Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1 Zaključivanje o jednoj slučajnoj varijabli Numeričke karakteristike distribucije populacije nazivamo par
|
|
- Herman Rožič
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1 Zaključivanje o jednoj slučajnoj varijabli Numeričke karakteristike distribucije populacije nazivamo parametrima. Statističko zaključivanje odnosi se na donošenje zaključaka o parametrima promatrane populacije na temelju analiziranja odabranog uzorka. Prije samog odabira uzorka iz čijih će karakteristika slijediti zaključci treba voditi računa o sljedećem: dimenziji uzorka i načinu odabira elemenata populacije u uzorak, prirodi zaključka kojeg želimo donijeti, vjerodostojnosti konačnog zaključka. Dva najvažnija postupka statističkog zaključivanja su: procjena parametara, testiranje hipoteza vezanih uz parametre. Kod procjene parametara razlikujemo: procjenu vrijednosti nepoznatog parametra (procjena konkretnom vrijednošću), određivanje intervala kojem vrijednost nepoznatog parametra pripada s nekom unaprijed zadanom vjerojatnosti (procjena parametara intervalima zadane pouzdanosti). Procjena vrijednosti parametara slučajne varijable Jednostavno rečeno, procijeniti vrijednost parametra znači na temelju informacija dostupnih iz uzorka odrediti jednu vrijednost blisku vrijednosti nepoznatog parametra. Primjer 1: auti1.sta Raspolažemo podacima iz test mjerenja potrošnje goriva novog modela automobila pri brzini od 110 km/h na autocesti za 100 pokusa. Podaci se nalaze u bazi podataka auti1.sta. 1. Kolika je vjerojatnost da je potrošnja goriva tog modela u navedenim uvjetima manja od 4 l? (Rješenje: 0, 08)
2 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 2 2. Kolika je očekivana potrošnja goriva u navedenim uvjetima? (Rješenje: ) 3. Kolika je standardna devijacija slučajne varijable koja opisuje potrošnju goriva u navedenim uvjetima? (Rješenje: ) Ovaj primjer ilustrira problem procjene vjerojatnosti događaja, očekivanja i standardne devijacije slučajne varijable koja opisuje potrošnju goriva tog modela automobila iz prikupljenih podataka. Da bismo točno odgovorili na ovakva i slična pitanja potrebno je poznavati točnu distribuciju slučajne varijable koja opisuje potrošnju goriva tog modela automobila. U našem slučaju dostupni su samo izmjereni podaci iz kojih lako saznajemo empirijsku distribuciju te odgovore na ova pitanja moramo potražiti na osnovu njih - moramo procijeniti tražene numeričke karakteristike. Koje matematičke funkcije ćemo iskoristiti za izračune traženih vrijednosti? Koristimo funkcije koje nazivamo procjeniteljima - kad su nam dostupni samo izmjereni podaci pomoću procjenitelja donosimo zaključke o traženim numeričkim karakteristikama i tako dobivene vrijednosti nazivamo procjenama. Kako znati koju funkciju (procjenitelja) koristiti za procjenu tražene numeričke karakteristike? Primjer 2: 1. Kako biste izvršili procjenu vjerojatnosti iz prvog dijela prethodnog primjera? 2. Smatrate li da empirijska distribucija mjerenih podataka o potrošnji goriva ovog tipa automobila ima veze sa stvarnom distribucijom potrošnje? Kada i zašto? 3. Ako bismo ponovili istraživanje i ponovno napravili izračun empirijske distribucije na osnovu novih podataka, očekujete li promijenu vrijednosti? Kako to objašnjavate? Procjena distribucije slučajne varijable Za procjenu distribucije slučajne varijable koristimo empirijsku distribuciju podataka dobivenih mjerenjem realizacija navedene slučajne varijable u međusobno nezavisnim ponavljanjima pokusa.
3 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 3 Procjena očekivanja slučajne varijable Za procjenu očekivanja slučajne varijable koristimo aritmetičku sredinu podataka dobivenih mjerenjem realizacija navedene slučajne varijable u međusobno nezavisnim ponavljanjima pokusa, tj. x = 1 n n x i. i=1 Procjena varijance slučajne varijable Za procjenu varijance slučajne varijable koristimo korigiranu varijancu podataka dobivenih mjerenjem realizacija navedene slučajne varijable u međusobno nezavisnim ponavljanjima pokusa, tj. Napomena: s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Budući se odabrani procjenitelj primjenjuje na uzorak, koji je slučajnog karaktera, pri ponavljanju postupka procjene na drugim realizacijama istog uzorka prirodno je da se mogu pojaviti različite vrijednosti procjena iste numeričke karakteristike. Iako želimo izvršiti procjenu neke numeričke vrijednosti jednim brojem valja priznati realnost, tj. slučajan karakter procjenitelja, i pokušati dobiti što kvalitetniju informaciju iz postupka procjene. U tu svrhu vršimo procjenu numeričke vrijednosti intervalom unaprijed izabrane pouzdanosti. Tako, npr. ako smo izabrali pouzdanost 95% kažemo da smo procijenili danu numeričku karakteristiku intervalom s pouzdanošću 95%, odnosno da je vjerojatnost pripadnosti numeričke karakteristike koju procjenjujemo dobivenom intervalu jednaka i=1
4 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 4 Procjena očekivanja intervalom zadane pouzdanosti za velike uzorke Pod pojmom veliki uzorak podrazumjevamo uzorak dimenzije barem 30 (n 30). Nivo pouzdanosti je broj γ 0, 1, npr. γ = 0.95 ili γ = Interval nivoa pouzdanosti γ za očekivanje slučajne varijable je interval za koji tvrdimo da se očekivanje (µ) te slučajne varijable nalazi u njemu s vjerojatnošću približno γ. Računamo ga na sljedeći način: I γ = [ x z γ σ n, x + z γ σ n ], gdje je: x - aritmetička sredina uzorka; σ - standardna devijacija uzorka; n - dimenzija uzorka; z γ - broj za koji vrijedi: P { Z z γ } = γ; Z - standardna normalna slučajna varijabla. U svrhu određivanja intervala nivoa pouzdanosti γ za očekivanje slučajne varijable potrebno je odrediti z γ takav da je gdje je Z N (0, 1). Primijetimo da je P { Z z γ } = γ, γ = P { Z z γ } = P ( z γ Z z γ ) = 1 zγ e x 2 /2 dx. 2π z γ Primjer 3: auti1.sta Za podatke iz baze auti1.sta napravite procjenu očekivane potrošnje goriva 95% intervalom pouzdanosti. (Rješenje: [ , ])
5 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 5 Primjer 4: tajnice.sta Pretpostavimo da imate vlastito poduzeće i da želite zaposliti tajnicu. Poznato vam je da je u vašem okruženju plaća tajnica normalno distribuirana. Trenutno imate na raspolaganju podatke o 8 plaća i želite vašoj budućoj tajnici dati plaću koja će biti u intervalu oko očekivanja pouzdanosti 90%. Kolika je najmanja, a kolika najveća plaća koju možete ponuditi ako se oslonite na podatke kojima raspolažete? (Rješenje: [ , ]) Primjer 5: dob-poduzetnika.sta Podaci o dobi 200 poduzetnika u Hrvatskoj dani su u bazi podataka dob poduzetnika.sta. Procijenite očekivanu dob poduzetnika u Hrvatskoj intervalom pouzdanosti 95%. (Rješenje: [ , ]) Primjer 6: iq25.sta; iq60.sta Zakon o diskriminaciji prema dobi iz godine označava ilegalnim postupak diskriminacije pri zapošljavanju djelatnika starih 40 godina i više. Oni koji se ne slažu sa zakonom argumentiraju ga postojanjem ekonomskih razloga zbog kojih poslodavci nerado zapošljavaju osobe koje su blizu mirovine. Također govore da je sposobnost ljudi te dobi upitna. U bazi podataka iq25.sta nalaze se rezultati testa inteligencije za 25-godišnjake, a u bazi podataka iq60.sta rezultati testa inteligencije za 60-godišnjake. Odredite intervale pouzdanosti 95% za očekivanje za obje dobi. Dajte objašnjenje tih intervala i komentar u kontekstu problema koji je opisan. (Rješenje: iq25.sta: [ , ]; iq60.sta: [ , ])
6 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 6 Procjena proporcije intervalom zadane pouzdanosti za velike uzorke Procjena proporcije koristi se kada želimo procijeniti vjerojatnost nekog unaprijed izabranog događaja na osnovu nezavisnih ponavljanja istog pokusa. Primjeri: odrediti vjerojatnost pobjede izabrane stranke na izborima na osnovu anketiranja adekvatno izabranog uzorka prije izbora, odrediti vjerojatnost prodaje nekog proizvoda na osnovu istraživanja tržišta anketiranjem adekvatno izabranog uzorka potencijalnih kupaca. Ovo su primjeri slučajnih pokusa koje možemo modelirati Bernoullijevom slučajnom varijablom, tj. slučajnom varijablom X zadanom sljedećom tablicom distribucije: X = ( 0 1 q p ), p [0, 1], q = 1 p. Nezavisnim ponavljanjem našeg pokusa n puta prikupljamo uzorak i tako dobivamo niz jedinica i nula (sve skupa n njih). Cilj je na osnovu zabilježenih realizacija procijeniti vjerojatnost uspjeha p. Dobar procjenitelj za p je relativna frekvencija uspjeha (tj. jedinica) u uzorku. Realizacija tog procjenitelja je konkretan realan broj. Procjena proporcije intervalom dane pouzdanosti γ za velike uzorke: Nivo pouzdanosti je broj γ 0, 1, npr. γ = 0.95 ili γ = Interval za koji možemo tvrditi da se p nalazi u njemu s vjerojatnošću približno γ zovemo interval za p pouzdanosti γ. Računamo ga na sljedeći način:
7 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 7 [ ] ˆp ˆq ˆp ˆq I γ = ˆp z γ n, ˆp + z γ, n gdje je: ˆp - relativna frekvencija jedinica (uspjeha) u uzorku; ˆq - relativna frekvencija nula (neuspjeha) u uzorku; n - dimenzija uzorka; z γ - broj za koji vrijedi: P { Z z γ } = γ; Z - standardna normalna sluč. Kažemo da je dimenzija uzorka dovoljno velika ako interval [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp 3, ˆp + 3 n n ne sadrži ni 0 ni 1 (očito je tada z γ = 3). Primjer 7: Jedna tvornica hrane želi provesti istraživanje tržišta intervjuirajući 1000 potrošača kako bi odredili koju marku pahuljica za doručak oni preferiraju. Prikupljeni podaci su pokazali da 313 ispitanika odabire pahuljice koje proizvodi tvornica koja je provela istraživanje. Na osnovu dobivenih rezultata odredite interval za koji se može tvrditi da sadrži proporciju konzumenata pahuljica navedene tvrtke u odnosu na sve potrošače pahuljica istraživanog tržišta s pouzdanošću γ = (Rješenje: [0.284, 0.342]) Primjer 8: vrtic.sta U nekom poduzeću zaposleno je više od 3000 ljudi. Vlasnik želi ponuditi pomoć svojim zaposlenima oko organizacije čuvanja djece. Razmišljao je o dvije opcije: otvoriti službu čuvanja djece unutar poduzeća ili ponuditi novčanu pomoć roditeljima kako bi sami organizirali čuvanje. Odabrao je uzorak od 60 roditelja, pitao ih za mišljenje i njihove odgovore kodirao na sljedeći način: 0 - radije bih novčanu pomoć za samostalnu organizaciju čuvanja djece; 1 - radije bih organizaciju prepustio poduzeću. Procijenite s pouzdanošću γ = 0.95 proporciju roditelja koji žele organizirano čuvanje djece. Podaci se nalaze u bazi podataka vrtic.sta. (Rješenje: [0.5115, ])
8 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 8 Primjer 9: Neka banka je provela istraživanje koje je obuhvatilo 1252 osobe koje posjeduju kreditnu karticu. Pronašli su da je njih 180 koristilo karticu za kupovinu putem Interneta. 1. Je li uzorak dovoljno velik za konstruiranje valjanog intervala povjerenja za proporciju onih koji su koristili kartice za kupovinu putem Interneta u odnosu na sve osobe koje posjeduju kreditnu karticu? Obrazložite odgovor. (Rješenje: uzorak je dovoljno velik.) 2. Sastavite pouzdani interval za navedenu proporciju ako je γ = Interpretirajte rezultat u kontekstu problema koji proučavate. (Rješenje: [0.1209, ]) 3. Da ste konstruirali interval za γ = 0.90, bi li on bio uži ili širi? (Rješenje: bio bi uži jer je z 0.90 < z 0.98 ) Primjer 10: grickalice.sta Tvrtka "Gric" proizvela je grickalice sa novim okusom pa je prije lansiranja novog proizvoda na tržiste odabrala slučajan uzorak od 50 ljudi koje je zamolila da probaju nove grickalice. Njihovi odgovori su kodirani na sljedeći način: 0 ne sviđa mi se; 1 sviđa mi se; 2 niti mi se sviđa niti mi se ne sviđa. Pomoću intervala pouzdanosti 80% procijenite proporciju potrošača kojima će se svidjeti ove nove grickalice. (Rješenje: [0.2355, ])
9 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 9 Testiranje statističkih hipoteza Statistička hipoteza je tvrdnja o veličini parametra θ ili o obliku distribucije populacije čija se vjerodostojnost ispituje pomoću podataka dostupnih iz slučajno odabranog uzorka. Postupak kojim se donosi odluka o prihvaćanju ili neprihvaćanju tvrdnje na temelju podataka iz slučajnog uzorka naziva se testiranje statističkih hipoteza. Primjer 11: Pretpostavimo da želimo provjeriti je li očekivano vrijeme čekanja u redu studentske menze u vrijeme ručka veće od pet minuta i na osnovu toga odlučiti trebamo li pokrenuti još jednu traku ili ne. U ovom slučaju valja provesti statistički test o vrijednosti očekivanja slučajne varijable. U postupku provođenja statističkog testa potrebno je praktičnu hipotezu (tvrdnju koju želimo testirati) formulirati kao statističku hipotezu i na osnovu toga izabrati prikladan statistički test iz niza dostupnih testova. Osnovni koraci u testiranju statističkih hipoteza 1. Postaviti nultu i alternativnu hipotezu temeljenu na parametrima. Kako znati koju tvrdnju postaviti za nultu, a koju za alternativnu hipotezu? negaciju pretpostavke, koja se temelji na podacima dobivenim iz uzorka, koju želimo testirati i na osnovu koje želimo donijeti neku odluku postavljamo kao nultu hipotezu i označavamo ju sa H 0. samu pretpostavku koju želimo testirati postavljamo kao alternativnu hipotezu i označavamo ju sa H A. Nulta i alternativna hipoteza koje postavljamo na osnovu pretpostavke navedene u primjeru 1 su: H 0 : Vrijeme čekanja u redu studentske menze u vrijeme ručka je manje ili jednako 5 minuta. H A : Vrijeme čekanja u redu studentske menze u vrijeme ručka je veće od 5 minuta. Alternativnu hipotezu trebamo smatrati netočnom sve dok nam neki prikladan statistički test ne da dovoljno uvjerljive rezultate na osnovu kojih ju možemo prihvatiti, tj. na osnovu kojih možemo odbaciti nultu hipotezu (koju a priori smatramo točnom).
10 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet Odabrati test statistiku (koja je u svojoj osnovi slučajna varijabla) T čija vrijednost najbolje odražava vjerodostojnost hipoteze koju želimo testirati, odrediti skup mogućih vrijednosti koje test statistika može poprimiti, te konkretnu vrijednost test statistike za koje nultu hipotezu H 0 ne prihvaćamo u korist alternativne hipoteze H A. Područje vrijednosti test statistike T za koje ne prihvaćamo nultu hipotezu H 0 nazivamo kritično područje ili područje odbacivanja testa. Test statistike koje koristimo pri testiranju hipoteza o vrijednosti različitih parametara bit će navedene kasnije. 3. Budući su statistički testovi kreirani na bazi slučajnih varijabli, potrebno je priznati mogućnost pogreške prilikom zaključivanja. Razlikujemo dvije vrste takvih pogrešaka: Pogreška prvog reda: neprihvaćanje nulte hipoteze H 0 u slučaju kad je ona zapravo istinita. Vjerojatnost pojave pogreške prvog reda nazivamo p-vrijednost. Pogreška drugog reda: prihvaćanje nulte hipoteze u slučaju kad je istinita alternativna hipoteza. Ako je u postupku odlučivanja definiran najveći iznos vjerojatnosti pogreške prvog reda koji smo spremni prihvatiti, taj broj nazivamo nivo značajnosti ili nivo signifikantnosti i označavamo ga sa α. U tom slučaju nultu hipotezu odbacujemo ako je izračunata p-vrijednost manja od nivoa značajnosti α. 4. Nakon određivanja test statistike treba izračunati njezinu vrijednost iz eksperimentalno određenih podataka i odrediti pripada li ta vrijednost u kritično područje: ako pripada, zaključujemo da je alternativna hipoteza H A potvrđena na danom nivou značajnosti α. Istovremeno ne možemo tvrditi da smo dokazali apsolutnu netočnost nulte hipoteze H 0. ako ne pripada, zaključujemo da nema dovoljno objektivnih razloga za neprihvaćanje nulte hipoteza H 0, tj. kažemo da alternativna hipoteza H A nije potvrđena na danom nivou značajnosti α.
11 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 11 Testiranje hipoteze o tome je li očekivanje jednako unaprijed određenoj vrijednosti za velike uzorke U ovom postupku koristimo aritmetičku sredinu uzorka kao procjenu za očekivanje. U slučajnom uzorku uzetom iz proizvoljne populacije, karakterizirane očekivanjem µ i standardnom devijacijom σ, distribucija aritmetičke sredine uzorka kao procjenitelja za očekivanje (u oznaci X) je približno normalna s očekivanjem µ i standardnom devijacijom σ/ n. Štoviše: Z = X µ σ/ n je približno standardna normalna slučajna varijabla. Naša situacija bit će obilježena nepoznatom standardnom devijacijom σ. Stoga ćemo koristiti standardnu devijaciju slučajnog uzorka koju označavamo sa s. Neka je α nivo značajnosti testa (npr. α = 0.05 ili α = 0.01). Test koji koristimo za testiranje hipoteze o jednakosti očekivanja (µ) nekoj unaprijed zadanoj vrijednosti (µ 0 ) naziva se z-test. Ovisno o prirodi nulte i alternativne hipoteze, razlikujemo: dvostrani test - karakteriziraju ga znak jednakosti u nultoj i znak različitosti u alternativnoj hipotezi. jednostrani test - karakteriziraju ga znak jednakosti u nultoj i stroga nejednakost u alternativnoj hipotezi.
12 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 12 Dvostrani test: H 0 : µ = µ 0, Test statistika: H 1 : µ µ 0. z = µ µ 0 s/ n. nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je: z > z α/2. s - standardna devijacija slučajnog uzorka. µ - aritmetička sredina uzorka. n - dimenzija uzorka. z α/2 - broj za koji vrijedi da je P { Z z α/2 } = α. Z - standardna normalna slučajna varijabla. Kod dvostranog testa nivoa značajnosti α potrebno je odrediti z α/2 takav da je P { Z z α/2 } = α, gdje je Z N (0, 1). Primijetimo da je α = P { Z z α/2 } = 1 P ( Z z α/2 ) = 1 1 zα/2 e x 2 /2 dx. 2π z α/2
13 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 13 Jednostrani test: H 0 : µ = µ 0, Test statistika: H 1 : µ < µ 0 ili H 1 : µ > µ 0. z = ˆµ µ 0 s/ n. nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je: z < z α, odnosno ako je z > z α. s - standardna devijacija slučajnog uzorka. µ - aritmetička sredina uzorka. n - dimenzija uzorka. z α - broj za koji vrijedi da je P {Z z α } = α. Z - standardna normalna slučajna varijabla. Kod jednostranog testa nivoa značajnosti α potrebno je odrediti z α takav da je P {Z z α } = α, gdje je Z N (0, 1). Ukoliko zasigurno znamo da naš uzorak potječe iz normalne distribucije, analogne testove možemo provesti i na malom uzorku (n < 30). Tada je distribucija aritmetičke sredine uzorka kao procjenitelja za očekivanje Studentova s (n 1) stupnjeva slobode i pripadni test naziva se t-test. Neka je α nivo značajnosti testa (npr. α = 0.05 ili α = 0.01)
14 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 14 Dvostrani test: H 0 : µ = µ 0, Test statistika: H 1 : µ µ 0. t = µ µ 0 s/ n. nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je: t > t α/2. s - standardna devijacija slučajnog uzorka. µ - aritmetička sredina uzorka. n - dimenzija uzorka. t α/2 - broj za koji vrijedi da je P { T t α/2 } = α. T - Studentova s (n 1) stupnjeva slobode. Jednostrani test: H 0 : µ = µ 0, Test statistika: H 1 : µ < µ 0 ili H 1 : µ > µ 0. t = ˆµ µ 0 s/ n. nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je: t < t α, odnosno ako je t > t α. s - standardna devijacija slučajnog uzorka. µ - aritmetička sredina uzorka. n - dimenzija uzorka. t α - broj za koji vrijedi da je P {T t α } = α. T - Studentova s (n 1) stupnjeva slobode. U uvjetima istinitosti nulte hipoteze očekujemo da je realizacija z (analogno t) slučajne varijable Z (analogno T ) blizu 0. Može se pokazati da slučajna varijabla Z (analogno T ) za koju je gornja vrijednost z (analogno t) jedna realizacija ima jediničnu normalnu distribuciju.
15 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 15 Na osnovu realizacije z (analogno t) na našem uzorku možemo odrediti p-vrijednost na sljedeći način: p = P {Z z} (odnosno, p = P {Z z}) ovisno o tome suprotstavljamo li nultoj hipotezi alternativu da je stvarno očekivanje veće ili manje od hipotetske vrijednosti. Primjer 12: tv.sta Godine osnovna kablovska televizija je, u prosjeku, koštala 7.37 dolara mjesečno. Godine "Federalno udruženje kablovskih televizija" (broji više od 4000 kablovskih sustava) zaključilo je da je kablovska televizija poskupjela za samo 8% u odnosu na 1979., te da ne stoji statistički značajno više od 8 dolara mjesečno. No "Udruženje potrošača" sumnja u te izjave pa su ih odlučili provjeriti. Koristeći podatke prikupljene u bazi tv.sta provjerite govori li "Federalno udruženje kablovskih televizija" istinu. (Rješenje: H 0 : µ = 8; H A : µ > 8; na nivou značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 13: lopta.sta Jedan se poduzetnik bavi proizvodnjom loptica za golf. U suradnji s projektantima u poduzeću napravio je preinake na jednom dijelu stroja (ubrizgavalici). Cijeli je proces dizajniran tako da proizvodi loptice prosječne mase 0.25 unci. Kako bi istražio da li nova ubrizgavalica radi zadovoljavajuće, odabire 40 loptica i bilježi njihove mase (podaci su dostupni u bazi lopta.sta). Provjerite može li poduzetnik prihvatiti hipotezu da prosječna masa loptice nije 0.25 unci. (Rješenje: H 0 : µ = 0.25; H A : µ 0.25; na nivou značajnosti 0.05 ne prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 14: Kako bi odgovorili na pitanje koji faktori sprečavaju proces učenja u razredu, istraživači na Murray State University ispitali su 40 učenika koji su trebali ocjenama od 1 (uopće ne) do 7 (u velikoj mjeri) ocijeniti razinu do koje određeni faktori ometaju proces učenja. Faktor koji je dobio najveću ocjenu je: "Profesori koji inzistiraju na jednom točnom odgovoru radije nego da evaluiraju cjelokupno razmišljanje i kreativnost". Deskriptivna statistika za ocjenu razine utjecaja ovog faktora je: µ = 4.70, s = Premašuje li očekivanje ocjene za navedeni faktor značajno ocjenu 4? Interpretirajte rezultat. (Rješenje: H 0 : µ = 4; H A : µ > 4; na nivou značajnosti 0.05 ne prihvaćamo nultu hipotezu.)
16 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 16 Testiranje hipoteze o tome je li vjerojatnost događaja jednaka unaprijed određenoj vrijednosti za velike uzorke U sklopu modela Bernoullijevog pokusa modeliranog slučajnom varijablom zadanom sljedećom tablicom distribucije: ( ) 0 1 X =, q p testiramo hipoteze o vrijednosti parametra p (vjerojatnost relizacije uspjeha u jednoj izvedbi Bernoullijevog pokusa). U ovom postupku relativnu frekvenciju uspjeha (ˆp) koristimo kao procjenu za vjerojatnost (proporciju) p: ˆp = X n, gdje je X slučajna varijabla čija je realizacija broj uspjeha u n ponavljanja Bernoullijevog pokusa. Ovaj test baziran je na normalnoj aproksimaciji binomne distribucije, tj. ˆp ima približno normalnu distribuciju s očekivanjem µ i standardnom devijacijom p(1 p)/n. Uz pretpostavku da vjerojatnost p ima unaprijed zadanu vrijednost p 0, distribucija procjenitelja ˆp je N (p 0, p 0 (1 p 0 )/n). Prema tome, standardizirana test statistika Z = ima standardnu normalnu distribuciju. ˆp p 0 p0 (1 p 0 )/n Neka je α nivo značajnosti testa (npr. α = 0.05 ili α = 0.01).
17 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 17 Dvostrani test: Test statistika: H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 z = ˆp p 0 p 0(1 p 0) n nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je: z > z α/2. p - relativna frekvencija uspjeha. n - dimenzija uzorka. z α/2 - broj za koji vrijedi da je P { Z z α/2 } = α. Z standardna normalna slučajna varijabla.. Jednostrani test: H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0 (odnosno H 1 : p > p 0 ) Test statistika: z = ˆp p 0 p 0(1 p 0) n nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je z < z α (odnosno z > z α ). p - relativna frekvencija uspjeha. n - dimenzija uzorka. z α - broj za koji vrijedi da je P {Z z α } = α. Z - standardna normalna slučajna varijabla. Primjer 15: perec.sta Odlučili ste prodavati nove perece u svojoj pekari. Niste sigurni sviđaju li se ili ne vašim kupcima. O tome ovisi hoćete li nastaviti prodavati te perece ili ne. U bazi podataka perec.sta nalaze se podaci dobiveni iz uzorka od 50 potrošača:
18 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet ne sviđa mi se 1 - sviđa mi se 2 - indiferentan sam 1. Sastavite interval za proporciju kupaca kojima se sviđaju novi pereci, pouzdanosti γ = (Rješenje: [0.173, 0.427]) 2. Što ćete učiniti s dimenzijom uzorka ako želite povećati preciznost procjene? (Rješenje: treba povećati dimenziju uzorka) 3. Testirajte hipotezu da je proporcija kupaca kojima se ne sviđaju novi pereci jednaka 0.5. (Rješenje: H 0 : p = 0.5; H A : p 0.5; na nivou značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 16: Reputacija mnogih poslova može biti snažno narušena pošiljkom proizvedene robe koja sadrži veliki postotak oštećenih proizvoda. Na primjer, proizvođač alkalnih baterija želi biti siguran da je manje od 5% baterija u pošiljci oštećeno. Pretpostavimo da je slučajnim izborom iz vrlo velike pošiljke odabrano 300 baterija od kojih je 10 oštećenih. Je li to dovoljan dokaz proizvođaču da zaključi kako je proporcija defektnih proizvoda u cijeloj pošiljci manja od 0.05 na nivou značajnosti α = 0.01? (Rješenje: H 0 : p = 0.05; H A : p < 0.05; na nivou značajnosti 0.01 prihvaćamo nultu hipotezu.)
19 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 19 Testiranje hipoteze o jednakosti distribucije pretpostavljenoj teorijskoj distribuciji Kao procjenu za stvarnu distribuciju slučajne varijable koristimo empirijsku distribuciju podataka koje smo prikupili nezavisnim ponavljanjem pokusa. Želimo testirati ima li slučajna varijabla iz koje sakupljamo podatke neku pretpostavljenu distribuciju - zovemo ju teorijska distribucija. χ 2 test Neka je teorijska distribucija dana tablicom: ( ) x 1 x 2... x r p 1 p 2... p r Ovdje je x i x j za i j, p i 0 za svaki i {1,..., r} i r p i = 1. Pretpostavimo da promatramo slučajan pokus koji ima konačan skup ishoda A = {x 1, x 2,..., x r }, r 2 i da smo ga nezavisno ponovili n puta. Cilj nam je bio zabilježiti frekvencije ˆf j, odnosno relativne frekvencije ˆp j = ˆf j /n, za svaki ishod a j. Time smo dobili empirijsku distribuciju promatrane slučajne varijable. Želimo testirati jednakost empirijske distribucije ( ) x 1 x 2... x r ˆp 1 ˆp 2... ˆp r i teorijske distribucije navedene na početku poglavlja. Da bi koristili ovaj test mora biti svaki p i veći od 5, gdje je n dimenzija uzorka. Nultu i alternativnu hipotezu postavljamo na sljedeći način: H 0 : procijenjena distribucija jednaka je teorijskoj distribuciji, H A : procijenjena distribucija se razlikuje od teorijske distribucije. U uvjetima istinitosti hipoteze H 0, za velik broj nezavisnih ponavljanja slučajnog pokusa, test statistika približno ima hikvadrat distribuciju s (r 1) stupnjeva slobode. Iskoristimo programski paket Statistica: formirajmo bazu podataka koja sadrži eksperimentalno dobivene frekvencije i teorijske frekvencije izračunate na bazi teorijske distribucije i broja podataka u uzorku. Provedemo χ 2 test i odbacimo H 0 ako je dobivena p-vrijednost manja od α, gdje je α odabrani nivo značajnosti testa. i=1
20 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 20 Ovaj test možemo koristiti i kod neprekidnih slučajnih varijabli tako da R(X) podijelimo na disjunktne intervale i suprotstavimo teorijske frekvencije tih intervala njihovim uzoračkim frekvencijama. Treba voditi računa o tome da je test jako osjetljiv na izbor intervala. Primjer 17: Savjetnik ekološkog kluba na jednom sveučilištu želi poštovati zahtjev da klub sačinjava 10% brucoša, 20% studenata druge godine, 40% studenata treće godine, te 30% apsolvenata. Članstvo ekološkog kluba za ovu godinu brojilo je 14 brucoša, 19 studenata druge godine, 51 studenta treće godine, te 16 apslovenata. Provjerite postoji li statistički značajna razlika trenutnog sastava kluba od traženih standarda na nivou značajnosti α = 0.1. (Rješenje: na nivou značajnosti 0.1 ne prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 18: Tržišni analitičar želi istražiti imaju li potrošači neke posebne sklonosti prema jednom od okusa sokova koji su se pojavili na tržištu. Na uzorku od 100 ljudi prikupio je preferencije prema ponuđenim okusima. Frekvencije su dane u sljedećoj tablici: višnja jagoda naranča limun grejp Ispitajte postoji li na nivou značajnosti α = 0.05 statistički značajna preferencija potrošača prema nekom od okusa ili je sklonost potrošača jednaka prema svim ponuđenim okusima. (Rješenje: na nivou značajnosti 0.05 ne prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 19: Jedna je studija na osnovu istraživanja o razlozima povratka na posao ljudi koji su umirovljeni postavila sljedeću distribuciju: 38% se ponovo zaposli u drugom poduzeću; 32% osnuje obrt; 23% rade kao konzultanti; 7% osnuje vlastito poduzeće. Poklapaju li se sljedeći rezultati, dobiveni ponovnim istraživanjem, s prethodno postavljenom tezom ili možemo utvrditi postojanje statistički značajne razlike? 122 se ponovo zaposlilo u drugom poduzeću; 85 je osnovalo obrt; 76 su radili kao konzultanti; 17 je osnovalo vlastito poduzeće.
21 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 21 (Rješenje: na nivou značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.) Testiranje normalne distribuiranosti obilježja Odgovor na ovo pitanje od izuzetne je važnosti za točnost statističkih analiza obzirom da su mnogi statistički testovi kreirani uz pretpostavku normalnosti obilježja. Potrebno je nezavisnim ponavljanjem pokusa prikupiti podatke iz realizacija promatrane slučajne varijable. Za prvi uvid u moguća odstupanja od normalne distribucije možemo koristiti razne mjere deskriptivne statistike i grafičke prikaze. Nultu i alternativnu hipotezu postavljamo na sljedeći način: H 0 : H A : obilježje je normalno distribuirano. obilježje nije normalno distribuirano. Za testiranje hipoteze o normalnosti obilježja možemo koristiti razne testove, npr: Lillieforsova inačica Kolmogorov-Smirnovljevog testa; Shapiro-Wilksov W test. Primjer 20: auti1.sta Raspolažemo mjerenjima potrošnje novog modela automobila za 100 takvih automobila. Provjerite je li potrošnja normalna slučajna vrijabla. Podaci su dostupni u bazi auti1.sta. (Rješenje: na nivou značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu da obilježje potječe iz normalne distribucije.) Primjer 21: dob-poduz.sta Raspolažemo podacima o dobi 200 poduzetnika u nekoj zemlji. Zanima nas je li dob poduzetnika u bazi podataka dob-poduz.sta normalno distribuirana slučajna varijabla. Napravite testiranje i donesite zaključak. Prokomentirajte dobiveni rezultat s obzirom na kontekst pojave koju proučavate. (Rješenje: na nivou značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu da obilježje potječe iz normalne distribucije.)
22 Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 22 Primjer 22: mba.sta U bazi podataka mba.sta nalaze se podaci o rezultatima GMAT testa (Graduate Management Admission Test) za 100 studenata koji su prijavili na studij. Provjerite potječu li podaci iz normalne distribucije. (Rješenje: na nivou značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu da obilježje potječe iz normalne distribucije.)
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 4 uzoraka seruma (µmol/l): 1.8 13.8 15.9 14.7 13.7 14.7 13.5 1.4 13 14.4 15 13.1 13. 15.1 13.3 14.4 1.4 15.3 13.4 15.7 15.1 14.5
ВишеRaspodjela i prikaz podataka
Kolegij: ROLP Statistička terminologija I. - raspodjela i prikaz podataka 017. Neki temeljni statistički postupci u znanstvenom istraživanju odabir uzorka prikupljanje podataka određivanje mjerne ljestvice
ВишеUvod u statistiku
Uvod u statistiku Osnovni pojmovi Statistika nauka o podacima Uključuje prikupljanje, klasifikaciju, prikaz, obradu i interpretaciju podataka Staistička jedinica objekat kome se mjeri neko svojstvo. Svi
ВишеPaper Title (use style: paper title)
Статистичка анализа коришћења електричне енергије која за последицу има примену повољнијег тарифног става Аутор: Марко Пантовић Факултет техничких наука, Чачак ИАС Техника и информатика, 08/09 e-mal адреса:
ВишеSadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
ВишеMicrosoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.
MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
ВишеТЕОРИЈА УЗОРАКА 2
ТЕОРИЈА УЗОРАКА 2 12. 04. 13. ВЕЖБАЊА Написати функције за бирање елемената популације обима N у узорак обима n, код простог случајног узорка, користећи алгоритме: Draw by draw procedure for SRS/SRSWOR
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 2 Status predmeta Web stranica predmeta Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način izvođenja
ВишеIRL201_STAR_sylab_ 2018_19
Detaljni izvedbeni nastavni plan za kolegij: Statistika i analiza znanstvenih podataka Akademska godina: 2018/2019 Studij: Diplomski sveučilišni studiji: Biotehnologija u medicini, Istraživanje i razvoj
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 2 Status predmeta Web stranica predmeta Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način izvođenja
ВишеMicrosoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Више35-Kolic.indd
Sandra Kolić Zlatko Šafarić Davorin Babić ANALIZA OPTEREĆENJA VJEŽBANJA TIJEKOM PROVEDBE RAZLIČITIH SADRŽAJA U ZAVRŠNOM DIJELU SATA 1. UVOD I PROBLEM Nastava tjelesne i zdravstvene kulture važan je čimbenik
ВишеVrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Hrvatski studiji Psihologija Ured za
Vrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Hrvatski studiji Psihologija Ured za upravljanje kvalitetom Sveučilište u Zagrebu Zagreb,
ВишеVrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Hrvatski studiji Kroatologija Ured za
Vrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Hrvatski studiji Kroatologija Ured za upravljanje kvalitetom Sveučilište u Zagrebu Zagreb,
ВишеMicrosoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
ВишеVrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Fakultet organizacije i informatike O
Vrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Fakultet organizacije i informatike Organizacija poslovnih sustava Ured za upravljanje kvalitetom
ВишеVrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Grafički fakultet Grafička tehnnologi
Vrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Grafički fakultet Grafička tehnnologija Ured za upravljanje kvalitetom Sveučilište u Zagrebu
ВишеVrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Fakultet organizacije i informatike I
Vrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Fakultet organizacije i informatike Informacijsko i programsko inženjerstvo Ured za upravljanje
ВишеMicrosoft PowerPoint - PDPL FBF ZG spec 2011.ppt [Read-Only] [Compatibility Mode]
Farmaceutsko-biokemijski fakultet Poslijediplomski specijalistički studij Kolegij Biostatistika Predavanje i ostali podatci Statistička obradba podataka: uvodna razmatranja Mladen Petrovečki mi.medri.hr(e-prilozi
ВишеVrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Fakultet kemijskog inženjerstva i teh
Vrjednovanje diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Primijenjena kemija Ured za upravljanje kvalitetom
ВишеMetode psihologije
Metode psihologije opažanje, samoopažanje, korelacijska metoda, eksperiment Metode služe za istraživanja... Bez znanstvenih istraživanja i znanstvene potvrde, spoznaje i objašnjenja ne mogu postati dio
Више(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Више07jeli.DVI
Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine
ВишеVELEUČILIŠTE VELIKA GORICA REZULTATI STUDENTSKE ANKETE PROVEDENE NA VELEUČILIŠTU VELIKA GORICA ZA ZIMSKI SEMESTAR AKADEMSKE 2013/2014 GODINE 1. Uvod E
REZULTATI STUDENTSKE ANKETE PROVEDENE NA VELEUČILIŠTU VELIKA GORICA ZA ZIMSKI SEMESTAR AKADEMSKE 2013/2014 GODINE 1. Uvod Evaluacijska anketa nastavnika i nastavnih predmeta provedena je putem interneta.
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
ВишеSos.indd
STRUČNI RADOVI IZVAN TEME Krešimir Šoš Vlatko Vučetić Romeo Jozak PRIMJENA SUSTAVA ZA PRAĆENJE SRČANE FREKVENCIJE U NOGOMETU 1. UVOD Nogometna igra za igrača predstavlja svojevrsno opterećenje u fiziološkom
ВишеРЕШЕЊА 1. (2) Обележја статистичких јединица посматрања су: а) особине које су заједничке за јединице посматрања б) особине које се проучавају, а подр
РЕШЕЊА. () Обележја статистичких јединица посматрања су: а) особине које су заједничке за јединице посматрања б) особине које се проучавају, а подразумевају различите вредности по јединицама посматрања
ВишеNumeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs
Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy
Више6-Lizacic.indd
Constanza Lizačić Marko Čule Ivan Milinović Saša Čuić Prethodno znanstveno priopćenje ANALIZA UTJECAJA STAVOVA NA ODABIR KINEZIOLOŠKOG PROGRAMA STUDENATA EKONOMSKOG FAKULTETA SVEUČILIŠTA U ZAGREBU 1. UVOD
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
ВишеIstraživanje turističkog tržišta
ISTRAŽIVANJE TURISTIČKOG TRŽIŠTA asistent:branislava Hristov Stančić branislava@ekof.bg.ac.rs Suština i sadržaj istraživanja tržišta Istraživanje tržišta istraživanje marketinga Istraživanje marketinga
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 3 Status predmeta Web stranica predmeta/mudri Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način
Више84-Knjaz.indd
Damir Knjaz Vesna Alikalfić Željko Lukenda Davor Pavlović Tomislav Rupčić Originalni znanstveni rad PRILOG ANALIZI ULOGE RODITELJA KAO TEMELJA RAZVOJA DJETETA SPORTAŠA 1. UVOD Roditelji su oduvijek bili
Више48-Blazevic.indd
znanstveni radovi izvan teme Iva Blažević Damir Božić Jelena Dragičević Originalni znanstveni rad RELACIJE IZMEĐU ANTROPOLOŠKIH OBILJEŽJA I AKTIVNOSTI PREDŠKOLSKOG DJETETA U SLOBODNO VRIJEME 1. UVOD Tjelesno
ВишеPrimjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom
ВишеPostojanost boja
Korištenje distribucije osvjetljenja za ostvaranje brzih i točnih metode za postojanost boja Nikola Banić 26. rujna 2014. Sadržaj Postojanost boja Ubrzavanje lokalnog podešavanja boja Distribucija najčešćih
ВишеVrjednovanje integriranih preddiplomskih i diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 2015./2016. završili studij Kinezio
Vrjednovanje integriranih preddiplomskih i diplomskih studija od strane studenata koji su tijekom akademske godine 0./06. završili studij Kineziološki fakultet Ured za upravljanje kvalitetom Sveučilište
ВишеToplinska i električna vodljivost metala
Električna vodljivost metala Cilj vježbe Određivanje koeficijenta električne vodljivosti bakra i aluminija U-I metodom. Teorijski dio Eksperimentalno je utvrđeno da otpor ne-ohmskog vodiča raste s porastom
Вишеknjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
Вишеatka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati
NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati prava pitanja. U Jednako je važno znati pronaći odgovore na postavljena pitanja,
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Matej Šupljika ANALIZA UKUPNIH RASHODA LOKALNIH JEDINICA U RAZDOBLJU 2002.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Matej Šupljika ANALIZA UKUPNIH RASHODA LOKALNIH JEDINICA U RAZDOBLJU 2002.-2012. Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Katarina
ВишеMicrosoft Word - zadaci_21.doc
1. Devalvacija predstavlja: a) porast Ē b) smanjenje Ē c) porast P d) smanjenje realnog deviznog tečaja 2. Revalvacija predstavlja: a) porast Ē b) smanjenje P c) porast P* d) ništa od navedenog 3. AD krivulja
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 3 Status predmeta Web stranica predmeta/mudri Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način
ВишеSmjernice za korištenje sustava online prijava Ukoliko imate pristupno korisničko ime i lozinku ili ste navedeno dobili nakon zahtjeva za otvaranje no
Smjernice za korištenje sustava online prijava Ukoliko imate pristupno korisničko ime i lozinku ili ste navedeno dobili nakon zahtjeva za otvaranje novog korisničkog računa (poslati zahtjev na javnipoziv.opp@havc.hr
Више8 2 upiti_izvjesca.indd
1 2. Baze podataka Upiti i izvješća baze podataka Na početku cjeline o bazama podataka napravili ste plošnu bazu podataka o natjecanjima učenika. Sada ćete izraditi relacijsku bazu u Accessu o učenicima
ВишеHej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
ВишеNumerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
ВишеMicrosoft PowerPoint - jkoren10.ppt
Dickey-Fuller-ov test jediničnog korena Osnovna ideja Različite determinističke komponente Izračunavanje test-statistike Pravilo odlučivanja Određivanje broja jediničnih korena Algoritam testiranja Prošireni
ВишеNo Slide Title
Statistika je skup metoda za uređivanje, analiziranje i grafičko prikazivanje podataka. statistika???? Podatak je kvantitativna ili kvalitativna vrijednost kojom je opisano određeno obilježje (svojstvo)
ВишеFokusne grupe s novim studenticama diplomskog studija
Usklađivanje ishoda učenja i metoda vrednovanja u visokoškolskim kolegijima Prof. dr. sc. Željka Kamenov Odsjek za psihologiju Filozofskog fakulteta u Zagrebu, rujan 2015. Upoznavanje 1. pronađite u dvorani
ВишеZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.
ZADACI ZA VJEŽBU. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C).. Pomoću matematičke indukcije dokažite da za svaki n N vrijedi:
ВишеSveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Određivanje relativne permitivnosti sredstva Cilj vježbe Određivanje r
Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 Predložak za laboratorijske vježbe Cilj vježbe Određivanje relativne permitivnosti stakla, plastike, papira i zraka mjerenjem kapaciteta pločastog kondenzatora U-I
ВишеSlide 1
Statistička analiza u hidrologiji Uvod Statistička analiza se primenjuje na podatke osmatranja hidroloških veličina (najčešće: protoka i kiša) Cilj: opisivanje veze između veličine i verovatnoće njene
ВишеSlide 1
Merni sistemi u računarstvu, http://automatika.etf.rs/sr/13e053msr Merna nesigurnost tipa A doc. dr Nadica Miljković, kabinet 68, nadica.miljkovic@etf.rs Prezentacija za ovo predavanje je skoro u potpunosti
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
ВишеSveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o
Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti
ВишеBiz web hosting
BIZ WEB HOSTING KORISNIČKO UPUTSTVO WWW.OBLACI.RS SADRŽAJ PRISTUP KORISNIČKOM PORTALU... 2 KUPOVINA BIZ WEB HOSTING SERVISA... 4 PRISTUP PLESK WEB KONTROLNOM PANELU... 14 PORTALI I DOMENI... 14 FAJL MENADŽER...
ВишеObrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI
Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI PODATCI Ime i prezime Zvanje Naziv škole u kojoj ste
ВишеNewtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0
za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6
Вишеevaluacija09-10
SVEUČILIŠTE JURJA DOBRILE U PULI SREDIŠNJI URED ZA KVALITETU PROCJENA I SAMOPROCJENA KVALITETE NASTAVE I SEMINARA/VJEŽBI ZIMSKI SEMESTAR AKADEMSKE 2009./200. GODINE Procjena i samoprocjena kvalitete nastave
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori
1. (ukuno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Poravni isit 7. rujna 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni airi i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (4 boda) Neka je nerazan sku. Precizno definirajte ojam σ-rstena
ВишеMicrosoft Word - Predmet 13-Napredni finansijski menadzment novembar 2018 RJESENJE
КОМИСИЈА ЗА РАЧУНОВОДСТВО И РЕВИЗИЈУ БОСНЕ И ХЕРЦЕГОВИНЕ ИСПИТ ЗА СТИЦАЊЕ ПРОФЕСИОНАЛНОГ ЗВАЊА ОВЛАШЋЕНИ РЕВИЗОР (ИСПИТНИ ТЕРМИН: НОВЕМБАР 2018. ГОДИНЕ) ПРЕДМЕТ 13: НАПРЕДНИ ФИНАНСИЈСКИ МЕНАЏМЕНТ ЕСЕЈИ
ВишеИЗВЕШТАЈ О РЕЗУЛТАТИМА АНКЕТЕ О ИНФЛАЦИОНИМ OЧЕКИВАЊИМА Фебруар Београд, март 2019.
ИЗВЕШТАЈ О РЕЗУЛТАТИМА АНКЕТЕ О ИНФЛАЦИОНИМ OЧЕКИВАЊИМА Фебруар 219. Београд, март 219. С А Д Р Ж А Ј Уводна напомена... 3 Резиме... 4 Инфлациона очекивања финансијског сектора... 5 Инфлациона очекивања
ВишеPowerPoint Presentation
Metode i tehnike utvrđivanja korišćenja proizvodnih kapaciteta Metode i tehnike utvrđivanja korišćenja proizvodnih kapaciteta Sa stanovišta pristupa problemu korišćenja kapaciteta, razlikuju se metode
ВишеSlide 1
Str. 9 UVOD Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Dokazano je... Da li vama treba statistika? Top ten najboljih zanimanja (Blic, 6.3.2010.): 1. Aktuari 2. Softverski inženjeri
ВишеNatjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
ВишеPosjet poduzeću Model Pakiranja d.d je u sklopu kolegija Menadžment ljudskih potencijala organizirana terenska nastava i posjet poduzeću M
Posjet poduzeću Model Pakiranja d.d. 23.5.2019. je u sklopu kolegija Menadžment ljudskih potencijala organizirana terenska nastava i posjet poduzeću Model Pakiranja. Studente je kroz poduzeće vodio g.
ВишеMinistarstvo poljoprivrede Portal gospodarskog ribarstva Registracija prvih kupaca Uputa za korisnike
Ministarstvo poljoprivrede Portal gospodarskog ribarstva Registracija prvih kupaca Uputa za korisnike 1. Uvod Ova uputa namijenjena je korisnicima koji se žele registrirati kao prvi kupci na Portalu gospodarskog
ВишеXIII. Hrvatski simpozij o nastavi fizike Istraživački usmjerena nastava fizike na Bungee jumping primjeru temeljena na analizi video snimke Berti Erja
Istraživački usmjerena nastava fizike na Bungee jumping primjeru temeljena na analizi video snimke Berti Erjavec Institut za fiziku, Zagreb Sažetak. Istraživački usmjerena nastava fizike ima veću učinkovitost
ВишеПОСЛОВНИ ПЛАН -Назив пословне идеје- 1
ПОСЛОВНИ ПЛАН -Назив пословне идеје- 1 Основни подаци о подносиоцу пријаве Име и презиме ЈМБГ Адреса Телефон Е-маил Занимање Формално образовање Релевантно знање и искуство 2 Сажетак пословног плана Представите
Више2
2 Ne možemo svoje ideje ostvariti bez drugih ljudi. Naš biznis ne može rasti bez drugih ljudi. Ne možemo sve sami. Ne moramo sve sami. Možemo i trebamo pronaći i zaposliti ljude bolje od sebe. Krenuli
Више1
Podsetnik: Statističke relacije Matematičko očekivanje (srednja vrednost): E X x p x p x p - Diskretna sl promenljiva 1 1 k k xf ( x) dx E X - Kontinualna sl promenljiva Varijansa: Var X X E X E X 1 N
ВишеLogičke izjave i logičke funkcije
Logičke izjave i logičke funkcije Građa računala, prijenos podataka u računalu Što su logičke izjave? Logička izjava je tvrdnja koja može biti istinita (True) ili lažna (False). Ako je u logičkoj izjavi
ВишеDiferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala analiza Irfan Glogić, Harun Šiljak When guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral,
ВишеMicrosoft PowerPoint - PDPL FBF ZG SPEC uvodno 2013 I.ppt [Read-Only] [Compatibility Mode]
Farmaceutsko-biokemijski fakultet Poslijediplomski specijalistički studij Razvoj lijekova Kolegij Biostatistika Predavanje i ostali podatci Statistička obradba podataka: uvodna razmatranja Mladen Petrovečki
ВишеMicrosoft Word - V03-Prelijevanje.doc
Praktikum iz hidraulike Str. 3-1 III vježba Prelijevanje preko širokog praga i preljeva praktičnog profila Mali stakleni žlijeb je izrađen za potrebe mjerenja pojedinih hidrauličkih parametara tečenja
Више(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)
Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (
ВишеVerovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
ВишеIstraživanje kvalitete zraka Slavonski Brod: Izvještaj 3 – usporedba podataka hitnih medicinskih intervencija za godine i
Služba za medicinsku informatiku i biostatistiku Istraživanje kvalitete zraka Slavonski Brod: Izvještaj 3 usporedba podataka hitnih medicinskih intervencija za 1.1.-31.8.2016. godine i 1.1.-31.8.2017.
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
Више(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
Вишеvjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
ВишеPowerPoint Presentation
KRIZNO KOMUNICIRANJE U OBRAZOVANJU: PROBLEMI I RJEŠENJA doc. dr. sc. DAMIR JUGO Dubrovnik, 1. veljače 2019. Niti jedna organizacija nije imuna na krize Važnost percepcije javnosti - Sve što radite šira
ВишеUvod u pedagogijska istrazivanja
Naziv studija: STUDIJ PEDAGOGIJE (dvopredmetni (A) i jednopredmetni (B) studij Naziv modula: PEDAGOGIJSKA ISTRAŽIVANJA Naziv kolegija: UVOD U PEDAGOGIJSKA ISTRAŽIVANJA Nastavnica: Dr. sc. Ana Sekulić-Majurec,
ВишеCVRSTOCA
ČVRSTOĆA 12 TEORIJE ČVRSTOĆE NAPREGNUTO STANJE Pri analizi unutarnjih sila koje se pojavljuju u kosom presjeku štapa opterećenog na vlak ili tlak, pri jednoosnom napregnutom stanju, u tim presjecima istodobno
ВишеPamphlet Serbian: A Matter of Fairness, Une question d'équité
ЈЕДНАКОСТ ЗАРАДЕ ЗА ЗАПОСЛЕНЕ ПИТАЊЕ ПРАВЕДНОСТИ КОМИСИЈА ЗА ЈЕДНАКОСТ ЗАРАДЕ Шта је то Закон о једнакости зараде Закон о једнакости зараде (Закон) обавезује послодавца да идентификује и исправи полну
ВишеBojenje karti iliti poučak o četiri boje Petar Mladinić, Zagreb Moj djed volio je igrati šah. Uvijek mi je znao zadati neki zanimljiv zadatak povezan
Bojenje karti iliti poučak o četiri boje Petar Mladinić, Zagreb Moj djed volio je igrati šah. Uvijek mi je znao zadati neki zanimljiv zadatak povezan sa šahom. Tako mi je postavio sljedeći problem. Problem.
ВишеElementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
ВишеУниверзитет у Београду Економски факултет Катедра за економску политику и развој Јавне финансије 2018/19 УПУТСТВО ЗА ПРИЈАВЉИВАЊЕ НА Е-КУРС ИЗ ПРЕДМЕТ
УПУТСТВО ЗА ПРИЈАВЉИВАЊЕ НА Е-КУРС ИЗ ПРЕДМЕТА ЈАВНЕ ФИНАНСИЈЕ Да бисте били у могућности да активно учествујете на настави из предмета Јавне финансије и радите обавезне тестове као део предиспитне обавезе,
ВишеИЗВЕШТАЈ О РЕЗУЛТАТИМА АНКЕТЕ О ИНФЛАЦИОНИМ OЧЕКИВАЊИМА Мај Београд, јун 2019.
ИЗВЕШТАЈ О РЕЗУЛТАТИМА АНКЕТЕ О ИНФЛАЦИОНИМ OЧЕКИВАЊИМА Мај 219. Београд, јун 219. Садржај: Уводна напомена... 2 Резиме... 3 Инфлациона очекивања финансијског сектора... 4 Инфлациона очекивања привреде...
ВишеMicrosoft Word - Natjecaj_RAZMJENA_Finska.doc
ZAKLADA SVEUČILIŠTA U RIJECI u suradnji s LIONS KLUBOM RIJEKA raspisuje N A T J E Č A J ZA MEĐUNARODNU RAZMJENU ZA STUDENTE - FINSKA - Natječaj se raspisuje s ciljem odabira jednog(e) studenta(ice) Sveučilišta
ВишеMicrosoft Word - Detaljne SMJERNICE za izradu projektnog zadatka 2016.docx
SMJERNICE/PITANJA ZA IZRADU PROJEKTNOG ZADATKA IZ KOLEGIJA MARKETING U TURIZMU, (LJETNI SEMESTAR, akademska godina 2015/16) IZRADA LOYALTY MOBILNE APLIKACIJE ZA TURISTIČKU ZAJEDNICU GRADA OSIJEKA Uvažene
ВишеPoslovni uzlet grada Gospića
Sama ideja nije dovoljna 4 pravila za motiviranog i uspješnog poduzetnika Predavač: Sandro Kraljević, mag. psych. IDEJA ODLIČAN POČETNI IMPULS ZA USPJEH SVAKOG PODUZETNIKA Sjetite se trenutka kad ste osmislili
ВишеInterpretacija čuda pomoću teorije determinističkog kaosa (Jerko Kolovrat, KBF Split; Marija Todorić, PMF Zagreb) Postoje razne teme koje zaokupljaju
Interpretacija čuda pomoću teorije determinističkog kaosa (Jerko Kolovrat, KBF Split; Marija Todorić, PMF Zagreb) Postoje razne teme koje zaokupljaju ljudski um i tjeraju ga da prema njima zauzme stav
ВишеMicrosoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx
DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema
ВишеTeorija skupova - blog.sake.ba
Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno
Више