q Q : T = EF } i [QQ] T := {(E, F ) (QQ) T : R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T )}. Često će se koristiti činjenica da (E, F ) [QQ] T ako i samo ako (F, E ) [QQ] T. Iz dokaza Leme 3.1.1 imamo da (P R(T ) E, F P N(T ) ) [QQ] T ako je (E, F ) (QQ) T. Uočimo da je ovime definisano preslikavanje: φ : (QQ) T [QQ] T. (1) Sa oubičajenim oznakama imamo da je, [PP] T = {(P R(T ), P N(T ) )}. U cilju dokazivanja prve karakterizacije skupa QQ, u radu [1] se koristi dobro poznata Daglasova teorema o faktorizaciji operatora [3]. Ovde ćemo navesti jednu jednostavnu generalizaciju njegovog rezultata čiji je dokaz sličan Daglasovom originalnom dokazu, datom u radu [4]: Teorema 3.1.1. Neka su A L(H, K) i B L(F, K). Tada postoji C L(F, H) tako da je AC = B ako i samo ako R(B) R(A). U tom slučaju, ako je M topološki komplement od N(A) tada postoji jedinstveno rešenje X M L(F, H) jednačine AX = B, takvo da R(X M ) M. Operator X M nazivamo redukovanim rešenjem na M jednačine AX = B. Teorema 3.1.2. Neka je T L(H). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T QQ; 2. R(T T 2 ) R(T (I E)), za E Q takav da R(E) = R(T ); 3. R((T T 2 ) ) R(((I F )T ) ), za F Q takav da N(F ) = N(T ). 20

Dokaz. (1 2) Pretpostavimo da je T QQ i neka je (E, F ) [QQ] T. Tada je T T 2 = T (I T ) = EF (I E)F = T (I E)F. Stoga, R(T T 2 ) = R(T (I E)F ) R(T (I E)) gde je E Q i R(E) = R(T ). Obratno, pretpostavimo da je R(T T 2 ) R(T (I E)), za E Q takav da R(E) = R(T ). Tada, po Teoremi 3.1.1, operatorska jednačina T T 2 = T (I E)X ima rešenje u L(H). Sada, kako je N(T (I E)) = N(I E) R(I E) N(T ) = R(T ) N(E) N(T ) i H = R(T ) N(E) sledi da postoji zatvoreni potprostor S N(E) takav da H = N(T (I E)) S, (na primer, S = N(E) N(E) N(T )). Neka je X 0 redukovano rešenje jednačine T T 2 = T (I E)X u S. Primetimo da je EX 0 = 0, to jest T T 2 = T X 0. Štaviše, iz poslednje dve jednakosti može se pokazati da važi T T 2 = T (I E)(X 0 T + X0), 2 to jest da je X 0 T + X0 2 rešenje jednačine T T 2 = T (I E)X sa osobinom R(X 0 T + X0) 2 R(X 0 ) S. Dakle, zbog jedinstvenosti redukovanog rešenja sledi X 0 T + X0 2 = X 0. Sada definišemo F := T + X 0. Dakle, F 2 = (T + X 0 )(T + X 0 ) = T 2 + T X 0 + X 0 T + X0 2 = T 2 + T T 2 + X 0 = T + X 0 = F, to jest F Q i T = EF. Stoga, T QQ. (1 3) Uzumajući u obzir da je T QQ ako i samo ako je T QQ, ekvivalencija sledi direktnom primenom 1 2 na T. Napomena 3.1.1. Ballantine [5] je izložio interesantnu karakterizaciju skupa QQ na skupu matrica. Pokazao je da T C n n pripada skupu QQ ako i samo ako dim R(T I) 2 dim N(T ). Primetimo da Teoremu 3.1.2 možemo protumačiti kao uopštenje ovog rezultata za T L(H). Zapravo, R(T T 2 ) R(T (I E)) ako i samo ako R(T I) R(I E) + N(T ). Stoga, za matrice, ova poslednja inkluzija implicira da je dim R(T I) dim R(I E) + dim N(T ) = 2 dim N(T ), zbog toga što je dim R(I E) = dim N(T ) za sve E Q takve da je R(E) = R(T ). Više reči o ovome biće pri kraju poglavlja. Nadalje ćemo izložiti karakterizaciju skupa QQ vezanu za potprostore. Sa Gr(H) označavamo skup svih zatvorenih potprostora od H, a simbol E S//T označavaće operator iz Q sa slikom S i jezrom T pod uslovom da S, T Gr(H) i S T = H. Ako je T = S, onda se jednostavno piše P S umesto E S//S. Teorema 3.1.3. Neka je T L(H). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T QQ 2. Postoje S, W Gr(H) takvi da važi R(T ) S = H, W N(T ) = H i P S T P W PP. 21

Dokaz. (1 = 2) Neka je T = EF za (E, F ) [QQ] T. Neka su S := N(E) i W := R(F ). Znamo da za svaki operator A Q važi R(A) N(A) = H, dakle, R(T ) S = R(E) N(E) = H i W N(T ) = R(F ) N(F ) = H. Štaviše, P S T P W = P N(E) EF P R(F ) = P S P W PP. (2 = 1) Definišemo E := Q R(T )//S i F := Q W//N(T ) i neka su P 1, P 2 P takvi da P S T P W = P 1 P 2. Bez gubljenja opštosti može se pretpostaviti da je R(P 1 ) = R(P S T P W ) i N(P 2 ) = N(P S T P W ). Dakle, R(P 1 ) S ili, ekvivalentno N(E) = S N(P 1 ) i W N(P 2 ), to jest R(P 2 ) W = R(F ). Stoga, P 1 = P 1 E i F P 2 = P 2. Dakle, (EP 1 ) 2 = EP 1 EP 1 = EP 2 1 = EP 1 i (P 2 F ) 2 = P 2 F P 2 F = P 2 2 F = P 2 F, to jest EP 1, P 2 F Q. Konačno, i time je dokaz završen. T = ET F = EP S T P W F = EP 1 P 2 F QQ Sledeći rezultat, iz rada Antezana [6, Propozicija 4,13], poslužiće za dobijanje još jedne karakterizacije skupa QQ: Teorema 3.1.4. Neka su A, B L(H, K). Sledeći iskazi su ekvivalentni: 1. R(A) R(B A) je zatvoren; 2. Postoji E Q takav da je A = EB. Koristeći navedeni rezultat i uzimajući u obzir da T QQ ako i samo ako T QQ, dobijamo sledeći rezultat: Teorema 3.1.5. Neka je T L(H). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T QQ. 2. Postoji E Q takav da je R(T ) R(E T ) zatvoren. 3. Postoji E Q takvo da je H = N(T ) + N(E T ). Vodeći se istim razmišljanjem dolazimo do sledećih karakterizacija skupova PQ i PP. Teorema 3.1.6. Neka je T L(H). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T PQ. 22

2. Postoji topološki komplement M skupa N(T ) takav da je T x 2 = T x, x, za svaki x M. 3. T T = T E, za neki E Q. 4. R(T T ). + R(T T T ) je zatvoren. Dokaz. (1 = 2) Neka je T = P E gde je P P i E Q. Bez gubljenja opštosti možemo smatrati da je N(E) = N(T ). Neka je M = R(E). Tada, za x M važi sledeće: T x 2 = T x, T x = x, T T x = x, E P P Ex = x, E P 2 Ex = x, E P Ex = x, E P x = P Ex, x = T x, x. Takod e imamo i da je M N(T ) = R(E) N(E) = H (jer je E Q), što je i trebalo pokazati. (2 = 3) Pretpostavimo da važi T x 2 = T x, x za svaki x M, gde je M. + N(T ) = H. Definišemo E := E M//N(T ) Q. Tada je T Ex 2 = T Ex, Ex, za svaki x H. Sada, zbog N(E) = N(T ) biće T E = T, pa je T T x, x = T x 2 = T Ex 2 = T Ex, Ex = T x, Ex = E T x, x, za svaki x H. Dakle, T T = E T, to jest T T = T E. (3 = 1). Pretpostavimo da je T T = T E, za neki E Q. Tada je T T = T P R(T ) E, pa je T = P R(T ) E PQ. (3 4) Ova ekvivalencija sledi na osnovu Teoreme 3.1.4. Teorema 3.1.7. Neka je T L(H). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T PP. 2. T T = T P za neki P P. 3. R(T T ) R(T T T ). Dokaz. (1 2) Ako je T = P R(T ) P N(T ) tada je T T = T P N(T ). Obrnuto, ako je T T = T P za neki P P tada T T = T P R(T ) P pa su T, P R(T ) P redukovana rešenja jednačine T X = T T na N(T ). Stoga, zbog jedinstvenosti redukovanog rešenja imamo da važi T = P R(T ) P PP, što je i trebalo pokazati. 23

(1 3) Ako je T = P 1 P 2 za P 1, P 2 P onda je T T = P 2 P 1 P 2 i T T T = (I P 2 )P 1 P 2. Odavde zaključujemo da je R(T T T ) R(I P 2 ) i R(T T ) R(P 2 ). Stoga je R(T T ) R(T T T ). Obrnuto, pretpostavimo da je R(T T ) R(T T T ). Tada je R(T T T ) N(P R(T T ) ) pa je P R(T T ) T = P R(T T ) (T T T +T T ) = P R(T T ) (T T T )+ P R(T T ) T T = 0+P R(T T ) T T = T T. Dakle, T T = T P R(T T ) = T P R(T T ), a kako su uslovi 1 i 2 ekvivalentni, sledi da je T PP. Primeri: Neka je sa Gr(H) označena Grassman-ova višestrukost od H, to jest skup svih zatvorenih potprostora M od H. Lauzon i Treil [8] su predstavili razlaganje skupa X svih parova zatvorenih potprostora Hilbertovog prostora H koji imaju zajednički direktan komplement, X = {(M, N ) : M, N Gr(H), S Gr(H) gde je M. + S = N. + S = H}. Videćemo i da svaki T L(H) takav da (R(T ), N(T )) X pripada skupu QQ. Ovde navodimo i karakterizaciju skupa X iz rada [1] gde je pokazano da za M, N Gr(H) važi da (M, N ) X ako i samo ako postoji T PQ takav da je R(T ) = N i N(T ) = M. Teorema 3.1.8. Neka je T L(H). Ako R(T ) i N(T ) imaju zajednički topološki komplement onda je T QQ. Dokaz. Neka je S Gr(H) takav da je H = R(T ). + S = N(T ). + S i definišemo E = Q R(T )//S. Dakle, R(T (I E)) = T (S) = R(T ) gde poslednja jednakost važi zbog toga što je N(T ). + S = H. Kako je R(T T 2 ) R(T ), imamo da važi R(T T 2 ) R(T (I E)). Stoga, prema Teoremi 3.1.2, važiće da je T QQ. Obrat prethodne posledice je u opšte slučaju netačan. Na primer, ako posmatramo E Q tako da dim(r(e)) dim(n(e)), trivijalno će biti E = EE QQ, a R(E) i N(E) možda neće imati zajednički komplement. Teorema 3.1.9. Neka su S, T dva zatvorena potporostora od H. Tada S i T imaju zajednički topološki komplement u H ako i samo ako postoji T PQ takav da R(T ) = T i N(T ) = S. Dokaz. Pretpostavimo da postoji zatvoren potprostor W takav da H = S +. W = T +. W. Definišemo E = E W//S i T = P T E PQ. Tvrdimo da 24

važi R(T ) = T i N(T ) = S. Zaista, R(T ) = P T (W) = R(P T ) = T zato što je H = T. + W i N(T ) = N(E) + R(E) N(P T ) = S + W T = S, jer W T = {0}. Obratno, neka je T PQ tako da važi R(T ) = T i N(T ) = S. Tada je T = P T Q W//S za neki komplement W od S. Dakle, kako je R(T ) = T, imamo da je H = W + T. S druge strane, kako je S = N(T ) = S. + W T, imamo da je W T = {0}, to jest, H = W. + T. Dakle, W je zajednički komplement za S i T. Primer 3.1.2. Koristeći Teoreme 3.1.2 i 3.1.8 dolazimo do sledećih primera operatora iz QQ: 1. Ako je dim(r(t ) R(T )) = dim(n(t ) N(T )) tada, prema [8, Primedba 0.4], R(T ) i N(T ) imaju zajednički topološki komplement. Otuda je, prema Teoremi 3.1.8, T QQ. Specijalno, ako je T normalan operator za koji važi dim(r(t )) = dim N(T ) onda je T QQ. S druge strane, primetimo da ako je T PP normalan operator onda je T P. Zaista, ako je T PP tada T = P R(T ) P N(T ), ali pošto je T normalan onda je R(T ) = N(T ), pa je T = P N(T ) P. 2. Ako je T 2 = 0 onda je T QQ. Zaista, R(T T 2 ) = R(T ) = R(T (I P R(T ) )), gde poslednja jednakost važi zato što je R(T ) N(T ). Sada je, na osnovu Teoreme 3.1.2, T QQ (štaviše T PQ). Takod e pogledati [9, Teorema 6.1]. S druge strane, primetimo da ako važi T 2 = 0 i T PP onda je T = 0. Zaista, ako je T 2 = 0 onda je R(T ) N(T ) N(T ) R(T ) pa je T = P R(T ) P N(T ) = 0. 3.2 Skupovi (QQ) T i [QQ] T Ovaj odeljak je posvećen izučavanju skupova (QQ) T i [QQ] T, za T QQ. S tim u vezi, prvo ćemo navesti konekciju izmed u ova dva skupa, koja je obrad ena u radu [1]. Naime, tamo je data karakterizacija skupa (QQ) T pomoću [QQ] T : Teorema 3.2.1. Neka je T QQ. Tada važi, (QQ) T = {(E, F ) Q Q : E = E 0 + E 1, F = F 0 + F 1, za E 1, F 1 Q, (E 0, F 0 ) [QQ] T, i E 0 F 1 = E 1 F 0 = E 1 F 1 = 0}. 25

Dokaz. Neka je (E, F ) (QQ) T i definišemo E 0 := P R(T ) E i F 0 := F P N(T ). Iz dokaza Leme 3.1.1, imamo da važi (E 0, F 0 ) [QQ] T. Označimo sa E 1 = E E 0 = (I P R(T ) )E i F 1 = F F 0 = F (I P N(T ) ). Dakle, E 2 1 = (I P R(T ) )E(I P R(T ) )E = (I P R(T ) )(E EP R(T ) )E = (I P R(T ) )(E P R(T ) )E = (I P R(T ) )(E 2 P R(T ) E) = (I P R(T ) )(E P R(T ) E) = (I P R(T ) )(I P R(T ) )E = (I P R(T ) )E = E 1, gde treća jednakost važi zato što R(T ) R(E) (T = EF ). Stoga, E 1 Q. Analogno, iz činjenice da N(F ) N(T ) (T = EF ), imamo da važi sledeće F 2 1 = F (I P N(T ) )F (I P N(T ) ) = F (F P N(T ) F )(I P N(T ) ) = F (F P N(T ) )(I P N(T ) ) = (F 2 F P N(T ) )(I P N(T ) ) = (F F P N(T ) )(I P N(T ) ) = F (I P N(T ) ) = F 1, odnosno, F 1 Q. Konačno, E 0 F 1 = P R(T ) EF (I P N(T ) ) = P R(T ) T (I P N(T ) ) = 0, E 1 F 1 = (I P R(T ) )EF (I P N(T ) ) = (I P R(T ) )T (I P N(T ) ) = 0 E 1 F 0 = (I P R(T ) )EF P N(T ) = (I P R(T ) )T P N(T ) = 0, što je i trebalo pokazati. Što se tiče obrnute inkluzije, neka je (E, F ) Q Q sa pomenutim svojstvima. Pokažimo sada da je (E, F ) (QQ) T. Treba samo pokazati da je T = EF. Dakle, EF = (E 0 + E 1 )(F 0 + F 1 ) = E 0 F 0 + E 0 F 1 + E 1 F 0 + E 1 F 1 = E 0 F 0 = P R(T ) EF P N(T ) = T Time je dokaz završen. Teorema 3.2.2. Neka je T QQ. Tada važi, { [QQ] T = (E, F ) Q Q : R(E) = R(T ), R(T T 2 ) R(T (I E)) i F = T + (I E)XP N(T ) } T T 2 = T (I E)X gde je X rešenje jednačine 26

{ [QQ] T = (E, F ) Q Q : N(F ) = N(T ), R((T T 2 ) ) R((T (I F )) ), i E = T + P R(T ) X(I F ) gde je X rešenje jednačine } T T 2 = X(I F )T Dokaz. Neka je (E, F ) [QQ] T. Tada je, očigledno, R(E) = R(T ). Štaviše, F = EF + (I E)F = T + (I E)F P N(T ) jer N(F ) = N(T ) i jasno je da T T 2 = T (I E)F. Obratno, neka je (E, F ) Q Q gde je R(E) = R(T ) i F = T + (I E)XP N(T ) za neki X L(H) takav da T T 2 = T (I E)X. Primetimo da je egzistencija takvog X zagarantovana zbog toga što R(T T 2 ) R(T (I E)). Očigledno, EF = ET = T i N(F ) = N(T ). Ostaje da pokažemo da je F Q. Primetimo prvo da iz T T 2 = T (I E)X sledi (I E)X = I T +Z, za neki Z L(H) takav da R(Z) N(T ). F 2 = T 2 + T (I E)XP N(T ) + (I E)XP N(T ) (T + (I E)XP N(T ) ) = T 2 + (T T 2 ) + (I E)XP N(T ) (T + (I E)XP N(T ) ) = T + (I E)XP N(T ) (T + P N(T ) T + ZP N(T ) ) = T + (I E)XP N(T ) = F Stoga, (E, F ) [QQ] T i time je prva jednakost dokazana. Analogno, ali radeći sa T QQ, dokazuje se i druga jednakost. Za T QQ svaki par (E, F ) [QQ] T može da se dovede u vezu sa parom potprostora (R(F ), N(E)). Sledeći rezultat daje potreban i dovoljan uslov za (E, F ) [QQ] T. Lema 3.2.1. Neka je T QQ i (E, F ) (QQ) T. Tada (E, F ) [QQ] T ako i samo ako R(F ). + N(E) = H. Dokaz. Neka je (E, F ) [QQ] T, to jest, T = EF, gde je R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T ). Tvrdimo da važi R(F ) N(E) = {0}. Zaista, ako je y R(F ) N(E) onda je y = F y i 0 = Ey = EF y = T y, to jest, kako je N(T ) = N(F ) imamo da važi y = F y = 0. Analogno, zbog toga što je (F, E ) [QQ] T, imamo da je R(E ) N(F ) = {0}, što (nakon uzimanja ortogonalnih komplemenata obe strane) implicira da je R(F ) + N(E) = H. Dakle, R(F ). + N(E) = H, što je i trebalo dokazati. 27

Obratno, neka je (E, F ) Q Q tako da je T = EF i R(F ). + N(E) = H. Dokažimo da važi N(F ) = N(T ). Očigledno, zbog toga što je T = EF važi N(F ) N(T ). S druge strane, ako je x N(T ) onda 0 = T x = EF x, što znači da je F x R(F ) N(E) = {0}, to jest, x N(F ). Dakle, N(F ) = N(T ). Analogno, zbog toga što je T = F E i R(E ) N(F ) = {0} (jer je R(F ) + N(E) = H) imamo da važi N(E ) = N(T ), što je ekvivalentno sa R(E) = R(T ). Dakle, (E, F ) [QQ] T. Posledica 3.2.1. Neka je T QQ i (E, F ) [QQ] T. Tada T ima zatvorenu sliku ako i samo ako N(E). + R(F ) = H. Dokaz. Sledi iz Leme 3.2.1 i činjenice da ako A, B L(H) imaju zatvorene slike onda AB ima zatvorenu sliku ako i samo ako je N(A) + R(B) zatvoren ([10, Teorema 22]). Da bi dobili još jednu karakterizaciju skupa QQ potreban nam je koncept (ne nužno ograničenog) zatvorenog projektora. Gusto definisan operator H je projektor ako R(H) D(H) i H(Hx) = Hx za svaki x D(H). U tom slučaju, važi da D(H) = R(H) +. N(H). Štaviše, H je zatvoren operator ako i samo ako su R(H) i N(H) zatvoreni potprostori od H; H je ograničen ako i samo ako je zatvoren i D(H) = H. Takod e, ako su S i T dva zatvorena potprostora takva da je S T = {0} i S + T je gust, sa H S//T označavamo zatvoreni projektor sa slikom S i jezgrom T (ovde je D(H S//T ) = S +. T ). Skup svih (ne nužno ograničenih) zatvorenih projektora u H označićemo sa Q. U nastavku će za dva operatora A, B izraz B A značiti da je A ekstenzija od B. Napomena 3.2.1. Neka je T QQ. Označimo sa E = Q R(T )//S i F = Q W//N(T ). Očigledno, T = EF. Na osnovu Leme 3.2.1, H W//S je zatvoreni projektor. Štaviše, prema Posledici 3.2.1, H W//S je ograničen ako i samo ako T ima zatvorenu sliku. U nastavku, za (E, F ) [QQ] T, uvodimo oznaku H F,E = H R(F )//N(E). Lema 3.2.2. Neka je T QQ i (E, F ) [QQ] T. Tada važe sledeći uslovi: 1. R(T ) D(H F,E ). 2. N(H F,E T ) = N(T ). 28

Dokaz. 1. Neka je y = T x R(T ). Tada je y = T x = EF x = EF x F x + F x = (I E)F x + F x N(E) + R(F ) = D(H F,E ). 2. Operator H F,E T je dobro definisan na osnovu prethodnog uslova i jasno je da važi N(T ) N(H F,E T ). Sa druge strane, ako je H F,E T x = 0 onda je T x R(T ) N(E) R(E) N(E) = {0}, to jest, x N(T ) pa je dakle N(H F,E T ) = N(T ). Za T L(H), Moore-Penrose-ov inverz operatora T, u oznaci T, je jedinstvena linearna ekstenzija od (T N(T ) ) 1 na R(T ) R(T ) takav da je N(T ) = R(T ). Gusto definisan operator T zadovoljava sledeće jednačine, koje se mogu iskoristiti i kao definicija za T ako za domen uzmemo maksimalan domen za koji ove jednačine imaju rešenje, naime D(T ) = R(T ) R(T ) : 1. T XT = T ; 2. XT X = X; 3. T X P R(T ) ; 4. XT = P N(T ). Primetimo da je T ograničen ako i samo ako je R(T ) zatvoren. Označimo sa T {i, j, k, l} skup svih gusto definisanih operatora koji zadovoljavaju jednačine i, j, k, l za i, j, k, l {1,..., 4}. Elementi skupa T {1} obično se nazivaju unutrašnji inverzi operatora T. Za detaljnije izučavanje generalisanih inverza preporučuje se knjiga [12]. Penrose [13] i Greville [14] dokazali su da je Moore-Penrose-ov inverz proizvoda dva ortogonalna projektora u C n n idempotentna matrica, i obrnuto. Više o ograničenim linearnim operatorima može se naći u [2] i [15]. Ovde analiziramo slučaj operatora iz QQ. Teorema 3.2.3. Neka je T L(H). Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T QQ; 2. Postoji H Q takav da je T HT = T i T H T = T. 29

Dokaz. (1 = 2) Pretpostavimo da je T QQ i za (E, F ) [QQ] T posmatramo zatvoreni projektor H = H F,E (videti Napomenu 3.2.1). Pokazaćemo da važi T HT = T. Prvo primetimo da je, na osnovu Leme 3.2.2, T HT dobro definisan. Dalje, imamo da T HT = EF HEF = EHEF = E D(H) EF = EF = T. Slično, zbog toga što je (F, E ) (QQ) T i H E,F = (H F,E) = H, imamo da važi T H T = T. Stoga, uslov 2 je ispunjen. (2 = 1) Pretpostavimo da postoji zatvoren projektor H takav da T HT = T i T H T = T. Tada, HT HT = HT, to jest, (HT ) 2 = HT, a pošto je T L(H) i H je zatvoren, onda je i HT takod e zatvoren. Štaviše, zbog D(HT ) = D(T ) = H važi HT Q. Slično, iz T = T H T imamo da je H T Q. Otuda je, (H T ) Q. Sada imamo da (H T ) = ((T H) ) = T H, gde nadvučena crta označava zatvorenje od T H. Dakle, T = T HT = T H 2 T = (T H)(HT ) = (T H)(HT ) QQ. U nastavku ćemo sa L cr označavati skup svih operatora zatvorene slike iz L(H). Posledica 3.2.2. Neka je T L cr. Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1. T QQ; 2. T {1} Q ; 3. T PQP. Dokaz. (1 2) Sledi na osnovu Teoreme 3.2.3. (2 = 3) Ako je Q T {1} Q onda se lako proverava da važi T = P N(T ) QP R(T ), to jest da T PQP. (3 = 2) Ako je T PQP tada je T = P N(T ) QP R(T ), za neki Q Q. Dakle, T = T T T = T P N(T ) QP R(T ) T = T QT, to jest Q T {1}. Primetimo da prethodna posledica tvrdi da Moore-Penrose-ov inverz bijektivno slika QQ L cr na PQP. 30

Posledica 3.2.3. Neka je T L(H). 1. Sledeći uslovi su ekvivalentni: (a) T QQ; (b) Postoji H Q takav da je T HT = T, HT H = H i T H T = T. 2. Sledeći uslovi su ekvivalentni: (a) T PQ; (b) Postoji H Q takav da je T HT = T i T H P R(T ) ; (c) Postoji H Q takav da je T HT = T, HT H = H i T H P R(T ). Specijalno, T PQ L cr ako i samo ako Q T {1, 2, 3}. 3. Sledeći uslovi su ekvivalentni: (a) T PP; (b) T Q. Dokaz. 1. (a) (b): Pretpostavimo da je T QQ i za (E, F ) [QQ] T posmatramo zatvoreni projektor H = H F,E. Očigledno je HT H = HEF H = HEH = H 2 = H. Štaviše, iz dokaza Teoreme 3.2.3 je T HT = T i T H T = T, pa imamo da važi uslov (b). Obrat sledi na osnovu Teoreme 3.2.3. 2. (a) = (c) Neka je T PQ. Tada, T = P R(T ) F za neki F Q za koji je N(F ) = N(T ), to jest (P R(T ), F ) [QQ] T. Neka je H := H F,PR(T ). Sada, prema Teoremi 3.2.3, T HT = T i HT H = H. Takod e važi, T H = P R(T ) F H = P R(T ) H = P R(T ) D(H) P R(T ). Dakle, uslov (3) je zadovoljen. (c) = (b): Trivijalno. (b) = (a): Neka je H Q takav da važi T HT = T i T H P R(T ). Iz dokaza Teoreme 3.2.3 imamo da je HT Q. Dakle, T = T HT = T HHT = P R(T ) HT PQ. 3. Videti [2, Teorema 6.2.]. 31

Prema prethodnoj posledici, ako je T PP L cr onda važi T T {1} Q. Med utim, u opštem slučaju T nije jedini element skupa T {1} Q za T PP. Na primer, lako se proverava da je T + P R(T ) N(T ) takod e element skupa T {1} Q. Primetimo da je R(T ) N(T ) = {0} ako i samo ako T ima jedinstvenu faktorizaciju u PP (videti [2, Posledica 3.8]). Posledica 3.2.4. Neka je T L(H) operator zatvorene slike. Ako postoji T T {1} takav da je (T ) 2 = I onda T 2 QQ. Dokaz. Ako je T = T T T onda je E := T T Q i F := T T Q. Dakle, kako je (T ) 2 = I važi da je T 2 = EF QQ. Posledica 3.2.5. Neka je T L(H) operator zatvorene slike. Ako je R(T ) = R(T ) i dim R(T ) dim N(T ) onda je T QQ. Dokaz. Prema Posledici 3.2.2, dovoljno je dokazati da je T = P R(T ) EP R(T ), za neki E Q. Kako je dim R(T ) dim N(T ) = dim R(T ) onda postoji preslikavanje J : R(T ) R(T ) takvo da je J J = P R(T ). Stoga, uzevši u obzir matričnu reprezentaciju indukovanu Hilbertovom dekompozicijom prostora H = R(T ) R(T ), definišemo [ ] ( ) ( ) T (T E := (T ) 2 )J R(T ) R(T ) J J(I T )J : R(T ) R(T ). Lako se pokazuje da je E = E 2, to jest da je E Q i očigledno T = P R(T ) EP R(T ) PQP. Konačno je, prema Posledici 3.2.2, T QQ. Na osnovu prethodne posledice, ako je H separabilan onda svaki normalan operator zatvorene slike T L(H) sa beskonačnom dimenzijom jezgra pripada skupu QQ. Iz dokaza { Posledice 3.2.3 sledi da za T QQ i (E, F ) [QQ] T važi da je H F,E H Q } : H T {1, 2} i H T {1}. Sledeći rezultat pokazuje da ovo svojstvo u potpunosti opisuje [QQ] T. U tom cilju za T QQ definišemo preslikavanje φ : [QQ] T Q, φ ((E, F )) = H F,E. Teorema 3.2.4. Neka je T QQ, tada važi { φ ([QQ] T ) = H Q } : H T {1, 2} i H T {1}. 32