Definicija i osnovne osobine matrica

Транскрипт

1 Definicij i osnovne osobine mtric Def. Mtrice su dvodimenzionlne šeme brijev oblik: m m m n n mn Kolon Vrst (red) Koeficijenti ik su elementi mtrice, gde je: i m k n Elementi mtrice i, i,, in, pri čemu je i m, čine i-tu vrstu mtrice. Elementi mtrice k, k,, mk, pri čemu je k n, čine k-tu kolonu mtrice. Elementi,,,, mn čine glvnu dijgonlu mtrice. Elementi n, n-, n-,, m čine sporednu dijgonlu mtrice. Mtric se krće simbolički zpisuje: [ ik] m, n i z nju se kže d im m-vrst i n-kolon, tj. d je formt m x n. Oblici mtric Ukoliko je m n, tj. im isti broj redov i kolon, z mtricu se kže d je kvdrtnog oblik,npr: x Ukoliko je m n, z mtricu se kže d je prvougl, npr: x x Specijlni slučjevi, to su vektori: - Mtrice vrste ( x n) [ ] - to je vektor dimenzij x - Mtrice kolone (m x ) - to je vektor dimenzij x

2 Jediničn mtric (I) je kd su elementi n glvnoj dijgonli jedinice ostli člnovi nule, npr: I Nul mtric () je mtric gde su svi elementi mtrice jednki nuli, ko: Simetrične mtrice gledno u odnosu n glvnu dijgonlu svi elementi s leve i desne strne mtrice su isti, ko: 7 7 djungovn mtric obrdićemo ko zsebnu celinu Mtric susedstv obrdićemo ko zsebnu celinu Inverzn mtric ( - ) obrdićemo ko zsebnu celinu - dj det Trougon mtric: - Gornje trougon mtric (svi elementi ispod glvne dijgonle su jednki nuli): - Donje trougun mtric (svi elementi iznd glvne dijgonle su jednki nuli):

3 Def. Dve mtrice su jednke ko su istog tip (red) i ko su im odgovrjući elementi jednki. Jednkost mtric im osobine: - Refleksivnost - Simetričnost B B - Trnzitivnost B BC C Uporeñuju se smo mtrice istog red! B Mtric je jednk mtrici B smo ko su im svi člnovi isti. >B Smo ko su svi člnovi mtrice veći od odgovrjućih člnov mtrice B.

4 Sbirnje mtric Def. Zbir mtric [ ik ] m,n i B[b ik ] m,n je mtric CB [c ik ] m,n, gde je: c ik ik b ik ; i m k n T. Sbirnje mtric istog tip (rng) im osobine: - Komuttivnosti B B - socijtivnosti (B)C (BC) Primer. B C b c b c b c b c Primer. T. Nul mtric () je neutrlni element z sbirnje mtric, tj. vži: Oduzimnje mtric Def. Rzlik mtric [ ik ] m,n i B[b ik ] m,n je mtric C-B [c ik ] m,n, gde je: c ik ik - b ik ; i m k n Primer. - - B C -b c -b c -b c -b c

5 Množenje mrtice Sklrom (brojem, konstntom) Def. Mtric se množi sklrom α tko što se množi svki čln te mtrice s tim sklrom. α [ ik ] m,n [α ik ] m,n Primer T. Opercij množenj mtrice sklrom, gde su α, β sklri,b mrtice, im sledeće osobine: α (B) α α B β (B) β β B ( α, β ) α ( β ) Proizvod mtric Def. Proizvod mtric [ ik ] m,n i B[b ik ] m,p je mtric C[c ik ] m,p. C B C[c ik ] m,p pri čemu je n c ik j ijbjk i m k p Zpis može d glsi i ovko: (mk) B (kn) C (mn) Primer. B b b c b b c b b c b b c C x B 9 9

6 Može i ovkv zpis (veom je prktičn): B 9 9 C Primer. x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * * * * * * * * * * * * * x x T. Z množenje mtrice ne vži zkon komuttivnosti: x B B x Primer Ukoliko z neke mtrice vži B B ond su one komuttivne mtrice. T. Z množenje mtrice vže sledeće osobine: - socijtivnost (B)C (BC) - Desn distributivnost (B)C C BC - Lev distributivnost (BC) B C - Množenje sklrom α (B) (α )B (α B) - Neutrlni element z množenje mtric je jediničn mtric (I) I I Npomen: Z rzliku od sklr gde vži d je: b b,b, z mtrice vži: B,B Primer 8.

7 Def. Množenje mtrice i vektor je uvek vektor. Primer 9. D x D P d d p d d p * * * * Može i ovkv zpis (veom je prktičn): D P

8 Trnsponovn mtric ( T ) Def. Trnsponovn mtric mtrice je mtric T. Vrste i kolone zmene svoj mest, tj. zrotirju se uodnosu n glvnu dijgonlu. m m m n n mn T n n n m m mn T. Opercij trnsponovnj im sledeće osobine: - ( T ) T - (B) T T B T - (α ) T α T ; α R - (B) T B T T Stepenovnje kvdrtne mtrice Def. Stepenovnje kvdrtne mtrice definiše se pomoću:. n. m n mn m,n su nenegtivni celi brojevi. ( m ) n mn

9 Determinnte Prilikom rešvnj sistem jednčin jvil se potreb z determinntm. Determinnt je broj, rešenje, mtrični broj. Obeležv se pomoću dve usprvne crte. Determinnt I red, po definiciji glsi: Determinnt II red: x by e /d cx dy f /(-b) dx bdy ed () -bcx - bdy -fb dx - bcx ed - fb (d - bc)x ed - fb d bc - determinnt sistem x by e /(-c) cx dy f /() -cx - bcy -ec () cx dy f dy - bcy f - ec (d - bc)y f - ce d bc - determinnt sistem c b d d - bc c b d d - bc x ed fb y f ce x e f b d ed fb - det. čln x y c e f f ce - det. čln y x x - rešenje jednčin y y - rešenje jednčin Znči, determinnt II red po definiciji glsi: c b d d - bc Primer. det Mtric Determinnt mtrice

10 Determinnt n-tog red, rzvijnjem po bilo kojoj vresti ili koloni (Lplsovi rzvoji): m m n n mn K K n K n jk n j j K je kofktor i po definiciji glsi: K ij (-) ij gde je Dij determinnt tog red ili se drugčije zove subdeterminnt. Determinnt red je sve što ostne kd se precrt prv vrst i prv kolon, i to je subdeterminnt tog red. D ij Primer. Determinnt trećeg red det (-) (-) (-) ( - ) ( - ) ( - ) Postoji skrćeni postupk (Srgosovo prvilo) z izrčunvnje determinnte trećeg red. Dopisuju se dve kolone i počne rzvijnje n sledeći nčin: det Osobine determinnti T. det det T Primer. T T. ko u determinnti meñusobno promene mest dve vrste (kolone) determinnt menj znk. Primer. -

11 T. Determinnt se množi sklrom α tko što se pomnoži svki element jedne vrste (kolone) tim sklrom. Primer. α det α α α α α α α α α T. ko su elementi jedne vrste (kolone) proporcionlni elementim druge vrste (kolone) td je determinnt jednk nuli (). Primer. α α α α ( ) Primer. 8 *8 * Primer. * * Primer *8*(-) 7*8*(-) ** *8*(-) 8** (-)*7* - - U primeru 7. prv i treć kolon su proporcionlne, jer je prv kolon pomnožen s tri uprvo treć kolon, tko d je determinnt jednk nuli. T. det det () det () Primer * *

12 T. det( B) det () det (B) Primer 9. B det( B) det det det *9 9* 8 det * * - det B * * - det det B (-) (-) T7. Determinnt ne menj vrednost ko se elementi jedne vrste (kolone) pomnože nekim sklrom (brojem) i dodju drugoj vrsti (koloni). Primer. **(-)****(-) ** **(-) **(-) **(-) *(-)* **(-) ** *(-)*(-) **(-) 8-8

13 Rešvnje n-linernih jednčin s n-nepozntih x x n x n b x x n x n b m x m x mn x n b m n x n x nn x n b n Sistem jednčin im rešenj ko je determinnt rzličit od nule n n n n nn Xi n n b b b n n n nn Xi X i Xi Xi - rešenje jednčin - determinnt čln x - determinnt sistem Primer. Rešiti sistem dve jednčine s dve nepoznte? x y x y *(-) * x *(-) * y * * 8 x X y Y -

14 Primer. Rešiti sistem tri jednčine s tri nepoznte? x y z x y z x y z **(-)****(-) ** **(-) **(-) x y z x 8 X 9 y 7 z - Y Z 9 9 -

15 djungovn mtric Def. Nek je dt kvdrtn mtric dimenzij n x n. n n n n nn djungovn mtric mtrice je: dj dj[ ik ] [ ik ] T n n n n nn ik Kofktor ik mtrice. Primer. Npisti djungovnu mtricu mtrice. odj T *-* - *-* - *-* *-* -9 *-* - *-* *-* - *-* - *-* odj 9 T 9

16 Mtrice se mogu koristiti z predstvljnje rvnih grfov. Tkve mtrice se zovu mtrice susedstv, i one su kvdrtnog oblik. Primer. Z grf n slici npisti mtricu susedstv i njenu djungovnu mtricu? - mtric susedstv -Ukoliki su u jednoj vrsti ili koloni sve nule td je rešenje determinnte nul. ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** dj T

17 Inverzn mtric - Def. Inverzn mtric ( - ) je inverzni element z operciju množenj mtric, ko vži: - - I Def. Kvdrtn mtric, koj im inverznu mtricu -, nziv se regulrn, ukoliko nem ond je singulrn kvdrtn mtric. T. Kvdrtn mtric [ ] ij n.. je regulrn ko i smo ko je determinnt det. U tom slučju inverzn mtric se rčun: - dj det Primer. Nći inverznu mtricu ( - ) zdte mtrice. det *(-)**

18 dj T dj 8 T 8 - dj det - 8 -