SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Ekonomski fakule - Kaedra za saisiku PRIMJERI ZADATAKA ZA II. KOLOKVIJ Na ri ržišna segmena prai se proporcija kupaca proizvoda M. Rezulai uzorka su: (1) Tržišni segmen Broj kupaca u uzorku Broj kupaca proizvoda M u uzorku I 00 35 II 150 37 III 50 43 ukupno 600 115 Može li se uz 5% signifikannosi prihvaii preposavka da je proporcija kupaca proizvoda M jednaka za sva ri ržišna segmena. Obavezno zapišie hipoeze u posupku esiranja i obrazložie odluku. () Ankeom o godišnjim odmorima u 014. godini obuhvaćeno je 1850 punoljenih građana grada A. 703 građana iz uzorka je godišnji odmor (s obielji) provelo izvan mjesa salnog boravka. U gradu B ankeirano je 1533 punoljena građana, među kojima je 705 njih bilo na odmoru izvan mjesa salnog boravka. (a) Može li se uz 5% signifikannosi prihvaii preposavka da je proporcija građana koji su godišnji odmor 014. godine proveli izvan mjesa salnog boravka u oba grada jednaka. (b) Uz 95% pouzdanosi procijenie inervalom proporciju građana na području grada B koji su 014. godine proveli godišnji odmor izvan mjesa salnog boravka. (3) Pomoću jednosavnog slučajnog uzorka se procjenjuje prosječna dob muškaraca koji prae jednu dokumenarnu emisiju TV posaje M. (a) Koliko je gledaelja navedene posaje porebno izabrai u jednosavni slučajni uzorak ako se procjenjuje na razini pouzdanosi 90% i ako se u procjeni olerira pogreška od 1 godine? Planska vrijednos sandardne devijacije populacije je 17,85 (veličinu uzorka zaokružie na cijeli broj). (b) Na emelju izabranog uzorka uvrđena je prosječna dob ankeiranih gledaelja 4 godine. Procijenie prosječnu živonu dob muškaraca koji prae jednu dokumenarnu emisiju TV posaje M uz 95% pouzdanosi, 17, 85. (c) Provodi se es o preposavljenoj arimeičkoj sredini populacije. Hipoeze su: H 0 : 50, H1 : 50. Tesira se na razini signifikannosi 5%. Uzorak je veličine 37, izabran iz normalno disribuirane populacije, sandardna devijacija sampling- disribucije arimeičkih sredina je 13,5, a arimeička sredina uzorka je 55. Skiciraje navedeni posupak esiranja i donesie odluku na emelju p-vrijednosi. 1
(4) Pomoću jednosavnog slučajnog uzorka veličine n uvrđen je slijedeći inerval pouzdanosi procjene proporcije čeveročlanih kućansava u osnovnom skupu koja roše više od 40% godišnjeg prihoda na odjeću, obuću i kozmeiku: P 0,36 p 0,40 0, 95. Frakcija izbora je manja od 0,05. a) Kolika je proporcija kućansava u uzorku koja roše na odjeću, obuću i kozmeiku više od 40% godišnjeg prihoda? b) Kolika je sandardna pogreška procjene proporcije populacije? c) Kada bi se razina pouzdanosi procjene proporcije populacije smanjila na 90%, u kojim bi se granicama mogla očekivai proporcija čeveročlanih kućansava osnovnog skupa koja roše više od 40% godišnjeg prihoda na odjeću, obuću i kozmeiku? (rezulai na čeiri decimale). d) Kolika je veličina uzorka na emelju koje je provedeno navedeno israživanje? e) U posupku esiranja posavljene su hipoeze: H o : p 0, 35 H1 : p 0, 35. Poznao je: m 5, n 90, 0,01, p vrijednos 0,000007. Skiciraje posupak esiranja i donesie odluku. (5) Zrakoplovna kompanija M-AIR ispiuje učesalos okaza rezervacija za le AM457. Na slučajan je način izabrano 36 dana jednog razdoblja. Na emelju informacije u kompjuorskom susavu kompanije uvrđen je broj okaza rezervacija u danima izabranim u uzorak. Podaci iz uzorka prikazani su S-L dijagramom: # 0 000000 6 1 00000000000 11 0000000 7 3 00000 5 4 000 3 5 00 6 00 0 0 =0.0 a) Procijenie jednim brojem i inervalom prosječan broj okaza rezervacija lea na navedenoj liniji. Pouzdanos procjene je 95%. Pri ome korisie podake da je u promaranih 36 dana ukupno okazano 74 rezervacije. Neprisrana procjena sandardne devijacije populacije je 1,7038. Sampling disribucija arimeičkih sredina je normalnog oblika, n<<n. b) Može li se uz razinu signifikannosi 5% prihvaii preposavka da se dnevno u spomenuoj aviokompaniji prosječno okazuje manje od lea. Obavezno zapišie hipoeze i skiciraje posupak esiranja. Tesiranje provedie pomoću empirijskog z omjera i pomoću p- vrijednosi.
(6) Iz podaaka na Burzi nekrenina izabrano je u jednosavni slučajni uzorak 13 rabljenih sanova na različiim područjima grada u veljači 015. godine. Za navedenih 13 cijena u po kvadranom meru sana uvrđeno je x 14705 x 1698355. 13 13 i i1 i1 (a) Uz 5% signifikannosi esiraje preposavku da je prosječna cijena kvadranog mera sanova ise kaegorije kao u uzorku, u veljači 015. godine bila veća od 100. Preposavie da je disribucija cijena sanova normalnog oblika. (b) Provedena je inervalna procjena ukupnih izdaaka za inerneske račune kućansava na području grada M, u svibnju 015. godine. U jednosavni slučajni uzorak izabrano je 50 (individualnih) inerneskih preplanika i uz 90% pouzdanosi uvrđen slijedeći inerval 195,6 31,74 0, 90 P. Ako je sandardna pogreška procjene arimeičke sredine 35,6, kolika je procjena prosječnih mjesečnih izdaaka za inerneske račune jednim brojem? (7) Financijska služba poduzeća koje se bavi rgovinom na veliko s brojnim komienima u rgovini na malo analizira uzroke slabog oka goovine ( cash flow). Preposavlja se da je jedan od uzroka neredovios plaćanja po isposavljenim fakurama. Služba preposavlja da više od 75% komienaa plaća u roku duljem od 60 dana. Iz skupa od 6599 neplaćenih fakura izabran je uzorak veličine 0, među kojima je s rokom prekoračenja duljim od 60 dana pronađeno njih 185. (a) Do kojeg se zaključka dolazi na emelju rezulaa iz uzorka? Razina signifikannosi 3%. Tes provedie na emelju empirijske razine signifikannosi (p-vrijednos). Obavezno zapišie hipoeze i skiciraje posupak esiranja hipoeza. (b) Posavljene su slijedeća hipoeze: H 0 : 000, H1 : 000. Nula hipoeza se ne odbacuje ako je arimeička sredina uzorka između 1938,75 i 061,5. Tesiranje se provodi na razini signifikannosi 5%. Jednosavni slučajni uzorak veličine 37 izabran je iz normalno disribuirane populacije. Kolika je sandardna devijacija sampling-disribucije arimeičkih sredina. Do kojeg se zaključka dolazi u posupku esiranje hipoeze ako je empirijski z-omjer (es veličina) -,08,? i 3
(8) Provodi se regresijska i korelacijska analiza povezanosi broja izlagača na sajamskim priredbama Zagrebačkog velesajma ( nezavisna varijabla) i broja posjeielja isih (zavisna varijabla u is.) u posljednje ri godine. Odabrano je 11 sajmova i na emelju empirijskih podaaka i programske popore, između osalih, dobiveni su sljedeći rezulai. Regression Saisics Muliple R 0,743937338 R Square Adjused R Square 0,5038593 Sandard Error 9,675465633 Observaions 11 ANOVA df SS MS F Regression 1 1044,195556 1044,195556 11,15419136 Residual 9 93,614635 Toal 10 Coefficiens Sandard Error Sa P-value Inercep 11,3891981 6,4107607 1,776578149 0,109365446 izlagači 0,066810635 3,3397891 0,008663078 pri čemu je: Muliple R koeficijen korelacije, R Square koeficijen deerminacije, Adjused R Square korigirani koeficijen deerminacije, Sandard Error procjena sandardne devijacije regresije, Sa empirijski -omjer, Inercep konsanni član, Observaion broj opažanja (n). a) Koriseći navedene rezulae zapišie jednadžbu jednosavne linearne regresije. b) Procijenjenu vrijednos ˆ konkreno proumačie. c) Nadopunie nedosajuće rezulae. d) Provedie inervalnu procjenu paramera (pouzdanos procjene 95%). e) Tesiraje značajnos paramera na razini signifikannosi 5%. Provedie dvosmjerni es. Pri esiranju korisie p-vrijednos (iz računalnog ispisa). (9) a) Broj inerneskih preplanika u periodu od 010. do 014. godine (prema podacima DZS), može se opisai modelom eksponencijalnog renda (x=1 u počenom razdoblju). X Model s procijenjenim paramerima je ŷ 4041, 4, 078. Proumačie značenje ˆ. b) Kolika je prosječna godišnja sopa promjene broja inerneskih preplanika u promaranom periodu uvrđena pomoću odgovarajućeg procijenjenog paramera u rend modelu? c) Kolika je rend vrijednos broja inerneskih preplanika u 016. godini? d) Zašo nije prikladno prognozirai broj inerneskih preplanika u 016. ili daljnjim godinama, po ocijenjenom rend modelu? 4
(10) Prema evidenciji prisiglih kredinih zahjeva, a na emelju 1 zahjeva promara se odnos visine mjesečnih primanja obielji (u kunama) nezavisna varijabla i visina zaraženog krakoročnog kredia (is. ). zavisna varijabla. Provodi se regresijska i korelacijska analiza. Neki od rezulaa obrade su: ANOVA df SS MS F Regression 1 4867,579635 4867,57963 54,51555 Residual 19 363,377464 19,148814 Toal 0 530,95381 Coefficiens Sandard Error Sa P-value Inercep 0,911106374 1,57759796 0,5775761 0,5703644 ukupna mjesečna primanja (kn.) 0,00116018 1,853E-1 pri čemu je: df broj supnjeva slobode, Coefficiens koeficijeni, Sandard Error sandardna pogreška procjene paramera, Sa empirijski -omjer, P-value p-vrijednos, Inercep konsanni član, Regression proumačeno modelom, Residual neproumačeno modelom, Toal ukupno, SS sume kvadraa, MS sredine kvadraa, F empirijski F-omjer). a) Zapišie regresijsku jednadžbu s ocijenjenim paramerima. Regresijski koeficijen proumačie. b) Na razini signifikannosi 5%, esiraje hipoezu o značajnosi regresorske (nezavisne) varijable u modelu. Provedie odgovarajući jednosmjerni es. c) Koliko je odsupanja osalo neproumačeno procijenjenim regresijskim modelom? Šo zaključujee? d) Kolika je procjena sandardne devijacije regresije? (11) Indeksi cijena ugosieljskih usluga, prosjek 001. =100 Godina, 010 011, III IV V VI VII VIII IX X XI XII mjesec. II I Indeks 111, 5 111, 7 11,5 11,7 114,3 116,1 116, 113,6 114, 114, 115 115 a) Procijenie paramere u modelu linearnog renda ( x=1 u počenom razdoblju. Uz jednadžbu napišie sve porebne oznake i procjenjene parameer konkreno proumačie. Pri ome korisie sljedeće međurezulae: 1 1 x y 898, 3 1 1 x 650 1 1 y 1367 1 1 y 1557511, b) Eksrapolacijom na bazi procjenjenog rend modela prognoziraje indeks cijena ugosieljskih usluga u srpnju 011. godine. c) Koliki je koeficijen deerminacije i šo na emelju oga zaključujee? SP=14,17. 5
(1) Varijable u modelu višesruke linearne regresije su: godišnje bruo plaće po zaposlenom, u kn (zavisna varijabla), prihod od prodaje proizvoda u mil. kn (prva nezavisna varijabla), broj poduzeća (druga nezavisna varijabla). Obradom su dobiveni ovi rezulai: Coefficiens Sandard Error Sa Inercep 45980,5799 3933,33114 11,6907 prihod od prod 3,641466889 1,873907 broj poduzeća -7,93814919-0,369146 Regression Saisics Muliple R R Square Adjused R Square 0,7595331 Sandard Error 8004,565449 Observaions 0 pri čemu je: Coefficiens koeficijeni, Sandard Error sandardna pogreška procjene paramera, Sa empirijski -omjer, Inercep konsanni član, Muliple R koeficijen korelacije, R Square koeficijen deerminacije, Adjused R Square korigirani koeficijen deerminacije, Observaions broj opažanja). a) Procijenie paramear uz drugu nezavisnu varijablu inervalom uz 95% pouzdanosi. b) Procjenu navedenog paramera brojem i inervalom konkreno proumačie. c) Nadopunie nedosajuće rezulae obrade. d) Tesiraje značajnos prve nezavisne varijable u modelu. Provedie odgovarajući jednosmjerni es, razina signifikannosi je 5%. Obavezno zapišie hipoeze. (13) Varijable u modelu višesruke regresije su: godišnje bruo plaće po zaposlenom, u kn (zavisna varijabla Y), prihod od prodaje proizvoda u mil. Kn (prva nezavisna varijabla), broj poduzeća (druga nezavisna varijabla). Obradom su dobiveni ovi rezulai: Coefficiens Sandard Error Sa P-value Inercep 45980,5799 3933,33114 11,6907 1,5E-09 prihod od prod 3,641466889 1,873907 1,99714 0,06599 broj poduzeća -7,93814919 75,6830866-0,369146 ANOVA df SS MS F Regression 5914957, Residual 17 Toal 19 1681367114 (Coefficiens koeficijeni, Sandard Error sandardna pogreška procjene paramera, Sa empirijski -omjer, P-value p-vrijednos, Inercep konsanni član, Regression proumačeno modelom, Residual neproumačeno modelom, Toal ukupno, df supnjevi slobode, SS sume kvadraa, MS sredine kvadraa, F empirijski F-omjer) 6
a) Zapišie jednadžbu višesruke linearne regresije s procijenjenim paramerima. Regresijski koeficijen uz prvu nezavisnu varijablu konkreno proumačie. b) Nadopunie nedosajuće rezulae kompjuorske obrade u abeli ANOVA. c) Kolika je procjena sandardne devijacije regresije? d) Tesiraje značajnos svih varijabli u modelu (skupni es) uz 5% signifikannosi. Obavezno obrazložie odluku. (14) Prema podacima Državnog zavoda za saisiku objavljenim u Mjesečnom saisičkom izvješću /006, na srani 99 i u broju 11/001, sr. 96, o broju diplomiranih sudenaa na sveučilišnom sudiju u RH procijenjeni su parameri u modelu linearnog renda - za razdoblje od 1996. 004. Jednadžba s procijenjenim paramerima je: a) Konkreno inerpreiraje ˆ. b) Između osaloga uvrđeno je slijedeće: Ŷ 774. 36 196, 15X SR 14655, 65 n ( k 1) Kolika je vrijednos procjene sandardne devijacije renda? c) Ako je suma kvadraa odsupanja empirijskih vrijednosi broja diplomiranih sudenaa od prosječne vrijednosi jednaka 3307078,89 koliki je koeficijen deerminacije i kako se konkreno umači? 7