Prethodno priopćenje 111 Preliminary ommuniation UDK 691.3:64.4 64.4:691.3 DIJAGRAMI INTERAKCIJE ZA ARMIRANOBETONSKI ŠUPLJI KRUŽNI POPREČNI PRESJEK INTERACTION DIAGRAMS FOR REINFORCED CONCRETE HOLLOW CIRCULAR CROSS-SECTION Željko Smolčić *, Kenija Blašković ** Sažetak Opian je potupak izrade dijagrama interakije za armiranobetonke šuplje kružne poprečne prejeke prema normi HRN EN 199-1-1. Zbog uvođenja novih razreda čvrtoće betona nešto drugačijim parametrima proračunkog dijagrama naprezanje-relativna deormaija, dolazi do potrebe izrade novih dijagrama interakije. Proveden je potupak proračuna temeljem kojeg u izrađeni dijagrami interakije za šuplji kružni poprečni prejek za razrede betona od C1/15 do C5/6. Primjenom dobivenih dijagrama interakije pojednotavljuje e potupak dimenzioniranja armiranobetonkih šupljih kružnih poprečnih prejeka. Ključne riječi: armirani beton, dimenzioniranje, šuplji kružni poprečni prejek, dijagrami interakije Abtrat The proedure or reating interation diagram or reinored-onrete hollow irular ro etion, baed on HRN EN 199-1-1, i deribed in the paper. Due to introdution o new onrete trength lae, with omewhat dierent parameter or the tre-relative train diagram, it ha beome neeary to develop new interation diagram. The omputation proedure, baed on whih hollow irular ro etion interation diagram were made or onrete lae rom C1/15 to C5/6, wa onduted. The ue o thee interation diagram will impliy dimenioning o reinored-onrete hollow irular ro-etion. * Građevinki akultet Sveučilišta u Rijei, Radmile Matejčić 3, 51 Rijeka E-mail: zeljko.moli@uniri.hr ** Građevinki akultet Sveučilišta u Rijei, Radmile Matejčić 3, 51 Rijeka E-mail: kenija.blakovi@tudent.uniri.hr Rad zaprimljen: 7. 1. 18. Rad prihvaćen: 4. 4. 18.
11 GF ZBORNIK RADOVA Key word: reinored onrete, dimenioning, hollow irular ro-etion, interation diagram 1. Uvod Norma HRN EN 199 [1] uvodi nove razrede čvrtoća betona; oim uobičajenih betona razreda C1/15 do razreda C5/6 uvode e i novi razredi betona: C55/67, C6/75, C7/85, C8/95 i C9/15. Poznato je u betoni velikih čvrtoća manje duktilni od betona uobičajenih čvrtoća, što ima za poljediu mijenjanje oblika proračunkog dijagrama naprezanjerelativna deormaija za betone viših razreda. Normom HRN EN 199 [1] veličina proračunke tlačne čvrtoće betona promijenila e u odnou na prijašnju normu HRN ENV 199 []. Zbog gore navedenih razloga, javlja e potreba za izradom novih dijagrama interakije za dimenzioniranje armiranobetonkih kružnih šupljih poprečnih prejeka na avijanje onom ilom. Dijagrami interakije kružnog šupljeg poprečnog prejeka koji omogućuju proračun prema normi HRN EN 199-1-1 [1] i normi DIN 145-1 [3] dotupni u u literaturi [4]. Proračunki dijagrami betona prema normama DIN 145-1 [3] i HRN EN 199-1-1 [1] identični u za betone razreda C1/15 do C5/6. Dijagrami interakije kružnog šupljeg poprečnog prejeka prema normi DIN 145-1 [3] mogu ponuditi približne vrijednoti, ali e u Hrvatkoj mogu korititi uz određena ograničenja, budući da u određeni za proračunke dijagrame naprezanje-relativna deormaija čelika za armiranje koom gornjom granom u kladu DIN 145-1 [3]. Dijagrami interakije dotupni u literaturi [4] napravljeni u za najveću relativnu deormaiju vlačne armature,5 (5 ), dok e u Hrvatkoj uobičajeno rabi, ( ) [5]. Oim toga, za betone razreda višeg od C5/6 proračunki dijagrami betona i čelika prema normama DIN 145-1 [3] i HRN EN 199-1-1 [1] niu identični, tako da e dijagrami interakije prema DIN 145-1 [3] u Hrvatkoj ne mogu korititi. Za izradu dijagrama interakije korišten je računalni program MathCad 1i [6]. Dijagrami interakije dani u ovome radu izrađeni u u klopu završnog rada [7]. U ovom radu dani u dijagrami interakije kružnog šupljeg poprečnog prejeka prema normi HRN EN 199-1-1 [1], za razrede betona od C1/15 do C5/6. Dijagrami interakije za kružni šuplji poprečni prejek za betone razreda viših od C5/6 dani u u [7].
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 113. Opi poprečnog prejeka Opi kružnog šupljeg poprečnog prejeka armaturom prikazan je na Slii 1. Tlačna naprezanja i tlačne relativne deormaije dane u ovom radu uzimaju e negativnim predznakom, dok e vlačna naprezanja i vlačne relativne deormaije uzimaju pozitivnim predznakom. ε,ed - h d h/ h/ ri r r težište betona z x ε κ N M F Fd d1 ε1 ε,ed1 Slika 1. Kružni šuplji poprečni prejek rapodjelom deormaija, naprezanja i ila Deormaija betona u proizvoljnoj točki određuje e kao: h ε ε,ed κ z. (1) Zakrivljenot poprečnog prejeka određuje e prema izrazu: ε1 ε,ed κ, () d gdje je: ε 1 ε,ed ε,ed1 z h d d 1 x r r i - deormaije armature na donjem rubu, - deormaija betona na gornjem rubu, - deormaija betona na donjem rubu, - udaljenot od težišta betonkog prejeka do promatrane točke, - ukupna viina prejeka (promjer), - udaljenot gornjeg ruba betona do armature na donjem rubu, - udaljenot jednoliko rapoređene armature od ruba prejeka, - viina neutralne oi, - vanjki polumjer kružnog šupljeg poprečnog prejeka, - unutarnji polumjer kružnog šupljeg poprečnog prejeka.
114 GF ZBORNIK RADOVA Uvojena je pretpotavka da ravni prejei i nakon deormaije prejeka otaju ravni (Bernoullijeva hipoteza ravnih prejeka), što ima za poljediu da će e ve točke deormiranog prejeka nalaziti u itoj ravnini (ravnini deormaije) koja prolazi kroz neutralnu o prejeka i koja je pod nagibom na nedeormiranu ravninu prejeka. Armatura je jednoliko rapoređena na kružnii radijua r od težišta prejeka betona. Deormaija armature u proizvoljnoj točki kružnie određuje e prema izrazu (Slika 1 i ): ε ε,ed h κ z ε,ed gdje u r i α deinirani na lii 1 i. h κ r oα, (3) h/ h d h/ d1 ri da/ b(z)/ r z dz r = h/ r = r d1 da/ b(z)/ d r dα d α z Slika. Dierenijalne površine betona i armature Za deiniranje ravnine deormaije potrebno je poznavati amo dvije od triju vrijednoti (ε,ed, ε 1 i ), što je vidljivo iz izraza (). Pri kontruiranju dijagrama interakije dvije od ovih vrijednoti (ε,ed, ε 1) treba varirati, dok e treća veličina dobiva iz izraza (). Pomoću dijagrama interakije moguće je dimenzioniranje prejeka napregnutih tlačnom ili vlačnom onom ilom momentom avijanja. Oim toga, dijagrami interakiji mogu e korititi za dimenzioniranje prejeka napregnutih avijanjem bez one ile i prejeka napregnutih amo onom ilom. Područja položaja ravnine deormaije općeg poprečnog prejeka prikazana u na Slii 3 [1].
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 115 h d A A (1- ε / ε u )h 1 3 C B A 1 ε ε ud -ε -ε u ε Slika 3. Moguće rapodjele deormaija u armiranobetonkom prejeku općeg oblika prema [1] Položaji ravnine deormaije varirani u rotaijom ravnine deormaije oko oi koje u paralelne neutralnom oi prejeka te prolaze kroz točke A, B ili C (Slika 3.): Područje 1 (rotaija oko točke A) ε 1 = ε ud ε,ed varira e od ε ud do -ε u Područje (rotaija oko točke B) ε,ed = -ε u ε 1 varira e od ε ud do (-ε u/h) d 1 Područje 3 (rotaija oko točke C) ε,ed varira e od -ε u do -ε ε 1 varira e od (-ε u/h) d 1 do -ε Širina betonkog prejeka dobije e prema Slii.: b z za -r z -r i, (4) bz b r z r z ri z za -r i < z < r i, (5) z r z za r i z r, (6) Dierenijalna površina betona dobije e prema Slii : da bz dz. (7)
116 GF ZBORNIK RADOVA Dierenijalna površina armature određuje e prema Slii, uz pretpotavku da je armatura jednoliko rapoređena na udaljenoti r od težišta prejeka betona: d d r dα dα. (8) r π r π π 3. Proračunki dijagrami 3.1. Proračunki dijagram betona Prema normi HRN EN 199-1-1 [1], vrijednot proračunke tlačne čvrtoće određuje e izrazom: α γ, (9) k C gdje je k karakteritična tlačna čvrtoća betona, γ C parijalni koeiijent igurnoti za beton, a α koeiijent kojim e u obzir uzimaju dugotrajni učini na tlačnu čvrtoću i nepovoljni učini koji u poljedia načina opterećivanja. Prihvaćena vrijednot u hrvatkom naionalnom dodatku norme HRN EN 199-1-1 [1] je α = 1,. Za dimenzioniranje poprečnih prejeka na avijanje onom ilom rabi e odno naprezanje-relativna deormaija betona, prikazan na Slii 4. Značajke betona prikazane u u Tablii 1 [1]. Naprezanje u betonu može e prikazati ljedećim izrazima: n ε σ 1 1 za -ε ε, (1) ε σ za -εu ε < -ε, (11) σ MPa za ε >, (1) gdje je n ekponent, ε je deormaija kad je doegnuta čvrtoća betona, dok je ε u krajnja deormaija (Tablia 1.).
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 117 σ -εu -ε ε - k (MPa) Slika 4. Dijagram naprezanje-relativna deormaija za beton Tablia 1. Značajke betona prema HRN EN 199-1-1 C1/15- C55/67 C6/75 C7/85 C8/95 C9/15 C5/6 1 do 5 55 6 7 8 9 ε ( ),,,3,4,5,6 εu ( ) 3,5 3,1,9,7,6,6 n, 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 3.. Proračunki dijagram čelika za armiranje Prema normi HRN EN 199-1-1 [1], za dimenzioniranje prejeka može e korititi dijagram naprezanje-relativna deormaija za čelik za armiranje horizontalnom gornjom granom bez potrebe ograničenja deormaije. Za kontruiranje dijagrama interakije koji e prikazuju u ovom radu upotrijebljen je proračunki dijagram naprezanje-relativna deormaija za čelik za armiranje horizontalnom gornjom rtom najvećom deormaijom ε ud =. ( ) (Slika 5). Na Slii 5 yk je karakteritična grania popuštanja čelika za armiranje, yd je proračunka granie popuštanja čelika za armiranje a S je parijalni koeiijent za čelik za armiranje.
118 GF ZBORNIK RADOVA σ yd =yk/s yd -εud=- -yd/e yd/e εud= ε -yd Slika 5. Dijagram naprezanje-relativna deormaija za čelik za armiranje Naprezanje u armaturi (prema Slii 5) iznoi: σ za -εud ε -εyd, (13) yd σ ε E za -εyd < ε < εyd, (14) σ yd za εyd ε εud, (15) gdje je modul elatičnoti čelika E = MPa, a yd proračunka grania popuštanja armature. 4. Jednadžbe ravnoteže Proračunka tlačna ila u betonu određuje e prema izrazu: h F σ da σ bz dz. (16) A h Proračunka ila u armaturi proračunava e pomoću izraza: π F d σ d σ dα, (17) π gdje je A ukupna površina prejeka armature.
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 119 U prejeima itodobno naprezanim momentom avijanja i onom ilom potrebno je imultano zadovoljiti dva uvjeta: gdje je: N M N Rd M Rd N N Rd, (18) M M Rd, (19) - proračunka djelujuća ona ila, - proračunki djelujući moment avijanja, - otpornot prejeka na djelovanje one ile, - moment noivoti prejeka. Otpornot prejeka na djelovanje one ile iznoi: N Rd F. () F d Kada e izraz () uvrti u izraz (18) dobije e: N F F, (1) d odnono kada e u prethodni izraz (1) uvrte izrazi (16) i (17) za F i F d dobiva e: h h π N σ bz dz σ dα. () π Kada e izraz () podijeli aktorom A, dobiva e: N A h π h yd σ bz dz A A A σ 1 dα π gdje je A = r π - r i π površina betonkog poprečnog prejeka. yd, (3) U izraz (3) uvode e bezdimenzijka veličina one ile i mehanički koeiijent armiranja : ν N, (4) A
1 GF ZBORNIK RADOVA ω A yd, (5) A te e za N = N Rd dobiva: (6) ν h σ bz dz π π h ω. (7) A σ yd 1 dα Moment noivoti kojim e prejek odupire avijanju iznoi: h h π M Rd σ z bz dz σ z dα, (8) π odnono: h h π M Rd σ z bz dz σ r oα dα. (9) π Kada e izraz (9) uvrti u izraz (19) dobije e: M h σ z bz dz h π σ r oα a zatim e izraz (3) podijeli aktorom A h : M A h h π dα π h yd yd, (3) 1 σ z bz dz σ r oα dα A π. (31) A h A h U izraz (31) uvodi e mehanički koeiijent armiranja (izraz (5)) i bezdimenzijka veličina momenta avijanja : μ M, (3) A h te e za M = M Rd dobiva algebarka veza između bezdimenzijke veličine momenta avijanja i mehaničkog koeiijenta armiranja :
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 11 μ h σ z bz dz h A h ω π σ 1 r oα dα π h yd. (33) Potrebna e površina prejeka armature, jednoliko rapoređene na udaljenoti r od težišta prejeka betona, određuje pomoću izraza: ω A. (34) yd Dijagrami interakije dobiveni u na način da u varirane deormaije čelika ε 1 i betona ε,ed (zakrivljenot ) i mehanički koeiijent armiranja, te u proračunavane vrijednoti (7) i (33) koje u naneene u koordinatni utav -. Dijagrami interakije (Slika 6) izrađeni u za kružni šuplji poprečni prejek i za betone razreda C1/15 do C5/6, čelik B5 te za omjer d 1/h =,1. Jednadžbe ravnoteže (7) i (33) potavljene u na način da vrijede za va tri područja ravnine deormaije poprečnog prejeka (Slika 3). Umjeto analitičkog rješavanja integrala u jednadžbama (7) i (33), u programu MathCad [6], korištena je numerička integraija. Naprezanja betona σ u izrazima (7) i (33) integriraju e po ijeloj viini prejeka, to jet od h/ do h/. Naprezanja armature σ u izrazima (7) i (33) integriraju e po ijeloj kružnii, to jet, od kuta α = do π. Naprezanja u betonu određuju e prema izrazima (1) do (1), a naprezanja u čeliku prema izrazima (13) do (15).
1 GF ZBORNIK RADOVA ν -3, -,8 -,6 -,4 -, -, -1,8-1,6 ε,ed/ ε,ed1=-/- C1 15 C5 6 B 5 r r 8 i ν N A ω A yd d r r 5 μ A r 1 ε,ed/ ε,ed1=-3,5/ M A h i π r i π -1,4-1, -1, -,8 -,6 -,4 ω=, ε,ed/ε1= -3,5/,17 ω=, ω=,4 ω=,6 ω=,8 ω=1, ω=1, ω=1,4 ω=1,6 ω=1,8 ω=, -,,,1,,3,4,5,6,7, μ,,4,6,8 1, 1, 1,4 1,6 ε,ed/ε1= -3,5/ h ri r r 1,8, ε,ed/ε1=/ d1 Slika 6. Dijagrami interakije za kružni šuplji poprečni prejek C1/15 do C5/6, B5, ri/r=,8, d1/(r- ri)=,5
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 13 5. Numerički primjer Treba dimenzionirati kružni šuplji poprečni prejek tupa promjera h = 1 m (r = 5 m) i unutarnjeg radijua r i = 4 m, čija je armatura jednoliko rapoređena na udaljenoti d 1 = 5 m od ruba prejeka. Stup e predviđa izveti od betona razreda C3/37, i čelika za armiranje B5B. Promatrani prejek napregnut je ljedećim proračunkim preječnim ilama: M = 113,97 knm i N = -5654,87 kn. Omjer: ri r 4,8 5 d r r i 5 5 4 1 Proračunka tlačna čvrtoća betona: α γ k C 1, 3 1,5 MPa,5 Proračunka grania popuštanja armature: yd γ yk 5 1,15 434,78MPa Površina betonkog prejeka: A r π r i π 5 π 4 π 87,43 m Bezdimenzijka veličina one ile: ν N A 5654,87 1, 87,43, Bezdimenzijka veličina momenta avijanja: μ M A h 11397, 87,43 1, Mehanički koeiijent armiranja očita e a Slike 6: ν 1,, μ, ω,6 Potrebna e površina armature, jednoliko rapoređena na udaljenoti r od težišta prejeka betona, određuje pomoću izraza: A ω yd A,,6 87,43 78,4m 43,478
14 GF ZBORNIK RADOVA U ovom primjeru nije e provjeravala minimalna i makimalna armatura prema normi HRN EN 199 [1]. Kontrola prikazanog primjera dimenzioniranja kružnog šupljeg prejeka provedena je pomoću računalnog programa Gala Reinorement 4.1e [8] i programa za dimenzioniranje armiranobetonkog kružnog šupljeg prejeka (program KP) [9]. Program Gala Reinorement 4.1e [8] luži za dimenzioniranje armiranobetonkih poprečnih prejeka proizvoljnih oblika naprezanih ravnim ili koim avijanjem onom ilom. Program KP [9] izrađen je pomoću računalnog programa MathCad 1i [6] u klopu završnog rada [9] i luži za dimenzioniranje armiranobetonkih kružnih šupljih poprečnih prejeka naprezanih ravnim avijanjem onom ilom. Program Gala Reinorement 4.1e [8] ne može e zadavati jednoliko rapoređena armatura već e armatura zadaje kao točkata armatura, dok je programom KP [9] moguće zadavati jednoliko rapoređenu armaturu. Vidljivo je da u rezultati dobiveni programom Gala Reinorement 4.1e [8] i programom KP [9] vrlo bliki (Tablia.). Razlika u dobivenim rezultatima pripiuje e različitom načinu deiniranja razmještaja armature. Program Gala Reinorement 4.1e [8] ne može zadavati jednoliko rapoređenu armaturu već e armatura zadaje kao točkata armatura (u primjeru 36 šipki armature). Proračunata armatura u primjeru, uz primjenu dijagrama interakije, zanemarivo je manja. To je poljedia korištenja dijagrama interakije, kod kojih točnot proračuna ovii o odoka očitanoj vrijednoti mehaničkog koeiijenta armiranja ω. Razlika u rezultatima može biti poljedia različitog tretiranja betona na mjetu armature. Program Gala Reinorement 4.1e [8] i program KP [9] uzimaju u obzir da e na mjetu čelika za armiranje ne može nalaziti beton, dok kod dijagrama interakije [7] ta pretpotavka ne vrijedi. veličine Tablia. Rezultati proračuna dijagram interakije [7] program KP [9] program Gala [8] 78,4 m 81,5 m 81,8 m ε,ed -3,5-3,5-3,5 ε1 oko,5,75,76 x 88,7 m 88,5 m
Ž. Smolčić, K. Blašković Dijagrami interakije za armiranobetonki šuplji kružni 15 6. Zaključak Prikazani u dijagrami interakije za kružni šuplji poprečni prejek prema normi HRN EN 199-1-1 za razrede betona od C1/15 do C5/6. Dijagrami interakije za kružni šuplji poprečni prejek dobiveni u na način da jednadžbe ravnoteže vrijede u vim područjima ravnine deormaije poprečnog prejeka i prilagođene u računalnim programima koji imaju mogućnot programiranja proračunkih proedura kao što je program MathCad. Nedotatak opianog potupka je relativno veliko vrijeme proračuna dijagrama interakije zato što e, umjeto analitičkog rješevanja integrala, u programu MathCad, koritila numerička integraija. S obzirom na brzinu današnjih oobnih računala to više ne predtavlja veliki problem. S pomoću prikazanih dijagrama interakije mogu e jednotavno, brzo i dovoljnom točnošću dimenzionirati kružni šuplji armiranobetonki prejei. Dana na rapolaganju potoje mnogi komerijalni računalni programki paketi pomoću kojih e može provoditi proračun i automatko dimenzioniranje armiranobetonkih kontrukija, ali još uvijek potoji potreba za pomagalima za dimenzioniranje kao što u dijagrami interakije. Dijagrami interakije mogu polužiti kao kontrola dimenzioniranja provedenih pomoću komerijalnih programkih paketa u kojima u programirane proedure četo podložne određenim pojednotavljenjima ili koriniima programkih paketa nepoznatim interpretaijama normi i teorije armiranobetonkih kontrukija od trane njihovih autora. Prikazani potupak izrade dijagrama interakije za kružni šuplji poprečni prejek može e primijeniti i za puni kružni poprečni prejek (r i= m). Oim toga, prikazani potupak izrade dijagrama interakije za kružni šuplji poprečni prejek može e, uz preradu, korititi za bilo kakav poprečni prejek kod kojeg znamo unkiju promjene širine poprečnog prejeka b(z). Literatura [1] HRN EN 199-1-1, Eurokod. (8) Projektiranje betonkih kontrukija - 1-1. dio: Opća pravila i pravila za zgrade (EN 199-1-1:4+AC:8) (prema EN199-1-1:4). Zagreb: HZN. [] HRN ENV 199-1-1, Eurokod. (4) Projektiranje betonkih kontrukija - 1-1. dio: Opća pravila i pravila za zgrade (prema ENV 199-1-1:1991). Zagreb: HZN. [3] DIN 145-1. (9) Tragwerke au Beton, Stahlbeton und Spannbeton; Teil 1: Bemeung und Kontruktion. Betonkalender 9. Berlin: Ernt & Sohn.
16 GF ZBORNIK RADOVA [4] Zilh, K., Zehetmaier, G. (1) Bemeung im kontruktiven Betonbau Nah DIN 145-1 (Faung 8) und EN 199-1-1 (Euroode ). Berlin Heidelberg: Springer. [5] Sorić, Z., Kišiček, T. (14) Betonke kontrukije 1. Zagreb: Građevinki akultet Zagreb. [6] Mathad. (1) Uer Guide with Reerene Manual Mathad 1i. MathSot Engineering & uation. [7] Blašković, K. (1) Dijagrami interakije za kružni šuplji prejek. Završni rad. Rijeka: Građevinki akultet Sveučilišta u Rijei. [8] Alahki, I. (1) Računalni program Gala Reinorement 4.1e. Soija: Alahki.e. Group. [9] Peričić, L. (17) Program za dimenzioniranje šupljeg kružnog prejeka, Završni rad. Rijeka: Građevinki akultet Sveučilišta u Rijei.