INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-
Istorijski osvrt Prva polovina 9.vijeka: Cantor, Hilbert : klasična teorija skupova Lukasiewitz, Boral: neizvjesnost 965. godine Zadeh: fuzzy skup, funkcije pripadnosti, fuzzy logika Početkom sedamdesetih godina 2 vijeka teorija fuzzy skupova u upravljanju profesor Ebrahim H. Mamdanij 2
Istorijski osvrt 98. godine: fuzzy (prvi industrijski regulator u Danskoj) 987. godine - podzemna željeznica u japanskom gradu Sendai, Hitachi 99-95: fuzzy mikrokontroleri - liftovima i mašinama za veš, sistemi za fokusiranje u video kamerama (Matsushita), podešavanje kontrasta i intenziteta boje televizora (Sony), rad automatskih mjenjača i kočionih sistema (Nissan) 3
Aplikacije fuzzy logike Upravljanje, najrasprostranjenija kategorija, osobito u industrijskim aplikacijama. Zaključivanje (ekspertni sistemi dijagnoze, planiranja i predikcije, procesiranje prirodnih jezika, inteligentni roboti. Prepoznavanje uzoraka (analiza slike, procesiranje zvuka i signala). Kvantitativna analiza 4
Aplikacioni opseg fuzzy logike Ugrađeni kontroleri (28%) Industrijska automatizacija (62%) Procesna kontrola (%) 5
Suština fuzzy pristupa Analitička forma Fuzzy skup Fuzzy operator Fuzzy relacija Fuzzy kompozicija Implikaciona relacija Implikacioni operator Lingvistička forma Lingvistička varijabla IF-THEN pravilo Algoritmi Proces zaključivanja 6
Suština fuzzy pristupa Klasični skup - skup istih elemenata Fuzzy skupovi - dozvoljeno mnogo stepeni funkcije pripadnosti [,] Funkcija pripadnosti (membership function) A. 7
Fuzzy skup Fuzzy skup A : {( x, ( x) ) x X } A = A gde je x član skupa, A (x) predstavlja funkciju pripadnosti elementa skupu (membership function). Fuzzy skup predstava: ili ako je kontinualnog karaktera: A = A ( x) / x n i= A = / i x i 8
Primjer matematičkog opisa ljudske percepcije brzine auta brzo ( x), za x 5 km / h =, za x < 5 km / h brzo, za x > 55 km / h ( x) = ( x 45) /, za 45 km / h x 55 km / h, za x < 45 km / h Klasični skup Fuzzy skup Pripadnost,5 35 4 45 5 55 6 65 Pripadnost,5 35 4 45 5 55 6 65 9
Funkcije pripadnosti x, za x < a x a, za a x < c c a ( x) = e x, za c x e e c, za x > e a b c d e x a x b c d e x, za x < a x a, za a x < b b a ( x) =, za b x < d e x, za d x e e d, za x > e
Funkcije pripadnosti x c x ( x) = + ( x c) 2 x ( ) 2 ( x) = e x c w c x
Funkcije pripadnosti x, x < a b x ( x) =, a x b b a, x > b a b x x, x < a x a ( x) =, a x b b a, x > b a b x 2
Gaussian funkcija pripadnosti (x) L D C L C C D w 3
4 Gaussian funkcija pripadnosti Lijevo Sredina Desno = ostalo c u c u u L L L L 2 2 exp ) ( σ = 2 2 exp ) ( σ c u u = ostalo c u c u u R R R R 2 exp ) ( 2 σ
5 Triangularna funkcija pripadnosti Lijevo Sredina Desno + = ostalo w u c c u u L L L L,5, max ) ( + + = ostalo w u c c u w c u u C,5, max,5, max ) ( + = ostalo c u w c u u R R R R,5, max ) (
Funkcije pripadnosti Funkcije pripadnosti se biraju na bazi aplikaciono specifičnog kriterija aspekt jednostavnosti, pogodnosti, brzine, efikasnosti... ( x) =, k > + k x ( a) 2 a ( x) =, k > 2 + kx x 6
Osobine fuzzy skupova Visina fuzzy skupa V( A) = sup ( x) = max ( x) Širina fuzzy skupa A A Visina Visina SA ( ) = s up ( x) inf ( x) = max ( x) min ( x) A A A A.8 (x) Širina skupa Fuzzy skup oko vrijednosti 5 5 Domen skupa Normalan Nije normalan broj x Domen { } DA ( ) = x X A > 7
Osobine fuzzy skupova Jezgro ili centar fuzzy skupa A. { } JA ( ) = x X ( x) = A Normalan fuzzy skup V( A ) = 8
Fuzzy broj Konveksnost fuzzy skupa [ ] ( y) min ( x), ( z) A A A Normalizovan skup 9
Neki primjeri fuzzy broja Pozitivno mala Pozitivno mala,5,5 5 a) Trougao Pozitivno mala t (ºc) 5 5 b) Gauss Pozitivno mala t (ºc),5,5 5 c) Trapez t (ºc) 5 d) Oštri pik t (ºc) 2
Logičke operacije nad fuzzy skupovima Fuzzy skup je prazan : ( x ) = A Dva fuzzy skupa A i B su jednaki ( x) = ( x) A je podskup skupa B : A A B ( x) ( x) A B B 2
Logičke operacije nad fuzzy skupovima Fuzzy operacije su specijalno definisane operacije za rad sa fuzzy skupovima. 22
Logičke operacije nad fuzzy skupovima Unija fuzzy skupova {(, A B( )) (, A B( ) max ( A( ), B( ))) } A B = x x x X x = x x A + B ( x) = A ( x) + B ( x) A ( x) B ( x) Presjek fuzzy skupova A B = ( x, ( x) ) x X, ( x) = min ( ( x), ( x) ) { A B ( A B A B )} ( x) = ( x) ( x) A B A B Komplement fuzzy skupa ( x ) = A( x ) A 23
Fuzzy operatori Trokutna norma (T-norma) i S-norma (T-konorma) 24
Poređenje različitih T normi i S normi Minimum TM i maksimum SM: TM(x) = min(μ(x), μ2(x)) SM(x) = max(μ(x), μ2(x)) 2 Algebarski proizvod TP i algebarska suma SP : TP(x,y) = μ(x) μ2(x) SP(x) = μ(x) + μ2(x) μ(x) μ2(x) A A A B ( x) = T ( A ( x), B ( x) = S( A ( x), ( x) = ( x) C A B B ( x)) ( x)) 2 T P S P a T M S M x x 25
Fuzzy broj lingvistička forma fuzzy broja Negativno veliko Negativno Negativno srednje malo Blizu nuli Pozitivno malo Pozitivno srednje Pozitivno veliko -3-2 - 2 3 Temperature zraka 26
Lingvistička varijabla udaljenost Lingvistička varijabla je četvorka (x, A(x), U, M), Definišimo lingvističku varijablu x: x = Udaljenost od prepreke A(x) = { nula, blizu, srednje, daleko } U = [, ] M: X A(x)..8.6.4.2 (x) nula blizu srednje daleko 3 5 7 x 27
Relacije Klasične relacije Fuzzy relacije 28
Fuzzy relacije Neka su X i Y neprazni skupovi. Fuzzy relacija R je fuzzy podskup od XxY, tj. R= ( xy, ), ( xy, ) ( xy, ) X Y {( R ) } { (,..., ) /(,..., ),..., } R = x x x x x X x X R n n n n R... ( x,..., x ) /( x,..., x ) = X X n R n n 29
Predstavljanje klasične relacije Primjer binarne relacije: R d = {(,,,2,,3,,4,,6,2,2,2,4,2,6,3,3,3,6,4,4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 6,6 ),} Primjer tabelarne relacije y x 2 3 4 6 2 3 4 6 3
Predstavljanje klasične relacije Grafički prikaz relacije: Matrični prikaz relacije R d = 3
Predstavljanje fuzzy relacija mxn binarne fuzzy relacije: R= R( xi, yi)/( xi, yi) ( x, y ) X Y pri čemu su: xi =, 2,..., m y =,2,..., n i i i - redovi matrice, - kolone matrice. Matrica pripadnosti mxn binarne fuzzy relacije R( x, y) R( x, yn) R( x2, y) R( x2, yn) R = R( xm, y) R( xm, yn) Matrica inverzne relacije ( yx, ) = ( xy, ) R R 32
Predstavljanje fuzzy relacija x x 2..5...5... y y 2 R =. /( x, y ) +.5 /( x, y ) +. /( x, y ) +. /( x, y ) + 2 3 4.5 /( x, y ) +. /( x, y ) +./( x, y ) +. /( x, y ) + 2 2 2 2 3 2 4./( x, y ) +.2/( x, y ) +. /( x, y ) +.5 /( x, y ) + 3 3 2 3 3 3 4./( x4, y) +. /( x4, y2) +.4 /( x4, y3) +. /( x4, y4) x 3..2..5 y 3 y x y y2 y3 y4 x 4...4. y 4 x..5.. x2.5... R..5...5... =..2..5...4. R..5...5..2. =....4...5. x3..2..5 x4...4. 33
Fuzzy propozicija Fuzzy propozicija je struktura oblika x je A 34
Fuzzy pravilo AKO R skup zadovoljenih uslova ONDA P skup posljedica, AKO R - fuzzy propozicija ili premisa, pretpostavka, sastoji se iz više tvrdnji povezanih logičkim vezama "AND" i "OR". ONDA P - posljedični dio pravila ili konsekvenca (zaključak), može biti u jednoj ili više posljedičnih vrijednosti 35
Fuzzy pravilo Za povezivanje propozicija koriste se riječi (veznici): I, ILI, NE i AKO - ONDA koji se kvantificiraju preko T i S normi. ako je brzina velika i nadolazeća krivina oštra, onda je kočenje naglo, ako se temperatura pare smanjuje onda povećaj protok goriva i zraka 36
Fuzzy relacija Neka X i Y predstavljaju domene varijabli x i y nad kojima su definisani fuzzy skupovi A i B i neka je dato fuzzy pravilo: AKO x je A ONDA y je B {((, ), R (, )) (, ) } R= A B= xy xy xy X Y 37
Fuzzy zaključivanje Fuzzy zaključivanje je proces formulacije transformacije fuzzy ulaza u fuzzy izlaz pomoću fuzzy logike. ( xy, ) = ( x) Rxy (, ) B A 38
Kompozicija fuzzy relacija AKO nivo je nizak I AKO promjena_nivoa je negativna ONDA ventil je otvori_polako AKO nivo je dobar I AKO promjena_nivoa je pozitivna ONDA ventil je zatvori_polako 39
Kompozicija fuzzy relacija Max- Min kompozicija R R2 = R ( xy, ) (, ) /(, ) R yz xz 2 XxZ R R ( xz, ) (, ) (, ) 2 R xy R yz = 2 y 4
Kompozicija fuzzy relacija Max- Star kompozicija R R2 = R ( xy, ) (, ) /(, ) R yz xz 2 XxZ R R( xz, ) = (, ) (, ) 2 R xy R yz 2 y 4
Kompozicija fuzzy relacija Max- Prod kompozicija R R2 = R ( xy, ) (, ) /(, ) R yz xz 2 XxZ R R( xz, ) = (, ) (, ) 2 R xy R yz 2 y 42
Kompozicija fuzzy relacija Max- Srednje kompozicija R <+> R2 = /2 ( R ( xy, ) + (, )) /(, ) R yz xz 2 XxZ R<+> R ( xz, ) = /2 ( (, ) (, )) 2 R xy+ R yz 2 y 43
Primjer: Kompozicija fuzzy relacija Fuzzy relacija R Fuzzy relacija R2 Y X y y 2 y 3 y 4 y 5 x..2...7 x 2.3.5..2. x 3.8...4.3 Z y z z 2 z 3 z 4 y.9..3.4 y 2.2..8. y 3.8..7. y 4.4.2.3. y 5....8 44
Primjer: Max-Min kompozicija fuzzy relacija R R ( x, z ) = 2 Max(..9,.2.2,..8,..4,.7.) =..2..4. =.4 Z x z z 2 z 3 z 4 x.4.7.3.7 x 2.3..5.8 x 3.8.3.7. 45
Primjer: Max-Proizvod kompozicija fuzzy relacija R R ( x, z ) = 2 Max(..9,.2.2,..8,..4,.7.) =.9.4..4. =.4 Z x z z 2 z 3 z 4 x.4.7.3.56 x 2.27..4.8 x 3.8.3.7. 46
Primjer: Max-Srednje kompozicija fuzzy relacija ( ) R + R ( x, z) = 2 (. +.9,.2 +.2,. +.8,. +.4,.7 +.) = 2 (..4.8.4.) =.7 2 Z x z z 2 z 3 z 4 x.4.7.3.7 x 2.3..5.8 x 3.8.3.7. 47
Implikaciona relacija Analitička forma pravila AKO ONDA AKO x je A ONDA y je B je fuzzy relacija koja se naziva implikaciona relacija. Implikaciona relacija nam daje funkcionalnu vezu između premise i posljedice pravila. 48
Implikaciona relacija R= (, )/(, ) R xy xy R = R( xi, yi)/( xi, yi) ( x, y ) ( xy, ) i i Φ implikacioni operator koji kao ulaz uzima funkcije pripadnosti uzročnih i posljedičnih dijelova pravila. [ ] ( xy, ) = Φ ( x), ( y) R A B 49
Vrste implikacija Mamdani implikacija (implikacija tipa min) [ ] Φ ( x), ( y) = min( ( x), ( y)) M A B A B Implikacija tipa proizvod [ ] Φ ( x), ( y) = ( xy, ) = ( x) ( y) P A B R A B Zadehova implikacija (Max-Min implikacioni operator) [ ( x), ( y) ] max ( min( ( x), ( y)), ( x) ) Φ = Z A B A B A Lukasiewiczeva implikacija [ ] Φ ( x), ( y) = ( xy, ) = min(, ( x) + ( y)) L A B R A B 5
Agregacija fuzzy pravila Proces formiranja konačnog zaključka na osnovu pojedinačnih zaključaka dobijenih svakim pojedinačnim pravilom naziva se proces agregacije. Mamdanijev princip zaključivanja. Larsenov princip zaključivanja. Tsukamotov princip zaključivanja. Takagi-Sugeno-Kangov princip. 5
Mamdanijev princip zaključivanja AKO x je Ak I x2 je Ak2 ONDA yk je Bk, k=,...r { r } = B ( x, 2 ) max min ( ), ( 2 2 ),,..., k i x j = k A x k i A x k j k = r 52
Mamdanijev princip zaključivanja A A 2 B x x 2 y A 2 A 22 B 2 x min x 2 x x 2 y y 53
Larsenov princip zaključivanja U slučaju r aktiviranih pravila imamo sljedeću formu: { r } = B ( x, 2 ) max ( ) ( ), ( 2 2 ),,..., k i x j = k A x k i A x k j k = r 54
Larsenov princip zaključivanja A 2 B A x x 2 y A A 22 2 B 2 x min x 2 x x 2 y y 55
Takagi-Sugeno-Kangov princip zaključivanja AKO x je Ak I x2 je Ak2 ONDA yk =pkx+qkx2+rk k=,2 56
Takagi-Sugeno-Kangov princip zaključivanja A A2 w y =p x +q x 2 +r x x 2 A2 A22 y = wy 2 2 w + wy + w 2 w 2 y 2 =p 2 x +q 2 x 2 +r 2 x x x 2 x 2 min ili proizvod 57
Uticaj izbora ulazne funkcije pripadnosti na karakter izlazne funkcije Sugeno AKO je x mali ONDA je y = 3x + 2 AKO je x srednji ONDA je y = 2.5x + 3 AKO je x veliki ONDA je y =.x + 5 y,5 Funkcije pripadnosti ulaza mali srednji veliki 2 5 y 5 Funkcije izlaza y=f(x) mali srednji veliki 5 x 5 mali srednji veliki y,5 y 5 5 x 2 mali srednji veliki 5 5 5 x 5 mali srednji veliki y,5 5 x 5 5 x 5 2 mali srednji veliki 5 y 5 y=-,x+5 y=3x+2 y=-2,5x+3 5 x 5 58
Komparacija Sugeno i Mamdani metoda Prednosti Mamdani metode intuitivan široko prihvaćen odgovara ljudskom poimanju. Prednosti Sugeno metode Kompjuterski efikasan Radi dobro sa linearnim tehnikama (npr. PID kontrola) Radi dobro sa optimizacionim i adaptivnim tehnikama Ima garantovani kontinuitet izlazne površi Dobro je prilagođen matematskoj analizi 59
Metode defazifikazicije Metoda težišta ili centroid metoda (eng. centroid method) Metoda srednjeg otežavanja (eng. weighted average method) Metoda maksimalne visine ili princip maksimalne pripadnosti (eng. max-membership principle, MOM) Centar suma (eng. center of sums). 6
Centroid metoda (COA) y = n y * i = n i = ( y ) i i i ( y ) i i y * = Y ( y) y dy Y i ( y) dy i y* y 6
Metoda srednjeg otežavanja Koristi se samo za simetrične slučajeve izlaznih fuzzy skupova y = n * i = n y ( y) i = i ( y ) i,7,4 a b y 62
Metoda maksimalne visine (MOM) Ova metoda se susreće i pod nazivima metoda maksimalne pripadnosti ili metoda kompozitnog maksimuma. Ako se desi slučaj da fuzzy skup sadrži više max. vrijednosti, kao rješenje se koristi prosječna maksimalna vrijednost. y * N ym = N m= y* y 63
Metoda centra sume (COS) y Za razliku od centroid metode, metoda centra suma računa algebarsku sumu pojedinačnih izlaznih fuzzy skupova, čime se područje presjeka dodaje dva puta. y n Y * k = = n Y k = ( yi ) dy, ( y ) dy i y N n y ( yi) i * i= k= = N n i= k= ( y ) i y* y 64
Izabrana područja fuzzy aplikacija Područje Transport Automobili Kućanski aparati Roboti Industrija Inženjering Medicina Menadžment Aplikacije Podzemne željeznice, helikopteri, liftovi, kontrola saobraćajam, kontrola protoka zraka u tunelima. Transmisija, kontrola kretanja, mašine, kočnice. Perilice, sušilice, hladnjaci, usisivači, kuhala, TV aparati, klime, mikrovalne, masažne kade, video sistemi. Industrijski i mobilni roboti. Metalna, hemijska, elektrane, konstruktivna, nuklearna. Eektrotehnika, mehanika, građevinarstvo, geofizika, rudarstvo. Dijagnostika. Odobravanje kredita, procjena rizika, dionicama, analiza tržišta, planiranje, sistem za podršku odlučivanju.