Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13

Verovatnoća i statistika: Juče, danas, sutra 17. vek, kockarske igre. Tek početkom 20. veka je postala deo matematike. Matematički modeli slučajnih pojava Monte Carlo simulacija Finansije, modeli berze Genetika, modeli evolucije Modeli u telekomunikacijama Big Data Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++ Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 2 / 13

Statistički eksperiment Primeri: Bacanje novčića, bacanje kocke, bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Može se ponavljati neograničen broj puta Unapred je definisano šta se registruje u eksperimentu i poznati su svi mogući ISHODI - elementarni dogad aji U svakom eksperimentu realizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod. Ishod pojedinačnog eksperimenta ne može se predvideti. Pažnja: Eksperiment se može predstaviti preko različitih mogućih ishoda. Bacanje dva novčića, dve kocke, izvlačenje kuglica... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 3 / 13

SKUP Ω Skup Ω svih elementarnih dogad aja (ishoda) Dogad aj: Svaki podskup skupa Ω Dogad aj se realizuje ako... Siguran dogad aj, nemoguć dogad aj Operacije: A, A B, A B,... Uzajamno isključivi dogad aji Relacije: A = B Kako nalazimo verovatnoću dogad aja? Ponavljamo eksperiment i beležimo podatke. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 4 / 13

STATISTIČKO ODREDJIVANJE VEROVATNOĆE m(n): broj pojavljivanja dogad aja A u n ponovljenih eksperimenata. Količnik m(n) n je relativna frekvencija dogad aja A Verovatnoća P(A) nalazi se kao limes: (zakon velikih brojeva, fizički zakon!) ili P(A) = m(n)) lim n + n (u teoriji) P(A) = m(n) (u praksi, za veliko n) n Koliko veliko n treba da bude? (Statistika) Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 5 / 13

Aksiome teorije verovatnoće Ovo su tri pravila koja treba da budu ispunjena kad definišemo verovatnoću, na bilo koji način: Neka je dat skup Ω. Funkcija P definisana na podskupovima skupa Ω, naziva severovatnoćom na skupu Ω ako važi: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3. P(A 1 A 2 ) = i P(A i) ako su dogad aji A 1,..., A n,... uzajamno isključivi, pri čemu dogad aja A i može da bude konačno ili prebrojivo mnogo. U slučaju da imamo konačno ili prebrojivo mnogo elementarnih dogad aja E i, aksiome su uvek zadovoljene ako su P(E i ) (0, 1) i P(E i ) = 1. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 6 / 13

JEDNAKOVEROVATNI ISHODI U slučajevima kad postoji simetrija, možemo smatrati da se u idealnim uslovima ishodi dogad aju podjednako često, i samim tim njihove verovatnoće su jednake. Ukoliko Ω sadrži n < + ishoda, a dogad aj A ima m ishoda, onda je P(A) = m n. Primer 8. Različiti modeli za bacanje 2 novčića Primer 9. Bacaju se dve kocke i posmatra se zbir brojeva. Izračunati P(9) i P(10). Primer 10. Naći verovatnoće svih zbirova pri bacanju dve kocke. Sve ovo pod idealnim uslovima. U stvarnosti, iako je novčić fer i kocka potpuno homogena, može se desiti da ishodi nisu jednakoverovatni!!! Persi Diaconis, Stanford University, https://youtu.be/g7zt9mljj3y Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 7 / 13

Geometrijska verovatnoća U nekim slučajevima, ako se skup Ω može prikazati kao ograničen skup na pravoj, u ravni ili u prostoru, može se primeniti sledeće pravilo geometrijske verovatnoće: P(A) = m(a) m(ω), gde je m mera (dužina, površina ili zapremina) oblasti A, odnosno Ω. Ovo pravilo važi ako je verovatnoća dogad aja proporcionalna meri oblasti kojom se taj dogad aj predstavlja, tj. ako dva dogad aja iste mere imaju istu verovatnoću. Primer 11. Ako na slučajan način biramo broj X iz intervala (0, 2), naći verovatnoće: a) P(X (0.9, 1.1)); b) P(X = 1)? Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 8 / 13

Primer 12. Na slučajan način delimo duž na tri dela. Naći verovatnoću da se od delova može sastaviti trougao. Slika 2. Uz primer 12. a: Podela duži na tri dela. b: Skup svih elementarnih dogad aja Ω i skup povoljnih dogad aja A. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 9 / 13

Osobine verovatnoće Polazimo od aksioma: A1. P(Ω) = 1, A2. 0 P(A) 1 za A Ω, A3.P(A 1 A 2 ) = i P(A i) A i A j = P(A ) = 1 P(A). P( ) = 0... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A =! Ako je A B onda je P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)... Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 10 / 13

Neprekidnost verovatnoće Ako je A 1, A 2,... beskonačan niz dogad aja takvih da je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Ako je A 1 A 2 A 3, tada je ( + ) P A i = lim P(A n). n + i=1 Primena: Pri slučajnom izboru tačke X na intervalu (a, b), P(X = c) = 0 za svako c (a, b)!!!!! Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 11 / 13

SLUČAJAN IZBOR Iz konačnog skupa: Iz skupa S, S = n, bira se k elemenata. Kažemo da je izbor slučajan ako svaki podskup od k elemenata ima istu verovatnoću da bude izabran. (p = 1/ ( n k) ). Iz prebrojivog skupa nije moguć slučajan izbor!!. Iz neprebrojivog skupa: Izbor iz beskonačnog skupa koji se može predstaviti kao deo prave, ravni ili prostora je slučajan ako su verovatnoće izbora pojedinih podskupova proporcionalne njihovoj meri (dužini, površini ili zapremini), tj. ako dva podskupa iste mere imaju istu verovatnoću. U ovom slučaju verovatnoće se odred uju po pravilu geometrijske verovatnoće. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 12 / 13

Za vežbanje: primeri 15-29. Primer 30 (Kombinacije sa ponavljanjem) Zadaci 4-28. Zadatak 3 zadaci 226-233. Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 13 / 13