Multiple Input/Multiple Output sistemi MIMO sistemi Ulazi (pobude) Izlazi (odzivi) u 1 u 2 y 1 y 2 u k y r Obrada=Matematički model Načini realizacije: fizički sistemi (hardware) i algoritmi (software) Proces realizacije: matematičko modeliranje, analiza, sinteza
Linearni i nelinearni Sistemi sa konstantnim i sistemi sa promjenljivim parametrima (veže se za vremensku invarijantnost) Sistemi bez memorije i sistemi sa memorijom (kombinovana i sekvencijalna kola) Kauzalni i nekauzalni sistemi (odziv poslije i prije pobude) Sistemi sa koncentrisanim i sistemi sa raspoređenim parametrima Kontinualni i diskretni sistemi (po vremenu) Analogni i digitalni sistemi
Osobine linearnih sistema: Aditivnost: u 1 y 1, u 2 y 2 povlači da je u 1 +u 2 y 1 +y 2 Homogenost: u y povlači da je ku ky Aditivnost+homogenost superpozicija (njome se ispituje linearnost sistema) k 1 u 1 +k 2 u 2 k 1 y 1 +k 2 y 2
Posmatrajmo Single Input/Single Output sistem (SISO sistem). Odziv (izlaz) sistema je rezultat dva uzroka: Početnih uslova sistema u t=0 Pobude (ulaza) sistema f(t) za t 0 Za linearne sisteme, odziv (izlaz) mora biti zbir dvije komponente izazvane ovim uzrocima. Sopstveni (autonomni, slobodni) odziv = Zeroinput response Prinudni odziv = Zero-state response
Odziv prostog RC kola: R f(t) + Vc(t) C strujni - izvor y(t) t 0 t t 1 1 1 1 y( t) Rf ( t) f ( )d Rf ( t) f ( )d f ( )d V (0) Rf ( t) f ( )d C C C C 1 y(t) Vc (0) Rf ( t) f ( )d C sopstveni odziv t 0 prinudni odziv c 0 0 Osobina dekompozicije
Odziv linearnog sistema se može računati kroz nezavisno određivanje dvije komponente (sopstvenog i prinudnog odziva) zahvaljujući osobini dekompozicije. Svi sistemi su u principu nelinearni u nekom opsegu (za pobudne signale dovoljno dugog trajanja) Princip superpozicije je moćan alat za izvođenje zaključaka i uprošćavanje analize i sinteze Ako se ulaz f(t) predstavi kao suma prostih funkcija f i (t), i=1,2,...,n, tada na osnovu superpozicije: f ( t) a f ( t)... a f ( t) y( t) a y ( t)... a y ( t) 1 1 m m 1 1 m m
Prvi korak u analizi sistema je pravljenje modela sistema (matematički iskaz ili pravilo koje zadovoljavajuće aproksimira ponašanje sistema). Za pravljenje modela neophodno je proučiti zavisnosti među različitim promjenljivima u sistemima. Najčešće se sistem opisuje odnosom ulaz-izlaz, odnosno odnosom pobude i odziva (npr. ulaza električnog kola i napona na izlazu).
Posmatrajmo električno kolo kod koga je f(t) ulazni napon, a y(t) izlazna struja: L=1H R=3Ω f(t) ulazni napon + - i=y C=½ F Vc(t) t dy 1 d L Ry y( t) dt f ( t) / dt C dt 2 - d y 3 dy 2 y(t) df 2 dt dt dt 2 d ( D 3D 2) y( t) Df ( t), gdje je D operator dt
Linearni sistem, može u opštem slučaju biti, opisan diferencijalnim jednačinama (linearni diferencijalni sistem): n n 1 m m 1 d y d y d f d y an 1... a 1 0 y bm bm 1... b 1 0 f ( t) (1) n n m m dt dt dt dt odnosno: Q( D) y( t) P( D) f ( t) gdje su Q i P polinomi operatora prvog izvoda D, a m n Stoga je: Ukupni odziv= Sopstveni odziv + Prinudni odziv
Neka je y 0 (t) rješenje jednačine (1) za f(t)=0. Tada je: Q( D) y ( t) 0 (2) 0 odnosno: n n 1 n 1 1 0 0 ( D a D... a D a ) y ( t) 0 Rješenje date jednačine je eksponencijalna funkcija: t y0 ( t ) Ce Dy0 ( t ) C e... t n 0() n t n n 1 t n 1 1 0 D y t C e C( a... a a ) e 0
Netrivijalna rješenja prethodnih jednačina: n n 1 n 1 1 0 a... a a 0 (3) Dakle, ako je zadovoljena jednačina (3), znači da je rješenje jednačine (2): Ce λt Vidimo da je jednačina (3) u stvari: Q(λ)=0, te je stoga karakteristična jednačina. Q 1 2 n ( ) ( )( )...( ) 0 Očigledno, λ ima n rješenja: λ 1, λ 2, λ 3,..., λ n, a to znači da (2) ima takođe n mogućih rješenja: 1 2 C e C e C e 1 t 2 t n,,..., n t
C 1, C 2,...,C n proizvoljne konstante. Opšte rješenje u ovom slučaju se dobija kao zbir ovih n rješenja. Opšte rješenje za sopstveni odziv: 1 2 n ( )... t, je proizvoljna konstanta 0 1 t 2 t n i y t C e C e C e C C i se određuju iz početnih uslova. Q(λ) je karakteristični polinom; Q(λ)=0 je karakteristična jednačina; λ i su karakteristične (sopstvene) vrijednosti; e λt su karakteristični modovi.
U realnim sistemima Q(λ) kompleksne sopstvene (karatkteristične) vrijednosti α+jβ moraju imati svoj konjugovano-kompleksni par α-jβ (da bi se postigla realnost sistema). ( j ) t ( j ) t 0() 1 2 y t C e C e Zato C 1 i C 2 moraju biti konjugovano-kompleksni: C j C C1 e ; C1 e 2 2 j
Dalje je: C j ( j ) t C j ( j ) t y0() t e e e e 2 2 C t j( t ) j( t ) = e [ e e ] 2 odnosno: t y0 ( t ) Ce cos( t ) realna funkcija