(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
|
|
- Дара Стефановић
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada spomenutom podskupu. Skup svih realnih brojeva koji su istodobni jednaki ili veći od i manji od 7 je poluzatvoreni interval [, 7. Stoga tražimo grafički prikaz koji će obuhvatiti sve realne brojeve izmeñu i 7 uključujući, a isključujući 7. Taj grafički prikaz naveden je pod slovom B. Primijetimo da grafički prikaz A predstavlja poluotvoreni interval, 7], grafički prikaz C predstavlja skup R \ [, 7 =, [7, +, a grafički prikaz D predstavlja skup R\, 7] =, ] 7, +.. D. Prva nejednakost je netočna jer iz nejednakosti > dijeljenjem s dobijemo > =. Druga nejednakost je netočna zbog činjenice da ako dva strogo pozitivna razlomka imaju jednake brojnike, onda je veći onaj koji ima manji nazivnik. Drugim riječima, ako su a, b R takvi da vrijedi nejednakost 0 < a < b, onda vrijedi nejednakost > > 0. a b Primijetimo da je ovdje nužna pretpostavka o strogoj pozitivnosti brojeva a i b jer npr. iz nejednakosti < ne slijedi nejednakost = >. 5 Treća nejednakost je netočna jer vrijedi jednakost 0.5 = = :0 Četvrta nejednakost je točna zbog.3 = = = > = = : D. Neka su j, l i n redom količine jabuke, limuna i naranče u miješanom voćnom soku. Iz podatka da je j : n = : 4 primjenom pravila za rješavanje razmjera ( vanjski puta vanjski jednako je unutrašnji puta unutrašnji ) slijedi 4 j = n, odnosno n = 4 j. Iz podatka da je l : n = : 5 primjenom pravila za rješavanje razmjera slijedi 5 l = n. U ovu jednakost uvrstimo jednakost n = 4 j, pa slijedi: 5 l = (4 j), 5 l = 8 j. Dijeljenjem ove jednakosti izrazom 8 l dobijemo: 5 j =. 8 l mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
2 Ovu jednakost zapišemo kao razmjer i dobivamo traženi omjer: 4. A. Imamo redom: j : l = 5 : 8. 3 a a = / a = 3 a, 0 a 3 a =, 7 a = / : 7 a = D. Zadanu jednadžbu transformiramo na sljedeći način: x ( x ) = 3 ( x + 3), 4 = 3 + 9, = 0, 7 9 = 0 /: x x x x x x x x x 7 9 x = 0. Vièteove formule tvrde da je zbroj svih rješenja gornje kvadratne jednadžbe jednak 7 suprotnoj vrijednosti koeficijenta uz x u toj jednadžbi. Koeficijent uz x jednak je, pa je traženi zbroj jednak A. Za svaku pojedinu funkciju treba izračunati f i utvrditi koja od navedenih funkcija ima svojstvo f = 0. (To svojstvo, prema definiciji nultočke, znači da je nultočka funkcije f.) Imamo redom: A. f = = = 0. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
3 B. C. D. 4 4 : f = = = = = = = = : f = 0 = 0 = 0. f = + = + =. 4 4 Jedina funkcija koja ima svojstvo f = 0 je funkcija f (x) = x. 7. B. Primijetimo da je funkcija f polinom. stupnja, odnosno kvadratna funkcija oblika f (x) = a x + b x + c. Iz podatka da ta funkcija ima najmanju vrijednost zaključujemo da je a > 0. Znamo da najmanja vrijednost u tom slučaju iznosi 4 a c b fmin = 4 a i da se b postiže za x min =. a U zadatku je zadano x min =, b = 3 i c =, pa uvrštavanjem x min =, b = 3 u jednakost b xmin = a dobivamo jednadžbu: Riješimo tu jednadžbu: 3 =. a 3 = / a a 3 a = / : a = = =. 4 U izraz za f min uvrstimo 3 a =, b = 3 i c =, pa dobijemo: 4 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3
4 f min a c b 4 ( 3) = = = = = = = =. 4 a Dakle, tražena najmanja vrijednost iznosi C. Koeficijent smjera pravca p jednak je koeficijentu uz x u zadanoj (eksplicitnoj) jednadžbi toga pravca. Stoga je k = 3. Analogno zaključujemo da je koeficijent smjera pravca p jednak k = 3, a koeficijent smjera pravca p 3 jednak k 3 = 3. Očito je k = k 3 = 3, pa su pravci p i p 3 usporedni. (Pravci u ravnini su usporedni ako i samo ako imaju jednake koeficijente smjerova.) Primijetimo da pravac p nije usporedan s pravcima p i p 3. To znači da pravac p siječe svaki od pravaca p i p 3 u točno jednoj točki. 9. B. Dokažimo najprije pomoćnu tvrdnju. Tvrdnja. Parabola y = a x + b x + c, gdje su a, b, c R, a 0, ima tjeme u ishodištu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini ako i samo ako je b = c = 0. Dokaz Tvrdnje.: Znamo da su koordinate tjemena T zadane parabole u općem slučaju 4 odreñene s b, a T c b = a 4 a. Ako je T = (0, 0), onda istodobno moraju vrijediti jednakosti b = 0, a 4 a c b = 0. 4 a Množenjem tih jednakosti s a, odnosno 4 a (ti brojevi su različiti od nule jer je, prema pretpostavci, a 0) dobivamo: b = 0, a c b = 4 0. Iz prve jednadžbe je b = 0. Uvrštavanjem b = 0 u drugu jednadžbu dobijemo 4 a c = 0, pa dijeljenjem te jednakosti s 4 a 0 slijedi c = 0. Time je dokazan smjer Tvrdnje. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
5 Da dokažemo smjer, u formulu za koordinate točke T uvrstimo b = 0 i c = 0. Imamo: T b 4 a c b 0 4 a =,, 0, (0,0) a 4 a = = = a 4 a, 4 a pa je tjeme parabole doista ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini. Odredimo najprije jednadžbu parabole sa slike. Tražimo je u obliku y = a x + b x + c. Iz slike se vidi da ta parabola ima tjeme u ishodištu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini. Prema Tvrdnji. to znači da je b = c = 0, pa se jednadžba parabole svodi na y = a x. Iz slike možemo očitati da parabola prolazi točkom S = (, 4).Točnije, ta je točka sjecište nacrtanoga pravca i parabole u četvrtom kvadrantu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini. Uvrštavanjem x = i y = 4 u jednakost y = a x dobivamo: ( 4) = a, ( 4) = a 4 /:4 a =. Dakle, jednadžba parabole glasi: y = ( ) x, odnosno y = x. Odredimo jednadžbu pravca (u eksplicitnom obliku, tj. u obliku y = k x + l, gdje su k, l R). Već smo uočili da pravac prolazi točkom S = (, 4). Iz slike vidimo da pravac siječe os ordinata (os y) u točki S = (0, 3). To znači da je l = 3. Zbog toga se jednadžba pravca svodi na y = k x + ( 3), odnosno y = k x 3. Uvrštavanjem x = i y = 4 u jednakost y = k x 3 dobivamo: 4 = k 3, ( ) k = 3 + 4, ( ) k =. Odavde dijeljenjem s ( ) slijedi k =. Dakle, jednadžba pravca glasi: Prevedimo tu jednadžbu u implicitni oblik: y = x 3. y = x 3 / y = x 6, x + y = 6. Stoga je rješenje zadatka sustav: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5
6 x + y = 6, y = x. 0. B. Označimo duljinu kraka promatranoga trokuta s b, duljinu osnovice s a, a duljinu visine povučene na osnovicu s v. Iz podatka da je duljina osnovice kraća od duljine kraka za četvrtinu duljine kraka slijedi: a = b b = b = b = b = b U jednakokračnom trokutu visina povučena na osnovicu, krak trokuta i dužina odreñena nožištem visine povučene na osnovicu i jednim vrhom trokuta tvore pravokutan trokut. Duljine kateta toga trokuta su v i a jer se nožište visine povučene na osnovicu jednakokračnoga trokuta podudara s polovištem te osnovice. Duljina hipotenuze jednaka je duljini kraka b. Primjenom Pitagorina poučka dobivamo: a a v = b = b 4. U ovu jednakost uvrstimo jednakost 3 a = b, pa imamo: b b 9 a v = b = b = b = b 6 b = b b = = b b b = b = b = b = b = b Budući da je prema prirodi zadatka b > 0, to je b = b, pa zaključujemo da je: 55 v = b. 8 U ovu jednakost uvrstimo b = 4, pa konačno dobivamo: 55 v = 4 = cm. 8 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
7 . B. Tražena površina jednaka je zbroju površina trokuta AFD i usporednika FBCD. Prema pretpostavci su stranice AB i CD usporedne, pa je duljina visine na stranicu AF trokuta AFD jednaka duljini visine na stranicu FB usporednika FBCD. Potonja visina je dužina FC čija je duljina FC = FB =.3 =.6 cm. Nadalje, duljina stranice AF trokuta AFD jednaka je AF = AB FB = = 3. cm. Tako konačno dobivamo: P = PAFD + PFBCD = AF FC + FB FC = AF + FB FC = = = (.6 +.3).6 =.9.6 = 7.54 cm. A. Osjenčano tijelo ABCDP je kosa četverostrana piramida. Osnovka te piramide je pravokutnik ABCD. Njegova je površina B = AB BC = 4. = 8.4 cm. Duljina visine h piramide ABCDP jednaka je duljini brida DP jer je brid DH kvadra ABCDEFGH okomit na ravninu u kojoj se nalazi pravokutnik ABCD. Prema pretpostavci, P je polovište brida DH, pa je DP = DH. Budući da je ABCDEFGH kvadar, slijedi da je DH = CG = 3.8 cm. Stoga je Tako konačno dobivamo: h = DP = DH = CG = 3.8 =.9 cm. VABCDP = B h = =.8.9 = 5.3 cm C. Pojednostavnimo zadani izraz na sljedeći način: x x 3 ( x) ( + x) 3 ( ) x ( x ) ( ) 3 + = + = + = x x x x x x x x x 3 ( ) ( x 3) + 3 x x x x + 3 = + = = = x x 3 x ( x 3) x ( x 3) x ( x 3) Brojnik ovoga izraza jednak je x + 3. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7
8 4 4. B. Na početku školske godine u zbor je bilo učlanjeno ukupno z 0 = 5 = 54 učenika. 00 Kad se u školu upisalo 5 novih učenika, novi ukupan broj učenika u školi iznosio je u = = 40. Od tih 5 novih učenika, 4 su se upisala u zbor, pa je u zboru bilo ukupno z = = 58 učenika. Potom se iz zbora iščlanilo učenika, pa je u zboru na kraju godine bilo ukupno z = 58 = 46 učenika. Da se dobije traženi postotak, treba izračunati koliko postotaka iznosi broj 46 u odnosu na broj 40: p = = = = % B. Izračunajmo cijenu jedne litre goriva prije pojeftinjenja. Ako se za kn moglo kupiti litara goriva, onda je cijena jedne litre goriva : = 0.4 kn. Nakon pojeftinjenja od 0 lipa = 0. kn, cijena goriva iznosi = 0.3 kn. Stoga se za kn može kupiti ukupno : litara goriva. (Napomena: Dobiveni rezultat treba zaokružiti na 45.99, a ne na 46 litara jer 46 litara goriva nakon pojeftinjenja stoji ukupno = kn, što je veće od iznosa koji nam je na raspolaganju.) 6. D. Neka je s tražena udaljenost. Ukupno vrijeme t b koje je za prelazak te udaljenosti utrošio biciklist jednako je količniku prijeñenoga puta i prosječne brzine biciklista, pa je s t b =. Analogno, ukupno vrijeme t a koje je za prelazak iste udaljenosti utrošio automobilist jednako je količniku prijeñenoga puta i prosječne brzine automobilista, pa je: s t a =. 64 Biciklist je ukupno vozio sata i 0 minuta dulje od automobilista. Izrazimo to vrijeme u satima jer je brzina obojice ljudi iskazana u km/h: sata i 0 minuta = To znači da mora vrijediti jednakost: sata + sati = sata + sata = + = + = = sati tb ta =. 6 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8
9 U ovu jednakost uvrstimo s t b = i s t a =, pa dobivamo: 64 s s 3 = / s 3 s = 46, 3 s = 46. Odatle dijeljenjem s 3 slijedi s = 3 km. 7. m. Prvi član binoma očito mora biti m. Dvostruki umnožak prvoga i drugoga člana m binoma mora biti jednak m, pa zaključujemo da je drugi član binoma jednak =. m Doista, m = m m + = m m Prisjetimo se da je km = 000 m. Stoga je km = 000 m = m, pa je 4 km = = m. Da bismo ovu površinu iskazali u arima, moramo je podijeliti sa 00. Tako se dobije P = : 00 = 500 ara Neka je x broj plesača, a y broj plesačica u tom društvu. Iz podatka da će u slučaju plesanja u mješovitim parovima četiri plesačice biti bez svojega para zaključujemo da plesačica ima za 4 više nego plesača, odnosno da vrijedi jednakost: y = x + 4. Ukupan broj članova folklornoga društva jednak je x + y. S druge strane, iz podatka da svi članovi društva tvore ukupno 7 parova zaključujemo da je ukupan broj članova društva jednak 7 = 4 jer svaki par tvori dvoje ljudi. Stoga mora vrijediti jednakost: x + y = 4. Tako smo dobili sljedeći sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: Taj sustav možemo zapisati u obliku y = x + 4, x + y = 4. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9
10 x + y = 4, x + y = 4. Zbrajanjem posebno lijevih, a posebno desnih strana tih jednadžbi dobivamo y = 8. Odatle dijeljenjem s slijedi y = 9. Dakle, u društvu ima 9 plesačica. Napomena: U formulaciji zadatka nedostaje riječ točno. Preciznije, drugi dio druge rečenice treba glasiti: Od ukupnoga broja plesača i plesačica moguće je napraviti točno 7 parova Označimo s A, B i C vrhove trokuta čiji je jedan kut ϕ. Oznake postavimo tako da je A vrh kuta ϕ, a B vrh kuta čija je mjera 0. Kut pri vrhu B trokuta ABC i kut čija je mjera 0 su komplementarni kutovi, pa je kut pri vrhu B trokuta ABC jednak: B = 80 0 = 79. Nadalje, budući da su pravci b i c prema pretpostavci usporedni, mjera kuta pri vrhu C trokuta ABC jednaka je 54 (šiljasti kutovi uz presječnicu a su meñusobno jednaki), tj. vrijedi jednakost: C = 54. Traženi kut ϕ izračunat ćemo iz činjenice da zbroj mjera kutova u trokutu ABC mora biti jednak 80 : ϕ + B + C = 80, ϕ = 80, ϕ = 80 ( ), ϕ = 80 33, ϕ = Svaka se traka sastoji od ravnoga dijela i od kružnice koju tvore dvije sukladne polukružnice na različitim stranama staze. Duljina ravnoga dijela svake trake jednaka je 0 metara, pa nju ne moramo uzimati u obzir prigodom računanja tražene razlike duljina. Spojimo polukružne dijelove traka tako da dobijemo ukupno šest kružnica. Trkač koji trči unutrašnjim dijelom najkraće trake prevali put jednak opsegu prve kružnice. Trkač koji trči unutrašnjim dijelom najdulje trake prevali put jednak opsegu pete kružnice. Uočimo da svaka od navedenih šest kružnica, osim prve kružnice, ima za metra veći promjer od neposredno prethodne kružnice (na promjer neposredno prethodne kružnice mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0
11 treba dodati metar širine na sjevernoj i metar širine na južnoj strani promjera). Stoga promjeri tih šest kružnica tvore aritmetički niz d, d +, d + 4, d + 6, d + 8 i d pri čemu je d = 70 metara. Tražena razlika putova jednaka je razlici opsega pete kružnice i opsega prve kružnice, pa odmah imamo: d = (d + 8) π d π = d π + 8 π d π = 8 π m...) Imamo: π Zaokruživanjem ovoga broja na 4 decimale dobijemo (peta decimala je 9, pa prigodom zaokruživanja četvrtu decimalu moramo uvećati za )..). Primijetimo da vrijedi nejednakost >, odnosno < 0. Zo znači da je 4 = ( ) =. Tako imamo: ( ) = = = = = ) Vidjeti Sliku. Funkcija f je polinom. stupnja (linearna funkcija). Njezin graf je pravac čija je jednadžba y = x 4. Da bismo nacrtali taj pravac, dovoljno je odrediti bilo koje dvije njegove točke. Za vrijednosti varijable x uzmimo npr. x = 0 i x =. Izračunamo: Formiramo tablicu: f (0) = 0 4 = 0 4 = 4, f () = 4 = 4 =, x 0 y 4 U zadani pravokutni koordinatni sustav u ravnini ucrtamo točke T = (0, 4) i T = (, ), pa ih spojimo jednim pravcem. Dobivamo pravac prikazan na Slici. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
12 Slika..) 95. Imamo redom: (00) ( 00 4) 4 (00 4) ( 4) 96 ( 3) f + f = + = + = + = = p p 4..) 8.. Traženu promjenu računamo prema formuli R = U tu formulu uvrstimo p = +5 i p = 6. (+5 označava povećanje osnovne veličine za 5%, a 6 smanjenje osnovne veličine za 6%.) Dobijemo: R = = = = = = 8. Predznak + ukazuje na to da je krajnja plaća veća od početne. Stoga zaključujemo da je zaposlenikova plaća u lipnju za 8.% veća od zaposlenikove plaće u travnju..) Neka je x tražena plaća. Iz podzadatka.) znamo da se uvećanjem te plaće za 8.% njezina iznosa dobije plaća u lipnju. Stoga možemo postaviti jednadžbu: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
13 8. x + x = Riješimo tu jednadžbu standardnim postupkom: 8. x + x = / x + 8. x = , 08. x = Odavde dijeljenjem s 08. dobivamo x Taj rezultat treba zaokružiti na dvije decimale jer ne postoji tisućiti (ili manji) dio novčane jedinice od kn. Zaokruživanjem dobijemo x kn. 5..) y = x + 3. Neka je y = k x + l tražena jednadžba. Iz slike vidimo da zadani pravac prolazi točkom C = (0, 3). To znači da je l = 3. Takoñer, iz slike vidimo da zadani pravac prolazi točkom B = (, 5). To znači da koordinate te točke moraju zadovoljavati jednadžbu pravca. U jednadžbu pravca uvrstimo x =, y = 5 i dobiveni rezultat l = 3: 5 = k ( ) + 3, k = 3 5, k =. Dakle, tražena jednadžba (u eksplicitnom obliku) glasi: y = x + 3..) (3, 3). Da doñemo od ishodišta (točke (0, 0)) do točke D, moramo se pomaknuti za 3 jedinične dužine udesno i 3 jedinične dužine prema dolje. Pomicanjem udesno dolazimo u točku (3, 0). Pomicanjem prema dolje dolazimo u točku (3, 3) i to su tražene koordinate. 6..) 450; 30. Primijetimo da pomak za jedan kvadratić u smjeru osi apscisa odgovara pomaku od 50 km (jer pomak za dva kvadratića u smjeru osi apscisa odgovara pomaku od 00 km), te da pomak za jedan kvadratić u smjeru osi ordinata odgovara pomaku za 5 litara (jer pomak za dva kvadratića u smjeru osi ordinata odgovara pomaku za 0 litara). U zadatku se zapravo traži odreñivanje sjecišta zadanih pravaca. Lako očitamo da se radi o točki S = (450, 30). To znači da će oba automobila nakon prijeñenih 450 km (prva koordinata točke S) imati točno 30 litara goriva (druga koordinata točke S) u spremniku..) 3 9. Pomnožimo prvu jednadžbu sustava s 4, a drugu s 3 y. Dobivamo: 3 ( x 3 y) = 8, x = 9 (3 y). mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3
14 Podijelimo drugu jednadžbu s : 3 ( x 3 y) = 8, 9 x = (3 y ). Uvrstimo drugu jednadžbu u prvu jednadžbu: 9 3 (3 y) 3 y = 8, y 3 y = 8, 8 7 y 9 y = 8 / 8 7 y 8 y = 6, 7 y 8 y = 6 8, 45 y = 65 / : ( 45) : 5 3 y = = = : ) x < 7 ili x, 7. Pomnožimo zadanu nejednadžbu sa 6. Dobivamo: 3 (x + 3) + (x + ) > 6 (x + ), 3 x x + 4 > 6 x + 6, 3 x + x 6 x > 6 9 4, ( ) x > 7. Odatle dijeljenjem s ( ), uz obaveznu promjenu znaka nejednakosti, slijedi x < 7. Dakle, sva rješenja zadane nejednadžbe tvore skup, 7..). Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobijemo: 0 00 x = 0 6 x. Budući da je 00 = 0, zapišimo lijevu i desnu stranu jednadžbe kao potencije s bazom 0 primjenjujući pravilo za potenciranje potencije i pravilo za množenje potencija s jednakim bazama: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
15 Izjednačavanjem eksponenata slijedi: 0 (0 ) x = 0 6 x, 0 0 x = 0 6 x, 0 + x = 0 6 x, 0 3 x = 0 6 x. 3 x = 6 x, x 6 x = 3, ( 8) x = 4. Odatle dijeljenjem s ( 8) dobivamo 3.) 3. Imamo redom: : 4 x = = = = : ( x 3 x 5 x) ( x 8 x) (3 7 x) + + = 3 3 = 6 x 8 x + 30 x (6 x + 4 x 4 x 56 x ) = 3 3 = 6 x 8 x + 30 x 6 x 4 x + 4 x + 56 x = 3 = x x x Član koji sadrži x jednak je 3 x. 8..) 4. Neka je z indeks zagañenja (iskazan u broju čestica na milijun čestica zraka), a t vrijeme iskazano u satima. Iz podataka u zadatku slijedi da je z(t) = t, pri čemu vrijednosti varijable t nužno pripadaju skupu [9] 0 := {0,,, 3,, 7, 8, 9}. Drugim riječima, domena funkcije z je skup [9] 0. Traženo zagañenje jednako je z(9), tj. z(9) = = = 4. Dakle, indeks zagañenja u 6 sati iznosi 4 čestice na milijun čestica zraka..). Najveća vrijednost indeksa zagañenja zraka, prema.), iznosi 4 čestice na milijun čestica zraka. Od 6 sati poslijepodne do 7 sati ujutro proñe ukupno = 5 sati. U tih 5 sati indeks zagañenja se smanjio za 4 5 = 7 čestica na milijun čestica 7 7 : 3 39 zraka. To znači da se u jednom satu indeks zagañenja smanjio za = = 5 5: 3 5 čestica na milijun čestica zraka. Stoga je funkcija zavisnosti indeksa zagañenja o vremenu 39 dana s z( t) = 4 t, gdje je t [0, 5]. 5 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5
16 Preostaje odrediti t 0 [0, 5] takav da je z(t 0 ) = 03. Dobivamo jednadžbu: Riješimo tu jednadžbu: t = t0 = 03, 5 39 t0 = 03 4, t0 = 39 / : 5 5 t = 5 Dakle, nakon t 0 = 5 sati (računajući od 6 sati), tj u = sat indeks zagañenja iznosit će 03 čestice na milijun čestica zraka. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6
Microsoft Word - Rjesenja zadataka
1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi
(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)
. A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi
(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)
. D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
. B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom
Microsoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
Natjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979
Microsoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
(Microsoft Word doma\346a zada\346a)
1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?
MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
Microsoft Word - z4Ž2018a
4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,
Jednadžbe - ponavljanje
PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili
Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR
Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK
RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature
poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.
8. razred kriteriji pravi
KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag
Microsoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
Algebarski izrazi (4. dio)
Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija
os07zup-rjes.dvi
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI
UDŽBENIK 2. dio
UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
Matematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija
Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x
(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)
z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)
(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)
Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (
s2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc
Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr
Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
Microsoft Word - 12ms101
Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +
ALIP1_udzb_2019.indb
Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 9. siječnja
Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
0255_Uvod.p65
1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni,
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA
Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx
DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema
Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1
Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n
4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema
ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matematike (KŠC Travnik); 2. Ivana Baban, prof. matematike
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
XV. GIMNAZIJA, ZAGREB PROVJERA POSEBNIH ZNANJA IZ PREDMETA MATEMATIKA ISPITNA KNJIŽICA Datum Trajanje 60 minuta Zaporka (tri znamenke i pet slova) zna
XV. GIMNAZIJA, ZAGREB PROVJERA POSEBNIH ZNANJA IZ PREDMETA MATEMATIKA ISPITNA KNJIŽICA Datum Trajanje 60 minuta Zaporka (tri znamenke i pet slova) znamenke slova Za vrijeme pisanja ispita nije dopuštena
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.
Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat
Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni
Matematički leksikon
OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ
23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi
3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.45.HR.R.K1.20 MAT B D-S
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT45.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom
Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o
Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti
untitled
РАЗЛОМЦИ - III ДЕО - РЕШЕЊА МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ. а) + + + + + + = = = ; б) + + + + + + + + + + = = = 8 ; в) 8 + + + + + + + = 8 = = =.. а) = = = ; б) = = = ; 0 0 в) 0 = = = ; г)
Microsoft Word - 09_Frenetove formule
6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje
MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja 2016. Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje 90 minuta. Zadatci (njih 32) podijeljeni su u dvije
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година
ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА
МАТЕМАТИКА ЗАДАЦИ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 1. Израчунати вредност израза: а) ; б). 2. Израчунати вредност израза:. 3. Израчунати вредност израза:. 4. Израчунати вредност израза: ако је. 5. Израчунати вредност
Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc
Dopunski zadaci za vježbu iz MFII Za treći kolokvij 1. U paralelno strujanje fluida gustoće ρ = 999.8 kg/m viskoznosti μ = 1.1 1 Pa s brzinom v = 1.6 m/s postavljana je ravna ploča duljine =.7 m (u smjeru
DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 31.oţujka-2.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UĈENIK IM
DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 1oţujka-travnja 011 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UĈENIK IMA DRUGAĈIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ĈLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE
4.1 The Concepts of Force and Mass
UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte