( ) ( ) ( 1) Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

Транскрипт

1 Ztk (Orl, ekoomsk škol) Nđi zbroj svih brojev između i 6 jeljivih s Rješeje Priro broj b jeljiv je priroim brojem ko postoji priro broj k tkv je b k Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Broj ziv se rzlik (iferecij) ritmetičkog iz Aritmetički iz je jeozčo oređe ko zmo prvi čl i rzliku Opći čl ritmetičkog iz s prvim člom i rzlikom im oblik ( ) + Zbroj prvih člov ritmetičkog iz je formulom Zko istribucije možej prem zbrjju s + ( ) ( ) b + c b + c, b + c b + c Mormo ći brojeve jeljive s, veće o, mje o 6 Tržimo jmji četverozmeksti broj koji je jeljiv s, veći je o : : 0 Tržimo jveći četverozmeksti broj koji je jeljiv s, mji je o 6 6 : 77 6 : 7 60 : 79 9 : 77 : 70 7 : : 77 : 779 : 70 : 7070 : 70 : 7 Dkle, riječ je o ritmetičkom izu Prvi čl je 6, posljeji Rzlik izosi jer iz čie brojevi jeljivi s Broj člov iz oreit ćemo pomoću formule z opći čl iz + ( ) + ( ) ( ) ( ) /

2 Zbroj izosi: s 6 [ 6 ] s + s Vježb Nđi zbroj svih brojev između i 7 jeljivih s Rezultt: 096 Ztk (Bor, srej škol) Z su četiri broj Prv tri čie geometrijski iz, posljej tri ritmetički iz Zbroj prvog i četvrtog broj jek je, zbroj rugog i trećeg broj jek je Oreite ze brojeve Rješeje Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Broj ziv se rzlik (iferecij) ritmetičkog iz Aritmetički iz je jeozčo oređe ko zmo prvi čl i rzliku Svki čl ritmetičkog iz (osim prvog) jek je ritmetičkoj sreii vju susjeih člov iz (prethoik i sljebeik) Niz ( ) je geometrijski iz ko je svki čl iz, počevši o rugog, jek prethoom člu pomožeom s kosttom 0, tj + Broj ziv se kvocijet geometrijskog iz Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispre jeg stl: Niz je geometrijski ko je svki čl (osim prvog) geometrijsk srei vju susjeih člov + + Zko istribucije možej prem zbrjju ( ) ( ) b + c b + c, b + c b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b

3 , c + b c,, c + c b b b b b b ičic Nek su, b, c i tržei brojevi Prem uvjetim ztk možemo zpisti sljeeće ježbe: prv tri broj čie geometrijski iz posljej tri broj čie ritmetički iz b c b c b c b c c b + zbroj prvog i četvrtog broj jek je + zbroj rugog i trećeg broj jek je Promtrmo sustv ježbi: b + c + zbrojimo + + b + c 6 ( + c) + ( b + ) 6 b + c ježbe uvjet ritmetičkog iz ( + c) + c 6 + c + c 6 c b + + c 6 6 c Iz ježbe b + c slijei b c Pomoću sustv ježbi izrčumo c b c 6 c ( c) ( 6 c) c 76 c + c 6 c c b c 76 c + c 6 c + c 0 c 0 c c 6 c + 0 c 0 c /: c 6 c + 0, b 6, c, b 6, c ( 6) ± ( 6) b ± b c c, c, c ± ± ± c, c, c, 6 0 c

4 6 6 c c c 6 6 c c c Postoje v skup rješej Z c izrčumo, b, 6 c 6 c 6 c 6 c b c b c b c b c ( 6 ) 6 c c c c b b 6 b Brojevi su: b c 6 0 Z c izrčumo, b, 6 c 6 c 6 c 6 c b c b c b c b c ( 6 ) 6 c c c + + Brojevi su: 6 6 c b b 6 b b c 6 0 ičic Nek su, b, c i tržei brojevi Prv tri broj čie geometrijski iz (kvocijet je ) p ih možemo zpisti ovj či:, b, c Posljej tri broj su človi ritmetičkog iz z koje vrijei: c c c b c b + c c b b Dkle, tržee brojeve možemo zpisti sljeeći či:,,, Iz uvjet ztk smijemo pisti vije ježbe: zbroj prvog i četvrtog broj jek je + zbroj rugog i trećeg broj jek je

5 + Promtrmo sustv ježbi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) poijelimo ježbe + + / , b 7, c b ± b c, b 7, c, ( ) ( ) 7 ± , ±, ±, ±, 7 Postoje v skup rješej Izrčumo z ( ) ( ) ( ) + Brojevi b, c i izose: /: b b b 6 c c c b 6 c 0 Tržei brojevi su:, 6,, 0 Izrčumo z

6 ( ) / Brojevi b, c i izose: b b b c c c 6 b b 6 b 6 c c c Tržei brojevi su:, 6,, 0 Ztk im v skup rješej:, 6,, 0 i, 6,, 0 Vježb Z su četiri broj Prv tri čie geometrijski iz, posljej tri ritmetički iz Zbroj prvog i četvrtog broj jek je, zbroj rugog i trećeg broj jek je Oreite ze brojeve 9 Rezultt:,,, i,,, Ztk (L, srej škol) Zltko je olučio štejeti Prvi je u ksicu ubcio kuu Svki sljeeći ubcit će 0 lip više ego što je ubcio prethoog Koliko će ukupo ku uštejeti tj či z? Rješeje k 00 lp Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Broj ziv se rzlik (iferecij) ritmetičkog iz Aritmetički iz je jeozčo oređe ko zmo prvi čl i rzliku Zbroj prvih člov ritmetičkog iz je formulom s ( ) + 6

7 Uočimo se u ztku ri o ritmetičkom izu Prvi čl je k, rzlik 0 lp 00 k Izrčujmo koliko će ku Zltko uštejeti z s ( ) s ( ) s [ + 00 ] [ ] s + s s s s 0 s k Vježb Zltko je olučio štejeti Prvi je u ksicu ubcio kuu Svki sljeeći ubcit će 0 lip više ego što je ubcio prethoog Koliko će ukupo ku uštejeti tj či z? Rezultt: 0 k Ztk (Tomislv, srej škol) Rješeje Koliki je umožk rugog, osmog i šesestog čl iz s općim člom A 6 B 6 C D m m b b,, 0,, + Fukcij efiir skupu priroih brojev je beskoč iz (slije) f : N R Niz se može zti formulom kojom se opći čl, tj ti čl iz izržv pomoću reog broj Ogovor je po A Vježb Koliki je umožk četvrtog i veset petog čl iz s općim člom Rezultt: B A B 0 C D 6 Ztk (Mturtic, gimzij) Drugi čl geometrijskog iz jek je, peti čl istog iz je Oreimo osmi čl ovog iz Rješeje 7

8 m b c m + m m m,,,, m ( ) c b Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Niz ( ) je geometrijski iz ko je svki čl iz, počevši o rugog, jek prethoom člu pomožeom s kosttom 0, tj + Broj ziv se kvocijet geometrijskog iz Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispre jeg stl: Opći čl geometrijskog iz s prvim člom i kvocijetom im oblik, Svki čl iz (osim prvog) jek je geometrijskoj sreii člov koji prethoi i čl koji slijei promtri čl Sličo vrijei i z člove -k i +k simetričo rspoređee oko čl k k, k < + ičic poijelimo ježbe Rčumo S je: S je: / /, 7 ( ) ( ) 7 7 ( ) ičic ( ) /:

9 Vježb ičic,,, 7 ( ),, + /: Drugi čl geometrijskog iz jek je, peti čl istog iz je Oreimo osmi čl ovog iz Rezultt: 6 Ztk 6 (Dio, gimzij) O kojeg čl u izu (slijeu) su sljeeći človi mji o 00? + Rješeje 6 Fukcij efiir skupu priroih brojev je beskoč iz (slije) f : N R Niz se može zti formulom kojom se opći čl, tj ti čl iz izržv pomoću reog broj Decimli broj piše se u obliku ecimlog rzlomk tko se u brojik piše zi ecimli broj bez ecimle točke, u zivik se piše eksk jeiic (0, 00, 000, 0000, 00000, ) koj im toliko ul koliko ecimli broj im eciml (zmek ecimlom mjestu, tj iz ecimle točke ili ecimlog zrez) < c b >, b c + 00 < 00 < 00 < > + > > 00 > 99 > 99 / > 99 > 99 0 Vježb 6 O kojeg čl u izu (slijeu) su sljeeći človi mji o 00? + Rezultt: 0 Ztk 7 (Mir, gimzij) Duljie stric prvokutog trokut su tri uzstop čl ritmetičkog iz rzlike Plošti trokut je: Rješeje 7 A P + B P C P 6 D P 9

10 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Broj ziv se rzlik (iferecij) ritmetičkog iz Aritmetički iz je jeozčo oređe ko zmo prvi čl i rzliku b b + b, + b + b + b ( ) ( ) m m, + D bi umožk bio jek uli, ovoljo je je fktor bue jek uli b 0 0 ili b 0 il i b 0 Zko istribucije možej prem zbrjju ( ) ( ) b + c b + c, b + c b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Trokut je io rvie omeđe s tri užie Te užie zovemo strice trokut Prvokuti trokuti imju je prvi kut (kut o 90º) Strice koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, julj stric je hipoteuz prvokutog trokut Pitgori poučk Trokut ABC je prvokut ko i smo ko je kvrt hipoteuzom jek zbroju kvrt ktetm Plošti prvokutog trokut čije su ktete i b je formulom b P b - c b + Buući su uljie stric prvokutog trokut tri uzstop čl ritmetičkog iz rzlike, možemo zpisti: b, b, c b +, gje su i b uljie ktet, c je ulji hipoteuze prvokutog trokut Z prvokuti trokut vrijei Pitgori poučk zbog čeg je b + b c ( b ) + b ( b + ) c b + b b + + b b + b + b b + + b b + b + b + b b b + b b 0 b b 0 b 0

11 b 0 em smisl b ( b ) 0 b 0 b b 0 Rčumo b b Plošti prvokutog trokut izosi: P b P P P 6 b Ogovor je po C Vježb 7 Duljie stric prvokutog trokut su tri uzstop čl ritmetičkog iz rzlike Plošti trokut je: Rezultt: C A P B P C P D P 6 Ztk (A, B, TUPŠ) N šhovskoj ploči imezije x stvljmo zr riže N prvo polje stvljmo tri zr, rugo v zr više ego prvo, treće v zr više ego rugo i tko reom Koliko smo ukupo stvili zr riže šhovsku ploču? Rješeje Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Zbroj prvih člov ritmetičkog iz je formulom s ( ) + Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Ako se prvo polje stve tri zr riže, svko sljeeće v zr više, riječ je o ritmetičkom izu Buući šhovsk ploč imezije x im 6 polj (kvrt), slijei: 6,, 6 6 s + ( ) s 6 + ( 6 ) 6 s 6 + ( 6 ) s 6 [ 6 6 ] [ 6 6 ] + s 6 + s 6 s 6

12 Vježb N šhovskoj ploči imezije x stvljmo zr riže N prvo polje stvljmo v zr, rugo v zr više ego prvo, treće v zr više ego rugo i tko reom Koliko smo ukupo stvili zr riže šhovsku ploču? Rezultt: 60 Ztk 9 (Mri, srej škol) Zbroj 0 uzstopih prih priroih brojev izosi 0 Koji je o jih jveći broj? Rješeje 9 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Broj ziv se rzlik (iferecij) ritmetičkog iz Aritmetički iz je jeozčo oređe ko zmo prvi čl i rzliku Opći čl ritmetičkog iz s prvim člom i rzlikom im oblik ( ) + Zbroj prvih člov ritmetičkog iz je formulom s ( ) + Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Priro broj je pr ko je višekrtik broj, ooso ko je jeljiv brojem bez osttk, epr ko ije pr Pri priroi brojevi su:,, 6,, 0,, ( je priro broj), Buući su zi uzstopi pri priroi brojevi, riječ je o ritmetičkom izu čij je rzlik Iz uvjet ztk slijei: 0 s ( ) [ 0 ] s 0 ( 0 ) s s + s /: + Njveći po reu je trieseti čl /:

13 0 + ( ) 0 + ( 0 ) Vježb 9 Zbroj 0 uzstopih prih priroih brojev izosi 0 Koji je o jih jmji broj? Rezultt: Ztk 90 (Kiki, gimzij) Goie strosti petero brće čie ritmetički iz Zbroj goi jstrije vojice jek je zbroju goi ostle trojice, ok svi osim jmlđeg imju ukupo 7 goi Koliko goi im jmlđi brt? Rješeje 90 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Nek su,,, i goie brće reom po strosti, o jmlđeg o jstrijeg To su človi ritmetičkog iz Iz uvjet ztk obije se sustv ježbi: meto zmjee /: 6 Rčumo goie strosti jmlđeg brt 7 Vježb 90 Goie strosti petero brće čie ritmetički iz Zbroj goi jstrije vojice jek je zbroju goi ostle trojice, ok svi osim jmlđeg imju ukupo 7 goi Koliko goi im jstriji brt? Rezultt:

14 Ztk 9 (Dor, gimzij) U ritmetičkom izu sstvljeom o rzličit čl,,, prvi čl je Izostvimo li rugi čl iz, preostl tri čl,, tvore geometrijski iz Koliki je zbroj svih člov ritmetičkog iz? Rješeje 9 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Niz je geometrijski ko je kvocijet svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi Broj zovemo kvocijet (količik) geometrijskog iz,,,, 6, Svki čl geometrijskog iz (osim prvog) jek je geometrijskoj sreii susjeih člov (prethoik i sljebeik) + + b b b b, + b + b + b,, c c c b c c + b c, + b b b b ( ) ( ) Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Zko istribucije možej prem zbrjju ( ) ( ) b + c b + c, b + c b + c D bi umožk bio jek uli, ovoljo je je fktor bue jek uli b 0 0 ili b 0 il i b 0 Nek su z prv četiri čl ritmetičkog iz:,,, to jest, +, +, + Ako je t iz glsi:, +, +, + Izostvimo li rugi čl iz preostl tri čl čie geometrijski iz z koji vrijei: ( ) ( ), +, ( )

15 0 em smisl + 0 /: + 0 Rčumo vrijeosti člov ritmetičkog iz Zbroj člov izosi: Vježb 9 U ritmetičkom izu sstvljeom o rzličit čl,,, prvi čl je Izostvimo li rugi čl iz, preostl tri čl,, tvore geometrijski iz Koliki je umožk svih člov ritmetičkog iz? Rezultt: Ztk 9 (Iv, gimzij) Zbroj tri uzstop čl ritmetičkog iz je, umožk Koji je jveći čl iz? Rješeje 9 b + b b ( ) ( ) Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Ako je > 0 iz je rstući, tj + > Ako je < 0 iz je pjući, tj + < Tri uzstop čl ritmetičkog iz, zbog jeostvosti, zpist ćemo sljeeći či:

16 Njihov zbroj je p izrčumo sreji čl,, /: Isto tko rimo i z umožk ov tri čl iz koji izosi ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + /: / 9 9 /, ± 9 Postoje v ritmetičk iz: [ ],, + + ( ) ( ) [ ] + + ( ) + ( ) +,, Njveći čl iz je broj, u ob slučj Vježb 9 Zbroj tri uzstop čl ritmetičkog iz je, umožk Koji je jmji čl iz? Rezultt: Ztk 9 (Iv, gimzij) U geometrijskom izu je zbroj prvih 6 člov jek trostrukom zbroju prvih triju člov Koliki je kvocijet iz? Rješeje 9 m m ( ), Niz ( ) je geometrijski iz ko je svki čl iz, počevši o rugog, jek prethoom člu pomožeom s kosttom 0, tj + Broj ziv se kvocijet (količik) geometrijskog iz Ako je kžemo je iz kostt 6 ( )

17 Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispre jeg stl: Zbroj prvih člov geometrijskog iz je S, Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Kko zpisti je broj b put veći o broj? b b b,, Iz uvjet ztk slijei: 6 6 S 6 S / ( ) ( ) 6 zmje t t + 0 t, b, c t t + 0 b ± b c, b, c t, ( ) ( ) ± ± 9 ± t, t, t, + t t t ± t t, t t t t Vrćmo se zmjeu t / je r ješeje t t t / em smisl jer Vježb 9 U geometrijskom izu je zbroj prvih triju člov jek trećii zbroj prvih 6 člov Koliki je kvocijet iz? Rezultt: 7

18 Ztk 9 (Kiki, gimzij) Uutrji kutovi koveksog terokut (mogokut) čie ritmetički iz s rzlikom Oreite, ko je jveći kut tog terokut 60 Rješeje 9 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Broj ziv se rzlik (iferecij) ritmetičkog iz Aritmetički iz je jeozčo oređe ko zmo prvi čl i rzliku Opći čl ritmetičkog iz s prvim člom i rzlikom im oblik ( ) + Zbroj prvih člov ritmetičkog iz je formulom Zko istribucije možej prem zbrjju S + ( ) ( ) b + c b + c, b + c b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Mogokut (poligo ili terokut) je skup svih točk rvie omeđe užim Zbroj uutrjih kutov mogokut s stric je formulom: K 0 ( ) ( ) Dogovor! Zbog jeostvosti u pisju izostvljmo simbol z stupj Preoblikovt ćemo formulu z zbroj prvih člov ritmetičkog iz ( ) ( ) ( ) + + S + S + S + S ( ) + S ( ) Iz uvjet ztk slijei: ( ) S 0 60 ( ) 0 ( ) S ( ) ( ) 0 60 ( ) ( ) 0 [ 0 + ] ( ) 0 [ ] ( ) 0 [ ] / ( ) [ ]

19 /: + 7 0, b 7, c, b 7, c 7 ± 7 ( ) b ± b c,, ± + ± ±,,, em smisl Vježb 9 Uutrji kutovi koveksog terokut (mogokut) čie ritmetički iz s rzlikom Oreite, ko je jveći kut tog terokut 6 Rezultt: Ztk 9 (Mrko, gimzij) Zbroj šest uzstopih priroih brojev je 7 Koliki je jihov jmji zjeički višekrtik? Rješeje 9 Skup priroih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo: N,,,,,,, +, { } Priroih brojev im bezbroj (beskočo) Neposrei prethoik priroog broj je broj z mji o tog broj Svki priroi broj osim broj im svog prethoik Neposrei sljebeik priroog broj je broj z veći o tog broj Svki priroi broj im svog sljebeik Njmji zjeički višekrtik priroih brojev, b, c, (ozk zv(, b, c, )) je jmji priroi broj koji je jeljiv s svkim o tih brojev Priroi brojevi koji su jeljivi smo s i s smim sobom zovu se prosti ili prim brojevi Brojevi koji imju više o v jelitelj su složei brojevi Svki se složei broj može rstviti proste fktore Zbroj prvih priroih brojev rču se po formuli: ( + ) ( ) + Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b ičic Nek je zo šest uzstopih priroih brojev: 9

20 , +, +, +, +, + Buući je jihov zbroj 7, slijei: To su brojevi: /: 6 7, +, +, +, +, + 7,, 9, 0,, D bismo šli jihov jmji zjeički višekrtik rstvit ćemo brojeve proste fktore Njmji zjeički višekrtik izosi: zv ( 7,, 9, 0,, ) ičic Nek je zo šest uzstopih priroih brojev:,,, +, +, + Buući je jihov zbroj 7, slijei: /: 6 9 To su brojevi:,,, +, +, + 7,, 9, 0,, D bismo šli jihov jmji zjeički višekrtik rstvit ćemo brojeve proste fktore Njmji zjeički višekrtik izosi: zv ( 7,, 9, 0,, ) ičic Nek je zo šest uzstopih priroih brojev:, +, +, +, +, + Buući je jihov zbroj 7, slijei: 0 ( ) ( ) /: 6 7

21 To su brojevi:, +, +, +, +, + 7,, 9, 0,, D bismo šli jihov jmji zjeički višekrtik rstvit ćemo brojeve proste fktore Njmji zjeički višekrtik izosi: zv 7,, 9, 0,, ( ) Vježb 9 Zbroj četiri uzstop priro broj je Koliki je jihov jmji zjeički višekrtik? Rezultt: 0 Ztk 96 (Ktri, gimzij) Zbroj tri broj koji čie rstući geometrijski iz izosi 6 Ako je sreji čl tog iz jek, koliko izosi jmji? Rješeje 96 Niz ( ) je geometrijski iz ko je svki čl iz, počevši o rugog, jek prethoom člu pomožeom s kosttom 0, tj + Broj ziv se kvocijet geometrijskog iz Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispre jeg stl: Opći čl geometrijskog iz s prvim člom i kvocijetom im oblik, Geometrijski iz ( ) je rstući z: > 0, > < 0, 0 < < Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b ičic Nek su z tri broj koji čie rstući geometrijski iz to jest,,,,,

22 Njihov zbroj je 6, sreji čl p vrijei sustv ježbi: /: / /:, b, c b ± b c, b, c, ( ) ( ) ± ± 60 76,, ± ±,, 6 96 rstući iz 6 pjući iz Rčumo člove i rstućeg geometrijskog iz /: 6, 96 Človi rstućeg geometrijskog iz su: 6,, 96 p je jmji čl 6 ičic Nek su z tri broj koji čie rstući geometrijski iz to jest,,,,, Njihov zbroj je 6, sreji čl p vrijei sustv ježbi:

23 / /:, b 7, c b ± b c, b 7, c, ( ) ( ) 7 ± 7 7 ± 9 6,, ± ±,, 7 rstući iz pjući iz Rčumo člove i rstućeg geometrijskog iz 6 96 Človi rstućeg geometrijskog iz su: 6,, 96 p je jmji čl 6 Vježb 96 Zbroj tri broj koji čie rstući geometrijski iz izosi 6 Ako je sreji čl tog iz jek, koliko izosi jveći? Rezultt: 96 Ztk 97 (Domgoj, gimzij) Između brojev i iterpoliro je 6 brojev, tko svih brojev čie ritmetički iz Kolik je rzlik (iferecij)? Rješeje 97 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,

24 , Opći čl ritmetičkog iz s prvim člom i rzlikom im oblik ( ) + Ako između v z broj i b treb iterpolirti (umetuti) r brojev tko obivei iz bue ritmetički, u kojem je prvi, b posljeji čl iz, rzlik se obije po formuli: b r + prvih člov ritmetičkog iz je formulom Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b ičic Ako između brojev i iterpolirmo 6 brojev obije se:, b r b r + ičic Buući između brojev i treb umetuti 6 člov tko obivei iz bue ritmetički, prvi čl će biti, posljeji (osmi) Rčumo rzliku pomoću formule z opći čl ritmetičkog iz ( ) ( ) ( ) + + ( ) / [ ] Vježb 97 Između brojev i 6 iterpoliro je 6 brojev, tko svih brojev čie ritmetički iz Kolik je rzlik (iferecij)? Rezultt: Ztk 9 (A, gimzij) Gume kuglic ispušte je s visie o m tvru pologu Svki put k uri u ju obije se o visie Koliko izosi ukup put (pj i poizj) koji prevli kuglic o svog mirovj? Rješeje 9 Geometrijski re koverget je o i smo o ko vrijei <

25 Njegov je sum jek S Rčumo put kuglice smo pri pju Svkim pom pologu kuglic se obije o visie Prvi put kuglic je pl s visie: h Drugi put kuglic je pl s visie: h Treći put kuglic je pl s visie: h h 9 Četvrti put kuglic je pl s visie: h h, it 9 7 Ukup put S pri pju kuglice jek je zbroju geometrijskog re s beskočo mogo člov čiji je izos S h + h + 9 h + h +, kvocijet re 7 Rčumo put kuglice smo pri poizju S h Svkim urom u pologu kuglic se obije o visie Prvi put kuglic je osegl visiu h jer ko poizj e može postići početu visiu h Drugi put kuglic je osegl visiu: h h 9 Treći put kuglic je osegl visiu: h h, it 9 7 Ukup put S pri poizju kuglice jek je zbroju geometrijskog re s beskočo mogo člov S h + h + h +, kvocijet re 9 7 čiji je izos Ili S h

26 S S h S h h jer kuglic ko poizj e osege početu visiu h Ukup put S koji prevli kuglic o svog mirovj izosi: S S + S S h + h h S h h S h m m m m m ( ) m 6 m m Vježb 9 Gume kuglic ispušte je s visie o 6 m tvru pologu Svki put k uri u ju obije se o visie Koliko izosi ukup put (pj i poizj) koji prevli kuglic o svog mirovj? Rezultt: 0 m Ztk 99 (Krlo, srej škol) Koliko izosi zbroj svih trozmekstih brojev jeljivih s i? Rješeje 99 Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Opći čl ritmetičkog iz s prvim člom i rzlikom im oblik ( ) + Zbroj prvih člov ritmetičkog iz je formulom S ( ) + Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Zko istribucije možej prem zbrjju ( ) ( ) b + c b + c, b + c b + c Skup priroih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo: N,,,,,,, +, { } Priroih brojev im bezbroj (beskočo) Neposrei sljebeik priroog broj je broj z veći o tog broj Svki priroi broj im svog sljebeik Višekrtik broj je umožk tog broj i ekog priroog broj k Zbroj prvih priroih brojev rču se po formuli: 6

27 ičic 7 ( ) ( ) + Tržei priroi brojevi jeljivi su s i p morju biti višekrtici broj, ( ) N, je priro broj Njmji trozmeksti broj jeljiv s je jveći N 7 0, N Zbroj S svih trozmekstih brojev jeljivih s i izosi: [ ] S S ( ) ( ) S ( ) ( ) S S S S [ 67 7 ] ičic [ ] S S 90 S 0 Tržei priroi brojevi jeljivi su s i p morju biti višekrtici broj, ( ) N, je priro broj Njmji trozmeksti broj jeljiv s je jveći N 7 0, N Uočimo riječ je o ritmetičkom izu čiji je prvi čl 0, posljeji 990, rzlik Izrčujmo broj člov iz ( ) ( ) ( ) ( ) / Zbroj S svih trozmekstih brojev jeljivih s i izosi: S ( + ) 0 S ( ) S ( ) 990 S 0 09 S 0 Vježb 99 Koliko izosi zbroj svih vozmekstih brojev jeljivih s i? Rezultt:

28 Ztk 00 (L, gimzij) Tri broj čie silzi ritmetički iz Njihov zbroj je 9 Ako se prvi uveć z, iz postje geometrijski Koliko izosi treći broj u izu? Rješeje 00 m m, + Niz (slije) je ritmetički ko je rzlik svkog čl iz (osim prvog) i čl ispre jeg stl i izosi,,,, 6,,, Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk poijeliti istim brojem rzličitim o ule i jeiice, 0, b b Niz ( ) je geometrijski iz ko je svki čl iz, počevši o rugog, jek prethoom člu pomožeom s kosttom 0, tj + Broj ziv se kvocijet geometrijskog iz Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispre jeg stl: Nek su x i y pozitivi brojevi T je jihov geometrijsk srei efiir izrzom G x y Niz je geometrijski ko je svki čl (osim prvog) geometrijsk srei vju susjeih člov + + Možeje zgr ( + b) ( c + ) c + + b c + b Nek su z tri broj koji čie ritmetički iz,, Buući je iz silz (pjući) ritmetički iz, možemo zpisti Zbroj člov je 9 p slijei: +,,, > /: Človi silzog ritmetičkog iz glse: +,, Ako se prvi čl uveć z iz postje geometrijski +,,, + +,,, 7 +,,

29 Z geometrijski iz vrijei: 7 + ( ) ( ) , b, c + 0 b ± b c, b, c, ( ) ± 6 6, ± +, ±, + ±, je rješeje 6 ije rješeje jer mor biti > 0 Treći broj u izu izosi: [ ] Vježb 00 Tri broj čie silzi ritmetički iz Njihov zbroj je 9 Ako se prvi uveć z, iz postje geometrijski Koliko izosi sreji broj u izu? Rezultt: 9