Numerička matematika. 11. predavanje. Saša Singer i Nela Bosner. PMF - Matematički odsjek, Zagreb 1 / 96

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Numerička matematika. 11. predavanje. Saša Singer i Nela Bosner. PMF - Matematički odsjek, Zagreb 1 / 96"

Транскрипт

1 1 / 96 Numeričk mtemtik 11. predvnje Sš Singer i Nel Bosner PMF - Mtemtički odsjek, Zgreb

2 2 / 96 Sdržj predvnj Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul

3 Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul 3 / 96

4 Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul 4 / 96

5 5 / 96 Težinske integrcijske formule sžetk Do sd smo rdili integrcijske formule oblik w(x)f (x) dx = I m (f ) + E m (f ), I m (f ) = (ispuštmo gornje indekse m) u kojim su m w k f (x k ), k=0 čvorovi integrcije x 0,..., x m bili unprijed zdni/fiksni, težinske koeficijente w 0,..., w m odre divli smo iz uvjet egzktnosti n vektorskom prostoru polinom P d, što većeg stupnj d (tzv. Newton Cotesove formule). Iz teorem o interpolcijskim formulm znmo d z polinomni stupnj egzktnosti d tkvih formul vrijedi d = m. Indeks ili red m formule = očekivni stupnj egzktnosti.

6 6 / 96 Težinske integrcijske formule sžetk Kod nekih formul (Simpson, srednj točk) dobili smo d je z prne m, stvrni stupnj egzktnosti z jedn veći, tj. vrijedi d = m + 1, iko se težine odre duju iz uvjet egzktnosti n prostoru P m. U nstvku tržimo integrcijske formule još višeg stupnj egzktnosti z koje vrijedi d > m. To znči d neki ili svi čvorovi integrcije morju biti slobodni, tko d i njih odre dujemo iz uvjet egzktne integrcije. Iz trdicionlnih rzlog, zbog veze s ortogonlnim polinomim i njihovim nultočkm, tkve formule se mlo drugčije oznčvju!

7 7 / 96 Promjen oznk z integrcijske formule Promjene u oznkm su: čvorovi se broje od 1, ne od 0, broj čvorov oznčv se s n, umjesto m + 1. Težinsk integrcijsk ili kvdrturn formul ond im sljedeći oblik: n w(x)f (x) dx = I n (f ) + E n (f ), I n (f ) = w k f (x k ). k=1 Broj n N zove se red formule = broj čvorov. Opet ispuštmo gornje indekse n, tj. ne pišemo w (n) k, x (n) k.

8 8 / 96 Interpolcijske težinske kvdrturne formule Uz ove pretpostvke i oznke, z bilo kojih n rzličitih čvorov x 1,..., x n, težinsk integrcijsk ili kvdrturn formul n w(x)f (x) dx I n (f ) = w k f (x k ) k=1 im polinomni stupnj egzktnosti (brem) d = n 1, ko i smo ko je interpolcijsk, tj. dobiven je ko egzktni integrl interpolcijskog polinom z funkciju f u čvorovim x 1,..., x n.

9 9 / 96 Težine u interpolcijskim formulm Ekvivlentno, polinomni stupnj egzktnosti integrcijske formule I n je (brem) d = n 1, ko i smo ko z težinske koeficijente w k vrijedi w k = w(x)l k (x) dx, k = 1,..., n, gdje su l k, z k = 1,..., n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,..., x n (stupnj tih polinom je sd n 1) n x x j l k (x) =, k = 1,..., n. x k x j j=1 j k Npomen: Ovo smo već dokzli, smo su oznke nove!

10 10 / 96 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Nmeće se prirodno pitnje: može li se postići i bolje, tj. možemo li dobiti veći stupnj egzktnosti, d > n 1? Uočite: Jedin šns z to je pžljiviji izbor čvorov integrcije x k. Nime, čim je d n 1, težine w k su nužno odre dene prethodnom formulom, p njih više ne možemo birti. Odgovor je potvrdn i reltivno jednostvn! Z formulciju rezultt definirmo tzv. polinom čvorov n ω n (x) = (x x k ). k=1

11 11 / 96 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Teorem. Nek je l zdni cijeli broj, tkv d je 0 l n. Težinsk integrcijsk formul n w(x)f (x) dx = I n (f ) + E n (f ), I n (f ) = w k f (x k ), k=1 im polinomni stupnj egzktnosti d = n 1 + l, ko i smo ko je formul interpolcijsk i, dodtno, vrijedi polinom čvorov ω n je ortogonln n sve polinome p P l 1 s težinskom funkcijom w, w(x) ω n (x)p(x) dx = 0, z svki p P l 1.

12 12 / 96 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Dokz. Iz prošlog teorem znmo d z stupnj egzktnosti vrijedi d n 1, ko i smo ko je formul interpolcijsk. Preostje pokzti d je d = n 1 + l ekvivlentno relciji ortogonlnosti z polinom ω n. 1. smjer (nužnost): d = n 1 + l = ortogonlnost. Nek je p P l 1 bilo koji polinom stupnj njviše l 1. Z produkt f = ω n p ond vrijedi ω n p P n+l 1. Zbog pretpostvke d = n 1 + l, integrcijsk formul egzktno integrir polinom f = ω n p, p je n w(x) ω n (x)p(x) dx = w k ω n (x k )p(x k ). k=1

13 13 / 96 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti No, svi čvorovi x k su nultočke polinom čvorov ω n, tj. vrijedi Ond je ω n (x k ) = 0, k = 1,..., n. w(x) ω n (x)p(x) dx = n w k ω n (x k )p(x k ) = 0, k=1 z svki p P l 1, što dokzuje prvi smjer. 2. smjer (dovoljnost): ortogonlnost = d = n 1 + l. Nek je p P n+l 1 bilo koji polinom. Treb pokzti d integrcijsk formul I n egzktno integrir polinom p.

14 14 / 96 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Prvo podijelimo p s polinomom čvorov ω n po Euklidovom teoremu o dijeljenju s osttkom. Ond je p = q ω n + r, gdje je q P l 1 kvocijent, r P n 1 osttk. Egzktnom integrcijom dobivmo w(x)p(x) dx = w(x)q(x) ω n (x) dx + w(x)r(x) dx. Zbog q P l 1 i pretpostvke ortogonlnosti prvi integrl n desnoj strni je nul.

15 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Dobivmo d je w(x)p(x) dx = w(x)r(x) dx. No, zbog r P n 1 i pretpostvke d je formul interpolcijsk, formul I n egzktno integrir polinom r. Zto je w(x)r(x) dx = n w k r(x k ). k=1 15 / 96

16 16 / 96 Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Sd uvrstimo r = p q ω n. Dobivmo redom n n ( w k r(x k ) = w k p(xk ) q(x k ) ω n (x k ) ) k=1 k=1 = { znmo ω n (x k ) = 0, z k = 1,..., n } n = w k p(x k ). k=1 Kd spojimo zdnje tri relcije, izlzi n w(x)p(x) dx = w k p(x k ) = I n (p), k=1 p formul I n egzktno integrir sve polinome p P n+l 1.

17 17 / 96 O grnicm z stupnj egzktnosti Nekoliko komentr n prethodni rezultt. Relcij ortogonlnosti polinom čvorov ω n w(x) ω n (x)p(x) dx = 0, z svki p P l 1, omogućv povećnje stupnj egzktnosti formule z l, s d = n 1, n d = n 1 + l. Ogrničenje 0 l n u teoremu je prirodno i nužno! Nime, ov relcij ortogonlnosti postvlj točno l dodtnih uvjet n čvorove x 1,..., x n.

18 18 / 96 O grnicm z stupnj egzktnosti Z l = 0 nem dodtnih ogrničenj, jer z bilo koji izbor čvorov možemo dobiti d = n 1 (interpolcijsk formul). S druge strne, zbog nenegtivnosti težinske funkcije w, mor biti l n. Oprvdnje: Polinom čvorov ω n mor biti ortogonln n sve polinome iz P l 1, tj. n polinome stupnj njviše l 1. Z l > n, polinom ω n bi trebo biti ortogonln (brem) n sve polinome iz P n, to znči i n smog sebe, što je nemoguće! Dkle, l = n je mksimlno povećnje stupnj egzktnosti koje se može postići, mksimlni stupnj egzktnosti je d mx = 2n 1.

19 19 / 96 Gussove integrcijske formule d = 2n 1 Integrcijske ili kvdrturne formule mksimlnog stupnj egzktnosti d = 2n 1 zovu se Gussove ili Guss Christoffelove formule. Relcij ortogonlnosti iz prethodnog teorem, z l = n, glsi w(x) ω n (x)p(x) dx = 0, z svki p P n 1. Drugim riječim, polinom čvorov ω n (stupnj n) mor biti ortogonln n sve polinome nižeg stupnj do njviše n 1. No, to isto svojstvo zdovoljv i odgovrjući ortogonlni polinom p n, stupnj n, s težinskom funkcijom w n [, b].

20 20 / 96 Čvorovi u Gussovim formulm Znmo d je p n jednoznčno odre den, do n multipliktivnu konstntu. Ako z p n uzmemo d im vodeći koeficijent A n = 1, ond je ω n = p n, n N 0. Zto se formule njvišeg stupnj egzktnosti obično zovu Gussove formule s težinskom funkcijom w n [, b]. U Gussovim formulm, čvorovi x k su potpuno odre deni ko sve nultočke polinom p n, p n (x k ) = 0, k = 1,..., n. Sjetite se, te nultočke su relne, jednostruke i leže u otvorenom intervlu (, b).

21 21 / 96 Težine u Gussovim formulm Z težine w k znmo d vrijedi w k = w(x)l k (x) dx, k = 1,..., n, gdje su l k, z k = 1,..., n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,..., x n (stupnj od l k je n 1). Kod Lgrngeove interpolcije, pokzli smo d polinome l k možemo izrziti preko polinom čvorov ω n = p n (rnije ω), u obliku l k (x) = p n (x) (x x k ) p n(x, k = 1,..., n. k ) Uočite d multipliktivn konstnt u p n nije bitn skrti se, p možemo uzeti bilo koju normlizciju z polinome p n.

22 22 / 96 Težine u Gussovim formulm Dobivmo izrz z težine w k preko ortogonlnih polinom p n w k = w(x) p n (x) (x x k ) p n(x dx, k = 1,..., n. k ) Prem utoru ove formule, težine w k u Gussovim formulm ponekd se zovu i Christoffelovi brojevi. Nvedeni integrl se može eksplicitno izrčunti! O tome, ko i o ostlim svojstvim Gussovih formul mlo ksnije. Prvo, spomenimo još dv tip integrcijskih formul koje se koriste u prksi, imju visoki, li ne i mksimlni stupnj egzktnosti, tj. l < n.

23 23 / 96 Integrcijske formule s fiksnim rubovim Prethodni teorem im prktične primjene i z l < n. U težinskoj integrcijskoj ili kvdrturnoj formuli n w(x)f (x) dx = I n (f ) + E n (f ), I n (f ) = w k f (x k ). k=1 unprijed zdmo n l čvorov integrcije u [, b], preostlih l čvorov odre dujemo tko d dobijemo mksimlni mogući stupnj egzktnosti d = n 1 + l. Ovj pristup se njčešće koristi z n l = 1 i n l = 2, zdni čvorovi su jedn ili ob rub intervl integrcije [, b], s tim d zdni rubni čvor mor biti končn.

24 24 / 96 Guss Rdu formule jedn rub, d = 2n 2 Nek je lijevi rub intervl točk, končn i zdn ko čvor integrcije x 1 =. Preostlih l = n 1 čvorov odre dujemo tko d dobijemo mksimlni stupnj egzktnosti d = 2n 2. Ove integrcijske formule zovu se Guss Rdu formule. Prem prethodnom teoremu, pripdni polinom čvorov ω n (x) = (x )(x x 2 ) (x x n ) =: (x ) p n 1 (x) mor zdovoljvti relciju ortogonlnosti z l = n 1 w(x) ω n (x)p(x) dx = 0, z svki p P n 2.

25 25 / 96 Guss Rdu formule jedn rub, d = 2n 2 To možemo zpisti i ovko w(x) (x ) p n 1 (x) p(x) dx = 0, z svki p P n 2. Fktor (x ), koji odgovr fiksnom čvoru x 1 =, im fiksni predznk n [, b] nenegtivn je. Zto g smijemo izvditi iz polinom čvorov ω n i dodti težinskoj funkciji w. Tko dobivmo novu težinsku funkciju w (x) := (x ) w(x), koj je, tko der, nenegtivn n [, b].

26 26 / 96 Guss Rdu formule jedn rub, d = 2n 2 Relcij ortogonlnosti sd im oblik w (x) p n 1 (x)p(x) dx = 0, z svki p P n 2, gdje je p n 1 polinom stupnj n 1. Slično rnijem, odvde dobivmo sljedeći zključk: preostlih n 1 čvorov x 2,..., x n morju biti nultočke ortogonlnog polinom p n 1 s težinskom funkcijom w. Potpuno isti princip rdi i z desni rub b, s fktorom b x. Ako fiksirmo x n = b, preostli čvorovi x 1,..., x n 1 morju biti nultočke ortogonlnog polinom p n 1 s težinskom funkcijom w b (x) := (b x) w(x).

27 27 / 96 Guss Lobtto formule ob rub, d = 2n 3 Nek su ob rub intervl točke i b, končne i zdne ko čvorovi integrcije x 1 =, x n = b. Preostl l = n 2 čvor odre dujemo tko d dobijemo mksimlni stupnj egzktnosti d = 2n 3. Ove integrcijske formule zovu se Guss Lobtto formule. N potpuno isti nčin se dokzuje d preostl n 2 čvor x 2,..., x n 1 morju biti nultočke ortogonlnog polinom p n 2 s težinskom funkcijom w,b, w,b (x) := (x )(b x) w(x). Npomen: ovo trnsformirnje težinske funkcije rdi smo z čvorove u rubovim intervl (nenegtivnost).

28 Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul 28 / 96

29 29 / 96 Gussove integrcijske formule ponvljnje Gussov integrcijsk ili kvdrturn formul s težinskom funkcijom w n intervlu [, b] im oblik n w(x)f (x) dx = I n (f ) + E n (f ), I n (f ) = w k f (x k ), k=1 i dostiže mksimlni stupnj egzktnosti d mx = 2n 1. Čvorovi x k su sve nultočke ortogonlnog polinom p n s težinskom funkcijom w n [, b], Težine w k su dne formulom (l k preko p n i x k ) w k = w(x) p n (x) (x x k ) p n(x dx, k = 1,..., n. k )

30 30 / 96 Čvorovi Gussovih integrcijskih formul U nstvku, detljnije nlizirmo nek bitn svojstv Gussovih formul. Smo rdi jednostvnosti, dodtno pretpostvljmo d je težinsk funkcij w pozitivn n cijelom intervlu [, b], osim eventulno u končno mnogo točk (singulriteti dozvoljeni). Teorem (Svojstv čvorov). Svi čvorovi x k su relni, rzličiti i leže unutr otvorenog intervl (, b). Dokz. Znmo d su čvorovi x k sve nultočke odgovrjućeg ortogonlnog polinom p n s težinskom funkcijom w n [, b], p n (x k ) = 0, k = 1,..., n. Sve tvrdnje o čvorovim direktn su posljedic tvrdnji o nultočkm odgovrjućih ortogonlnih polinom.

31 31 / 96 Težine Gussovih integrcijskih formul Integrl u formuli z težine w k može se eksplicitno izrčunti. Teorem (Izrzi z težine). U Gussovoj integrcijskoj formuli red n, z težine w k vrijede sljedeće dvije relcije w k = n 1 γ n 1 p n 1 (x k ) p n(x k ) = n γ n p n+1 (x k ) p n(x, k = 1,..., n, k ) pri čemu je A n vodeći koeficijent polinom p n, n = A n+1 A n, γ n = p n 2 = p n, p n > 0. Dokz. Treb izrčunti integrle z težine w k = w(x) p n (x) (x x k ) p n(x dx. k = 1,..., n. k )

32 32 / 96 Težine Gussovih integrcijskih formul Zbog čln p n (x)/(x x k ), koristimo Christoffel Drbouxov identitet u x i y = x k, z n (ili z n + 1), ztim integrirmo. Fiksirmo indeks k (tj. čvor x k ) i izlučimo broj p n(x k ), p je w k = 1 p n(x k ) w(x) p n(x) x x k dx. Integrl rčunmo iz Christoffel Drbouxovog identitet z n, tj. sum n lijevoj strni ide do n 1, n 1 j=0 p j (x)p j (y) γ j = p n(x)p n 1 (y) p n 1 (x)p n (y). n 1 γ n 1 (x y) Uvrstimo y = x k i iskoristimo d je p n (x k ) = 0, p dobijemo n 1 j=0 p j (x)p j (x k ) γ j = p n(x)p n 1 (x k ) n 1 γ n 1 (x x k ).

33 33 / 96 Težine Gussovih integrcijskih formul Pomnožimo obje strne s w(x) p 0 (x) i integrirmo n [, b]. Izlzi n 1 j=0 p j (x k ) γ j w(x) p j (x)p 0 (x) dx = p n 1(x k ) n 1 γ n 1 w(x) p 0 (x) p n(x) x x k dx. Zbog ortogonlnosti polinom p j i p 0, n lijevoj strni ostje smo čln z j = 0, pripdni integrl je p 0 2 = γ 0, tj. p 0 (x k ) γ 0 γ 0 = p n 1(x k ) n 1 γ n 1 w(x) p 0 (x) p n(x) x x k dx.

34 34 / 96 Težine Gussovih integrcijskih formul N krju, znmo d je p 0 (x) = c 0, p skrtimo i tu konstntu, tko d n lijevoj strni ostje 1. Ond je w(x) p n(x) x x k dx = n 1γ n 1 p n 1 (x k ). Kd ovo uvrstimo u izrz z w k s početk dokz, dobijemo prvu formulu iz tvrdnje w k = 1 p n(x k ) w(x) p n(x) x x k dx = n 1 γ n 1 p n 1 (x k ) p n(x k ). Drug izlzi iz Christoffel Drbouxovog identitet z n + 1, ili tročlne rekurzije u x k, p je p n+1 (x k ) = c n p n 1 (x k ).

35 35 / 96 Težine Gussovih integrcijskih formul Teorem. U Gussovoj integrcijskoj formuli red n, z težine vrijedi w k = 1 z k 2 2 > 0, k = 1,..., n, gdje je z k vektor vrijednosti ortonormirnih polinom u čvoru x k [ p0 (x k ) z k := z(x k ) = p 0,..., p ] n 1(x k ) T R n. p n 1 Dokz. Iz Christoffel Drbouxovog identitet (z n) u jednoj točki x k, dobivmo n 1 z k 2 2 = j=0 ( pj (x k ) ) 2 γ j = p n(x k )p n 1 (x k ) p n 1 (x k)p n (x k ) n 1 γ n 1.

36 36 / 96 Težine Gussovih formul pozitivnost Zbog p n (x k ) = 0, iz prve formule u prošlom teoremu, slijedi z k 2 2 = p n(x k )p n 1 (x k ) n 1 γ n 1 = 1 w k. N dimo prvu komponentu vektor z k. Nek je p 0 (x) = c 0. Ond je p je p = w(x) p0 2 (x) dx = c2 w(x) dx = c 2 µ 0, z k,1 = p 0 (x k )/ p 0 = 1/ µ 0 > 0 z k 2 > 0. Iz z k 2 2 > 0 odmh slijedi w k > 0 u Gussovim formulm. U nstvku, djemo još jedn dokz pozitivnosti, zto jer se može lko generlizirti i n neke druge integrcijske formule.

37 37 / 96 Pozitivnost težin u Gussovim formulm Teorem (Pozitivnost težin). Sve težine w k su pozitivne. Dokz. Nek su l j, z j = 1,..., n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,..., x n (stupnj od l j je n 1). Z polinom l j u čvoru x k vrijedi l j (x k ) = δ j,k = { 0, z j k, 1, z j = k. Uočite d ist relcij vrijedi i z kvdrte l 2 j polinom Lgrngeove bze u čvorovim x k { l 2 j (x 0, z j k, k) = l j (x k ) = δ j,k = 1, z j = k.

38 38 / 96 Pozitivnost težin u Gussovim formulm Ond je očito d vrijedi n n w j = w k l j (x k ) = w k l 2 j (x k), j = 1,..., n. k=1 k=1 No, polinomi l 2 j imju stupnj 2n 2, p ih Gussov formul integrir egzktno! To znči d je n w j = w k l 2 j (x k) = k=1 w(x)l 2 j (x) dx > 0, j = 1,..., n, zbog pozitivnosti podintegrlne funkcije n desnoj strni. Time je dokzn pozitivnost svih težin w k u Gussovim integrcijskim formulm.

39 39 / 96 Pozitivnost težin u formulm s d = 2n 2 Potpuno isti rgument vrijedi i z integrcijske formule stupnj egzktnosti 2n 2, (z jedn mnjeg nego u Gussovim formulm), jer egzktno integrirju polinome l 2 k, z k = 1,..., n. N primjer, težine u Guss Rdu formulm su, tko der, pozitivne. Npomen. Može se pokzti i d su težine u Guss Lobtto formulm, tko der, pozitivne. Me dutim, dokz je nešto složeniji ide preko polinom krdinlne bze z pripdnu interpolciju: rubni čvorovi i b su jednostruki, ostli čvorovi x 2,..., x n 1 su dvostruki.

40 40 / 96 Konvergencij Gussovih formul Teorem. Ako je [, b] končni intervl, td Gussove formule konvergirju z bilo koju neprekidnu funkciju f, tj. z svku funkciju f C[, b] vrijedi E n (f ) 0, z n. Dokz se temelji n Weierstrssovom teoremu o uniformnoj proksimciji funkcije f polinomim, koji kže: Ako je p 2n 1 (f ; ) polinom stupnj 2n 1 koji njbolje uniformno proksimir f n [, b], ond vrijedi lim f ( ) p 2n 1 (f ; ) = 0. n Z bilo koji n N, gledmo grešku Gussove formule red n.

41 41 / 96 Konvergencij Gussovih formul Zbog polinomnog stupnj egzktnosti d = 2n 1, odmh vidimo d je E n ( p 2n 1 ) = 0. Ztim, redom, dobivmo E n (f ) = E n (f p 2n 1 ) = w(x) ( f (x) p 2n 1 (x) ) n ( dx w k f (xk ) p 2n 1 (f ; x k ) ) w(x) f (x) p 2n 1 (x) dx + k=1 n w k f (x k ) p 2n 1 (f ; x k ) k=1 ( f ( ) p 2n 1 (f ; ) w(x) dx + n k=1 ) w k.

42 42 / 96 Konvergencij Gussovih formul Sd iskoristimo d su težinski koeficijenti w k pozitivni u Gussovim formulm. Zto je w k = w k, odkle slijedi n n w k = w k. k=1 k=1 N krju, uočimo još d je (egzktn integrcij konstnte 1) n w k = w(x) dx = µ 0. k=1 Iz prethodne formule z ocjenu greške E n (f ) zključujemo E n (f ) 2µ 0 f ( ) p 2n 1 (f ; ) 0, z n, što je treblo dokzti.

43 43 / 96 Ne vrijedi z Newton Cotesove formule Ovj zključk ne vrijedi z Newton Cotesove formule, iko formul s n čvorov egzktno integrir polinom p n 1. Nime, z mlo veće n, težine w k mogu biti i negtivne. Td još uvijek vrijedi n w k = w(x) dx = µ 0, k=1 zbog egzktne integrcije konstnte 1. Me dutim, psolutne vrijednosti težin neogrničeno rstu, kd n rste, tko d n w k, z n, k=1 uprvo ov sum ulzi u ocjenu greške.

44 44 / 96 Simetrij u Gussovim integrcijskim formulm Pretpostvimo d je težinsk funkcij w simetričn n intervlu integrcije [, b]. Z končni intervl [, b], to znči d je w prn oko polovišt intervl tj. vrijedi x 0 := + b 2, w(x 0 + h) = w(x 0 h), z h b 2. Z cijeli R, to znči d je w prn oko neke točke x 0 R, w(x 0 + h) = w(x 0 h), z h R. Ond su pripdni ortogonlni polinomi simetrični (pr nepr) i Gussove integrcijske formule su, tko der, simetrične.

45 45 / 96 Simetrij u Gussovim integrcijskim formulm Preciznije, ortogonlni polinomi p n su prni ili neprni oko x 0, ovisno o prnosti od n, tj. z svki h R vrijedi { pn (x 0 h), n prn, p n (x 0 + h) = p n (x 0 h), n neprn. U Gussovoj integrcijskoj formuli red n, čvorovi x k su simetrični obzirom n x 0, z simetrični pr čvorov, težine w k su jednke. Ako čvorove poredmo uzlzno, x 1 < < x n, ond vrijedi x k + x n+1 k 2 = x 0, w k = w n+1 k, k = 1,..., n.

46 Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul 46 / 96

47 47 / 96 Težinsk Newton Cotesov vs. Gussov f. Primjer. Nprvimo usporedbu ztvorene Newton Cotesove formule i Gussove formule s 2 čvor, z težinsku funkciju w(x) = x 1/2 n intervlu [0, 1]. Težinsk funkcij w im singulritet u lijevom rubu = 0, li je integrbiln n [0, 1] njezin integrl je µ 0 = 2. Tržene integrcijske formule glse: 1 0 w x 1/2 1 NC f (0) + w2 NC f (1) (Newton Cotes), f (x) dx w1 Gf (x 1) + w2 Gf (x 2) (Guss).

48 48 / 96 Težinsk Newton Cotesov formul Z Newton Cotesovu formulu, težine w1 NC i w2 NC možemo izrčunti iz eksplicitne formule w k = w(x)l k (x) dx, k = 1, 2. Lgrngeov bz l 1 i l 2, z zdne čvorove x 1 = 0 i x 2 = 1, jednk je l 1 (x) = x x 2 x 1 x 2 = x = 1 x, l 2 (x) = x x 1 x 2 x 1 = x = x,

49 49 / 96 Težinsk Newton Cotesov formul p immo w NC 1 = w NC 2 = 1 0 x 1/2 l 1 (x) dx = = (2x 1/2 23 ) 1 x 3/2 1 0 x 1/2 l 2 (x) dx = 1 0 = 4 3, (x 1/2 x 1/2 ) dx x 1/2 dx = 2 3 x 3/2 1 0 = 2 3. Ovj pristup im smisl smo kd se polinomi l 1 i l 2 lko rčunju, tj. smo kd su čvorovi jednostvni, poput 0 i 1.

50 50 / 96 Težinsk Newton Cotesov formul Obično je puno lkše iskoristiti d Newton Cotesov formul egzktno integrir jednostvnu bzu prostor polinom P 1. Uvrštvnjem f (x) = 1, dobivmo jedndžbu w NC w NC 2 1 = 1 0 x 1/2 dx = 2, uvrštvnjem f (x) = x, dobivmo jedndžbu Odmh izlzi w NC w NC 2 1 = 1 0 x 1/2 x dx = 2 3. w NC 2 = 2 3, w NC 1 = 2 w NC 2 = 4 3.

51 51 / 96 Težinsk Newton Cotesov formul Tržen ztvoren Newton Cotesov formul glsi: 1 0 x 1/2 f (x) dx = 4 3 f (0) + 2 NC f (1) + E2 (f ), 3 pri čemu je E NC 2 (f ) pripdn grešk. Uočite d korijenski singulritet težine w u nuli uzrokuje d vrijednost f (0) dobiv dvostruko veću težinu od vrijednosti f (1).

52 52 / 96 Gussov formul Gussovu formulu njlkše je odrediti preko ortogonlnih polinom. Treb nm monični (vodeći koeficijent A 2 = 1) ortogonlni polinom p 2, stupnj 2, s težinom x 1/2 n [0, 1] p 2 (x) = x x + 0. Tj polinom mor biti ortogonln n polinome nižeg stupnj. Z polinom q 0 (x) = 1, iz p 2, q 0 = 0, dobivmo: 0 = = 1 0 x 1/2 p 2 (x) dx = 1 ( 2 5 x 5/2 + 2 ) 1 3 1x 3/ x 1/2 0 (x 3/2 + 1 x 1/2 + 0 x 1/2 ) dx 0 = ,

53 53 / 96 Gussov formul Z polinom q 1 (x) = x, iz p 2, q 1 = 0, dobivmo: 0 = = 1 0 x 1/2 x p 2 (x) dx = 1 ( 2 7 x 7/ x 5/2 + 2 ) 1 3 0x 3/2 0 (x 5/2 + 1 x 3/2 + 0 x 1/2 ) dx 0 = Sustv jedndžbi z koeficijente moničnog polinom p 2 je: = = 2 7.

54 54 / 96 Gussov formul Rješenje tog sustv je p je ortogonlni polinom p 2 1 = 6 7, 0 = 3 35, p 2 (x) = x x Čvorovi z Gussovu integrcijsku formulu su nultočke polinom p 2 : x 1 = 1 ( ) , 7 5 x 2 = 1 ( )

55 55 / 96 Gussov formul Z rčunnje težinskih koeficijent w1 G i w 2 G, mogli bismo iskoristiti formulu z w k, ko kod Newton Cotesove formule. Me dutim, kd immo čvorove x 1 i x 2, puno je lkše iskoristiti d Gussov formul egzktno integrir bzu polinom iz P 1. Z stupnj 0, stvimo f (x) = 1, i dobivmo jedndžbu 1 w1 G + w 2 G = x 1/2 dx = 2, Z stupnj 1, stvimo f (x) = x, i dobivmo jedndžbu w G 1 x 1 + w G 2 x 2 = x 1/2 x dx = 2 3.

56 56 / 96 Gussov formul Kd uvrstimo poznte čvorove x 1, x 2, rješenje dobivenog linernog sustv od dvije jedndžbe z težine w1 G, w 2 G je w1 G = , w2 G = Sd je težin w G 1 približno put već od težine w G 2.

57 57 / 96 Gussov formul Tržen Gussov formul glsi: 1 ( x 1/2 f (x) dx = ( E2 G (f ), pri čemu je E2 G (f ) pripdn grešk. ) ( 3 f ) ( ) f ) 6 5

58 58 / 96 Težinsk Newton Cotesov vs. Gussov f. Usporedimo prethodne dvije formule n integrlu I = 1 0 x 1/2 cos ( ) πx dx = 2C(1) , 2 pri čemu C oznčv tzv. Fresnelov kosinusni integrl. Aproksimcije po obje formule, z f (x) = cos(πx/2), su pripdne greške su I NC = , I G , E NC , E G , što pokzuje d je Gussov formul puno bolj (> 100 put).

59 Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul 59 / 96

60 60 / 96 Integrcij i interpolcij ponvljnje Vidjeli smo d se Newton Cotesove formule mogu dobiti integrcijom Lgrngeovog interpolcijskog polinom z funkciju f n (zdnoj) mreži čvorov x 1,..., x n. Tu činjenicu smo ond iskoristili z nlženje i ocjenu greške integrcijske formule. N sličn nčin, i Gussove formule mogu se dobiti integrcijom Hermiteovog interpolcijskog polinom z funkciju f n mreži čvorov x 1,..., x n, uz dodtni zhtjev d koeficijenti uz člnove s derivcijm budu jednki nul to će odrediti čvorove. Nkon dokz, to ćemo iskoristiti z nlženje greške Gussove integrcije.

61 61 / 96 Hermiteov interpolcij ponvljnje Hermiteov interpolcijski polinom z funkciju f n mreži čvorov x 1,..., x n, interpolir vrijednosti funkcije i njezine derivcije u čvorovim (2n uvjet), p, općenito, im stupnj 2n 1. To odgovr stupnju egzktnosti d = 2n 1 z Gussove integrcijske formule, p cijeli pristup im smisl. Z početk, ponovimo osnovne činjenice o Hermiteovoj interpolciji, s promijenjenim oznkm, jer čvorove sd brojimo od 1, ne od 0.

62 62 / 96 Hermiteov interpolcij ponvljnje Nek su x 1,..., x n me dusobno rzličite točke. Ove točke interpretirmo ko dvostruke čvorove interpolcije z zdnu funkciju f. Uvedimo još skrćene oznke z vrijednosti funkcije f i njezine derivcije f u čvorovim: f k := f (x k ), f k = f (x k ), k = 1,..., n. Rniji rezultt o Hermiteovoj interpolciji sd im oblik: Teorem. Postoji jedinstveni polinom h 2n 1 P 2n 1, stupnj njviše 2n 1, koji zdovoljv interpolcijske uvjete h 2n 1 (x k ) = f k, h 2n 1 (x k) = f k, k = 1,..., n.

63 63 / 96 Hermiteov interpolcij ponvljnje Ovj polinom h 2n 1 možemo prikzti u tzv. Hermiteovoj bzi n mreži čvorov x 1,..., x n, ko linernu kombinciju n ( h 2n 1 (x) = fk h k,0 (x) + f k h k,1(x) ), k=1 gdje su h k,0 i h k,1, z k = 1,..., n, polinomi Hermiteove bze, definirni relcijm h k,0 (x j ) = { 0, z j k, 1, z j = k, h k,0 (x j) = 0, h k,1 (x j ) = 0, h k,1 (x j) = { 0, z j k, 1, z j = k.

64 64 / 96 Hermiteov interpolcij ponvljnje Polinome Hermiteove bze možemo eksplicitno izrziti u obliku h k,0 (x) = [1 2(x x k )l k (x k)] l 2 k (x) h k,1 (x) = (x x k ) l 2 k (x), gdje je l k odgovrjući polinom Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,..., x n, z k = 1,..., n. Budući d je l k polinom stupnj n 1, ond su h k,0 i h k,1 polinomi stupnj 2n 1. Ako su točke x 1,..., x n me dusobno rzličite, ond su polinomi l k, z k = 1,..., n, bz u prostoru P n 1, h k,0, h k,1, z k = 1,..., n, bz u prostoru P 2n 1.

65 65 / 96 Grešk Hermiteove interpolcije ponvljnje Z funkciju greške Hermiteove interpolcije u svkom čvoru x k, očito, vrijedi e h (x) := f (x) h 2n 1 (x), e h (x k ) = 0, e h (x k) = 0, k = 1,..., n. Dkle, grešk e h im dvostruke nultočke u točkm x 1,..., x n. Pripdni polinom čvorov ω h z Hermiteovu interpolciju je ω h (x) = (x x 1 ) 2 (x x n ) 2 = ω 2 n(x), gdje je ω n polinom čvorov z Lgrngeovu interpolciju n istoj mreži. U novim oznkm, z grešku vrijedi sljedeći rezultt.

66 Grešk Hermiteove interpolcije ponvljnje Teorem. Nek su x 1,..., x n [, b] me dusobno rzličite točke i nek je e h grešk Hermiteovog interpolcijskog polinom h 2n 1 z funkciju f n mreži čvorov x 1,..., x n. Ond je e h (x) = f (x) h 2n 1 (x) = ω 2 n(x) f [x 1, x 1, x 2, x 2,..., x n, x n, x]. Ako f (2n) postoji n [, b], ond z svku točku x [, b], postoji točk ξ [, b], tkv d je e h (x) = f (x) h 2n 1 (x) = ω 2 n(x) f (2n) (ξ) (2n)!. Znmo d z ξ vrijedi i jč ocjen ξ (x min, x mx ), gdje je x min := min{x, x 1,..., x n }, x mx := mx{x, x 1,..., x n }, li nm to neće trebti z Gussovu integrciju. 66 / 96

67 67 / 96 Integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom Integrcijom Hermiteovog interpolcijskog polinom n ( h 2n 1 (x) = fk h k,0 (x) + f k h k,1(x) ), k=1 dobivmo novu integrcijsku formulu oblik n ( ) I n := w(x)h 2n 1 (x) dx = w k f k + w k f k, gdje je w k = w(x)h k,0 (x) dx, k=1 w k = w(x)h k,1 (x) dx, z k = 1,..., n. Nime, f k i f k su brojevi i ne ovise o x.

68 68 / 96 Integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom Težinske koeficijente w k i w k možemo npisti i tko d uvrstimo izrze z polinome h k,0 i h k,1 Hermiteove bze, u terminim polinom l k Lgrngeove bze. Dobivmo sljedeće formule z težine u integrcijskoj formuli I n w k = w k = z k = 1,..., n. w(x) [1 2(x x k )l k (x k)] l 2 k (x) dx, w(x) (x x k ) l 2 k (x) dx,

69 69 / 96 Integrcijske formule s derivcijm u čvorovim Ovkve integrcijske formule I n := w(x)h 2n 1 (x) dx = n k=1 ( ) w k f k + w k f k, sliče n Gussove integrcijske formule, osim što imju dodtne člnove w k f k, u kojim se koriste i derivcije funkcije f u čvorovim integrcije x k. Kd bi, ko u Newton Cotesovim formulm, svi čvorovi x k bili unprijed zdni, iz uvjet egzktne integrcije polinom treblo bi odrediti 2n prmetr težinske koeficijente w k i w k.

70 70 / 96 Integrcijske formule s derivcijm u čvorovim Očekujemo d ovkv formul I n egzktno integrir polinome do stupnj 2n 1 (dimenzij prostor je 2n). Zist, uvjeti egzktne integrcije n bzi prostor P 2n 1 dju regulrni linerni sustv, red 2n, z težine. To je očito, jer formule z težine već immo. Osim tog, integrcijsk formul je dobiven interpolcijski n Hermiteovoj bzi prostor P 2n 1. Dkle, stupnj egzktnosti formule I n je sigurno d = 2n 1. Uz pretpostvku dovoljne gltkoće funkcije f, jednostvno se izvodi i grešk integrcijske formule I n, direktno iz greške Hermiteovog interpolcijskog polinom.

71 71 / 96 Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Ssvim općenito, z integrcijske formule I n vrijedi w(x)f (x) dx = I n(f ) + E n(f ), gdje je E n(f ) grešk te formule z zdnu funkciju f. Integrcijsku formulu I n(f ) dobili smo interpolcijski, ko egzktni integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom h 2n 1 z funkciju f n mreži čvorov x 1,..., x n, I n(f ) := w(x)h 2n 1 (x) dx = n k=1 ( ) w k f k + w k f k.

72 72 / 96 Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Grešk E n(f ) integrcijske formule I n(f ) je E n(f ) = w(x) ( f (x) h 2n 1 (x) ) dx = w(x)e h (x) dx, tj. E n(f ) je integrl greške e h interpolcijskog polinom h 2n 1, gdje je e h (x) = f (x) h 2n 1 (x) = ω 2 n(x) g(x), g(x) = f [x 1, x 1, x 2, x 2,..., x n, x n, x]. Funkcij g je korektno definirn n [, b], čim f postoji u čvorovim. Ako je f još i neprekidn n [, b], ond je i funkcij g neprekidn n [, b].

73 73 / 96 Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Kd to uvrstimo u izrz z grešku E n(f ), dobivmo E n(f ) = w(x)e h (x) dx = w(x) ω 2 n(x) g(x) dx. Ndlje, očito je w(x) ωn(x) 2 0, z svki x [, b], p možemo iskoristiti teorem srednje vrijednosti z integrle s težinm. Izlzi E n(f ) = g(η) w(x) ω 2 n(x) dx, z neki η iz [, b]. Ovo vrijedi uz vrlo blge pretpostvke n f!

74 74 / 96 Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Ako f (2n) postoji n [, b], ond postoji ζ [, b] z kojeg je E n(f ) = f (2n) (ζ) (2n)! w(x) ω 2 n(x) dx. Integrl n desnoj strni ovisi smo o čvorovim x 1,..., x n, i treb g eksplicitno izrčunti z zdni rspored čvorov. Iz ob oblik greške integrcijske formule I n, odmh vidimo d je stupnj egzktnosti jednk d = 2n 1. Me dutim, z prktičnu primjenu formule I n, trebmo znti ne smo funkcijske vrijednosti f (x k ) u čvorovim, već i vrijednosti derivcije f (x k ) u tim čvorovim.

75 75 / 96 Put prem Gussovim integrcijskim formulm Zto je idej d probmo izbjeći korištenje derivcij, tko d izborom čvorov x k poništimo sve težinske koeficijente w k uz derivcije f k. Ako to ide, tj. ko je w k = 0, z k = 1,..., n, dobili bismo I n = w(x)h 2n 1 (x) dx = n k=1 ( ) w k f k + w k f k = n w k f k. k=1 Stupnj egzktnosti ove specijlne integrcijske formule I n mor ostti isti d = 2n 1. No, tko dobiven formul koristil bi smo funkcijske vrijednosti f k u čvorovim, tj. postl bi Gussov integrcijsk formul I n.

76 76 / 96 Gussove formule ko interpolcijske formule To se može postići! Sljedeći rezultt govori o tome kko treb izbrti čvorove x k. Teorem. U integrcijskoj formuli I n vrijedi w k = 0, k = 1,..., n, tj. I n je Gussov integrcijsk formul, ko i smo ko je polinom čvorov ω n := (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) ortogonln n sve polinome nižeg stupnj, tj. vrijedi w(x) ω n (x)p(x) dx = 0, z svki p P n 1.

77 77 / 96 Gussove formule ko interpolcijske formule Dokz. Koristimo eksplicitni izrz z težine u formuli I n w k = w(x) (x x k ) l 2 k (x) dx, k = 1,..., n, gdje su l k, z k = 1,..., n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,..., x n. Ove polinome možemo izrziti preko polinom čvorov ω n p je l k (x) = ω n (x) (x x k ) ω n(x, k = 1,..., n, k ) (x x k )l k (x) = ω n(x) ω n(x, k = 1,..., n. k )

78 78 / 96 Gussove formule ko interpolcijske formule Kd tu formulu uvrstimo u izrz z težine, dobivmo w k = 1 ω n(x k ) w(x) ω n (x) l k (x) dx, k = 1,..., n, 1. smjer (nužnost): svi w k = 0 = ortogonlnost. Ako je w k = 0, k = 1,..., n, odmh vidimo d je ω n ortogonln n sve polinome l k, z k = 1,..., n. No, ti polinomi čine bzu prostor P n 1, p je w(x) ω n (x)p(x) dx = 0, z svki p P n 1.

79 79 / 96 Gussove formule ko interpolcijske formule 2. smjer (dovoljnost): ortogonlnost = svi w k = 0. Ako je ω n ortogonln n sve polinome p P n 1, ond to vrijedi i z polinome Lgrngeove bze, tj. z p = l k, p je Odvde odmh slijedi i w(x) ω n (x) l k (x) dx = 0, k = 1,..., n. w k = 1 ω n(x w(x) ω n (x) l k (x) dx = 0, k = 1,..., n. k )

80 80 / 96 Gussove formule ko interpolcijske formule Prem očekivnju, dobivmo isti zključk ko i rnije. Integrcijsk formul oblik I n je Gussov integrcijsk formul I n, ko i smo ko su čvorovi x k, uprvo, sve nultočke odgovrjućeg ortogonlnog polinom p n, stupnj n, s težinskom funkcijom w n [, b]. Pripdni polinom čvorov ω n mor biti jednk polinomu p n s vodećim koeficijentom A n = 1. Time smo još jednom dokzli egzistenciju i jedinstvenost Gussovih integrcijskih formul, z zdnu težinsku funkciju w n [, b]. Usput, dobivmo i grešku z Gussove integrcijske formule!

81 81 / 96 Grešk Gussovih integrcijskih formul Teorem. Nek je I n (f ) Gussov integrcijsk formul red n, s težinskom funkcijom w n [, b] n w(x)f (x) dx = I n (f ) + E n (f ), I n (f ) = w k f (x k ). k=1 Ako f (2n) postoji n [, b], ond postoji ζ [, b] z kojeg je E n (f ) = f (2n) (ζ) (2n)! gdje je p n ortogonlni polinom stupnj n, s vodećim koeficijentom A n = 1, uz težinsku funkciju w n [, b]. w(x) p 2 n(x) dx,

82 82 / 96 Grešk Gussovih integrcijskih formul Dokz. Znmo d je I n (f ) = I n(f ) ko i smo ko je pripdni polinom čvorov ω n jednk ortogonlnom polinomu p n s vodećim koeficijentom A n = 1. Tvdnj izlzi direktno iz formule z grešku odgovrjuće integrcijske formule I n(f ), s tim d je ω n = p n. Formulu z grešku Gussove integrcijske formule red n E n (f ) = f (2n) (ζ) (2n)! možemo i drugčije zpisti. w(x) p 2 n(x) dx

83 83 / 96 Grešk Gussovih integrcijskih formul Integrl n desnoj strni je kvdrt norme polinom p n s vodećim koeficijentom A n = 1, p je E n (f ) = f (2n) (ζ) (2n)! U principu, z zdne w i [, b], w(x) p 2 n(x) dx = f (2n) (ζ) (2n)! p n 2. p n 2 se može eksplicitno izrčunti i ovisi smo o n (v. mlo ksnije, z klsične Gussove formule). Ako koristimo p n z kojeg je A n 1, formul z grešku se trivijlno mijenj E n (f ) = f (2n) (ζ) (2n)! p n 2 A 2. n

84 84 / 96 Pozitivnost težin u Gussovim formulm N krju, iz općih izrz z težine u integrcijskoj formuli I n, jednostvno se dokzuje i pozitivnost težin w k u Gussovim integrcijskim formulm. Z težine u formuli I n vrijedi w k = w k = w(x) [1 2(x x k )l k (x k)] l 2 k (x) dx, w(x) (x x k ) l 2 k (x) dx, k = 1,..., n. U izrzu z w k iskoristimo relciju z w k.

85 85 / 96 Pozitivnost težin u Gussovim formulm Težine w k ond možemo npisti u obliku w k = = w(x) [1 2(x x k )l k (x k)] l 2 k (x) dx w(x)l 2 k (x) dx 2l k (x k)w k. U Gussovim formulm je w k = 0, p izlzi poznt formul w k = w(x)l 2 k (x) dx > 0, k = 1,..., n, zbog pozitivnosti podintegrlne funkcije n desnoj strni.

86 Numeričk integrcij Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti Gussove integrcijske formule Primjer z težinske formule Gussove formule i Hermiteov interpolcij Pregled klsičnih Gussovih integrcijskih formul 86 / 96

87 87 / 96 Guss Legendreove formule Gussove integrcijske formule oblik 1 n f (x) dx w k f (x k ) 1 k=1 zovu se Guss Legendreove formule (težin je w(x) = 1). Čvorovi integrcije su nultočke Legendreovih polinom P n. Z njih vrijedi tzv. Rodriguesov formul Z P n je γ n = P n (x) = 1 2 n n! d n dx n (x 2 1) n, n n + 1, A n = (2n)! 2 n (n!) 2 = 1 ( ) 2n 2 n, n 0. n

88 88 / 96 Guss Legendreove formule Težine u Gussovoj formuli možemo npisti n rzne nčine w k = 2(1 x k 2) [np n 1 (x k )] 2 = 2(1 xk 2) [(n + 1)P n+1 (x k )] 2 2 = np n(x k ) P n 1 (x k ) = 2 (n + 1)P n(x k ) P n+1 (x k ) 2 = (1 xk 2), k = 1,..., n. [P n(x k )] 2 Grešk kod numeričke integrcije dn je formulom E n (f ) = 2 2n+1 (n!) 4 (2n + 1) [(2n)!] 3 f (2n) (ξ), ξ ( 1, 1).

89 89 / 96 Guss Lguerreove formule Gussove integrcijske formule oblik n e x f (x) dx w k f (x k ) 0 k=1 zovu se Guss Lguerreove formule. Čvorovi integrcije su nultočke Lguerreovih polinom L n. Z njih vrijedi Rodriguesov formul Z L n je L n (x) = e x d n dx n (x n e x ), n 0. γ n = (n!) 2, A n = ( 1) n, n 0.

90 90 / 96 Guss Lguerreove formule Težine u Gussovoj formuli možemo npisti n rzne nčine w k = [(n 1)!]2 x k [n L n 1 (x k )] 2 = (n!)2 x k [ L n+1 (x k )] 2 [(n 1)!]2 = L n(x k ) L n 1 (x k ) = (n!) 2 L n(x k ) L n+1 (x k ) = (n!) 2, k = 1,..., n. x k [ L n(x k )] 2 Grešk kod numeričke integrcije dn je formulom E n (f ) = (n!)2 (2n)! f (2n) (ξ), ξ (0, ).

91 91 / 96 Guss Hermiteove formule Gussove integrcijske formule oblik n e x 2 f (x) dx w k f (x k ) zovu se Guss Hermiteove formule. k=1 Čvorovi integrcije su nultočke Hermiteovih polinom H n. Z njih vrijedi Rodriguesov formul Z H n je H n (x) = ( 1) n e x 2 d n dx n (e x 2 ), n 0. γ n = 2 n n! π, A n = 2 n, n 0.

92 92 / 96 Guss Hermiteove formule Težine u Gussovoj formuli možemo npisti n rzne nčine w k = 2n 1 (n 1)! π n[h n 1 (x k )] 2 = 2n+1 n! π [H n+1 (x k )] 2 = 2n (n 1)! π H n(x k ) H n 1 (x k ) = 2n+1 n! π H n(x k ) H n+1 (x k ) = 2n+1 n! π [H n(x, k = 1,..., n. k )] 2 Grešk kod numeričke integrcije dn je formulom E n (f ) = n! π 2 n (2n)! f (2n) (ξ), ξ (, ).

93 93 / 96 Guss Čebiševljeve formule Gussove integrcijske formule oblik n f (x) dx 1 x 2 zovu se Guss Čebiševljeve formule. k=1 w k f (x k ) Čvorovi integrcije su nultočke Čebiševljevih polinom prve vrste T n. Z njih vrijedi Rodriguesov formul T n (x) = ( 1)n π 1 x 2 2 n+1 Γ(n ) d n Z T n je dx n ( (1 x 2 ) n 1/2), n 0. γ 0 = π, A 0 = 1, γ n = π 2, A n = 2 n 1, n 1.

94 94 / 96 Guss Čebiševljeve formule Z x = cos ϕ, znmo d je T n (cos ϕ) = cos(nϕ), p se čvorovi integrcije lko rčunju vrijedi formul ( ) (2k 1)π x k = cos, k = 1,..., n. 2n Sve težine u Gussovoj formuli su jednke i vrijedi w k = π, k = 1,..., n. n Grešk kod numeričke integrcije dn je formulom π E n (f ) = 2 2n 1 (2n)! f (2n) (ξ), ξ ( 1, 1).

95 95 / 96 Guss Čebiševljeve formule druge vrste Gussove integrcijske formule oblik x 2 f (x) dx n w k f (x k ) k=1 zovu se Guss Čebiševljeve formule druge vrste. Čvorovi integrcije su nultočke Čebiševljevih polinom druge vrste U n. Z njih vrijedi Rodriguesov formul U n (x) = Z U n je ( 1) n (n + 1) π 2 n+1 Γ(n ) d n ( (1 x 2 1 x 2 dx n ) n+1/2), n 0. γ n = π 2, A n = 2 n, n 0.

96 96 / 96 Guss Čebiševljeve formule druge vrste Z x = cos ϕ, znmo d je U n (cos ϕ) = sin((n + 1)ϕ) / sin(ϕ), p se čvorovi integrcije lko rčunju vrijedi formul ( ) kπ x k = cos, k = 1,..., n. n + 1 Težine u Gussovoj formuli se, tko der, lko rčunju i vrijedi w k = π ( ) kπ n + 1 sin2, k = 1,..., n. n + 1 Grešk kod numeričke integrcije dn je formulom π E n (f ) = 2 2n+1 (2n)! f (2n) (ξ), ξ ( 1, 1).