Станко Ћорић, Анина Глумац, Зоран Перовић

Транскрипт

1 Универзитет у Београду Грађевински факултет Студијски програм: Модул: Година/Семестар: ГРАЂЕВИНАРСТВО ЗАЈЕДНИЧКЕ ОСНОВНЕ СТУДИЈЕ I година / 2. семестар Назив предмета (шифра): ТЕХНИЧКА МЕХАНИКА 2 (б3о1т2) Наставник : Станко Ћорић, Анина Глумац, Зоран Перовић Наслов предавања: Предавање 13 Датум : Београд, Сва ауторска права аутора презентације и/или видео снимака су заштићена. Снимак или презентација се могу користити само за наставу на даљину студента Грађевинског факултета Универзитета у Београду у школској 2021/2022. и не могу се користити за друге сврхе без писмене сагласности аутора материјала.

2 Осцилације Осцилаторно кретање Кретање механичког система при којем положаји тачака варирају (осцилују) око неког референтног положаја. У оквиру предмета Техничка механика 2 разматраће се проблематика осцилација система са једним степеном слободе кретања. Познавање ове материје представља основу за анализу осцилаторног кретња система са више степени слободе. Грађевински факултет Универзитета у Београду,

3 Осцилације Оваква врста кретања јавља се у великом броју проблема грађевинске технике. утицај земљотреса Грађевински факултет Универзитета у Београду,

6 Осцилације Оваква врста кретања јавља се у великом броју проблема грађевинске технике. утицај ветра Грађевински факултет Универзитета у Београду,

7 Осцилације Оваква врста кретања јавља се у великом броју проблема грађевинске технике. утицај ветра Грађевински факултет Универзитета у Београду,

8 Осцилације Оваква врста кретања јавља се у великом броју проблема грађевинске технике. утицај кретања возила Грађевински факултет Универзитета у Београду,

9 Осцилације Оваква врста кретања јавља се у великом броју проблема грађевинске технике. утицај кретања људи Грађевински факултет Универзитета у Београду,

10 Осцилације Оваква врста кретања јавља се у великом броју проблема грађевинске технике. утицај рада машина утицај експлозија Грађевински факултет Универзитета у Београду,

11 mm - маса материјалне тачке (крутог тела) kk - крутост еластичне опруге cc - коефицијент вискозног пригушења FF(tt) - спољашња (принудна) сила Линеарно еластична опруга * сила у опрузи FF oooo = kkkk ıı Вискозни пригушивач * сила вискозног отпора RR = ccxx ıı Грађевински факултет Универзитета у Београду,

12 mm aa = FF ıı kk xx mm xx = kkkk ccxx + FF zz 0 = NN mmmm NN = mmmm mm xx + ccxx + kkkk = FF - диференцијална једначина кретња Грађевински факултет Универзитета у Београду,

13 Класификација кретања линеарног осцилатора mm xx + kkkk = 0 mm xx + ccxx + kkkk = 0 mm xx + kkkk = FF mm xx + ccxx + kkkk = FF - слободне непригушене осцилације - слободне пригушене осцилације - принудне непригушене осцилације - принудне пригушене осцилације Грађевински факултет Универзитета у Београду,

14 Слободне непригушенe осцилације mmxx + kkkk = 0 xx + kk mm xx = 0 xx + ωω 2 xx = 0 ωω = kk mm - Кружна фреквенција слободних непригушених осцилација xx = CCee rrrr rr 2 CCee rrrr + ωω 2 CCee rrrr = 0 rr 2 + ωω 2 = 0 rr 1,2 = ±iiii xx = CC RR + iicc II ee iiωωtt + CC RR iicc II ee iiωωtt ee iiωωtt = cos ωωωω + ii sin ωωωω xx = CC 1 cos ωωωω + CC 2 sin ωωωω Грађевински факултет Универзитета у Београду,

15 Слободне непригушенe осцилације xx + ωω 2 xx = 0 xx = CC 1 cos ωωωω + CC 2 sin ωωωω xx = CC 1 ωω sin ωωωω + CC 2 ωω cos ωωωω п.у. xx 0 = xx 0 vv 0 = xx 0 = vv 0 CC 1 = xx 0 CC 2 = vv 0 ωω xx = xx 0 cos ωωωω + vv 0 ωω sin ωωωω Грађевински факултет Универзитета у Београду,

16 Слободне непригушенe осцилације xx = xx 0 cos ωωωω + vv 0 ωω sin ωωωω xx = AA cos ωωωω εε AA = xx vv 0 ωω 2 εε = tan 1 vv 0 ωωxx 0 Грађевински факултет Универзитета у Београду,

17 AA Слободне непригушенe осцилације εε амплитуда осциловања фазни угао ωω (сопствена) кружна фреквенција rrrrrr/ss TT = 2ππ ωω (сопствени) период осциловања ss ff = 1 TT (сoпствена) фреквенција осциловања HHHH Грађевински факултет Универзитета у Београду,

18 Слободне непригушенe осцилације Приказане диф.једначине за праволинијско кретање су применљиве и у анализи кретања других система са једним степеном слободе кретања. mm φφ ll + mmmm sin φφ = 0 JJ AA φφ + mmmmmm sin φφ = 0 φφ 1 sin φφ φφ cos φφ 1 φφ 1 sin φφ φφ cos φφ 1 φφ + gg ll φφ = 0 φφ + mmmmmm JJ AA φφ = 0 ωω 2 ωω 2 Грађевински факултет Универзитета у Београду,

19 Пример: Осцилације система са n=1 Штап AAAA се креће у вертикалној равни и при томе врши мале осцилације. Опруга је ненапрегнута када се штап налази у хоризонталном положају. Написати диференцијалну једначину осциловања. Грађевински факултет Универзитета у Београду,

20 Слободне пригушенe осцилације mmxx + ccxx + kkkk = 0 xx + cc mm xx + kk mm xx = 0 ωω = kk mm - Кружна фреквенција слободних непригушених осцилација xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = 0 ζζ = cc 2mmmm - Релативно пригушење xx = CCee rrrr rr 2 CCee rrrr + 2ζζζζζζζζee rrrr + ωω 2 CCee rrrr = 0 rr 2 + 2ζζζζζζ + ωω 2 = 0 rr 1,2 = ζζζζ ± ωω ζζ 2 1 rr 1,2 = cc 2mm ± cc 2mm 2 ωω 2 Грађевински факултет Универзитета у Београду,

21 Слободне пригушенe осцилације * Случај ВЕЛИКОГ ПРИГУШЕЊА ζζ 2 1 > 0 ζζ > 1 cc 2mm 2 ωω 2 > 0 cc > 2mmmm * Случај КРИТИЧНОГ ПРИГУШЕЊА ζζ 2 1 = 0 ζζ = 1 cc 2mm 2 ωω 2 = 0 cc = 2mmmm * Случај МАЛОГ ПРИГУШЕЊА ζζ 2 1 < 0 ζζ < 1 cc 2mm 2 ωω 2 < 0 cc < 2mmmm Грађевински факултет Универзитета у Београду,

22 Слободне пригушенe осцилације * ВЕЛИКО ПРИГУШЕЊE ζζ > 1 cc > 2mmmm rr 1,2 су реални и различити xx tt = CC 1 ee rr 1tt + CC 2 ee rr 2tt rr 1,2 = ζζζζ ± ωω ζζ 2 1 xx tt = ee ζζζζtt AA 1 cosh ωω tt + AA 2 sinh ωω tt ωω = ωω ζζ 2 1 xx tt = ee ζζζζtt xx 0 cosh ωω tt + vv 0 ωω + ζζxx 0 sinh ωω tt Кретање нема осцилаторни карактер lim xx tt = 0 tt Грађевински факултет Универзитета у Београду,

23 Слободне пригушенe осцилације * КРИТИЧНО ПРИГУШЕЊE ζζ = 1 cc = cc cccc = 2mmmm rr 1,2 = ωω xx tt = CC 1 + ttcc 2 ee ωωtt xx tt = xx ωωωω + vv 0 tt ee ωωtt Кретање нема осцилаторни карактер lim xx tt = 0 tt Грађевински факултет Универзитета у Београду,

24 Слободне пригушенe осцилације * МАЛО ПРИГУШЕЊE ζζ < 1 cc < 2mmmm rr 1,2 су конјуговано комплексни бројеви rr 1,2 = ζζζζ ± iiωω dd ωω dd = ωω 1 ζζ 2 - Кружна фреквенција пригушених слободних осцилација xx tt = ee ζζζζtt BB 1 ee iiωωddtt + BB 2 ee iiωω ddtt xx tt = ee ζζζζtt CC 1 cos ωω dd tt + CC 2 sin ωω dd tt xx tt = ee ζζζζtt xx 0 cos ωω dd tt + vv 0 + ζζζζxx 0 ωω dd sin ωω dd tt Грађевински факултет Универзитета у Београду,

25 Слободне пригушенe осцилације * МАЛО ПРИГУШЕЊE xx tt = ee ζζζζtt CC 1 cos ωω dd tt + CC 2 sin ωω dd tt xx tt = ee ζζζζtt xx 0 cos ωω dd tt + vv 0 + ζζζζxx 0 ωω dd sin ωω dd tt xx = AA dd ee ζζζζtt cos ωω dd tt εε dd AA dd = xx vv 0 + xx 0 ζζζζ ωω dd 2 εε = tan 1 vv 0 + xx 0 ζζζζ ωω dd xx 0 Грађевински факултет Универзитета у Београду,

26 Слободне пригушенe осцилације * МАЛО ПРИГУШЕЊE ωω dd = ωω 1 ζζ 2 TT dd = 2ππ ωω dd - Период осциловања слободних пригушених осцилација Осцилаторно кретање код кога, услед пригушења, долази до сталног опадања амплитуда. Грађевински факултет Универзитета у Београду,

27 Слободне пригушенe осцилације * МАЛО ПРИГУШЕЊE Логаритамски декремент - мера величине пригушења δδ 0 = ln xx nn xx nn+2 δδ 0 = 2ππ ζζ 1 ζζ 2 ζζ 1 δδ 0 2ππππ Грађевински факултет Универзитета у Београду,