MKE: Zadatak 1 - Primjer 1 Za nosač na slici potrebno je odrediti raspodjelu momenata savijanja pomoću osnovnih grednih elemenata. Gredu diskretizirati sa elementa. Rezultate usporediti sa analitičkim rješenjem. Zadano:, q o, = konst. 1. Vektori stupnjeva slobode Vektor globalnih stupnjeva slobode
MKE: Zadatak 1 - Primjer V 1 V V = V V V 5 V Vektor lokalnih stupnjeva slobode za osnovni gredni element v = v 1 v v v ; Metoda direktne superpozicije (metoda direktne krutosti) GOB.ST.SOB ODE OK.ST SOBODE - EEMENT 1 OK.ST SOBODE - EEMENT 1 5 1 1. Matrica krutosti Element 1 Matrica krutosti osnovnog grednog elementa u odnosi se na lokalne stupnjeve slobode konačnog elementa k = E 1 I 1 = ; I 1 = I; E 1 = E; l - 1 l - 1 l - 1 l 1 - l 1 - l 1 - l 1 ; k = 9 - - 9 - - 9-9 - Matrica krutosti elemenata u odnosu na globalne stupnjeve slobode
MKE: Zadatak 1 - Primjer K 1 = Element 9 Å - Å - Å 9 - Å Å 9 Å Å Å Å - Å - Å 9 - Å Matrica krutosti osnovnog grednog elementa u odnosi se na lokalne stupnjeve slobode konačnog elementa k = E I l = ; I = I; E = E; l - l - l - l - l - l - l l l l l l l l l l ; k = 9 - - 9 - - 9-9 - Matrica krutosti elemenata u odnosu na globalne stupnjeve slobode K = 9 Å Å Å Å - Å - 9 Å - Å - - 9 - Å 9 Å Å Å Å Matrica krutosti proračunskog modela K = K e = K 1 + K ; K = 9 Å - Å - Å 9 - Å Å 19 Å ÅÅÅ - Å - Å 9 - Å - Å 9-9 Å - Å 1 Å - Å Å 9 Å Å Å Å. Vektor sila
MKE: Zadatak 1 - Primjer Element 1 Vektori čvornih sila elemenata u odnosu na lokalne stupnjeve slobode Općenito za konačni element: r = F V + F S + F + F o F - vektor koncentiranih sila u čvorovima - vektor sila u čvorovima uslijed djelovanja volumenskih sila: F V = V N T q V dv - vektor sila u čvorovima kao posljedica početnih deformacija: F o = V B T HD o dv - vektor sila u čvorovima uslijed djelovanja površinskih sila: F S = S N s T qds - za element 1: F = ; F V = ; F o = ; - vektor sila u čvorovima uslijed djelovanja površinskih sila za gredni element:
MKE: Zadatak 1 - Primjer 5 ds = 1ds; N Hs T = F S = 1 - Å s -s + s s Å N s Hs T q Hs ds = s Å + Å s - ÅÅ s - ÅÅ s - ÅÅ s ; = ÅÅÅ Å ; q Hs = q o s ÅÅ ;.75 q o -.17 q o.75 q o.5 q o r = F S Vektori čvornih sila elemenata u odnosu na globalne stupnjeve slobode.75 q o -.17 q o R 1 = F S 1 =.75 q o.5 q o Element Vektori čvornih sila elemenata u odnosu na lokalne stupnjeve slobode
MKE: Zadatak 1 - Primjer ds = 1ds; N Hs T = 1 - Å s l -s + s l s Å l s Å l + Å s l - ÅÅ s l - ÅÅ s l - ÅÅ s l.15 q o ; l = ÅÅÅ Å ; q Hs = ÅÅÅ 1 Å q o + q o s ÅÅ F S = l N s Hs T q Hs ds = -.15 q o.5 q o.17 q o r = F S Vektori čvornih sila elemenata u odnosu na globalne stupnjeve slobode R = F S =.15 q o -.15 q o.5 q o.17 q o Globalni vektor čvornih sila ( za proračunski model) R = R o + R V + R S + Q Q = ; R V = e = ; R o = F Vg e F og.75 q o = R S = e = F 1 S + F S ; R = R e = F Sg -.17 q o.5 q o -. q o.5 q o.17 q o. Određivanje pomaka u čvorovima K V = R Rubni uvjeti V 1 = ; V 5 = ;
MKE: Zadatak 1 - Primjer 7 K aa ÿ V a = R a K aa = Å Å 19 ÅÅÅ - Å - Å 1 Å ; V a = V V V V ; R a = -.17 q o.5 q o -. q o.17 q o ; V a = K aa -1 ÿ R a Dobivaju se sljedeći pomaci u čvorovima: V =-.19 q ÅÅ o ; V =.51 q ÅÅ Å o ; V =-.15 q ÅÅ Å o ; V =. q ÅÅ o ; 5. Raspodjela momenata Povratno identificiranje Dobiveni pomaci odnose se na globalne stupnjeve slobode. Da bi se dobila raspodjela momenata u elementima, treba pomake prikazati u odnosu na lokalne stupnjeve slobode konačnih elementata. Element 1: Element : v 1 = q o ÅÅÅ -.19.51 -.15 Izračunavanje momenata Element 1 B 1 = A ÅÅÅ - ÅÅÅ s l - 1 ; v = q o ÅÅÅ + ÅÅÅ s l - ÅÅÅ 1 l 1 + ÅÅÅ s l - 1 + ÅÅÅ s l 1 E; = ;.51 -.15. Momenti u osnovnom konačnom grednom elementu izračunavaju se prema sljedećem izrazu: M y1 Hs = B 1 v 1 = H.17 +.917 s q o Element B = A ÅÅÅ l - ÅÅÅ s l - l + ÅÅÅ s l - ÅÅÅ l + ÅÅÅ s l - l + ÅÅÅ s l E; l = ; Momenti u osnovnom konačnom grednom elementu izračunavaju se prema sljedećem izrazu:
MKE: Zadatak 1 - Primjer M y Hs = B v = H.77 -. s q o ;. Usporedba rješenja MKE i R-R Raspodjela momenta savijanja: Dijagram za = 1 m; q o = 1 N ê mm : M y @NmmD 1 x @mmd Moment savijanja MKE Analitičko rješenje