Zanimljivi zadatci s brojem 2017

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Zanimljivi zadatci s brojem 2017"

Транскрипт

1 Poučak 7. Uvod Kataria Vicetić, Sježaa Majstorović Zadatci s brojem tekuće godie često se pojavljuju a školskim, župaijskim i državim matematičkim atjecajima za učeike sredjih škola. Takve zadatke astavici mogu uključiti i u redovu astavu prilagođavajući ih astavoj cjelii koju obrađuju.. Kako osmisliti zadatke s brojem tekuće godie? Svaki astavik dovoljo je vješt da sam može osmisliti zadatke s brojem tekuće godie, a u sklopu astave cjelie koju obrađuje. Međutim, za stvaraje takvih zadataka mogu poslužiti sliči zadatci s prošlogodišjih atjecaja ili zadatci iz astavih udžbeika. Zadatci s prošlogodišjih atjecaja dostupi su a web straicama atjecaja iz matematike v. []. Svaki ih astavik može potražiti, odabrati oe u kojima se pojavljuje broj tadašje tekuće godie, te ih modificirati u zadatke s brojem 07. Kada astavik odabere takve zadatke, potrebo je razmisliti o ačiima i mogućosti jihova modificiraja u zadatke s brojem 07. Pogledajmo sljedeće primjere... Primjer (Državo atjecaje iz matematike,. razred, B varijata, 06.) Riješite ejedadžbu Prije samog modificiraja zadatka, pogledajmo ideju jegova rješavaja. Zadatak rješavamo tako da dodamo pet puta a obje strae ejedadžbe, sredimo izraze, prebacimo sve pribrojike a lijevu strau i izlučimo zajedički faktor. Dobivamo Kataria Vicetić, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek Sježaa Majstorović, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek 6 Poucak 7.idd ::05

2 ( ) Izraz u drugoj zagradi je egativa jer je svaki od prvih 5 razlomaka maji od svakog od drugih 5 razlomaka. Stoga je izraz maji ili jedak uli ako i samo ako je 00 0, pa je rješeje zadatka 00, + ). Zadatak želimo modificirati tako da ideja rješavaja ostae ista, a da se u zadatku pojavljuje broj tekuće godie, broj 07. U ovom slučaju to možemo učiiti a više ačia. Jeda mogućost je dodavaje pribrojika, i to jedog a lijevu, a drugog a desu strau ejedadžbe, prateći pritom postojeće pribrojike. Pogledajmo: Druga mogućost je, ako želimo da broj pribrojika ostae isti, izbacivaje prvih pribrojika a lijevoj i desoj strai ejedadžbe i umjesto jih dodavaje pribrojika kao u prethodom slučaju: Kada smo proučili ideju rješavaja zadatka, možemo se i malo više poigrati prilikom jegova sastavljaja. Umjesto zajedičkog faktora 00, možemo zahtijevati da zajedički faktor bude pr. 08. Tada, umjesto uzastopih godia a lijevoj i brojeva a desoj strai ejedadžbe, možemo kreuti pr. od tekuće godie i uzeti tri prethode epare godie. Dobivamo: Rješavaje modificiraih ejedadžbi prepuštamo čitatelju!.. Primjer (Školsko atjecaje iz matematike,. razred, B varijata, 06.) Ako je + i i f ( ) = +, gdje je, i =, koliko je f ( 06) f ( 06) +? 7 Poucak 7.idd ::06

3 Poučak 7 Rješeje: Kako je i sličo slijedi i i f ( + 06) = i + i i i = = = = i = + i + i i i 06 =, + i i 06. ( + ) = + = f ( ) f Ključa korak u rješavaju ovog zadatka je djeljivost broja 06 s. Kako je 07 prost broj, ovaj zadatak e možemo modificirati u zadatak s brojem 07, a da ideja jegova rješavaja ostae ista. Možemo li to učiiti sljedeće godie? Ideju osmišljavaja zadataka s brojem tekuće godie astavici mogu pokazati i učeicima te ih učiiti stvarateljima, a ujedo i rješavateljima zadataka. Naprimjer, prilikom poavljaja obrađeih cjelia ili cjelokupog gradiva, astavici mogu uputiti učeike u metode stvaraja takvih zadataka, a oda od jih zatražiti da pokušaju samostalo osmisliti barem jeda zadatak te vrste. Nako što su zadatci uspješo osmišljei, učeici ih rješavaju i o jima raspravljaju. Na taj ači uloga učeika ije samo u rješavaju zadataka, već moraju razmišljati i o ačiima i o mogućosti jihova modificiraja kako bi dobili smisleo rješeje. Učeici postaju aktivi stvaratelji i sudioici astave!. Zadatci U ovom odjeljku zadatci su podijeljei u četiri poglavlja koja se redom odose a prvi, drugi, treći i četvrti razred sredje škole. Uutar svakog poglavlja grupirai su s obzirom a eke cjelie koje se obrađuju a astavi matematike a toj razii prateći gimazijski program. 8 Poucak 7.idd ::06

4 .. Zadatci za prvi razred sredje škole Jeda od astavih cjelia u prvom razredu sredje škole je Potecije i algebarski izrazi. Uutar te cjelie mogu se osmisliti razi zaimljivi zadatci s brojem 07. Prije proučavaja samih zadataka učeici trebaju pooviti defiiciju potecije i pravila za račuaje s potecijama i algebarskim izrazima.... Zadatak Odredite cijele brojeve < < < 4 < 5 < 6 < za koje vrijedi = 07. Rješeje: 7 Kako je = 048 > 07, mora vrijediti 0. S obzirom da je i = = 0, rješeje zadatka je uređea sedmorka ( ) = ( ),,,,,, 0,5,6,7,8,9, Zadatak Izračuajte Rješeje: = = = = = Zadatak Odredite posljedje dvije zameke broja Poucak 7.idd ::06

5 Poučak 7 Rješeje: Neposredim izračuavajem utvrđujemo da brojevi 6,6,6,6,6,6,...završavaju redom zamekama 6,6,96,76,56,6,... pa se posljedje dvije zameke periodičo poavljaju, i to s periodom od 5 brojeva. Kako je 07 = , to broj 6 07 završava istim zamekama kao i 6, tj. posljedje dvije zameke broja 6 07 su redom i Zadatak Odredite posljedje tri zameke broja Rješeje: Nako izlučivaja zajedičkog faktora dobivamo = + 0 = 5 00 = 5 00 = 00. ( ) Potecije broja dva koje su veće od imaju zadje zameke redom, 4, 8, 6,, 4, 8, 6... pa zaključujemo kako zadju zameku 6 imaju oe potecije čiji je ekspoet djeljiv s 4. Budući da je 00 = , zadja zameka broja 00 jedaka je 4, a možejem sa 00 dobivamo da su zadje tri zameke redom 4, 0 i Zadatak Skratite razlomak Rješeje: Izlučivajem zajedičkog faktora i korištejem formule za razliku kubova dobivamo 07 ( ) = ( ) ( 07 07) ( ) 07 ( ) = = Poucak 7.idd ::06

6 ..6. Zadatak Dokažite da ako je zbroj ekih 07 prirodih brojeva djeljiv sa 6, oda je i zbroj jihovih kubova djeljiv sa 6. Rješeje: Izlučivajem zajedičkog faktora i korištejem formule za razliku kvadrata, za svaki priroda broj a vrijedi da je broj a a= aa ( )( a+ ) djeljiv sa 6, jer je umožak triju uzastopih brojeva uvijek djeljiv sa 6. Stoga je i a a + a a a a djeljiv sa 6. Možemo ga apisati u obliku ( a + a + + a07 ) ( a + a + + a07 ) Kako je zbroj a + a a djeljiv sa 6, to je i zbroj kubova 07 a + a a djeljiv brojem Zadatak Ako je a b : ( ) a a a b :, b a + + = b a b b 07 koliko je a b? Rješeje: Račuajem umoška ( a b) a b a b + b a = = ab b a zadaa jedakost prelazi u a b a b a a : :, b a + = b a b b 07 odoso a b =. a 07 + b Poucak 7.idd ::06

7 Poučak 7 Slijedi a a + = b b a 08 = 06 b a 06 =. b Zadatak 4 Rastavite a faktore izraz Rješeje: Rastaviti a faktore višečlai algebarski izraz zači zapisati ga u obliku umoška. Dodavajem i oduzimajem mooma i korištejem formule za razliku kubova dai izraz postaje ( ) ( ) 06( ) ( )( ) ( )( 07 ) = = = Zadatak Odredite priroda broj tako da vrijedi jedakost = Zadatak Odredite posljedju zameku broja Zadatak Odredite posljedje dvije zameke broja Zadatci u koje također možemo uključiti broj 07, a koji su primjerei učeicima prvog razreda sredje škole, zadatci su u kojima se trebaju primijeiti pravila za djeljivost prirodih brojeva.... Zadatak Odredite šesterozamekaste brojeve oblika a07b koji su djeljivi s 6. Rješeje: Broj je djeljiv s 6 ako i samo ako je djeljiv s 4 i s 9. Prema tome, broj 7b djeljiv je s 4 (dvozamekasti završetak), a zbroj a b= 0+ a+ bdjeljiv je s 9. Poucak 7.idd ::06

8 Na osovi djeljivosti broja 7b s 4 dobivamo b {,6 }. Iz toga slijedi b= : 9 0+ a+ a= 6, b= 6 : a+ 6 a=. Tražei brojevi su 60 7 i Zadatak Koliko ajviše elemeata može imati podskup skupa {,,..., 07} tako da za svaka dva elemeta a i b tog podskupa broj a + b ije djeljiv brojem a b? Rješeje: Tvrdimo da je odgovor 67. U podskupu e smijemo imati uzastope elemete a i b = a + jer dijeli a + b. Također, u podskupu e smijemo imati a i b = a + jer dijeli a + b = a +. Dakle, među tri uzastopa broja u podskupu se može alaziti ajviše jeda. Zato podskup s tražeim svojstvom može imati ajviše 67 elemeata. Podskup A = {, 4, 7..., 04, 07} sastavlje od brojeva koji pri dijeljeju s daju ostatak ima 67 elemeata. Za bilo koja dva elemeta a, b Î A broj a b je djeljiv s, a broj a + b daje ostatak, pa a b e dijeli a + b... Zadatci za drugi razred sredje škole Na početku drugog razreda sredje škole učeici upozaju skup kompleksih brojeva, susreću se s pojmom imagiara jediica, defiiraju ga i uočavaju kako za proizvolju poteciju imagiare jediice vrijedi, = 4k, 4 i = k+ i =, k 0,, = 4k + i, = 4k+ a takvo svojstvo poteciraja daje am broje mogućosti za sastavljaje zadataka s kompleksim brojevima, pa tako i oih u kojima se pojavljuje broj Zadatak Izračuajte vrijedost izraza i + i + i + i + i i + i + i + i. Poucak 7.idd ::06

9 Poučak 7 Rješeje: Kako za proizvolju poteciju i vrijedi prethodo avedea formula, razvrstat ćemo pribrojike iz zadatka u četiri skupie: (504 člaa) (504 člaa) (504 člaa) (504 člaa). 4 Vrijedost izraza jedaka je ( i) i ( ) =.... Zadatak Za koje će prirode brojeve izraz + i i biti reala broj? Koliko je takvih koji su maji od 07? Rješeje: + i + i + i = = ( + i). i i + i Razmotrit ćemo dva slučaja: ( ) ( ) ( ) ( ) k k ( ) ( ) k k = k: + i = + i = + i = + i+ i = i. Ovo će biti reala broj ako i samo ako je k para, tj. = 4l. k+ k ( ) ( ) ( ) ( ) = k+ : + i = + i = i + i. Ne postoji takav k za koji je ovaj izraz reala broj. Prirodih brojeva majih od 07 koji su djeljivi s 4 ima 50. U drugom polugodištu drugog razreda obrađuje se astava cjelia Ekspoecijala i logaritamska fukcija. Kako bi učeici uspješo rješavali zadatke s logaritamskom fukcijom, trebaju zati jezia svojstva.... Zadatak Dokažite da je log + log... log... log < k 07 Rješeje: Prema svojstvu za logaritam kvocijeta dobivamo Poucak 7.idd ::06

10 k + log + = log = log( k+ ) log ( k). k k Zbrajajem takvih izraza za sve k {,,...,07} imamo log + log... log... log k = ( log log) + ( log log ) ( log08 log07) = log08 log = log 08. Budući da je 08 < 048 =, slijedi log08 < log = pa smo time dokazali zadau ejedakost...4. Zadatak Riješite jedadžbu log + log + log log = Rješeje: Primjeom svojstava logaritamske fukcije lijevu strau jedadžbe možemo zapisati ovako: log07 + log07 + log log07 = ( ) log = log 07. Sada je polaza jedadžba ekvivaleta jedadžbi log = Iz prethode jedakosti slijedi 08 = 07, tj. 08 = Zadatak log 07 log07 Usporedite brojeve a = i b = 07. Rješeje: Koristeći svojstva logaritamske fukcije imamo 5 Poucak 7.idd ::07

11 Poučak 7 log 07 log = log 07 log log07 = log log log07 = log log ( ) = log07 log i log07 log07 = log log07 07 log = log07 log07 log = log07 log07 ( ) = log log07. Zaključujemo loga= log b, tj. a= b...6. Zadatak Pokažite da je umožak rješeja jedadžbe 6 07 = log07 07 priroda broj. Rješeje: Logaritmirajem jedadžbe po bazi 07 i primjeom svojstava logaritamske fukcije dobivamo log07 07 log07 07 = log07 log = 07 log +log 07 07log log07 log07 + log0707 = 07log07 ( log07 ) 07( log 07 ) + = 0. Uvođejem zamjee log 07 = t dobivamo kvadratu jedadžbu t -07 t+ = 0, Poucak 7.idd ::07

12 iz koje slijedi, korištejem Vieteovih formula, t + t = 07. Vraćajući zamjeu u prethodu jedakost dobivamo 07 Zaključujemo da je = 07. log + log = ( ) log = Zadatak Neka su i y pozitivi reali brojevi za koje vrijedi Dokažite da je..8. Zadatak y >. y = 6 i log + log y > log07 06 Izračuajte umožak rješeja jedadžbe 06 =... Zadatci za treći razred sredje škole Za učeike trećih razreda sredje škole, broj 07 uklopit ćemo uutar trigoometrijskih zadataka, tj. zadataka s fukcijama sius, kosius, tages i kotages.... Zadatak Odredite sve parove (, y) realih brojeva za koje vrijedi Rješeje: 4 si( 5y). 07 Najveća vrijedost fukcije sius jedaka je pa vrijedi ( y) si 5 0. S obzirom da je 0, ejedakost ima smisla ako i samo ako su joj obje strae jedake Stoga je = 0. π π kπ Nadalje, iz si( 5y) = slijedi 5y = + kπ, a oda i y =, k. 0 5 Zaključujemo da su tražei parovi realih brojeva oblika π kπ 0,, k Poucak 7.idd ::07

13 Poučak 7... Zadatak (Župaijsko atjecaje iz matematike,. razred, B varijata, 06.) Pokažite da vrijedost izraza si π si π si π + + e ovisi o. Rješeje: Korištejem svojstva periodičosti fukcije sius i adicijskog idetiteta za sius razlike imamo 06π 07π 08π si si si + + π π = si ( 67π) + si 67π si 67 + π π π = si + si si + π π π π = si + si cos cos si + si cos cos si = si + si cos + si cos. Sređivajem izraza te primjeom temeljog trigoometrijskog idetiteta dobivamo 06π 07π 08π si si si si cos + + = + = pa vrijedost zadaog izraza e ovisi o.... Zadatak Riješite jedadžbu 07π si cos + =. si 07 ( + π ) Rješeje: Pojedostavimo lijevu strau jedadžbe koristeći svojstvo periodičosti fukcije sius, temelji trigoometrijski idetitet i trigoometrijski idetitet za sius dvostrukog kuta: 8 Poucak 7.idd ::07

14 07π π si cos si cos + + = si 07 si ( + π) ( + π) cos + cos = si cos cos = si cos si = = si. si ( ) Sada rješavamo jedadžbu si π =, tj. si =. Rješeja su = + kπ, k. Međutim, to je ultočka azivika pa zadatak ema rješeja...4. Zadatak Dokažite sljedeću jedakost + cos =. ( ) ( ) cos 0 Rješeje: Korištejem trigoometrijskog idetiteta polovičog kuta za fukciju kosius, desa straa zadae jedakosti jedaka je pa treba dokazati jedakost Kako je i aalogo, dobivamo ( 07 07) ( 06 06) =. ( ) = = ( 07 07) = čime je jedakost dokazaa. ( 06 06) = 06 06, =,..5. Zadatak Neka su a, b, c duljie straica trokuta, a a, b, g redom asuproti kutovi. Ako je ctg γ a + b = 07 c, izračuajte. ctg α + ctg β 9 Poucak 7.idd ::07

15 Poučak 7.4. Zadatci za četvrti razred sredje škole U četvrtom razredu sredje škole eke od astavih cjelia koje se obrađuju a astavi matematike su Nizovi i Fukcije. Zadatke s brojem tekuće godie grupirat ćemo u te dvije cjelie. 0 Pogledajmo prvo zadatke s izovima..4.. Zadatak Da je iz brojeva tako da je svaki čla toga iza, počevši od drugog, jedak zbroju jegova dva susjeda člaa (zbroju jegovog prethodika i sljedbeika). Zbroj prvih 8 člaova je 7, a zbroj prvih 9 člaova je. Odredite zbroj prvih 07 člaova tog iza. Rješeje: Ozačimo s a prvi i s b treći čla tog iza. Na osovi uvjeta zadatka dai iz je oblika a, a+ b, b, a, a+ b, b, a, a+ b, b,... ( ) Dakle, iz je periodiča s periodom duljie 6. Primijetimo da je zbroj prvih 6 člaova jedak 0, jer imamo tri para suprotih brojeva, pa je zbog periodičosti zbroj svakih 6 uzastopih člaova jedak 0. Kako je zbroj prvih 8 člaova jedak 7 i 8 = 6 +, slijedi a+ a+ b= a+ b= 7. Nadalje, zbroj prvih 9 člaova jedak je i 9 = , prema tome a+ a+ b+ b+ a + a+ b = b= ( ) ( ( )) pa je a =. Koačo, zbog 07 = 6 6 +, zaključujemo da je zbroj prvih 07 člaova iza jedak a =..4.. Zadatak Zada je iz, 5, 8,, 4... Odredite 07. čla tog iza. Rješeje: Zadai iz je aritmetički iz s prvim člaom a = i razlikom d = a a = 5 = =. Prema formuli za opći čla aritmetičkog iza slijedi a = + = 07 ( 07 ) Zadatak Tri različita reala broja a, 07 i b su tri uzastopa člaa geometrijskog iza. Ako su brojevi a+ 07, b+ 07 i a + b tri uzastopa člaa aritmetičkog iza, odredite brojeve a i b. Rješeje: Niz a+ 07, b+ 07, a+ b je aritmetički, a budući da je svaki čla aritmetičkog iza, osim prvog, jedak aritmetičkoj sredii člaa eposredoprije jega i člaa eposredo ako jega, slijedi Poucak 7.idd ::07

16 a a+ b b + 07 = b + 07 a =. 07 b Niz a,07, b je geometrijski kojem je q = =. Kako je kvadrat svakog a 07 člaa geometrijskog iza, osim prvog, jedak umošku člaa eposredo prije jega i člaa eposredo ako jega, slijedi ab = 07. b + 07 b = 07, b + 07b 07 = 0. Iz prethode jedakosti dobivamo ± + ± b = = b = 07, b = 404. Iz b 07 slijedi b = 404. Tada je b a = =. Ljepota matematike je u tome što uutar jedog zadatka možemo kombiirati više cjelia koje se obrađuju tijekom jede školske godie pa se tako a ovogodišjem školskom atjecaju za učeike četvrtih razreda sredje škole - A varijata pojavio zadatak u kojem se spomije broj 07, a koji od učeika zahtijeva pozavaje izova, ali i pricipa matematičke idukcije koji se također obrađuje u četvrtom razredu Zadatak (Školsko atjecaje iz matematike, 4. razred, A varijata, 07.) Nizovi ( ) i ( ) y zadai su rekurzivo: =, y =, + = + y, za sve ; y = + y, za sve. 07 Dokažite da je 07 y07 = 8. Rješeje: + Dokažimo matematičkom idukcijom da za svaki prirodi broj vrijedi y = Baza idukcije. Za = imamo y = = 8. Pretpostavimo da za eki priroda broj vrijedi y = Poucak 7.idd ::08

17 Poučak 7 Tada je ( ) ( ) + + = + + y y y ( ) ( ) = 9 + 6y + y + 6y + 9y = 8 8y = 8 y = = Prema pricipu matematičke idukcije slijedi 8 y = za svaki priroda broj. Budući da smo tvrdju dokazali za sve prirode brojeve, tvrdja posebo vrijedi i za = 07, što je tražeo u zadatku Zadatak 07 a Neka je a = 07 i eka je ( a ) iz takav da je a = a i a + = a za. Postoji li priroda broj takav da je a 07? Rješeje: Takav priroda broj e postoji. Dokažimo matematičkom idukcijom da za svaki priroda broj vrijedi a < Baza idukcije. Za = vrijedi a = 07 < 07. Pretpostavimo da za eki priroda broj vrijedi a < 07. Tada je a 07 a = a < + a = 07. Po pricipu matematičke idukcije slijedi a < 07 za svaki priroda broj. Kako bi uspješo rješavali zadatke s fukcijama, učeici trebaju zati defiirati pojam fukcija, te osova svojstva elemetarih fukcija Zadatak Neka su a, b i c reali brojevi i f : fukcija zadaa formulom f a b csi , f ( ) = + + Ako je f ( ) = odredite ( ) Rješeje: 5 = 5 = i ( ) Budući da je ( ), ( ) Iz toga je si = si, vrijedi f 07 = 07 a 07 b csi07. ( ) 5 5 ( ) ( ) f 07 = 07 a+ 07 b+ csi07 = f 07 = Zadatak Izračuajte a b c + ako je f ( + ) = + 07 i ( ) ( ) f + + f + = a + b+ c. Poucak 7.idd ::08

18 Rješeje: Iz uvjeta ( ) Kako je i slijedi f + = + 07 dobivamo f ( ) = f (( ) + ) = ( ) + 07( ) = = ( ) ( ) ( ) f + = = = ( ) ( ) ( ) f + = = = , ( ) ( ) odoso a=, b= 4040 i c = 6056 pa je f + + f + = , a b+ c = = Zadatak Prvi čla iza je 7, a svaki sljedeći čla dobije se tako što se prethodi kvadrira, zbroje se zameke i doda. Tako su sljedeća dva člaa 4 i 7. Odredite 07. čla iza Zadatak Odredite vrijedost polioma ( ) 06 Py, = + 07 y, ako je + + y 4y+ 5 = 0. Literatura. A. Horvatek, Natjecaja iz matematike u RH, 008, dostupo a: B. Dakić, N. Elezović, Matematika udžbeik i zbirka zadataka za. razred gimazije, Elemet, Zagreb, 00.. B. Dakić, N. Elezović, Matematika udžbeik i zbirka zadataka za. razred gimazije -. dio, Elemet, Zagreb, B. Dakić, N. Elezović, Matematika udžbeik i zbirka zadataka za. razred gimazije -. dio, Elemet, Zagreb, B. Dakić, N. Elezović, Matematika 4 udžbeik i zbirka zadataka za 4. razred gimazije -. dio, Elemet, Zagreb, 00. Poucak 7.idd ::08