Matematika za 1. razred srednje škole Modul 3: Algebarski izrazi Priručnik za nastavnike Projekt je sufinancirala Europska unija iz Europskog socijaln

Matematika za 1. razred srednje škole Modul 3: Algebarski izrazi Priručnik za nastavnike Projekt je sufinancirala Europska unija iz Europskog socijalnog fonda.,

Više informacija o fondovima EU-a možete pronaći na internetskim stranicama Ministarstva regionalnoga razvoja i fondova Europske unije: www.strukturnifondovi.hr Ovaj priručnik izrađen je radi podizanja digitalne kompetencije korisnika u sklopu projekta e- Škole: Uspostava sustava razvoja digitalno zrelih škola (pilot-projekt), koji sufinancira Europska unija iz europskih strukturnih i investicijskih fondova. Nositelj projekta je Hrvatska akademska i istraživačka mreža CARNET. Sadržaj publikacije isključiva je odgovornost Hrvatske akademske i istraživačke mreže CARNET. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 2

Impresum Ključni stručnjaci: Autori: Sanja Antoliš, Aneta Copić, Eva Špalj Urednica: Štefica Dumančić Poljski Stručnjak za dizajn odgojno-obrazovnog procesa ili metodičko oblikovanje nastavnih sadržaja: Toni Milun Stručnjak za dizajn i izradu digitalnih sadržaja te dizajn korisničkog sučelja: Željka Car Neključni stručnjaci: Stručnjaci za inkluzivno obrazovanje: Jasmina Ivšac Pavliša, Maja Peretić Stručnjak za pristupačnost: Vedran Podobnik Recenzenti: Recenzent za metodičko oblikovanje sadržaja: Nikola Koceić Bilan Recenzent za inkluzivnu prilagodbu sadržaja: Katarina Pavičić Dokoza Izdanje: 1. izdanje Lektorica: Petra Glavor Petrović Priprema i prijelom: Algebra d.o.o. Podizvoditelj: Fakultet elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu Naručitelj i nakladnik: Hrvatska akademska i istraživačka mreža CARNET Mjesto izdanja: Zagreb Više informacija: Hrvatska akademska i istraživačka mreža CARNET Josipa Marohnića 5, 10000 Zagreb tel.: +385 1 6661 500 www.carnet.hr Ovo djelo je dano na korištenje pod licencom Creative Commons Imenovanje -Nekomercijalno-Dijeli 3.0 Hrvatska. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 3

Sadržaj Impresum... 3 Uvodni dio priručnika... 7 Kako koristiti priručnik... 7 Što je DOS?... 19 Didaktički trokut: učenik učitelj DOS... 25 Didaktička uloga multimedijskih i interaktivnih elemenata DOS-a... 26 Povezivanje DOS-a s tradicionalnim pristupima... 28 Motivacija, poticanje i vrednovanje uz DOS... 30 Suvremene nastavne metode i DOS... 32 Metodičko-didaktički aspekti uporabe DOS-a u radu s učenicima s posebnim obrazovnim potrebama... 33 Modul 3:Algebarski izrazi... 35 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 35 Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja ovog modula DOS-a... 35 Digitalni alati i dodatni sadržaji... 36 3.1. Algebarski izrazi... 39 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 39 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 40 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 41 3.2. Vrijednost algebarskog izraza... 43 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 43 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 43 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 45 3.3. Računske radnje s polinomima... 46 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 46 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 47 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 48 3.4. Kvadrat i kub binoma... 50 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 50 Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 4

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 51 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 52 3.5. Razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova... 54 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 54 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 55 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 56 3.6. Faktorizacija... 58 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 58 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 59 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 60 3.7. Racionalni algebarski izrazi. Skraćivanje, množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka... 61 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 61 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 62 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 63 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju... 63 3.8. Zbrajanja i oduzimanje algebarskih razlomaka... 65 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 65 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 67 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju... 67 3.9. Računanje s algebarskim razlomcima... 68 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 68 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 68 Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 70 Aktivnosti za samostalno učenje... 71 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 71 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 71 Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 5

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe... 72 Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda... 74 Ciljevi, ishodi, kompetencije... 74 Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice... 74 Pojmovnik... 75 Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 6

Uvodni dio priručnika Kako koristiti priručnik Priručnik za primjenu DOS-a je prateći materijal uz digitalne obrazovne sadržaje (DOS) iz matematike za sedmi i osmi razred osnovne škole te prvi i drugi razred opće gimnazije (Matematika 7, Matematika 8, Matematika 1 i Matematika 2). Sastoji se od dva bitno različita dijela: općeg dijela i dijela namijenjenog određenom razredu. Prvi dio priručnika (prvih 7 poglavlja) priručnika daje uvod o digitalnim obrazovnim sadržajima i njihovoj ulozi u suvremenim metodama poučavanja. Ovaj dio je identičan za sve razrede. Drugi dio priručnika daje preporuke nastavnicima za korištenje konkretnih jedinica DOS-a i multimedijalnih elemenata u odgojno-obrazovnom procesu, navodi dodatne digitalne alate i sadržaje koji će doprinijeti ostvarivanju odgojno-obrazovnih ishoda te daje smjernice i sadržaje za rad s učenicima s posebnim odgojno-obrazovnim potrebama (inkluzija). Priručnik je dostupan u tri formata: PDF, epub (format za elektroničke knjige, može se preuzeti i čitati na računalima i mobilnim uređajima) i OneNote (Microsoft OneNote 2016, digitalna bilježnica koja omogućuje na jednom mjestu održavanje bilješki i informacija s dodatnim prednostima; mogućnosti naprednog pretraživanja i umetanja multimedije). U prvom poglavlju, koje je upravo pred Vama, navedene su upute kako koristiti priručnik na primjeru OneNote inačice. OneNote inačica priručnika Osnovne značajke OneNote-a su: automatsko spremanje mogućnost pisanja na proizvoljnom mjestu svake stranice mogućnost ubacivanja svih vrsta sadržaja, dokumenata i poveznica mogućnost reorganiziranja i ponovnog korištenja stranica i odjeljaka pripadni moćni alati za označavanje i pretraživanje mogućnost spremanja poveznice na originalne sadržaje prilikom kopiranja brzo i pregledno kretanje kroz pojedine dijelove dokumenta. OneNote inačica priručnika sadrži sve što i pdf inačica te dodatne stranice Pomoćni interaktivni sadržaji na kojima su interaktivni i multimedijski sadržaji umetnuti u OneNote. Tako pripremljene sadržaje učitelji i nastavnici mogu lako koristiti za nastavu te prema potrebi mijenjati i prilagoditi svojim potrebama. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 7

U OneNote priručniku sadržaji su grupirani u odjeljke, sekcije i stranice unutar sekcija. Početni odjeljci sadrže poglavlja prvog, općeg dijela priručnika. Slijede odjeljci koji se odnose na konkretan DOS. Svaki DOS podijeljen je na module, a moduli na jedinice, što je detaljno opisano u sljedećem poglavlju. Sadržaji koji se odnose na module konkretnog DOS-a nalaze se na stranicama odjeljka s naslovom modula, a sadržaji na razini jedinice se nalaze na stranicama sekcija s naslovima jedinica. Moduli su označeni slovima A, B, C,, a jedinice brojevima 1.1, 1.2 itd. Odjeljci i sekcije Stranice Sadržaj stranice Uvodni odjeljak (na slikama to je prvi odjeljak Matematika 8) ima stranice: Naslovnica Ciljevi, ishodi, kompetencije Ovdje su navedeni ciljevi i zadaće, odgojno-obrazovni ishodi i generičke kompetencije na razini cjelovitog DOS-a prema kojima je izrađen DOS. Pojmovnik U priručniku se nalazi pojmovnik ključnih pojmova prenesen iz konkretnog DOSa. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 8

Slijede odjeljci koje obrađuju pojedine module (označeni slovima A, B, C ). Svaki modul ima uvodnu sekciju (1.0. u modulu A, 2.0. u modulu B ) i sekcije po jedinicama (1.1., 1.2. u modulu A; 2.1., 2.2.. u modulu B itd.) Uvodna sekcija svakog modula sadrži sljedeće stranice (na ilustracijama koje slijede to je modul A Kvadriranje): Ciljevi, ishodi, kompetencije Navedeni su ciljevi i zadaće, odgojno-obrazovni ishodi i generičke kompetencije na razini modula. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 9

Metodički prijedlozi Ovdje se nalaze metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja modula. To je sažetak metodičkih prijedloga za korištenje jedinica ovog modula, odnosno preporuke koje su primjenljive na sve jedinice. Neki metodički prijedlozi i preporuke identični su u više modula, no ta ponavljanja su ostavljena kako bi se moduli mogli koristiti samostalno i odjeljak koji se odnosi na pojedini modul sadrži sve podatke i komentare neovisno o tome spominju li se isti u još nekom drugom modulu. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 10

Digitalni alati i dodatni sadržaji Informacije na ovoj stranici podijeljene su u tri grupe. Popis i kratki savjeti za korištenje digitalnih alata Navedeni su digitalni alati koji su preporučeni u priručniku za korištenje u ovom modulu, svrha korištenja i poveznice na kojima se nalaze detaljne upute. Većina preporučenih digitalnih alata spominje se u svakom modulu, ponavljanja su ostavljena kako bi se moduli mogli koristiti samostalno i odjeljak koji se odnosi na pojedini modul sadrži sve podatke i komentare neovisno o tome spominju li se još u nekom drugom modulu. Dodatni materijali i poveznice za izvođenje nastave uz DOS Navedene su poveznice na sve sadržaje predložene u jedinicama modula kao pomoć u izvođenju nastave. Tako ih nastavnici mogu naći na jednom mjestu. Poveznice na dodatne izvore i važne reference za nastavnike Ovdje su predloženi izvori na kojima nastavnici sami mogu pronaći i odabrati sadržaje koji im mogu pomoći u izvođenju nastave. To su interaktivni sadržaji (animacije, simulacije ), video materijali, izvori na kojima se nalaze prijedlozi pokusa i učeničkih projekata te također stručni članci vezani uz područje matematike koje obrađuje modul. Veliki broj navedenih izvora spominje se u svakom modulu, ponavljanja su ostavljena kako bi se moduli mogli koristiti samostalno i odjeljak koji se odnosi na pojedini modul Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 11

sadrži sve podatke i komentare neovisno o tome spominju li se još u nekom drugom modulu. Operativni plan To je popis jedinica unutar modula s predviđenim brojem sati za njihovu obradu. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 12

Sekcije uz svaku jedinicu modula (na ilustracijama to je jedinica 1.1 Kvadriranje racionalnih brojeva) sadrže sljedeće stranice: Ciljevi, ishodi, kompetencije Navedeni su ciljevi i zadaće, odgojno-obrazovni ishodi i generičke kompetencije za konkretnu jedinicu. Prema njima je izrađen sadržaj jedinice. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 13

Metodički prijedlozi Ovdje se nalaze metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja konkretne jedinice. Oni nisu pripreme za nastavni za nastavni sat već prijedlozi nastavniku koje dijelove sadržaja može i na koji način koristiti u nastavi. Pomoćni interaktivni sadržaji Ovdje su interaktivni, multimedijski sadržaji umetnuti u OneNote. Sekcija Metodički prijedlozi podijeljena je na dva dijela: (a) Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Započinje s općim uputama vezanim uz različite svrhe primjene jedinice (npr. obrada, ponavljanje...), odnos prema ostalim jedinicama modula i eventualnu vezu s drugim modulima. Navedena je i preporuka koji se oblici učenja i poučavanja mogu primijeniti pri korištenju sadržaja jedinice. Slijede prijedlozi primjene sadržaja jedinice: Uvod i motivacija Razrada sadržaja učenja i poučavanja Završetak. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 14

Ova podjela prati strukturu korištenu u DOS-u i tim redoslijedom izdvojeni su dijelovi sadržaja koje je pogodno koristiti u nastavi. Redoslijed nije sugestija organizacije nastavnog sata. Cjelovito osmišljavanje i priprema izvođenja nastave prepušteni su nastavniku, kao i izbor mjesta na kojima će uklopiti sadržaje jedinice DOS-a. Dodatni prijedlozi Ovdje su navedeni dodatni prijedlozi koji mogu pomoći nastavniku u ostvarenju odgojnoobrazovnih ishoda predviđenih u jedinici. To su poveznice na digitalne sadržaje, ukazivanje na neka alternativna metodička rješenja i sl. (b) Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Svaka jedinica sadrži dijelove koji po složenosti ili sadržaju izlaze izvan okvira programa. Oni su na ovom mjestu u priručniku istaknuti, kao i prijedlozi nastavniku kako organizirati njihovo izvođenje i prezentaciju rezultata. Ponekad su u priručniku navedeni i prijedlozi zadataka/aktivnosti koji se ne nalaze u jedinici. Aktivnosti za učenike koji žele znati više i za darovite učenike birane su kao projektni zadaci ili dodatne teme za samostalno istraživanje. Mogu se provoditi samostalno ili u manjim skupinama. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju teškoće Digitalni obrazovni sadržaji izrađeni su u skladu sa standardima pristupačnosti tako da su dizajn, funkcionalnosti i sam sadržaj pristupačni svim korisnicima uključujući i osobe s poteškoćama. Stručnjaci za inkluzivno obrazovanje razradili su prijedloge i smjernice nastavnicima za svaku jedinicu. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 15

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 16

Interaktivni sadržaji koji su umetnuti u OneNote navedeni su kao poveznice u popisu Dodatni materijali i poveznice za izvođenje nastave uz DOS. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 17

Opisani sadržaji identični su onima koji se nalaze u pdf inačici priručnika, razlika je djelomično u njihovom rasporedu. Ukoliko vam treba pomoć u snalaženju s OneNoteom možete pročitati i ove kratke upute. Hrvatski-ONENOTE 2016 WIN QUICK STA Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 18

Što je DOS? Što je DOS? Pojam digitalni obrazovni sadržaj (DOS) je naziv za sadržaj namijenjen korištenju u obrazovanju za učenje i poučavanje, a koji je pohranjen na računalu, elektroničkom mediju ili je objavljen na Internetu. Digitalni obrazovni sadržaji izrađeni u sklopu pilot projekta e-škole namijenjeni su učenicima za samostalno učenje i samoprocijenu kod kuće i na nastavnom satu. Nastavnik će koristiti DOS zajedno s priručnikom kako bi obogatio svoj način poučavanja i primjenom novih strategija i metoda učeniku omogućio aktivno učenje. Cilj DOS-a je poticati kod učenika aktivno učenje na inovativan, učinkovit, motivirajući i pojedincu prilagođen način. Nastavniku pak DOS omogućava ostvarivanje definiranih odgojnoobrazovnih ishoda uz primjenu raznolikih strategija, pristupa i metoda poučavanja. U DOS-u su korištene sve prednosti digitalnih tehnologija poput interaktivnosti, nelinearnosti, multimedijalnosti, modularnosti i prilagodljivosti. Digitalni obrazovni sadržaji izrađeni su u skladu sa standardima pristupačnosti tako da su dizajn, funkcionalnosti i sam sadržaj pristupačni svim korisnicima uključujući i osobe s poteškoćama. Struktura DOS-a Digitalni obrazovni sadržaji iz matematike pokrivaju cjelokupni opseg trenutačno važećeg kurikuluma/nastavnog programa određenog razreda i obuhvaća ukupni godišnji fond školskih sati predviđenih za matematiku. Svaki DOS je podijeljen na jedinstvene samostalne cjeline module (po deset u svakom razredu). Moduli koji čine cjeloviti DOS realizirani su kao zasebni paketi sadržaja koje je, osim kao dio cjelovitog DOS-a, moguće koristiti neovisno o drugim modulima istog DOS-a. Svaki modul se sastoji od nekoliko jedinica, a svaka jedinica obuhvaća sadržaj učenja i poučavanja za čije provođenje je predviđeno jedan do tri školska sata. Jedinice su međusobno povezane i nadovezuju se jedna na drugu. Odabrani redoslijed jedinica je prijedlog autora, no ponekad su moguća i drugačija rješenja. Jedinice kao dio modula Svaka jedinica ima sljedeće dijelove: uvod i motivaciju: Na početku... razradu sadržaja učenja i poučavanja Završetak: i na kraju. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 19

Na početku su navedeni odgojno-obrazovni ishodi za tu jedinicu DOS-a. Uvod i motivacija Jedinice započinju motivacijskim primjerom. Najčešće su primjeri povezani sa svakodnevnim životom i osobnim iskustvima učenika. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Razrada sadržaja učenja i poučavanja načinjena je sukladno načelima konstruktivističke nastave matematike u kojem se od učenika očekuje da uočavaju, istražuju, proučavaju, opažaju, povezuju i zaključuju kako bi izgradili vlastito matematičko znanje. Pri tome se koriste multimedijski elementi: ilustracije/fotografije 2D i 3D animacije video zapisi interakcije (elementi koji zahtijevaju interakciju učenika sa sadržajem). Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 20

Primjeri sadrže pitanja ili računske zadatke koji su detaljno pojašnjeni i riješeni. Zadaci su dani u obliku interakcija u kojima učenik dobiva povratnu informaciju o točnosti rješenja ili se rezultat i dijelovi postupka dobivaju pomoću tipke Rješenje. U jedinicama se nalaze opisi praktičnog rada učenika. Često su popraćeni crtežima, animacijama ili video zapisom. Korelacije s drugim predmetima posebno su istaknute kao bi učenicima skrenuli pažnju na njih i potaknuli ih da povezuju znanja usvojena u pojedinim predmetima. Možete ih koristiti kao ideju za međupredmetne teme pogodne za učeničke projekte. Projekti i projektni zadaci su ponuđeni kao drugačiji pristup učenju. Kroz njih učenik kroz različite oblike rada uči i primjenjuje naučeno kako bi realizirao i ostvario ciljeve projekta. U radu na projektu i projektnim zadacima moguće je osmisliti zadatke za različite razine učeničkog znanja tako da u njima mogu sudjelovati svi učenici. U priručniku su navedeni prijedlozi i preporuke kako organizirati rad na projektu i koje upute dati učenicima. U Kutku za znatiželjne nalaze se obogaćeni sadržaji koji su izvan okvira obaveznog programa/kurikuluma. Prvenstveno su namijenjeni darovitim učenicima. Sadržaji se obogaćuju tako da se ishodi iz obaveznog kurikuluma proširuju sadržajima koji se inače rijetko dotiču pa se uči šire ili se postojeći ishodi dopunjavaju složenijima pa se uči dublje. Neki od sadržaja predstavljaju akceleraciju jer se nalaze u obaveznom kurikulumu viših razreda. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 21

Jedinice sadrže niz zanimljivosti. Možete ih koristiti kao motivaciju u bilo kojem dijelu nastavnog sata. Završetak Na kraju svake jedinice nalazi se podsjetnik na najvažnije dijelove jedinice, zadatci za ponavljanje, prijedlozi za daljnje istraživanje, ideje za suradničko učenje, igre ili prijedlozi za projekte. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 22

Rubrika Procijenite svoje znanje nalazi se na kraju odabranih jedinica. Sastoji se od niza konceptualnih pitanja i zadataka za učenje, vježbanje i samoprocjenu usvojenosti odgojnoobrazovnih ishoda. Zadaci su oblikovani na jedan od sljedećih načina: odabir točno/netočno; višestruki odabir s jednim točnim odgovorom; višestruki odabir s više točnih odgovora; unos točnog odgovora; uparivanje odgovora; uparivanje povlačenjem i postavljanjem elemenata (teksta, markera, slika, dijelova ili cijelih formula i simbola); grupiranje elemenata; uređivanje poretka elemenata; odabir i umetanje riječi koje nedostaju iz ponuđenih odgovora; umetanje riječi koje nedostaju upisom; unos rješenja na sliku (npr. dijagram i sl.). Rubrika Procijenite svoje znanje namijenjena je učeniku za samostalni rad te mu služi kao alat za samoprocjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda na razini jedne odnosno nekoliko jedinica. Učenik dobiva povratnu informaciju o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda. Aktivnosti za samostalno učenje U posebnoj jedinici Aktivnosti za samostalno učenje nalaze se aktivnosti namijenjene učenicima za samostalan rad koje pomažu u učenju i usvajanju odgojno-obrazovnih ishoda modula te aktivnosti koje učenicima nude da dodatno istraže teme vezane uz modul. Sadržavaju nekoliko vrsta zadataka, često s primjerima iz svakodnevnog života, u kojima su stopljena znanja i vještine usvojene u pojedinim jedinicama modula. Zadaci su različite razine složenosti te su neki namijenjeni svim učenicima, a neki učenicima koji žele znati više i darovitim učenicima. Jedinicom Aktivnosti za samostalno učenje možete se koristiti u cijelosti na nastavnom satu na kraju obrazovnog ciklusa obuhvaćenog ovim modulom ili u dijelovima koji dopunjavaju pojedine jedinice. Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda Posebna jedinica Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda sadržava zadatke za procjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda modula i učenike uputite na nju na kraju obrazovnog ciklusa obuhvaćenog modulom. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 23

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda osmišljena je u obliku interaktivnih provjera znanja, vještina i mišljenja i učenicima služi za ponavljanje te im daje povratnu informaciju o točnosti rješenja i o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda modula. Samovrednovanjem i praćenjem vlastitog napretka učenik na temelju osobnih postignuća dobiva smjernice za daljnje učenje. Pojmovnik U svim jedinicama DOS-a pojmovi koje se željelo istaknuti pisani su podebljanim slovima. Najvažniji pojmovi navedeni su i u Pojmovniku. Klik na pojam vodi na početak jedinice u kojoj je definiran. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 24

Didaktički trokut: učenik učitelj DOS Nastava je organizirana, cilju usmjerena odgojno-obrazovna djelatnost. Odnos triju čimbenika nastave: učenika, nastavnika i nastavnih sadržaja opisuje didaktički trokut. Pritom su učenik i nastavnik subjekti nastavnog procesa, a nastavni sadržaji (sadržaji učenja) su predmet nastave. Naglašavanje važnosti pojedinog čimbenika nastave označavaju sintagme kao nastava orijentirana na učenika, nastavnika ili nastavne sadržaje. DOS kao nastavni sadržaj namijenjen je prvenstveno učeniku s ciljem poticanja aktivnog učenja na učinkovit, motivirajući i pojedincu prilagođen način. Stoga je u didaktičkom trokutu učenik - nastavnik - DOS naglašena važnost učenika i međudjelovanje učenika i nastavnog sadržaja (u našem slučaju DOS-a). Uloga nastavnika kao nužnog subjekta nastavnog procesa u ovom trokutu i njegovo međudjelovanje s učenikom i DOS-om još pojačavaju orijentiranost nastave na učenika. DOS omogućava učenje i poučavanje u različitim okruženjima, prikladan je za korištenje na nizu različitih platformi od mobilnih uređaja do stolnih računala, uključuje primjenu multimedijskih elemenata, omogućava različite pristupe učenju i poučavanju. Mogućnost samoprocjene usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda i praćenje vlastitog napretka daje učeniku smjernice za daljnje učenje odnosno vraća ga na jedinice DOS-a čiji ishodi nisu u potpunosti usvojeni. DOS slijedi suvremena nastavna načela: poticanje cjelovitog razvoja i dobrobiti učenika; povezanost sa životnim iskustvima, očekivanjima i usvojenim znanjima učenika; aktivna uloga učenika u učenju; izbornost i individualizacija; usmjerenost prema suradnji; osiguravanje poticajnog i sigurnog okruženja; relevantnost za sadašnji život; zanimljivost kao osnova pozitivne motivacije; poticanje inkluzije i uvažavanje različitosti; vertikalna povezanost sa sadržajima koji prethode i koji se nastavljaju te horizontalna povezanost s ostalim predmetima, međupredmetnim temama i modulima; odgovarajući omjer širine i dubine znanja i vještina. Time DOS proširuje okvire didaktičkog trokuta i njegovom implementacijom nastavni proces postaje didaktički mnogokut. Učenici uče u okruženju koje omogućuje konstruiranje znanja utemeljeno na problemima i projektima te aktivnom i iskustvenom učenju usmjerenom prema pitanjima i istraživanju. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 25

Didaktička uloga multimedijskih i interaktivnih elemenata DOS-a Današnji učenici, bitno više od prijašnjih generacija, odrastaju okruženi multimedijama, izloženi brzom protoku i dostupnosti informacija. Nove tehnologije sastavni su dio svakodnevnog života i nužno imaju utjecaj i na nastavni proces, kao što je već navedeno u prethodnom poglavlju. Multimedijskim elementima omogućuje se prezentacija obrazovnih sadržaja kombinacijom slike, zvuka i teksta te uključivanje interaktivnih elemenata koji zahtijevaju interakciju učenika sa sadržajem. Sve to doprinosi privlačenju pozornosti učenika, zainteresiranosti i motivaciji te razumijevanju sadržaja i primjeni stečenih znanja u novim situacijama. Multimedijski i interaktivni elementi DOS-a Multimedijski elementi DOS-a uključuju: zvučni zapis fotografije/ilustracije video zapis 2D i 3D animacije. Ovo su elementi niske razine interaktivnosti, pri čemu interaktivnost uključuje pokretanje, zaustavljanje ili pauziranje nekog elementa. Interaktivni elementi srednje razine interaktivnosti uključuju: pomicanje ili grupiranje dijelova sadržaja povlačenjem miša ili nekom drugom aktivnošću obrazac za ispunjavanje označavanje odgovora unos teksta, formula ili audio zapisa povećavanje grafičkog prikaza do velikih detalja (engl. zoom in) i sl. Nalaze se u standardnim zadacima za učenje, ponavljanje i samoprovjeru odgojno-obrazovnih ishoda kao što su npr. da/ne pitalice, višestruki odgovori, povlačenje na sliku, uparivanje, grupiranje elemenata itd. Elementi visoke razine interaktivnosti uključuju: didaktične igre simulacije s mogućnošću unosa ulaznih parametara i prikazivanja rezultata ovisno o unesenim parametrima mogućnost dobivanja povratnih informacija 3D prikaz uz mogućnost manipulacije elementom, i sl. Značajna uloga multimedijskih elemenata u DOS-u je upravo interaktivnost. Interaktivni elementi omogućuju aktivno sudjelovanje učenika u nastavnom procesu. Kroz manipulaciju određenih elemenata učenici mogu uočavati pravilnosti, postavljati i provjeravati hipoteze te metodom nepotpune indukcije donositi opće zaključke. Interaktivni elementi visoke razine omogućuju uvođenje eksperimenta u nastavu matematike. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 26

Samovrednovanjem i praćenjem vlastitog napretka učenik na temelju osobnih postignuća dobiva smjernice za daljnje učenje. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 27

Povezivanje DOS-a s tradicionalnim pristupima Znanje je oduvijek bilo jedan od osnovnih instrumenata razvoja društvenih zajednica i uspješnih nacionalnih gospodarstava. U suvremenim uvjetima, osobito globalizacijskim, novostvorena znanja kao rezultat istraživanja i inovacije, postaju ne samo temelj već i ključni čimbenik razvoja nekog društva. Za uspješnu tranziciju prema društvu utemeljenom na znanju uz tradicionalan pristup, nužni su novi pristupi obrazovanju i poučavanju. Sve se više raspravlja o tzv. cjeloživotnom učenju, odnosno o aktivnosti učenja tijekom života, s ciljem unapređivanja znanja, vještina i sposobnosti unutar osobne, građanske, društvene i poslovne perspektive. Osim formalnog obrazovanja u obrazovnim institucijama poput škola, veleučilišta i fakulteta, sve se veća pozornost pridaje neformalnom obrazovanju putem dodatne edukacije na tečajevima i seminarima te informalnom obrazovanju koje pojedinac stječe vlastitim radom, komunikacijom, čitanjem, razvijanjem vještina, iskustava i znanja. Uz koncept cjeloživotnog učenja najčešće se vezuju ciljevi ekonomske prirode, primjerice postizanje veće konkurentnosti na tržištu rada. Međutim, cjeloživotno učenje usmjereno je prema osobi i njenim individualnim sposobnostima, poboljšanju njenog ponašanja, raspolaganju informacijama, povećanju znanja, razumijevanju, novim stavovima. Koncept cjeloživotnog učenja, razvijen u šezdesetim godinama prošlog stoljeća, odgovor je na problem neusklađenosti između obrazovanja mladih i odraslih osoba. Da bi mogli ostvariti koncept cjeloživotnog učenja, do kraja obaveznog obrazovanja treba razviti određene kompetencije koje predstavljaju temelj za daljnje učenje. Tradicionalni pristupi učenju i poučavanju dugo su bili obilježeni razredno-satnim i predmetnosatnim sustavom te frontalnom nastavom što ne može zadovoljiti zahtjeve koncepta cjeloživotnog učenja. Nastavni proces treba omogućiti: uvođenje novih oblika učenja istraživačko i eksperimentalno poučavanje ispitivanje i procjenu različito postavljenih ishoda učenja doprinos općem sustavu obrazovanja doprinos razvoju svakog učenika prema njegovim sposobnostima. DOS je razvijen na tragu ovih zahtjeva. Suvremena nastavna tehnologija ne negira tradicionalne pristupe nastavi već se na njima temelji i proširuje broj i značaj didaktičkih elemenata nastave sagledavajući ih u novim odnosima (didaktički mnogokut). Razrada sadržaja učenja i poučavanja u jedinicama DOS-a prati tradicionalnu metodiku poučavanja matematike. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 28

U uvodu se opaža/uvodi problem pri čemu se u najvećoj mogućoj mjeri koriste primjeri iz svakodnevnog života. Nakon toga se, ovisno o problemu, upotrebljavaju različite znanstvene metode: analiziranje, sintetiziranje, apstrahiranje, induciranje, deduciranje, generaliziranje, specijaliziranje ili upotreba analogija. Da bi se u potpunosti usvojio sadržaj dan je niz primjera i zadataka s rješenjima. Sistematizacija i povezivanje sadržaja te procjena znanja, također su sastavni dio DOS-a. Samoprocjena daje učeniku samostalnost pri učenju, ali zahtjeva i odgovornost te smjernice za daljnje učenje. Multimedijski elementi doprinose motivaciji, boljem razumijevanju sadržaja i aktivnom sudjelovanju učenika u nastavi. U DOS-u se nastavnici susreću s digitalnim alatima i raznim digitalnim sadržajima. Radi lakše implementacije digitalnih tehnologija u nastavu matematike u ovaj priručnik je uključen popis digitalnih alata, svrha korištenja i poveznice na kojima se nalaze detaljne upute. Navedeni su dodatni materijali i poveznice na sadržaje koji mogu pomoći u izvođenju nastave uz DOS te poveznice na izvore gdje nastavnici sami mogu pronaći i odabrati odgovarajuće sadržaje (animacije, simulacije, video materijale, izvore na kojima se nalaze prijedlozi pokusa i učeničkih projekata te stručne članke vezane uz područje matematike koje obrađuje modul). To je pomoć nastavniku u uvođenju novih oblika učenja. Implementacija digitalnih tehnologija u nastavu matematike dodatno motivira učenike i nastavu čini maštovitom i atraktivnom. Digitalni alati i sadržaji imaju značajnu ulogu u provođenju mjerenja i obradi rezultata, a simulacije zorno predočuju procese koje iz različitih razloga inače nismo u mogućnosti tako jasno vidjeti. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 29

Motivacija, poticanje i vrednovanje uz DOS Motivacija je unutarnja snaga koja pokreće čovjeka na aktivnost i usmjerava ga k ostvarenju određenog cilja. Motiviranje učenika za nastavu obuhvaća sve što potiče na učenje, usmjerava ga, i potiče osobni interes za određeni predmet ili područje te povećava osobnu razinu postignuća. Motivacija u nastavi sastavni je dio uvodnog dijela nastavnog sata pri uvođenju i predstavljanju problema, no može biti prisutna u svim stadijima nastavnog sata: pri obradi, vježbanju ili ponavljanju nastavnih sadržaja. Većina jedinica DOS-a započinje motivacijskim primjerom. Najčešće su primjeri povezani sa svakodnevnim životom i osobnim iskustvima učenika. U razradi sadržaja naći ćete zanimljivosti koje možete koristiti kao motivacijske elemente u bilo kojem dijelu sata. Interaktivnost i elementi igre također motiviraju učenike. Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda u svakom modulu DOS-a osmišljena je u obliku interaktivnih provjera znanja, vještina i mišljenja i učenicima služi za ponavljanje te im daje povratnu informaciju o točnosti rješenja i o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda pojedinog modula. Samoprocjenom i praćenjem vlastitog napretka učenik na temelju osobnih postignuća dobiva smjernice za daljnje učenje. Svrha ovakvih procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda u cjelovitom digitalnom obrazovnom sadržaju je pedagoško-motivacijska. Na kraju nekih jedinica je nekoliko konceptualnih pitanja i zadataka kojima se ostvaruje svrha ovakvih procjena. Dodatno, u posebnoj jedinici (Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda) možete pronaći više interaktivnih zadataka za provjeru usvojenosti svih odgojnoobrazovnih ishoda cijeloga modula. Zadaci koji su sastavni dio procjene oblikovani su na jedan od sljedećih načina: odabir točno/netočno višestruki odabir s više točnih odgovora odabir jednog točnog odgovora (uključujući i matematičke simbole i jednostavne formule) uparivanje odgovora uparivanje povlačenjem i postavljanjem elemenata (teksta, slika, dijelova ili cijelih formula i simbola) grupiranje (razvrstavanje) elemenata uređivanje poretka elemenata odabir i umetanje riječi koje nedostaju iz ponuđenih odgovora Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 30

umetanje riječi koje nedostaju upisom numeričko umetanje (mogućnost zadavanja intervala brojeva u kojem se nalazi rješenje) povlačenje riječi koje nedostaju iz ponuđenih odgovora povlačenje rješenja na sliku (npr. dijagram i sl.). Prilikom rješavanja zadataka kod kojih se očekuje od učenika upisivanje riječi koja nedostaje, obrazovni sadržaj neće, kao točno, prihvatiti rješenje koje je matematički točno, ako je riječ pogrešno napisana (pravopisna pogreška). Ova opaska nije unesena u obrazovne sadržaje kako se pažnja učenika ne bi skrenula s matematike na pravopis, no u takvim situacijama bit će potrebna pomoć nastavnika. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 31

Suvremene nastavne metode i DOS DOS omogućava učenje i poučavanje u različitim okruženjima i različite pristupe učenju i poučavanju. U školskom okruženju DOS je moguće koristiti za rad u učionici opće namjene. Poželjno je da učionice budu opremljene prijenosnim ili stolnim računalima, interaktivnom pločom ili pametnim ekranom i sl. Osobitost DOS-a je mogućnost njegova korištenja na raznim uređajima (mobilni telefoni, tableti, prijenosna i stolna računala) te je pogodan i za rad izvan školskog okruženja. Kroz aktivnosti za učenje, način prezentacije sadržaja i elemente za procjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda DOS stavlja težište na promicanje suvremenih nastavnih metoda, na strategije i pristupe kao što su rješavanje problema, istraživačka i projektna nastava i suradničko učenje te razvoj kritičkog mišljenja, sposobnosti rješavanje problema i donošenja odluka, metakogniciju, digitalnu pismenost i aktivno građanstvo. U skladu s prirodom nastave matematike i matematike kao znanstvenog područja, DOS osobito snažan naglasak stavlja na aktivnosti koje potiču iskustveno učenje, projektno učenje i učenje kroz istraživanje. DOS sadrži interaktivne elemente u kojima učenici imaju mogućnost mijenjanja vrijednosti različitih parametara te na temelju rezultata uočavaju pravilnosti, postavljaju i provjeravaju hipoteze, a metodom nepotpune indukcije donose opće zaključke. Multimedijski i interaktivni elementi omogućuju aktivno i iskustveno učenje usmjereno prema pitanjima, problemima i istraživanjima, konstruiranje znanja utemeljeno na problemima i projektima te razvijanje učenikovih kompetencija za snalaženje u novim situacijama. Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 32

Metodičko-didaktički aspekti uporabe DOS-a u radu s učenicima s posebnim obrazovnim potrebama Kao što je na početku priručnika navedeno, metodičko-didaktički prijedlozi za učenike s posebnim obrazovnim potrebama koji uključuju darovite učenike kao i učenike s različitim teškoćama slijede svaku nastavnu jedinicu kao i aktivnosti za samostalno učenje. Inkluzivni pristup u procesu obrazovanja podrazumijeva učenje o različitosti od strane drugih kao i jedan podržavajući i ravnopravni odnos. U nas se već niz godina njeguje inkluzivni pristup u smislu uključenosti učenika s teškoćama u sustav obrazovanja na način da su uvažene njihove individualne potrebe putem uvođenja različitih prilagodbi i osiguravanja podrške. Učenici s teškoćama su heterogena skupina pa tako zadatak koji je težak jednom učeniku s disleksijom neće biti težak drugome učeniku s istom teškoćom. Kako bi im se osigurala primjerena podrška prilikom obrazovanja, važno je prepoznavati te razumjeti njihova obilježja i poznavati osnovne vrste prilagodbi. Timski rad u okviru kojega surađuju predmetni nastavnici, stručni tim škole, pomoćnici i roditelji bi trebao iznjedriti različite mogućnosti prilagodbe za što učinkovitije usvajanje sadržaja iz matematike i fizike za svakog učenika ponaosob. Metodičkodidaktički prijedlozi koji se odnose na učenike s teškoćama su u početnim modulima i jedinicama napisani na način da obuhvate temeljne smjernice za svu djecu s teškoća te su kroz daljnje jedinice razrađeni specifično u odnosu na sadržaj same jedinice kao i na obilježja određene teškoće. Primjerice, u matematici za osmi razred, u nastavnoj jedinici 1.2. koja se odnosi na uređene parove nastavnicima je sugerirano da obrate pažnju na jezično složenije zadatke koje valja pojednostaviti i popratiti vizualnim primjerima kako za učenike koji se školuju po prilagođenom programu tako i za učenike s disleksijom i/ili diskalkulijom: Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 33

U prijedlozima se nastavnike podsjeća na uporabu funkcionalnosti koje su ugrađene u DOS-ove, a mogu olakšati praćenje nastave učenicima sa specifičnim teškoćama učenja kao i onima koji imaju teškoće vizualne obrade (promjena fonta, boje pozadine, uvećanje zaslona). Nadalje, ostvarene su poveznice između samoga gradiva i obilježja teškoća koje mogu probuditi učenikov interes za nastavne sadržaje, na primjeru iz fizike (sedmi razred, jedinice 1.5 i 1.7): Za učenike s poremećajem iz spektra autizma preporučuje se povezati masu tijela i mjerne jedinice s interesima učenika koji su često iznimno izraženi ili atipični u svim zadatcima u kojima je to moguće. Primjerice, ako učenik voli kuhanje, može ostalim učenicima demonstrirati svoj omiljeni recept kao i mase pojedinih sastojaka. Uvijek je važno uzeti u obzir moguću senzoričku preosjetljivost učenika s poremećajem iz spektra autizma na određene podražaje te u skladu s tim prilagoditi nastavnu jedinicu (miris svijeće s aromom vanilije). Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju teškoće nisu zamišljeni na način da osiguravaju prilagođeni materijal za poučavanje niti svojevrsni recept, već nastavnike podsjećaju na prilagodbu načina poučavanja i one segmente nastavne jedinice koje bi trebalo dodatno pojasniti, ponoviti, pojednostaviti, predstaviti na drugačiji način ili na razinu složenosti zadataka od kojih valja odabrati one jednostavnije. U prijedlozima je naglašena važnost uporabe pomagala koja olakšavaju učenje te svih aspekata digitalne tehnologije. Inkluzivni pristup podrazumijeva uvažavanje različitosti koje je izrazito važno razviti kao vrijednost kod učenika tipičnoga razvoja zbog čega se, uz ostale prijedloge, preporuča provoditi što više vršnjačke suradnje (primjerice u aktivnostima za slobodno učenje). Matematika 1 / Uvodni dio priručnika Priručnik za nastavnike 34

Modul 3:Algebarski izrazi Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće MODULA Izvesti formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata i kubova, zbroj kubova Rastavljati algebarske izraze na faktore Računati s algebarskim izrazima i razlomcima Odgojno-obrazovni ishodi Primijeniti formule pri računanju s algebarskim izrazima Računati s algebarskim razlomcima Razviti upornost i preciznost u radu Generičke kompetencije Sposobnost donošenja odluka Sposobnost kritike i samokritike Volja za uspjehom Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja ovog modula DOS-a U razradi sadržaja cijelog modula naglasak je na pisanju i čitanju matematičkog teksta i pojmova primjenom varijabli i konstanti, odnosno algebarskim izraza. U prvoj jedinici Algebarski izrazi učenici će zapisivati tekst matematičkim simbolima i obrnuto te naučiti razlikovati algebarske izraze i dijelove algebarskih izraza, kao i njihove nazive. Povezat će razna područja matematike u kojima se upotrebljavaju algebarski izrazi. U drugoj jedinici Vrijednost algebarskog izraza ukazuje se na razliku između vrijednosti brojevnog i algebarskog izraza. Važno je da učenici usvoje da brojevni izraz ima samo jednu vrijednost, dok algebarski izraz može poprimiti gotovo bilo koju vrijednost, ovisno o tome koje brojeve uvrštavamo umjesto varijabli. To će uvidjeti računajući vrijednosti za razne brojeve. Treća jedinica Računske radnje s polinomima obrađuje zbrajanje i množenje algebarskih izraza. Kod zbrajanja je važno naglasiti da se mogu zbrajati samo istoimeni članovi. Općenito se pri računanju primjenjuju ista svojstva kao pri računanju s realnim brojevima. Priručnik za nastavnike 35

U četvrtoj i petoj jedinici Kvadrat i kub binoma i Razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova uvode se formule za kvadrat i kub binoma, zbroj kubova te razliku kvadrata i kubova. Te se formule uvježbavaju kroz razne zadatke, a važno ih je usvojiti kako bismo pojednostavnili i ubrzali računanje s algebarskim izrazima. Važno je da učenici prepoznaju i raspisane oblike tih formula da mogu jednostavno provesti obrnuti postupak, tj. faktorizaciju. Šesta jedinica Faktorizacija posvećena je faktorizaciji algebarskih izraza. To je zahtjevna tema za mnoge učenike, pogotovo u složenijim zadatcima. Zato ju je važno postupno uvesti u jednostavnim zadatcima, ustrajati u analizi danoga izraza i uočavanju pravilnosti koja će omogućiti rastav na faktore. U sedmoj jedinici Racionalni algebarski izrazi. Skraćivanje, množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka uvode se racionalni algebarski izrazi. Važno je učenicima pokazati vezu s racionalnim brojevima kako bi ista pravila znali primjenjivati pri množenju i dijeljenju algebarskih razlomaka, a pogotovo pri zbrajanju algebarskih razlomaka koje se uvodi u osmoj jedinici Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka. Tu također treba biti strpljiv i pažljiv te ustrajati u postupnosti pri nalaženju najmanjega zajedničkog višekratnika/nazivnika i izraza kojima razlomke proširujemo. Tu dolazi do izražaja usvojenost faktorizacije. Deveta jedinica Računanje s algebarskim razlomcima objedinjuje računske radnje iz dviju prijašnjih jedinica te se na raznim zadatcima uvježbava računanje s algebarskim razlomcima. Daju se primjeri primjene algebarskih razlomaka u fizici i ostalim matematičkim područjima. Na kraju su modula Aktivnosti za samostalno učenje s pomoću kojih će učenici moći samostalno usvojiti neke dodatne sadržaje, procijeniti usvojenost sadržaja iz prethodnih jedinica na nizu interaktivnih zadataka. Procjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda učenici će naći na kraju modula. Pripremljeni su interaktivni zadatci za formativno vrednovanje. Nakon povratne informacije učenici se mogu vratiti na ono područje koje nisu dovoljno usvojili. Sve jedinice nude i neke izborne i dodatne teme za učenike koji imaju bolje predznanje pa se ne moraju dugo zadržavati na zadatcima unutar jedinice, za učenike koje zanimaju izborne teme pa žele proširiti svoje znanje te za darovite učenike koji žele malo izazovnije teme. Digitalni alati i dodatni sadržaji Popis i kratki savjeti za korištenje digitalnih alata GeoGebra GeoGebra je program dinamične matematike koji ujedinjuje geometriju, algebru i analizu. Program je otvorena koda i dostupan je na hrvatskom jeziku na www.geogebra.org. Priručnik za nastavnike 36

Više o GeoGebri možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/geogebra-interaktivnamatematika/. Kahoot Kahoot je interaktivni digitalni alat za izradu kvizova. Više o Kahootu možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/kahoot-game-based-sustav-za-odgovaranje-i-kvizove/. Crossword Labs Križaljke možete izraditi s pomoću alata Crossword Labs. Više o alatu Crossword Labs možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/crossword-labs-svatko-moze-napraviti-krizaljku/. Coggle Za izradu umnih mapa možete upotrebljavati alat Coggle. Više o alatu Coggle možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/coggle-mentalne-mape/. Dodatni materijali i poveznice za izvođenje nastave uz DOS Pri realizaciji modula Algebarski izrazi mogu vam pomoći i ovi sadržaji e-škole scenarija poučavanja: Veni, vidi, vici... algebru. Dodatni se materijali mogu naći i na Nacionalnom portalu za učenje na daljinu Nikola Tesla (Matematika, Matematika srednje učenici). S modulom Algebarski izrazi povezane su lekcije iz Teme Matematička lektira: Tahan, Malba. 2003. Čovjek koji je brojio. Izvori. Zagreb. Poveznice na dodatne izvore i važne reference za nastavnika Možda bi vas mogle zanimati i ove teme: http://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/%c4%8cot02.pdf http://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/jak24.pdf Priručnik za nastavnike 37

Operativni plan Modul Jedinice DOS-a Broj sati 3. Algebarski izrazi 18 + 1 3.1. Algebarski izrazi 1 3.2. Vrijednost algebarskog izraza 1 3.3. Računske radnji s polinomima 2 3.4. Kvadrat i kub binoma 2 3.5. Razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova 2 3.6. Faktorizacija 3 3.7.Racionalni algebarski izrazi. Skraćivanje, množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka 2 3.8.Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka 2 3.9. Računanje s algebarskim razlomcima 2 Aktivnosti za samostalno učenje 1 Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda Priručnik za nastavnike 38

3.1. Algebarski izrazi Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Naučiti i koristiti pojmove povezane uz algebarski izraz kao što su varijabla, konstanta, koeficijent, istoimeni članovi Naučiti vrste algebarskih izraza i njihove nazive Odgojno-obrazovni ishodi Prevesti matematički tekst ili dijagram u algebarski izraz i obrnuto Razlikovati algebarske izraze prema vrsti i broju članova Generičke kompetencije Sposobnost razlikovanja Sposobnost čitanja i razumijevanja matematičkog teksta Priručnik za nastavnike 39

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 1 sat Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija U uvodnom je dijelu odlomak, točnije zadatak iz knjige Malbe Tahana (2003) Čovjek koji je brojio, Izvori, Zagreb. U zadatku se vidi kako su se nekad zadatci zadavali i rješavali upotrebljavajući samo tekst. Isto tako dan je i algebarski pristup rješavanju problema primjenom varijable x. Kao zanimljivost ističe se povijesna činjenica o nastanku naziva algebra. Razrada sadržaja učenja i poučavanja U razradi sadržaja naglasak je na zapisivanju matematičkog teksta i pojmova primjenom varijabli i konstanti, odnosno algebarskih izraza, što je vrlo često učenicima problem. Kako bismo olakšali kasnije rješavanje problemskih zadataka kod jednadžbi, nastojali smo dati nekoliko primjera i interaktivnih zadataka na kojima učenici to mogu uvježbati. Isto tako koristeći se geometrijskim likovima i njihovom površinom ili opsegom učenici mogu lakše predočiti neke algebarske izraze i pronaći njihovu svrhu. Učenici će naučiti razlikovati algebarske izraze i dijelove algebarskih izraza, kao i njihove nazive, što će poslužiti kao priprema za jedinice koje slijede. Završetak Na kraju će učenici još jednom kroz Phet simulaciju uvježbati nove pojmove i njihovo značenje te kroz igru provjeriti jesu li dobro svladali sadržaj jedinice. Dodatni prijedlozi Prijedlog 1 Učenici mogu suradnički (u paru) vježbati zapisivanje algebarskog izraza zadana riječima i obratno. Priručnik za nastavnike 40

Prijedlog 2 Učenicima se može kao matematička lektira dati spomenuta knjiga Čovjek koji je brojio, a nakon čitanja mogu u grupama prezentirati dijelove, odnosno neke zadatke u obliku glume-skeča, plakata i sl. Prijedlog 3 Domaća zadaća može biti izrada geometrijskoga ili nekoga originalnog prikaza poznatih matematičkih, fizičkih i kemijskih formula. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Dobro je učenicima zadati kao mali projekt da istraže i prikažu povijesni razvoj algebre i zapisivanja matematičkog teksta. Za darovite učenike predlažemo logičke zadatke u kojima ima puno matematičkog teksta. Mogu ih naći na mrežnoj stranici http://www.skoljka.org/. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržajiza rad s učenicima koji imaju teškoće u razvoju Kako biste sadržaje ove jedinice prilagodili učenicima s teškoćama u razvoju ili učenicima sa specifičnim teškoćama učenja, treba imati na umu da učenici s teškoćama čine heterogenu skupinu i da odabir prilagodbi treba temeljiti na individualnim obilježjima pojedinog učenika. Opće su smjernice o prilagodbi okruženja, materijala i slično za svaku podskupinu učenika u razvoju i učenika sa specifičnim teškoćama učenja prikazane u početnim jedinicama svakog modula. Neposredno prije ove nastavne jedinice preporučuje se učenicima s teškoćama savjetovati da ponove algebarske izraze (iz 1. modula Matematika 8 ili iz 2. modula Matematika 1). Učenicima s jezičnim teškoćama, ali i drugim učenicima koji imaju nedostatne jezične sposobnosti, treba najaviti uvodni primjer kao tekst iz povijesti u kojem se pojavljuju strana imena (Salim, Beremiz...) te im po potrebi razjasniti nepoznate riječi (npr. draguljar, algebarski). Priručnik za nastavnike 41

Kako bi se lakše usvojili novi pojmovi, važno ih je povezati s primjerom na prvoj ilustraciji i vizualno istaknuti: 3x (x+2) = X = opći broj ili varijabla 3, 2 = konstante (), + = simboli Isto se odnosi i na članove algebarskog izraza (konstanta + varijabilni dio), koji su u nastavnoj jedinici vizualno dobro uočljivi i naglašeni. U pojedinim zadatcima nedostaju razmaci između algebarskih izraza (posebno u 4. primjeru) o čemu valja voditi računa kod učenika sa specifičnim teškoćama učenja. Treba naglašavati ključne pojmove (npr. binom, trinom, itd.) i po potrebi ih izdvojiti/postaviti u prostor učionice da učenicima budu dostupni i vidljivi sve vrijeme. U tekstu postoje složenije rečenice (s umetnutim dijelovima) koje učenicima s jezičnim teškoćama, ali i učenicima s motoričkim teškoćama treba dodatno usmeno pojasniti (npr. Kroz povijest je matematika kao znanost...). Učenicima s motoričkim teškoćama treba osigurati podršku pomoćnika u nastavi pri rješavanju prvog zadatka (povlačenje zapisa), trećeg zadatka (upisivanje odgovora), četvrtog zadatka (odabir odgovora), te 10. i 11. zadatka. Također je važno voditi računa o uvećanju ponuđenih odgovora u drugom zadatku. Ako su kod učenika primijećeni znakovi umora, posebno kod učenika s motoričkim teškoćama, preporučuje se od svake skupine zadataka odabrati dva jednostavnija zadatka koje učenik treba riješiti, npr. u drugom zadatku b) i c). Isti je savjet primjenjiv kod učenika s diskalkulijom. Zadatak u kojem se zahtijeva crtanje (5.) vjerojatno neće biti primjeren za učenike s motoričkim teškoćama. Savjetuje se da se zajednički s učenicima s teškoćama prođe kroz način rješavanja 10. zadatka. Učenicima s teškoćama treba osigurati usmene upute koje će im pomoći da razumiju igru na kraju nastavne jedinice (Poigrajmo se...). S obzirom da se 4. zadatak na određeni način vizualno stapa s preostalim dijelom zadatka, preporuča se izdvajanje zadatka iz cjeline (u editoru uređaja) ili dodatno vođenje odnosno uputa za učenike koji imaju teškoće s vizualnom obradom. Priručnik za nastavnike 42

3.2. Vrijednost algebarskog izraza Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Naučiti razliku između algebarskog i brojevnog izraza Naučiti što znači zamijeniti varijablu brojem Naučiti ispuniti tablicu vrijednosti algebarskog izraza Odgojno-obrazovni ishodi Razlikovati algebarski izraz od brojevnog izraza Izračunati vrijednost algebarskog izraza Generičke kompetencije učinkovitost upornost preciznost Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 1 sat Priručnik za nastavnike 43

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija U uvodnom se dijelu učenici mogu zabaviti slušanjem glasanja zrikavca i procijeniti temperaturu zraka prema broju glasanja u minuti. U primjeru je riječima obrazložen način u vidu neke vrste algoritma kako procijeniti temperaturu u ovisnosti o broju glasanja (n). Razlog je taj što na tom primjeru možemo učenicima objasniti potrebu za zapisivanjem jednog takva algoritma ili postupka, u vidu algebarskog izraza. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Kao i u uvodnom primjeru u nastavku se nastoji objasniti što znači izračunati vrijednost algebarskog izraza i koja je osnovna razlika između algebarskoga i brojevnog izraza. Kroz nekoliko će zadataka učenici uočiti da brojevni izraz ima samo jednu brojevnu vrijednost. Algebarski izraz za svaku zamjenu varijabli postaje brojevni i ima brojevnu vrijednost, što znači da ih može imati više pa i beskonačno. Možda malo neuobičajeno, ali naglasili smo i pojam tablice vrijednosti. Kad se učenici susreću s funkcijama, na neki se način podrazumijeva da se njima znaju koristiti i, pored toliko novih i teških pojmova povezanih s funkcijama, taj se dio zanemari. No iz iskustva znamo da velik broj učenika ne razumije pojam tablice vrijednosti. Tu smo dodali uočavanje pravilnosti i poopćavanje za one koji žele neki dodatni izazov ili su prije drugih svladali predviđeni sadržaj. Završetak Za završetak je predviđen problemski zadatak koji u sebi objedinjuje sve iz ove i ponešto iz prethodne jedinice. Sadržava preoblikovanje zadatka iz teksta u geometrijski i algebarski prikaz te računanje vrijednosti algebarskog izraza za različite dimenzije slika. Dodatni prijedlozi Prijedlog Učenike možemo podijeliti u skupine u okviru kojih će smišljati ili tražiti zanimljive algoritme, a mogu i neka pravila kojima se otkrivaju zagonetke, brojevi, šifre i slično. Skupine se nakon toga zamijene i zapisuju pravilo simbolima, uvrštavaju određene brojeve i rješavaju problem. Priručnik za nastavnike 44

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Izradu kviza i/ili križaljke na temu algebarskih i brojevnih izraza, smišljanje igre na temu pogodi broj. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju Tema glasanja zrikavaca odličan je način da se započne nastavna jedinica. Pritom je važno dati priliku i učenicima s teškoćama da komentiraju vlastita iskustva. Učenicima s poremećajem iz spektra autizma treba najaviti temu prvog videozapisa, posebno ako su preosjetljivi na zvukove. Razliku između pojmova algebarski izraz i brojevni izraz treba protumačiti na primjerima. Ključne pojmove u ovoj nastavnoj jedinici treba sažeti na kraju i na njih skrenuti pozornost učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju te učenicima s motoričkim teškoćama (npr. algebarski izraz, brojevni izraz, vrijednost algebarskog izraza). Učenike s teškoćama važno je usmjeravati na uporabu pojmovnika koji će im pomoći da se podsjete značenja pojedinih pojmova ili samog nazivlja. Preporučuje se napraviti odabir zadataka za učenike s motoričkim teškoćama (više zadataka kao što je prvi zadatak) ili osigurati podršku pomoćnika u nastavi u zadatcima koji zahtijevaju izračun (drugi i treći zadatak) i povlačenje odgovora (šesti zadatak). Kod izrade tablice vrijednosti učenik s motoričkim teškoćama može drugomu učeniku čitati vrijednosti koje se unose u tablicu te tako sudjelovati u samom zadatku. Unutar drugoga i trećeg zadataka poželjno je izdvojiti 3 zadatka koje učenik s motoričkim teškoćama ili učenik s diskalkulijom treba riješiti. Učenik s poremećajem iz spektra autizma koji se spretno snalazi u matematici može dobiti zadatak da prije nastave pripremi mozgalicu za ostale učenike (pretražujući internet ili s pomoću literature koju mu osigura nastavnik). Zadatak s okvirima za fotografije treba popratiti crtežima ili izrezanim dijelovima papira kako bi se što više približili svim učenicima koji imaju teškoće razumijevanja matematičkog jezika. Rješavanje se toga zadatka može organizirati u malim skupinama s jasnim uputama za sve učenike. Priručnik za nastavnike 45

3.3. Računske radnje s polinomima Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Naučiti računati s algebarskim izrazima Prikazati alg. Izraze koristeći površinu pravokutnika Naučiti dijeliti polinome Odgojno-obrazovni ishodi Zbrojiti, oduzeti i pomnožiti algebarske izraze koristeći svojstva računanja s realnim brojevima i potencijama Geometrijski interpretirati množenje jednostavnih algebarskih izraza Generičke kompetencije Sposobnost razrade Sposobnost kombiniranja Sposobnost uspoređivanja Priručnik za nastavnike 46

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 3 sata Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija Kako je ova nastavna jedinica prirodan slijed i nastavak prethodnih dviju u kojima se vrši priprema kako bi se moglo računati s algebarskim izrazima, posebice s polinomima jedne varijable, nije bilo potrebe za nekom posebnom motivacijom. Zapravo počinjemo s fotografijom raznih formula i kao motivaciju ističemo tu potrebu za računanjem s algebarskim izrazima jer se njima koristimo pri izvodima ili dokazima raznih formula. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Kao i prije, i ovdje je naglasak na usporedbi algebarskoga i brojevnog izraza. Kako je svaki algebarski izraz i brojevni za neku zamjenu varijabli, naglašavamo i pokazujemo da sva svojstva pri računanju s brojevima vrijede i pri računanju s algebarskim izrazima. Pritom smo radi zornosti primjenjivali geometrijsku interpretaciju algebarskih izraza i nekih računskih radnji s njima, s pomoću površine pravokutnika. Posebno su istaknuta svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Nastojali smo da do svojstva distributivnosti, kako bi bilo što jasnije, učenici sami dođu koristeći se geometrijskom interpretacijom. Putem interaktivnih primjera i zadataka učenici usvajaju pravila i svojstva računanja. S pomoću 2D animacija pojašnjuje se na primjeru primjena svojstva distributivnosti, množenje članova svaki sa svakim. Posebno smo se osvrnuli i definirali polinome s jednom varijablom. Tu je prirodno mjesto na kojem se o tome može govoriti, a ono posebno se prirodno nameće jest pitanje dijeljenja algebarskih izraza. No nismo htjeli preduboko ulaziti ni u teoriju ni u zadatke. Postupak smo dijeljenja, kao što je uobičajeno, usporedili s pismenim dijeljenjem brojeva i to služeći se videoprezentacijom. Završetak Na kraju se učenicima zadaje da istraže kako izračunati zbroj koeficijenata polinoma s pomoću vrijednosti polinoma. Kao motivacija se postavlja problem u kojem se traži zbroj koeficijenata polinoma napisana u obliku umnoška koji nije moguće izračunati. Priručnik za nastavnike 47

Dodatni prijedlozi Prijedlog Učenicima se može zadati da s pomoću površine pravokutnika prikažu razne algebarske izraze ili da u parovima smišljaju geometrijske prikaze i algebarske izraze. Zatim zapisuju; oni koji su smišljali algebarski prikaz interpretiraju ga geometrijski, a oni koji su imali geometrijski prikaz zapisuju algebarski izraz. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Darovitim se učenicima može dati da napišu opći prikaz ili definiciju polinoma n-tog stupnja i niz zadataka povezanih s djeljivošću polinoma. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju Neposredno prije rješavanja prvog primjera preporučuje se podsjetiti učenike s teškoćama na pojmove kojima označujemo svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Tekst navedenog primjera zasićen je dugačkim brojevnim izrazima zbog čega bi bilo dobro razdijeliti retke između tvrdnji (u editoru uređaja) ili učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju skrenuti pozornost na brojevne izraze i protumačiti im svojstva. Savjetuje se pojednostavnjivanje i/ili ispisivanje šestoga zadatka kako bi učenicima s teškoćama bio pregledniji. Ključne je pojmove i pripadajuće algebarske izraze važno vizualno istaknuti (npr. komutativnost množenja i zbrajanja, itd.) u editoru uređaja ili ih ispisati i postaviti na vidljivo mjesto u učionici. Učenicima s motoričkim teškoćama treba pomoći (objašnjavajući, skicirajući) u geometrijskoj interpretaciji te ako se isti zadatci i nadalje pokažu zahtjevnima, treba smanjiti broj zadataka toga tipa. Pri pojednostavnjenju algebarskih izraza za učenike s motoričkim teškoćama i za učenike s diskalkulijom treba odabrati nekoliko jednostavnijih zadataka (npr. 4. zadatak). Učenici s diskalkulijom lakše će se snalaziti u zadatcima kao što je 7. zadatak i važno je postići ravnotežu kombinirajući ih s njima zahtjevnijim zadatcima koji zahtijevaju računanje i zadatcima koji podrazumijevanju poznavanje teorije (npr. treba kao pauzu među njima zahtjevnije zadatke ubaciti zadatke kao što je 7. zadatak). Priručnik za nastavnike 48

Treba voditi računa da se učenicima s jezičnim teškoćama pojednostavne upute, na primjer objasniti im što se podrazumijeva pod pojmom izračunajte ili im pojednostavniti/pojasniti tekst koji se nalazi u 14. primjeru. Brojni pojmovi u tekstu nisu vizualno naglašeni (npr. najveća potencija, polinom s varijablom x) te je važno na njih skrenuti pozornost učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju. Animaciju koja prikazuje svojstvo distributivnosti i videozapis (13. primjer) treba ponoviti više puta, posebno učenicima s motoričkim teškoćama. U svim zadatcima koji zahtijevaju motoričku aktivnost (npr. povlačenje odgovora ili pisanje) treba voditi računa o tome je li učeniku s motoričkim teškoćama osiguran primjeren stupanj podrške. Uvijek je važnije odabrati reprezentativni dio nastavne jedinice nego ustrajati u tome da učenik koji se brže umara ili kojemu je potrebno više vremena za rješavanje zadataka riješi sve ponuđene zadatke. Priručnik za nastavnike 49

3.4. Kvadrat i kub binoma Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Otkriti formule za kvadrat i kub binoma Dokazati formule za kvadrat i kub binoma Primijeniti znanje o računanju s potencijama i algebarskim izrazima Odgojno-obrazovni ishodi Provesti kvadriranje i kubiranje binoma koristeći formule Zapisati višečlani algebarski izraz kao kvadrat i kub binoma koristeći formule Primijeniti formulu za kvadrat i kub binoma pri računanju s algebarskim izrazima Generičke kompetencije Sposobnost uočavanja Sposobnost generalizacije Sposobnost sistematičnosti i postupnosti Priručnik za nastavnike 50

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 2 sata Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija U uvodnom se dijelu daje primjer kvadrata zbroja dvaju cijelih brojeva koji se jednostavno izračuna. Sljedeći je primjer kvadrat zbroja iracionalnoga i cijeloga broja te se očekuje da će učenicima zatrebati formula. Osim toga geometrijskom se interpretacijom kvadrata zbroja 2 + 5 može uočiti da kvadrat zbroja nije jednak zbroju kvadrata. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Nakon što se formula za kvadrat zbroja dokaže algebarski, učenici će u interakciji sami provesti geometrijsku interpretaciju formule preko površine likova. Nakon nekoliko jednostavnih zadataka za uvježbavanje formule za kvadrat zbroja slijedi formula za kvadrat razlike. Učenici će sami provesti praktičnu vježbu kojom će presložiti kvadrate i pravokutnike za geometrijsku interpretaciju formule za kvadrat razlike. Ta je vježba malo složenija jer se površine oduzimaju te će neki učenici trebati pomoć nastavnika. Nakon toga slijedi algebarski dokaz formule. Dokaz se može provesti i uvrštavanjem b u formulu za kvadrat zbroja. Slijedi nekoliko zadataka za uvježbavanje i za praktičnu primjenu formule. Nadalje se očekuje da će učenici prepoznati raspisani izraz te ga zapisati kao kvadrat binoma, odnosno faktorizirati tročlani izraz. Kroz interaktivni zadatak učenici mogu ponoviti faktorizaciju onoliko puta koliko žele. Sljedeća je tema kub binoma. Nakon animacije koja interpretira formulu za kub zbroja s pomoću obujma kvadra slijedi algebarski dokaz formule. Nakon nekoliko zadataka za uvježbavanje formule uvodi se formula za kub razlike. Slijedi nekoliko zadataka s praktičnom upotrebom formula za kub binoma. Završetak Na kraju se utvrđuju formule i nazivi, a učenici će samostalno, kroz procjenu, provjeriti usvojenost ishoda. Dodatni prijedlozi Prijedlog 1 Priručnik za nastavnike 51

Nastavnik se može dulje zadržati na zadatcima s konkretnim brojevima kako bi se učenici uvjerili da kvadrat zbroja nije jednak zbroju kvadrata, što je česta pogreška koju učenici rade. Također je dobro dati konkretan primjer s brojevima čim se uoči takvo pogrešno zaključivanje. Prijedlog 2 Učenici mogu sami odabrati načina dokazivanja formule za kvadrat razlike, računanjem (a b)(a b) ili uvrštavanjem b u formulu za kvadrat zbroja. Prijedlog 3 Nastavnik učenicima može zadati zadatak da kod kuće izrade kvadre odgovarajućih dimenzija kako bi provjerili formule za kub binoma. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: izbornu temu proučavanja, dokazivanja i usvajanja formule za kvadrat trinoma koju učenici mogu samostalno prijeći za rad s darovitima dodatnu temu istraživanja pravilnosti i određivanja konačnog zbroja kvadrata binoma. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju Važno je naglašavati ključne izraze i pojmove tako da se učenike više puta usmjerava na same izraze ili da se oni ispišu/uvećaju i postave na vidljivo mjesto (kvadrat zbroja =, kvadrat razlike =..., kub zbroja = ) zbog teškoća u prisjećanju činjenica i matematičkih operacija karakterističnih za učenike s diskalkulijom. Kod učenika sa specifičnim teškoćama u učenju treba biti oprezan kod zadataka koji zahtijevaju izračun bez olovke, papira i džepnog računala (svakako promijeniti zadane kriterije i dopustiti izračun s olovkom i papirom ili učenicima osigurati zamjenski zadatak). Učenicima s motoričkim teškoćama treba osigurati pomoć pri rješavanju zadatka popločavanja praznog kvadrata (1. zadatak ili I na kraju...) te prema potrebi smanjiti broj zadataka koje učenik treba riješiti (npr. u 4. i 5. zadatku). Pri izvođenju praktične vježbe učenik s motoričkim teškoćama može komentirati s drugim učenicima ili davati prijedloge o načinu slaganja kvadrata. Priručnik za nastavnike 52

Ilustracija koja prikazuje kvadrat zbroja odnosno razlike može zaokupiti pozornost učenika s poremećajem iz spektra autizma zbog čega ju je važno unaprijed komentirati. Priručnik za nastavnike 53

3.5. Razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Otkriti formule za razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova Dokazati formule za razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova Rastavljati na faktore algebarske izraze primjenjujući formule za razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova Odgojno-obrazovni ishodi Prepoznati razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova Zapisati razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova u obliku umnoška i obratno koristeći formule Primijeniti razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova pri računanju s algebarskim izrazima Generičke kompetencije Sposobnost samostalnog rada Sposobnost povezivanja Kritičnost Priručnik za nastavnike 54

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 2 sata Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija U uvodu se postavlja problem brzog računanja napamet. Primjena formula može pomoći pri mentalnom računu. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Razlika kvadrata Učenici će praktičnim radom, koji se može organizirati kao rad u skupini, izrezati razliku kvadrata iz papira te ju presložiti u pravokutnik. Tako će na modelu površine otkriti formulu za razliku kvadrata. Istu formulu možemo dobiti na različite načine, a jedan je od njih prikazan u animaciji. Formulu ćemo zapisati i dokazati algebarski. U nizu zadataka učenici će uvježbati primjenu formule. Među zadatcima ima jednostavnijih, ponavljajućih zadataka u kojima učenik sam određuje dovoljan broj ponavljanja zadataka potreban da bi usvojio i uvježbao primjenu formule. Slijedi aktivnost u kojoj će učenici otkriti da je razlika kvadrata nekoga prirodnoga broja i kvadrata njegova prethodnika uvijek neparan broj. Učenici će najprije računati s konkretnim vrijednostima, zatim generalizirati nepotpunom indukcijom, zapisati pravilnost algebarski te ju dokazati. Na kraju dijela o razlici kvadrata vraćamo se na uvodni primjer s obrazloženjem jednostavnijega mentalnog računa primjenom formule za razliku kvadrata. Razlika i zbroj kubova Započinjemo animacijom u kojoj će učenici na modelu volumena otkriti formulu za razliku kubova. Slijedi algebarski dokaz. Formulu za zbroj kubova učenici mogu naslutiti analogijom, a pripremljena je interakcija koja im može pomoći u otkrivanju formule. Učenici će pogoditi formulu koju mogu dokazati algebarski. Pokazan je i drugi način, odnosno ideja dokaza u kojem supstituiramo b u formulu za razliku kubova. Prirodno će se postaviti pitanje zbroja kubova te se uočava da strategija uvrštavanja b u formulu za razliku kvadrata neće dovesti do formule za zbroj kvadrata. Smatramo da je važno učenicima pokazati i primjere u kojima pojedine strategije ne dovode do rezultata. Slijede zadatci za vježbu. Vraćamo se na pitanje zbroja kvadrata te zaključujemo da se zbroj kvadrata u skupu R općenito ne može faktorizirati, ali da postoje neki zbrojevi kvadrata koji se mogu faktorizirati. Nastavnik treba pomoći učenicima da shvate razliku između općeg i pojedinačnog svojstva. Za darovite je učenike pripremljena aktivnost o identitetu Sophie Germain. Tu je ujedno dobra prilika da učenici vide primjer žene u matematici, što osobito može pridonijeti uspjehu djevojaka u razvijanju samosvijesti i poticanju djevojaka na bavljenjem matematikom. Priručnik za nastavnike 55

Završetak Za kraj je pripremljeno nekoliko zadataka u kojima će učenici moći provjeriti jesu li ostvareni ishodi učenja. Dodatni prijedlozi Prijedlog 1 Vježbu primjene formula učenici mogu provesti kao samostalni rad, a može se organizirati i rad u skupinama. Prijedlog 2 Učenici mogu pronaći još podataka o životu i radu matematičarke Sophie Germain te o tome snimiti video. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Učenici mogu pripremiti za vježbu kviz u Kahootu. Za darovite učenike pripremljena je aktivnost o identitetu Sophie Germain. Učenici će otkriti identitet, a pripremljena su i dva zadatka iz teorije brojeva u kojem će ga primijeniti. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju Početnu ilustraciju treba komentirati kako je učenici s poremećajem iz spektra autizma ne bi pogrešno interpretirali (znoj kao suze). Za učenike s diskalkulijom savjetuje se osigurati uporabu džepnog računala i ne ustrajati u brzom rješavanju učenika (sve suprotno od zahtjeva Na početku...). Nove formule, ali i formule iz prethodne jedinice treba postaviti na vidljivo i pristupačno mjesto (na zaslonu, na papiru, na zidu, itd.). Pojedini zadatci u kojima se vrijednosti vrlo malo razlikuju (11. zadatak) mogu biti zahtjevni za učenike s diskalkulijom (prednost se daje jednostavnijim, ali i raznolikim zadacima). Uvijek je važno provjeriti jesu li učenici s jezičnim teškoćama razumjeli sve upute i pojmove (npr. faktorizirati). Učenici s motoričkim teškoćama ne mogu možda sudjelovati u izrezivanju kvadrata, ali može im se dati neki drugi zadatak u okviru praktične vježbe (da usporede/komentiraju/izvijeste). Istoj Priručnik za nastavnike 56

skupini učenika je važno osigurati podršku kod zadataka u kojima se traži povlačenje odgovora (zadatak 3, 5) i/ili zapisivanje (zadatak 7). Učenici s poremećajem iz spektra autizma i učenici s poremećajem pažnje unaprijed mogu dobiti uputu da pripreme glavne činjenice o životu Sophie Germain. Priručnik za nastavnike 57

3.6. Faktorizacija Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Izlučiti zajednički faktor Primijeniti razne formule za algebarske izraze pri faktorizaciji izraza Primijeniti znanje računanja s potencijama i algebarskim izrazima Odgojno-obrazovni ishodi Razlikovati faktorizirane algebarske izraze od onih koji to nisu Rastaviti algebarski izraz na faktore primjenjujući svojstvo distributivnosti Rastaviti algebarski izraz na faktore primjenjujući formule Primijeniti metode faktorizacije pri računanju s algebarskim izrazima Generičke kompetencije Sposobnost sistematičnosti i postupnosti Učenje iz vlastitih grešaka Sposobnost samostalnog rada Priručnik za nastavnike 58

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 3 sata Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija U uvodnom se dijelu pokazuje veza prostih i složenih brojeva s prostim i složenim algebarskim izrazima. Daje se geometrijska interpretacija rastavljanja na faktore kako bi učenici uočili da se neki izrazi i brojevi ne mogu prikazati kao pravokutnici čije stranice nisu duljine 1. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Kao najjednostavnija se uvodi faktorizacija izlučivanjem zajedničkog faktora. Dani su i primjeri grupiranja višečlanih algebarskih izraza koji se dalje faktoriziraju izlučivanjem zajedničkog faktora koji može biti i izraz. Tu naročito treba biti pažljiv pri izlučivanju broja ili izraza s negativnim predznakom. Za faktorizaciju je kvadratnog trinoma pripremljen videozapis u kojemu se detaljno objašnjava postupak. Slijedi uvježbavanje na nekoliko zadataka. S pomoću faktorizacije kvadratnog trinoma možemo zapisati izraz kao potpuni kvadrat, a za to imamo i formulu koju ćemo primjenjivati. Kroz interaktivni zadatak učenici mogu vježbati faktorizaciju kvadrata binoma. Slijede primjeri rastavljanja s pomoću formula za kub binoma, razliku kvadrata i zbroj i razliku kubova. U složenijim se zadatcima očekuje upornost i domišljatost u prepoznavanju metode kojom ćemo izraz zapisati kao umnožak. Učenicima treba naglasiti da faktorizaciju treba provesti do kraja, dok ne rastave na proste algebarske izraze. Navedeno je i nekoliko primjera praktične uporabe faktorizacije. Završetak Za kraj se učenici mogu podsjetiti pravila potencija te ih primjenjivati pri faktorizaciji. U procjeni mogu samostalno provjeriti usvojenost ishoda učenja. Dodatni prijedlozi Prijedlog Učenici mogu upotrebljavati interaktivne zadatke s algebarskim pločicama za vizualizaciju rastavljanja na faktore. Priručnik za nastavnike 59

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Učenici mogu smisliti zadatke slične zadatcima koji su ponuđeni na kraju jedinice, sa složenijim izrazima s općim brojem u eksponentu. Za rad s darovitima predlažemo dodatnu temu faktorizacije kvadratnog trinoma s pomoću formule za razliku kvadrata. Daroviti učenici mogu istraživati kako rastaviti zbrojeve i razlike potencija višeg reda i za koje se potencije faktorizacija može provesti. Kao dodatne zadatke daroviti učenici mogu rješavati zadatke s internetske stranice udruge Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić, npr. algebarski izrazi. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju U uvodnome tekstu pojedine ključne riječi nisu vizualno naglašene (prosti i složeni brojevi). Formule koje će se primjenjivati pri faktorizaciji moraju biti dostupne kako bi se na njih učenici na vrijeme podsjetili. Pri prikazivanju algebarskog izraza treba osigurati pomoć učenicima s motoričkim teškoćama (pri slaganju različitih pravokutnika i u 3. zadatku kod brojnih izraza koje treba upariti). Prvi je zadatak dobar primjer uvježbavanja gradiva za učenike s motoričkim teškoćama, kao i za sve učenike koji otežano usvajaju matematička znanja. Ako se ostali zadatci pokažu prezahtjevnima za učenike s motoričkim teškoćama, preporučuje se odabir manjeg broja zadataka (unutar pojedinog zadatka). Učenici s teškoćama koji preferiraju vizualni modalitet može biti koristan videozapis (3. primjer) u kojem se prikazuje faktorizacija kvadratnog trinoma. Preporučuje se organizirati manju skupinu učenika koja će dobiti zadatak da pripremi kratak videozapis s temom rastavljanja na faktore izlučivanjem zajedničkog faktora (ili drugo) pri čemu će biti motivirani i gledatelji i glumci. Priručnik za nastavnike 60

3.7. Racionalni algebarski izrazi. Skraćivanje, množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Definirati racionalni algebarski izraz Kratiti algebarske razlomke Množiti i dijeliti algebarske razlomke Odgojno-obrazovni ishodi Računati vrijednost racionalnog algebarskog izraza Povezati koncept skraćivanja, množenja i dijeljenja algebarskih razlomaka i brojevnih razlomaka Primijeniti skraćivanje, množenje i dijeljenje pri računanju s algebarskim razlomcima Generičke kompetencije Sposobnost generalizacije Sposobnost analogije Kreiranje novih ideja Priručnik za nastavnike 61

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 2 sata Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija Učenici će, promatrajući niz brojevnih razlomaka, otkriti vezu između brojnika i nazivnika razlomaka, zapisati tu vezu algebarski te tako otkriti algebarski razlomak ili racionalni algebarski izraz. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Učenici će računati vrijednost jednostavnoga racionalnoga algebarskog izraza te uočiti osnovna svojstva i vrijednosti za koje je definiran. Primijenit će vrijednosti racionalnoga algebarskog izraza u dva primjera iz realnog konteksta. Povezat će kraćenje algebarskih i brojevnih razlomaka te otkriti kada se algebarski razlomak može kratiti. Slijedi nekoliko zadataka u kojima će učenici vježbati kraćenje algebarskih razlomaka. Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka povezat će s množenjem i dijeljenjem brojevnih razlomaka. Završetak Na kraju je primjer u kojem će učenici, računajući po zadanom algoritmu, uvijek dobiti vrijednost 1. Zašto se to događa? Učenici će moći odgovoriti na to pitanje ako algoritam opišu algebarski, odnosno zapišu algebarskim razlomkom te ga skrate. Učenici mogu sami smisliti neki sličan algoritam. Dodatni prijedlozi Prijedlog Vježbu skraćivanja algebarskih razlomaka učenici mogu provesti u četveročlanim skupinama. Svaki učenik na svom papiru zapiše jedan do kraja skraćeni algebarski razlomak. Svi predaju papir učeniku desno od sebe. Učenici prošire razlomak koji su dobili. Preklope papir tako da se početni razlomak ne vidi, dopišu prošireni i predaju papir desno od sebe. Razlomak koji su dobili skrate, preklope papir da se prethodni ne vidi i dopišu svoj. Razmjenjuju papir dogovoreni broj puta, ali tako da je posljednji zapisani u skraćenu obliku. Kad na kraju otvore sve preklopljene dijelove papira, među zapisanim bi se razlomcima trebao moći staviti znak jednakosti i posljednji zapisani trebao bi biti jednak prvomu. Ako nije tako, treba pronaći grešku. Priručnik za nastavnike 62

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Učenici mogu izraditi neki jednostavni algoritam koji će se moći opisati algebarskim razlomkom. Koristeći se svojim algoritmom, mogu u razredu odigrati igru s brojevima. Daroviti učenici mogu na uvodnom primjeru niza brojevnih razlomaka uočiti da se vrijednosti članova niza približavaju nekom broju. Tu se ne misli da bi učenici trebali usvojiti formalne definicije limesa niza ni formalne dokaze povezane s limesom. Cilj je aktivnosti uočavanje pravilnosti. Svakako se može s učenicima komentirati da ta uočavanja pravilnosti nemaju snagu dokaza, kao i da bez dokaza ne možemo biti uvjereni da uočena pravilnost zaista vrijedi. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju Učenicima s poremećajem iz spektra autizma treba najaviti sadržaj uvodnog videozapisa i prateći glas. Učenicima s jezičnim teškoćama treba pomoći oko razumijevanja problemskih zadataka i postavljanja odgovora (1. primjer i 4. zadatak). Kraćenje se algebarskih razlomaka može pokazati zahtjevnim za učenike s diskalkulijom, ali i za učenike s motoričkim teškoćama. Za navedene skupine učenika savjetuje se produživanje vremena rješavanja zadataka ili postavljanje jednostavnijih zadataka (kraćih) te generalno posvećivanje više pozornosti drukčijem tipu zadataka (7. zadatak). U drugom zadatku treba dodatno pojasniti uputu, ali i usmjeravati pozornost učenika čak i u slučaju uvećana zaslona (razmaci su između izraza mali). Zadatak smišljanja magičnog trika preporučuje se organizirati u manjim skupinama učenika s jasnim uputama ako se u skupini nalazi učenik s teškoćama. Ponekad je upute važno popratiti i sugestivnim potpitanjima kako bi se učenicima s teškoćama olakšalo razumijevanje onoga što se od njih očekuje. Priručnik za nastavnike 63

Preporuča se vizualno urediti drugi zadatak na način da se ubaci više više prostora između zadataka (u editoru uređaja) što je važno za one učenike koji imaju teškoće s vizualnom obradom informacija. Priručnik za nastavnike 64

3.8. Zbrajanja i oduzimanje algebarskih razlomaka Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Računati zajednički višekratnik algebarskih izraza Svoditi algebarske razlomke na zajednički nazivnik Zbrajati i oduzimati algebarske razlomke Odgojno-obrazovni ishodi Odrediti zajednički višekratnik algebarskih izraza Povezati koncept zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka i brojevnih razlomaka Zbrojiti algebarske razlomke Oduzeti algebarske razlomke Generičke kompetencije Sposobnost učenja Sposobnost samostalnog rada Sposobnost generalizacije Priručnik za nastavnike 65

Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 2 sata Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima; za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika. Uvod i motivacija Ilustracija u uvodu pokazuje dva zadatka sa zbrajanjem brojevnih razlomaka i algebarskih razlomaka. U cijeloj će se jedinici podsjećati na radnje s brojevnim razlomcima te na sličan način računati s algebarskim razlomcima. Razrada sadržaja učenja i poučavanja Najprije se učenici podsjećaju algoritma za određivanje najmanjega zajedničkoga višekratnika brojeva. Analogno će određivati najmanji zajednički višekratnik algebarskih izraza, što mogu vidjeti u animaciji. Slijede zadatci za vježbu od kojih je jedan ponavljajući te učenik sam određuje broj zadataka koji treba riješiti. Komentira se najmanji zajednički višekratnik suprotnih izraza. Prelazimo na zbrajanje algebarskih razlomaka. Prvi primjer učenici mogu pogledati u videozapisu u kojem se paralelno zbrajaju brojevni i algebarski razlomci iz uvodnog primjera. Još je jedan primjer detaljno raspisan. Slijede zadatci za vježbu različitih razina složenosti. Završetak U završnom će dijelu učenici zbrajajući zadane brojevne razlomke uočiti njihovu strukturu, zapisati ih općenito generalizirajući nepotpunom indukcijom. Upotrebljavajući opći zapis, izvest će opću formulu za zbroj dvaju razlomka iz tog niza. Dodatni prijedlozi Prijedlog Vježbu zbrajanja algebarskih razlomaka možete provesti i u obliku suradničke aktivnosti kolo naokolo. Učenici rade u skupinama po četvero. Pripreme se četiri analogna zadatka, za svakog učenika po jedan. Učenici na svom zadatku rastave nazivnike na faktore. Zatim predaju papir sa zadatkom učeniku desno od sebe, a prime zadatak od učenika lijevo od sebe. Zatim svi odrede zajednički nazivnik. Ponovno predaju papir sa zadatkom na isti način. Svi svedu algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Predaju papir i srede izraze u brojniku. Priručnik za nastavnike 66

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima Za učenike koji žele znati više predlažemo: Učenici mogu istražiti pravilnosti u Leibnizovu harmonijskom trokutu (https://en.wikipedia.org/wiki/leibniz_harmonic_triangle). Na prvoj su dijagonali brojevi oblika 1/n, a svaki je broj zbroj dvaju brojeva koji se nalaze ispod njega. Učenici mogu računati brojeve na drugoj dijagonali i dokazati da se u n-tom redu trokuta u drugoj dijagonali nalazi broj 1/n(n 1), u n-tom redu trokuta na trećoj dijagonali nalazi se broj 2/n(n 1)(n 2). Za darovite učenike predviđena su dva dokaza jednakosti u kojima treba zbrojiti algebarske razlomke. Više zadataka toga tipa možete pronaći na http://www.skoljka.org/. Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju S obzirom na to da se u animaciji i u tekstu nastavne jedinice pojavljuje kratica nzv, učenicima s teškoćama važno je napomenuti da se radi o pojmu najmanji zajednički višekratnik. Za učenike koji imaju teškoće u pamćenju slijeda matematičkih operacija treba odabrati nekoliko ključnih zadataka, primjerice, kod uparivanja algebarskih izraza (1., 4., 5., i 7. zadatak) važno je da pokušaju upariti dva izraza, a ne nužno riješiti zadatke u cjelini. Isto vrijedi i za 6. zadatak odaberu se jednostavniji razlomci koje treba zbrojiti. Tekst koji prati 1. primjer i projektni zadatak trebat će dodatno pojasniti učenicima koji imaju teškoće jezičnoga razumijevanja. Priručnik za nastavnike 67

3.9. Računanje s algebarskim razlomcima Ciljevi, ishodi, kompetencije Ciljevi i zadaće Izvoditi računske radnje s algebarskim razlomcima Primijeniti znanje računanja s racionalnim brojevima na algebarske razlomke Odgojno-obrazovni ishodi Računati s algebarskim razlomcima primjenjujući faktorizaciju, skraćivanje i računske radnje Odabrati strategiju pri računanju s algebarskim razlomcima Generičke kompetencije Sposobnost uočavanja Sposobnost razlikovanja Sposobnost sistematičnosti i postupnosti Metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 2 sata Priručnik za nastavnike 68