UDC: 65.012.2:69.004 PREGLEDNI RAD PRIMENA FAZI TEORIJE U IZRADI DINAMIČKIH PLANOVA GRAĐENJA PO METODI KRITIČNOG PUTA APPLICATION OF FAZZY CRITICAL PATH METHOD TO CONSTRUCTION PLANING Prof. Dr Kazimir Kurij, dipl. inž. Mr Saša Jovanović, dipl. inž. građ. Fakultet za graditeljski menadžment, Beograd SAŽETAK Ovaj rad prikazuje jednu od metoda za izradu dinamičkih planova u graditeljstvu, u uslovima neizvesnosti, baziranu na fazi teoriji. Namena metode kritičnog puta (CPM) je da identifikuje kritične aktivnosti i kritične puteve u mrežnom dijagramu, koji grafičiki prikazuje dinamički plan izgradnje objekta. Međutim u praksi je najčeši slučaj da se trajanje aktivnosti u dinamičkom planu procenjuje na osnovu intuicije, odnosno profesionalnog osećanja pojedinaca, što se može pretpostaviti da je neprecizno i ne pouzdano. Korišćenje nepreciznih podataka o trajanju aktivnosti u graditeljstvu zahteva i odgovarajuće metode analize vremena u mrežnom dijagramu, kao što je koncept fazifikacije, gde se nesigurnost procene trajanja aktivnosti prikazuje u vidu fazi broja. Ovaj rad prikazuje metodu definisanja fazi kritičnog puta u kojem su aktivnosti predstavljene trapezoidnim fazi brojevima. Ključne reči: Kritični put, trapezoidni fazi brojevi, fazi CPM, fazi projekt, nepreciznost. ABSTRACT This paper presents a method based on fuzzy theory for solving fazzy project planing in fuzy enviroment. The purpose of the critical path method (CPM) is to identify the critical activities in the critical path of an activity network. However, in the real world for many project it has to use human judgment for estimating the duration of activities and it has supposed duration of acitivities are very imprecise. A way to deal with this imprecise data is to employ te concept of fuzzines, where the vague activity times can be represents by fuzzy sets. This paper prezents a method for finding critical path in the fuzzy project network. Trapezoidal fuzzy numbers are used to represents activity times in the project network. Key words: Critical Path Method, trapezoidal fuzzy numbers, fazzy projects, fuzzy CPM, imprecise. 1. UVOD Pouzdanost dinamičkih planova u graditeljstvu uglavnom zavisi od detaljnosti i tačnosti analize strukture plana i preciznosti podataka o vremenu trajanja aktivnosti u mrežnom planu. Dok se problem analize strukture plana može rešiti angažovanjem izuzetnih stručnjaka tehnologa za određenu oblast graditeljstva, nepreciznost vremena trajanja aktivnosti ostaje i dalje problem koji ugrožava pouzdanost dinamičkog plana. Trajanje aktivnosti u graditeljstvu uglavnom se određuje na osnovu zvaničnih normativa, ali kada se uzme u obzir definicija normativa koja glasi: Normativ je vreme potrebno kvalifikovanom (obučenom) radniku, odgovarajuće struke, da po određenom postupku i redosledu radnih operacija, određenom vrstom materijala, određenim alatima i mašinama, u normalnim uslovima okruženja, uz normalno zalaganje i zamor izvrši tačno određen posao, [4] Lako se dolazi do zaključka da izmena bilo kog parametra iz definicije normativa (obučenost, postupak, alat, mašne, uslovi na radnom mestu, zalaganje, zamor i sl.) dovodi i do promene vrednosti normativa. To znači da za jednu aktivnost normativ, nije jedan broj, nego čitav spektar brojeva, zavisno od promenljivih parametara u definiciji normativa. TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011) 59
Uzimajući u obzir da još uvek nema zvaničnih normativa dobivenih naučno istaživačkm pristupom, čija bi vrednost, u skladu sa definicijom normativa, bila izražena nekom srednjom vrednosti i odgovarajućim intervalom poverenja izraženim standardnom devijacijom, fazi logika i fazi skupovi mogu da budu pravo rešenje za rešavanje nepreciznosti dinamičkih planova u graditeljstvu. Fazi logika i fazi skupovi, kao nov pojam definisani su još 1965. godine (Lotfi Zadeh), sa osnovnim ciljem da se na matematički formalizovan način predtstavi i modelira nepreciznost, odnosno neodređenost u ljudskom razmišljanju i subjektivnosti. Fazi logika je našla veliku primenu u teoriji upravljanja, kvantitativnoj analizi, informacionim sistemima planiranje itd, odnosno u svim slučajevima gde ne postoji matematički model ili je isti suviše kompleksan za rad u praksi. Za razliku od diskretnih skupova gde element ili pripada ili ne pripada određenom skupu, što se matematički kaže da je stepen pripadnosti skupu 1 (ako pripada) ili 0 (ako ne pripada), elementi u fuzzy skupovima mogu da pripadaju skupu, delimično da pripadaju skupu ili uopšte ne pripadaju skupu, što se matematički može izraziti kao broj 1 (100% pripada skupu), broj 0.7 (70% pripada skupu i broj 0 (uopšte ne pripada skupu). Ovim pristupom mogu se preciznije da reprezentuju neprecizni iskazi. Na primer, da li je jasna granica između skupova mlad čovek i star čovek. Neka je za jasan, klasičan skup granica npr. 50 godina Sl.1, (isprekidana linija). Međutim očito je da je percepcija pojma star svakog pojedinca različita. Ako se prihvati da ljudi mlađi od 25 godina definitivno ne pripadaju skupu Star čovek, tj. pripadaju mu sa stepenom 0, a da stepen pripadnosti skupu Star čovek raste u intervalu od 25 do 75 godina, pri čemu se ljudi stariji od 75 godina definitivno smatraju starim (stepen pripadnosti je jednak 1), definicija skupa Star čovek može se prikazati monotono neopadajućom funkcijom pripadnosti: Sl.1. (kriva puna linija). Potpuno je jasno da je ovakvo preslikavanje ulaznih promenjivih (godine) u odgovarajuće vrednosti funkcije pripadnosti fazi skupa Star čovek mnogo bliže ljudskom načinu razmišljanja nego li slučaj preslikavanja koje definiše jasne skupove. [5] Cilj ovog rada je da ukaže na realnu primenljivost fazi brojeva kod izražavanja trajanja aktivnosti u graditeljskim dinamičkim planovima. Radi toga urađen je jedan primer sa malim brojem aktivnosti u mrežnom dijagramu, ali sa detaljno razrađenim algoritmom postupka iznalaženja kritičnog puta. Za dati primer urađen je i odgovarajući algoritam rešenja problema (t. 2.1). 60 Sl.1. Grafički prikaz funkcije klasičnog i fazi skupa Star čovek Događaji u mrežnom dijagramu na Sl. 2 nisu prikazani u obliku krugova, kao što je uobičajeno kod streličastih mrežnih dijagrama (Activity-On- -Arow network), već u obliku elipsi zbog dužine fazi broja. U ovom radu fazi trajanje (vreme) aktivnosti u mrežnom dijagramu, označeno sa (ft ij ), prikazano je trapezoidnim fazi brojem ft ij =(c ij, a ij, b ij, d ij,). Sl. 2. Mrežni dijagram u kojem je trajanje aktivnosti izraženo trapezoidnim fazi brojevima Grafički prikaz jednog trapezoidnog fazi broja dat je na Sl. 3, gde (a) i (d) predstavljaju minimalnu i maksimalnu vrednost fazi broja, i njihova funkcija pripadnosti ima minimalnu vrednost, dok se prosečna vrednost fazi broja nalazi između (a) i (b) koji imaju maksimalnu vrednost funkcije pripadnosti. TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011)
R(FN i ) = β[(d i - x 1 ) / (x 2 - x 1 - c i d i )] (1 - β) [1- (x 2 - a i ) / (x 2 - x 1 b i - a i )], (2) gde je: x 1 = min (a 1, a 2, a 3,... a n ), a x 2 = max (d 1, d 2, d 3,... d n ) 1.2. Algebarske operacije sa fazi brojevima Sl. 3. Funkcija pripadnosti fazi trapezoidnog broja Fazi broj FN = (a ij, b ij, c ij, d ij,) je trapezoidni fazi broj ako je njegova funkcija pripadnosti izražena relacijom: 0 x a x a / b a; a x b μ (x) = 1; b x c d x / d c; c x d 0 x d 1.1. Rang trapezoidnog fazi broja U analizi vremena fazi kritičnog puta, a kod događaja u koje ulazi ili izlazi više od jedne aktivnosti, neophodno je rangirati fazi brojeve koji treba da izraze najranije ili najkasnije fazi vreme događaja. To se vrši defazifikacijom odgovarajućih fazi brojeva, a zatim prihvatanjem maksimalnih ili minimalnih vrednosti, zvisno od toga da li se traži najranijie ili najksnije vreme događaja u mrežnom dijagramu. U literaturi postoji više metoda za defazifikaciju fazi trapezoidnih brojeva, a u ovom radu koristiće se metoda koju su razvili Lijang i Han, a koja je i namenjena za rešavanje problema rangiranja u analizi fazi vremena puta. [1] Ova metoda počinje iznalaženjem verovatnoće sa kojom planer prihvata da uđe u analizu vremena, koja se izračunava po relaciji (1): [1] gde je t broj tih aktivnosti. (1) Rang vrednosti trapezoidalnog fazi broja FN i može se izračunati i po sledećoj relaciji: [1] U saglasnosti sa principima ekstenzije fazi brojeva, dve osnovne algebarske operacije fazi brojeva sabiranje i oduzimanje, koje se primenju u analizi vremena po metodi kritičnog puta, mogu se izraziti sa: [2] FN 1 FN 2 = (a 1, b 1, c 1, d 1 ) (a 2, b 2, c 2, d 2 ) = = (a 1 a 2, b 1 b 2, c 1 c 2, d 1 d 2 ) (3) FN - FN 2 = (a 1, a 1, c 1, d 1 ) - (a 2, b 2, c 2, d 2 ) = = (a 1 - d 2, b 1 - c 2, c 1 - b 2, d 1 - a 2,) (4) Objašnjenje skraćenica u ovom radu: N = Skup svih događaja (čvorova) u mrežnom dijagramu. A ij = Aktivnost između događaja i i j. ft ij = Fazi trajanje aktivnosti A ij. ft (0) j = Najranije fazi vreme događaja j. ft (1) j = Najkasnije fazi vreme događaja j. ftf ij = Ukupni fazi vremenski zazor aktivnosti A ij. SA(j) = Skup svih aktivnosti koje izlaze iz događaja j. DS(j) = Skup događaja u koje ulaze aktivnosti koje izlaze iz događaja j. ftf(pk) = Ukupan fazi vremenski zazor puta Pk u mrežnom dijagramu DP(j) = Skup svih događaja iz kojih izlaze aktivnosti koje ulaze u događaj j. P i = P = FN = i-ti put Skup svih puteva u mrežnom dijagramu. Fazi broj 2. DEFINISANJE KRITIČNOG PUTA U FAZI MREŽNOM DIJAGRAMU U SKLADU SA DATIM ALGORITMOM 1 4. Identifikacija aktivnosti, odnos aktivnosti i procenjene vrednosti trajanja aktivnosti u mrežnom dijagramu prikazani su na Sl. 2. Ako nema dovoljno zvaničnih istorijskih podataka o trajanju aktivnosti, planer će fazi trajanje aktivnosti (ft ij ) odrediti subjektivno na osnovu njegovog iskustva i znanja, za odgovarajuće uslove realizacije aktivnosti. TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011) 61
Algoritam primne fazi logike u analizi vremena po metodi CPM 62 TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011)
TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011) 63
1.3. Prihvatljivi rizik realizacije dinamičkog plana prikazanog mrežnim dijagramom na Sl. 1. izračunava se po relaciji (1). β = ( 3 6 4 [ ( 6 4 ) ( 8 6 ) 3 1 1 ) ( 9 6 ) ( 5 ( 9 9 6 6 ) ( 12 10 ) 5 3 3 ) (7 6 ) ( 9 ( 4 9 6 4 2 2 ) (7 5 ) 6 ) ( 12 9 ) ] / 6 = 0.528 6. Najranije fazi vreme početnog (prvog) događaja u mrežnom dijagramu. Događaj br 1 je početni događaj u mreži i njegovo najranije fazi vreme odigravanja je ft (0) 1 = (0,0,0,0) 7. Najranije fazi vreme događaja u mrežnom dijagramu. Najranije fazi vreme događaja (čvorova) j u mrežnom dijagramu, izuzimajući događaj br. 1 izračunava se po relaciji: ft j (0) = max ( ft i (0) ft ij ); i DP(j), j 1 (5) U događaj br. 2 (Sl. 4) ulazi samo jedna aktivnost, iz događaja br. 1 (aktivnost A 12 ), pa je: ft 2 (0) = (0,0,0,0) (4,6,6,8) = (4,6,6,8) 7. Rang fazi brojeva koji treba da izraze najranije vreme odigravanja događaja br. 3 Treba izračunati rang fazi brojeva: FN 13 = (6,9,10,12); FN 23 = (5,9,12,17) X 1 = 5; X 2 =17, po relaciji (2) R(FN 13 ) = 0.528[12-5) / (17-5-1012)] 0.472[1 (17-6) / (17-59-6)] = 0.390 R(FN 23 ) = 0.528[17 5) / (17-5-1217)] 0.472[1 (17-5) / (17-5 9-5)] = 0.489 Uzima se maksimalna vrednost ranga, odnosno fazi broj FN 2 = (5,9,12,17), kao najranije fazi vreme događaja br. 3. U događaj broj 4 ulaze tri aktivnosti, iz događaja br. 1, (aktivnost A 1,4 iz događaja broj 2, (aktivnost A 2,4 ) i iz događaja br. 3,(aktivnost A 3,4 ) Sl. 6. Definisanje najranijeg fazi vremena događaja br. 4 ft 4 (0) = max {(ft 1 ft 1,4 ); (ft 2 ft 2,4 ); (ft 3 ft 3,4 ) = {[(0,0,0,0) (2,4,5,7)]; [ (4,6,6,8) (3,5,6,7)]; [(5,9,12,17) (6,9,9,12] = max{(2,4,5,7); (7,11,12,15); (11,18,21,29) Sl. 4. Definisanje najranijeg fazi vremena događaja br.2 U događaj br. 3 ulaze dve aktivnosti, iz događaja br.1 (aktivnost A 1,3 ) i iz događaja broj 2 (aktivnost A 2,3 ). Sl. 5. Definisanje najranijeg fazi vremena događaja br. 3 ft 3 (0) = max {(ft 1 ft 1,3 ); (ft 2 ft 2,3 ) ={[(0,0,0,0) (6,9,10,12,)];[ (4,6,6,8) (3,5,67)] = = max[(6,9,10,12); (5,9,12,17)] 64 7. Rang fazi brojeva koji treba da izraze najranije vreme odigravanja događaja br. 4 Treba izračunati rang fazi brojeva: FN 14 = (2,4,5,7); FN 24 = (7,11,12,15); FN 34 = (11,18,21,29); X 1 = 2, X = 29 R(FN 14 ) = 0.528[(7 2) / (29 2 5 7)] 0.472[1 (29 2) / (29 2 4 2)] = 0.123 R(FN 24 ) = 0.528[(15 2) / (29 2 12 15)] 0.472[1 (29 7) / (29 2 11 7)] = 0.366 R(FN 34 ) = 0.528[(29 2) / (29 2 21 29)] 0.472[1 (29 11)/(29 218 11)] = 0.629 Uzima se maksimalna vrednost ranga, odnosno fazi broj FN 24 = (11,18,21,29), kao najranije fazi vreme događaja br. 4. 8. Najkasnije fazi vreme odigravanja poslednjeg događaja u mreži Događaj broj 4 je poslednji događaj u mreži i njegovo nakasnije fazi vreme odigravanja je: ft 4 (1) = ft 4(0) = (11,18,21,29) TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011)
9. Najkasnije fazi vreme događaja u mrežnom dijagramu Najkasnije fazi vreme događaja (čvora) j izračunava se po relaciji: ft j (1) = min ( ft k (1) ft ij ); k NS(j), j < n, (6) Iz događaja br. 3 izlazi samo jedna aktivnost: ft 3 (1) = (11,18,21,29) - (6,9,10,12,) = (-1,9,12,23) Iz događaja br. 1 izlaze tri aktivnosti, u događaj br. 2 (aktivnost A 12 ), u događaj br. 3 (aktivnost A 13 ) i u događaj br. 4 (aktivnost A 14 ) Sl. 9. Definisanje najkasnijeg fazi vremena događaja br. 1 ft 1 (1) = min.{[(-10,3,9,22) (4 6 6 8)]; [(-1,9,12,23) - (6,9, 10,12)]; [(11,18,21,29) - (2,4,5,7)]} = min.[(-2,-3,3,18); (-13,-1,3,17); (4,13,17,27) Sl. 7. Definisanje najkasnijeg fazi vremena odigravanja događaja br. 3 Iz događaja br. 2 izlaze dve aktivnosti, u događaj br. 3 (aktivnost A 23 ) i u događaj br. 4 (aktivnost A 24 ). 10. Rang fazi brojeva koji treba da izraze najkasnije vreme odigravanja događaja br. 1 Treba izračunati rang fazi brojeva: FN 21 = (-2,-3,3,18); FN 31 = (-13,-1,3,17); FN 41 = (4,13,17,27); X 1 = -13; X = 27 R(FN 21 ) = 0.528[(18-(-13)) / (27-(-13)-318) (1-0.528)[1-(27-(-2) / (27-(-13) (-3)-(-2)] = 0.431 R(FN 31 ) = 0.528[(17-(-13)) / (27-(-13)-317 ) (1-0.528)[1-(27-11) / (27-(-13) (-1)-11)]= 0.562 R(FN 41 ) = 0.528[(27-(-13)) / (27-(-13)-1727 ) (1-0.528)[1-(27-4) / (27-(-13 ) 13-4)]= 0.672 Sl. 8. Definisanje najkasnijeg fazi vremena odigravanja događaja br. 2 ft 2 (1) = min.{[ (-1,9,12,23) (1,3,6,9)]; [(11,18,21,29) - (3,5,6,7)]} = min.[(-10,3,9,22); (4,12,16,26)] 10. Rang fazi brojeva koji treba da izraze najkasnije vreme odigravanja događaja br. 2 Treba izračunati rang fazi brojeva: FN 3,2 = (-10,3,9,22) i FN 4,2 = (4,12,16,26); X 1 = -10; X 2 =26 R(FN 3,2 ) = 528[(22 - (-10)) / (26 - (-10) -9 22) (1-0.528)[1- (26 - (-10)] / ( 26 - (-10) 3 - (-10)] = 0.477 R(FN 4,2 ) = 0.528[(26 - (-10)] / ( 26 - (-10) -16 26) (1-0.528)[1- (26-3) / ( 26 - (-10) 12-3)] = 0.638 Uzima se minimalna vrednost ranga, odnosno fazi broj FN 4,2 = (-10,3,9,22), kao najkasnije fazi vreme događaja br.2. Uzima se minimalna vrednost ranga, odnosno fazi broj FN 21 = (-2,-3,3,18), kao najkasnije fazi vreme događaja br. 1. 11. Ukupni fazi vremenski zazor aktivnosti A ij Ukupni fazi vremenski zazor aktivnosti A ij izračunava se po relaciji: ftf ij = ft j (1) (ft i (0 ) ft ij ); 1<=i<j<n, (7) ftf 12 = ft 2 (1) (ft 1 (0) ft 12 ) = (-10,3,9,22) [(0,0,0,0) (4,6,6,8)] = (-18,-3,3,18) ftf 13 = ft 3 (1) (ft 1 (0) ft 13 ) = (-1,9,12,23) [(0,0,0,0 ) (6,9,10,12)] = (-13,-1,3,17) ftf 14 = ft 4 (1) (ft 1 (0) ft 14 ) = (11,18,21,29) [(0,0,0,0 ) (2,4,5,7)] = (4,13,17,27) ftf 23 = ft 3 (1) (ft 2 (0) ft 23 ) = (-1,9,12,23) [(4,6,6,8) (1,3,6,9)] = (-18,-3,3,18) ftf 24 = ft 4 (1) (ft 2 (0) ft 23 ) = (11,18,21,29) [(4,6,6,8) (3,5,6,7)] = (-4,6,10,22) ftf 34 = ft 4 (1) (ft 3 (0) ft 35 ) = (11,18,21,29) [5,9,12,17) (6,9,9,12)] = (-18,-3,3,18) TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011) 65
12. Putevi u mrežnom dijagramu U mrežnom dijagramu sa Sl.1 postoje četiri (4) puta: P 1 = (1,2,4); P 2 = (1,2,3,4); P 3 = (1,3,4); P 4 = (1,4) 13. Ukupni fazi vremenski zazori puteva (P i ) u mrežnom dijagramu Ukupan fazi vremenski zazor puta P k u mrežnom dijagramu izračunava se porelaciji: ftf(p k ) = Σ ftf ij, Pk P; i 1 <j n, (8) ftf(p 1 ) = (-18,-3,3,18) (-4,6,10,22) = (-22,3,13,40) ftf(p 2 ) = (-18,-3,3,18) (-18,-3,3,18) (-18,-3,3,18) = (-54,-9,9,54) ftf(p 3 ) = (-13,-1,3,17) (-18,-3,3,18) = (-31,-4,6,35) ftf(p 4 ) = (4,13,17,27) U odnosu na klasičnu determinističku metodu kritičnog puta gde je ukupni vremenski zazor nula, kod fazi koncepta kritičnog puta kritičnost raste kako ukupni fazi vremenski zazor opada, pa je potrebno naći put sa minimalnim fazi vrednostima ukupnog vremenskog zazora. Put P k koji zadovoljava relaciju: ftf(p k ) = min ftf(p i ), Pi P i P) (9) jeste kritičan put[1] Pošto je: R[ftf(P 2 )] < R[ftf(P 3 )] < R[ftf(P 1 )] < R[ftf(P 4 )], kritični put je put P 2, a vreme trajanja projekta je u proseku od 18 do 21 dan [ft 4 (1) = ft 4 (0) = (11,18,21,29)] 14. Rang fazi brojeva koji izražavaju ukupni fazi vremenski zazor puteva u mreži Treba izračunati rang fazi brojeva (1): ftf(p 1 ) = (-22,3,13,40); ftf(p 2 ) = (-54,-9,9,54); ftf(p 3 ) = (-31, -4,6,35); ftf(p 4 )= (4,13,17,27); X 1 =54; X 2 = 54 R[ftf(P 1 )] = 0.528[(40 - (-54)) / (54 - (-54)-13 40) (1-0.528)[1 - (54 - (-22) / (54 - (-54) 3 - (-22)] = 0.597 R[ftf(P 2 )] = 0.528[(54 - (-54)) / (54 - (-54)- 9 54) (1-0.528)[1 - (54 - (-54) / (54 - (-54) (-9 )- (-54)] = 0.512 R[ftf(P 3 )] = 0.528[(35 - (-54)) / (54 - (-54) - 635) (1-0.528)[1-(54 - (-31) / (54 -(-54) (-4)-(-31)] = 0.518 R[ftf(P 4 )] = 0.528[(27- (-54)) / (54 - (-54) -1727) (1-0.528)[1-(54-4) / (54 -(-54)13) - 4)] = 0.632 15. Kritični put u mrežom dijagramu Ako se prihvati da su sva fazi trajanja aktivnosti na projektu trapezoidni fazi brojevi, tada postoji i fazi kritični put u mrežnom dijagramu [1]. Sl.10. Mrežni dijagam sa definisanim kritičnim putem ZAKLJUČAK Uzimajući u obzir da se dinamički planovi u graditeljstvu uglavnom rade na osnovu ne baš pouzdanih podataka o trajanju graditeljskih aktivnosti, bilo da se radi o zastarelim normativima ili podacima baziranim na intuiciji pojedinaca, preporučljivo da se u svim situacijama ge je u pitanju neizvesnost, za izradu dinamičkih planova u graditeljstvu koriste fazi skupovi. Iz napred prikazanog može se primetiti da to nije težak već lako prihvatljiv posao koji će omogućiti da se neizvesnost u planiranju pretvori u kontrolisanu verovatnoću, odnosno prihvatljivi rizik. LITERATURA [1] Gin-Shuh Liang, Tzeu-Chen Han, Fuzzy Critical Path for Project Network, International Journal Information and Management Sciences, Volume 15, Number 4, pp. 29-40, (2004). [2] Ravi Shankar, V. Sireesha and P. Phani Bushan Rao, Critical Path Analysis in the Fuzzy Project Network, Advances in Fuzzy Mathematics, ISSN 0973-533X Volume 5, Number 3 (2010), pp. 285 294, Research India Publications. [3] V. Sireesha, N. Ravi Shankar, A New Approach to find Total Float time and Critical 66 Path in a fuzzy Project Network, International Journal of Engineering Science and TechnologyVol. 2(4), 2010, 600-609 [4] Kazimir Kurij, Metode i tehnike izrade planova u graditeljstvu, Građevinska knjiga, Beograd, 2007. [5] Darjan Bugarinović http://automatika.etf.bg.ac.rs/files/predmeti_sa_ master_studija/ t2_darjan_bugarinovic- _fazi_logika.pd TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 2011)