Realne opcije

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD Trinomni model cena opcija Student: Marija Milovanović br. indeksa: 11 Niš, januar 2013. Mentor: dr Miljana Jovanović

Sadržaj Uvod...3 Uvodni pojmovi...5 1.1 Finansijski derivati...5 1.2 Portfolio hartija od vrednosti...11 1.3 Binomni model cena opcija...16 1.3.1 Binomni model cena evropskih opcija...18 1.3.2 Binomni model cena američkih opcija...20 1.4 Geometrijsko Braunovo kretanje...21 1.5 Izbor parametara binomnog modela u zavisnosti od volatilnosti...23 Trinomni model cena opcija...26 2.1 Trinomno stablo cena aktive...26 2.2 Rekombinacija trinomnog stabla sa promenljivom volatilnošću...31 2.3 Modeliranje cena opcija u trinomnom modelu...34 2.3.1 Trinomni model cena evropskih opcija...35 2.3.2 Trinomni model cena opcija čija aktiva obezbeđuje neprekidan prinos dividende.43 2.3.3 Trinomni model cena opcija čija je aktiva fjučers...45 2.3.4 Trinomni model cena američkih opcija...47 2.4 Parametri zaštite portfolija od rizika...49 Realne opcije...52 3.1 Pojam i vrste realnih opcija...52 3.1.1 Opcije za odlaganje projekta...54 3.1.2 Opcije za proširenje projekta...55 1

3.1.3 Opcije za napuštanje projekta...56 3.2 Primeri...57 Zaključak...63 Literatura...64 Biografija...66 2

Uvod Uvod Finansijskо tržište je tokom godina postajalo sve rizičnije. Kamatne stope su se učestalije menjale, dok su tržišta akcija i obveznica povremeno bila veoma nestabilna. Zbog toga su menadžeri finansijskih institucija počeli da vode više računa o smanjenju rizika s kojim su se te institucije suočavale. Zainteresovanost za smanjenje rizika dovela je do pojave finansijskih inovacija, tj. do pojave novih finansijskih instrumenata koji finansijskim institucijama i njihovim menadžerima pomažu da bolje upravljaju rizicima koji nastaju usled nepredvidivosti u kretanju njihovih cena. Ti instrumenti nazivaju se finansijski derivati. Najvažniji finansijski derivati koje menadzeri koriste radi smanjenja rizika su: forvardi, fjučersi i opcije. Tema ovog rada je trinomni model cena opcija. Sam rad sastoji se iz tri celine. Prva glava predstavlja uvodni deo posvećen finansijskim derivatima sa akcentom na opcije. Najpoznatiji model za modeliranje cena opcija je binomni model Cox-Ross-Rubinsteina-a, koji je opisan u ovoj glavi. Ovaj model pretpostavlja da cena aktive može u svakom trenutku da raste ili pada sa određenim verovatnoćama. Primenom programskog paketa Mathematica predstavljeno je binomno drvo cena aktive. Trinomni model predstavlja napredniji model u odnosu na binomni, jer pretpostavlja da cena aktive opcije može da u svakom periodu raste, pada ili ostaje ista sa određenim verovatnoćama. Ovaj model proučavan je u drugoj glavi ovog rada. Modele za izračunavanje cena opcija dali su mnogi naučnici, a neki od tih modela prikazani su u ovom radu. Primenom programskog paketa Mathematica predstavljeno je trinomno drvo cena aktive. Takođe, pomoću ovog programskog paketa prikazano je izračunavanje arbitražnih cena evropskih i američkih opcija. 3

Uvod Ideja za modeliranje cena finansijskih derivata pomoću trinomnog modela se može proširiti na prilike za investiranje kapitala u realne instrumente kao što su zemlja, zgrade, biljke i oprema. Poslednja glava posvećena je upravo realnim opcijama. Najpoznatiji metod koji primenjuju investitori za donošenje odluke o investiranju u neki projekat je metod neto sadašnje vrednosti koji je opisan u ovoj glavi. Posebno zahvaljujem mentoru, prof. dr Miljani Jovanović, na podršci i pomoći pri izradi ovog rada. 4

Uvodni pojmovi Glava 1 Uvodni pojmovi Ova glava posvećena je finansijskim derivatima sa akcentom na opcije, vrste opcija, svojstva opcija, faktore koji utiču na vrednost opcija. Osnovni model za modeliranje slučajnog kretanja cene aktive i cene opcije je binomni model Cox-Ross-Rubinstein-a, koji će biti opisan u ovoj glavi. Primenom programskog paketa Mathematica biće predstavljeno binomno stablo vrednosti cena aktive i opcije u binomnom modelu. 1.1 Finansijski derivati Finansijski instrumenti predstavljaju predmet trgovanja na finansijskim tržištima i mogu biti primarni ili sekundarni. U primarne finansijske instrumente spadaju bankovni računi, obveznice i akcije. Sekundarni finansijski instrumenti ili finansijski derivati su hartije od vrednosti koje kao aktivu najčešće imaju primarne hartije od vrednosti. U sekundarne finansijske instrumente spadaju forvardi, fjučersi, opcije, svopovi, itd. Forvard (forward) je ugovor između dve strane, kojim se određuju cena i količina robe koja će biti isporučena i plaćena u budućnosti. Usavršena verzija ovog ugovora naziva se fjučers (futures). Dok su kod forvarda cena, kvalitet, količina i rok isporuke stvar dogovora između prodavca i kupca, kod fjučersa su svi elementi ugovora, osim cene, standardizovani, a cena se određuje putem javne aukcije na berzi. Postoji više vrsta fjučersa, među kojima su robni, 5

Uvodni pojmovi valutni, kamatonosni i indeksni fjučersi. Vrsta tržišnog materijala kojim se trguje određuje da li je fjučers robni ili finansijski. To znači da robni fjučersi kao aktivu imaju robu, dok su finansijski fjučersi zasnovani na nekom od postojećih finansijskih instrumenata. Tržišta finansijskih fjučersa su počela da se razvijaju sredinom 1970-tih godina i znatno su se proširila ranih 1980-tih godina sa rastom promenljivosti kamatnih stopa. Prvi fjučers ugovori su bili vezani za hartije od vrednosti koje je emitovala država. Posle toga se razvila čitava paleta finansijskih fjučers ugovora, od fjučers ugovora na međubankarska sredstva i druge instrumente novčanog tržišta do fjučersa na indekse akcija. Danas su finansijski fjučersi među najatraktivnijim i najtraženijim fjučersima. Do nagle ekspanzije finansijskog tržišta dolazi 70-tih godina XX veka uvođenjem nove vrste finansijskih derivata opcija, koje se od fjučersa razlikuju po tome što ova vrsta ugovora za vlasnika ne predstavlja obavezu već pravo da određenog dana po određenoj ceni kupi ili proda predmet ugovora. Opcije su kao finansijski instrumenti poznate više od jednog veka. Naučnik Bachelier je u svojoj doktorskoj disertaciji Teorija špekulacije 1900. godine dao prvu matematičku analizu cene opcija i obrazložio svrsishodnost investiranja u opcije. Bez obzira na to, opcije su se počele organizovano prodavati tek 1973. godine. Opcija predstavlja ugovor koji vlasniku (holder) opcije daje pravo, ali ne i obavezu, da određenog dana (datum dospeća exercise date) kupi, odnosno proda, aktivu (underlying asset) opcije po ugovorenoj ceni (exercise price strike price). Dakle, osnovni elementi koje opcijski ugovor mora da sadrži su: 1) da li se radi o pravu kupovine ili prodaje vlasnika opcije; 2) količina i vrsta aktive; 3) ugovorena cena; 4) datum dospeća; 5) način izvršenja u smislu da li se mora predati aktiva ili se može izvršiti isplata u gotovini; 6) premija. Prema pravu koje ostvaruju postoje dve vrste opcija: kupovne (call) i prodajne (put). Prema vremenu kada se mogu realizovati, opcije se mogu podeliti na evropske i američke. Evropske opcije se mogu realizovati samo na datum dospeća, dok se američke opcije mogu realizovati u bilo kom trenutku do datuma dospeća zaključno sa tim datumom. Kupovna opcija vlasniku daje pravo, ali ga ne obavezuje, da kupi aktivu opcije po ugovorenoj ceni na datum dospeća opcije (kod evropske opcije) ili i pre datuma dospeća opcije (kod američke opcije). Prodajna opcija vlasniku opcije daje pravo, ali ga ne obavezuje, da proda aktivu opcije po ugovorenoj ceni na datum dospeća opcije (kod evropske opcije) ili i pre datuma dospeća opcije (kod američke opcije). S druge strane, prodavac opcije je u obavezi da ispoštuje dati opcijski 6

Uvodni pojmovi ugovor ukoliko vlasnik opcije to zatraži od njega. Za vlasnika opcije se kaže da zauzima dugu poziciju u opciji, dok se za prodavca opcije kaže da zauzima kratku poziciju u opciji. Opcije se mogu podeliti i na: 1) opcije kojima se trguje na berzi: opcije na akcije robne opcije opcije na obveznice indeksne opcije opcije na fjučerse 2) vanberzanske opcije: opcije kamatne stope opcije unakrsnih kurseva deviza opcije na svopove 3) opcije na hartije od vrednosti za zaposlene. Još jedna podela opcija je na: 1) vanila opcije: evropske opcije američke opcije 2) opcije sa ne-vanila načinom realizacije: bermudske opcije kanarske opcije opcije sa maksimalnom kamatnom stopom složene opcije (opcije na opciju) opcije sa objavom sving opcije 3) egzotične opcije sa standardnim načinom realizacije: unakrsne opcije kvanto opcije opcije za razmenu opcije na korpu dugine opcije 4) egzotične opcije sa ne-vanila načinom realizacije: opcije po istorijskoj ceni azijske opcije ruske opcije izraelske opcije 7

Uvodni pojmovi kumulativne pariske opcije standardne pariske opcije ograničene opcije dvostruko ograničene opcije kumulativne pariske ograničene opcije standardne pariske ograničene opcije reopcije (ponovljene opcije) binarne opcije izborne opcije forvard start opcije grupne (kliket) opcije. Kako opcijski ugovor podrazumeva pravo za vlasnika opcije, dok za prodavca podrazumeva obavezu, on mora imati neku vrednost. Dakle, kupac opcije plaća prodavcu pravo, a prodavac dobija naknadu za preuzimanje obaveze za ispunjenje tog ugovora. Ta suma se naziva premija. Potrebno je odrediti premiju kao i vrednost opcije u svakom trenutku do datuma dospeća. Ta vrednost se naziva arbitražna cena opcije. Neka je vrednost evropske kupovne opcije za aktivu vrednosti u trenutku. Ako je u trenutku, tj. na datum dospeća opcije, cena aktive veća od ugovorene cene ( ), opcija će se realizovati, pa je naplata te opcije jednaka. Ako je na datum dospeća opcije cena aktive manja od ugovorene cene ( ), opcija se neće realizovati, pa je naplata te opcije jednaka 0. Dakle, naplata (payoff) kupovne opcije na datum dospeća opcije predstavlja vrednost opcije u tom trenutku i iznosi Naplata (payoff) prodavca evropske kupovne opcije iznosi, tj. ili je 0 ili je negativna. Kako je za kupovinu takvog finansijskog instrumenta plaćena premija, profit vlasnika opcije jednak je, dok je profit prodavca opcije jednak. Neka je vrednost evropske prodajne opcije za aktivu vrednosti u trenutku. Ako je u trenutku cena aktive manja od ugovorene cene ( ), opcija će se realizovati, pa je naplata te opcije jednaka. Ako je na datum dospeća opcije cena aktive veća od ugovorene cene ( ), opcija se neće realizovati, pa je naplata te opcije jednaka 0. Dakle, naplata prodajne opcije na datum dospeća opcije iznosi Naplata prodavca evropske prodajne opcije je Za kupovinu takvog finansijskog instrumenta plaćena je premija jednak je, dok je profit prodavca opcije jednak. Trenutna cena aktive na tržištu se naziva spot cena., tj. ili je 0 ili je negativna., pa je profit vlasnika opcije 8

Uvodni pojmovi Opcije se prema odnosu spot cene i ugovorene cene mogu podeliti na: 1) opcije sa dobitkom (in-the-money) 2) opcije na istom (at-the-money) 3) opcije sa gubitkom (out-of-the-money). Berzanski analitičari imaju dva osnovna zadatka pri radu sa opcijama. Prvi zadatak je izračunati koliko kupac treba da plati prodavcu opcije (tj. koliko iznosi premija), dok se drugi zadatak sastoji u minimiziranju rizika koji preuzima prodavac opcije. Na vrednost opcije utiče sledećih šest faktora: 1) spot cena aktive 2) ugovorena cena 3) datum dospeća opcije 4) volatilnost cene aktive 5) važeća kamatna stopa 6) dividende koje se očekuju za vreme trajanja opcije. U slučaju da se opcija realizuje na datum dospeća, naplata kupovne opcije je jednaka sumi za koju cena aktive premaši ugovorenu cenu. Dakle, kupovna opcija je vrednija ako cena aktive raste, a manje vredna ako ugovorena cena raste. Naplata prodajne opcije je jednaka sumi za koju ugovorena cena premaši cenu aktive. Dakle, prodajna opcija je manje vredna kada cena aktive raste, a vrednija ako ugovorena cena raste. Kod američkih opcija kasniji datum dospeća povećava vrednost te opcije, jer postoji više mogućnosti za njenu realizaciju. Kod opcija evropskog tipa, to, u opštem slučaju, ne važi. Cena aktive ima osobinu nestalnosti (volatilnosti), tj. menja se na slučajan način u vremenu. Što je volatilnost veća, to su veći skokovi na grafiku funkcije cene aktive u zavisnosti od vremena. To utiče na raspodelu cena na dan isteka, a samim tim, i na očekivanu zaradu od opcije. Volatilnost se može posmatrati kao mera investitorove nesigurnosti u buduće kretanje cene aktive. Cena opcije zavisi i od važeće kamatne stope. Kako se premija isplaćuje u trenutku sklapanja opcijskog ugovora, cena opcije mora odgovarati nivou dobiti koja bi se ostvarila kada bi se u banku investirala vrednost aktive. Kod kupovnih opcija, kada kamatna stopa raste, tada raste i vrednost opcije. Kod prodajnih opcija, kada kamatna stopa raste, vrednost opcije će opadati. I dividenda koju obezbeđuje aktiva na koju opcija glasi utiče na formiranje cene opcije. Dividenda koja se isplaćuje za vreme trajanja opcije umanjuje vrednost kupovne opcije, a povećava vrednost prodajne opcije. Neka je vrednost američke kupovne, a vrednost američke prodajne opcije za aktivu vrednosti u trenutku. Primenom arbitražnih argumenata se ne mogu odrediti tačne 9

Uvodni pojmovi vrednosti ovih opcija već samo donje i gornje granice njihovih arbitražnih cena. S obzirom da evropska i američka kupovna opcija daju vlasniku pravo na kupovinu aktive po ugovorenoj ceni, bez obzira šta se dešavalo na tržištu, vrednost tih opcija ne bi smela da premaši, tj. i. Evropska i američka prodajna opcija daju vlasniku pravo da proda aktivu po ugovorenoj ceni na datum dospeća, pa bez obzira šta se dešavalo na tržištu, vrednost tih opcija ne bi smela da premaši ugovorenu cenu, tj. i. Donja granica cene evropske kupovne opcije u trenutku ako opcija glasi na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu ima vrednost: ako opcija glasi na aktivu koja obezbeđuje predvidivu dividendu gde je vrednost u trenutku dividendi koje se isplaćuju za vreme trajanja opcije; ako opcija glasi na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende. Donja granica cene evropske prodajne opcije u trenutku ako aktiva na koju glasi ne obezbeđuje dividendu ima vrednost: ako aktiva na koju glasi obezbeđuje predvidivu dividendu gde je vrednost u trenutku dividendi koje se isplaćuju za vreme trajanja opcije; ako aktiva na koju glasi obezbeđuje neprekidan prinos dividende Takođe, primenom arbitražnih argumenata se mogu dokazati sledeće osobine američkih opcija: američku kupovnu opciju na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu nikada nije optimalno realizovati pre datuma dospeća; američka kupovna opcija na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu, a koja je dovoljno duboko na dobitku, ima vrednost kao i odgovarajuća evropska kupovna opcija; američku prodajnu opciju na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu, a koja je dovoljno duboko na dobitku, optimalno je realizovati pre datuma dospeća. Neka investitor poseduje jedinicu aktive i neka zauzima dugu poziciju u prodajnoj i kratku poziciju u kupovnoj evropskoj opciji. Na datum dospeća opcije vrednost ovakvog portfolija jednaka je ugovorenoj ceni, bez obzira na odnos cene aktive i ugovorene cene. Zbog toga vrednost ovog portfolija u proizvoljnom trenutku mora biti 10

Uvodni pojmovi Ovaj odnos između vrednosti aktive i njenih opcija naziva se prodajno-kupovni paritet. Za opcije na aktivu koja obezbeđuje predvidivu dividendu, prodajno-kupovni paritet je Za opcije na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende, prodajno-kupovni paritet je Za američke opcije na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu, prodajno-kupovni paritet je Za američke opcije na aktivu koja obezbeđuje predvidivu dividendu, prodajno-kupovni paritet je Za opcije na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende, prodajno-kupovni paritet je 1.2 Portfolio hartija od vrednosti Da bi se objasnila slučajnost u čijim okvirima funkcioniše tržište hartija od vrednosti, u okviru diskretnog prostora verovatnoća uvodi se pojam stohastičkog bazisa sa filtracijom, tj. neopadajućom familijom -polja za koju važi da je, pri čemu je. Filtracija se, posmatrano u kontekstu finansijske matematike, naziva potok informacija, a svaki član ovog niza predstavlja skup svih informacija o finansijskom instrumentu do trenutka n, uključujući i trenutak n, dostupnih svim učesnicima tržišta. Neka je integrabilna slučajna promenljiva koja nije merljiva u odnosu na - polje. Uslovno matematičko očekivanje slučajne promenljive u odnosu na -polje se definiše kao jedinstvena slučajna promenljiva koja je -merljiva i za koju važi 11

Uvodni pojmovi Teorema 1.2.1. (Teorema Radon-Nikodima) Ako su verovatnosne mere i definisane na merljivom prostoru i ako važi da je 1, tada postoji jedinstvena slučajna promenljiva koja je -merljiva i za koju važi: Egzistencija i jedinstvenost uslovnog matematičkog očekivanja proizilaze upravo iz teoreme Radon-Nikodima za. Definicija 1.2.1. Slučajni niz je martingal (submartingal, supermartingal) u odnosu na potok informacija ako su slučajne promenljive -merljive, i, pri čemu je sa označeno matematičko očekivanje u odnosu na verovatnosnu meru. Neka je sa označeno tržište hartija od vrednosti koje se sastoji od finansijskog instrumenta i to: bezrizične investicije (bankovni račun, obveznica) i različitih rizičnih investicija (akcije). Promena vrednosti bankovnog računa opisuje se pozitivnim stohastičkim nizom, pri čemu je -merljivo za svako. Promena vrednosti -tog rizičnog finansijskog instrumenta (akcije) opisuje se pozitivnim stohastičkim nizom, pri čemu je -merljivo za svako. Apsolutni profit -te akcije u trenutku jednak je razlici. Relativni profit predstavlja odnos zarađenih i uloženih sredstava. Relativni profit se još naziva i obrt (return). Obrt bankovnog računa i -te akcije u trenutku jednaki su, respektivno U tom slučaju, vrednost bankovnog računa i -te akcije u trenutku jednaki su respektivno, pri čemu su -merljive slučajne promenljive, a -merljive slučajne promenljive. Da bi se obezbedilo normalno funkcionisanje finansijskog tržišta, sa svim finansijskim instrumentima, neophodno je da očekivani obrt akcije ili drugog rizičnog instrumenta bude jednak bezrizičnoj kamatnoj stopi, u odnosu na verovatnoću neutralnog rizika, tj. 1 Verovatnosna mera je apsolutno neprekidna sa verovatnosnom merom, u oznaci, ako važi:,. 12

Uvodni pojmovi Definicija 1.2.2. Portfolio ili tržišna strategija hartija od vrednosti na tržištu je stohastički niz, gde je, a i,, su -merljive slučajne promenljive za svako. Slučajna promenljiva predstavlja broj bezrizičnih investicija u sastavu portfolija u trenutku, dok slučajna promenljiva predstavlja broj pozicija u -toj rizičnoj investiciji u sastavu portfolija u trenutku. Definicija 1.2.3. Kapital portfolija sa opštim članom hartija od vrednosti je stohastički niz Ako je za vektore i sa označen skalarni proizvod tada je Početni kapital portfolija naziva se početna investicija tržišne strategije. Primenom formule za izračunavanje stohastičkog diferencijala dobija se promena kapitala portfolija Ova formula pokazuje da promena kapitala portfolija zavisi od promena na bankovnom računu i promena cena akcija, kao i od promena u sastavu portfolija. Definicija 1.2.4. Portfolio hartija od vrednosti kapital u proizvoljnom trenutku je samofinansirajući ako je odgovarajući Teorema 1.2.2. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako i samo ako je Drugim rečima, kod samofinansirajućeg portfolija nema upliva ni ispliva kapitala, već je moguće samo povećavati broj jednih investicija na račun smanjivanja drugih. 13

Uvodni pojmovi Pri formiranju portfolija hartija od vrednosti potrebno je redukovati broj finansijskih instrumenata iz kojih se on sastoji, ili bar uprostiti njihovu strukturu. Jedna od najčešće primenjivanih metoda je ona kod koje je vrednost bankovnog računa uvek 1. Uporedo sa tržištem posmatra se tržište, pri čemu je i za svako, a, gde je i. Kapital portfolija na tržištu jednak je Kako je može se zaključiti na osnovu Teoreme 1.2.2. da je portfolio hartija od vrednosti samofinansirajući na tržištu ako i samo ako je samofinansirajući na tržištu. Teorema 1.2.3. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako i samo ako je Teorema 1.2.4. Na tržištu diskontovani kapital je martingal u odnosu na filtraciju. Promena kapitala portfolija na tržištu opisana formulom predstavlja najjednostavniji slučaj jer ne uključuje dividende. Neka je, gde je, pri čemu je, su -merljive slučajne promenljive za svako i predstavlja ukupnu dividendu koju je ostvarila -ta rizična investicija zaključno sa trenutkom. Kod samofinansirajućeg portfolija kapital portfolija u trenutku je dok je promena kapitala portfolija Definicija 1.2.5. Portfolio je samofinansirajući ako je oblika Teorema 1.2.5. Portfolio je samofinansirajući ako i samo ako je 14

Uvodni pojmovi I u ovom slučaju važi da je portfolio samofinansirajući na tržištu samofinansirajući na tržištu. ako i samo ako je Teorema 1.2.6. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako i samo ako je U prethodnim razmatranjima je pretpostavljeno neograničeno vreme funkcionisanja tržišta,. Sve definicije i razmatranja se mogu primeniti i ako se ograniči vreme, odnosno ako se pretpostavi da je. Osnovna pretpostavka većine matematičkih modela u finansijama je odsustvo arbitraže. Pod arbitražom se podrazumeva ostvarivanje profita bez ulaganja sopstvenih sredstava, tj. bez rizika. Svi učesnici na berzi stalno prate eventualne mogućnosti za arbitražu, jer se na taj način može ostvariti veliki profit. Međutim, zbog brzog protoka informacija brzo dolazi do izjednačavanja cena, pa se pretpostavlja da ne postoji mogućnost arbitraže. Definicija 1.2.6. Samofinansirajući portfolio realizuje arbitražnu priliku u trenutku ako je za početni kapital, kapital u trenutku s.i. nenegativan, tj., i pozitivan sa pozitivnom verovatnoćom. Neka je klasa svih arbitražnih samofinansirajućih portfolija. Definicija 1.2.7. Na ako je. tržištu ne postoji arbitražna prilika, tj. tržište je bezarbitražno, Ako je na arbitražnom tržištu početni kapital, uporedo sa pozitivnim dobitkom mora biti i nekog gubitka. Drugim rečima, na bezarbitražnom tržištu svaka netrivijalna tržišna strategija (tj. ako je onda je ) mora biti rizična, odnosno istovremeno važi i i. tržište martingal. Teorema 1.2.6. (Prva fundamentalna teorema cena finansijskih instrumenata) Da bi bilo bezarbitražno, potrebno je i dovoljno da je stohastički niz Neka je -merljiva funkcija koja predstavlja neku platežnu obavezu u trenutku. Definicija 1.2.8. Portfolio hartija od vrednosti je odozgo (odozdo) zaštićen od rizika ako je i s.i. ( s.i.). 15

Uvodni pojmovi Definicija 1.2.9. tržište hartija od vrednosti je -savršeno ili savršeno u trenutku ako je svaka -merljiva platežna obaveza dostižna, tj. reproduktivna. U suprotnom, tržište je -nesavršeno ili nesavršeno u trenutku. Dostižnost, tj. reproduktivnost platežne obaveze znači da se za početni kapital može konstruisati portfolio čiji će kapital u trenutku biti jednak. Savršenost tržišta je veoma strog uslov koji tržištu nameće velika ograničenja. Zbog toga, nije neophodno postojanje savršenog tržišta koji zahteva sve -merljive platežne obaveze, već je dovoljno raditi sa ograničenim platežnim obavezama. Definicija 1.2.10. tržište hartija od vrednosti je -kompletno, tj. kompletno u odnosu na trenutak, ako je svaka ograničena -merljiva platežna obaveza dostižna. 1.3 Binomni model cena opcija Binomni model cena opcija ili model cena Cox-Ross-Rubinstein-a primenjuje se za modeliranje cena hartija od vrednosti u diskretnom vremenu. Ovaj model, u praksi, za dovoljan broj koraka predstavlja dobru aproksimaciju neprekidnih modela. Binomni model predstavlja najjednostavniji model za razumevanje teorije arbitraže i za određivanje cena rizičnih hartija od vrednosti. Neka se tržište sastoji od jedne bezrizične investicije i jedne rizične investicije, na primer akcije, čije su evolucije cena opisane nizovima i, respektivno. Cene ovih investicija u trenutku,, jednake su Prilikom konstrukcije binomnog modela pretpostavlja se da je niz jednako raspodeljenih nezavisnih slučajnih promenljivih, pri čemu svaka od slučajnih promenljivih uzima jednu od dve vrednosti i, gde je. Binomni model koji se najčešće proučava je onaj za koji je,, gde je. Ako se posmatra cena akcije u početnom trenutku, u sledećem trenutku njena cena moze biti ili. Ako se uzme u obzir pretpostavka da vrednosti i zadovoljavaju uslov, tada promena cene sa na predstavlja pad cene akcije, dok promena cene sa na predstavlja rast cene akcije. Slučajnost kretanja cena akcija u binomnom modelu može se modelirati bacanjem novčića na taj način da ako prilikom bacanja padne glava ( ), tada cena akcije raste, a ako padne pismo ( ), tada cena akcije pada. Neka je cena akcije posle jednog perioda (u trenutku 16

Uvodni pojmovi ) označena sa ako padne glava, a sa ako padne pismo. U trenutku cena akcije će biti jednaka jednoj od sledećih vrednosti Slučajno kretanje cene akcije u binomnom modelu može se grafički prikazati pomoću binomnog stabla na sledeći način Uporedo sa evolucijom cene akcije posmatra se i evolucija cene bezrizične investicije, tj. bankovnog računa. Ukoliko se u početnom trenutku investira u bankovni račun jedna novčana jedinica valute, čija se vrednost menja po formuli, u trenutku vrednost bankovnog računa iznosi. U ovom slučaju predstavlja kamatnu stopu koja odgovara periodu. Naravno, važi da je 17

Uvodni pojmovi 1.3.1 Binomni model cena evropskih opcija Neka se posmatra evropska opcija čija je aktiva akcija sa ugovorenom cenom, pri čemu je datum dospeća opcije, i naplata opcije u trenutku. Prodavac opcije, da bi bio u mogućnosti da na datum dospeća opcije obezbedi naplatu, u trenutku zauzima pozicija u akcijama, pri čemu je Slučajna promenljiva je -merljiva, jer u trenutku prodavac opcije zauzima pozicija u akciji da bi se zaštitio od rizika koji nastaje zbog promene cene akcije na tržištu. Vrednost kapitala portfolija investitora u trenutku jednaka je, odakle se može zaključiti da je slučajna promenljiva Arbitražna vrednost opcije u trenutku iznosi -merljiva. gde su i verovatnoće rasta i pada cene aktive u odnosu na verovatnoću i za njih važe sledeće formule Svaka od vrednosti, naziva se delta opcije i predstavlja broj pozicija u aktivi koje je potrebno zauzeti za svaku kratku poziciju u opciji u cilju zaštite portfolija od rizika. Takva zaštita portfolija naziva se delta zaštita portfolija od rizika. Teorema 1.3.1. U binomnom modelu cena sa verovatnosna mera neutralnog rizika koja se definise sa perioda postoji jedinstvena gde je. 18

Uvodni pojmovi Binomni model cena opcija čija aktiva obezbeđuje neprekidan prinos dividende Neka se razmatra evropska opcija na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende, sa ugovorenom cenom i datumom dospeća opcije. Prodavac opcije u trenutku zauzima pozicija u akcijama, pri čemu je Vrednost kapitala portfolija investitora u trenutku je Arbitražna vrednost opcije u trenutku iznosi odnosno pri čemu su verovatnoće rasta i pada cene aktive U slučaju kada je aktiva opcije strana valuta važi, gde je kamatna stopa zemlje odakle je strana valuta. Binomni model cena opcija čija je aktiva fjučers Neka se razmatra evropska opcija čija aktiva je fjučers sa spot cenom, ugovorenom cenom i datumom dospeća opcije. Prodavac opcije u trenutku zauzima pozicija u aktivi, pri čemu je Vrednost kapitala portfolija investitora u trenutku k 1 je 19

Uvodni pojmovi Arbitražna vrednost opcije u trenutku k iznosi pri čemu je 1.3.2 Binomni model cena američkih opcija Neka se posmatra američka opcija čija je aktiva akcija sa ugovorenom cenom i datumom dospeća, pri čemu je arbitražna cena opcije u trenutku. Posmatra se slučajni niz, pri čemu su nenegativne -merljive slučajne promenljive i predstavljaju naplatu američke opcije u trenutku. Američke opcije se razlikuju od evropskih opcija po tome što se, osim na datum dospeća, mogu realizovati i pre tog datuma. Zbog toga se postupak izračunavanja cene američke opcije razlikuje od postupka izračunavanja cene evropske opcije. Kretanjem unazad u vremenu, arbitražna cena se dobija diskontovanjem očekivane vrednosti ako se opcija ne realizuje, a ako se realizuje u trenutku tada je, tj. Ukoliko je u nekom trenutku arbitražna cena američke opcije jednaka njenoj naplati, vlasnik opcije je može realizovati. Međutim, ukoliko ne iskoristi priliku za realizaciju, prodavac opcije ima mogućnost da sumu koja je s.i. nenegativna, potroši ili ulozi u banku, a da i dalje ostane zaštićen od rizika. Da bi se zaštitio od rizika, prodavac američke opcije u svakom trenutku zauzima pozicija u aktivi opcije, gde je Vrednost kapitala portfolija u početnom trenutku je definiše kao, dok se u trenutku 20

Uvodni pojmovi s.i. U trenutku njegov kapital je jednak arbitražnoj ceni opcije, tj.,, 1.4 Geometrijsko Braunovo kretanje Neka slučajni proces predstavlja evoluciju cene neke hartije od vrednosti, pri čemu je cena date hartije od vrednosti u trenutku. Za mali vremenski interval cena hartije od vrednosti se promeni za. Obrt koji se ostvari u datom vremenskom intervalu zavisi od mere srednjeg rasta hartije od vrednosti, koja predstavlja predvidivu veličinu, i od volatilnosti cene hartije od vrednosti, koja predstavlja slučajnu (nepredvidivu) veličinu. U slučaju jednostavnijih neprekidnih modela, investitor zahteva da mera srednjeg rasta ne zavisi od cene hartije od vrednosti. Kako kapital investitora zavisi od rizika koji sa sobom nosi promena cene hartije od vrednosti, a koga se ne može osloboditi diversifikacijom, investitor zahteva da mera srednjeg rasta bude u skladu sa preuzetim rizikom investiranja. Mera srednjeg rasta zavisi i od važeće bezrizične kamatne stope viša kamatna stopa indukuje veću meru srednjeg rasta zarade od svake hartije od vrednosti. Volatilnost akcije najčešće iznosi između 20% i 40% i predstavlja vrlo važan parametar za izračunavanje vrednosti svih hartija od vrednosti. Ostvareni obrt hartije od vrednosti za dati vremenski period može se predstaviti sledećom stohastičkom diferencijalnom jednačinom U članu sadržana je sva slučajnost cene hartije od vrednosti. Slučajni proces predstavlja jednodimenzionalni standardni Vinerov proces definisan na prostoru verovatnoća, koji je adaptiran u odnosu na rastuću familiju -polja, tj. za svako slučajne promenljive su -merljive. S obzirom da za svako fiksirano važi da je za neku invertibilnu funkciju, očigledno je, odnosno, potok generisan cenom hartija od vrednosti se poklapa sa prirodnom filtracijom Vinerovog procesa. To znači da se informaciona struktura ovog modela zasniva samo na procesu koji opisuje evoluciju cena hartija od vrednosti. Stohastička diferencijalna jednačina (1.4.1) može se zapisati na sledeći način pri čemu je početna cena hartije od vrednosti, odnosno u integralnom obliku 21

Uvodni pojmovi Jednačina (1.4.2) zadovoljava uslove teoreme egzistencije i jedinstvenosti rešenja stohastičke diferencijalne jednačine, pa postoji jedinstveno rešenje ove jednačine, pri čemu evolucija cene hartije od vrednosti predstavlja geometrijsko Braunovo kretanje. Da bi se dobilo rešenje stohastičke diferencijalne jednačine (1.4.2), potrebno je primeniti formulu Itoa za stohastičko diferenciranje. Teorema 1.4.1. (Formula Itoa) Neka slučajni proces diferencijal ima stohastički i neka je funkcija neprekidna i sa neprekidnim parcijalnim izvodima. Tada proces ima stohastički diferencijal (1.4.3) Primenom formule Itoa (1.4.3) na funkciju diferencijalne jednačine (1.4.2) oblika dobija se rešenje stohastičke Da bi se odredila raspodela slučajne promenljive,, potrebno je prvo odrediti raspodelu za. Kako ima raspodelu, može se zaključiti da slučajna promenljiva ima raspodelu za fiksirano. Primenom ove činjenice dobija se Dakle, gustina slučajne promenljive je pa slučajna promenljiva ima log-normalnu raspodelu, pri čemu je 22

Uvodni pojmovi 1.5 Izbor parametara binomnog modela u zavisnosti od volatilnosti Kao što je ranije rečeno, binomnim stablom se predstavlja kretanje cene aktive na koju glasi opcija. Međutim, potrebno je da se parametri koji određuju kretanje cene aktive, i, slažu sa volatilnošću cene aktive,. Naime, teško je u konkretnim slučajevima utvrditi koliki su parametri uzlaznog i silaznog kretanja cene aktive i, dok je volatilnost parametar koji se statistički određuje i dostupan je na sajtovima berzi. Pretpostavlja se da je, za mali vremenski period i određene vrednosti parametara i, volatilnost ista i u realnom slučaju i u slučaju neutralnog rizika. Binomni model pretpostavlja da cena aktive opcije može u svakom periodu da raste ili pada, tj. 1) početna cena aktive može da poraste do vrednosti sa verovatnoćom, 2) početna cena aktive može da se smanji na vrednost sa verovatnoćom, gde su i faktor rasta i faktor pada, respektivno. Parametri se biraju u skladu sa činjenicom da za mali vremenski interval binomni model konvergira ka neprekidnom modelu. Na osnovu (1.4.4) i u skladu sa Lindbergovom centralnom graničnom teoremom, sledeći uslovi su dovoljni za obezbeđivanje ove konvergencije 1) kretanja cene aktive su nezavisna od nivoa, odnosno cena aktive uvek ima istu raspodelu; 2) očekivanje raspodele cene aktive u binomnom modelu jednako je očekivanju lognormalne raspodele 2 3) disperzija raspodele cene aktive u binomnom modelu jednaka je disperziji lognormalne raspodele 4) verovatnoće i su pozitivne i nalaze se u intervalu između 0 i 1 2 Na osnovu činjenice da važi (1.2.1), očigledno je. 23

Uvodni pojmovi 5) zbir verovatnoća je 1 Dakle, postoje tri jednačine sa četiri nepoznate. Jednačine (1.5.1), (1.5.2) i (1.5.4) definišu sve statistički važne osobine diskretnog slučajnog kretanja. Dakle, izbor četvrte jednačine je prilično proizvoljan. Sve korektno izabrane parametrizacije binomnog modela konvergiraju istoj teoriji, tj. Black-Scholes-ovoj teoriji, za neprekidan slučaj, sa konstantnom volatilnošću. Kao rezultat dobija se beskonačan broj binomnih stabala. Ako se sve cene aktive, koje se nalaze na binomnom stablu, pomnože nekom konstantom (umereno malom), koja je faktor rasta, dobija se binomno stablo koje ima drugačije verovatnoće, ali predstavlja istu teoriju neprekidnosti. Dobro poznato binomno stablo Cox-Ross-Rubinstein-a (1979) ima osobinu da svi čvorovi sa istim prostornim indeksom imaju istu vrednost. Binomno stablo Rendlemann- Bartter-a (1979) ima osobinu da su sve verovatnoće jednake. Takođe, binomno stablo raste ako je. Cox, Ross i Rubinstein su postavili četvrtu jednačinu u obliku uslovima (1.5.1) (1.5.4), kada teži nuli, dobija se da važi. Zajedno sa datim Dakle, model Cox-Ross-Rubinstein-a je postao standardan za binomne modele, iako postoje modeli koji daju tačnija rešenja jednačina (1.5.1) i (1.5.2). Parametri (1.5.5) koje su izračunali Cox, Ross i Rubinstein zadovoljavaju jednačinu (1.5.1), a samo aproksimativno zadovoljavaju jednačinu (1.5.2) za dovoljno malo. U slučaju kada je jedna od verovatnoća iz (1.5.5) je veća od 1, a druga manja od 0, što predstavlja najveću zamerku modela Cox-Ross-Rubinstein-a. Drugi način za određivanje faktora rasta i pada cene aktive opcije je model Rendlemann- Bartter-a 24

Uvodni pojmovi Na osnovu (1.5.6) očigledno je da je, pa je narušena osobina centralnosti, tj. osobina da je vrednost aktive u srednjem čvoru u drugom periodu ista kao u početnom trenutku. Prednost parametrizacije Rendlemann-Bartter-a je ta da parametri (1.5.6) zadovoljavaju uslove (1.5.1) - (1.5.4). Na osnovu prethodno pominjanih binomnih modela može se zaključiti da je standardna devijacija promene cene aktive za mali vremenski interval približno jednaka. Dakle, volatilnost se može interpretirati kao procenat standardne devijacije promene cena aktive. Da bi se primenile metode ocenjivanja pomoću binomnog stabla koristi se činjenica da je vremenski interval mali. Dakle, umesto primene, može se koristiti precizniji izraz za standardnu devijaciju promene cene aktive saglasno jednakosti Binomno stablo može biti konstruisano tako da važi uslov da je. Na taj način i kada nije toliko malo dobija se model sa faktorima rasta i pada cene aktive, i, respektivno, i sa verovatnoćama i Ovo stablo može biti razmatrano i kao dodatak modela Cox-Ross-Rubinstein-a i kao dodatak modela Rendlemann-Bartter-a. U tom slučaju su i faktor rasta cene aktive i faktor pada cene aktive neznatno promenjeni. Kao posledica ovoga javlja se to da središnji red stabla prati bezrizičnu kamatnu stopu. 25

Trinomni model cena opcija Glava 2 Trinomni model cena opcija Trinomni model cena opcija proučavali su mnogi autori. Boyle, Cox, Ross, Rubinstein, Rendlemann, Bartter samo su neki od naučnika koji su se bavili ovom temom i konstruisali modele za izračunavanje cena opcija. U ovoj glavi biće predstavljeni različiti izbori parametara za trinomni model cena opcija, a zatim će biti primenjeni na konkretnim primerima. Primenom programskog paketa Mathematica biće predstavljeno trinomno stablo vrednosti cena aktive, kao i izračunavanje arbitražnih vrednosti evropskih i američkih opcija. Poslednji deo ove glave posvećen je parametrima zaštite portfolija od rizika. 2.1 Trinomno stablo cena aktive Trinomni model predstavlja napredniji model u odnosu na binomni, jer pretpostavlja da cena aktive opcije može u svakom periodu da raste, pada, menja se ili ostaje ista sa određenim verovatnoćama. Faktori rasta, pada, promene ili nepromenjenosti cene aktive označeni su sa, i, respektivno. Neka je vrednost aktive opcije u početnom trenutku. Vrednost aktive u trenutku može da se promeni na jedan od sledeća tri načina: 1) da poraste do vrednosti sa verovatnoćom, 2) da se promeni na vrednost ili da ostane ista, tj. da je njena vrednost sa verovatnoćom, 26

Trinomni model cena opcija 3) da se smanji na vrednost sa verovatnoćom. Kako cena aktive posle prvog perioda može da uzme jednu od vrednosti, i sa verovatnoćama i, respektivno, zbir tih verovatnoća je jednak 1, pa je. U trenutku nepoznati parametri modela su: verovatnoće, i, i parametri i koji određuju vrednosti aktive, i. Trinomno stablo za jedan period može se konstruisati kao kombinacija binomnog stabla sa dva perioda. Ovaj način konstrukcije trinomnog stabla se može primeniti na sva standardna binomna stabla sa konstantnom volatilnošću kao što su binomna stabla u modelima Cox-Ross- Rubinstein-a, Rendlemann-Bartter-a, itd. Neka se posmatra binomni model Cox-Ross- Rubinstein-a sa dva perioda dužine. Vrednosti aktive dobijene pomoću binomnog modela posle dva perioda, odnosno posle vremenskog intervala su istovremeno vrednosti aktive dobijene pomoću trinomnog modela posle jednog perioda, što je ilustrovano sledećom slikom 27

Trinomni model cena opcija Na osnovu formula (1.5.5) u binomnom modelu se dobija da su parametri uzlaznog i silaznog kretanja cene aktive, respektivno a verovatnoće rasta i pada cene aktive, respektivno Tada su parametri uzlaznog i silaznog kretanja cene aktive za trinomni model, respektivno a verovatnoće kretanja cene aktive su Dakle, primenom binomnog modela Cox-Ross-Rubinstein-a sa dva perioda dužine, dobija se trinomni model sa parametrima 28

Trinomni model cena opcija Trinomni model se može modelirati polazeći od istih osnovnih pretpostavki i ograničenja koja su korišćena za binomni model i na osnovu (1.4.4): 1) verovatnoće kretanja cena aktive opcije, i su pozitivne, nalaze se u granicama između 0 i 1, i zbir tih verovatnoća jednak je 1 2) očekivanje raspodele cene aktive u trinomnom modelu posle jednog perioda jednako je očekivanju lognormalne raspodele odnosno 3) disperzija raspodele cene aktive u trinomnom modelu posle jednog perioda jednaka je disperziji lognormalne raspodele odakle se, na osnovu (2.1.3), dobija odnosno Prvi trinomni model predstavio je Boyle 1986. godine, a 1988. je proširio model na dve aktive. Na osnovu (2.1.2) (2.1.4) uz uslov, Boyle je dobio sledeće verovatnoće kretanja cena aktive (2.1.5) Zamenom parametara i iz modela Cox-Ross-Rubinstein-a, odnosno (1.5.5) i pretpostavke da je, dobija se da neka od verovatnoća iz (2.1.5) neće biti između 0 i 1. Zbog toga je Boyle predložio korišćenje parametra disperzije za faktor rasta i faktor pada cene aktive, odnosno 29

Trinomni model cena opcija Međutim, ova parametrizacija daje negativne verovatnoće kretanja cena aktive za male vrednosti parametra. Boyle je otkrio da tačnost trinomnog modela sa 5 perioda odgovara modelu Cox-Ross-Rubinstein-a sa 20 perioda. On je, takođe, dokazao da su najbolji rezultati postignuti kada je parametar takav, da su verovatnoće kretanja cena aktive približno jednake. Kamrad (1990) je poboljšao model popravljanjem mogućeg problema negativnih verovatnoća. Boyle je pronašao optimalno rešenje sistema (2.1.2) (2.1.4) tako da su verovatnoće kretanja cena aktive približno jednake, a Tian (1993) kao i Derman, Kani i Chriss (1996) su dokazali jednakost verovatnoća trinomnog modela. Jedan od izbora parametara trinomnog modela sa jednakim verovatnoćama kretanja cena aktive je Konstrukcija trinomnog stabla moguća je i pomoću binomnog modela Rendlemann- Bartter-a sa dva perioda, analogno kao za model Cox-Ross-Rubinstein-a, pri čemu se dobijaju sledeći parametri modela uslovi Još jedan način modeliranja cene aktive u trinomnom modelu je ako su zadovoljeni 30

Trinomni model cena opcija Dakle, moguće je konstruisati različite vrste trinomnih stabala u odnosu na uslove (2.1.2) (2.1.4). Trinomni modeli imaju veći broj parametara od binomnih modela, pa cene aktive opcije imaju veći izbor mogućih pozicija na stablu tokom vremena. Kako trinomni model sadrži šest parametara, a (2.1.2) (2.1.4) predstavljaju tri uslova, neophodno je izračunati nepoznatih još tri parametra. Izborom tih parametara mogu se dobiti različite moguće pozicije cene aktive u trinomnom stablu. 2.2 Rekombinacija trinomnog stabla sa promenljivom volatilnošću Kao što je ranije naglašeno, postoje samo tri jednačine za izračunavanje tri verovatnoće kretanja cena aktive i tri faktora kretanja cena aktive, pa su neophodne još tri za određivanje konačnog rešenja. Očigledno je da samo jedan od njih obezbeđuje rekombinaciju trinomnog stabla i to uslov. Bez rekombinacije broj čvorova trinomnog stabla u -tom periodu je, dok se rekombinacijom smanjuje na. 31

Trinomni model cena opcija Neka se posmatraju jednakosti (2.1.3) i (2.1.4). Tada, u jednakosti (2.1.2) može se zameniti iz (2.1.3) i (2.1.4). Zatim se mogu izračunati i iz (2.1.3) i zameniti u izraz (2.1.4). Nakon izvesnih uprošćavanja, jednačine se mogu rešiti tako da daju sledeće izraze za, i Pošto uslov obezbeđuje rekombinaciju stabla, Derman (1996) je uz taj uslov pokazao da cene aktive uzimaju vrednosti za i neku razumnu vrednost. Nakon ovoga, izborom parametrara koji obezbeđuju ispunjenje uslova može se konstruisati trinomno stablo. Ako volatilnost postane približno nula ili tačno nula, verovatno je da će sledeće kretanje cene aktive na trinomnom stablu biti izvršeno sa verovatnoćom 1 na očekivanu vrednost u sledećem vremenskom periodu. Na osnovu pretpostavke da je očekivana vrednost aktive u trinomnom modelu posle jednog perioda jednaka očekivanju lognormalne raspodele, očekivana vrednost aktive se povećava u skladu sa bezrizičnom kamatnom stopom. Takođe, kako je, mora biti. Kao rezultat, dobija se da u izrazima (2.2.2) važi da je. U prethodnim izrazima se može primetiti da figuriše, gde je parametar disperzije. Potrebno je odrediti približnu vrednost ovog parametra. Manji parametar disperzije uslovljava manje faktore rasta i pada cena aktive, i. Zbog toga su vrednosti cena aktive, koje se nalaze u istoj vertikalnoj osi na stablu, tj. u istom nivom, bliže jedna drugoj. Međutim, kada je vrednost parametra disperzije blizu 1, verovatnoća da će cena aktive ostati nepromenjena u sledećem trenutku je približno 0. Iz tog razloga, neke vrednosti aktive na trinomnom stablu se teško postižu, pa se trinomno stablo ponaša slično kao binomno stablo. Otuda, prednosti trinomnog modela u odnosu na binomni model nestaju, pa se i tačnost trinomnog modela smanjuje. Kada se parametar disperzije povećava, povećavaju se i faktori rasta i pada cena aktive opcije, i, ali su verovatnoće kretanja cena aktive, i takve da svaka vrednost aktive 32

Trinomni model cena opcija na trinomnom stablu može biti dostignuta. Ukoliko je vrednost parametra disperzije jednaka, dobija se da su verovatnoće kretanja cena aktive jednake, kada teži nuli. Otuda, parametar disperzije se nalazi negde između 1 i. Optimalna vrednost za je 1.12. U tom slučaju, trinomno stablo je gusto i verovatnoće kretanja cena aktive su dovoljno dobre. Dakle, za manje verovatnoća da će cena aktive ostati nepromenjena postaje mala. Za veliko faktori rasta i pada cena aktive u prvom periodu su približno jednaki, pa su verovatnoće kretanja cena aktive prilično male i sa manjim volatilnostima tokom vremena. Druga modifikacija je korišćenje tačnije ocene odstupanja date u izrazu (1.5.7) umesto. Nakon ovih modifikacija, dobijaju se sledeći parametri trinomnog modela Faktori rasta i pada cena aktive opcije, i, dobijeni na osnovu izraza (2.2.3) i (2.2.4), se računaju u skladu sa najvećom volatilnošću koja važi za vreme trajanja opcije, tako da je. Te vrednosti koje se dobijaju za i se koriste za sve vreme trajanja opcije bez obzira na promenu volatilnosti. Međutim, verovatnoće kretanja cena aktive opcije, dobijene pomoću izraza (2.2.5), (2.2.6) i (2.2.7) važe samo za vremenski period u kojem je volatilnost najveća. Verovatnoće kretanja cena aktive u ostalim vremenskim periodima se računaju tako da (2.1.3) važi za očekivanu vrednost, a (2.1.4) za lokalnu volatilnost. Na osnovu izraza (2.2.5), (2.2.6) i (2.2.7) za, i, koji važe za vremenski period sa najvećom volatilnošću, mogu se dobiti verovatnoće kretanja cena aktive opcije, i za neki drugi vremenski period 33

Trinomni model cena opcija Dakle, dobijena je parametrizacija za konstruisanje rekombinovanog trinomnog stabla sa promenljivom volatilnošću. Primena tako konstruisanog trinomnog stabla je slična primeni binomnog stabla. Vrednost opcije se računa tako što se polazi od poslednjeg vremenskog trenutka, a zatim se kreće unazad kroz trinomno stablo primenom dinamičkog programiranja. U tom postupku se koriste verovatnoće kretanja cena aktive (2.2.8). 2.3 Modeliranje cena opcija u trinomnom modelu Postupak izračunavanja arbitražne vrednosti opcije u trinomnom modelu je analogan kao za binomni model. Međutim tržište sa trinomnim modelom cena, za razliku od onog sa binomnim, nije kompletno. Pored toga, verovatnoća neutralnog rizika verovatno postoji, ali nije jedinstvena. To kao posledicu ima da nije moguće kreirati jedinstveni portfolio čija će vrednost pokriti platežnu obavezu, odnosno, na datum dospeća biti jednak naplati opcije. U slučaju evropskih opcija, naplata kupovne opcije na datum dospeća je a prodajne opcije gde je vrednost aktive opcije u trenutku, a ugovorena cena. Arbitražna vrednost opcije se određuje tako što se polazi od datuma dospeća opcije, a zatim se kreće unazad kroz trinomno stablo primenom dinamičkog programiranja. Na taj način, dobija se da je vrednost evropske opcije na aktivu koja ne obezbeđuje nikakav dobitak u trenutku gde su, i vrednosti opcije u trenutku ako je cena aktive opcije između trenutaka i porasla, ostala nepromenjena ili pala, respektivno, dok je neprekidna kamatna stopa. U slučaju američkih opcija, naplata kupovne opcije na datum dospeća je dok je za prodajne opcije Potpuno analogno binomnom modelu, primenom dinamičkog programiranja, dobija se da je vrednost američke opcije u trenutku jednaka 34

Trinomni model cena opcija gde je naplata opcije u trenutku. 2.3.1 Trinomni model cena evropskih opcija Primer: Neka je cena aktive opcije 32 USD, a volatilnost cene aktive 9%. Ako je kamatna stopa 0.8% godišnje, nacrtati trinomno stablo cena aktive za dva perioda. Odrediti vrednost jednogodišnje evropske kupovne opcije sa ugovorenom cenom 34 USD. Može se zaključiti da je Ovaj zadatak moguće je rešiti primenom različitih trinomnih modela. I model: Primenom formula (2.1.1) dobija se Pomoću programskog paketa Mathematica i njegovog potpaketa Finance, jednostavno se izračunavaju buduće vrednosti cena aktive posle jednog i dva perioda, primenom koda 35

Trinomni model cena opcija Sledeći kod kreira demonstraciju koja je korišćena za dobijanje trinomnog stabla koje odgovara vrednostima cene aktive Arbitražne cene opcije nakon jedne godine, tj. u trenutku, su 36

Trinomni model cena opcija Arbitražne cene opcije u trenutku su Premija ove opcije jednaka je Izračunavanje arbitražnih vrednosti opcije može se izvršiti u programskom paketu Mathematica primenom koda 37

Trinomni model cena opcija Trinomno stablo arbitražnih cena opcije je oblika Arbitražne cene evropskih prodajnih opcija se mogu dobiti analogno kupovnim. U slučaju kada su poznate arbitražne cene evropskih kupovnih opcija jednostavnije je primeniti prodajno-kupovni paritet (1.1.1). U tom slučaju, dodatkom sledećeg koda mogu se dobiti arbitražne cene prodajnih opcija 38

Trinomni model cena opcija II model: Na osnovu formula (2.1.7) dobija se Primenom koda sličnog kao u slučaju I modela dobijaju se sledeće vrednosti cene aktive Trinomno stablo cena aktive je 39

Trinomni model cena opcija Arbitražne cene opcije se dobijaju malom korekcijom koda koji je korišćen kod I modela (umesto izračunavanja verovatnoća i, zadati ), tako da se dobijaju sledeće vrednosti Trinomno stablo arbitražnih cena opcija je oblika III model: Na osnovu formula (2.1.8) dobija se, 40

Trinomni model cena opcija Kako su vrednosti parametara i iste kao za I model, dobija se isto trinomno stablo cena aktive za dva perioda. Arbitražne cene opcije se dobijaju korekcijom koda korišćenog kod I modela. Potrebno je zameniti izraze za izračunavanje verovatnoća i vrednostima. Dobijaju se sledeće arbitražne cene opcije IV model: Primenom formula (2.1.9) dobija se 41

Trinomni model cena opcija Primenom odgovarajućeg koda u programskom paketu Mathematica, dobijaju se sledeće vrednosti cene aktive dok je trinomno stablo cena aktive Arbitražne cene opcije dobijaju se slično kao kod II i III modela i jednake su Trinomno stablo arbitražnih cena opcije je 42