Станко Ћорић, Анина Глумац, Зоран Перовић

Транскрипт

1 Универзитет у Београду Грађевински факултет Студијски програм: Модул: Година/Семестар: ГРАЂЕВИНАРСТВО ЗАЈЕДНИЧКЕ ОСНОВНЕ СТУДИЈЕ I година / 2. семестар Назив предмета (шифра): ТЕХНИЧКА МЕХАНИКА 2 (б3о1т2) Наставник : Станко Ћорић, Анина Глумац, Зоран Перовић Наслов предавања: Предавање 05 Датум : Београд, Сва ауторска права аутора презентације и/или видео снимака су заштићена. Снимак или презентација се могу користити само за наставу на даљину студента Грађевинског факултета Универзитета у Београду у школској 2021/2022. и не могу се користити за друге сврхе без писмене сагласности аутора материјала.

2 -ОСНОВНИ ПОЈМОВИ МЕХАНИКЕ -ПОЛОЖАЈ МАТЕРИЈАЛНЕ ТАЧКЕ -КОНАЧНЕ ЈЕДНАЧИНЕ КРЕТАЊА, ТРАЈЕКТОРИЈА, ЗАКОН ПУТА -БРЗИНА И УБРЗАЊЕ МАТЕРИЈАЛНЕ ТАЧКЕ -ПРИМЕРИ Грађевински факултет Универзитета у Београду,

3 Основни појмови механике РЕКАПИТУЛАЦИЈА ОСНОВНИХ ПОЈМОВА ИЗ МЕХАНИКЕ - Kретање - Посматрано и референтно тело - Инерцијални (просторни) координатни систем OO xxxxxx и материјални (покретни) координатни систем AA ξξξξξξ - Mатеријална тачка, - Систем материјалних тачака, - Тело Грађевински факултет Универзитета у Београду,

4 Основни појмови механике Степени слободе и генералисане координате Број степени слободе кретања nn је број међусобно независних скаларних параметара који су потребни и довољни да се једнозначно опише положај (односно кретање) посматраног система. Генералисане координате qq ii ii = 1,2,, nn су усвојени међусобно независни скаларни параметри (дужине и/или углови) помоћу којих се једнозначно описује положај (одн. кретање) посматраног система. Грађевински факултет Универзитета у Београду,

5 Основни појмови механике Степени слободе и генералисане координате - Слободна материјална тачка у простору nn = 3 - Слободна материјална тачка у равни nn = 2 qq 1 = xx qq 2 = yy qq 3 = zz Генералисани координатни систем: - Декартове координате xx, yy, zz - Поларно цилиндричне координате ρρ, φφ, zz - Сферне координате RR, φφ, θθ Грађевински факултет Универзитета у Београду,

6 Кинематика је грана механике која проучава геометрију кретања механичких објеката не улазећи у узроке који то кретање изазивају. Материјална тачка - тело занемарљивих димензија Грађевински факултет Универзитета у Београду,

7 Положај материјалне тачке Вектор положаја тачке: rr = xx, yy, zz = xxıı + yyȷȷ + zzkk Koначна једначина кретања - векторски облик - скаларни облик rr = rr (t) xx = xx tt yy = yy tt zz = zz tt Грађевински факултет Универзитета у Београду,

8 Tрајекторија (путања) је геометријско место тачака у којима се тачка нашла током кретања односно током времена трајекторија - путања је ходограф вектора положаја Koначне једначине су истовремено и једначине путање у параметарском облику xx = xx tt yy = yy tt zz = zz tt eлиминација параметра t ff 1 xx, yy, zz = 0 ff 2 xx, yy, zz = 0 Грађевински факултет Универзитета у Београду,

9 Закон пута ss tt је функција дужине пређеног пута ss tt - лучна координата - одређује положај тачке на трајекторији у сваком тренутку Одређивање закона пута из коначних једначина кретања tt ss = dddd 0 dddd - диференцијал пута ddrr dddd Грађевински факултет Универзитета у Београду,

10 Закон пута Одређивање закона пута из коначних једначина кретања ddrr = dddd, dddd, dddd xx = dddd dddd ddrr = xx ddtt, yy dddd, zz dddd = dd dddd - извод по времену dddd ddrr = dddd 2 + ddyy 2 + ddzz 2 = xx 2 + yy 2 + zz 2 dddd tt ss = dddd = 0 0 tt xx 2 + yy 2 + zz 2 dddd ss = ss tt Грађевински факултет Универзитета у Београду,

11 Класификација кретања Према облику путање Према закону пута - Праволинијско - Равномерно - Криволинијско кретање у простору кретање у равни (нпр. кружно) - Једнолико променљиво - Периодично - Опште Грађевински факултет Универзитета у Београду,

12 Вектор средње брзине Посматра се тачка у два коначно удаљена положаја PP и PP у тренуцима tt и tt + Δtt: Средња брзина у интервалу Δtt: Брзина и убрзање тачке vv ssss = Δrr Δtt = rr tt + Δtt rr tt Δtt (Tренутна) брзина тачке - гранична вредност vv ssss када Δtt 0 vv = lim Δtt 0 vv ssss = lim Δtt 0 rr tt + Δtt rr tt Δtt = ddrr dddd = rr (tt) Грађевински факултет Универзитета у Београду,

13 Вектор средњег убрзања Брзина и убрзање тачке Познати су вектори брзина тачке у два временска тренутка tt и tt + Δtt: Средње убрзања у интервалу Δtt: aa ssss = Δvv Δtt = vv tt + Δtt vv tt Δtt (Tренутнo) убрзање тачке - гранична вредност aa ssss када Δtt 0 aa = lim Δtt 0 aa ssss = lim Δtt 0 vv tt + Δtt vv tt Δtt = ddvv dddd = vv = dd2 rr ddtt 2 = rr Грађевински факултет Универзитета у Београду,

14 Декартове координате * Коначна једначина кретања: rr = rr (tt) rr = xx(tt), yy(tt), zz(tt) * Брзина: vv = rr (tt) vv = xx (tt), yy (tt), zz (tt) * Убрзање: aa = vv tt = rr aa = xx (tt), yy (tt), zz (tt) Грађевински факултет Универзитета у Београду,

15 Природни координатни систем Ако је позната коначна једначина кретања и закон пута, природан координатни систем дефинисан у свакој тачки криве линије Јединични вектори десне оријентације природног система су: ττ, nn, bb. - орт тангенте: ττ = ddrr dddd - вектор прве кривине (флексије): KK = ddττ dddd - орт главне нормале: nn = KK KK KK = 1 ρρ - орт бинормале: bb = ττ nn Грађевински факултет Универзитета у Београду,

16 Природни координатни систем Вектор брзине: vv = ddrr dddd = ddrr ddss dddd dddd = ddss ττ = ss ττ dddd vv = ss ττ Вектор брзине тачке лежи у правцу тангенте на трајекторију у посматраној тачки. Грађевински факултет Универзитета у Београду,

17 Природни координатни систем Вектор убрзања: aa = ddvv dddd = dd dddd (ss ττ ) = ss ττ + ss ddττ ddtt ddττ ddtt = ddττ ddss ddss dddd = ss 1 ρρ nn aa = ss ττ + ss 2 ρρ nn тангенцијално убрзање aa TT = dddd dddd = vv = ss нормално (центрипетално) убрзање aa NN = ss 2 ρρ = vv2 ρρ Грађевински факултет Универзитета у Београду,

18 Кретање тачке по кружници - кружница полупречника RR - закон кретања тачке се приказује преко лучне координате ss (или преко централног угла φφ) ss = RR φφ vv = vvττ aa TT = aa TT ττ aa NN = aa NN nn vv = ss = RR φφ aa TT = ss = RR φφ aa NN = vv2 RR = RRφφ 2 RR ωω - угаона брзина = RR φφ 2 εε - угаоно убрзање Грађевински факултет Универзитета у Београду,

19 Кретање тачке по кружници vv = RRωω ττ aa TT = RRεε ττ aa NN = RRωω 2 nn ωω = φφ - угаона брзина тачке при кружном кретању εε = φφ - угаоно убрзање тачке при кружном кретању Грађевински факултет Универзитета у Београду,

20 Пример: Дате су коначне једначине кретања тачке: xx tt = 4cccccccc + 3 [mm, ss] yy tt = 4ssssssss 2 - Одредити трајекторију и закон пута. - Брзину и убрзање тачке у Декартовим и природним координатама. Грађевински факултет Универзитета у Београду,