Rotacijski skupovi preslikavanja na minimalnim podskupovima torusa

Транскрипт

1 Rotacijski skupovi preslikavaja a miimalim podskupovima torusa Pupić, Josip Master's thesis / Diplomski rad 2020 Degree Grator / Ustaova koja je dodijelila akademski / struči stupaj: Uiversity of Zagreb, Faculty of Sciece / Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovo-matematički fakultet Permaet lik / Traja povezica: Rights / Prava: I copyright Dowload date / Datum preuzimaja: Repository / Repozitorij: Repository of Faculty of Sciece - Uiversity of Zagreb

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Josip Pupić ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA NA MINIMALNIM PODSKUPOVIMA TORUSA Diplomski rad Zagreb, ruja, Voditelj rada: prof. dr. sc. Soja Štimac

3 Ovaj diplomski rad obraje je daa u sastavu: pred ispitim povjerestvom 1., predsjedik 2., čla 3., čla Povjerestvo je rad ocijeilo ocjeom. Potpisi člaova povjerestva:

4 Mome didu Stipi

5 Sadržaj Sadržaj iv Uvod 2 1 Rotacijski brojevi homeomorfizama a kružici Homeomorfizam, podizaje, rotacijski broj Dejoyev teorem Rotacijski skupovi preslikavaja u višedimezioalim torusima Poopćeje pojma rotacijskog broja Svojstva rotacijskog skupa od F H Rotacijski skup koji separira raviu Miimali podskupovi torusa Rotacijske potkove i simboličko račuaje rotacijskih skupova Realizacija rotacijskih skupova Toeplitzovim izovima Kostrukcija rotacijskog skupa koji separira raviu Bibliografija 59 iv

6 Uvod Cetrali pojam ovog rada je pojam rotacijskog skupa. Začetci ovog pojma leže u jedostavijem pojmu rotacijskog broja, kojeg u [6] uvodi Poicaré, 15. godie, autor iza temeljih pojmova teorije diamičkih sustava. Radi se o pojmu koji opisuje gibaje točaka pod iteracijama ekog homeomorfizma kružice, odoso jegovog podizaja, prirodo pridružeog preslikavaja a R promatraom homeomorfizmu. Ituitivo, rotacijski broj predstavlja prosječi pomak točke prilikom jede iteracije ašeg homeomorfizma. Geeralizaciju a eprekida preslikavaja stupja 1 a kružici proveli su Newhouse, Palis i Takes u [4], godie. U tom slučaju dolazimo do rotacijskog itervala. Oba kocepta pokazala su se korisima pa se prirodo ametula potreba za proširejem pojma a više-dimezioale slučajeve. Nako defiicije i upozavaja svojstava rotacijskih skupova eprekidih preslikavaja a m-dimezioalom torusu, fokusiramo se a podslučaj homeomorfizama a dvodimezioalom torusu. Odje ajprije proširujemo pojam rotacijskog skupa preslikavaja do pojma rotacijskog skupa preslikavaja a podskupu torusa, a zatim se posvećujemo proalažeju rotacijskih skupova sa ekim zaimljivim svojstvima. U tu svrhu, orijetiramo se a posebu klasu podskupova torusa, takozvae miimale skupove. Važu ulogu u proalažeju tražeih rotacijskih skupova odigrava simbolička diamika, odoso prebacivaje komplektog razmatraja preslikavaja diamike a torusu u jezik izova simbola. Rad je strukturira u tri poglavlja. U prvom poglavlju obradujemo jedodimezioali slučaj. Precizije, uvodimo pojam homeomorfizma a kružici te jegovog podizaja, obradujući uglavom [7]. Nako razmatraja ekih osovih svojstava tih preslikavaja, defiiramo pojam rotacijskog broja i razmatramo eka jegova svojstva. Pritom primijećujemo razlike u diamici, oviso o tome je li rotacijski broj racioala ili iracioala broj. Racioali slučaj pokazuje se puo jedostavijim i većia razmatraja vezaa je uz iracioali slučaj. Glavi rezultat prvog poglavlja je Dejoyev teorem koji, uz eke pretpostavke a promatrai homeomorfizam, zaključuje da je diamika tog preslikavaja jedaka diamici rotacije za iracioali rotacijski broj promatraog homeomorfizma. U drugom poglavlju, udimo ekoliko mogućih prošireja pojma rotacijskog broja a pojam rotacijskog skupa u višedimezioalom slučaju te biramo oaj s kojim ćemo dalje raditi. Zatim pokazujemo iz svojstava rotacijskog skupa eprekidog preslikavaja u 1

7 2 SADRŽAJ R m, medu kojima su ajvažija zatvoreost i povezaost. Naposljetku, fokusiramo se a podslučaj homeomorfizama a dvodimezioalom torusu, odoso jihovih podizaja, gdje pokazujemo da vrijede ešto jača svojstva, medu kojima je ajvažije koveksost rotacijskog skupa. U trećem poglavlju ostajemo pri promatraju homeomorfizama a dvodimezioalom torusu i proširujemo pojam rotacijskog skupa podizaja F a rotacijski skup preslikavaja F a ekom podskupu torusa. Cilj poglavlja je proalazak zaimljivih rotacijskih skupova; kokreto pokazujemo da postoji miimala skup čiji rotacijski skup separira raviu R 2 a dva epovezaa dijela. U tu svrhu koristimo simboličku diamiku. Pokazujemo da se gibaje točaka pod iteracijama podizaja F može simbolički reprezetirati izovima zakova 0, 1,.., N. Stvarajem adektvate podloge za poistovjećivaje simboličkih i diamičkih rotacijskih skupova, problem tražeja željeog rotacijskog skupa svodimo a problem kostrukcije iza zakova s ekim karakteristikama, čiju kostrukciju potom i provodimo. Ovim putem htio bih se zahvaliti metorici Soji Štimac a izimo zaimljivom prijedlogu teme i cjelokupoj pomoći u izradi rada. Ovaj rad me potakuo a daljje obrazovaje u matematici i a tome sam vrlo zahvala. Takoder, htio bih zahvaliti svojoj osovoškolskoj profesorici Mirjai Ivadi, koja me uvela u matematička atjecaja i sa mom postigla moje prve veće uspjehe, koji su me aveli a ostaak u svijetu matematike.

8 Poglavlje 1 Rotacijski brojevi homeomorfizama a kružici 1.1 Homeomorfizam, podizaje, rotacijski broj Defiicija Neka su X, Y toploški prostori te eka je dao preslikavaje f : X Y. Preslikavaje f je homeomorfizam ako je f eprekida bijekcija takva da je i f 1 eprekida. Defiicija Fukciju π : R R/Z dau s π(x) = x (mod 1) azivamo kaoska projekcija. Defiicija Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam. Kažemo da T čuva orijetaciju ako postoji rastući homeomorfizam g : R R takav da je π g = T π. Pritom g ozačavamo s ˆT i azivamo podizaje. Primjer Za homeomorfizam T zada s T(x) = (x + α) (mod 1), pri čemu je α R, za svaki k Z, preslikavaje ˆT : R R dao s ˆT(x) = x + α + k je podizaje od T. Naime, vrijedi π( ˆT(x)) = π(x + α + k) = (x + α + k) (mod 1) = (x + α) (mod 1), T(π(x)) = π(x) + α (mod 1) = (x + α) (mod 1) Ovaj primjer pokazuje i da za proizvolja homeomorfizam, jegovo podizaje ije jedistveo. Lema Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam. Ako je ˆT : R R jegovo podizaje, oda je svako drugo jegovo podizaje ˆT : R R oblika ˆT (x) = ˆT(x) + k, za eki k Z i za sve x R. 3

9 4 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI 2. Za sve x, y R takve da je x y k za eki k N, vrijedi i ˆT(x) ˆT(y) k. Iterirajem oda slijedi ˆT (x) ˆT (y) k, za sve N. Dokaz. 1. S obzirom da su ˆT i ˆT podizaja od T, za svaki x R vrijedi π( ˆT(x)) = T(π(x)) = π( ˆT (x)) odoso ˆT(x) ˆT (x) (mod 1). Stoga, za proizvolja x R je ˆT(x) = ˆT (x) + k x, pri čemu je k x Z. Pretpostavimo sada da postoje x < y R takvi da je k x k y. Defiirajmo a 0 = x, b 0 = y. Primijetimo da je zbog počete pretpostavke, k x+y k 2 x ili k x+y k 2 y. Bez smajeja općeitosti pretpostavimo k x+y k 2 x. Sada defiirajmo a 1 = a 0 = x i b 1 = a 0+b 0 = x+y. Iduktivo ovako defiiramo segmete I 2 2 := [a, b ]. Po Catorovom teoremu, s obzirom da je (I ) padajući iz segmeata čija širia teži u 0, postoji jedistvea c R takva da je c = N I. S obzirom da su ˆT i ˆT podizaja, posebo su i eprekide fukcije pa postoje ε 1 i ε 2 takvi da x c < ε 1 ˆT(x) ˆT(c) < 1 2, Uzmemo li ε := mi{ε 1, ε 2 }, vrijedi x c < ε 2 ˆT (x) ˆT (c) < 1 2. x c < ε k x k c = ˆT (x) ˆT(x) ˆT (c) + ˆT(c) ˆT (x) ˆT (c) + ˆT(x) ˆT(c) < = 1 Medutim, s obzirom da su k x i k c cijeli brojevi te su udaljei za maje od 1, lako zaključujemo da je k x = k c za sve x a ε-okolii od c. Nadalje, s obzirom da se c alazi u svakom I, a jihove širie teže u 0, očito postoji N takav da je b a < ε, odakle pak slijedi a c < ε te b c < ε. Dakle, dobivamo k a = k c = k b što je kotradikcija s defiicijom segmeata I (po defiiciji jihovi rubovi a, b imaju različite pridružee vrijedosti k a, k b ). Dakle, početa pretpostavka je pogreša, odoso k x = k y za sve x, y R, odakle je ˆT = ˆT + k, za eki k Z. 2. Pretpostavimo suproto, odoso da su x < y R takvi da je x y = y x k i ˆT(x) ˆT(y) > k. S obzirom da je ˆT rastuća fukcija, vrijedi i ˆT(y) > ˆT(x). Nadalje, eka su u, v reali brojevi koji zadovoljavaju ˆT(u) = ˆT(v)+1 (za proizvolja v ovakav u svakako postoji jer je ˆT surjekcija). Tada je T(π(u)) = π( ˆT(u)) = π( ˆT(v) + 1) = π( ˆT(v)) = T(π(v)).

10 1.1. HOMEOMORFIZAM, PODIZANJE, ROTACIJSKI BROJ 5 S obzirom da je T ijekcija, vrijedi π(u) = π(v), odoso u i v se razlikuju za eki cijeli broj. Budući da je fukcija ˆT rastuća i vrijedi ˆT(u) > ˆT(v), dobivamo i u > v, što daje u v + 1. Fukcija ˆT je eprekida pa je slika od R = [x, y] segmet S = [ ˆT(x), ˆT(y)]. Primijetimo da je ˆT(x) + i S za svaki 0 i k. Stoga, pošto je ˆT surjekcija, postoje u 0 = x, u 1,..., u k takvi da je ˆT(u i ) = ˆT(x) + i. Po dokazaoj tvrdji sada imamo u k u k u 1 + (k 1) x + k. Medutim, po pretpostavci je širia segmeta R maja ili jedaka k pa očito mora biti jedaka i pritom je u k = y. Posljedičo bi trebalo biti ˆT(u k ) = ˆT(y) o to je kotradikcija s obzirom da je ˆT(u k ) ˆT(x) = k i ˆT(y) ˆT(x) > k. Iduktivo, uvrštavajem T 1 (x), T 1 (y) umjesto x, y u dobiveu relaciju dobivamo i T (x) T (y) k za sve N. Napomea Sličo dobivamo i drugu ogradu, odoso ako su x, y R takvi da je x y k za eki k N, oda vrijedi i ˆT(x) ˆT(y) k. Naime, vrijedi π( ˆT(z)) = T(π(z)) = T(π(z + 1)) = π( ˆT(z + 1)) što zači da se ˆT(z) i ˆT(z + 1) razlikuju za cijeli broj, a budući da je ˆT rastuća, to zači da je ˆT(z + 1) ˆT(z) + 1. Bez smajeja općeitosti, eka je x < y. Tada je ˆT(y) ˆT(x + k) ˆT(x + k 1) ˆT(x) + k Posebo, u kombiaciji s drugim dijelom prethode leme zaključujemo da za x, y R te k N vrijedi y x = k ˆT(y) ˆT(x) = k Defiicija Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam. Defiiramo rotacijski broj od T kao ˆT (x) ρ(t) = lim sup (mod 1). + Napomea ρ(t) je eovisa o izboru x R. Naime, za sve x, y R postoji k Z + takav da je x y k. Po lemi je tada ˆT (x) ˆT (y) k za sve N pa je ˆT (x) ˆT (y) k lim sup < lim sup + + = 0 iz čega lako slijedi lim sup + ˆT (x) = lim sup + ˆT (y) (mod 1).

11 6 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI ρ(t) je eovisa i o izboru podizaja. Naime, takoder po lemi imamo ˆT (x) = ˆT(x) + k. Pretpostavimo sada da za eki N vrijedi ˆT (x) = ˆT (x) + k. Sada imamo ˆT +1 (x) = ˆT ( ˆT (x)) = ˆT ( ˆT (x) + k) ( ) = ˆT ( ˆT (x)) + k = ˆT( ˆT (x)) + k + k = ˆT +1 (x) + ( + 1)k pri čemu jedakost ( ) vrijedi zbog 2. točke apomee Dakle, idukcijom smo pokazali da je ˆT (x) = ˆT (x) + k za sve N pa je lim sup ˆT (x) (mod 1) = lim sup = lim sup = lim sup ˆT (x) + k (mod 1) ˆT (x) + k (mod 1) ˆT (x) (mod 1) Primjer Neka je R ρ : R/Z R/Z defiira s R ρ (x) = (x + ρ) (mod 1), pri čemu je ρ [0, 1). Primijetimo da je ˆR ρ : R R defiirao s x x + ρ podizaje od R ρ pa su sva podizaja tog preslikavaja daa s ˆR ρ (x) = x + ρ + k, k Z. Slijedi ρ(r ρ ) = lim sup + ˆR ρ (x) = lim sup + x + ρ = ρ (mod 1). Preslikavaje R ρ zove se rotacija. Propozicija Za svaki 1 vrijedi ρ(t ) = ρ(t) (mod 1). 2. Ako T ima periodiču točku, odoso ako postoje c R/Z i N takvi da je T (c) = c, oda je ρ(t) racioala. 3. Ako T : R/Z R/Z ema periodičih točaka, oda je ρ(t) iracioala. 4. U defiiciji rotacijskog broja, umjesto lim sup možemo pisati lim, odoso dobro je defiirao ˆT (x) ρ(t) = lim (mod 1) +.

12 1.1. HOMEOMORFIZAM, PODIZANJE, ROTACIJSKI BROJ 7 Dokaz. 1. Primijetimo da vrijede sljedeće jedakosti π( ˆT (x)) = π( ˆT( ˆT 1 (x))) = T(π( ˆT 1 (x))) = T(π( ˆT( ˆT 2 (x)))) = T 2 (π( ˆT 2 (x))) =... = T (π(x)) S obzirom da je ˆT eprekida bijekcija kao kompozicija takvih fukcija (iduktiva zaključak), iz prethode jedakosti zaključujemo da je ta fukcija podizaje od T. Nadalje vrijedi ρ(t ) = lim sup m + ( ˆT ) m (x) m (mod 1) = lim sup m + ( ˆT m )(x) m (mod 1) = ρ(t) 2. Neka su c R i N takvi da je T (c + Z) = c + Z. Tada je π( ˆT (c)) = T (π(c)) = T (c + Z) = c + Z, odoso ˆT (c) c = k, za eki k Z. Bez smajeja općeitosti, eka je k 0. Po apomei 1.1.6, zaključujemo da je ˆT +m (c) ˆT m (c) = k za sve m N. Za proizvolje p, r N takve da je r 1 vrijedi ˆT p+r (c) = ˆT p ( ˆT r (c)) Sada slijedi = ( ˆT p ( ˆT r (c)) ˆT (p 1) ( ˆT r (c)) ) + ( ˆT (p 1) ( ˆT r (c)) ˆT (p 2) ( ˆT r (c)) ) ( ˆT 2 ( ˆT r (c)) ˆT ( ˆT r (c)) ) + ( ˆT ( ˆT r (c)) ˆT r (c) ) + ˆT r (c) = pk + ˆT r (c) ρ(t) = lim sup p ˆT p+r (x) p + r pk + ˆT r (x) = lim sup p p + r = k (mod 1) (1.1) 3. Pretpostavimo suproto, tj eka je ρ(t) = p q zaključujemo da za S := T q vrijedi ρ(s ) = ρ(t q ) = q ρ(t) = q p q Q. Po prvom dijelu propozicije = p = 0 (mod 1) K tome, kako T ema periodičih točaka, zamo da i S ema fiksih točaka. Dakle, za svaki x R je S (π(x)) x + Z π(ŝ (x)) x + Z Ŝ (x) x Zbog eprekidosti od Ŝ to zači da je Ŝ (x) x kostatog predzaka pa bez smajeja općeitosti pretpostavimo da je Ŝ (x) > x za sve x R. Sada razlikujemo 2 slučaja:

13 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI (a) Pretpostavimo ajprije da postoji k N takav da je Ŝ k (0) > 1. Neka je k ajmaji takav priroda broj. Primijetimo da možemo odabrati podizaje Ŝ takvo da je Ŝ (0) [0, 1). Stoga, jaso je da je k 2 te da je Ŝ k [1, 2). To aime slijedi jedostavom primjeom leme S obzirom da su 0, Ŝ k 1 (0) [0, 1) očito je Ŝ k 1 (0) 0 < 1 pa je i Ŝ k (0) Ŝ (0) < 1. Već smo rekli da je Ŝ (0) (0, 1), a budući da je Ŝ rastuća fukcija, zaključujemo da je Ŝ k (0) (1, 2). Nadalje, eka je m N proizvolja. Primjeom apomee 1.1.6, redom a parove (0, Ŝ k (0)), (Ŝ k (0), Ŝ 2k (0)),...,(Ŝ (m 2)k (0), Ŝ (m 1)k (0)) dobivamo da je Ŝ ik (0) Ŝ (i 1)k (0) > 1 za svaki i {1,..., m}, što pak povlači Ŝ mk (0) > m. Stoga slijedi lim sup Ŝ (0) lim sup m Ŝ mk (0) mk lim sup m m mk = 1 k S druge strae, pretpostavimo prvo da postoji N takav da je Ŝ (0) < 1. Tada je, poovo primjeom leme jaso da je Ŝ p (0) < p( 1) za svaki p N. Posebo, svaki l N možemo jedistveo zapisati kao l = p + r pri čemu je 0 r < pa dobivamo Ŝ l (0) = Ŝ r (Ŝ p (0)) < Ŝ r (p( 1)) < p( 1) + r pri čemu zadja ejedakost slijedi uzastopom primjeom leme a parove (0, Ŝ (0)), (Ŝ (0), Ŝ 2 (0)),...,(Ŝ r 2 (0), Ŝ r 1 (0)). Primijetimo da tada, aalogo kao u drugom dijelu propozicije, slijedi lim sup l Ŝ l (0) l 1 Medutim, to je kotradikcija s obzirom da e može istovremeo biti ρ(s ) = 0 (mod 1) i 1 1 ρ(s ) (mod 1). Dakle, pretpostavka da postoji spomeuti N je k pogreša pa mora biti Ŝ (0) ( 1, ), s obzirom da već zamo da je Ŝ (0) <. Medutim, to u kombiaciji s čijeicom da je Ŝ (0) Ŝ 1 (0) < 1, daje am zaključak da je iz (S (0)) padajuć u R/Z. Jaso je i da je taj iz odozdo strogo ograiče ulom, jer zamo da S ema periodičih točaka pa e smije postojati iteracija od S koja 0 preslikava u 0. Dakle, iz je i kovergeta prema ekom limesu L, a eprekidost fukcije S daje am S (L) = L. No, to je dakako kotradikcija s čijeicom da S ema periodičih, pa i fiksih točaka. (b) Ako pak e postoji k kao u prethodom slučaju, zaključujemo da je Ŝ k (0) < 1 za sve k N. No, tada je (Ŝ (0)) rastuć, odozgo ograiče iz pa kovergira prema ekom limesu z. Zbog eprekidosti fukcije Ŝ slijedi Ŝ (z) = z što zači da je z fiksa točka preslikava Ŝ, a oda i z + Z fiksa točka preslikavaja S što as poovo dovodi u kotradikciju. Zaključujemo da je emoguće da je rotacijski broj od T racioala, odoso da je ρ(t) iracioala.

14 1.1. HOMEOMORFIZAM, PODIZANJE, ROTACIJSKI BROJ 9 4. Ako T ima periodiču točku, oda imamo točku x R takvu da je ˆT (x) x = k. Korištejem zapisa kao u (1.1), budući da ˆT r (x) 0 kada p, lako slijedi da je p+r ρ(t) = lim sup p ˆT p (x) p + r = lim p pk p + r = k Pretpostavimo sada da T ema periodičih točaka. Po uzoru a 3. dio propozicije, zaključujemo da za svaki 1, postoji k Z takav da je ˆT (x) x (k, k + 1), za sve x R. Posebo ˆT (0) k < 1 što povlači ˆT (0) k < 1 (1.2) Radi pregledosti, uvedimo ozaku x k = ˆT k (0), za k N. Tada za svaki m 1 imamo ˆT m (0) = ( ˆT m (0) ˆT (m 1) (0) ) + ( ˆT (m 1) (0) ˆT (m 2) (0) ) ( ˆT 2 (0) ˆT (0) ) + ˆT (0) = ( ˆT (x m 1 ) x m 1 ) + ( ˆT (x m 2 ) x m 2 ) + ( ˆT (x 1 ) x 1 ) + ( ˆT (0) 0 ). S obzirom da je ˆT (x) x (k, k + 1) za svaki x R, dobivamo da je ˆT m (0) (mk, m(k + 1)). Posebo je ˆT m (0) mk < m iz čega slijedi Sada slijedi ˆT m (0) m ˆT (0) ( ) ˆT m (0) m (1.1)+(1.2) k m m ˆT m (0) m k < 1. (1.3) + k m m ˆT m (0) m + ˆT m (0) m 1 m + 1 m = 2 m + 2, k + k ˆT (0) ( ) pri čemu ( ) vrijedi zbog ejedakosti trokuta. Pokazali smo da je iz ˆT (0) N Cauchyjev pa je, zbog potpuosti od R, o i kovergeta. Stoga je dobro defiirao ˆT (x) ρ(t) = lim (mod 1).

15 10 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI Defiicija Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam. Uvodimo ozake za sljedeća 2 skupa: Ω := {ρ(t) + m :, m Z} i Λ := { ˆT (0) + m :, m Z}. Lema Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam takav da je ρ(t) iracioala. 1. Neka su 1, 2, m 1, m 2 Z te x, y R. Tada vrijedi ˆT 1 (x) + m 1 < ˆT 2 (x) + m 2 ˆT 1 (y) + m 1 < ˆT 2 (y) + m Ako je ˆT podizaje takvo da je ˆT(0) > 0, bijekcija ρ(t) + m ˆT (0) + m izmedu Ω i Λ čuva prirodi uredaj. Dokaz. Slučaj kada je 1 = 2 je trivijala pa bez smajeja općeitosti pretpostavimo da je 1 > Pretpostavimo da su x, y R takvi da je ˆT 1 (x) + m 1 < ˆT 2 (x) + m 2 i ˆT 1 (y) + m 1 ˆT 2 (y) + m 2. Tada zbog eprekidosti fukcije t ˆT 1 (t) + m 1 ˆT 2 (t) m 2 i Bolzao-Weierstrassovog teorema zaključujemo da postoji z [x, y] takav da je ˆT 1 (z) + m 1 = ˆT 2 (z) + m 2. Stoga postoji k Z takav da je ˆT 1 (z) = ˆT 2 (z) + k π( ˆT 1 (z)) = π( ˆT 2 (z)) T 1 (π(z)) = T 2 (π(z)) T 1 2 (z + Z) = z + Z. No, tada je z+z periodiča točka preslikavaja T pa po propoziciji ρ(t) mora biti racioala što je kotradikcija. 2. Pretpostavimo da je ˆT 1 (0) + m 1 < ˆT 2 (0) + m 2 i pokažimo da je tada 1 ρ + m 1 < 2 ρ + m 2. Pretpostavku možemo zapisati i kao ˆT 1 2 ( ˆT 2 (0) ) + m 1 < ˆT 2 (0) + m 2. Korištejem prvog dijela leme uz x = ˆT 2 (0) i y = 0 dobivamo ˆT 1 2 (0) + m 1 < ˆT 0 (0) + m 2 odoso ˆT 1 2 (0) < m 2 m 1. Poovom primjeom prvog dijela propozicije, ovaj put za x = ˆT 1 2 (0) i y = 0 dobivamo Stoga je ˆT 2( 1 2 ) (0) ˆT 1 2 (0) = ˆT 1 2 ( ˆT 1 2 (0) ) ˆT 1 2 (0) < m 2 m 1. ˆT 2( 1 2 ) (0) = ˆT 2( 1 2 ) (0) ˆT 1 2 (0) + ˆT 1 2 (0) 0 < 2(m 2 m 1 ).

16 1.1. HOMEOMORFIZAM, PODIZANJE, ROTACIJSKI BROJ 11 Idukcijom se sada lako pokaže ˆT N( 1 2 ) < N(m 2 m 1 ). Sada je ( ρ(t) = lim ˆT (0) ) ( (mod 1) = lim N lim N ˆT N(1 2) (0) N( 1 2 ) lim N = m 2 m N(m 2 m 1 ) N( 1 2 ) ˆT N( 1 2 ) (0) ) (mod 1) N( 1 2 ) Gorja ejedakost je zapravo stroga s obzirom da je ρ(t) iracioala. Sada pak lako slijedi 1 ρ + m 1 < 2 ρ + m 2 što je i trebalo pokazati. Korolar Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam s iracioalim rotacijskim brojem ρ. Tada za svaki x R/Z, orbite od x pod T i pod rotacijom R ρ imaju isti uredaj. Dokaz. Po lemi (ii) vrijedi ˆT 1 (0) + m 1 < ˆT 2 (0) + m 2 1 ρ + m 1 < 2 ρ + m 2. (1.4) Medutim, s obzirom da je s x x + ρ zadao podizaje od R ρ, uvrštavajem m 1 = 2 = 0 dobivamo ˆT 1 (0) < m 2 ˆR 1 ρ (0) < m 2. Neka je Z proizvolja i eka je m Z takav da je ˆT (0) [m, m + 1). Očito je tada ˆR ρ(0) < m + 1. Nadalje, korištejem relacije (1.4) za 2 =, m 1 = m, m 2 = 1 = 0 dobivamo m < ˆT (0) m < ˆR ρ(0) pa je oda i ˆR ρ(0) [m, m + 1). Naime, uključivaje lijevog ruba je u redu s obzirom da, zbog iracioalosti broja ρ, ˆR ρ(0) ije cijeli broj i za koji N. Sada, pretpostavimo da je T 1 (0) < T 2 (0). Tada vrijedi π( ˆT 1 (0)) = T 1 (π(0)) < T 2 (π(0)) = π( ˆT 2 (0)). Iz tog razloga postoje k, m Z takvi da je ˆT 1 (0), ˆT 2 (0) + k [m, m + 1) te vrijedi ˆT 1 (0) > ˆT 2 (0)+k. Po prethodim tvrdjama zaključujemo ˆR 1 ρ (0) < ˆR 2 ρ (0)+k te ˆR 1 ρ (0), ˆR 2 ρ (0)+k [m, m + 1), odakle pak slijedi R 1 ρ (0) < R 2 ρ (0) što je i trebalo pokazati.

17 12 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI 1.2 Dejoyev teorem Defiicija Na topološkom prostoru X, homeomorfizam f : X X je miimala ako X e sadrži iti jeda pravi ( X, ) zatvore f -ivarijata podskup. Defiicija Fukcije f : X X i g : Y Y a topološkim prostorima X, Y su topološki kojugirae ako postoji homeomorfizam h : X Y takav da je h f = g h. Tada je f topološki kojugat od g i obrato, a homeomorfizam h se zove topološka kojugacija. Podsjetimo, za homeomorfizam T : R/Z R/Z, skup {ρ(t) + m :, m Z} ozačavamo s Ω. Lema Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam s iracioalim rotacijskim brojem ρ. Tada je Ω gust u R. Dokaz. Pokažimo da ρ (mod 1) može biti proizvoljo male. Kada bismo to pokazali, vrijedilo bi da svaki x R možemo aproksimirati proizvoljo dobro brojevima oblika ρ + m pri čemu su, m Z, odoso mogli bismo stvoriti iz elemeata iz Ω koji kovergira prema x pa bi zaista vrijedilo da je taj skup gust u R. Pretpostavimo sada suproto, tj da je ε := if{ρ (mod 1) : Z} > 0. Jaso je da je ε < 1, jer iz ρ > 1 slijedi ρ < 1, budući da je ρ + ( ρ) = 0. Iz svojstva ifimuma, jaso je da postoje 0 < a < ε i m Z takvi da je mρ = a + ε (mod 1). Promotrimo akratko a + ε kao elemet skupa R, a e kao elemet skupa R/Z. Neka je k N takav da je k(a + ε) < 1 i (k + 1)(a + ε) 1. Vratimo se sada a R/Z. Tada je ili kmρ = 1 kmρ < a + ε 2 < ε (mod 1) ili (k + 1)mρ = (k + 1)mρ 1 < a + ε < ε (mod 1). 2 U svakom slučaju, ašli smo Z takav da je ρ (mod 1) < ε što je kotradikcija s pretpostavkom. Dakle ρ (mod 1) zaista može biti proizvoljo male i po prethodoj argumetaciji je tvrdja dokazaa. Propozicija Neka je T : R/Z R/Z miimala homeomorfizam koji čuva orijetaciju, s iracioalim rotacijskim brojem ρ. Tada je T topološki kojugira rotaciji R ρ : R/Z R/Z. Dokaz. Primijetimo da je skup S = {T (0) : Z} T-ivarijata. Budući da je T miimala, S e smije biti pravi podskup od R/Z pa je S gust u R/Z. S obzirom da je T (0) = π( ˆT (0)), slijedi da je Λ = { ˆT (0) + m :, m Z} gust u R. Po lemi (ii) zamo da preslikavaje φ : Λ Ω dao s φ( ˆT (0) + m) = ρ + m čuva uredaj. S obzirom

18 1.2. DENJOYEV TEOREM 13 a gustoću ovih skupova u R, φ možemo po eprekidosti proširiti do homeomorfizma. Naime, za svaku točku x R\Λ zamo da postoji rastući iz (x ) u Λ koji kovergira prema x i defiiramo φ(x) = lim φ(x ). Ovaj limes zaista postoji jer je (φ(x )) rastući iz (jer φ čuva uredaj) koji je odozgo ograiče ekim φ(y) pri čemu je y Λ i y > x. Nadalje, ova fukcija je dobro defiiraa jer uzimajem 2 različita rastuća iza koji kovergiraju prema x ikako e možemo dobiti različite limese što lako slijedi iz čijeice da φ čuva uredaj (izmedu ta 2 limesa bi postojao eki elemet jedog od izova i tu bi došlo do kotradikcije). Dakle, φ je eprekida fukcija a R. Nadalje, ijektivost od φ je jedostava posljedica mootoosti. Pokažimo još surjektivost. Neka je sada y R\Ω, s obzirom da je za elemete iz Ω jaso da postoji elemet iz Λ koji se u jih preslikava. Zbog gustoće Ω u R, postoji rastući iz (y ) u Ω koji kovergira prema y, a postoje i x u Λ takvi da je φ(x ) = y. Budući da φ čuva uredaj izmedu Λ i Ω, (x ) je takoder rastući iz. O je i ograiče odozgo, pr. s ekim z Λ takvim da je φ(z) = w za eki w Ω takav da je w > y. Dakle, (x ) je kovergeta iz i eka je x jegov limes. Po defiiciji prošireja fukcije φ a R je jaso da je φ(x) = y. Sada zamo da je φ eprekida bijekcija, a eprekidost iverza takoder jedostavo slijedi, pa je φ : R R homeomorfizam. Za sve, m Z je ( ˆT (0) + m) ˆT (0) = m pa po apomei vrijedi ˆT( ˆT (0) + m) = ˆT( ˆT (0)) + m φ ( ˆT( ˆT (0) + m) ) = φ( ˆT +1 (0) + m) = ( + 1)ρ + m K tome, primijetimo da vrijedi i ˆR ρ ( φ( ˆT (0) + m) ) = ˆR ρ (ρ + m) = ( + 1)ρ + m Stoga, zaključujemo da je φ ˆT = ˆR ρ φ. Nadalje, po kostrukciji fukcije φ vidimo da je φ(x + 1) = φ(x) + 1. Naime, ako je x = ˆT (0) + m za eke, m Z, oda je φ(x + 1) = φ( ˆT (0) + m + 1) = ρ + (m + 1) = (ρ + m) + 1 = φ( ˆT (0) + m) + 1 = φ(x) + 1 Iače, postoje izovi cijelih brojeva ( k ) k i (m k ) k takvi da je x = lim k ( ˆT k (0) + m k ). Tada je φ(x) = lim k ( k ρ + m k ). Slijedi φ(x + 1) = lim k ( k ρ + m k + 1) = lim k ( k ρ + m k ) + 1 = φ(x) + 1 Dakle, homeomorfizam Φ : R/Z R/Z defiira s Φ(x+Z) = φ(x)+z je dobro defiira. Sada vrijedi φ ˆT = ˆR ρ φ π φ ˆT = π ˆR ρ φ Φ π ˆT = R ρ π φ Φ T π = R ρ Φ π Φ T = R ρ Φ

19 14 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI Dakle, ašli smo homeomorfizam takav da su T i R ρ topološki kojugiraa preslikavaja. Defiicija Za C 1 fukciju T : R/Z R/Z možemo promatrati jeziu derivaciju T : R/Z R defiirau sa T (c) = lim x c T(x + Z) T(c + Z) (x c)(mod1) Defiicija Za fukciju f : R/Z R defiiramo varijaciju s Var( f ) = sup { 1 f (x i+1 ) f (x i ) : 0 = x0 < x 1 <... < x = 1 } i=0 Kažemo da fukcija f ima ograičeu varijaciju ako je Var( f ) koača. Teorem (Dejoy). Neka je T : R/Z R/Z C 1 -homeomorfizam koji čuva orijetaciju, s iracioalim rotacijskim brojem ρ i derivacijom s ograičeom varijacijom. Tada je T topološki kojugiraa rotaciji R ρ : R/Z R/Z. Dejoyev teorem glavi je rezultat ove cjelie. O daje dovolje uvjete da homeomorfizam bude kojugat rotacije. Sada avodimo i dokazujemo dvije leme koje će am pomoći u dokazu tog teorema. Lema Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam s iracioalim rotacijskim brojem ρ. Pretpostavimo da postoje kostata C > 0 i iz (q ) u Z takvi da q i da preslikavaja T q : R/Z R/Z zadovoljavaju Tada je T miimala. (T q ) (x) (T q ) (x) C. Dokaz. Pretpostavimo da T ije miimala. Tada postoji pravi zatvorei T-ivarijata podskup od X := R/Z. Posebo, za eki x iz tog podskupa je i T (x) iz tog podskupa za sve Z. Stoga zapravo postoji eki x X takav da je Y := Z {T (x)} X. Odaberimo eki maksimala iterval I 0 X\Y i pokažimo da su i I := T (I 0 ) X\Y različiti maksimali itervali (iterval I je maksimala u skupu S ako e postoji eki iterval u skupu S koji sadrži I). Budući da je I 0 maksimala, vrijedi I 0 = (a, b), pri čemu su a, b Y. Iz T-ivarijatosti skupa Y lako se vidi da je I X\Y i da su T (a), T (b) Y za sve Z, odoso da je svaki iterval I maksimala. Nadalje, vrijedi I I m I = I m

20 1.2. DENJOYEV TEOREM 15 Naime, pretpostavimo da se itervali e poklapaju u potpuosti. Tada je eki od rubova jedog itervala sadrža u uutrašjosti drugoga. S obzirom da su rubovi iz Y, a uutrašjosti iz X\Y, to je emoguće. Stoga posebo vrijedi i T (a) = T m (a) jer zbog mootoosti od T e može biti T (a) = T m (b) i T (b) = T m (a). Medutim, ukoliko je m, dobivamo da je a periodiča točka preslikavaja T što je kotradikcija s čijeicom da je ρ(t) iracioala. Dakle, itervali I moraju biti disjukti. Zbog disjuktosti slijedi I 1 Z s obzirom da su svi I (0, 1) pa posebo imamo I 0 kada. S obzirom da je I q = (T q ) (x) dx I 0 slijedi ( I q + I q = (T q ) (x) + (T q ) (x) ) dx I 0 A G 1 2 ( (T q ) (x) (T q ) (x) ) 1 2 dx I 0 2 C dx = 2C 2 I0 I 0 Medutim, ovo je kotradikcija s čijeicom Z I 1 pa T zaista mora biti miimala. Lema Neka je T : R/Z R/Z homeomorfizam s iracioalim rotacijskim brojem, x R/Z i x = T (x) za sve Z. Tada postoji rastući iz (q ) u N takav da q i da su itervali (x 0, x q ), (x 1, x q +1),..., (x q, x 2q ) u parovima disjukti. Dokaz. Po korolaru zamo da je poredak u R/Z točaka orbite pod djelovajem T jedak poretku točaka orbite pod djelovajem R ρ pa lemu dokazujemo upravo za T = R ρ. Želimo odabrati iz (q ) tako da uvijek biramo sljedeći ajbliži dolazak iza R ρx točki x. Formalo, eka je za svaki N, q takav da je R q ρ (x) x = if{ Rρ(x) j x : 1 j q }. Ovakav odabir iza (q ) je moguć budući da, kao u dokazu leme 1.2.3, zaključujemo da je skup {R ρ(x) : x N} gust u R/Z. Za proizvolja N, promotrimo sada iterval (x i, x q +i) za eki 0 i q (slučaj (x q +i, x i ) je aaloga) te pretpostavimo da postoji x r (x i, x q +i) takav da je 0 r 2q. Promotrimo sada dva slučaja: 1 aritmetičko-geometrijska ejedakost

21 16 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI 1. Neka je r < i. Tada vrijedi Posebo, tada slijedi x 0 = R r ρ (x r ) R r ρ ((x i, x q +i)) = (x (i r), x q +(i r)). x (i r) x 0 < x q +(i r) x (i r) = R (i r) ρ (x q +(i r)) R (i r) ρ (x (i r) ) = x q x 0. Medutim, 0 < i r < q pa je gorja tvrdja kotradiktora defiiciji q. 2. Neka je sada r > i. Tada je x (r i) = R i ρ (x r ) R i ρ ((x i, x q +i)) = (x 0, x q ). Po defiiciji od q užo mora biti r i > q. No tada je x (r i) q = R q ρ (x (r i) ) R q ρ ((x 0, x q )) = (x q, x 0 ). Tada, sličo kao u prijašjem slučaju slijedi x (r i) q x 0 < x q x 0 = R q ρ (x q ) R q ρ (x 0 ) = x 0 x q. S obzirom da je 0 < (r i) q < q, opet dolazimo do kotradikcije s defiicijom od q. Dakle, pretpostavka o postojaju x r s avedeim svojstvom je pogreša pa iz (q ) zaista zadovoljava potreba svojstva i tvrdja leme je dokazaa. Korolar Niz (q ) iz prethode leme, zadovoljava promatrao svojstvo za svaki x R/Z. Dokaz. Dokaz prethode leme provede je za rotaciju s parametrom ρ. Posebo svojstvo tog preslikavaja je da čuva udaljeost. Iz toga lako zaključujemo da se za eki drugi početi y R/Z, y x, pripadi itervali (y 0, y q ), (y 1, y q +1),..., (y q, y 2q ) mogu dobiti traslacijom itervala (x 0, x q ), (x 1, x q +1),..., (x q, x 2q ) za y x (mod 1), i to za svaki N. S obzirom da traslacija e mijeja svojstvo disjuktosti spomeutih itervala, jaso je kako je (q ) iz s tražeim svojstvom za svaku početu točku. Poovim korištejem korolara , zaključujemo da to vrijedi i za bilo koji homeomorfizam T s iracioalim rotacijskim brojem. Navedimo još i dvije tehičke apomee koje ćemo koristiti u samom dokazu.

22 1.2. DENJOYEV TEOREM 17 Napomea Pokažimo idukcijom da je (T ) (y) = 1 i=0 T (T i (y)) za svaki N. Baza = 1 je očita; pretpostavimo da tvrdja vrijedi za eki N te ju dokažimo i za + 1. Vrijedi (T +1 ) (y) = (T T ) (y) = T (T (y)) (T ) (y) = 2. Za svaki k N vrijedi Naime, to slijedi iz iza jedakosti (T k ) (x) = 1 (T k ) (T k (x)). T (T i (y)). 1 = (id) (x) = (T k T k ) (x) = (T k ) (T k (x)) (T k ) (x). Sada smo apoko spremi za dokaz Dejoyevog teorema. Dokaz. Neka je x = x 0 = 0. Iz leme dobivamo iz (q ) takav da su itervali (x i, x q +i) u parovima disjukti, za svaki N te za svaki 0 i. Vidimo da je R/Z poploča itervalima oblika (x i, x q +i) izmedu kojih se alaze itervali oblika (x i, x q + j) ili (x q +i, x j ) pri čemu je i j i 0 i, j q. Na kraju se alazi iterval oblika (x i, 1) ili (x q +i, 1), za eki 0 i q. Iz tog razloga, jer uzimamo samo dio tih itervala kojima smo popločali R/Z, za proizvolja N možemo zaključiti { k 1 Var(log T ) = sup log T (x i+1 ) log T (x i ) } : 0 = x0 < x 1 <... < x k = 1 i=0 q log T (x i+1 ) log T (x i ) i=0 (1) q q log T (x i ) log T (x q +i) i=0 i=0 q 1 = log i=0 T (T i x 0 ) q 1 i=0 T (T i x q +1) (a) = log (T q ) (x 0 ) (T q ) (x q +1) (b) = log 1 (T q ) (x q +1) (T q ) (x q +1) = log (T q ) (x q +1) (T q ) (x q +1) = log (T q ) (x q +1) (T q ) (x q +1). i=0

23 1 POGLAVLJE 1. ROTACIJSKI BROJEVI HOMEOMORFIZAMA NA KRUŽNICI Pritom (1) vrijedi zbog ejedakosti trokuta. Medutim, po korolaru , zamo da iz (q ) ima isto svojstvo za svaki početi x iz R/Z pa za proizvolja x R/Z vrijedi Var(log T ) log (T q ) (T q +1 (x)) (T q ) (T q +1 (x)). Iz bijektivosti preslikavaja T q +1 i proizvoljosti od x, zaključujemo da je Var(log T ) log (T q ) (x) (T q ) (x) za svaki x R/Z i svaki N. Ozačimo sada C := Var(log T ) 0. Tada je posebo C log (T q ) (x) (T q ) (x) e C (T q ) (x) (T q ) (x). Dakle, ašli smo pozitivu kostatu i rastući iz (q ) takve da je gorja ejedakost zadovoljea za sve N te x R/Z. Stoga, pozivajem a lemu 1.2. zaključujemo da je preslikavaje T miimalo. Preostaje samo pozvati se a propoziciju iz koje zaključujemo da je preslikavaje T toploški kojugat rotacije ρ. Dosad smo se bavili pojmom rotacijskog broja homeomorfizama a R/Z. Za kraj poglavlja, proširujemo taj pojam a veću klasu fukcija. Defiicija Neka je f : R/Z R/Z eprekido preslikavaje stupja 1 te eka je ˆ f : R R eko jegovo podizaje. Za x R defiiramo rotacijski broj kao Zatim, defiiramo rotacijski skup kao ρ( ˆ f, x) = lim sup fˆ (x) x. ρ( ˆ f ) = {ρ( ˆ f, x) : x R}. Napomea Primijetimo da sada rotacijski broj defiiramo u ovisosti o odabraom podizaju fˆ i točki x, s obzirom da emamo rezultat o eovisosti o izboru x i fˆ kao što smo imali u slučaju kada je f homeomorfizam. Sljedeći teorem govori o mogućem obliku ovako defiiraog rotacijskog skupa. Teorem [1, Teorem] Neka je f : R/Z R/Z eprekido preslikavaje stupja 1 i fˆ pripado podizaje. Oda je ρ( f ˆ) točka ili ograiče zatvore iterval. Zbog prethodog teorema, ovako defiira rotacijski skup ćemo dalje azivati rotacijski iterval.

24 Poglavlje 2 Rotacijski skupovi preslikavaja u višedimezioalim torusima 2.1 Poopćeje pojma rotacijskog broja Defiicija m-dimezioali torus je prostor T m = R m /Z m. Defiicija Neka su X, Y topološki prostori i f, g : X Y eprekida preslikavaja. Za preslikavaja f i g kažemo da su homotopa ako postoji eprekido preslikavaje H : X [0, 1] Y takvo da je H(x, 0) = f (x) i H(x, 1) = g(x). Preslikavaje H se zove homotopija izmedu f i g. Defiicija S π : R m T m ćemo ozačavati stadardu projekciju. Defiicija Klasu svih podizaja svih eprekidih preslikavaja a T m homotopih idetiteti, ozačavati ćemo sa C m. Klasu svih podizaja svih homeomorfizama a T m homotopih idetiteti, ozačavati ćemo sa H m. Napomea Elemeti klase C m su upravo oa eprekida preslikavaja F : R m R m za koja je F(x + k) = F(x) + k, za sve k Z m. Elemeti klase H m su upravo homeomorfizmi iz C m. Za F C m, N i k Z m idukcijom po lako pokazujemo F (x + k) = F (x) + k. Prostore C m i H m promatramo uz topologiju uiforme kovergecije. 19

25 20 POGLAVLJE 2. ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA U VIŠEDIMENZIONALNIM TORUSIMA Očiti ači prošireja pojma rotacijskog broja a višedimezioali slučaj bio bi sljedeći. Neka je F C m preslikavaje te eka je x R m proizvolja. Tada s ρ(f, x) ozačimo skup limesa svih kovergetih podizova iza ( F (x) x ). Tada bismo defiirali točkovi rotacijski skup kao ρ p (F) = ρ(f, x). x R m Medutim, radi ekih ljepših svojstava koja ćemo vidjeti kasije, defiiramo pojam rotacijskog skupa malo drugačije. Pokazat ćemo da je ova defiicija takoder prošireje jedodimezioalog slučaja. Defiicija Neka je F C m. Sa ρ(f) ozačimo skup limesa svih kovergetih izova oblika ( F i (x i ) x ) i, x i R m, i. i i=1 Skup ρ(f) azivamo rotacijski skup od F. Napomea Primijetimo da je ρ p (F) ρ(f). Naime, ako je x i = x za sve i, dobivamo upravo sve limese iz defiicije točkovog rotacijskog skupa. Navedimo sada korisu karakterizaciju ovako defiiraog rotacijskog skupa. Propozicija Za k N, eka je Tada vrijedi { F k (x) x K k (F) = : x R }. m k ρ(f) = K k (F). (2.1) 1 k Dokaz. Neka je L ρ(f). Dakle, za svaki i N postoje x i R m te i N takvi da i F za koje vrijedi L = lim i(x i ) x i i i. Neka je N proizvolja te eka je i 0 N takav da za svaki i i 0 vrijedi i. Uvedimo ozaku a i = F i(x i ) x i i za sve i N. Tada je iz (a i ) i=i 0 podiz početog iza pa je i o kovergeta s limesom L. Nadalje, za svaki i i 0 je a i K i (F) k K k (F) =: S. Dakle, (a i ) i=i 0 je kovergeta iz u zatvoreom skupu S pa je i jegov limes L S. Zbog proizvoljosti izbora N, jaso je da vrijedi ρ(f) 1 k K k (F).

26 2.1. POOPĆENJE POJMA ROTACIJSKOG BROJA 21 Pokažimo sada i suprotu ikluziju. Neka je L 1 k K k (F) = 1 S. Skupovi S su zatvorei pa u svakom od jih postoji kovergeta iz s limesom L. Ozačimo te izove s ( F i,m (x i,m ) x ) i,m S m. i,m i=1 Za svaki m N, eka je k m jedak ekom ideksu i,m za kojeg vrijedi F i,m (x i,m ) x i,m i,m L < 1 m, i,m > m. Uvedemo li i ozaku x m za taj pripadi x i,m, dobivamo iz ( F k m (x m ) x m k m )m koji kovergira prema L te vrijedi k m pa je po defiiciji jaso da je L ρ(f), odoso 1 k K k (F) ρ(f). Sada su pokazae obje ikluzije pa slijedi jedakost ovih dvaju skupova. Napomea Skupovi K k (F) su kompakti. Naime, zbog F k (x + l) = F k (x) + l, vrijedi i F k (x) x = F k (x + l) (x + l), za sve l Z m. Stoga je { F k (x) x K k (F) = k } { F : x R m k (x) x = k : x [0, 1] m }. S obzirom da je [0, 1] m kompakta skup, a fukcija x Fk (x) x eprekida, zaključujemo k da je K k (F) kompakta kao slika kompaktog skupa po eprekidoj fukciji. Pokažimo sada da je ovakva defiicija rotacijskog skupa prošireje pojma rotacijskog itervala. Za to će am biti potreba sljedeća lema. Lema Neka je F C m. Za racioala broj l vrijedi l > b ako i samo ako je k k F k (x) x < l, za svaki x R m. Aalogo, vrijedi l < a ako i samo ako je k Fk (x) x > l, za svaki x R m. Dokaz. Dokazujemo samo prvu tvrdju, druga slijedi aalogo.

27 22 POGLAVLJE 2. ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA U VIŠEDIMENZIONALNIM TORUSIMA Neka je F k (x) x < l, za sve x R m. Svaki N možemo zapisati kao = m k + r, pri čemu su m, r N 0 takvi da je 0 r < k. Vrijedi ( F (x) x F (x) F mk (x) ) + ( F mk (x) F (m 1)k (x) ) ( F k (x) x ) lim sup = lim sup (1) F (x) F mk (x) + m l < lim sup ( (2) F r (y) y m l ) = lim sup + m k + r lim sup = lim sup ( F r (y) y F r (y) y + l k. + m l m k U (1) smo koristili pretpostavku F k (x) x < l za x = F ak (x), a = 0,..., m 1, a u (2) smo koristili supstituciju y = F m k (x). S obzirom da je r {0,..., k 1}, primijetimo da F r (y) y postiže samo koačo mogo različitih vrijedosti. S obzirom da da azivik, jaso je da je limes superiror u posljedjem izrazu jedak 0. Dakle, dobili smo da za svaki x R m vrijedi lim sup ) F (x) x pa je svaki elemet rotacijskog itervala maji od l, što posebo implicira b l. k k Dokažimo sada implikaciju u drugom smjeru, odoso pretpostavimo da je b < l. k Pretpostavimo suproto tvrdji, odoso da postoji x 0 R m takav da je F k (x) x k. Raspisujemo sličo kao u prošlom dijelu dokaza, koristeći iste ozake: lim sup F (x 0 ) x 0 = lim sup lim sup = lim sup (3) lim sup = l k. < l k ( F (x 0 ) F m k (x 0 ) ) ( F k (x 0 ) x 0 ) (F r (y) y) + m l ( (F r (y) y) + (F r (y) y) m l ) m k + r + lim sup m l (m + 1)k U (3) smijemo razdvojiti limes superior a zbroj 2, jer za prvi od ta 2 od raije zamo da je jedak 0. Za drugi pak vrijedi da je jedak l k jer za vrijedi i m.

28 2.1. POOPĆENJE POJMA ROTACIJSKOG BROJA 23 S obzirom da se promatrai limes superior alazi u rotacijskom itervalu, dobili smo da je b l, što je upravo kotradikcija s pretpostavkom. k Propozicija Neka je F C 1 te eka je [a, b] pripadi rotacijski iterval, pri čemu je a b. Tada vrijedi ρ(f) = [a, b]. Dokaz. Primijetimo da je rotacijski iterval sadrža u točkovom rotacijskom skupu od F. Naime, u [a, b] se alaze limesi superiori svih izova ( F (x) x), x R. S druge strae, u ρ p (F) se alaze limesi svih kovergetih podizova svih izova ( F (x) x), medu kojima su dakako i limesi superiori. Dakle, vrijedi [a, b] ρ p (F) ρ(f). Pokažimo sada i drugu ikluziju. Zamo da za svaki k N postoji l N takav da je b < l b + 1. Prema lemi , l > b povlači k k k Fk (x) x < l za sve x R pa vrijedi F k (x) x k < l k b + 1, za sve x R k Iz defiicije skupa K k (F) zaključujemo da to zapravo zači da je sup K k (F) b + 1. Nadalje, iz toga slijedi da za svaki k vrijedi sup K k (F) b + 1 odakle pak zaključujemo k sup K k (F) b + 1 k (2.2) S obzirom da je ρ(f) = 1 k K k (F), oda (2.2) vrijedi za svaki N što ujedo implicira i sup ρ(f) b. Korištejem aaloge tvrdje leme , sličim razmatrajem dolazimo do ograde if ρ(f) a. Stoga apoko zaključujemo ρ(f) [a, b], čime je tvrdja propozicije dokazaa. Opća svojstva rotacijskog skupa Kreimo sa svojstvom koje je jedostava posljedica pokazae karakterizacije rotacijskog skupa preslikavaja F. Propozicija ρ(f) je zatvore. Dokaz. Po relaciji (2.1) iz propozicije 2.1. vidimo da je ρ(f) presjek zatvoreih skupova, pa je zato i sam zatvore. Defiicija Za A R m sa Cov(A) ozačavamo koveksu ljusku od A, odoso ajmaji koveksa skup koji sadrži A. Udaljeost skupa A od točke x ozačavamo d(x, A). Za skup A i ε > 0 defiiramo B(A, ε) = {x R m : d(x, A) < ε} i B(A, ε) = {x R m : d(x, A) ε}

29 24 POGLAVLJE 2. ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA U VIŠEDIMENZIONALNIM TORUSIMA Propozicija Neka su F C m, p Z m i q N. Tada (a1) ρ(f q p) = qρ(f) p, (a2) ρ(f q p, x) = qρ(f, x) p, (a3) ρ p (F q p) = qρ p (F) p. Posebo, za F H m vrijedi (b) ρ(f 1 ) = ρ(f). Dokaz. (a1) Neka je v ρ(f q p). Tada postoje izovi ( i ) i u N i (x i ) i u R m takvi da i i (F q p) i (x i ) x i lim = v. i i Primijetimo da je Zato je (F q p) i (x i ) = (F q p) i 1 (F q (x i ) p) = (F q p) i 2 (F q (F q (x i ) p) p) = (F q p) i 2 (F 2q (x i ) p p) =... = F iq (x i ) i p. v = lim i F iq (x i ) i p x i i = q Fqi (x i ) x i q i p, odakle je jaso da je v+p ρ(f), odoso v qρ(f) p. Time smo pokazali da je q ρ(f q p) qρ(f) p. Za suprotu ikluziju, eka je v ρ(f). Tada postoje izovi ( i ) i u N i (x i ) i u R m takvi da i i F i (x i ) x i lim = v. i i Sada tvrdimo da postoji M R takav da za svaki z R m i za sve r {0,..., q 1} vrijedi F r (z) z M. Naime, za svaki z R m postoji jedistvei s Z m takav da je z [s, s + 1). Vrijedi F(z) z = F(s + (z s)) z = F(z s) + s z = F(z s) (z s) pri čemu je z s [0, 1] m. Dakle, slika cijelog R m po eprekidoj fukciji x F(x) x je ista kao slika kompakta [0, 1] m, a ta slika je kompakta. Stoga, zaista postoji tražei M.

30 2.1. POOPĆENJE POJMA ROTACIJSKOG BROJA 25 Uvedimo sada ozake r i = i k i q, uz r i {0,..., q 1} i z i = F qk i (x i ). Vrijedi F i (x i ) x i Fqki (x i ) x i i qk i F i (x i ) x i Fi (x i ) x i i qk i + F i (x i ) x i z i x i qk i qk i = F i (x i ) x i i 1 i qk i + Fr i 1 (z i ) z i qk i = F i (x i ) x i i r i + F r i 1 (z i ) z i. qk i qk i Zamo da F i(x i ) x i i v, jer je fukcija x x eprekida. Nadalje, imamo ogradu F r i (z i ) z i M, a s obzirom da 1 qk i, r i qk i < 1 k i 0, zaključujemo da iz kovergira prema istom limesu v. Stoga, F qk i(x i ) x i qk i (F q ) k i (x i ) x i (F q p) ki (x i ) x i lim = qv lim i k i i k i = qv p čime smo dobili da je qv p ρ(f q p), a samim time i drugu ikluziju. (a2) Tvrdja slijedi provodejem prethodog dokaza pri čemu koristimo x i = x, za sve i N. (a3) Po (a2) zamo da je ρ(f q p, x) = qρ(f, x) p, za sve x R m. Stoga imamo ρ p (F q p) = ρ(f q p, x) = (qρ(f, x) p) = q ρ(f, x) p x R m x R m x R m = qρ p (F) p. (b) Primijetimo da je, uz ozaku y i = F i (x i ), F i (x i ) x i i = (F 1 ) i (y i ) y i i. Ako je v ρ(f 1 ), oda postoje izovi (y i ) i u R m i ( i ) i u N takvi da i i v = lim i (F 1 ) i (y i ) y i i = lim i F i (x i ) x i i. Stoga je v ρ(f), tj v ρ(f), pa je ρ(f 1 ) ρ(f). Suproto, ako je v ρ(f) oda postoje izovi (x i ) i u R m i ( i ) i u N takvi da i i v = lim i F i (x i ) x i i = lim i (F 1 (y i ) y i i. Stoga, v ρ(f 1 ) odakle lako slijedi jedakost ρ(f 1 ) = ρ(f).

31 26 POGLAVLJE 2. ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA U VIŠEDIMENZIONALNIM TORUSIMA Lema Neka je A R m kompakta skup. Tada je Cov(A) zatvore skup. Dokaz. Neka je N proizvolja. Po Caratheodoryjevom teoremu, svaki elemet kovekse ljuske skupa A R m je koveksa kombiacija m + 1 elemeata iz tog skupa. Iz tog razloga, Cov(A) je slika preslikavaja G : A m+1 m R m defiiraog s m G(a 0,..., a m ; t 0,..., t m ) = t i a i pri čemu je m = {(t 0,..., t m ) : t j 0, t 0,..., t m = 1}. Očito je skup m kompakta, a zamo i da je A kompakta pa je domea preslikavaja G kompakta skup. Takoder, očito je G eprekida fukcija pa oa slika kompakta skup u kompakta skup. Dakle, A, to jest slika fukcije G je kompakta skup. Lema Ako je F C m, oda je ρ(f) Cov(K (F)) za svaki N. Dokaz. Neka je z ρ(f) proizvolja. Tada postoje izovi ( i ) i u N i (x i ) i u R m takvi da i i F i (x i ) x i z = lim. i i Za proizvolja k N postoji jedistvei zapis i = m i k + r i, pri čemu je 0 r i < k i vrijedi F i (x i ) x i i = ( F k (F i k (x i )) F i k (x i ) ) ( F k (F i m i k (x i )) F i m i k (x i ) ) + F i m i k (x i ) x i i = m ik i c c mi m i i + Fri (x i ) x i i pri čemu je c j = Fk (F i jk (x i )) F i jk (x i ), za sve j = 1,..., m k i. Primijetimo da je svaki c j K k (F), je koveksa kombiacija elemeata iz K k (F) pa se alazi u Cov(K k (F)). a c c mi m i Pretpostavimo sada da z Cov(K k (F)). S obzirom da je Cov(K k (F)) zatvore skup, mora biti d(z, Cov(K k (F))) = ε > 0. Kako je z limes iza ( F i(x i ) x i i )i, postoji i 1 N takav da za svaki i i 1 vrijedi z F i (x i ) x i ( = mi k z i i i=0 c c mi m i + Fri (x i ) x i i ) < ε 3. Nadalje, s obzirom da je 0 r i < k za svaki i N, postoji kostata M 1 > 0 takva da je F r i (x i ) x i < M 1 za svaki i. Iz tog razloga, imamo i 2 N takav da za svaki i i 2 vrijedi F r i (x i ) x i i < ε 3.

32 2.1. POOPĆENJE POJMA ROTACIJSKOG BROJA 27 K tome, po lemi zamo da je skup Cov(K k (F)) kompakta pa postoji kostata M 2 > 0 takva da je c c mi m i < M2 za svaki i. Stoga, s obzirom da i m i k i 0, oda postoji i 3 N takav da za sve i i 3 vrijedi i m i k c i c mi m i < ε 3. Sada za sve i max{i 1, i 2, i 3 }, imamo z c c m i m i z F i (x i ) x i i + c c mi Fi (x i ) x i m i i < ε 3 + c c ( mi mi k c c mi + Fri (x i ) x ) i m i i m i i ε 3 + i m i k c i c mi m i + 1 F r i (x i ) x i i < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Dakle, ašli smo elemet skupa Cov(K k (F)) koji je od z udalje za maje od ε što je kotradikcija s pretpostavkom, odoso z Cov(K k (F)), a samim time i ρ(f) Cov(K k (F)) zbog proizvoljosti izbora elemeta z. Sada smo spremi dokazati drugo važo svojstvo rotacijskog skupa preslikavaja F. Teorem Za preslikavaje F C m, rotacijski skup ρ(f) je poveza. Dokaz. Po lemi zamo ρ(f) Cov(K 1 (F)). S obzirom da je ρ(f) zatvore, a Cov(K 1 (F)) kompakta skup, zaključujemo da je i ρ(f) kompakta. Pretpostavimo sada da ρ(f) ije poveza. Tada postoje disjukti skupovi A, B ρ(f) zatvorei u ρ(f), takvi da je ρ(f) = A B. A i B su oda takoder kompakti, kao zatvorei podskupovi kompaktog skupa. Neka je d(a, B) = ε > 0. Naime, jaso je da je d(a, B) 0 jer u suprotom postoji zajedičko gomilište tih dvaju skupova, a s obzirom da su oi kompakti, oo bi se alazilo u jihovom presjeku, što je emoguće jer su A i B disjukti. Defiirajmo skupove U = K(x, ε 3 ) i V = K(y, ε 3 ). x A Jaso je da su skupovi U, V otvorei te da vrijedi U = K(x, ε 3 ), x A V = y B y B K(y, ε ), U V =. 3

33 2 POGLAVLJE 2. ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA U VIŠEDIMENZIONALNIM TORUSIMA Neka je δ = d(u, V). Neka je v A i w B. Tada postoje izovi ( i ) i, (k j ) j u N i (x i ) i, (y j ) j takvi da i, k j te v = lim i F i (x i ) x i i, w = lim j F k j (y j ) y j k j. Kako je K 1 (F) kompakta, postoji kostata M R takva da je F(t) t M za sve t R m. Neka je z R m proizvolja i stavimo t = F (z). Vrijedi F +1 (z) z F (z) z + 1 = F(t) z + 1 t z F(t) z + 1 F(t) z + F(t) z t z = F(t) z (1 1 ) 1 + F(t) t ( F +1 (z) z + 1 ). + M Vrijedi F +1 (z) z F +1 (z) F (z) F(z) z ( + 1)M pa je F +1 (z) z F (z) z + 1 2M. Zamo da je ρ(f) U V te je U V otvore pa postoji N N takav da za sve N vrijedi F (z) z U V, za sve z R m. U suprotom, postojao bi eki iz ( F i(z i ) z i i )i u (U V)C. No, kako je (U V) C zatvore skup, o sadrži limese svih kovergetih podskupova svih izova uutar (U V) C, pa tako i promatraog. Medutim, po defiiciji skupa ρ(f), ti se limesi alaze i u jemu, a kako su ρ(f) i (U V) C disjukti, dolazimo do kotradikcije. Odaberimo sada i N sa sljedećim svojstvima Odaberimo još i j N takav da je Zbog F +1 (x i ) x i + 1 2M i < δ, i N, k j i i F (x i ) x i za sve i, dobivamo da je F (x i ) x i F i (x i ) x i i U. F k j (y j ) y j k j V. 2M 2M < δ = d(u, V) i U za sve i. Stoga je i Fk j (x i ) x i k j U. Promotrimo sada segmet [x i, y j ]. Njega eprekida fukcija Fk j id k j preslikava u krivulju

34 2.1. POOPĆENJE POJMA ROTACIJSKOG BROJA 29 od Fk j (x i ) x i k j U do Fk j (y j ) y j k j krivulji, a ije i u U i u V što je kotradikcija s tvrdjom F (z) z V. Medutim, oda postoji t [x i, y j ] takav da je Fk j (t) t k j za sve N. Dakle, početa hipoteza je pogreša, to jest ρ(f) je poveza. a toj U V za sve z R m i Napomea Primijetimo da je K (F) Cov(K 1 (F)) za svaki N. Naime, eka je N proizvolja i F (x) x eki elemet od K (F). Vrijedi F (x) x = (F (x) F 1 (x)) + (F 1 (x) F 2 (x)) (F(x) x). Primijetimo da je F k+1 (x) F k (x) = F(F k (x)) F k (x) K 1 (F) za svaki 0 k 1. Dakle, F (x) x smo zapisali kao koveksu kombiaciju elemeata iz K 1 (F) pa zbog proizvoljosti odabira tog elemeta slijedi tvrdja. Iz dokazaoga sada slijedi: Korolar [3, Korolar 2.6] Za F C m vrijedi Cov(ρ(F)) = Cov(ρ p (F)). Lema Za svaki F C m i svaki ε > 0 postoji 0 N takav da za sve 0 vrijedi K (F) B(Cov(ρ(F)), ε). Dokaz. Pretpostavimo suproto, odoso da postoji F C m i ε > 0 te izovi ( i ) i u N i v i K i (F) takvi da i i v i B(Cov(ρ(F)), ε). Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je (v i ) i kovergeta iz, jer iače možemo raditi s jegovim kovergetim podizom. Takav postoji s obzirom da po prethodoj apomei možemo zaključiti da je je (v i ) i zapravo i iz u skupu Cov(K 1 (F)), koji je kompakta pa svaki iz u jemu ima kovergeta podiz. Po defiiciji, limes iza (v i ) i mora pripadati skupu ρ(f). No, skup R m \B(Cov(ρ(F)), ε) je zatvore pa se limes iza (v i ) i mora alaziti i u tom skupu. S obzirom da je ρ(f) Cov(ρ(F)) B(Cov(ρ(F)), ε), dolazimo do kotradikcije. Lema Neka je F C m. Tada je skup B(Cov(ρ(F)), ε) koveksa za svaki ε > 0. Dokaz. Neka su x, y B(Cov(ρ(F)), ε) i λ (0, 1) proizvolji. Očito postoje a, b Cov(ρ(F)) takvi da je d(a, x) = ε 1 < ε i d(b, y) = ε 2 < ε. Nadalje, λa + (1 λ)b

35 30 POGLAVLJE 2. ROTACIJSKI SKUPOVI PRESLIKAVANJA U VIŠEDIMENZIONALNIM TORUSIMA Cov(ρ(F)) jer je taj skup koveksa. Sada vrijedi ( d(λx + (1 λ)y,λa + (1 λ)b ) 2 = m ( ) 2 λxi + (1 λ)y i λa i (1 λ)b i i=1 m m = λ 2 (x i a i ) 2 + (1 λ) 2 (y i b i ) 2 + 2λ(1 λ) i=1 i=1 (1) m λ 2 ε (1 λ)2 ε λ(1 λ) 1( (xi a i ) 2 + (y i b i ) 2) 2 i=1 = λ 2 ε (1 λ)2 ε λ(1 λ)(ε2 1 + ε2 2 ) λ 2 ε 2 + (1 λ) 2 ε 2 + 2λ(1 λ)ε 2 = (λ + (1 λ)) 2 ε 2 = ε 2. m (x i a i )(y i b i ) U gorjem raspisu smo u (1) koristili aritmetičko-geometrijsku ejedakost. Dakle, λx + (1 λ)y je iz B(Cov(ρ(F)), ε) pa je taj skup zaista koveksa. Propozicija Ako je F C m, oda je Cov(ρ(F)) = 1 Cov(K (F)). Dokaz. Ikluzija Cov(ρ(F)) 1 Cov(K (F)) lako slijedi iz leme Naime, iz je vidimo da skup 1 Cov(K (F)) sadrži ρ(f), a očito je i kako je taj skup koveksa kao presjek koveksih skupova. Sada tvrdja slijedi jer je Cov(ρ(F)) po defiiciji upravo ajmaji koveksa skup koji sadrži ρ(f). S druge strae, po lemi , za svaki ε > 0 postoji dovoljo velik N takav da je Cov(K (F)) B(Cov(ρ(F)), ε). To vrijedi jer je, po prethodoj lemi, skup a desoj strai koveksa skup koji sadrži K (F), a skup a lijevoj strai je upravo ajmaji takav. Stoga je jaso 1 Cov(K (F)) B(Cov(ρ(F)), ε). S obzirom da to vrijedi za svaki ε > 0, slijedi i preostala ikluzija, a time i kompleta tvrdja. Napomea Metrika a C m s kojom radimo (u sljedećem teoremu) je fukcija d : C m C m R daa s d( f, g) = sup x R m f (x) g(x). Teorem Fukcija Cov(ρ( )) : C m P(R m ) je odozgo semieprekida, odoso za svaki F C m i za svaki ε > 0 postoji okolia V od F u C m takva da za svaku G V vrijedi Cov(ρ(G)) B(Cov(ρ(F)), ε). Dokaz. Za proizvolje F C m i ε > 0 po lemi postoji N takav da je Cov(K (F)) B(Cov(ρ(F)), ε 2 ). Takoder, postoji okolia V od F u C m takva da za sve G V vrijedi Cov(K (G)) B(Cov(K (F)), ε ). (2.3) 2 i=1