Sigli i tvi Lieri diferecijli tvi Sdržj I odel tv lzo izlzi vrijbl Kliče etode rješvj Vreei tli tvi Alitde vltitog titrj tv Priili odziv tv Trfer fcij li. vreei ivrijtog tv dobive Llceovo trforcijo Sdržj II Trfer fcije ložeih tv Prleli oj odtv Kdi oj odtv Prteti oj odtv Ulzo izlzi odel tv više lz i izlz odel vrijbl tj Blo dijgr lierog tv Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Diret, itertiv i rlel etod
Sdržj III Trforcij vrijbli tj Urvljivot i ootrivot 4 odel tv lzo izlzi vrijbl Diferecijli tvi oi oji e dj oiti jedo ili više diferecijlih jeddžbi. Lieri tv jedi lzo i jedi izlzo: b b K f t K b. De tr od ft fcij etje ili fcij obde, oćeito fcij lzog igl t i jegovih derivcij do tog red,. 5 odel tv lzo izlzi vrijbl Koeficijeti { i } i {b i }: otti vreei tl lieri tv, fcij vree vreei rojejiv lieri tv, zvie od lzih ili izlzih vrijbli i jihovih derivcij elieri tv. Stv je oćeito oi više iltih diferecijlih jeddžbi. Četo e više iltih diferecijlih jeddžbi vodi jed jeddžb višeg red oj veže jed izlz i jed lz vrijbl. 6
odel tv lzo izlzi vrijbl Svojtv oertor derivirj: D D D D D D C C CD CD D C D C D C C [ D C C ]. Diferecijl jeddžb i ooć oertor D D K b D K b. 7 odel tv lzo izlzi vrijbl Srćei obli zi: d d A D BD gdje D, D. dt dt Predtvljje lierog tv ooć oertor D, gdje je D BD / AD D 8 Kliče etode rješvj Ao otoji fcij etje ili obde ft, lier diferecijl jeddžb je ehooge. Jeddžb otje hooge z ft : d.... dt ooge jeddžb tog red i liero ezviih rješej, e oće rješeje ože rizti o lier obicij ojedičih rješej. K K... K 9
Kliče etode rješvj Pretotvlj e rješeje obli: t e t, C. Stitcijo e dobije izrz: t K e. Krteritič jeddžb gorje diferecijle jeddžbe K. Oće rješeje z rzličitih rteritičih orje t t t it t K e K e K K e K e. i i Vreei tli tvi Oće rješeje z jedih od o orje t t t Ke K te K K t t t K e K K e. Oće rješeje z orjee višetroti,,..., ' i it j t e K t. i j ij e t Rješeje ehoogee jeddžbe dobiv e dodvje tzv. rtilrog rješej rješeje hoogee. Vreei tli tvi Rješeje hoogee jeddžbe oleetro rješeje ili lobodi odziv tv, otoji i d e obde z K i, ziv e i vltito gibje ili titrje tv jer oije titrje eergije tv bez vjog oticj. Kooete lobodog odziv titrj iljčivo rteritiči frevecij tv i, oje zvie od trtre i retr tv, e od obde. Koleetro rješeje rito je oće rješej ehoogee jeddžbe. 4
Alitde vltitog titrj tv Oće rješeje diferecijle jeddžbe z lčj ejedih orje je: i t t Kie t. i Kotte K i određj e iz očetih vjet dih reo vrijedoti fcije i jeih derivcij t. Uztoo derivcijo izrz z t t dobiv e tv lierih lgebrih jeddžbi. Alitde vltitog titrj tv K K K K K K K K K K K K V der od ov deterit tv tvlje od otecij orje i, i. 4 Alitde vltitog titrj tv Prtilro rješeje ozčio t. Uz ott ili eriodič obd zovio g tcioro tje. Koleetro rješeje iščezv vreeo e ziv rijelzo ili rolzo tje. Prijelzo tje toji e od titrj vltiti frevecij i tv. Alitde titrj rijelzo tj određee rzlio očetog tj {i} i izo rtilrog rješej { i} tret t. 5 5
Alitde vltitog titrj tv Prvi ecijli lčj:očeti vjeti jedi rtilro rješej t i i, i,,, K,. Trivijlo rješeje, K i. Prijelzog roce e, već tcioro tje reće odh i i frevecij obde. Drgi ecijli lčj:očeti vjeti jedi,, K,. Stv je bez očete eergije ir tv. 6 Alitde vltitog titrj tv Treći ecijli lčj: ft eobđe tv t, t, K, t. Ozčio K i otte oje lijede iz i očetih vjet. Ozčio K i otte oje lijede iz i očetih vjet d je tv ir. 7 Alitde vltitog titrj tv Uo rješeje rizo ooć K i i K i : t t i i t Kie K ie t. i i Dio vltiti titrje frevecijo i [ zgrdi] te riilo titrje t frevecijo obde. it t K ie K i i it ie t Odziv eobđeog tv [ zgrdi] te odziv irog tv oji titr i i frevecijo obde. 8 6
Priili odziv tv Priili odziv tv redtvlj rtilro rješeje ehoogee jeddžbe. Oćeito e ože dobiti Lgrge ovo etodo vrijcije retr. Z obd eoecijlo fcijo rčje odziv je jedotvo jer e t ože redtviti eoecijlo derivirje e ijej o ole litd eoecijle. Određivje olee litde teelji e etodi eodređeih oeficijet. 9 Priili odziv tv Oći obli diferecijle jeddžbe: D D K bd b D K b. Pobdi igl t obli eoecijle, U ole litd U litd, ϕ fz, ole frevecij, σ jω, t t Ue, U U e Pretotvljeo rješeje Y eodređei t oeficijet: t Ye. jϕ. Priili odziv tv Uvrštvje i izjedčvje oeficijet lijevo i deo dobiv e: b K b Y U U. K Alitd rtilrog rješej Y određe je litdo obde, vojtvi tv te oleo frevecijo. Trfer ili rijeo fcij tv veliči oj određje odo olee litde riilog odziv Ye t i olee litde obde Ue t. 7
Priili odziv tv b K b K Y U je forlo jed oertor D li D ridržje vree fcij fciji D, i zčeje ftor oji treb ožiti ole litd lz d e dobije litd izlz Y U. Priili odziv tv Secijli lčjevi olee frevecije obde : riili odziv obd otto t b Ue U,. jω odziv hroij ili i obd, je d izrzo: jω ω ω j ω A ω e oji e ziv frevecij rteriti tv. r i jϕ ω, Priili odziv tv Aω litdo frevecij rteriti. ϕω fzo frevecij rteriti. Ao je t Ye t oljedic t Ue t od je t Re{Ye t } oljedic Re{Ue t }. 4 8
Prijer SIULINK SIULINK rijer 5 Frevecije rteritie ω..44.66.88...44.66.88 Aω 6.5 7.946.65 4.64.975.6.75.57.44.58 ϕω -.68 -.6 -.65 -.848 -.99 -.9585 -.989 -.5 -.65 6 Trfer fcij lierog, vreei ivrijtog tv Liere, vreei ivrijte tve ožeo ročvti ooć Llceove trforcije: diferecijle jeddžbe relze lgebre, tv je redtvlje doei olee frevecije. Z određivje trfer fcije oći ćeo od Llceovog trfort lzo izlzog odel: U L{ t}, Y L{ t}. 7 9
Trfer fcij lierog, vreei ivrijtog tv Trforcij derivcije lz i izlz je: d L U K, dt d L Y K. dt N teelj lieroti Llceove trforcije ože e iti:... Y b... b U E. - 8 Trfer fcij lierog, vreei ivrijtog tv Ao vrijedi: ν z ν,,,,4,..., µ z µ,,,,4,..., dobivo odziv irog tv: b K b Y U. K Dobivei izrz ožeo iti: Y U. 9 Trfer fcij lierog, vreei ivrijtog tv Fcij zove e trfer fcij ili rijeo fcij tv. Defiir je z ir tv o: Y L{ t } t z t <. U L{ t } Ao zo, tv ožeo redtviti o blo: U Y
Prleli oj odtv: [ ] U U Y Y Y Trfer Trfer fcij ložeih tv fcij ložeih tv Y U Y U Trfer Trfer fcij ložeih tv fcij ložeih tv U V Y Kdi oj odtv: Y Y U U Prteti oj odtv tv ovrto vezo: Y U E [ ] Y Y U E Y U Y Trfer Trfer fcij ložeih tv fcij ložeih tv Y U Y U
Trfer fcij ložeih tv Jed četo orište eleet tv je itegrtor. Trfer fcij itegrtor: U Y 4 U Trfer fcij ložeih tv Korišteje ozih rvil z d, rte i rleli oj, ložee blo dijgre ožeo žeti i to odrediti trfer fcij cijelog tv. Prijer: Odrediti trfer fcij tv žije blo dijgr. Y Trforir jo ozčei dio blo dijgr. 5 Trfer fcij ložeih tv Dobivo rezltt: Ncrtjo oovo iti blo dijgr. 6
Trfer fcij ložeih tv Dobivo: N dobiveo blo dijgr reozjeo: d, oj ovrto vezo. Kd e ože dojetiti bloo čij je trfer fcij:, 7 Trfer fcij ložeih tv U Rije je ozo d z oj ovrto vezo vrijedi: Y U še rijer bit će: U Y U Y U Y 8 Trfer fcij ložeih tv Pre toe, š blo dijgr ožeo žeti: De tr blo dijgr čii rleli oj odtv g ožeo dojetit odtvo čij je rijeo ficij:. 9
Trfer fcij ložeih tv Dljji žije dobivo d: Cijeli tv riz jedi bloo i obli: Η 4 Ulzo izlzi odel tv više lz i izlz Stv više lz i izlz ože biti oi : A D K A D B D K B A D K A D B D K B A D K A D B D K B r r r rr r r r r Ao lz i izlz defiiri :,, K, t [ r ] [,, K, ] t r D, D, D. jeddžbe ožeo iti tričo obli: L D KD. 4 Trfer tric tv više lz i izlz Llceov trforcij jeddžbi i obli: L Y K U E gdje Edrži člove očeti vjeti. Z iri tv, E, izlz je jed: Y L K U U. Ulzi vetor e oži trico: L K oj e zove trfer tric tv. 4 4
odel vrijbl tj lierog tv Vldje tv oije vetor dif. jeddžb: A B A je tric oeficijet relih i ottih: { }, i, j,,...,. ij B je obd ili otrol tric ottih eleet: { b i }, i,,..., ;,,...,. 4 odel vrijbl tj lierog tv Vetor jeddžb: A B idetič je lierih dif. jeddžbi rvog red: t t b t, i,,,. i ij j i j Ao je obd, jeddžb je hooge: t A t. 44 odel vrijbl tj lierog tv Izlz vetor jeddžb: t C t D t. idetič je lierih lgebrih jeddžbi: i t cij j t d j i t, i,,, r. 45 5
Blo dijgr lierog tv Prijer tv drgog red lz i izlz: b b, b b. 46 Blo dijgr lierog tv Izlz jeddžb e relizir tor: t c t c t c t c t d t d t d t d t, t. 47 Blo dijgr lierog tv Kolet tv jeddžbi tj i izlzih jeddžbi rizje beli blo dijgr: B C A D 48 6
Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Diret etod: Pođio od rijeoe fcije: b,, K K Y bu. Izdvojio čl jvišo derivcijo: Y bu Y K Y K., b 49 Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Relizcij: b K. b - - - - 5 Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Prijelz odel tj: Ozčio dijgr izlze itegrtor o vrijble tj. Jeddžbe tj gle: L b. Jeddžb izlz gli: t t. 5 7
8 5 Uoće lčj, b i, ožeo iti:. Z B A U B Y Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj No tog rvio lier obicij vih izlz itegrtor, re izrz:. b b Z... Z B Y Sd rvo reliziro: što je ito o rošlo rijer. A U Z 5 Relizcij cijelog tv: Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj - - z b - b- b- b 54 Iti oto o lčj b i, dobivo jeddžbe tj:, L O L [ ]. b b b b b b b L Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj
Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Itertiv etod: Broji i zivi rijeoe fcije ožeo rizti o rodt orjeih ftor: B b A K b b, K, Prodt ćje d odtv. b. 55 Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Relizcij: U b Y- Y Y Y U 56 Secij lo i jedi olo zove e bilier ecij. Bilier ecij ože e relizirti jedi itegrtoro. Y Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Y Y X Y X X Y Y X relizcij X Y X 57 9
58 Relizcij:., X Y X Y X i og biti olei eotvrivo ri, Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj Y- X X Y 59 Prijelz odel tj: Z t bilier ecij di, og e iti jeddžbe:.,,, z, L Uz, eliicijo derivcije iz jed. z : itd., L Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj 6 Dobivee jeddžbe ožeo rizti tričo:, L L [ ]. L Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj
Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Kobiirje ojgirih rov olov i l: ρ jν, ν ρ ν dobiv e bivdrt ecij oeficijeti olio * * δ jω, ω δ ω U d reli što je bito z relizcij δ ω ρ ν Y 6 Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Prlel etod: Prijeo fcij bez višetrih olov, iti redo broji i zivi, ožeo rtviti: c c c d L d, gdje je: b c, d. S ćje rleli oj odtv 6 Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Relizcij: c c d L d c c...... c 6
64 Svi tv rvog red rethode lie dje jeddžb:. j j j Izlz je d jeddžbo:. d c j j Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj 65 triči oi odel tj gli:, O [ ]. d c c c L Ovj odel zoveo rzvezi. Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj 66 Ao olovi višetri, dobivo lijedeć j. tj:. O O tric A je vzidijgol, i tzv. Jordov blo. Rzlgje tv Rzlgje tv i rijelz rijelz odel odel vrijbl tj vrijbl tj
Rzlgje tv i rijelz odel vrijbl tj Izlz jeddžb i obli: [ c c L c ] d. 67 Trforcij vrijbli tj Pretotvio d je tv oi ooć vrijbli tj i : A B C D. Iti tv ožeo rizti i ooć drgih vrijbli tj z i. Vrijble z lier obicij vrijbli : Pz tric P e ije biti iglr: det P 68 Uvrtio: Pz Trforcij vrijbli tj A B C D P P z APz B z P APz P B CPz D * * * * z A z B C z D Nove trice tv ij obli: * * * * A P AP, B P B, C CP, D D. 69
Trforcij vrijbli tj Ko odbrti tric P? To d tric A * bde dijgol oi obli. U to lčj P e zove odl tric. Ko ći odl tric? Protrjo trforcij vetor : A Z oji će iti iti jer vetoro rotor? A λ λ je lr 7 Trforcij vrijbli tj Jedot: A λ redtvlj hooge tv jeddžbi: λi A tric I je jediič tric: L I O L 7 Trforcij vrijbli tj Netrivijlo rješeje dobiv e: det λi A. Ao je tric A diezij, dobiv e rteritiči olio tog tj. Korjei rteritičog olio vltite vrijedoti trice A. Rješeje jeddžbe λi A dobivj e vltiti vetori. 7 4
Trforcij vrijbli tj Trforcij vrijbli e ijej vltite vrijedoti: * P λ det λi A det P λi AP det λp P P AP det det P P det λi A. det λi A det P det P det λi A 7 Trforcij vrijbli tj Ko dobiti odl tric? Forirjo tric od vltitih vetor trice A: [ L ]. Odredio rodt A: A A [ L ] [ A A L A ]. Uvrštvje A λ dobivo: A [ λ λ L λ ]. 74 Trforcij vrijbli tj Izrz: A [ λ λ L λ ] ožeo iti obli: λ A λ L O λ 44 444 Vidio d vrijedi: Λ [ ] Λ A Λ Λ - A tric je odl tric. 75 5
Urvljivot i ootrivot tv Stv riz oo obli i obli: Λ β, Λ dig[ λ, λ,..., λ, ]. Z lčj rzličiti orjei io jeddžbe tj: b b, b b, b b. Sv vrijbl tj ože e dobiti rješvje jede jeddžbe. 76 Urvljivot i ootrivot tv Prootrio it jeddžb: i ii bi bi, i,,..., Vrijbl i vo odziv i ititrvje rteritičo frevecijo i Početi vjet i ititrt ćee frevecijo i Sv vrijbl tj ititrv vojo frevecijo 77 Urvljivot i ootrivot tv Stv je rvljiv o lzi igli og obditi ve rteritiče frevecije tv. b b b b b b Λ β Stv rzličiti rteritiči frevecij je rvljiv o tric β e ltih red Ao je iti red lred, titrje frevecijo ože doći o od očetih vjet, e obde Vrijbl tj oj odgovr lret je ervljiv 78 6
Urvljivot i ootrivot tv Prijer: Pobd jedoj dijgoli rvotežeog ot, titrji rg drgoj. 79 Urvljivot i ootrivot tv Kd tric A i višetre vltite vrijedoti, tv je rvljiv: Ao e otoje dv Jordov blo oj ridj iti vltiti vrijedoti. Ao eleeti trice β oji odgovrj zdje red vog Jordovog blo i jedi li. Ao vi eleeti vog red trice β, oji ridj jedotri vltiti vrijedoti i jedi li. 8 Urvljivot i ootrivot tv Stv je ootriv o e reo izlz tv og regitrirti ve rirode frevecije tv. γ γ L γ r r r γ γ L γ γ γ L γ r Γ D Stv jedotri frevecij je ootriv o tric Γ e ltih tc Vrijbl oj odgovr lto tc je eootriv 8 7
Urvljivot i ootrivot tv Prijer: Urvoteže ot 8 Urvljivot i ootrivot tv Ulčj višetrih orje, tv je ootriv: Ao e otoje dv Jordov blo oj ridj iti vltiti vrijedoti. Ao tci trice Γ, oji ridj rvo red vog Jordovog blo i le. Ao tci trice Γ, oji ridj jedotri vltiti vrijedoti i le. 8 Urvljivot i ootrivot tv Uoće lčj, tv ožeo rtviti četiri odtv: rvljiv, ervljiv, ootriv, eootriv SUSTAV ootriv eootriv rvljiv Λ β Λ β Γ D ervljiv Λ 4 Λ 4 4 Γ Kobiirje jeddžbi iz tblice dolzio do jeddžbi tv: 4 84 8
9 85 4 4 4 β β Λ Λ Λ Λ 4 D Γ Γ Urvljivot Urvljivot i ootrivot tv ootrivot tv 86 Rzlgje tv ože e rizti blo dijgro: Urvljivot Urvljivot i ootrivot tv ootrivot tv o o 87 Prijer: [ ] [ ] Urvljivot Urvljivot i ootrivot tv ootrivot tv - - -