Zašto se \(ne\)uči geometrija

Транскрипт

1 Zašto se (ne)uči geometrija? Crikvenica, travanj Nives Jozić, prof.

2 Pitalica 1. Ispred mene nema nikoga, iza mene su dva 2. Ispred mene je jedan, iza mene je jedan. 3. Ispred mene nema nikoga, iza mene su dva. Kako je to moguće? 2/50

3 Učenje matematike Kroz predmet matematike treba odgovoriti na 3 pitanja: Zašto se uči matematike? Što treba učiti? Kako poučavati? Razvijanje matematičkog mišljenja logičko povezivanje, analiziranje, sistematiziranje, zaključivanje itd. Cilj učenja matematike Formiranje osobe koja je samosvjesna, čvrsta, cijeni prave vrijednosti, može ispravno odlučiti itd. Stjecanje znanja i osposobljavanje za njihovu primjenu u svakodnevnom životu 3/50

4 Zavirimo u povijest Matematika se od prapovijesnih početaka i preko prvih civilizacija razvijala emprijski. U starogrčkoj matematici započinje apstrahiranje i aksiomatiziranje. Na izgradnju sveukupne matematike veliki utjecaj imala je geometrija Ornamenti ukazuju na dominaciju geometrije. Izgradnju geometrije kao znanosti započinje Eukild - deduktivno. 4/50

5 Poznati o geometriji Egipatski faraon: Može li se na jednostavan način naučiti geometrija? Euklid: Vaše visočanstvo, nema kraljevskih putova u geometriji. Platon: Geometrija približava razum istini. Khaldum: Um koji stalno primjenjuje geometriju teško će učiniti pogrešku. 5/50

6 Prvi koraci Spoznajni put učenika treba ići od iskustvenog prema apstraktnom. Čovjek lakše razumije i pamti slike i crteže nego apstraktne simbole i pojmove. Brže uči ono što iskustveno može doživjeti. Učenje u 1. razredu započinje geometrijskim sadržajima: oblicima u prostoru i ravnini te odnosima meñu njima (model se može vidjeti, dodirnuti, napraviti, predočiti, usporediti po veličini) 6/50

7 Što je geometrija? Geometrija grč. γεωµετρία, geo Zemlja, metria mjerenje; zemljomjerstvo Geometrija dio matematike koji se bavi veličinama, oblicima i odnosima meñu njima. Osnovni geometrijski pojmovi: točka, pravac, ravnina i prostor 7/50

8 Geometrija - prva disciplina koja je aksiomatizirana Aksios - grč. tvrdnja koja ne izaziva nikakve sumnje. Principi aksiomatizacije Princip nezavisnosti - aksiomi se ne mogu izvesti deduktivno jedan iz drugoga, niti njihovi dijelovi Princip neproturječnosti iz sustava aksioma se ne može izvući deduktivno i tvrdnja i njena negacija Princip potpunosti sustav daje odgovor na svako pitanje teorije izgrañene iz tog sustava 8/50

9 Geometrija u nastavi je Idealan teren za učenje Najbolje sredstvo za razvijanje matematičkog mišljenja Prikladna za kreativan i istraživački rad 9/50

10 Geometrija u nastavi je Na margini Mnogi je ne vole učiti Privlačna je zbog zornosti. Omražena je zbog apstraktnosti. Mnogi je ne vole poučavati. Neizostavna zbog široke primjene u svim sferama društvene djelatnosti 10/50

11 Razredna nastava 1. razred (25/140 ~ 18%) Tijela u prostoru, ravne i zakrivljene plohe, ravnine i zakrivljene crte, točka 2. razred (12/140 ~ 9%) Stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta 3. razred (40/140 ~ 29%) Ravnina, likovi u ravnini, pravac, polupravac i dužina, pravci koji se sijeku, usporedni i okomiti pravci, krug, kružnica 4. razred (40/140) Kut (pravi, šiljasti i tupi), trokut (vrste obzirom na stranice, pravokutni, opseg), pravokutnik i kvadrat (opseg i površina), kvadar i kocka (obujam kocke) 11/50

12 Predmetna nastava 5. razred (36/140 ~26%) Pravac, polupravac, dužina, simetrala dužine, kružnica i krug, paralelogram, kut (mjerenje, sukuti i vršni kutovi, trokut i vrste trokuta, osnosimetrični likovi. 6. razred (44/140 ~ 31%) Kutovi (uz presječnicu, s okomitim i usporednim kracima), trokut (zbroj kutova, simetrala kuta, konstrukcija kutova, sukladnost, tri osnovne konstrukcije, površina), četverokut (zbroj kutova, konstrukcije paralelograma, površina paralelograma i trapeza). 7. razred (93/140 ~ 66%) Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini, sličnost trokuta i primjena, mnogokuti (pravilni, opseg i površina), kružnica i krug (Talesov poučak, pravac i kružnica, opseg i površina), graf linearne funkcije 8. razred (94/140 ~ 67%) Pitagorin poučak i primjena, preslikavanje ravnine (translacija, osna i centralna simetrija, rotacija), točke pravci i ravnine u prostoru, geometrijska tijela 12/50

13 Gimnazije i tehničke škole 1. razred (40% - 50%) Koordinatni sustav u ravnini, graf linearne funkcije, sukladnost i sličnost, krug i kružnica, izometrije ravnine 2. razred (47% - 58%) Graf kvadratne, eksponencijalne i logaritamske funkcije, trigonometrija pravokutnog trokuta, geometrija prostora 3. razred (62% - 85%) Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe, vektori u ravnini, analitička geometrija 4. razred (17% - 26%) Funkcije, primjena derivacije i integrala, geometrijska vjerojatnost. 13/50

14 Prepreke u učenju 1. Nema postupnosti Učenici najčešće ne uče redovito. Aristotel: Priroda ne čini skokove. U prirodi učenja matematike je proširivanje i nadograñivanje naučenoga. Spiralno programiranje. 14/50

15 Prepreke u učenju 2. Krivo učenje pojmova U nastavi - genetička definicija (opisno, intuitivno objašnjjnje) Učenici najčešće uče iz bilježnice, a u njima često krivo piše. Primjer: Za svaka dva pravca kažemo da su paralelni ako se ne sijeku. Za dva pravca kažemo da su paralelni ako se nalaze u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka ili su im sve točke zajedničke. Uvoñenje novih pojmova definicijom: 15/50 Jasno, točno i sažeto.

16 Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sličan je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole ne znajući kuda se plovi. 16/50

17 Učenici su pisali sve što su znali o trokutu i površini. 3 učenika točno, 21 učenik ništa. 16% D/08. 2B kategorija, 4. Z. Nerazumijevanje pojmova. 17/50

18 Prepreke u učenju 3. Nedostatak predodžbe Geometrijski zor Ima veliku metodičku vrijednost u poučavanju ako se pravilno primjeni. 18/50

19 Zor i njegove zamke Pravi kut jednak je tupom Geometrija je umijeće ispravnog zaključivanja na pogrešnim slikama. Prostorni zor 19/50

20 Iluzija ili stvarnost? 20/50

21 Crtanje geometrijskih likova 21/50

22 Crtanje elemenata geometrijskih likova Ž/2008., 6. r., 5. zadatak Zadan je jednakokračan trokut duljinom kraka 7.5 cm i kutom na osnovici od 75. Kolika je površina trokuta? 0% Visina trokuta Polovica jednakostraničnog trokuta. 22/50

23 Crtanje geometrijskih tijela Perspektiva Koliko je kocaka na slici? 23/50

24 Prostoručno crtanje Crtež na ploči predstavlja model učeniku za crtanje u bilježnicu. Mogu li učenici prostoručno crtati uredno? 24/50

25 Označavanje točaka, duljina, veličina Pitagorin poučak b c a m n h d y z fx g s e 25/50

26 24 22 Izračunavanje površine Direktno: = = = = = P= /50-8

27 Indirektno: =12 P sve = =15 P sve = = P = P = /50-8

28 Ž/08., 5. razred, 4. zadatak 21 učenik točno riješio od 166 učenika 28/50

29 Ž/08., 6. razred, 4. zadatak P P = a a 2 = 3 4 a 2 a a 8 4 učenika točno riješila od ukupno /50

30 Problemski zadatak Pronañi primjer površine kojoj je ploština konačan broj (različit od 0), a opseg beskonačan broj. d1 d2 = 2 dn dn+ 1 = 2 P < P < P TRSU X PRSQ PV > PT 30/50

31 Geometrijska algebra Algebarski problemi se rješavaju pomoću geometrije = 5 2 * 3 = 6 31/50

32 Problemski zadaci (u nižim razredima) Ivan, njegova majka i otac zajedno imaju 90 godina. Ako je otac 6 godina stariji od majke, a majka ima 3 puta više godina od Ivana, koliko svaki od njih imaju godina? = 90 Ivan Majka Otac 7 * = 90 6 = 84 = 84 : 7 = 12 Ivan ima 12 godina, majka 36, a otac 42 godine. 32/50

33 Kvadratni brojevi Zbroj prvih n neparnih brojeva je n-ti kvadratni broj = = = Općenito: n = n 2 33/50

34 Geometrijski red Površina kvadrata upisanih u jednakokračan pravokutan trokut (s krakom duljine a) čini geometrijski niz: a a a,,, Zbrajanje površina čini geometrijski red. 34/50

35 Funkcije u geometriji Preslikavanja geometrijskih skupova točaka Translacija Rotacija Simetrija Homotetija (centralna simetrija) Sličnost Inverzija Projiciranje 35/50

36 Analitička geometrija Geometrijski problemi se rješavaju algebarski u koordinatnom sustavu. Grafovi elementarnih funkcija Primjena kvadratne funkcije Kompozicija elementarnih funkcija Trigonometrijska kružnica 36/50

37 Geometrijska vjerojatnost Geometrijska vjerojatnost predstavlja vjerojatnost slučajnog izbora točke iz podskupa nekog skupa. Omogućava jednostavnije rješavanje nekih problema. Ω A Ω skup točaka; A podskup od Ω µ(ω), µ(a) mjera duljine, površine obujma Vjerojatnost da se nasumce odabere točka iz skupa A: P ( A) = µ ( A) µ ( Ω ) 37/50

38 Geometrijska vjerojatnost 1. Unutar kruga slučajno je odabrana točka. Nañite vjerojatnost da točka bude u: a) Kvadratu upisanom u taj krug b) Jednakostraničnom trokutu upisanom u taj krug 2. Nasumce se biraju dvije točke iz segmenta [-2, 2]. Kolika je vjerojatnost: a) Da njihova udaljenost bude veća od 1? b) Da one dijele segment na tri jednaka dijela? c) Da obje pripadaju segmentu [-2, 0]? 38/50

39 r a r a µ ( A) = a = 2r ( Ω ) = r 2 µ π 2 2 µ ( A) P( A) = µ ( Ω) 2 P( A) = π a 3 r = a = r a 3 3r 3 µ ( A) = = µ ( Ω ) = r π 2 3r 3 P( A) = r π 39/50

40 y f( x) = x+1 g( x) = x-1 x ( ) { } A = x, y Ω : x y > 1, µ ( A) = 9 ( ) { 2 x y R x y } Ω =, : 2 2, 2 2, µ ( Ω ) = 16 9 a) P( A) = 16 b) P( A) = 0 c) P( A) = /50

41 Dokazi u geometriji Trokut i četverokut Ortocentar trokuta Sinus zbroja dvaju kutova 41/50

42 Geometrijske konstrukcije Točka je konstruirana ako je dobivena kao presjek dvaju pravaca, pravca i kružnice ili dviju kružnica. Riješiti konstruktivni zadatak znači svesti ga na ove tri konstrukcije. Pravac je konstruiran, ako su konstruirane njegove dvije točke. Trokut je konstruiran ako su konstruirana njegova tri vrha. Kružnica je konstruirana ako je njeno konstruirano središte i bilo koja njena točka. 42/50

43 Geometrijske konstrukcije Koraci Analiza Konstrukcija Dokaz valjanosti konstrukcije Diskusija 43/50

44 Geometrijske konstrukcije Metode 1. Metoda presjeka skupova točaka (GMT) 2. Metoda geometrijskih transformacija (translacija,simetrija, rotacija, homotetija, sličnost, inverzija, kontrakcija) 3. Metoda pomoćnih likova 4. Algebarska metoda (algebarski se odredi veličina pomoću koje se rješava konstrukcija) 44/50

45 Geometrijske konstrukcije Zaboravljene? Korisne Primjer (Premjeravanje zemljišta) Za dodatni rad učenika 45/50

46 Geometrija i računalo Programi dinamičke geometrije. Razni alati Internet Računalo koristiti mudro. U ključnom trenutku Vješto Ne pretjerano 46/50

47 Projektni zadaci, istraživački rad Zlatni rez Broj π (Dan broja pi) Kvadratura kruga, duplikacija kocke, trisekcija kuta Fraktalna geometrija Verižni razlomci Spirala drugog korijena 47/50

48 Matematičar svih vremena ARHIMED Noli turbare circulos meos. Ne dirajte moje krugove. 48/50

49 Sudbina može čovjeka posaditi u zlatna kola, ali ako ih on ne umije goniti, neće se ni smjesta maknuti. Hadis 49/50

50 Hvala na pozornosti. 50/50