3 Savijanje kružnih ploča

Транскрипт

1 3 Svijnje kužnih ploč Z izučvnje nponsko - defomcijskog stnj kužne ploče služimo se polnim koodintnim sistemom. Položj svke tčke A se može opisti pomoću dve polne koodinte: dijus položj i ugl ϕ, Slik 3.1. A(,φ) φ Slik 3.1: Polne koodinte Difeencijln jednčin ploče n svijnje u polnim koodintm glsi: ( ) ( 2 w 2 2 ϕ w ) w Z(, ϕ) 2 2 ϕ 2 = K (3.1) Pod pojmom otcion simetij podzumevmo d ništ ne zvisi od koodinte ϕ. Rotciono simetičn funkcij im istu vednost z bilo koji ugo ϕ [0, 2π], z fiksin dijus položj. Kod svijnj kužnih ploč, otcion simetij podzumev d su konstukcij, gnični uslovi i opteećenje otciono simetični. Pi otcionoj simetiji sve funkcije koje su bile funkcije dv pmet, i ϕ, postju funkcije smo jedne pomenljive:. Uzimjući to u obzi, iz (3.1) možemo izvesti difeencijlnu jednčinu svijnj ploče u polnim koodintm z slučj otcione simetije: d 4 w d d 3 w d 3 1 d 2 w 2 d dw 3 d = Z() K Rešenje difeencijlne jednčine se petpostvlj ko zbi homogenog i ptikulnog ešenj: (3.2) w = w h + w p (3.3) Homogeno ešenje pedstvlj ešenje homogene difeencijlne jednčine: d 4 w h d d 3 w h d d 2 w h d dw h d = 0 (3.4) D bismo odedili homogeno ešenje, uvodimo smenu = e t, p se (3.4) svodi n difeencijlnu jednčinu s konstntnim koeficijentim: d 4 w h dt 4 4 d3 w h dt d2 w h dt 2 = 0 (3.5) Homogeno ešenje petpostvljmo u obliku w h = e kt. Zmenom u (3.5) dobijmo kkteističnu jednčinu k 4 4k 3 + 4k 2 = 0 (3.6) čiji su koeni k 1,2 = 0 i k 3,4 = 2 (3.7) 49

2 Končno, homogeno ešenje je: w h = A + B ln + C 2 + D 2 ln (3.8) S A, B, C i D su oznčene integcione konstnte. Ptikulno ešenje pedstvlj bilo koje ešenje koje zdovoljv difeencijlnu jednčinu. U slučju svijnj ploč, ono zvisi isključivo od povšinskog opteećenj. D bismo dobili ptikulno ešenje, difeencijlnu jednčinu (3.2) zpisujemo u obliku: ( d 2 d Izz u dugoj zgdi imenujemo s ) ( d d 2 w p d d 2 d 2 w p d dw p d + 1 dw p d = M K ) = Z() K (3.9) (3.10) p (3.9) izgled: d 2 M d dm = Z() (3.11) d što se može pepkovti ko složeni izvod funkcije n sledeći nčin: ( 1 d dm ) = Z() (3.12) d d Diektnom integcijom (3.12) dobijmo dm d = Z() d (3.13) odnosno d M = Z() d (3.14) Anlogijom difeencijlnih jednčin (3.10) i (3.11), možemo dobiti ptikulno ešenje: w p = 1 d M d (3.15) K Končno ešenje difeencijlne jednčine svijnj kužne ploče pi otcionoj simetiji je: w = w p + A + B ln + C 2 + D 2 ln (3.16) Integcione konstnte A, B, C i D dobijmo iz gničnih uslov. Vžno je npomenuti d ešenje (3.16) pedstvlj tčno ešenje poblem svijnj kužnih ploč. Funkciju ugib nije potebno poksimiti, ko u slučju pvougonih ploč. Tkode, sve ostle sčunte veličine, ko što su pesečne sile, nponi i pomenj, biće tčne, ne pibližne vednosti. Pi otcionoj simetiji, izzi z pesečne sile u funkciji ugib su: ( d 2 w M = K d 2 + ν ) dw d ( ) 1 dw M ϕ = K d + ν d2 w d 2 (3.17) ( d 3 w T = K d d 2 w d 2 1 ) dw 2 d dok su, zbog otcione simetije, pesečne sile M ϕ = M ϕ i T ϕ identički jednke nuli. 50

3 3.1 Pimei Pime 1: Z kužnu ploču opteećenu konstntnim povšinskim opteećenjem odediti izze z ugib i pesečne sile. Nctti dijgme komponentlnih npon u tčkm 1 i E=30 GP ν=0.2 h=0.20 m Z0=100 kn/m Slik 3.2: Pime 1 Rešvnje zdtk počinjemo od opšteg izz z ugib Posmtmo cent ploče, tj koodintni početk, = 0: Kko ugib ne može biti beskončn, kod kužne ploče (koj sdži cent) mo biti p je izz z ugib kužne ploče: Ptikulno ešenje dobijmo ešvjući integle (3.14) i (3.15): Izz z ugib je sd Zbog lkše mnipulcije u jednčinm, koistimo oblik Ukupn ugib mo zdovoljiti gnične uslove. Iz dv gničn uslov n kontui ploče ćemo 51

4 dobiti dve nepoznte integcione konstnte: Z fominje sistem jednčin su potebni sledeći izvodi ugib do koodinti : p je moment svijnj Kutost ploče n svijnje je Sistem jednčin: Integcione konstnte Končno, izzi z ugib i pesečne sile su: U tčkm 1( = 0) i 2( = 3 m) pesečne sile imju sledeće vednosti: M 1 = M ϕ1 = T 1 = M 2 = M ϕ2 = T 2 = p su odgovjuće ekstemne vednosti npon jednke: σ 1,ext = σ ϕ1,ext = τ z1,ext = σ 2,ext = σ ϕ2,ext = τ z2,ext = Dijgmi npon su pikzni n Slici

5 () φ (b) φ z z Slik 3.3: Dijgmi komponentlnih npon: () Tčk 1; (b) Tčk 2 Odedivnje tnsvezlne sile iz uslov vnoteže Kod svijnj kužnih ploč pi otciono simetičnom opteećenju, tnsvezlnu silu T možemo odediti i iz uslov vnoteže vetiklnih sil. Posmtmo deo ploče z poizvoljnn polupečnik, Slik 3.4: Slik 3.4: Uslov vnoteže vetiklnih sil Pime 2: Z kužnu ploču opteećenu konstntnim povšinskim opteećenjem odediti izze z ugib i pesečne sile. Nctti dijgme komponentlnih npon u tčkm 1 i E=30 GP ν=0.2 h=0.20 m Z0=100 kn/m Slik 3.5: Pime 2 Počinjemo, ko i kod pethodnog pime, od izz z ugib kužne ploče: 53

6 Ptikulno ešenje: p je izz z ugib: Ukupn ugib mo zdovoljiti gnične uslove: Fomimo sistem od dve jednčine s dve nepoznte iz kojih ćemo odediti konstnte: Končno, izzi z ugib i pesečne sile su: U tčkm 1( = 0) i 2( = 3 m) pesečne sile imju sledeće vednosti: M 1 = M ϕ1 = T 1 = M 2 = M ϕ2 = T 2 = p su odgovjuće ekstemne vednosti npon jednke: σ 1,ext = σ ϕ1,ext = τ z1,ext = σ 2,ext = σ ϕ2,ext = τ z2,ext = Dijgmi npon su pikzni n Slici 3.6. Zdtk z zmišljnje i diskusiju: Nctti dijgme pesečnih sil u zvisnosti od koodinte z pimee 1 i 2. Upoediti ove dijgme. U čemu se zlikuju momenti svijnj, u čemu tnsvezlne sile? 54

7 () φ (b) φ z z Slik 3.6: Dijgmi komponentlnih npon: () Tčk 1; (b) Tčk 2 Pime 3: Z kužnu ploču opteećenu konstntnim otciono simetičnim povšinskim opteećenjem odediti izz z ugib. b b Slik 3.7: Pime 3 Izvedeno ešenje z ugib (3.16) se ne može pimeniti kd se u ploči jvlj skokovit pomen opteećenj. b I II Usvjmo izze z ugib pve i duge ploče: Slik 3.8: Podel ploče n dv del Šest nepozntih integcionih konstnti odedujemo iz gničnih i pelznih uslov. Gnični uslovi: 55

8 Pelzni uslovi: Neki od pelznih uslov se mogu pojednostviti. Posmtmo izz z momente svijnj: ( d 2 w M = K d 2 + ν ) dw d Iz tećeg pelznog uslov mo d vži: D bi teći pelzni uslov bio ispunjen, potebno je još d: Slično, posmtmo četvti pelzni uslov: Pošto su z = b jednki pvi i dugi izvod ugib, pelzni uslov bio ispunjen, potebno je još d vži: Rešvnjem sistem jednčin dobijmo ešenj z ugib: 0 < < b w I = b 2 { [ 4 (1 ν)b 2 16K 4b (1 + ν) ln b ] + 4(3 + ν)2 (7 + 3ν)b 2 + b 2 ln b } 4(1 + ν) b < < w II = b 2 16K [ 3 + ν 1 + ν 2 ) ( ln 1 ν 2(1 + ν) b2 ) (1 2 2 b 2 ln ] 56

9 Pime 4: Z kužnu ploču opteećenu koncentisnom silom koj deluje u centu ploče odediti izz z ugib. P Slik 3.9: Pime 4 D bismo ešili ovj poblem, koncentisnu silu zmzujemo po kužnoj povšini polupečnik b, Slik 3.10, čime dobijmo povšinsko opteećenje intenzitet : b I II Slik 3.10: Koncentisn sil zmzn po kužnoj povšini; podel ploče n kužnu i pstenstu ploču Ovim smo zdtk sveli n ešvnje tećeg pime, čij su ešenj: w I = b 2 { [ 4 (1 ν)b 2 16K 4b (1 + ν) ln b ] + 4(3 + ν)2 (7 + 3ν)b 2 + b 2 ln b } 4(1 + ν) w II = b 2 [ ) 3 + ν (1 16K 1 + ν ln 1 ν ) (1 2(1 + ν) b2 2 2 b 2 ln ] Pošto ploč I u suštini ne postoji, ugib posmtne ploče je jednk ugibu ploče II kd polupečnik b teži nuli (b 0): w = P [ 3 + ν 16Kπ 1 + ν 2 Mksimln ugib se jvlj u centu ploče: w mx ( = 0) = ) ( ln ] 57 P ν 16Kπ 1 + ν

10 Zdci z zmišljnje i diskusiju: 1. Dti su izzi z pesečne sile kužne ploče opteećene koncentisnom silom u svom centu. Nctti dijgme pesečnih sil u zvisnosti od koodinte, koisteći sledeće podtke: E = 30 GP, ν = 0.2, h = 0.2 m, = 3 m, P = 900π kn. (1 + ν)p M = ln 4π ( (1 + ν)p M ϕ = ln 4π + 1 ν ) 1 + ν T = P 2π Dobijene vednosti upoediti s pvim pimeom (pimetiti d je intenzitet sile P jednk ezultnti povšinskog opteećenj zdtog u pimeu 1). 2. Iz uslov vnoteže vetiklnih sil izvesti izz z tnsvezlnu silu T. Pime 5: Z kužnu ploču opteećenu momentim svijnj po kontui, Slik 3.11, odediti izze z ugib i pesečne sile. m m Slik 3.11: Pime 5 Izz z ugib je: Pišemo gnične uslove n kontui = : Fomimo sistem jednčin: čij su ešenj: p su izzi z ugib i pesečne sile: 58

11 3.2 Zdci z vežbu 1. Z ploču s Slike 3.12 odediti izze z ugib i pesečne sile. Nctti dijgme komponentlnih npon u tčki = 2 m. 4 4 E=30 GP ν=0.2 h=0.12 m Z0=50 kn/m 2 Slik 3.12: Zdtk 1 2. Z ploču pikznu n Slici 3.13 odediti izze z ugib i pesečne sile. Nctti dijgme komponentlnih npon u tčki = 5 m Slik 3.13: Zdtk 2 E=30 GP ν=0.2 h=0.12 m Z0=50 kn/m 2 3. Z ploču pikznu n Slici 3.14 odediti izze z ugib i pesečne sile. Nctti dijgme komponentlnih npon u tčki = 5 m Slik 3.14: Zdtk 3 E=30 GP ν=0.2 h=0.12 m Z0=50 kn/m 2 4. Z ploču pikznu n Slici 3.15 odediti izze z ugib i pesečne sile. Pomenje oslonc c o im otciono simetični kkte. c o c o E=30 GP ν=0.2 h=0.12 m c o =1 cm Slik 3.15: Zdtk 4 5. Ploču pikznu n Slici 3.16 stviti tko d se mogu pimeniti izveden ešenj ugib z kužne i pstenste ploče. Usvojiti izze z ugib z sve ploče. Odediti gnične i pelzne uslove iz kojih bi se odedile integcione konstnte. 59

12 P P 3 2 Slik 3.16: Zdtk 5 60