atka 24 (2015./2016.) br. 96 Skrivene poruke Andreja Igrec, Čakovec udi su od davnina željeli sigurno komunicirati. Poruke koje su slali Ljbilo je pot

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "atka 24 (2015./2016.) br. 96 Skrivene poruke Andreja Igrec, Čakovec udi su od davnina željeli sigurno komunicirati. Poruke koje su slali Ljbilo je pot"

Транскрипт

1 Skrivene poruke Andreja Igrec, Čakovec udi su od davnina željeli sigurno komunicirati. Poruke koje su slali Ljbilo je potrebno zaštiti tako da samo primatelj može doznati njezin sadržaj. Kroz povijest su se načini prenošenja poruka mijenjali, ali problem zaštite sadržaja ostao je isti. Načinima slanja poruka u takvome obliku da ih može pročitati samo onaj kome su namijenjene bavi se znanstvena disciplina kriptografija. Sama riječ kriptografija grčkog je podrijetla i može se prevesti kao tajnopis. Poruka koju pošiljatelj želi poslati u kriptografiji se naziva otvoreni tekst. Kako bi zaštitio sadržaj poruke, pošiljatelj transformira otvoreni tekst pomoću unaprijed dogovorenog ključa. Taj postupak naziva se šifriranje, a rezultat je šifrirana poruka, tj. šifrat ili kriptogram. Šifrat se zatim šalje primatelju. Protivnik može prisluškivanjem doznati tekst šifrata, ali ako ne posjeduje dogovoreni ključ, ne može saznati otvoreni tekst (tj. sadržaj poruke). Za razliku od protivnika, primatelj zna ključ kojim je poruka šifrirana pa može dešifrirati šifrat te na taj način odrediti otvoreni tekst. Na slici 1. prikazana je shema kriptografije. Ključ Ključ Pošiljatelj Otvoreni tekst Šifriranje Šifrat Dešifriranje Otvoreni tekst Primatelj Protivnik Slika 1. Shema kriptografije Kriptografija je bila prisutna već u vrijeme starih Grka. Spartanci su u 5. stoljeću prije Krista koristili jednostavnu napravu za šifriranje skital. To je bio drveni štap oko kojega se namatala vrpca od kože ili pergamenta, onako kako je to prikazano na slici 2. Pošiljatelj na toj namotanoj vrpci napiše poruku, a kad se ta vrpca odmota, na njoj je samo niz naizgled besmislenih slova. Sada glasnik odnosi odmotanu vrpcu primatelju, a primatelj čita tekst poruke tako što tu vrpcu omota oko skitala jednakog promjera kao što je promjer skitala pošiljatelja. Dakle, ključ je bio skital određenog promjera. 222 Slika 2. Skital s omotanom vrpcom i napisanom porukom Matka 96.indd :47:13

2 Postoji podatak da se 404. godine prije Krista pred Lisandrom Spartancem pojavio glasnik, jedini od petorice koji je preživio mukotrpan put iz Perzije. Glasnik mu je predao vrpcu sa slovima, a Lisandar je pomoću skitala tako doznao da ga Farnabas Perzijski kani napasti. Zahvaljujući skitalu Lisandar se mogao pripremiti za napad i uspješno ga odbiti. Šifriranjem se služio i znameniti rimski vojskovođa i državnik Gaj Julije Cezar. On je u komunikaciji sa svojim prijateljima poruke šifrirao tako da je slova otvorenog teksta zamijenio slovima koja su se nalazila tri mjesta dalje od njih u abecedi 1. Koristimo li današnju englesku abecedu, slovo A bismo zamijenili slovom D, slovo B slovom E i tako dalje. U tablici se nalazi današnja engleska abeceda, a ispod nje je napisana šifrirana abeceda, tj. ispod svakog slova originalne abecede nalazi se slovo kojim se to slovo originalne abecede zamjenjuje prilikom šifriranja. Ovakav način šifriranja naziva se Cezarova šifra. Slika 3. Gaj Julije Cezar Originalna abeceda Šifrirana abeceda A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Primjer 1. Šifrirajmo poznatu Cezarovu izreku Veni Vidi Vici pomoću Cezarove šifre. Rješenje: Otvoreni tekst glasi: VENI VIDI VICI Pomoću gornje tablice zamijenimo slova pa dobivamo: YHQL YLGL YLFL Dakle, šifrat glasi: YHQL YLGL YLFL Zadatak 1. Šifrirajte tekst GAJ JULIJE CEZAR pomoću Cezarove šifre. Zadatak 2. Dešifrirajte šifrat DOHD LDFWD HVW ako je poznato da je šifriranje izvršeno Cezarovom šifrom. Zadatak 3. Dešifrirajte šifrat DWODQWLGD MH VWYDUQD ako je poznato da je šifriranje izvršeno Cezarovom šifrom. Cezarova šifra s vremenom je postala manje sigurna jer su uz razvoj kriptografije napredovale i metode za čitanje skrivenih poruka bez poznavanja ključa. Zbog toga se javila potreba za smišljanjem jače, nove šifre. Jednu takvu šifru razvio je u 16. stoljeću Blaise de Vigenère. Vigenèreova šifra umjesto jedne šifrirane abecede koristi 26 šifriranih abeceda. Prvi korak u šifriranju ovom šifrom je crtanje Vigenèreovog kvadrata prikazanog na slici 5. U prvom retku napisana je originalna engleska abeceda, a ispod nje 26 šifriranih abeceda napisanih na način da je svaka od njih pomak- Slika 4. Blaise de Vigenère 1 O šifriranju pomoću Cezarove i Vigenèreove šifre možete pročitati i u članku Kako šifrirati poruku? autorice Jelene Hunjadi u prošlom broju atke 223 Matka 96.indd :47:13

3 nuta za jedno slovo u odnosu na prethodnu. Ako na primjer posegnemo za šifriranom abecedom broj 2, onda slovo A šifriramo kao C, no ako to učinimo pomoću abecede broj 12, onda isto slovo šifriramo kao M. Po Vigenèreovoj metodi različita se slova poruke šifriraju pomoću različitih redaka (tj. različitih šifriranih abeceda) njegova kvadrata. Na primjer, pošiljatelj može prvo slovo poruke šifrirati pomoću 5. retka, drugo pomoću 17. retka, treće pomoću 23. retka, i tako dalje. Da bi odgonetnuo poruku, primatelj mora znati pomoću kojeg je retka Vigenèreovog kvadrata šifrirano koje slovo. Slika 5. Vigenèreov kvadrat Dakle, mora postajati nekakvo dogovoreno pravilo o izmjeni redaka. To pravilo bilo je sadržano u nekoj ključnoj riječi koja je bila poznata samo pošiljatelju i primatelju. Pokažimo na primjeru kako se šifrira Vigenèreovom šifrom. 224 Primjer 2. Šifrirajmo BLAISE DE VIGENERE Vigenèreovom šifrom uz dogovorenu ključnu riječ CVIJET. Rješenje: Otvoreni tekst glasi: BLAISE DE VIGENERE, a ključna riječ je: CVIJET Kako bismo šifrirali zadani tekst, prvo ključnu riječ ispisujemo više puta iznad teksta poruke tako da se iznad svakog slova otvorenog teksta nalazi jedno slovo ključne riječi: C V I J E T C V I J E T C V I J B L A I S E D E V I G E N E R E Kako šifriramo pojedino slovo otvorenog teksta, govori nam slovo ključnog teksta koje se nalazi iznad tog slova. Dakle, prvo slovo otvorenog teksta, B, šifriramo pomoću šifrirane abecede koja počinje ključnim slovom C. To je 2. šifrirana abeceda i po toj abecedi slovu B odgovara slovo D. Drugo slovo otvorenog teksta, L, šifriramo pomoću šifrirane abecede koja počinje ključnim slovom V. To je 21. šifrirana abeceda i po toj abecedi slovu L odgovara slovo G. Na isti način šifriramo ostala slova otvorenog teksta: Treće slovo otvorenog teksta, A, šifriramo pomoću 8. šifrirane abecede. (A I) Četvrto slovo, I, šifriramo pomoću 9. šifrirane abecede. (I R) Peto slovo, S, pomoću 4. šifrirane abecede. (S W) Isto tako ostala slova: (E X), (D F), (E Z), (V D), (I R), (G K), (E X), (N P), (E Z), (R Z), (E N) Na kraju dobivamo šifrat: DGIRWX FZ DRKXPZZN Matka 96.indd :47:13

4 Zadatak 4. Šifrirajte tekst DIJAMANTI SU SKRIVENI UNUTAR POTPETICE pomoću Vigenèreove šifre, uz dogovorenu ključnu riječ KRIPTOGRAFIJA. Zadatak 5. Dešifrirajte šifrat FFTXFAGKERICIUL ako je poznato da je šifriranje izvršeno Vigenèreovom šifrom pomoću ključne riječi KRIPTOGRAFIJA. Zadatak 6. Dešifrirajte šifrat EVFDEYJTYQBUROYPNNINI ako je poznato da je šifriranje izvršeno Vigenèreovom šifrom pomoću ključne riječi PENKALA. Osim Vigenèreove šifre, jedna od ideja poboljšanja šifriranja je i Playfairova šifra. Playfairovu je šifru godine smislio britanski znanstvenik Charles Wheatstone, a ime je dobila po njegovom prijatelju barunu Playfairu od St. Andrewsa koji ju je popularizirao. Playfairova šifra temelji se na tablici slova, koja se konstruira koristeći ključnu riječ. Na primjer, ako je ključna riječ PLAYFAIR, onda tablica izgleda ovako (slika desno): Budući da u tablicu 5 5 stane 25 slova, a engleska abeceda sadrži 26 slova, dogovor je da se slova I i J poistovjete, tj. šifriraju se jednako. (U slučaju da je otvoreni tekst na hrvatskom jeziku, onda se poistovjećuju slova V i W kako bi se izbjegli mogući nesporazumi prilikom dešifriranja.) Dakle, 5 5 tablicu popunjavamo na sljedeći način: prvo upisujemo ključnu riječ tako da pišemo svako slovo samo jednom (npr. ako se slovo A pojavljuje više puta, upisat ćemo samo ono prvo, a ostala ćemo preskočiti), a zatim upisujemo redom ostala slova abecede uz preskakivanje slova koja su već se pojavila u ključnoj riječi. Nakon što smo napravili 5 5 tablicu uz pomoć dogovorene ključne riječi, možemo šifrirati poruku. Tekst poruke najprije treba podijeliti na blokove po dva susjedna slova. Pritom treba paziti da se niti jedan blok ne sastoji od dva jednaka slova, te da tekst ima paran broj slova. Ukoliko se u tekstu pojavi blok s dva jednaka slova ili je u tekstu neparan broj slova, oba problema možemo riješiti umetanjem npr. slova X. Ovisno o položaju slova iz blokova u 5 5 tablici, kod šifriranja bloka od dva slova mogu nastupiti tri slučaja: Ako se slova iz bloka u tablici pojavljuju u istome retku, zamjenjujemo ih slovima koja se nalaze za jedno mjesto udesno. Npr. u našem bismo slučaju imali sljedeće zamjene: CR DB, ST TN, FP PL. Ako se slova iz bloka u tablici pojavljuju u istome stupcu, zamjenjujemo ih slovima koja se nalaze za jedno mjesto ispod. Npr. OV VL, GR OG, PI IE. Ako se slova iz bloka u tablici ne nalaze u istome retku ili stupcu, onda pogledamo pravokutnik koji određuju ta dva slova te ih zamijenimo s preostala dva vrha tog pravokutnika. Redoslijed zamjenskih slova određen je tako da prvo dođe slovo koje se nalazi u istome retku kao prvo slovo u polaznome bloku. Npr. OC SR, HY KA, PD FI, HJ EB. 225 Slika 6. Charles Wheatstone Slika 7. Barun Playfair Matka 96.indd :47:14

5 Primjer 3. Šifrirajmo riječ CRYPTOGRAPHY pomoću Playfairove šifre s ključnom riječi PLAYFAIR. Rješenje: Otvoreni tekst glasi CRYPTOGRAPHY, a ključna je riječ PLAYFAIR. Prvo podijelimo otvoreni tekst na blokove po dva slova: CR YP TO GR AP HY 5 5 tablica jednaka je gornjoj tablici jer je ključna riječ ista. Sada zamijenimo blokove slova: Blok CR: slova C i R nalaze se u istome retku pa šifrirani blok glasi DB. Blok YP: slova Y i P nalaze se također u istome retku pa njihov šifrirani blok glasi FL. Na isti način mijenjaju se blokovi TO NQ i AP YL. Blok GR: slova G i R nalaze se u istome stupcu pa šifrirani blok glasi OG. Blok HY: gledamo pravokutnik koji čine slova H i Y. Šifrirani blok tada je KA. Na kraju dobijemo šifrat: DB FL NQ OG YL KA. 226 Zadatak 7. Šifrirajte riječ MATHEMATICS pomoću Playfairove šifre uz dogovorenu ključnu riječ PLAYFAIR. Zadatak 8. Dešifrirajte šifrat PYIKRQSG ako je poznato da je šifriranje izvršeno Playfairovom šifrom pomoću ključne riječi PLAYFAIR. (Uputa: slova I i J se poistovjećuju.) Zadatak 9. Dešifrirajte šifrat IRTOKPAYTI ako je poznato da je šifriranje izvršeno Playfairovom šifrom pomoću ključne riječi PLAYFAIR. (Uputa: slova I i J se poistovjećuju.) Playfairova šifra bila je standardna šifra u britanskoj vojsci za vrijeme 1. svjetskog rata, a čak je bila korištena i u američkoj vojsci u 2. svjetskom ratu, ali za šifriranje manje važnih poruka. Daljnjim razvojem kriptografije nastala je godine Hillova šifra koju je izumio Lester Hill. Ova šifra temelji se na invertibilnim matricama. Matricu možemo zamisliti kao tablicu brojeva. Primjer jedne invertibilne matrice 3 3 (što znači da matrica ima 3 retka i 3 stupca): Šifriranje Hillovom šifrom provodi se na način da se najprije slova teksta gupiraju po tri. Ukoliko broj slova otvorenog teksta nije djeljiv brojem 3, trebamo dodati onoliko slova koliko nedostaje da bismo mogli imati 3 slova u svakome bloku. Najčešće se dopiše zadnje slovo teksta tako da se mogu formi- Matka 96.indd :47:14

6 rati blokovi od po 3 slova. (Slova dijelimo u blokove po tri zbog toga što smo izabrali matricu 3 3. U slučaju da je izabrana matrica s više od tri retka i stupaca, npr. 5 redaka i stupaca, onda bismo grupirali po pet slova.) Zatim se svako slovo teksta zamijeni rednim brojem tog slova u abecedi. U sljedećoj tablici prikazana su slova engleske abecede i brojevi kojima odgovara pojedino slovo. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Nakon što smo blokove zamijenili brojevima, brojčane blokove množimo zadanom matricom. Dobijemo nove brojeve kojima opet, uz pomoć gornje tablice, pridružimo slova i dobijemo šifrat. Pokažimo na konkretnom primjeru kako se šifrira Hillovom šifrom. Primjer 4. Šifrirajmo tekst SKRIVAM SE Hillovom šifrom i koristeći istu gornju matricu. Rješenje: Otvoreni tekst glasi: SKRIVAM SE. Koristit ćemo gornju matricu i tablicu. Podijelimo slova u blokove od 3 slova: SKR IVA MSE. Zamijenimo blokove brojevima (zapravo matricama s jednim retkom i tri stupca): Blok SKR zamjenjujemo matricom Blok IVA zamjenjujemo matricom Blok MSE zamjenjujemo matricom Sada računamo umnožak dobivenih matrica sa zadanom matricom: Matrice množimo prema sljedećem pravilu: d e f a b c g h i = ad + bg + cj ae + bh + ck af + bi + cl j k l = = Matka 96.indd :47:14

7 = Brojevi u dobivenim matricama veći su od 26. Kako imamo 26 slova, trebamo pronaći ostatke pri dijeljenju tih brojeva brojem 26, a nakon toga tim ostatcima pridružiti slova pomoću gornje tablice. 280 : 26 = 10 i ostatak 20, a broj 20 odgovara slovu U. 534 : 26 = 20 i ostatak 14, a broj 14 odgovara slovu O. 925 : 26 = 35 i ostatak 15, a broj 15 odgovara slovu P. 82 : 26 = 3 i ostatak 4, a broj 4 odgovara slovu E. 169 : 26 = 6 i ostatak 13, a broj 13 odgovara slovu N. 680 : 26 = 26 i ostatak 4, a broj 4 odgovara slovu E. 136 : 26 = 5 i ostatak 6, a broj 6 odgovara slovu G. 266 : 26 = 10 i ostatak 6, a broj 6 odgovara slovu G. 764 : 26 = 29 i ostatak 10, a broj 10 odgovara slovu K. Dakle, šifrat glasi UOPENEGGK. Zadatak 10. Šifrirajte riječ UTORAK Hillovom šifrom koristeći istu matricu kao i u primjeru 4. Ovo su samo neke od šifra koje su se razvile tijekom povijesti. Do današnjeg dana pojavilo se još mnogo šifra koje su složenije. Budućnost kriptografije danas je povezana s budućnošću računala. Računala su sve brža i brža, a razvoj svega vezanog uz njih sve je teže pratiti. Literatura: 1. Singh, S. (2003.). Šifre (Kratka povijest kriptografije). Zagreb: Mozaik knjiga 2. Dujella, A., Maretić, M. (2007.). Kriptografija. Zagreb: Element 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 228 Rješenja zadataka provjerite na stranici 285. Matka 96.indd :47:14

ALIP1_udzb_2019.indb

ALIP1_udzb_2019.indb Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti

Више

Matematika kroz igru domino

Matematika kroz igru domino 29. travnja 2007. Uvod Domino pločice pojavile su se u Kini davne 1120. godine. Smatra se da su pločice izvedene iz igraće kocke, koja je u Kinu donešena iz Indije u dalekoj prošlosti. Svaka domino pločica

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

Slide 1

Slide 1 OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene radnje. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Pisanje programa zovemo programiranje. Programski jezik

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

Kvantna enkripcija

Kvantna enkripcija 19. studenog 2018. QKD = Quantum Key Distribution Protokoli enkriptirane komunikacije koji koriste tzv. tajni ključ zahtijevaju da on bude poznat isključivo dvjema strankama (pošiljatelju i primatelju

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

Algoritmi SŠ P1

Algoritmi SŠ P1 Državno natjecanje iz informatike Srednja škola Prvi dan natjecanja 2. ožujka 219. ime zadatka BADMINTON SJEME MANIPULATOR vremensko ograničenje 1 sekunda 1 sekunda 3 sekunde memorijsko ograničenje 512

Више

8 2 upiti_izvjesca.indd

8 2 upiti_izvjesca.indd 1 2. Baze podataka Upiti i izvješća baze podataka Na početku cjeline o bazama podataka napravili ste plošnu bazu podataka o natjecanjima učenika. Sada ćete izraditi relacijsku bazu u Accessu o učenicima

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

Programiranje 2 popravni kolokvij, 15. lipnja Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanj

Programiranje 2 popravni kolokvij, 15. lipnja Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanj Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje, te službeni šalabahter. Kalkulatori, mobiteli, razne neslužbene tablice, papiri i sl., nisu dozvoljeni! Sva rješenja napišite

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Zavod za inteligentne transportne sustave Katedra za primijenjeno računarstvo Vježba: #7 Kolegij: Ba

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Zavod za inteligentne transportne sustave Katedra za primijenjeno računarstvo Vježba: #7 Kolegij: Ba Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Zavod za inteligentne transportne sustave Katedra za primijenjeno računarstvo Vježba: #7 Kolegij: Baze podataka Tema: Osnovna SELECT naredba Vježbu pripremili:

Више

OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA

OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA UPUTSTVO ZA RAD Drage učenice i učenici, Čestitamo! Uspjeli ste da dođete na državno takmičenje iz matematike i samim tim ste već napravili veliki uspjeh Zato zadatke

Више

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ZA ODGOJNE I OBRAZOVNE ZNANOSTI Kristina Gradištanac ELEMENTI KRIPTOGRAFIJE U NASTAVI DIPLOMS

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ZA ODGOJNE I OBRAZOVNE ZNANOSTI Kristina Gradištanac ELEMENTI KRIPTOGRAFIJE U NASTAVI DIPLOMS SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ZA ODGOJNE I OBRAZOVNE ZNANOSTI Kristina Gradištanac ELEMENTI KRIPTOGRAFIJE U NASTAVI DIPLOMSKI RAD Osijek, 2018. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA

Више

Орт колоквијум

Орт колоквијум II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу

Више

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati prava pitanja. U Jednako je važno znati pronaći odgovore na postavljena pitanja,

Више

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja 2016. Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje 90 minuta. Zadatci (njih 32) podijeljeni su u dvije

Више

Infokup - Školsko Osnovne škole Algoritmi BaPaCpp

Infokup - Školsko Osnovne škole Algoritmi BaPaCpp 21.. siječnja 2013.. od 1:30 do 16:30 Školsko natjecanje / Algoritmi (Basic/Pascal/C/C++) Sadržaj Zadaci... 1 Zadatak: Napolitanke... 2 Zadatak: Peking... 3 Zadatak: Joker... Zadaci U tablici možete pogledati

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Tomislava Solar KVADRATNI OSTACI I KVADRATNI KORIJENI U KRIPTOGRAFIJI JAVN

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Tomislava Solar KVADRATNI OSTACI I KVADRATNI KORIJENI U KRIPTOGRAFIJI JAVN SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Tomislava Solar KVADRATNI OSTACI I KVADRATNI KORIJENI U KRIPTOGRAFIJI JAVNOG KLJUČA Diplomski rad Zagreb, studeni, 2016. Voditelj

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije

PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije korake. Uz dobro razrađen algoritam neku radnju ćemo

Више

Za formiranje JOPPD obrasca neophodno je točno popuniti šifre u osnovama primitaka. Svaka osnova primitka ima propisane šifre u prilozima JOPPD

Za formiranje JOPPD obrasca neophodno je točno popuniti šifre u osnovama primitaka. Svaka osnova primitka ima propisane šifre u prilozima JOPPD Za formiranje JOPPD obrasca neophodno je točno popuniti šifre u osnovama primitaka. Svaka osnova primitka ima propisane šifre u prilozima 2.- 4. JOPPD obrasca i za svaku kombinaciju šifri su propisana

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Za

Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Za Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA 206. PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Zaporka učenika: (peteroznamenkasti broj i riječ) Ukupan

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

eredar Sustav upravljanja prijavama odjelu komunalnog gospodarstva 1 UPUTE ZA KORIŠTENJE SUSTAVA 1. O eredar sustavu eredar je sustav upravljanja prij

eredar Sustav upravljanja prijavama odjelu komunalnog gospodarstva 1 UPUTE ZA KORIŠTENJE SUSTAVA 1. O eredar sustavu eredar je sustav upravljanja prij eredar Sustav upravljanja prijavama odjelu komunalnog gospodarstva 1 UPUTE ZA KORIŠTENJE SUSTAVA 1. O eredar sustavu eredar je sustav upravljanja prijavama koje građani mogu slati Upravnom odjelu za komunalno

Више

Signal NCERT-PUBDOC

Signal NCERT-PUBDOC Signal NCERT-PUBDOC-2018-4-359 Sadržaj 1 UVOD... 3 2 INSTALACIJA APLIKACIJE SIGNAL... 4 3 KORIŠTENJE APLIKACIJE SIGNAL... 8 3.1 SLANJE PORUKA... 8 3.2 NESTAJUĆE PORUKE... 10 3.3 PROVJERA SIGURNOSNOG BROJA...

Више

e-škole pilot DIGKOMP U1 UPUTA: ZADACI ZA ISPITIVANJE DIGITALNIH KOMPETENCIJA UČENIKA Ovim zadacima ispituju se tvoje vještine korištenja digita

e-škole pilot DIGKOMP U1 UPUTA: ZADACI ZA ISPITIVANJE DIGITALNIH KOMPETENCIJA UČENIKA Ovim zadacima ispituju se tvoje vještine korištenja digita UPUTA: ZADACI ZA ISPITIVANJE DIGITALNIH KOMPETENCIJA UČENIKA Ovim zadacima ispituju se tvoje vještine korištenja digitalnih tehnologija za različite potrebe u svakodnevnom životu. U nekim zadacima predviđeno

Више

0255_Uvod.p65

0255_Uvod.p65 1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni,

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

Test ispravio: (1) (2) Ukupan broj bodova: 21. veljače od 13:00 do 14:00 Županijsko natjecanje / Osnove informatike Osnovne škole Ime i prezime

Test ispravio: (1) (2) Ukupan broj bodova: 21. veljače od 13:00 do 14:00 Županijsko natjecanje / Osnove informatike Osnovne škole Ime i prezime Test ispravio: () () Ukupan broj bodova:. veljače 04. od 3:00 do 4:00 Ime i prezime Razred Škola Županija Mentor Sadržaj Upute za natjecatelje... Zadaci... Upute za natjecatelje Vrijeme pisanja: 60 minuta

Више

KORISNIČKE UPUTE APLIKACIJA ZA POTPIS DATOTEKA

KORISNIČKE UPUTE APLIKACIJA ZA POTPIS DATOTEKA KORISNIČKE UPUTE APLIKACIJA ZA POTPIS DATOTEKA SADRŽAJ 1. UVOD... 3 1.1. Cilj i svrha... 3 1.2. Područje primjene... 3 2. POJMOVI I SKRAĆENICE... 4 3. PREDUVJETI KORIŠTENJA... 5 4. PREGLED APLIKACIJE...

Више

OBAVIJEST PZZ KORISNICIMA Poštovani korisnici programskog rješenja Last2000. Za Vas smo pripremili sljedeće novosti u programu: NOVOSTI

OBAVIJEST PZZ KORISNICIMA Poštovani korisnici programskog rješenja Last2000. Za Vas smo pripremili sljedeće novosti u programu: NOVOSTI 28.12.2016. - OBAVIJEST PZZ KORISNICIMA Poštovani korisnici programskog rješenja Last2000. Za Vas smo pripremili sljedeće novosti u programu: NOVOSTI U VERZIJI 16.1.19.0. Dodatno zdravstveno osiguranje

Више

Algoritmi SŠ P1

Algoritmi SŠ P1 Županijsko natjecanje iz informatike Srednja škola 9. veljače 2018. RJEŠENJA ZADATAKA Napomena: kodovi za većinu opisanih algoritama dani su u Pythonu radi jednostavnosti i lakše čitljivosti. Zbog prirode

Више

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ

Више

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći

Више

PROCES KUPNJE ULAZNICE NA PORTALU ULAZNICE.HR Početak kupovine... 2 Plaćanje Mastercard karticom... 5 Plaćanje Maestro karticom... 8 Plaćanje American

PROCES KUPNJE ULAZNICE NA PORTALU ULAZNICE.HR Početak kupovine... 2 Plaćanje Mastercard karticom... 5 Plaćanje Maestro karticom... 8 Plaćanje American PROCES KUPNJE ULAZNICE NA PORTALU ULAZNICE.HR Početak kupovine... 2 Plaćanje Mastercard karticom... 5 Plaćanje Maestro karticom... 8 Plaćanje American Express karticom... 11 Plaćanje Diners karticom...

Више

Kako postupiti u slučaju prekida internet veze i nemogućnosti fiskaliziranja računa? U slučaju da dođe do prekida internet veze fiskalizacija računa n

Kako postupiti u slučaju prekida internet veze i nemogućnosti fiskaliziranja računa? U slučaju da dođe do prekida internet veze fiskalizacija računa n Kako postupiti u slučaju prekida internet veze i nemogućnosti fiskaliziranja računa? U slučaju da dođe do prekida internet veze fiskalizacija računa neće biti moguća sve do ponovnog uspostavljanja internet

Више

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

Često postavljana pitanja u programu OBRT 1. Kako napraviti uplatu u knjizi tražbina i obveza? 2. Kako odabrati mapu/disk za pohranu podataka? 3. Kako

Često postavljana pitanja u programu OBRT 1. Kako napraviti uplatu u knjizi tražbina i obveza? 2. Kako odabrati mapu/disk za pohranu podataka? 3. Kako Često postavljana pitanja u programu OBRT 1. Kako napraviti uplatu u knjizi tražbina i obveza? 2. Kako odabrati mapu/disk za pohranu podataka? 3. Kako instalirati (novi) finin certifikat? 4. Kako ispisati

Више

Boško Jagodić ivan mrkonjić nada božičević MOJA MATEMATIKA 2 UDŽBENIK ZA UČENIKE DRUGOG RAZREDA OSNOVNE ŠKOLE

Boško Jagodić ivan mrkonjić nada božičević MOJA MATEMATIKA 2 UDŽBENIK ZA UČENIKE DRUGOG RAZREDA OSNOVNE ŠKOLE Boško Jagodić ivan mrkonjić nada božičević MOJA MATEMATIKA 2 UDŽBENIK ZA UČENIKE DRUGOG RAZREDA OSNOVNE ŠKOLE DO 100 u ovoj ćemo nastavnoj cjelini naučiti: ÖBrojiti Ö do 100 ÖČitati Ö i pisati brojeve

Више

06 Poverljivost simetricnih algoritama1

06 Poverljivost simetricnih algoritama1 ЗАШТИТА ПОДАТАКА Симетрични алгоритми заштите поверљивост симетричних алгоритама Преглед биће објашњено: коришћење симетричних алгоритама заштите како би се заштитила поверљивост потреба за добрим системом

Више

UPUTA za uvođenje JOPPD - prva faza

UPUTA za uvođenje JOPPD - prva faza UPUTA ZA UVOĐENJE OBRASCA JOPPD PRVA FAZA Prva faza uvođenja obrasca JOPPD uključuje slijedeće aktivnosti: 1. Instalacija nove verzije 2. Punjenje šifarnika potrebnih za JOPPD obrazac a. Oznake stjecatelja

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema

Више

Орт колоквијум

Орт колоквијум Испит из Основа рачунарске технике - / (6.6.. Р е ш е њ е Задатак Комбинациона мрежа има пет улаза, по два за број освојених сетова тенисера и један сигнал који одлучује ко је бољи уколико је резултат

Више

08 RSA1

08 RSA1 Преглед ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције RSA алгоритам Биће објашњено: RSA алгоритам алгоритам прорачунски аспекти ефикасност коришћењем јавног кључа генерисање кључа сигурност проблем

Више

Upute za korištenje EasyChair konferencijskog sustava HRO CIGRE 2019 Prijava referata Ako ste već koristili EasyChair na 13. Savjetovanju ili prije ta

Upute za korištenje EasyChair konferencijskog sustava HRO CIGRE 2019 Prijava referata Ako ste već koristili EasyChair na 13. Savjetovanju ili prije ta Upute za korištenje EasyChair konferencijskog sustava HRO CIGRE 2019 Prijava referata Ako ste već koristili EasyChair na 13. Savjetovanju ili prije tada ne trebate otvoriti račun. Za one koji se prvi put

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi 3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem

Више

Algebarski izrazi (4. dio)

Algebarski izrazi (4. dio) Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija

Више

Sveučilište u Zagrebu

Sveučilište u Zagrebu SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA RAČUNALNA FORENZIKA SEMINAR VoIP enkripcija Ivan Laznibat Zagreb, siječanj, 2017. Sadržaj 1. Uvod... 1 2. VoIP enkripcija... 3 2.1 PKI (eng.

Више

Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p

Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka

Више

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau Lekcija : Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o razlomcima proširivanje, skraćivanje, upoređivanje; zapis razlomka u okviru mešovitog

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira

Више

РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/ , 051/ ; p

РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/ , 051/ ;   p РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 9 Бањалука, Тел/факс 01/40-110, 01/40-100; e-mail : pedagoski.zavod@rpz-rs.org Датум: 8.04.018. Републичко такмичење

Више

PowerPoint Template

PowerPoint Template e-račun upute za slanje e-računa iz softwera dataline 1 S A D R Ž A J 1. UVOD 1.1. DATA BIRO d.o.o., Buzet 1.2. E-račun 2. PODEŠAVANJE PARAMETARA ZA RAD 2.1. Matični podaci poduzeća 2.2. Matični podaci

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

Upute za instaliranje WordPressa 1.KORAK Da biste instalirali Wordpress, najprije morate preuzeti najnoviju verziju programa s web stranice WordPressa

Upute za instaliranje WordPressa 1.KORAK Da biste instalirali Wordpress, najprije morate preuzeti najnoviju verziju programa s web stranice WordPressa 1.KORAK Da biste instalirali Wordpress, najprije morate preuzeti najnoviju verziju programa s web stranice WordPressa koju možete pronaći na sljedećem linku: http://wordpress.org/download/ Kliknite na

Више

2015_k2_z12.dvi

2015_k2_z12.dvi OBLIKOVANJE I ANALIZA ALGORITAMA 2. kolokvij 27. 1. 2016. Skice rješenja prva dva zadatka 1. (20) Zadano je n poslova. Svaki posao je zadan kao vremenski interval realnih brojeva, P i = [p i,k i ],zai

Више

Document ID / Revision : 0419/1.1 ID Issuer Sustav (sustav izdavatelja identifikacijskih oznaka) Upute za registraciju gospodarskih subjekata

Document ID / Revision : 0419/1.1 ID Issuer Sustav (sustav izdavatelja identifikacijskih oznaka) Upute za registraciju gospodarskih subjekata ID Issuer Sustav (sustav izdavatelja identifikacijskih oznaka) Upute za registraciju gospodarskih subjekata Gospodarski subjekti Definicija: U skladu s Direktivom 2014/40/EU gospodarski subjekt svaka

Више

CARNET Helpdesk - Podrška obrazovnom sustavu e-dnevnik upute za nadzor razrednih knjiga tel: fax: mail:

CARNET Helpdesk - Podrška obrazovnom sustavu e-dnevnik upute za nadzor razrednih knjiga tel: fax: mail: Sadržaj... 1 1. Predgovor... 2 2. Prijava u sustav... 2 3. Postavke... 3 4. Kreiranje zahtjeva za nadzorom razrednih knjiga... 4 5. Pregled razredne knjige... 6 5.1 Dnevnik rada... 7 5.2 Imenik... 11 5.3

Више

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

УПУТСТВО ЗА КОРИСНИКА Приступ локацији часописа Српски архив за целокупно лекарство добија се преко internet adrese: Након

УПУТСТВО ЗА КОРИСНИКА Приступ локацији часописа Српски архив за целокупно лекарство добија се преко internet adrese:   Након УПУТСТВО ЗА КОРИСНИКА Приступ локацији часописа Српски архив за целокупно лекарство добија се преко internet adrese: http://www.srpskiarhiv.rs/ Након тога се на екрану појављује форма за пријаву на часопис

Више

PROPISNIK O KALENDARU NATJECANJA

PROPISNIK O KALENDARU NATJECANJA PRAVILNIK O KALENDARU NATJECANJA HRVATSKOG SPORTSKOG PLESNOG SAVEZA U Zagrebu 18.01.2018 godine. SADRŽAJ I. OPĆE ODREDBE... 2 II. UPIS SPORTSKIH PLESNIH NATJECANJA U KALENDAR NATJECANJA... 3 III. PRIJAVE

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

Bojenje karti iliti poučak o četiri boje Petar Mladinić, Zagreb Moj djed volio je igrati šah. Uvijek mi je znao zadati neki zanimljiv zadatak povezan

Bojenje karti iliti poučak o četiri boje Petar Mladinić, Zagreb Moj djed volio je igrati šah. Uvijek mi je znao zadati neki zanimljiv zadatak povezan Bojenje karti iliti poučak o četiri boje Petar Mladinić, Zagreb Moj djed volio je igrati šah. Uvijek mi je znao zadati neki zanimljiv zadatak povezan sa šahom. Tako mi je postavio sljedeći problem. Problem.

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

18. ožujka Državno natjecanje / Osnovna škola (6. razred) Primjena algoritama (Basic/Python/Pascal/C/C++) Sadržaj Zadaci... 1 Zadatak: Kineski..

18. ožujka Državno natjecanje / Osnovna škola (6. razred) Primjena algoritama (Basic/Python/Pascal/C/C++) Sadržaj Zadaci... 1 Zadatak: Kineski.. 18. ožujka 2015. Državno natjecanje / Primjena algoritama (Basic/Python/Pascal/C/C++) Sadržaj Zadaci... 1 Zadatak: Kineski... 2 Zadatak: Zmija... 3 Zadatak: Vlakovi... 5 Zadaci U tablici možete pogledati

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

Lorem ipsum dolor sit amet lorem ipsum dolor

Lorem ipsum dolor sit  amet lorem ipsum dolor Početna prezentacija za korisnike Ključna aktivnost 1: Mobilnost u svrhu učenja: Razmjene mladih i Mobilnost osoba koje rade s mladima Završno izvješće Mobility tool Projektni ciklus Završno izvješće 1.

Више

Smjernice za korištenje sustava online prijava Ukoliko imate pristupno korisničko ime i lozinku ili ste navedeno dobili nakon zahtjeva za otvaranje no

Smjernice za korištenje sustava online prijava Ukoliko imate pristupno korisničko ime i lozinku ili ste navedeno dobili nakon zahtjeva za otvaranje no Smjernice za korištenje sustava online prijava Ukoliko imate pristupno korisničko ime i lozinku ili ste navedeno dobili nakon zahtjeva za otvaranje novog korisničkog računa (poslati zahtjev na javnipoziv.opp@havc.hr

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

Drugi kolokvij iz predmeta Operacijski sustavi 2. srpnja Napomene: PISATI ČITKO! Zadatke 7-10 rješavati na ovom papiru ili uz njih napisati "na

Drugi kolokvij iz predmeta Operacijski sustavi 2. srpnja Napomene: PISATI ČITKO! Zadatke 7-10 rješavati na ovom papiru ili uz njih napisati na Drugi kolokvij iz predmeta Operacijski sustavi 2. srpnja 2019. Napomene: PISATI ČITKO! Zadatke 7-10 rješavati na ovom papiru ili uz njih napisati "na papirima". 1. (2) Opisati pristupni sklop za izravni

Више

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

My_P_Red_Bin_Zbir_Free БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,

Више

Upute - JOPPD kreiranje obrasca

Upute - JOPPD kreiranje obrasca Verzija uputa: 1.0 - JOPPD obrazac IPIS-PLAĆE, IPIS-UGOVORI O DJELU Ove upute će se još nadopunjavati, pa molim korisnike da redovito provjere da li imaju zadnje upute. Verzija uputa prikazana je na početku!

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba

Више

NAUČNO-STRUČNA KONFERENCIJA LOGOPEDA SRBIJE INOVATIVNI PRISTUPI U LOGOPEDIJI Nacionalni skup sa međunarodnim učešćem Organizator: Udruženje logopeda S

NAUČNO-STRUČNA KONFERENCIJA LOGOPEDA SRBIJE INOVATIVNI PRISTUPI U LOGOPEDIJI Nacionalni skup sa međunarodnim učešćem Organizator: Udruženje logopeda S NAUČNO-STRUČNA KONFERENCIJA LOGOPEDA SRBIJE INOVATIVNI PRISTUPI U LOGOPEDIJI Nacionalni skup sa međunarodnim učešćem Organizator: Udruženje logopeda Srbije Kralja Milutina 52, Beograd Datum održavanja:

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

Development Case

Development Case Tehnička dokumentacija Verzija Studentski tim: Nastavnik: < izv. prof. dr. sc. Nikola Mišković> FER 2 -

Више

Projekt STE(A)M Tjedan Tehnički muzej Nikola Tesla u suradnji sa Školskom knjigom d.d., Hrvatskom zajednicom tehničke kulture i udr

Projekt STE(A)M Tjedan Tehnički muzej Nikola Tesla u suradnji sa Školskom knjigom d.d., Hrvatskom zajednicom tehničke kulture i udr Projekt STE(A)M Tjedan 11.10. 12.10.2017. Tehnički muzej Nikola Tesla u suradnji sa Školskom knjigom d.d., Hrvatskom zajednicom tehničke kulture i udrugom Hrvatsko interdisciplinarno društvo organizirao

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA Seminarski rad u okviru predmeta Računalna forenzika BETTER PORTABLE GRAPHICS FORMAT Matej

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA Seminarski rad u okviru predmeta Računalna forenzika BETTER PORTABLE GRAPHICS FORMAT Matej SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA Seminarski rad u okviru predmeta Računalna forenzika BETTER PORTABLE GRAPHICS FORMAT Matej Crnac Zagreb, siječanj 2018 Sadržaj Uvod 2 BPG format

Више

5. razred

5. razred Jesensko kolo 01./01. ŠKOLA BROJ EKIPE KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA D1 1.... IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA ODGOVORI:. razred. razred.1..11..1..11....1....1....1....1....1....1..5..15..5..15....1....1....1....1....1....1....1....1....0....0.

Више

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2015/

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2015/ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2015/2016. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш

Више

Microsoft Word JEDINICE ZA MERENJE-formulice

Microsoft Word JEDINICE ZA MERENJE-formulice JEDINICE ZA MERENJE DUŽINA Osnovna jedinica za merenje dužine je metar. Manje i veće jedinice koje koristimo su: kilometar km km=m m= km=, km metar m decimetar dm m=dm dm= m=,m centimetar cm m=cm cm =

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

Korisničko uputstvo za uslugu ClickPay u Internet bankarstvu KJKP Toplane Sarajevo 1. OPIS USLUGE Usluga ClickPay omogućava prijem unaprijed popunjeno

Korisničko uputstvo za uslugu ClickPay u Internet bankarstvu KJKP Toplane Sarajevo 1. OPIS USLUGE Usluga ClickPay omogućava prijem unaprijed popunjeno Korisničko uputstvo za uslugu u Internet bankarstvu KJKP Toplane Sarajevo 1. OPIS USLUGE Usluga omogućava prijem unaprijed popunjenog naloga za plaćanje mjesečnih računa za troškove KJKP Toplane-Sarajevo

Више

PPT

PPT Sve što trebate znati o eračunima u javnoj nabavi U našem priručniku smo ukratko pojasnili što nam je donio Zakon o elektroničkom izdavanju računa u javnoj nabavi. ZAKONSKA REGULATIVA Stupanjem na snagu

Више

Rano učenje programiranj

Rano učenje programiranj PREGLED ALATA ZA RANO UČENJE PROGRAMIRANJA Ivana Ružić, I. osnovna škola Čakovec Programiranje - nova pismenost Živimo u svijetu u kojem tehnologija brzo napreduje. Način na koji radimo, komuniciramo,

Више

Chalkboard Template

Chalkboard Template DRŽAVNA MATURA ŠK.GOD. 2016./2017. Odabir predmeta i razina Obvezni predmeti: matematika hrvatski jezik engleski jezik» razine: osnovna(b) i viša(a) Izborni predmeti (max.6) prema zahtjevu fakulteta npr.

Више