MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(19), 3-5 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 1.751/МК193M ISSN 35-6969 (p) ISSN 1986-588 (o) NEJEDNAKOST GEETSENA 1 I NJENA PIMJENA Šefket Arslanagić i Daniela Zubović, Sarajevo Sažetak: U ovom radu se bavimo jednom veoma korisnom nejednakošću koju je holandski matematičar iz prošlog vijeka J. C. Gerretsen dokazao 1953. godine. Ova nejednakost ima veliku primjenu kod dokazivanja raznih trigonometrijskih nejednakosti; u radu su data tri primjera i tri posljedice. Ključne riječi i izrazi: Nejednakost Gerretsena, Vietove formule, Ojlerova nejednakost, identiteti, posljedice. GEETSEN INEQUALITY AND ITS APPLICATION Abstract: In this paper we consider one very useful inequality that J.C. Gerretsen proved in the year 1953. This inequallity has many applications in proving other trigonometric inequalities; we have in this paper three examples and three corollaries. Key words and phrases: Gerretsen's inequality, Vièta's formulas, Euler's inequality, identities, corollaries. AMS Subjectt Classification (1): 97 F 5 ZDS Subject Classification (1): F5, N5 U [1], s. 3-, su izvedeni sljedeći obrasci za udaljenost značajnih tačaka trougla ABC : IH r 3r s, (1) 1 IT s 5r 16 r, () 9 1 J. C. Gerretsen, holandski matematičar iz prošlog vijeka
gdje je I centar upisane kružnice, H ortocentar i T težište trougla ABC dok su abc i r radijusi opisane i upisane kružnice tog trougla, a s je njegov poluobim. Iz (1) i () zbog činjenice da je IH i IT, slijedi: i a odavde i odnosno r 3r s 1 s 5r 16r 9, s r 3r s 16 r 5r, 16 r 5r s r 3r. (3) Nejednakost (3) se u matematičkoj literaturi o nejednakostima naziva Nejednakost Gerretsena, jer je on njen autor u holandskom matematičkom časopisu Nieuw Tijdschr. Wisk. 1(1953), 1-7 publikovao rad o ovoj nejednakosti. Vrijedi jednakost u (3) ako je u pitanju jednakostranični trougao. Ova nejednakost je veoma značajna i igra izuzetno važnu ulogu kod dokazivanja raznih nejednakosti vezanih za trougao. To ćemo demonstrirati kroz više primjera. Primjer 1. Dokazati da važi nejednakost 9 sin sin sin sin sin sin, () gdje su,, unutrašnji uglovi trougla ABC. Dokaz: U [3], s. 5, dokazano je da su sin,sin,sin korijeni jednačine: 3 t rst s r r t sr. (5) Na osnovu Vietovih formula slijedi iz (5): s sin sin sin, (6) François Viète (15.-163.), francuski matematičar
sin sin sin sin sin sin s r r, (7) sr sin sin sin. (8) Sada iz (7) i (8) dobijamo: r 3r r r sin sin sin sin sin sin r sin sin sin sin sin sin r sin sin sin sin sin sin 1 Iz poznate Ojlerove 3 nejednakosti r slijedi:. (9) r 1. (1) Sada iz (9) i (1) dobijamo datu nejedankost (). Vrijedi jednakost u () ako i samo ako je 6 ; ( r ), tj. ako je u pitanju jednakostranični trougao. Posljedica 1. Iz identiteta sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin, dobijamo: sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin, a odavde zbog (6) i (7): s s r r sin sin sin s s 8r r sin sin sin Sada iz (11) i (3) slijedi: s r r sin sin sin. (11) 3 Leonhard Euler (177.-1783.), švajcarski matematičar 5
r 3r r r sin sin sin r sin sin sin sin sin sin a odavde zbog (1): r 9 sin sin sin. (1) Vrijedi jednakost ako i samo ako je 6 (jednakostranični trougao). Napomena 1: Vidimo da je desna strana u nejednakostima () i (1) ista, tj. 9. Postavlja se očekivano pitanje koja od ove dvije nejednakosti je bolja (jača)? Koristeći dobro pozatu nejednakost: dobijamo x +y +z xy+yz+zx (x,y,z ) 9 sin sin sin sin sin sin sin sin sin slijedi da je nejednakost (1) bolja (jača) od nejednakosti (). Primjer. Dokazati da važi nejednakost gdje su,, unutrašnji uglovi trougla 3 cos cos cos cos cos cos, (13) ABC. Dokaz: U [3], s.55 je dokazano da su cos,cos,cos korijeni jednačine: 3 t r t s r t r s. (1) Na osnovu Vietovih formula slijedi iz (1): r cos cos cos, (15) 6
cos cos cos cos cos cos r s, (16) Sada iz (16) i (3) slijedi: cos cos cos s r. (17) r r 3r cos cos cos cos cos cos r r cos cos cos cos cos cos r r cos cos cos cos cos cos, a odavde zbog (1), tj. r 1 : 3 cos cos cos cos cos cos. Vrijedi jednakost u (13) ako i samo ako je 6 ; ( r ), tj. ako je u pitanju jednakostranični trougao. Posljedica. Iz identiteta cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sada dobijamo: cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos a odavde zbog (15) i (16):, r r s cos cos cos r r s cos cos cos Iz (3) imamo s r 3r, odnosno: 6 r r s cos cos cos. (18) s r 3r. (19) 7
Sada iz (18) i (19) dobijamo: 6 r r r 3r cos cos cos a odavde zbog (1), tj. tj. r cos cos cos cos cos cos 1 r 1 r 1 : r 1 cos cos cos 1, 3 cos cos cos., Vrijedi jednakost ako i samo je 6 (jednakostranični trougao). Primjer 3. Ddokazati da važi nejednakost gdje su,, unutrašnji uglovi trougla 1 5 r sin sin sin sin sin sin, () ABC. Dokaz: U [3], s. 57, dokazano je da su sin,sin,sin korijeni jednačine: 3 16 r 8 r t s r 8r t r. (1) Na osnovu Vietovih formula slijedi iz (1): r sin sin sin, () s r 8r sin sin sin sin sin sin 16. (3) Odmah vidimo da zbog r 1 1 r 3 dobijamo iz (): 8
3 sin sin sin, gdje jednakost važi ako i samo ako je 6 (jednakostranični trougao). Sada iz (3) i (3) slijedi: r 3r r 8r sin sin sin sin sin sin 16 r r sin sin sin sin sin sin 16 r r sin sin sin sin sin sin 1 r r sin sin sin sin sin sin 1, a odavde zbog r 1 r 1, tj. : 1 5 r sin sin sin sin sin sin. Jednakost važi ako i samo ako je 6 ; ( r ), tj. za jednakostranični trougao. Posljedica 3. Iz identiteta sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin koristeći () i (3) lako dobijamo sljedeću jednakost: 8 r s sin sin sin, 8 a odavde zbog (3), tj. s r 3r : 8 r r 3r sin sin sin 8 9
te zbog r 1 r 1 i r r sin sin sin 1 r r sin sin sin r 1 : 3 sin sin sin, 16 gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je 6 ; r, tj. ako je u pitanju jednakostranični trougao., LITEATUA [1] Š. Arslanagić, Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo, 5. [] O. Bottema,. Ž. Djordjević,.. Janić, D. S. Mitrinović, P. M. Vasić, Geometric Inequalities, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen (The Netherlands), 1969. [3] D. S. Mitrinović, J. E. Pečarić, V. Volenec, ecent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1989. 5