UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku MASTER RAD VaR Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Student: Milena Stošić Niš, 2015.
Sadržaj Uvod... 4 Glava 1 Uvodni pojmovi... 5 Glava 2 VaR... 11 2.1 Rizik... 12 2.2 Definicija VaR a... 13 2.3 Osobine VaR a... 15 2.4 Procena VaR a... 20 2.5 Primena VaR a... 21 2.5.1 Bazelski standardi... 21 2.5.2 Konverzija parametara... 23 Glava 3 Metode za izračunavanje VaR a... 25 3.1 Parametarski metod... 25 3.1.1 VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive... 26 3.1.2 VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva... 27 3.1.3 VaR alati... 32 3.1.3.1 Marginalni VaR... 32 3.1.3.2 Inkrementalni VaR... 33 3.1.3.3 Komponentni VaR... 36 3.1.4 Prednosti i slabosti parametarske metode... 39 3.2 Metod istorijske simulacije... 40 3.2.1 Prednosti i slabosti metoda istorijske simulacije... 43 3.3 Monte Karlo simulacija... 43 3.3.1 Simulacija sa jednom slučajnom promenljivom... 44 3.3.2 Simulacija sa više slučajnih promenljivih... 47 3.3.3 Prednosti i slabosti Monte Karlo simulacije... 48 3.4 Poređenje VaR metoda... 48 Glava 4 Metode za evaluaciju VaR a... 50 4.1 Testiranje stresnih situacija... 50 2
4.2 Backtesting modeli... 52 4.2.1 Model koji se bazira na stopi neuspeha... 52 4.2.2 Pravila regulatora... 54 4.2.3 Modeli uslovljene pokrivenosti... 56 4.3 Procena preciznosti VaR a... 57 Zaključak... 59 Biografija... 60 Literatura... 61 3
Uvod Upravljanje rizikom je devedesetih godina prošlog veka doživelo pravu revoluciju, a razlog za to je otkriće nove metodologije - vrednosti pod rizikom (VaR). Potreba za novim metodama za upravljanje i merenje rizika kome su izložene institucije na finansijkom tržištu se javila nakon velike finansijske krize koja je potresla svet tih godina. Od tada se VaR metodologija razvijala i usavršavala i danas je nezaobilazni alat za menadžere rizika svih finansijskih institucija. Zbog velike primene, ova tema pruža brojne mogućnosti za istraživanje. Master rad se sastoji iz četiri glave. U prvoj glavi su definisani pojmovi koji su neophodni za razumevanje teorije na kojoj se zasniva VaR metodologija. Druga glava se bavi osnovama VaR metodologije: definicijom, osobinama i oblastima primene. U trećoj glavi su opisani načini za izračunavanje VaR a (parametarska metoda, metod istorijske simulacije i Monte Karlo simulacija) i alati koji su razvijeni u okviru metodologije koji su značajno unapredili menadžment rizika. I na kraju, četvrta glava se bavi evaluacijom VaR modela i u njoj će biti izloženo više načina za proveru adekvatnosti modela, kao što su backtesting proces, testiranje stresnih situacija i procena preciznosti same ocene. Želela bih da se zahvalim svom mentoru, profesorki Miljani Jovanović, na razumevanju, nesebičnoj pomoći tokom izrade ovog master rada i stručnim savetima. Takođe bih želela da se zahvalim svojim roditeljima na velikoj podršci i razumevanju. 4
Glava 1 Uvodni pojmovi Za upravljanje rizikom i razumevanje teorije portfolio analize, a samim tim i teorije na koju se oslanja VaR, neophodno je poznavati osnove teorije verovatnoća i matematičke statistike. Zbog toga je potrebno, na početku, definisati neke osnovne pojmove. Definicija 1.1. Klasa, podskupova nepraznog skupa čini algebru ako važi 1), 2), 3) ( aditivnost). Ako je algebra, onda se uređen par naziva merljiv prostor. Definicija 1.2. Neka je merljiv proctor. Preslikavanje koje ima sledeće osobine 1) nenegativnost, 2) normiranost, 3) aditivnost, naziva se verovatnoća. Uređena trojka se naziva prostor verovatnoća. Definicija 1.3. Slučajna promenljiva X je preslikavanje finitno i merljivo, tj. za koje važi koje je gde je Borelova algebra. Definicija 1.4. Funkcija raspodele slučajne promenljive X je realna funkcija definisana sa 5
Definicija 1.5. Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa ako postoji neki najviše prebrojiv skup tako da je. Definicija 1.6. Slučajna promenljiva X je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna integrabilna funkcija tako da je Definicija 1.7. Matematičko očekivanje slučajne promenljive X je Lebegov integral na merljive slučajne promenljive X po aditivnoj meri P, tj. Definicija 1.8. Neka je X slučajna promenljiva sa matematičkim očekivanjem EX. Matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne promenljive X od EX se naziva disperzija slučajne promenljive X a standardna devijacija je Definicija 1.9. Kovarijansa slučajnih promenljivih X i Y je Definicija 1.10. Neka su X i Y slučajne promenljive definisane na prostoru verovatnoća. Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih X i Y u oznaci je Za koeficijent korelacije važi Kada je slučajne promenljive X i Y su savršeno korelisane, a kada je X i Y su nekorelisane. Ukoliko slučajne promenljive X i Y imaju normalnu raspodelu i tada su one i nezavisne. Definicija 1.11. Rep raspodele verovatnoća slučajne promenljive X u tački x, u oznaci, je verovatnoća događaja da slučajna promenljiva X uzima vrednosti veće od x, odnosno Definicija 1.12. Kvantil reda p, u oznaci X sa funkcijom raspodele je, slučajne promenljive 6
Definicija 1.13. Neka je prostor verovatnoća i parametarski skup. Realan jednodimenzionalan slučajan proces X na je familija merljivih funkcija odnosno familija slučajnih promenljivih takvih da važi Definicija 1.14. Jednodimenzionalni stohastički proces Braunovo kretanje (Wienerov proces) sa parametrom ako je je 1), 2) sa nezavisnim priraštajima, tj. 3) su nezavisne slučajne promenljive, Potrebno je navesti i neke poznate raspodele slučajnih promenljivih diskretnog i apsolutno neprekidnog tipa koje su značajne za ovaj rad. Normalna raspodela Slučajna promenljiva raspodele je određena gustinom Funkcija raspodele slučajne promenljive X je Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i. Normalna raspodela sa parametrima i se naziva normalna normirana (standardizovana) raspodela. Funkcija raspodele slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom je gde je 7
Slika 1.1 Funkcija raspodele slučajne promenjive sa normalnom normiranom raspodelom Uniformna raspodela Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i. Binomna raspodela Slučajna promenljiva raspodele je određena zakonom Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i raspodela sa stepeni slobode Neka su nezavisne slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom. Tada slučajna promenljiva ima raspodelu sa stepeni slobode. Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele 8
Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i Kako je VaR samo ocena rizika kome je izložena finansijska institucija na finansijskom tržištu, njeno određivanje se vrši uz pomoć nekih statističkih metoda. Provera tačnosti ocene dobijene na taj način se vrši testiranjem statističkih hipoteza, pa je potrebno razjasniti i neke pojmove matematičke statistike. Definicija 1.15. Populacija je skup elemenata čija se zajednička svojstva izučavaju statističkim metodima. Definicija 1.16. Obeležje je zajedničko svojstvo elemenata jedne populacije. Definicija 1.17. Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeležje. Broj elemenata u uzorku se naziva obim uzorka. Na uzorku se sprovodi statistički eksperiment. Ishod tog eksperimenta će biti vektor X, koji je po svojim karakteristikama slučajna promenljiva. Vektor koji predstavlja realizaciju vektora X po obavljenom eksperimentu se naziva realizovani uzorak. Statistika (statistika uzorka) je realna funkcija uzorka čiji analitički oblik ne zavisi od nepoznatih parametara obeležja. Primeri statistika su Sredina uzorka ; Disperzija uzorka i popravljena disperzija uzorka Uzoračka standardna devijacija. ; Sredina uzorka obima n,, iz populacije sa obeležjem X čija raspodela pripada familiji dopustivih raspodela kada je nepoznato ima raspodelu. Ako je disperzija uzorka obima n iz populacije sa obeležjem X onda slučajna promenljiva ima raspodelu sa stepeni slobode kada je nepoznato. Interval poverenja je podskup realne prave unutar koga se može smatrati da će se naći prava vrednost parametra sa određenim novoom poverenja. Definicija 1.17. Tvrđenje o posmatranim pojavama i procesima na jednoj ili više populacija, koje može da se iskaže kao tvrđenje o raspodeli jednog ili više obeležja je statistička hipoteza. Definicija 1.18. Testiranje statističke hipoteze je postupak provere hipoteze u smislu njenog prihvatanja ili odbacivanja. 9
Postupak testiranja hipoteza podrazumeva da se jedna od hipoteza uzima za polaznu ili nultu hipotezu i označava sa. Druga hipoteza se u tom slučaju naziva alternativna hipoteza i označava sa. Postupak verifikacije nulte protiv alternativne hipoteze na osnovu realizovanog uzorka je statistički test, a statistika čijim se posredstvom vrši testiranje je test statistika. Skup svih tačaka realnog prostora za koje se nulta hipoteza odbacuje je kritična oblast testa. Pored definicija i termina iz teorije verovatnoća i matematičke statistike, treba razjasniti neke osnovne pojmove finansija. Portfolio je skup finansijskih instrumenata (aktiva) različitih vrsta i karakteristika u posedu jednog investitora. Kapital portfolija je ukupna vrednost portfolija. Prinos predstavlja dobitak ili gubitak koji investitor ostvaruje na osnovu vlasništva nad finansijskim instrumentima. Prinos portfolija se određuje kao razlika između početne vrednosti portfolija i vrednosti nakon nekog vremenskog perioda. Stopa prinosa portfolija predstavlja odnos između razlike vrednosti portolija u nekom periodu i početne vrednosti tog portfolija. Često se koristi izraz prinos kada se govori o stopi prinosa. Diversifikacija predstavlja ulaganje sredstava u više različitih finansijskih instrumenata čime se smanjuje ukupan rizik kome je investitor izložen. Volatilnost je mera nepredvidivosti kretanja cena finansijskih instrumenata. 10
Glava 2 VaR Vrednost pod rizikom (Value at risk skraćeno VaR) predstavlja najveći očekivani gubitak portfolija u posmatranom vremenskom periodu sa datim nivoom poverenja. Ova vrednost predstavlja rizik kome je institucija izložena na finansijskom tržištu. Na primer, neka je dnevni VaR portfolija neke banke 35 miliona dolara sa nivoom poverenja 99%. To znači da je verovatnoća, da pri normalnim uslovima na tržištu, gubitak portfolija bude veći od 35 miliona dolara, najviše 1%. Ovaj broj sumira izloženost banke tržišnom riziku. VaR metodologiju koriste mnoge banke, brokerske firme i investicioni fondovi. Bankarsku regulativu o kapitalu banaka i upravljanju rizicima određuje Bazelska komisija za superviziju banaka. Bazelska komisija je sastavila sporazum kojim je prihvaćena VaR metodologija, a ovim sporazumom su određeni uslovi koje moraju da zadovolje interni modeli banaka za procenu rizika. VaR je najsavremeniji alat za menadžment rizika. Klasični pristup menadžmentu rizika je podrazumevao procenu promene vrednosti portfolija imajući u vidu samo trenutni prinos. Za razliku od ovog pristupa, VaR kombinuje vezu između vrednosti i prinosa portfolija sa verovatnoćom nepovoljnih kretanja na tržištu. Tako VaR opisuje verovatnosnu granicu potencijalnih gubitaka. Takođe, sam koncept obuhvata i ostale rizike: devizni, robni i rizik promene cena. VaR se oslanja i na korelacije između finansijskih instrumenata, što je posebno važno u radu sa velikim portfolijima koji sadrže finansijske derivate. Drugim rečima, VaR predstavlja nadogradnju postojećih metoda za ocenu rizika portfolija u čiji sastav ulaze i finansijski derivati. Njegova uloga je da meri promene vrednosti aktive do određenog datuma, a ponašanje u repovima raspodele prinosa aktive se analizira kroz testiranje stresnih situacija. VaR metodologija danas predstavlja najpoznatiji i najrasprostranjeniji koncept za upravljanje tržišnim rizicima. U okviru ovog koncepta razvijeno je više metoda od kojih su najznačajniji: istorijski metod, parametarki metod (ili varijansno-kovarijansni metod) i Monte Karlo simulacija. Ovi metodi će biti detaljnije predstavljeni i analizirani u ovom radu. 11
2.1 Rizik Vrednost pod rizikom je metodologija za ocenu i upravljanje rizikom. Precizna definicija rizika ne postoji, ali ono što je zajedničko svim definicijama su neizvesnost i gubitak. Rizik predstavlja svaku neizvesnu situaciju u poslovanju, odnosno verovatnoću gubitka (smanjenje dobitka) nastalu kao rezultat neizvesnih događaja u poslovanju. Finansijske institucije su izložene različitim vrstama rizika. Osnovna podela rizika je na poslovne i neposlovne rizike. Poslovni rizici su posledica faktora poslovnog okruženja, dok su neposlovni rizici vezani za ekonomsko i političko okruženje, zbog čega finansijske institucije ne mogu da ih kontrolišu. Ovi rizici mogu biti izazvani raznim faktorima kao što su ljudski faktor, inflacija, političke promene, ratovi, a mogu se desiti i usled nekih prirodnih katastrofa, zemljotresa, poplava i drugih uzroka. Finansijski rizik se povezuje sa novčanim gubitkom na finansijskom tržištu nastalim usled nepredvidivosti ili nestabilnosti prinosa. Finansijski rizik se može klasifikovati u više kategorija, a najvažnije su: tržišni rizik, kreditni rizik, rizik likvidnosti, operativni rizik i pravni ili regulatorni rizik. Tržišni rizik predstavlja rizik promene tržišnih cena koji dovodi do smanjenja vrednosti portfolija. Glavni oblici u kojima se ovaj rizik javlja su: rizik promene kamatne stope, rizik promene cena i rizik promene deviznog kursa. Kreditni rizik je rizik da partner u finansijskoj transakciji neće ispuniti svoju ugovorom preuzetu finansijsku obavezu. Rizik likvidnosti je rizik da finansijska institucija ne poseduje dovoljno likvidnih sredstava, tj. raspoloživih sredstava za plaćanje dospelih obaveza. Operativni rizik je specifična vrsta finansijskog rizika. Odnosi se na potencijalne gubitke zbog neodgovarajuće organizacije, lošeg upravljanja, prevara, krađa i ljudskih i tehničkih grešaka. Pravni ili regulatorni rizik obuhvata različite rizike koji su u vezi sa nepoštovanjem ili primenom zakonskih normi. Prve ideje za procenjivanje rizika portfolija potiču od Markowitza, koji je merio rizik disperzijom prinosa. Iz ove metodologije je kasnije nastao VaR. VaR je najpre razvijen u cilju upravljanja jednim aspektom finansijskog rizika i to tržišnim rizikom. Međutim, kasnije je korišćen i za upravljanje drugim aspektima finansijskog rizika kao što su kreditni rizik, rizik likvidnosti i operativni rizik. 12
2.2 Definicija VaR a Termin vrednost pod rizikom (VaR) se prvi put pojavio 1993. godine kada je Grupa 30 (Group of thirty konsultantska grupa bankara, akademika i finansijskih stručnjaka iz najrazvijenijih zemalja sveta) sa predstavnicima banke J.P. Morgan diskutovala o najboljim modelima za merenje rizika. Jula 1993. godine je objavljen njihov izveštaj u kome je za najbolju praksu odobren VaR. Iako sam pojam vrednosti pod rizikom nije bio u upotrebi do sredine devedesetih godina, njegovo poreklo se može naći u teorijama iz sredine dvadesetog veka. Jedna od takvih teorija je portfolio teorija Markowitza. Metodologija na kojoj počiva VaR je rezultat savremene portfolio teorije. Na prihvatanje ovog koncepta je najviše uticala kriza koja je zadesila finansijske institucije krajem osamdesetih i tokom devesetih godina prošlog veka, kao i gubici koji su ostvareni u tom periodu usled nemogućnosti predviđanja i upravljanja rizikom. Za vrednost pod rizikom se može dati intuitivna definicija. VaR sumira najveći mogući gubitak portfolija u posmatranom periodu sa datim nivoom poverenja. Formalno, VaR opisuje kvantil raspodele potencijalnih gubitaka i dobitaka portfolija u posmatranom periodu. Neka se u nekom vremenskom periodu razmatra određeni portfolio. Neka je X dobitak portfolija nakon tog vremenskog perioda. U tom slučaju je X gubitak portfolija koji će biti označen sa Y. Dobitak portfolija nije poznat u početnom trenutku razmatranog vremenskog perioda, što znači da je X, a samim tim i Y, slučajna promenljiva. VaR se može definisati kako preko gubitka portfolija, tako i preko dobitka. Neka je α nivo poverenja,. Definicija 2.1. VaR je maksimalni gubitak portfolija koji je dostignut u najmanje slučajeva Koristi se i sledeća definicija VaR a. Definicija 2.2. VaR je minimalni dobitak portfolija koji je dostignut u najviše slučajeva Nivo poverenja je unapred zadat i najčešće iznosi 0.9, 0.95 ili 0.99. U narednoj teoremi pokazana je veza između prethodne dve definicije. Teorema 2.1. Neka su X i Y dobitak i gubitak portfolija, respektivno. Tada je 13
Dokaz. U sledećem primeru je data ilustracija primene VaR a. Primer 2.1. Neka investitor poseduje portfolio petogodišnjih Treasury Notes obveznica ukupne vrednosti $100 000 000. Koliki je njegov mogući gubitak za mesec dana? Potrebno je simulirati mesečne prinose datog portfolija na osnovu istorijskih podataka. Slika 2.1 Grafik apsolutne promene prinosa petogodišnjih U.S. Treasury obveznica od aprila 1953. godine do jula 2015. godine. Izvor [13]. Grafik na Slici 2.1 pokazuje promene prinosa portfolija od 1.8% do 2.2%. Na osnovu njega se može konstruisati raspodela verovatnoća dobijenih prinosa na sledeći način: interval u kome se nalaze svi prinosi se deli na podintervale jednake dužine i uočava se broj opservacija u svakom od njih. Dobija se histogram date raspodele (Slika 2.2). Na kraju treba izabrati nivo poverenja, na primer 99%, i pronaći gubitak koji neće biti premašen u 99% slučajeva, tj. onaj broj od koga je 14
manje 1% opservacija (što je 8 od ukupno 748). Taj broj je oko 0.8%, tj. $800000. Slika 2.2 Histogram raspodele prinosa portfolija Može se zaključiti da pod normalnim uslovima na tržištu, najveći mogući gubitak portfolija za 1 mesec iznosi oko $800 000 sa nivoom poverenja od 99%. Nivo poverenja je izabran proizvoljno u ovom slučaju, ali ga inače treba birati veoma pažljivo. Izbor vremenskog perioda za koji se računa VaR je takođe podložan subjektivnoj proceni. Međutim, za portfolio banaka je najprihvatljiviji period 1 dan. 2.3 Osobine VaR a Kao što je ranije rečeno, vrednost pod rizikom sumira rizik kome je finansijska institucija izložena na tržištu u jednom broju i zbog toga je od značaja poznavati njegove osobine. Da bi se definisala osobina monotonosti koju ima VaR potrebno je uvesti pojam stohastičke dominantnosti prvog reda (stochastic dominance of order 1). Definicija 2.3. Slučajna promenljiva Y stohastički dominira nad slučajnom promenljivom X, u oznaci ako i samo ako je, za svako Osobine koje zadovoljava VaR su date sledećom teoremom. 15
Teorema 2.2. Za VaR važe sledeće osobine: 1. Invarijantnost u odnosu na translaciju gde je c proizvoljna konstanta. 2. Pozitivna homogenost gde je c pozitivna konstanta. 3. Monotonost gde su X i Y gubici dva portfolija. Dokaz. 1. Neka je c proizvoljna konstanta. Tada je. 2. Neka je c pozitivna konstanta. Kako je sledi osobina pozitivne homogenosti. 3. Kako je, važi da je za svako. Neka je. Neka se pretpostavi suprotno, da je. Pošto je najmanja vrednost za koju je, za važi Koristeći da je, dobija se Odavde je, čime je dobijena kontradikcija. Prema tome, važi da je. Primer 2.2. Neka se VaR mera rizika primenjuje na dobitak ili gubitak portfolija koji je opisan slučajnom promenljivom sa normalnom raspodelom, ili slučajnom promenljivom diskretnog tipa. 16
Neka je data slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Na levom grafiku Slike 2.3 je korišćena Definicija 2.1, a dati nivo poverenja je 90%. Na desnom grafiku je ilustrovana primena Definicije 2.2 sa pragom značajnosti 10%. Slika 2.3 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija opisan slučajnom promenljivom sa normalnom normiranom raspodelom VaR slučajne promenljive Y, koja ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i disperzijom, jednak je gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom Zaista, Primenom osobina invarijantnosti i pozitivne homogenosti dobija se da je Neka je data diskretna slučajna promenljiva Y koja predstavlja gubitak portfolija, sa raspodelom odnosno slučajna promenljiva dobitka portfolija 17
Na Slici 2.4 je prikazan VaR primenjen na prvu, odnosno drugu slučajnu promenljivu. Slika 2.4 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija koji je predstavljen diskretnom slučajnom promenljivom Na obe slike obojena površina odgovara nivou na kome se određuje VaR. Kada se VaR definiše preko gubitka portfolija pozitivne vrednosti predstavljaju gubitke, a negativne prihod. U slučaju kada se definiše preko dobitka je obrnuto, pozitivne vrednosti predstavljaju prihod, a negativne gubitak portfolija. Definicija 2.4. Mera rizika je subaditivna ako je zbir rizika dva portfolija veći ili jednak od rizika portfolija dobijenog spajanjem ta dva portfolija. Drugim rečima, ako su X i Y dva razmatrana portfolija i R(X) i R(Y) njihovi rizici, mera R je subaditivna ako je Sledeći primer pokazuje da VaR nije subaditivna mera rizika, odnosno da se spajanjem dva portfolija u jedan može dobiti portfolio čiji je VaR veći od zbira VaR ova pojedinačnih portfolija. Primer 2.3. Neka je portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju. Neka su raspodele gubitaka portfolija date sa respektivno. VaR portfolija, sa nivoom poverenja 95% je a portfolija 18
Neka je x portfolio koji se sastoji od 50% akcija i 50% akcija, odnosno. Raspodela gubitka portfolija x je Vrednosti portfolija se računaju na sledeći način a analogno se izračunavaju i sve ostale vrednosti. Nakon izračunavanja svih vrednosti dobija se raspodela gubitka portfolija Dakle, Y ima raspodelu i Dakle, Dobija se Dakle, VaR nije subaditivna mera rizika. Ovaj primer pokazuje da se, sa nivoom poverenja 0.95, spajanjem portfolija u jedan dobija portfolio koji je rizičniji od pojedinačnih portfolija. VaR u opštem slučaju ne zadovoljava osobinu subaditivnosti. Sledećom teoremom će biti dati uslovi pod kojima će VaR biti subaditivna mera rizika. Kao što je ranije rečeno, VaR portfolija opisan slučajnom promenljivom Y, koja ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i disperzijom, je gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom. Teorema 2.3. Neka su slučajne promenljive sa raspodelama, respektivno. Tada je za Dokaz. Pod pretpostavkom da i sledi da slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu 19
gde je ρ koeficijent korelacije slučajnih promenljivih. Za koeficijent korelacije važi da je tako da je. Kako je, za svako (Primer 2.2), dobija se da je što je i trebalo dokazati. Napomena 2.1. Uslov situacijama za nivo poverenja ne predstavlja restrikciju jer se u realnim uzimaju vrednosti koje su blizu jedinice. 2.4 Procena VaR a Određivanje VaR a se odvija u više faza i da bi se on izračunao potrebno je odrediti tržišnu vrednost portfolija, izmeriti promenljivost faktora rizika, odrediti vremenski period, odrediti nivo poverenja, izračunati najveći gubitak na osnovu datih informacija. Slika 2.5 Koraci u konstrukciji VaR a 20
2.5 Primena VaR a Na osnovu definicije VaR a se može zaključiti da on zavisi od dva kvantitativna faktora: dužine vremenskog perioda i nivoa poverenja. VaR je direktno proporcionalan ovim faktorima, tj. povećava se, kako sa povećanjem dužine posmatranog vremenskog perioda, tako i sa povećanjem nivoa poverenja. Postavlja se pitanje kako izabrati vrednosti ova dva faktora. Odgovor se menja u zavisnosti od toga u koje svrhe se određuje VaR. VaR se najčešće upotrebljava kao kriterijum koji kompanije koriste za upoređivanje rizika na različitim tržištima. U ovim situacijama izbor kvantitativnih faktora je proizvoljan, tj. kompanije same odlučuju o nivou poverenja i dužini vremenskog perioda. Kada se VaR primenjuje kao mera najvećeg potencijalnog gubitka nekog portfolija vremenski period se određuje prema prirodi tog portfolija. Na primer, banke određuju dnevni VaR jer je u skladu sa njihovim merama dnevnog profita i gubitka (daily profit and loss P&L measures), dok penzioni fondovi najčešće primenjuju jednomesečni VaR za svoje investicije. Izbor nivoa poverenja je i u ovim slučajevima proizvoljan. Ako se VaR primenjuje za određivanje gubitka portfolija akcija izbor navedenih faktora je od suštinskog značaja. Ukoliko gubitak premaši VaR to bi moglo da znači bankrot kompanije. Pretpostavlja se da mera rizika tada obuhvata sve rizike kojima je izložena finansijska institucija. Izbor nivoa poverenja u ovom slučaju reflektuje stepen averzije kompanije prema riziku. Izbor dužine vremenskog perioda treba da bude u skladu sa vremenom koje je potrebno kompaniji da reaguje ukoliko dodje do gubitaka. Izbor kvantitativnih faktora je takođe veoma važan prilikom primene u backtesting modelima. Ovi modeli su izuzetno važni jer se pomoću njih sistemski upoređuju vrednosti VaR sa stvarnim vrednostima prihoda i gubitaka portfolija u prošlosti. Backtesting modeli omogućavaju da se detektuje odstupanje u VaR prognozama. U ovom slučaju se bira kraći vremenski period jer se time povećava broj nezavisnih opservacija u toku jedne godine. Na primer, ako se određuje jednodnevni VaR, dobijaju se 252 nezavisne opservacije u toku godine. Nivo poverenja se određuje tako da obezbedi moćan test. Preveliki nivo poverenja smanjuje broj očekivanih opservacija u repovima raspodele i umanjuje moć testa. Zato se, u praksi, u backtesting modelima koristi nivo poverenja od 95%. 2.5.1 Bazelski standardi Jedna ilustracija primene VaR a za određivanje gubitka portfolija investitora je interni (IM) pristup (internal models approach) Bazelskog komiteta za superviziju banaka ( Basel committee on banking supervision). Bazelski komitet za superviziju banaka je osnovan 1974. godine od strane najrazvijenijih zemalja sveta, sa ciljem da unapredi poslovanje i kontrolu banaka. Prvi standardi, poznati pod nazivom Basel 1, su doneti 21
1988. godine i odnosili su se na načine merenja rizika i adekvatnosti kapitala banaka. Bazel 1 standardi su zahtevali korišćenje standardizovanog pristupa za ocenu rizika, koji je u praksi često bio kritikovan. Jedan od najvećih nedostataka standardizovanog pristupa je bio taj što je tretiran prvenstveno kreditini rizik, dok su ostali rizici izostavljani iz analize. Glavni nedostatak sporazuma Bazel 1 je uklonjen 1993. i 1996. godine uvođenjem nove metodologije za ocenu tržišnog rizika VaR. VaR metodologija je prvo ugrađena u standardizovani pristup, a kasnije, sa njenim razvojem, komitet je dozvolio bankama da koriste interne modele za ocenu rizika, ako zadovoljavaju određene uslove. Tako je nastao sporazum pod nazivom Bazel 2, koji je objavljen 2004. godine. Ovim sporazumom se zahteva da banke obračunavaju VaR za vremenski period od 10 poslovnih dana (ili dve kalendarske nedelje) uz nivo poverenja 99% i da se istorijski podaci za jednu godinu ažuriraju najmanje jednom u kvartalu. Kao što je naglašeno, izbor kvantitativnih parametara je od suštinskog značaja prilikom izračunavanja VaR a. Vremenski period od 10 dana je izabran kao kompromis između troškova čestog kontrolisanja i dobrobiti rane detekcije potencijalnih problema. Nivo poverenja od 99% obezbeđuje siguran i jak finansijski sistem, sa minimalnim negativnim efektima na prihode banaka. Čak i sa ovim vrednostima faktora, gubitak će premašiti procenjen VaR u 1% slučajeva u proseku, odnosno, jednom u 4 godine (zbog vremenskog perioda od 10 dana). Kako je nezamislivo da se dozvoli da banke pretrpe neuspeh tako često, procenjeni VaR se množi faktorom, što omogućava skoro izvesno osiguranje od bankrota. Uloga faktora je zaštita banaka od rizika i on se naziva koeficijent dodatne zaštite. Tako je minimalni zahtevani kapital za zaštitu banaka od rizika. Faktor je koeficijent dodatne zaštite za banke koje koriste najbolje metode za ocenu VaR a. Za ostale banke ovaj koeficijent mora biti veći, kako bi se i one zaštitile usled lošijih uslova na finansijskom tržištu. Postavlja se pitanje zašto koeficijent dodatne zaštite treba da bude veći ili jednak od 3. Odgovor daje nejednakost Čebiševa (Chebyshev s inequality). Neka je X proizvoljna slučajna promenljiva sa konačnom disperzijom. Verovatnoća da X uzme vrednosti van određenog intervala je pod pretpostavkom da je poznata standardna devijacija raspodela slučajne promenljive X simetrična, tada je. Ukoliko je Kako je to je 22
Za dobija se. Dakle maksimalni VaR je Neka je sada X slučajna promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom. Tada je Sa druge strane je, odnosno, za tako da je Dakle, VaR normalne raspodele je. Ako je raspodela nepoznata, korekcioni faktor je 2.5.2 Konverzija parametara Korišćenje parametarske raspodele, kao što je normalna raspodela, je pogodno za konverziju VaR a sa jednog vremenskog perioda na drugi, kao i na različite nivoe poverenja. Pri tome, potrebno je da budu ispunjeni sledeći uslovi: 1. prinosi portfolija su nezavisni, 2. prinosi imaju normalnu raspodelu, 3. parametri su konstantni. Analitičari najčešće izračunavaju jednodnevni VaR koji zatim konvertuju u VaR za duži vremenski period u slučajevima kada ne postoji dovoljno podataka da se proceni ponašanje tržišnih promenljivih za period duži od jednog dana. Tržišne promenljive su sve slučajne promenljive koje utiču na vrednost portfolija, na primer spot cena, kamatna stopa, devizni kurs, itd., i obično je teško proceniti njihovo ponašanje za duži vremenski period. Tada se koristi aproksimacija Ova formula je tačna kada su prinosi portfolija u uzastopnim danima nezavisne, normalno raspodeljene slučajne promenljive sa srednjom vrednošću 0. U ostalim slučajevima je samo aproksimacija. Volatilnost cene aktive je najčešće izražena u procentima na godišnjem nivou. Međutim, za izračunavanje VaR a se koristi dnevna volatilnost, pa je potrebno uspostaviti vezu između godišnje i dnevne volatilnosti. Pod pretpostavkom da jedna godina ima 252 poslovna dana, odnos godišnje i dnevne volatilnosti je 23
odakle se dobija odnosno dnevna volatilnost iznosi oko 6% godišnje volatilnosti. 24
Glava 3 Metode za izračunavanje VaR a Vrednost pod rizikom je postala jedan od najvažnijih alata za menadžment rizika. Zbog njene velike primene u praksi, cilj je obezbediti dovoljno preciznu ocenu rizika sa umerenim troškovima. To znači da treba izabrati adekvatan model za izračunavanje VaR a za kreirani portfolio. Pristupi određivanju VaR a se mogu klasifikovati u dve grupe. Prva grupa koristi lokalnu evaluaciju primenom parametarskog ili deltanormalnog metoda, koji pretpostavlja normalnu raspodelu prinosa portfolija. Druga grupa koristi potpunu evaluaciju primenom metoda istorijske simulacije i Monte Karlo simulacije. Ova klasifikacija odražava kompromis između brzine izračunavanja VaR a i preciznosti. Brzina je od presudnog značaja kada se radi sa velikim portfolijima u kojima se javlja i veliki broj korelacija između tržišnih promenljivih. U takvoj situaciji najpogodniji je parametarski metod. Preciznost može da bude važna u portfolijima koji ne sadrže linearne komponente. 3.1 Parametarski metod Parametarski metod (varijansno kovarijansni ili delta normalan metod) ima veliku primenu u potfolio analizi jer daje korisnicima najveću kontrolu nad menadžmentom rizika. Pomoću njega će biti izloženi načini za merenje VaR a portfolija i upravljanje njime. Metod je analitički i omogućava jednostavnu analizu podataka, zbog čega je jedan od najčešće korišćenih metoda u praksi. Koncept portfolio analize je osnovao Harry Markowitz 1952. godine i investitorima je preneo važnu poruku za upravljanje rizikom. Njegova teorija se zasnivala na ideji da se izloženost portfolija riziku može umanjiti ulaganjem finansijskih sredstava u više različitih finansijskih instrumenata, odnosno diversifikacijom. Markowitz je, za svoja istraživanja, dobio Nobelovu nagradu 1990. godine. Savremena portfolio analiza koristi VaR za rešavanje problema diversifikacije i obezbeđuje kratak pregled izloženosti riziku. 25
Menadžeri rizika su otkrili i način kako da upotrebe VaR metodologiju za aktivni menadžment rizika. Tako je pronađen odgovor na pitanje kako promeniti pozicije u portfoliju da bi se vrednost VaR najefikasnije modifikovala. Ova informacija je veoma korisna jer se promene u sastavu portfolija vrše postepeno zbog troškova transakcije. U ove svrhe se koriste VaR alati koji uključuju marginalni, inkrementalni i komponentni VaR. Parametarski metod pretpostavlja da sve tržišne promenljive imaju normalnu raspodelu, da su korelacije između tih tržišnih promenljivih konstantne i da je delta svakog portfolija konstantna (delta predstavlja osetljivost portfolija na promene cene aktiva). 3.1.1 VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive Neka se portfolio sastoji od jedne aktive. Pretpostavlja se da prinos te aktive (promena vrednosti aktive) R ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i disperzijom. VaR takve slučajne promenljive, sa nivoom poverenja α, je gde je Z slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Neka je, radi jednostavnijeg zapisa, uvedena oznaka. Kod ovih modela se pretpostavlja da je očekivana promena tržišnih promenljivih tokom vremena jednaka nuli (, a opravdanje leži u tome što je za kratak vremenski period ona mnogo manja od standardne devijacije promene i može se zanemariti. Na osnovu nivoa poverenja α jednostavno se izračunava vrednost, jer je. Zaista, na osnovu Definicije 2.1 važi odnosno. Ako je iznos uložen u datu aktivu (cena aktive) onda je prinos portfolija izražen u osnovnoj valuti jednak, a disperzija prinosa portfolija Tada je jednodnevni α% VaR razmatranog portfolija gde je dnevna volatilnost aktive. Desetodnevni α% VaR se dobija kada se vrednost sa. pomnoži 26
Primer 3.1. Neka se portfolio sastoji od $10 000 000 u akcijama Microsofta i neka je dnevna volatilnost akcija 2%. Potrebno je izračunati desetodnevni VaR razmatranog portfolija sa nivoom poverenja 99%. Kako je dnevna volatilnost 2% (što odgovara godišnjoj volatilnosti od 32%) i vrednost portfolija je $10 000 000, to standardna devijacija dnevne promene vrednosti portfolija iznosi 2% od $10 000 000, odnosno $200 000. Zbog pretpostavke da prinos portfolija ima normalnu raspodelu vrednost se izračunava na sledeći način odakle se dobija Tada je jednodnevni 99% VaR a desetodnevni 99% VaR je. 3.1.2 VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva Portfolio se karakteriše pozicijama u određenom broju aktiva (finansijskih instrumenata), čija je vrednost data u baznoj valuti, na primer dolarima. Ako su pozicije fiksirane u izabranom vremenskom periodu, stopa prinosa portfolija je težinska suma prinosa aktiva u njegovom sastavu. Težinski koeficijenti predstavljaju odnos količine novca uloženog u datu hartiju od vrednosti i vrednosti čitavog portfolija. Dakle, VaR portfolija se može konstruisati kao kombinacija rizika svih hartija od vrednosti u njegovom sastavu. Neka je stopa prinosa portfolija od trenutka t do trenutka t+1 definisana na sledeći način gde je N broj aktiva, je stopa prinosa aktive i, a je težinski koeficijent aktive i. Koeficijenti su konstruisani tako da prikazuju odnos ulaganja u svaku aktivu portfolija čija je ukupna vrednost W, tako da je suma koja je uložena u aktivu i data sa. Za potrebe određivanja VaR a svaka komponenta se definiše kao faktor rizika i tada težinski koeficijent predstavlja linearnu izloženost portfolija ovom faktoru rizika. Prinos portfolija se može dati u matričnom zapisu 27
gde je transponovani vektor težina, a R vektor prinosa aktiva u portfoliju. Ako je i, očekivani prinos portfolija je a njegova disperzija Pretpostavlja se da je očekivani prinos portfolija jednak nuli za mali vremenski period. Disperzija prinosa portfolija zavisi ne samo od disperzija prinosa pojedinačnih aktiva već i od svih njihovih kovarijansi, što je ukupno različitih odnosa. Disperzija prinosa portfolija se može predstaviti u obliku Ako se kovarijansna matrica označi sa, disperzija stope prinosa portfolija je Ako se disperzija prinosa portfolija izražava u valuti, tada je gde je x vektor cena svih aktiva u portfoliju. Na osnovu disperzije prinosa portfolija potrebno je izračunati VaR portfolija. To će biti moguće ako je poznata raspodela prinosa portfolija. U varijansno kovarijansnom modelu sve pojedinačne aktive imaju normalno raspodeljene prinose. Korišćenje normalne raspodele pojedinačnih prinosa je pogodno jer i prinos portfolija, kao linearna kombinacija prinosa aktiva, ima normalnu raspodelu. Tada se nivo poverenja α može jednostavno prevesti u 28
vrednost pomoću jednakosti, gde je Z slučajna promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom. Diversifikovani VaR je VaR portfolija koji uzima u obzir prednosti diversifikacije. Ako je W vrednost portfolija tada je VaR portfolija jednak Individualni VaR je VaR jedne aktive portfolija posmatrane nezavisno od ostalih. Rizik svake od aktiva u portfoliju je VaR portfolija zavisi od disperzija i kovarijansi prinosa aktiva u portfoliju, kao i od broja aktiva. Opseg kovarijanse prinosa aktiva zavisi od disperzija prinosa pojedinačnih aktiva i ne može se jednostavno interpretirati. Zbog toga se koristi koeficijent korelacije ρ kao mera linearne zavisnosti dve promenljive Rizik portfolija se smanjuje kroz niske korelacije između aktiva ili sa povećanjem broja aktiva. Da bi bio ocenjen uticaj broja aktiva na rizik portfolija pretpostavlja se da sve aktive imaju isti rizik, da su sve korelacije između aktiva jednake kao i da su svi težinski koeficijenti jednaki. Pod pretpostavkom da je i za svako, na osnovu (3.1) disperzija prinosa portfolija je Tada rizik portfolija zavisi od Kako se rizik smanjuje sa povećanjem broja aktiva za različite vrednosti koeficijenta korelacije prikazano je na Slici 3.1. 29
Slika 3.1 Zavisnost od broja aktiva za različite vrednosti Dakle, niska korelacija pomaže u smanjenju rizika portfolija. U slučaju portfolija koji se sastoji iz dve aktive, diversifikovana disperzija portfolija je VaR portfolija je tada Kada je korelacija prinosa dve aktive jednaka nuli, odnosno kada su prinosi aktiva nezavisni VaR, portfolija se redukuje na odakle se može zaključiti da je rizik portfolija manji od zbira rizika pojedinačnih aktiva, tj. Dakle portfolio je manje rizičan ako se sastoji od aktiva koje su nezavisne među sobom. Kada su prinosi aktiva u savršenoj pozitivnoj korelaciji i vrednosti pozitivne, jednakost (3.2) se svodi na 30
Drugim rečima, VaR portfolija je jednak zbiru individualnih VaR mera ako su dve aktive u sastavu portfolija savršeno pozitivno korelisane. Međutim, u praksi je najčešći slučaj da aktive nisu savršeno korelisane. Dobitak diversifikacije se može definisati kao razlika između diversifikovanog VaR a i nediversifikovanog VaR a. Nediversifikovani VaR je zbir individualnih VaR mera ili VaR portfolija kada su sve aktive u njemu savršeno korelisane i nema mogućnosti kratke prodaje. Ova interpretacija ne važi kada su dozvoljene kratke pozicije u aktivi. Primer 3.2. Neka se razmatra portfolio koji se sastoji od dve strane valute kanadskog dolara (CAD) i evra (EUR). Neka su ove dve valute međusobno nekorelisane, i neka je njihova volatilnost prema dolaru 5% i 12% dnevno, respektivno. Neka je investitor uložio $2 000 000 u CAD i $1 000 000 u EUR. Treba izračunati jednodnevni VaR portfolija sa nivoom poverenja 95%. Najpre treba izračunati disperziju prinosa portfolija u dolarima. Neka je x vektor količine novca izloženog svaku od dve valute, u milionima. Tada je Disperzija portfolija je (u milionima dolara) Volatilnost portfolija je miliona. Kako je, dobija se da je VaR portfolija Individualni VaR se dobija na jednostavan način jer je. Nediversifikovani VaR je tada i veći je od VaR a portfolija zbog efekata diversifikacije. Dobitak diversifikacije iznosi 31
3.1.3 VaR alati VaR je prvobitno osmišljen da meri rizik portfolija, međutim menadžeri su otkrili nove načine za upravljanje rizikom koji se baziraju na ovoj metodologiji. Alati koji su razvijeni u ove svrhe su marginalni, inkrementalni i komponentni VaR. 3.1.3.1 Marginalni VaR Marginalni VaR je alat razvijen u cilju ispitivanja efekata promene pozicija u aktivama koje čine portfolio na ukupan rizik portfolija. Marginalni VaR predstavlja promenu VaR a portfolija koja nastaje promenom pozicija u jednoj aktivi. Neka se postojeći portfolio sastoji od N aktiva označenih sa j, j=1,2,...,n. Novi portfolio se dobija promenom broja pozicija u aktivi i. Potrebno je izmeriti marginalni doprinos ove promene ukupnom riziku portfolija. Diferenciranjem jednakosti (3.1) po dobija se Na osnovu izvoda disperzije portfolija se može izračunati izvod volatilnosti. Kako je, osetljivost volatilnosti portfolija na promenu jednaka je Marginalni VaR je jednak tako da je marginalni VaR portfolija vektor sa koordinatama Marginalni VaR je u tesnoj vezi sa parametrom beta (β) koji je definisan na sledeći način 32
Beta meri doprinos jedne aktive ukupnom riziku portfolija. Naziva se još i sistematski rizik aktive i u odnosu na portfolio. Beta predstavlja nagib prave linearne regresije po u proizvoljnom trenutku t Za sve aktive u portfoliju beta koeficijent se može predstaviti kao vektor oblika Vektor i konstanta se dobijaju prilikom izračunavanja VaR a, pa se β i marginalni VaR lako mogu odrediti nakon određivanja VaR a. Veza između marginalnog VaR a (ΔVaR) i β se dobija na osnovu (3.3) i (3.4) Marginalni VaR se koristi često u menadžmentu rizika. Ako investitor želi da smanji VaR portfolija smanjenjem broja pozicija u nekoj aktivi za neki fiksni iznos, trebalo bi da rangira sve vrednosti za marginalni VaR i da izabere aktivu koja ima najveći marginalni VaR. Smanjenje broja pozicija u izabranoj aktivi će, pod datim uslovima, investitoru pružiti najveći efekat zaštite portfolija od rizika. 3.1.3.2 Inkrementalni VaR Inkrementalni VaR predstavlja promenu u vrednosti VaR koja nastaje usled promene pozicija u aktivama koje čine portfolio. Od marginalnog VaR a se razlikuje po tome što količina novca koja se dodaje ili uzima iz portfolija može biti velika, pa promena VaR a nije linearna. U idealnom sličaju, najpre se određuje VaR portfolija na osnovu početnih pozicija u aktivama, a zatim se, promenom u sastavu portfolija čija je dolarska vrednost predstavljena vektorom a, ponovo računa VaR na osnovu novih pozicija u aktivama. Inkrementalni VaR portfolija se određuje kao razlika ove dve vrednosti 33
Slika 3.2 Puni inkrementalni VaR Poređenje pre i posle može obezbediti puno informacija. Ako se inkrementalni VaR smanjuje onda je promenom u sastavu portfolija izvršena zaštita portfolija, u suprotnom je promena donela veći rizik. Treba napomenuti da a može da predstavlja promenu pozicija jedne aktive, a može biti i složena promena većeg broja aktiva odjednom. Zbog toga se a naziva vektor novih pozicija. Glavna mana ovog pristupa je to što zahteva punu evaluaciju VaR a sa svakom novom promenom. Ovaj postupak može da bude dugotrajan ako se primenjuje na veliki portfolio. U nekim slučajevima, kada banka ili neka druga institucija ne može da čeka sa preduzimanjem odgovarajućih mera, ovaj pristup nije poželjan. Međutim, postoji aproksimacija koja u tim slučajevima predstavlja prečicu. Neka je dat razvoj za u red oko vrednosti, u kome se mogu zanemariti drugi izvodi ako je promena a mala. Zato se inkrementalni VaR može dati i kao aproksimacija Ovaj način izračunavanja se mnogo brže sprovodi u praksi jer se vektor ΔVaR dobija prilikom određivanja VaR a portfolija. 34
Slika 3.3 Aproksimacija inkrementalnog VaR a Naizgled, ova aproksimacija pruža brzo izračunavanje na račun preciznosti. Međutim, može se pokazati da ova aproksimacija daje dovoljno dobre rezultate, naročito kada se radi sa velikim portfolijima, gde bi nova potpuna evaluacija zahtevala veliki broj računskih operacija. Kada se razmatra veliki portfolio obično je data promena mala u odnosu na njegovu vrednost i tada je (3.6) dobra aproksimacija. Pokazano je kako se primenjuje inkrementalni VaR u opštem slučaju, kada se promena u sastavu portfolija vrši promenom pozicija u više aktiva odjednom. Neka se posmatra promena portfolija predstavljena promenom broja pozicija u jednoj aktivi. Vrednost portfolija se menja od W na, gde je a iznos uložen u aktivu i. Disperzija prinosa novog portfolija izražena u dolarima je Menadžeri rizika na osnovu prethodne jednakosti mogu da odrede iznos promene a koji će da minimizira rizik portfolija. Diferenciranjem prethodne jednakosti po a dobija se Izjednačavanjem prvog izvoda (3.7) sa nulom i primenom (3.4) dobija se optimalna vrednost za a 35
Ova pozicija je poznata kao najbolja zaštita portfolija od rizika. Najbolja zaštita portfolija od rizika predstavlja dodatni iznos koji treba uložiti u određenu aktivu da bi se smanjio ukupan rizik portfolija. Primer 3.2. (nastavak) Neka se razmatra uvećanje ulaganja u CAD u vrednosti od $10 000. Najpre se određuje marginalni VaR portfolija. Koeficijent β se izračunava na osnovu (3.5) i jednak je Marginalni VaR portfolija je Ako se pozicija u CAD poveća za $10 000, tada je aproksimativni inkrementalni VaR jednak Inkrementalni VaR dobijen novom potpunom evaluacijom rizika portfolija se određuje na osnovu odakle je. Početni VaR portfolija je bio, pa je prava vrednost inkrementalnog VaR a $529. Može se uočiti da je aproksimacija pomoću marginalnog VaR a jednaka pravoj vrednosti. Linearna aproksimacija daje odlične rezultate jer je promena u pozicijama relativno mala. 3.1.3.3 Komponentni VaR Za menadžment rizika bi bilo veoma korisno da se za dati portfolio izvši dekompozicija rizika. To nije jednostavno uraditi jer volatilnost portfolija nije linearna funkcija volatilnosti aktiva. Ne može se primeniti pristup u kome se računa zbir individualnih vrednosti VaR za svaku aktivu jer ne uzima u obzir efekte difersifikacije. Potreban je metod dekompozicije koji prepoznaje ove efekte. 36
Komponentni VaR portfolija predstavlja deo VaR a portfolija koji ukazuje na to koliko bi se VaR portfolija promenio ako bi se data aktiva (komponenta) uklonila iz portfolija. Kao pomoć pri merenju doprinosa svake aktive ukupnom riziku portfolija koristiće se marginalni VaR. Množenjem iznosom uloženim u aktivu (faktor rizika) dobija se komponentni VaR Treba napomenuti da se preciznost linearne aproksimacije povećava kada su pozicije u aktivama koje čine portfolio male. Zato je dekompozicija posebno korisna u radu sa velikim portfolijima koji najčešće imaju više manjih pozicija u aktivama. Zbir svih komponentnih VaR a je jednak upravo VaR-u portfolija Izraz u zagradi je jednak jedinici jer je Aktive čiji komponentni VaR ima negativni predznak predstavljaju zaštitu ostatka portfolija. Nasuprot tome, komponente sa pozitivnim predznakom povećavaju ukupan rizik portfolija. Komponentni VaR se može još više pojednostaviti. Uzevši u obzir da važi, komponentni VaR je jednak Dakle, komponentni VaR je mera koja reflektuje korelacije između aktiva u portfoliju. Konačno se može izvesti procentualni doprinos komponente i VaR u portfolija 37
Svi VaR alati su neprocenjivi u menadžmentu rizika jer je njihova upotreba omogućila korisnicima da kontrolišu VaR svog portfolija. Primer 3.2. (nastavak) Neka se traži komponentni VaR datog portfolija. Izračunavanje se vrši iz, tako da je Zbir je zaista jednak $257 738, odnosno vrednosti. Najveća komponenta je pozicija u EUR, koja ima i najveću volatilnost. Oba broja su pozitivna, što znači da nijedna pozicija ne pruža zaštitu datom portfoliju. Neka je broj pozicija u EUR jednak nuli. Kako se portfolio sastoji od dve aktive onda je novi VaR bez pozicije u EUR jednak VaR-u CAD komponente, Inkrementalni VaR pozicije u EUR je. Komponentni VaR iznosi $152 108 i značajno je veći od $92 738. Aproksimacija nije tako dobra kao ranije jer se portfolio sastoji od samo dve aktive, a svaka od njih ima veliki udeo u ukupnom VaR-u. Može se očekivati bolja aproksimacija u slučajevima kada su VaR komponente male u odnosu na ukupan VaR. Slika 3.4 Dekompozicija VaR a Slika 3.4 prikazuje kratak rezime VaR alata primenjenih na portfolio koji se sastoji od dve valute. Na grafiku je VaR portfolija funkcija iznosa novca uloženog u pozicije u EUR. Marginalni VaR je promena VaR a koja nastaje dodavanjem $1 u poziciju EUR. Na grafiku je predstavljen nagibom 38
tangente na VaR krivu (0.1521). Inkrementalni VaR je promena VaR a koja nastaje uklanjanjem pozicije u EUR i iznosi $92 738 ako se meri duž VaR krive. Komponentni VaR predstavlja aproksimaciju ove vrednosti merene duž tangente na VaR krivu i iznosi $152 108. Komponentni VaR se dopunjuje do ukupnog VaR a portfolija i predstavlja dekompoziciju ukupnog rizika. Grafik takođe pokazuje da je najbolja zaštita portfolija od rizika pozicija $0 u EUR (VaR funkcija dostiže minimum u tački 0). Podaci se mogu prikazati i tabelarno, kao u Tabeli 3.1. Ovaj način prikaza daje vrednosti za VaR portfolija, ali i veliki broj drugih informacija za menadžere rizika. Valuta Trenutna pozicija ili Individualni VaR, Marginalni VaR, Komponentni VaR, Procentualni doprinos CAD $2 000 000 $165 000 0.0528 $105 630 41.0% EUR $1 000 000 $198 000 0.1521 $152 108 59.0% Ukupno $3 000 000 Nediversifikovani VaR Diversifikovani VaR $363 000 Tabela 3.1 $257 738 100% Na primer, kolona u kojoj su prikazane vrednosti za marginalni VaR može da se iskoristi kao pomoć u odlučivanju kako umanjiti rizik. Kako je marginalni VaR pozicije u EUR tri puta veći od iste mere pozicije u CAD, uklanjanje pozicije u EUR će biti mnogo korisnije nego uklanjanje pozicije u CAD. 3.1.4 Prednosti i slabosti parametarske metode Glavna slabost parametarske metode je pretpostavka o normalnoj raspodeli tržišnih promenljivih. Iako je u nekim slučajevima ova pretpostavka tačna, istraživanja pokazuju da uglavnom nije. Važan nedostatak je i pretpostavka o linearnom uticaju prinosa aktiva na promenu vrednosti portfolija. Ukoliko portfolio sadrži finansijske derivate, parametarski metod neće dati dobre rezulatate. Međutim, parametarska metoda je veoma laka za sprovođenje jer obuhvata jednostavno množenje matrica. Rizik svake aktive ima linearan uticaj na ukupan rizik portfolija tako da je parametarska metoda veoma brza metoda za izračunavanje VaR a, čak i kada se portfolio sastoji od velikog broja aktiva. Parametarski pristup je takođe pogodan za anlizu rizika portfolija jer se kao nusprodukti njegove primene dobijaju i mere 39
marginalnog i inkrementalnog rizika. Zbog svega navedenog, ova metoda je veoma korisna i jedna je od najčešće korišćenih metoda u menadžmentu rizika. 3.2 Metod istorijske simulacije Metod istorijske simulacije je veoma popularan metod za izračunavanje VaR a. Uključuje korišćenje istorijskih podataka kao uputstvo za ono što se može desiti u budućnosti. Prvi korak prilikom primene metoda jeste identifikovanje svih tržišnih promenljivih, na primer N, koje utiču na vrednost portfolija (spot cena, kamatna stopa, kurs, itd.) kao i njihovih vrednosti u prethodnih T dana, i Tako se može dobiti T različitih scenarija šta se može desiti sa vrednošću portfolija između današnjeg i sutrašnjeg dana. Drugi korak pri primeni metoda jeste određivanje hipotetičke vrednosti svake od tržišnih promenljivih sutra. Neka je prinos koji obezbeđuje i ta tržišna promenljiva, u trenutku,. Vrednost i-te tržišne promenljive sutra po tom scenariju se dobija tako što se današnja vrednost te promenljive uveća za promenu vrednosti po tom scenariju iz istorijskih podataka odnosno Ako je prinos i te tržišne promenljive u trenutku onda se vrednost sutra po scenariju može izračunati kao Nova vrednost portfolija po scenariju k je funkcija novih vrednosti tržišnih promenljivih po scenariju k, odnosno. Za svaki scenario se određuje promena vrednosti portfolija kao razlika, gde je vrednost portfolija u sadašnjem trenutku. Dobijeni niz promena vrednosti portfolija se sortira od najmanje do najveće vrednosti, tako da se VaR može odrediti na osnovu zadatog nivoa poverenja i Definicije 2.2 (preko dobitka portfolija). Ako se VaR određuje preko gubitka portfolija, potrebno je 40