Kombinovana naprezanja etalne konstrukcije 1 P8-1
Kontrole graničnih stanja kod kombinovanih naprezanja Ekscentrično zatezanje ( t + ) ULS - kontrole nosivosti poprečnih preseka na pojedinačna dejstva i intrakciju; SLS - kontrola deformacija - ugiba; Ekscentričan pritisak ( c + ) ULS - kontrola nosivosti poprečnog preseka na pojedinačna dejstva i intrakciju; ULS - kontrola stabilnosti elementa kao celine; SLS - kontrola deformacija - ugiba i horizontalnog pomeranja u slučaju stubova; etalne konstrukcije 1 P8-2
Ekscentrično zatezanje ( t + ) Ekscentrično zatezanje uglavnom najstaje usled: odstupanja napadne linije sile od težišta poprečnog preseka; zakrivljenosti elementa; poprečnog opterećenja; ekscentričnosti veze. ali ekscentricitet dominantno zatezanje! etalne konstrukcije 1 P8-3
Ekscentričan pritisak ( c + ) Primeri primene: stubovi okvirnih nosača, fasadni stubovi,... etalne konstrukcije 1 P8-4
osivost poprečnih preseka na kombinovano dejstvo aksijalne sile i momenta savijanja osivost zavisi od klase poprečnog preseka; Kod preseka klase 1 i 2, pored pojedinačnih kontrola nosivosti poprečnih preseka na dejstvo aksijalne sile i momenta savijanja, u određenim slučajevima je neophodna i kontrola interakcije ovih naprezanja. Za proračun se koristi redukovani moment nosivosti; U slučaju preseka klase 3 i 4, kod kojih se nosivost određuje po teoriji elastičnosti, interakcija se svodi na kontrolu normalnog napona u najopterećenijem poprečnom preseku; Kod preseka klase 1, 2 i 3, ukoliko nema slabljenja rupama za spojna sredstva, proračun je isti za slučaj zatezanja i pritiska; U slučaju sile pritiska, kod preseka klase 4, neophodno je da se uzme u obzir efektivan poprečni presek; etalne konstrukcije 1 P8-5
Interakcija nosivosti za poprečne preseke klase 1 i 2 - Kada je neophodna provera? Kod standardnih vruće valjanih I i H profila i ekvivalentnih zavarenih profila u slučaju savijanje oko jače y-y ose kontrola interakcije nije potrebna kada su zadovoljena oba sledeća uslova: Ed 0,25 pl, Rd Ed 0, 5hw twfy / 0 0, 5Aw fy / 0 U slučaju savijanje oko slabije z-z ose kontrola interakcije nije potrebna kada su zadovoljen uslov: Ed h w t w f y / A f / 0 w y 0 etalne konstrukcije 1 P8-6
Redukovani moment nosivosti preseka -,Rd Proračun redukovanog momenta nosivosti zavisi od: oblika poprečnog preseka i ose oko koje se savijanje vrši (y-y ili z-z); Kontrola nosivosti poprečnog preseka na interakciju momenta savijanja i aksijalne sile se vrši na osnovu sledećeg, opšteg uslova: Ed, Rd 1 Ed proračunska vrednost momenta savijanja;,rd proračunska vrednost redukovanog momenta nosivosti; etalne konstrukcije 1 P8-7
Primer pravougaonog poprečnog preseka h b f y Ed / 0 A f / / pl, Rd y 0 b h fy 0 W pl, y, Rd pl, y y 0 2 2 b h Ed, y, Rd pl, y, Rd fy / 0 pl, y, Rd 4 4 b fy / 0, y, Rd pl, y, Rd ( 1 n 2 ) f 1 2 / b h fy / 4 0 n Ed / pl, Rd etalne konstrukcije 1 P8-8
Primer: I presek + y A) Plastična neutralna osa u rebru I profila h t w f y Ed / 0 ( 0, 5hw h hw ) 2 2 htw Ed, y, Rd pl, y, Rd fy / 0 pl, y, Rd 4 4twfy / 0 etalne konstrukcije 1 P8-9
Primer: I presek + y B) Plastična neutralna osa u nožici I profila A f y Ed / 0 A w A A A t f, red A 2 b f t f h tf, red fy / 0 bf tf, red h tf, red fy / 0, y, Rd Af, red etalne konstrukcije 1 P8-10
Redukovani moment,y,rd za I preseke prema EC3 1 n 1 0, 5a, y, Rd pl, y, Rd pl, y, Rd y, Ed, y, Rd 1 a A 2bf t A f 0, 5 n Ed / pl, Rd n stepen iskorišćenja poprečnog preseka usled aksijalne sile; a udeo rebra u ukupnoj površini poprečnog preseka; Ako se proračunom dobije da je a > 0,5 usvaja se a=0,5. etalne konstrukcije 1 P8-11
m y, Ed Interakcioni dijagrami + y za I preseke pl, y, Rd 1,2 1,0 0,8 0,6 a=0,1 a=0,2 a=0,3 a=0,4 a=0,5 0,4 0,2 0,0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 Sa porastom parametra a (veća površina rebra), raste i vrednost redukovanog momenta nosivosti! 0,50 0,55 0,60 0,65 etalne konstrukcije 1 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 n Ed / pl, Rd P8-12
Primer: I presek + z P8-13 Plastična neutralna osa u nožici I profila etalne konstrukcije 1 0 y Ed f A / f t A h 4 0 0 2 2 y f f y f Rd z f h b t h f h b A,, A A A
Redukovani moment,z,rd za I preseke prema EC3 za n > a: 2 n a, z, Rd pl, z, Rd 1 pl, z, Rd za n < a:, z, Rd pl, z, Rd 1 a z, Ed, z, Rd 1 n Ed / pl, Rd a A 2bf t A f 0, 5 etalne konstrukcije 1 P8-14
Redukovani momenti nosivosti za standardne profile - EC3 etalne konstrukcije 1 P8-15
Interakcioni dijagrami (m, n) etalne konstrukcije 1 P8-16
Koso savijanje y + z etalne konstrukcije 1 P8-17
Interakcija u slučaju kosog savijanja (+ y + z ) prema EC3 y, Ed, y, Rd za I i H preseke = 2 = 5n ali 1 za šuplje profile pravougaonog preseka = = 1,66/(1-1,13n 2 ) 6 za šuplje profile kružnog preseka = = 2 Prethodni izraz može da se koristi i u odsustvu aksijalne sile. Umesto redukovanih momenata plastične nosivosti,y,rd i,z,rd koriste se momenti platičnosti pl,y,rd i pl,z,rd, a u izrazima za koeficijente i se usvaja da je n=0, pa je: 1 za I i H preseke = 2 = 1 za šuplje profile pravougaonog preseka = = 1,66 za šuplje profile kružnog preseka = = 2 z, Ed, z, Rd etalne konstrukcije 1 P8-18
Proračunski dijagrami normalnog napona z, y, Rd y, z, Rd etalne konstrukcije 1 P8-19
Kontrola interakcije za preseke klase 3 i 4 x, Ed f yd f y 0 opšti uslov Ed y, Ed z, Ed y x, Ed fyd klasa 3 A Wy Wz 0 Za preseke klase 4 proračunska vrednost normalnog napona treba da se odredi na osnovu geometrijskih karakteristika efektivnog poprečnog preseka; Pri tome treba uzeti u obzir dodatne momente savijanja usled eventualnog pomeranja težišta efektivnog poprečnog preseka: D = c e x, Ed c, Ed A eff y, Ed W D y, eff y z, Ed W f D z, eff z 0 etalne konstrukcije 1 P8-20 f yd f y klasa 4
Kontrole nosivosti ekscentrično zategnutih poprečnih preseka x, Ed t, Ed A y, Ed W y z, Ed W z f yd f y 0 ili t, Ed t, Rd y, Ed y, Rd z, Ed z, Rd 1 u slučaju slabljenja preseka rupama za spojna sredstva t,ed y,ed z,ed proračunske vrednosti dejstava; t,rd y,rd z,rd proračunske vrednosti nosivosti; proračunska vrednost granice razvlačenja; f yd etalne konstrukcije 1 P8-21
Interakcija nosivosti na dejstvo + y +V z kod poprečnih preseka klase 1 i 2 Za kontrolu nosivosti poprečnih preseka klase 1 i 2 na interakciju savijanja, aksijalne sile i smicanja koristi se redukovani moment nosivosti,v,rd Interakcija treba da se sprovede kada su ipunjeni kriterijumi o neophodnosti pojedinačnih interakcija: savijanje + smicanje (V Ed > 0,5V Rd ), odnosno savijanje + aksijalna sila ( Ed > 0,25 pl,rd i Ed > 0,5 w,pl,rd za savijanje oko y-y ose); U EC3 nema eksplicitnih izraza za proračun redukovanog momenta nosivosti; Proračun redukovanog momenta treba da se sprovede na osnovu dijagrama normalnog napona pri potpunoj plastifikaciji preseka, uzimajući u obzir uticaje smicanja i aksijalne sile! etalne konstrukcije 1 P8-22
Proračun redukovanog momenta usled uticaja smicanja i aksijalne sile I presek opterećen silama: Ed, y,ed i V z,ed a) eutralna osa u rebru I preseka y, Ed, V, y, Rd 1 A 1 Ed f y etalne konstrukcije 1 P8-23
I presek opterećen silama: Ed, y,ed i V z,ed b) eutralna osa u nožici I preseka y, Ed, V, y, Rd 1 etalne konstrukcije 1 P8-24
Interakcija nosivosti na dejstvo + y +V z kod poprečnih preseka klase 3 i 4 2 2 eq, Ed x,1 3 xz, 1 f yd Kod preseka klase 4 normalne napone u rebru I preseka treba odrediti na osnovu karakteristika efektivnog poprečnog preseka; Ed y, Ed x, 1 z 1 A Iy xz, 1 z, Ed etalne konstrukcije 1 P8-25 V I y S t w y, 1
Izvijanje ekscentrično pritisnutih elemenata (beam-columns elements) Kompleksan problem interakcije izvijanja (fleksionog i torzionog) i bočno-torzionog izvijanja; Razlika u ponašanju elemenata sa torziono osetljivim i torziono neosetljivim poprečnim presecima; Savijanje može da bude samo oko jače y-y ose, ili i oko slabije z-z ose; Razlikuju se tri slučaja: problem izvijanja elementa u ravni savijanja: + z ili + y (kada je sprečeno bočno pomeranje); problem izvijanja elementa izvan ravni savijanja: + y (izvijanje oko slabije z-z ose i bočno-torziono izvijanje) opšti slučaj prostornog izvijana: + y + z etalne konstrukcije 1 P8-26
Izvijanje u ravni savijanja: savijanje oko slabije ose; savijanje oko jače ose kada je sprečeno bočno pomeranje. Izvijanje izvan ravni savijanja: savijanje oko jače ose kada nije sprečeno bočno-torziono izvijanje. Opšti slučaj: savijanje oko obe ose. etalne konstrukcije 1 P8-27
Ekscentrično pritisnut element u ravni (+ y ) - Postavka problema Uticaji II reda u izolovanom elementu - P- efekti. etalne konstrukcije 1 P8-28
Diferencijalna jednačina problema 2 d w x EI y 1 1 m w 2 dx w( 0) w( L) 0 L granični uslovi Pretpostavke: idealno elastičan matrijal; nema imperfekcija; statički sistem proste grede; nema deformacija izvan ravni opterećenja; na izolovani element deluje konstantna aksijalna sila pritiska i momenti savijanja na krajevima. Rešenje D.J: w cosecl cot Lsinx 1 cosx m 1 etalne konstrukcije 1 P8-29 m x L L cr, y
aksimalan momenat savijanja II reda cosec / cot 2 max 1 m cr, y / cr, y max za za max cos max cos cr, y cr, y U slučaju konstantnog dijagrama momenata ( m = -1) dobija se: max sec 2 cr, y sec 2 cr, y 1 / 1 cr, y max 1 1 / cr, y etalne konstrukcije 1 P8-30
Aproksimacija faktora uvećanja momenata 14,000 12,000 10,000 8,000 sec 2 cr, y 1 1 / cr, y 1/(1-n) 6,000 sec(pi/2(n)^0,5) 4,000 2,000 0,000 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 / cr, y etalne konstrukcije 1 P8-31
Uticaj oblika dijagrama momenata - m max 0, 6 0, 4 1 / m cr, y C m 1 1 / cr, y Cm 0, 6 0, 4 m Ovi izrazi važe samo u slučaju kada je element opterećen samo momentima savijanja koji deluju na njegovim krajevima, u skladu sa skicom! ema poprečnog opterećenja! etalne konstrukcije 1 P8-32
Izvijanje izvan ravni savijanja Interakcija izvijanja oko slabije z-z ose i bočnotorzionog izvijanja! Karakteristično za ekscentrično pritisnute elemente koji nisu bočno pridržani. Vrednosti kritične sile izvijanja oko slabije ose ( cr,z ) i kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja ( cr ) se smanjuju u slučaju istovremenog dejstva aksijalne sile pritiska i momenta savijanja. Treba odrediti par uticaja sila-momenat ( cr, - cr, ), pri kojem dolazi do izvijanja! etalne konstrukcije 1 P8-33
Diferencijalne jednačine problema y EI z d 2 v( x) dx 2 cr, v 2 d d ( GI cr, i0 ) EIw 3 dx dx t cr, 3 dv dx odifikacija diferencijelnih jednačina za bočno-torziono izvijanje; Uvodi se uticaj aksijalne sile pritiska; Iste pretpostavke kao i u slučaju BTI (idealno prav element, idealno elastičan materijal, konstantan dijagram momenata ( m =-1,0), male deformacije,...); Granični uslovi su isti kao u slučaju BTI; etalne konstrukcije 1 P8-34
Rešenje d.j. - izvijeni oblik elementa v cr, z cr, cr, sin x L oblik izvijenog nosača i 2 0 2 cr, cr, z cr, T 1 cr, cr, z 1 cr, cr, T Veza cr, - cr, Veza između cr, i cr, je dobijena uz pretpostavku da uticaj izvijanja oko jače y-y ose nije merodavan! ajveća vrednost kritične sile cr, je jednaka minimalnoj vrednosti od: cr,z i cr,t i to za slučaj kada nema momenta savijanja (=0). ajveća vrednost kritičnog momenta cr, jednaka je cr, kada je =0! etalne konstrukcije 1 P8-35
Opšti slučaj - sa uticajem izvijanja oko y-y ose i 2 0 2 cr, cr, z cr, T 1 cr, cr, y 1 cr, cr, z 1 cr, cr, T i 0 cr,y cr,z cr,t cr polarni poluprečnik inercije; kritična sila za izvijanje oko y-y ose; kritična sila za izvijanje oko z-z ose; kritična sila za torziono izvijanje; kritičan moment bočno-torzionog izvijanja; Za standardne vrućevaljane I profile kod kojih je cr,y > cr,z > cr,t može se, na strani sigurnosti, napisati sledeća interakciona formula: cr, 1 cr, 1 / cr, z cr, cr, y cr 1 etalne konstrukcije 1 P8-36
Kontrola izvijanja ekscentrično pritisnutih elemenata prema EC3 - Opšti slučaj y Sledeća dva uslova moraju da budu ispunjena! Ed 1 Rk k yy D y, Ed y, Ed z, Ed D kyz y, Rk z, Rk LT 1 1 z, Ed 1 z Ed 1 Rk k zy D y, Ed y, Ed z, Ed D kzz y, Rk z, Rk LT 1 1 z, Ed 1 Ed, y,ed i z,ed proračunske vrednosti sile pritiska i momenata, D y,ed i D z,ed momenti usled pomeranja težišta preseka klase 4 y i z koeficijenti redukcije usled fleksionog izvijanja LT koeficijent redukcije usled bočno-torzionog izvijanja k yy, k yz, k zy, k zz koeficijenti interakcije. etalne konstrukcije 1 P8-37
Karakteristične nosivosti za različite klase poprečnih preseka Prethodne intrakcione formule su opšteg karaktera i mogu da se koriste za bilo koji klasu preseka, kao i za torziono osetljive i neosetljive poprečne preseke i savijanje oko obe glavne ose inercije! Karakteristične nosivosti treba da se odrede u skladu sa tabelom ispod. Rk = f y A i i,rk = f y W i i D i,ed Klasa 1 2 3 4 A i A A A A eff W y W pl,y W pl,y W el,y W eff,y W z W pl,z W pl,z W el,z W eff,z D y,ed 0 0 0 e y Ed D z,ed 0 0 0 e z Ed etalne konstrukcije 1 P8-38
Uprošćene interakcione formule za savijanje u ravni - preseci klasa 1 i 2 Ed b, y, Rd k yy y, Ed b, Rd 1 i Ed b, z, Rd k zy y, Ed b, Rd 1 b, y, Rd y A fy / 1 b, z, Rd z A fy / 1 b, Rd LT Wy, pl fy / 1 Ako poprečni presek elementa nije torziono osetljiv, ili ako je sprečeno bočno-torziono izvijanje ( LT =1,0), onda se umesto nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje b,rd u izrazima koristi nosivost poprečnog preseka na savijanje y,rd y, Rd W y, pl f y / 1 etalne konstrukcije 1 P8-39
Uprošćene interakcione formule za savijanje u ravni - preseci klase 3 Ed b, y, Rd k yy y, Ed b, Rd 1 i Ed b, z, Rd k zy y, Ed b, Rd 1 b, y, Rd y A fy / 1 b, z, Rd z A fy / 1 b, Rd LT Wy, el fy / 1 Ako poprečni presek elementa nije torziono osetljiv, ili ako je sprečeno bočno-torziono izvijanje ( LT =1,0), onda se umesto nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje b,rd u izrazima koristi nosivost poprečnog preseka na savijanje y,rd : y, Rd W y, el f y / 1 etalne konstrukcije 1 P8-40
Uprošćene interakcione formule za savijanje u ravni - preseci klase 4 Ed b, y, Rd k yy y, Ed D b, Rd y, Ed 1 Ed b, z, Rd k zy y, Ed D b, Rd y, Ed 1 b, y, Rd y Aeff fy / 1 b, z, Rd z Aeff fy / 1 b, Rd LT Ako poprečni presek elementa nije torziono osetljiv, ili ako je sprečeno bočno-torziono izvijanje, onda treba usvojiti da je: LT =1,0. Kada nema pomeranja težišta efektivnog poprečnog preseka A eff u odnosu na bruto presek (u slučaju obostrano simetričnih preseka), dodatni momenat savijanja je: D y,ed = 0. W f / eff. y y 1 etalne konstrukcije 1 P8-41
Keoficijenti interakcije k ij Koeficijenti interakcije k ij mogu alternativno da se odrede na dva načina, prema Prilogu A (etoda 1), ili Prilogu B (etoda 2) SRPS E1993-1-1. Prilog A je detaljniji, precizniji, kompleksniji i komplikovaniji za primenu (razvijen od strane francuskih i belgijskih istraživača); Prilog B je jednostavniji za primenu (nemački i austrijski istraživači); acionalni prilog zemalja članica, definiše primenu ovih priloga. SRPS E 1993-1-1/A dozvoljava primenu oba priloga. etalne konstrukcije 1 P8-42
Određivanje koeficijenata k ij prema Prilogu A a početku je neophodno da se odrede svi parametri koji su neophodni za pojedinačne kontrole stabilnosti: fleksiono izvijanje oko obe glavne ose inercije ( cr,y, cr,z ) torziono izvijanje ( cr,t ) i bočno-torziono izvijanje ( cr ). max,,,,, y max( y, ) z z LT y z LT 0 bezdimenzionalna vitkost na bočno-torziono izvijanje elementa opterećenog konstantnim dijagramom momenata (elementarni slučaj). 0 Rk / cr, E etalne konstrukcije 1 P8-43
Koeficijenti k ij etalne konstrukcije 1 P8-44
Pomoćni izrazi etalne konstrukcije 1 P8-45
Pomoćni izrazi - nastavak etalne konstrukcije 1 P8-46
Keficijenti C my C mz C mlt etalne konstrukcije 1 P8-47
Koeficijenti uniformnog momenta C mi,0 etalne konstrukcije 1 P8-48
Proračun prema Prilogu B Postupak proračuna je različit za elemente koji su osetljivi na torzione deformacije i bočno-torziono izvijanje ( LT < 1,0) i one koji su neosetljivi na torzione deformacije (kod kojih je sprečeno bočno pomeranje, ili je oblik preseka neosetljiv na torziju - LT = 1,0); Izrazi za koeficijente k ij se razlikuju za elemente koji su osetljivi i za elemente koji su neosetljivi na torzione deformacije; Takođe postoje razlike u izrazima u funkciji oblika poprečnog preseka. etalne konstrukcije 1 P8-49
Torziono neosetljivi - LT = 1,0 P8-50
Torziono osetljivi - LT < 1,0 etalne konstrukcije 1 P8-51
etalne konstrukcije 1 P8-52