Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Транскрипт

1 PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE PERIODIČNOST FUNKCIJE PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je parna i tada je grafik simetričan u odnosu na y osu Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je neparna i tada je grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak Šta mi u zadatku konkretno radimo? Krenemo od f ( ) i gde vidimo stavimo -, to malo sredimo, možemo dobiti da je sve jednako: i) f ( ) i onda kažemo da je funkcija parna ii) f ( ) i onda kažemo da je funkcija neparna iii) nijedno od ova dva ( onda kažemo da funkcija nije ni parna ni neparn Kad profesori objašnjavaju deci parnost i neparnost funkcije, najčešće kao primer navode : y = i Za y = ( znamo da je y f ( ) =, pa prvo y zamenimo sa f()) f ( ) = ( ) f ( ) = = = f ( ) Znači da je ova funkcija parna. Pogledajmo to i na grafiku: Vidimo da je grafik simetričan u odnosu na y osu. Za f ( ) = ( ) f ( ) = = = f ( ) Znači da je ova funkcija neparna. Pogledajmo i nju na grafiku:

2 Grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak! Evo još nekoliko primera :. Ispitati parnost i neparnost sledećih funkcija: b) f ( ) = + ( ) ( ) f ( ) = = = f ( ) parna + + b) f ( ) = ( ) ( ) f ( ) = = = = f ( ) neparna

3 + f ( ) = + ( ) ( ) + f ( ) = = nije ni parna ni neparna. Ispitati parnost i neparnost sledećih funkcija: ln( + ) b) arcsin + e ln( + ) Kod ln funkcija najčešće se desi da funkcija nije ni parna ni neparna, zbog oblasti definisanosti. Za ovu našu funkciju oblast definisanosti je: ln( + ) 0 ln( + ) + e e ( zbog razlomk + > 0 > ( zbog ln funkcije) Pa je domen: D = (, e ) ( e, ) f U ovoj i sličnim situacijama napišete: Oblast definisanosti funkcije nije simetrična u odnosu na koordinatni početak pa nema smisla govoriti o parnosti i neparnosti.to jest, funkcija nije ni parna ni neparna! b) arcsin + ( ) ( ) + + f ( ) = arcsin = arcsin = arcsin = f ( ) neparna + Naravno, od pre znamo da je arcsin( Θ ) = arcsinθ.

4 e ( ) f ( ) = e = e = f ( ) parna. Data je funkcija ( + a ) f ( ) =. Dokazati da je parna. a ( a + ) a + ( + ) ( ) ( + a ) ( a ) f ( ) = = a = a = = a a a a a ( a + ) ( a ) ( + a ) = = f ( ) parna a. Data je funkcija f ( ) log( ) = + +. Dokazati da je neparna. ( ) f ( ) = log + + ( ( ) ) ( ) ( ) f ( ) = log + + = log + + = log + Sad izvršimo racionalizaciju unutar logaritma. ( ) ( ) f ( ) = log + = log = = log = log = log = log Imamo pravilo za logaritme: log A n B = n log B, pa je: ( ) ( ) f ( ) = log + + = log + + = f ( ) neparna A ( )

5 PERIODIČNOST FUNKCIJE Periodičnost se odnosi na trigonometrijske funkcije. Najčešće periodičnost nije lako odrediti, traži poznavanje trigonometrije na naprednom nivou, zato vam predlažemo da se detaljno podsetite trigonometrijskih funkcija ( Ima sve detaljno u II godina ). Mi ćemo da vas podsetimo da se kod a sin( b+ c) a cos( b+ c) perioda traži po formuli gde je b broj koji se nalazi ispred ( naravno, kad sklopimo funkciju u ovom obliku). Kod a tg( b+ c) a ctg( b+ c) perioda je Evo nekoliko primera:. Odrediti osnovni period za funkcije: sin cos b) sin + cos π ω=. b π ω=, b sin + cos sin cos Da najpre upakujemo zadatu funkciju: sin cos = sin cos = sin cos = sin Odavde vidimo da je broj ispred -sa b=. π π ω= = = π ω= π je osnovna perioda ove funkcije. b b) sin + cos ( ) y sin cos = + = sin cos + = π sin( + ) π π sin cos + cos sin ovo je adiciona formulica π π Odavde je b= pa je ω= = = π ω= π b

6 sin + cos Ovde ćemo krenuti od osnovne identičnosti: sin + cos =...() ( ) sin + cos = sin sin cos cos + + = + + = + + = + = + cos = + cos = + sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin cos + = + sin cos cos Mi dakle posmatramo funkciju: + cos π π π π Ovde je b= pa je ω= = = ω= b 6