AT-KOL (Banja Luka) XXIV ()(018) 147-151 http://wwwmvblrg/dmbl/dmblhtm DOI: 10751/МК180147A ISSN 054-6969 () ISSN 1986-588 () ZAŠTO KOPLIKOVANO KADA OŢE JEDNOSTAVNO Dr Šefket Arslanagć Sarajev 1 Saţetak U vm radu se psmatra jedna funkcja sa dvje prmjenljve kja glas: f xy = x +y + 1- x + 1- y ; xy 11 traž njena najveća vrjednst tj f max Data su tr rješenja vg zadatka t jedn kj je slžen dva mng jednstavnja takreć elementarna Ključne rječ zraz: funkcja dvje prmjenljve maksmum funkcje parcjaln zvd funkcje nejednakst zmeđu artmetčke kvadratne sredne WHY COPLICATED WHEN IT CAN SIPLY Abstract In ths paper we cnsder ne functn wth tw varables: f xy = x +y + 1- x + 1- y ; xy 11 and we search hers maxmum value e f max We gve three slutns f ths prblem - ne sllutn s cmplcated and tw slutns are very smple s t speak elementary Key wrds and phrases: the functn f tw varables maxmum f the functn partal dervatves f the functn nequalty between arthmetc and quadratc mean AS Subject Cassfcatn (010): 97 F 50 ZD Subject Cassfcatn (010): F 50 N 50 1 Unversty f Sarajev Faculty f scences and mathematcs Department f athematcs Zmaja d Bsne 5 71000 Sarajev Bsna and Herzegvna; e-mal: asefket@pmfunsaba
U svjj duggdšnjj nastavnj praks u srednjj škl na raznm fakultetma pnekad sam se susreta sa slučajevma da nek d učenka l studenata rješ nek d zadataka na zuzetn ljep elegantan načn sasvm drugačje neg št je rješenje u nekj d zbrk zadataka l pak na nekm d spta z matematke Ja sam uvjek takve učenke l studente phval nagrad većm cjenm Uprav u vm radu ćem dat jedan takav prmjer U ptanju je sljedeć zadatak: Odredt najveću vrjednst funkcje f x y = x + y + 1- x + 1- y Rješenje 1: Funkcja f je defnsana u kvadratu x y 1 x 1 1 y 1 S bzrm da je funkcja f parna p x p y dvljn je da se grančm na kvadrat xy 0 x 1 0 y 1 Psmatraćem najprje ekstremume (maksmum) funkcje f u unutrašnjst kvadrata xy 0 x 1 0 y 1 Za v rješenje ćem krstt dferencjaln račun za funkcje dvje prmjenljve Imam f x x x x y 1x te f y y y x y 1y Iz uslva f 0 x f 0 dbjam: y x x x y 1x 0 y y x y 1y 0 Pšt sm uzel da je x 0 y 0 (ka x 1 y 1); t dbjam z grnjh jednakst: tj 1 1 x y 1x 0 1 1 x y 1y 0 dnsn a davde x y 1 x x y 1 y x y 1 x x y 1 y 1 x 1 y tj 148
dnsn (zbg x 0 y 0): x y x y Sada dbjam da je x x 1 x te x 1 tj stacnarnu tačku Dalje dbjam: date funkcje f f 1 x y x 1 x 1x x y x / / y Dakle mma f 1 y x y 1 y 1y x y / / Sada mam: f r x f xy x xy y / f t y f 1 s x y a davde: 1 9 rt s 0 8 8 a zbg r 0 sljed da data funkcja f ma maksmum kj zns: Dakle 1 1 1 1 f f 1 1 6 6 za xy tj 6 u tačkama p x p y zbg parnst funkcje f 149
Napmena 1 U tačkama 00 10 10 01 0 1 funkcja f ma vrjednst a u tačkama 11 1 1 11 1 1 funkcja f ma vrjednst Odavde zaključujem da je fmn u tačkama 11 1 1 11 1 1 Očgledn u vm rješenju ma pun psla pznavanja btnh čnjenca vezanh za ekstremne vrjednst funkcje dvje prmjenljve Sada ćem dat jš dva jednstavna rješenja vg zadatka kja se temelje na pznavanju nejednakst zmeđu artmetčke kvadratne sredne za tr pztvna brja kja glas: 1 1 a a a a a a ; a 1 a a 0 (1) Rješenje : Vdeć računa da je 1 x 1 1 y 1 dnsn 0x 1 0y 1 zbg parnst funkcje f p x p y mam na snvu nejednakst (1): x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y tj x y 1x 1 y 6 6 za xy dnsn x y ;x y brazlžl u Rješenju 1 x y št sm detaljn Rješenje I v rješenje će se temeljt na nejednakst (1) Zbg čnjence da je 0x 1 0y 1 mžem uvest trgnmetrjsku smjenu: x sn y sn ; 0 150
Sada data funkcja f glas: Dbjam sada z nejednakst (1): f sn sn cs cs sn sn cscs sn sn cs cs sn sn cs cs sn sn cscs sn sn cscs sn sn cs cs 6 tj 6 za snsn tj 6 cscs Na kraju mslm da je naslv vg rada pravdan jasan budućm čtacma Lteratura [1] Š Arsanagć atematka za nadarene Bsanska rječ Sarajev 005 [] Š Arsanagć etdčka zbrka zadataka sa snvama terje z elementarne matematke Grafčar prmet d Sarajev 006 [] Anđć atematka Tereme defncje prmjer zadac Unverztet edteran Pdgrca 009 [4] DĐ Tšć Element vše matematke II Zavd za udžbenke Begrad 014 151