MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(019), 95-100 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 10751/МК190095A ISSN 054-6969 (p) ISSN 1986-588 (o) PET RAZNIH DOKAZA JEDNE ALGEBARSKE NEJEDNAKOSTI (Five diverses proofs of one algebraic inequality) Šefket Arslanagić Sažetak: U ovom radu su data pet raznih dokaza jedne algebarske nejednakosti: gdje su a,b,c 0, Ključne riječi i izrazi: algebarska nejednakost, nejednakosti između sredina, nejednakosti Koši-Bunjakovski-Švarca, Čebiševa Jensena Abstract: In this paper we give five diverses proofs of one algebraic inequality: where a,b,c 0, Key words and phrases: algebraic inequality, inequalities between means, inequalities of Cauchy-Buniakowsky-Schwarz, Chebishev and Jensen AMS Subject Clasiffication (010): 97 F 50 DMS Subject Clasiffication (010): F50, N 50 U ovom radu ćemo dati pet raznih dokaza jedne algebarske nejednakosti koja glasi:, (1)
gdje su a,b,c realni pozitivni brojevi Dokaz 1 Nakon množenja date nejedankosti sa bccaab 0, dobijamo ekvivalentnu nejednakost: a c a a b b b c a b c b c c a a b c b c c a a b a ac a bc ab b ab ac b bc c bc ab c ac ab ac b bc bc c ac a bc ab 4 4 4 a b c a c a bc a b ab ab c b c b c abc ac 4a bc 4ab c 4abc a b b c a c a b a c b c ab ac bc a 4 + b 4 + c 4 + a b + ab + b c + a c + ac a bc + ab c + abc + a b + +b c + a c () Koristeći dobro nam poznatu nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine za dva pozitivna broja, imamo: a bab a b, () b cbc b c, (4) Na osnovu nejednakosti: c aac a c (5) 4 + y 4 + z 4 y + y z + z (za, y, z R), što je ekvivalentno sa valjanom nejednakošću 1 y + y z + z 0, imamo: 4 4 4 a b c a b b c a c abbc bcac ab ac, 96
4 4 4 a b c ab cabc a bc (6) Sabirajući sada nejednakosti (), (4), (5) i (6), dobijamo nejednakost (), a ovim je data nejednakost (1) dokazana Vrijedi jednakost u (1) ako i samo ako je ab c Dokaz U ovom dokazu ćemo koristitit nejednakost Koši-Bunjakovski- Švarca Na osnovu te nejednakosti imamo: a b c b c c a a b bc c a a b a b c bc c a a b b a c a a b a b c a bc a bc bc c a a b b c c a a b a b c,, qed Dokaz Ne umanjujući opštost, pretpostavićemo da je ab c, a odavde slijedi: bc c a a b Na osnovu nejednakosti Čebiševa sada slijedi: a b c a b c bc ca ab bc ca ab (7) 97
Koristeći nejednakost između kvadratne i aritmetičke sredine za tri pozitivna broja, imamo: a b c a bc, a b c a b c (8) Iz (7) i (8) dobijamo nejednakost: a b c a b c bc ca a b bc c a a b (9) Iskoristimo sada i nejednakost između aritmetičke i harmonijske sredine za tri pozitivna broja koja glasi: 1, bc ca a b bc ca a b 9 (10) abc Najzad, iz (9) i (10) slijedi nejednakosti:, a ovo je nejednakost (1) koju je trebalo dokazati Dokaz 4 U ovom dokazu ćemo koristiti nejednakost Jensena Koristićemo funkciju koja glasi: Kako je f s s te f ; 0 s s s f 0 s, 0,s, to je funkcija f konveksna pa na osnovu Jensenove nejednakosti, imamo: abc f a f b f c f ; 0 a,b,c s te uzimamjući da je abc s, dobijamo iz gornje nejednakosti: 98
s a b c bc c a a b s s s a b c 9 bc ca a b s qed Dokaz 5 Ovdje ćemo koristiti opet nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine za dva pozitivna broja: 1 a b c a b c b c 4 b c 4, Imamo i analogne nejednakosti: i a bc a (11) bc 4 b ca b ca 4 (1) c ab c ab 4 (1) Sabirajući sada nejednakosti (11), (1) i (1), dobijamo nejednakosti: a odavde a b c, qed Sada ćemo prokomentarisati svih pet datih dokaza Dokaz 1 je najduži i zahtijeva puno fizičkog rada Obično se učenici opredijele za ovaj dokaz s namjerom da se oslobode razlomaka Oni koji se odluče za ovaj dokaz znaju nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine za dva pozitivna broja, ali ne poznaju poznate klasične nejednakosti kao što su nejednakosti Koši-Bunjakovski-Švarca i Čebiševa 99
Za Dokaz se koristi nejednakost Koši-Bunjakovski-Švarca koja igra izuzetno važnu ulogu u teoriji o nejednakostima Ovdje je važno napomenuti da se data nejednakost napiše u obliku nejednakosti Koši-Bunjakovski-Švarca Dokaz zahtijeva poznavanje i primjenu nejednakosti Čebiševa Važna je ovdje pretpostavka da možemo uzeti ne umanjujući pri tome opštost da je ab c (ili ab c), a odavde b c (ili c a a b b c ) Naravno, za ovaj c a a b dokaz je potrebno znati nejednakosti između kvadratne i aritmetičke sredine odnosno između aritmetičke i harmonijske sredine za tri pozitivna broja Za Dokaz 4 se koristi nejednakost Jensena Ovdje je najvažnije formulisati funkciju f koja je u datom intervalu konveksna Riječ je o funkciji: f ; 0 s s Nakon uvođenja smjene a b c s a,b,c 0,s nejednakosti, gdje važi, brzo se dođe do date Dokaz 5 je po mom skromnom mišljenju pravi biser zbog svoje kratkoće i elegancije Ovdje je potrebno znati samo nejedankost između aritmetičke i geometrijske sredine za dva pozitivna broja Ideja za dokaz je također briljantna Ovaj dokaz može da bude od velike koristi učenicima i studentima koji pokazuju veći interes za ovu oblast matematike Na kraju mišljenja sam da će ovaj rad biti od većeg interesa i koristi njegovim budućim čitaocima LITERATURA [1] Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo, 005 *+, Metodička zbirka zadataka sa osnovama teorije iz elementarne matematike Grafičar promet doo, Sarajevo, 006 [] R Bulajich Manfrino, JA Gomez Ortega and R Valdez Delgado Inequlities - A Mathematical Olympiad Approach Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 009 [4] Z Cvetkovski Inequalities-Theorems, Techniques and Selected Problems, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 01 100