Signali i sustavi AUDIORNE VJEŽBE LS&S FER ZESOI Primjena Z transformacije Odrediti analitiči ira a ni priaan sliom: f() 5 6 7 f() možemo priaati ao ni impulsa: f ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( 6) Napravimo li Z transformaciju ovog nia: F( ) ( K) i i Primjena Z transformacije Dobivamo: F ( ) Analitiči ira a f() možemo dobiti invernom Z transformacijom ovog iraa Rastavimo ga ato na parcijalne ralome F ( ) ( ) F
Primjena Z transformacije ( )( ) Pa je: ( )( ) f F ( ) ( ) ( ) a Prijela sa ontinuiranih na disretne sustave ) Aprosimacijom derivacije ontinuirani signal ( ) () t disretni vremensi trenuci Prijela sa ontinuiranih na disretne sustave a) Eulerov algoritam (aprosimacija) ( ) y y(( ) ) y( ) E y( ) E ( ) y y( ) s E ( ) & y( ) y () & s ( ) s σ jω ρe jω
s Eulerov algoritam stabilno jω ρe jω Ω jω σ ( σ ) jω ρe σ Područje stabilnosti Eulerova algoritma: područje oje se u Z domeni presliava unutar jedinične ružnice Područje stabilnosti disretnog sustava Eulerov algoritam s Za : Pol je u s ontinuirani sustav je stabilan ( ) ( ) Pol je u e jp disretan sustav nije stabilan Eulerov algoritam Ralog nestabilnost disretnog sustava je u tome što se pol s a period otipavanja nije našao u području stabilnosti Eulerova algoritma s Ω σ stabilno
y Bacward - Eulerov algoritam ( ) y( ) y(( ) ) E y & () s ( ) y( ) E stabilno y( ) Ω σ y s Bilinearna transformacija E E ( ) y( ) ( ) Ω σ () s stabilno Metoda jednaih impulsnih odiva Metoda jednaih impulsnih odiva (s) L h(t) t h() Z ()
Zadata - Bacward-Eulerov algoritam Korištenjem obrnutog Eulerovog algoritma prevesti ontinuirani sustav y'' y' y u(t) u disretni Period otipavanja je E ( ) y( ) E y( ) y y E ( ) y( ) ( E ) y( ) Zadata - Bacward-Eulerov algoritam ( E ) y( ) ( E ) y( ) y( ) u( ) ( E E ) y( ) ( E ) y( ) y u( y ( ) y( ) y( ) y ( ) y( ) y ( ) u( ) 6y ( ) 5y( ) y( ) u( ) Z transformacija: ( ) U ( )[ 6 5 ] U ( ) ( ) ( ) 6 5 ( ) ) 6 5 Zadata - Bacward-Eulerov algoritam y y y u ()[ s s s ] U () s U s s s 5
Zadata - Bacward-Eulerov algoritam ( ) ( ) ( ) 6 5 6 5 Zadata Za ontinuirani sustav adan sliom naći odgovarajući disretni sustav oristeći Eulerovu transformaciju Period otipavanja Nacrtati disretni sustav i obraložiti stabilnost sustava U(s) s (s) s(s) (s) u y s Zadata - Eulerova transformacija U s () s U s s () s s s s ± j 7 s s jω 7 7 σ Polovi su u lijevoj poluravnini dale sustav je stabilan s 6
Zadata - Eulerova transformacija Eulerova transformacija ( ) 7 ( ) ( ) s 7 ( j 7 )( j 7 ) π j 7 j 7 e ; 7 j π 7e j Zadata - Stabilnost 7 Polovi su ivan jedinične ružnice dale sustav je nestabilan 7 Zadata - Stabilnost Ralog nestabilnosti disretnog sustava: s s Ω područje stabilnosti Eulerove metode σ Polovi ontinuiranog sustava nisu u području stabilnosti Eulerove metode te je i tog raloga odgovarajući disretni sustav nestabilan 7
Zadata -bloovsi pria disretnog sustava ( ) U ( ) ( ) 7 ( ) 7 ( ) U ( ) ( ) 7 ( ) U ( ) U() () () Z Z () 7 Zadata Zadan je ontinuirani sustav y''(t) y '(t) y(t) u(t) Korištenjem Bacward Eulerove transformacije u preći na disretni sustav Naći impulsni odiv disretnog sustava Obraložiti stabilnost sustava y () t y () t y() t u() t s U () s () ( )( ) s s s s s s U Zadata - Stabilnost ont sustava? s s jω s s σ Kontinuirani sustav nije stabilan jer nisu svi polovi u lijevoj poluravnini Područje stabilnosti ontinuiranog sustava
9 Zadata Zadata ( ) Bacward Eulerova transformacija s ( ) ( ) ( ) Zadata Zadata ( ) ( ) h ) ( ) ( Zadata Zadata područje stabilnosti disretnog sustava disretan sustav je stabilan jer se svi polovi nalae unutar jedinične ružnice Polovi disretnog sustava: j e jπ e
Zadata Ralog stabilnosti disretnog sustava Ω s s σ područje stabilnosti disretnog sustava Zadata Zadan je ontinuirani sustav s prijenosnom funcijom (s) /(s ) Odrediti: a) Impulsni odiv disretnog sustava dobivenog bilinearnom transformacijom period otipavanja b) ransfer funciju disretnog sustava oji bi imao isti impulsni odiv ao i ontinuirani sustav u točama t Zadata a) Bilinearna transformacija s ( ) ( ) ( )
Zadata a) Bilinearna transformacija h ( ) ( ) δ ( ) Zadata b) Metoda jednaih impuls odiva ( ) s t L h( t) e Metoda jednaih impulsnih odiva t h( ) e e h( ) ( ) e e