Šefket Arslanagić i Daniela Zubović, Sarajevo GERRETSEN INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Транскрипт

1 MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(19), DOI: 1.751/МК193M ISSN (p) ISSN (o) NEJEDNAKOST GEETSENA 1 I NJENA PIMJENA Šefket Arslanagić i Daniela Zubović, Sarajevo Sažetak: U ovom radu se bavimo jednom veoma korisnom nejednakošću koju je holandski matematičar iz prošlog vijeka J. C. Gerretsen dokazao godine. Ova nejednakost ima veliku primjenu kod dokazivanja raznih trigonometrijskih nejednakosti; u radu su data tri primjera i tri posljedice. Ključne riječi i izrazi: Nejednakost Gerretsena, Vietove formule, Ojlerova nejednakost, identiteti, posljedice. GEETSEN INEQUALITY AND ITS APPLICATION Abstract: In this paper we consider one very useful inequality that J.C. Gerretsen proved in the year This inequallity has many applications in proving other trigonometric inequalities; we have in this paper three examples and three corollaries. Key words and phrases: Gerretsen's inequality, Vièta's formulas, Euler's inequality, identities, corollaries. AMS Subjectt Classification (1): 97 F 5 ZDS Subject Classification (1): F5, N5 U [1], s. 3-, su izvedeni sljedeći obrasci za udaljenost značajnih tačaka trougla ABC : IH r 3r s, (1) 1 IT s 5r 16 r, () 9 1 J. C. Gerretsen, holandski matematičar iz prošlog vijeka

2 gdje je I centar upisane kružnice, H ortocentar i T težište trougla ABC dok su abc i r radijusi opisane i upisane kružnice tog trougla, a s je njegov poluobim. Iz (1) i () zbog činjenice da je IH i IT, slijedi: i a odavde i odnosno r 3r s 1 s 5r 16r 9, s r 3r s 16 r 5r, 16 r 5r s r 3r. (3) Nejednakost (3) se u matematičkoj literaturi o nejednakostima naziva Nejednakost Gerretsena, jer je on njen autor u holandskom matematičkom časopisu Nieuw Tijdschr. Wisk. 1(1953), 1-7 publikovao rad o ovoj nejednakosti. Vrijedi jednakost u (3) ako je u pitanju jednakostranični trougao. Ova nejednakost je veoma značajna i igra izuzetno važnu ulogu kod dokazivanja raznih nejednakosti vezanih za trougao. To ćemo demonstrirati kroz više primjera. Primjer 1. Dokazati da važi nejednakost 9 sin sin sin sin sin sin, () gdje su,, unutrašnji uglovi trougla ABC. Dokaz: U [3], s. 5, dokazano je da su sin,sin,sin korijeni jednačine: 3 t rst s r r t sr. (5) Na osnovu Vietovih formula slijedi iz (5): s sin sin sin, (6) François Viète ( ), francuski matematičar

3 sin sin sin sin sin sin s r r, (7) sr sin sin sin. (8) Sada iz (7) i (8) dobijamo: r 3r r r sin sin sin sin sin sin r sin sin sin sin sin sin r sin sin sin sin sin sin 1 Iz poznate Ojlerove 3 nejednakosti r slijedi:. (9) r 1. (1) Sada iz (9) i (1) dobijamo datu nejedankost (). Vrijedi jednakost u () ako i samo ako je 6 ; ( r ), tj. ako je u pitanju jednakostranični trougao. Posljedica 1. Iz identiteta sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin, dobijamo: sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin, a odavde zbog (6) i (7): s s r r sin sin sin s s 8r r sin sin sin Sada iz (11) i (3) slijedi: s r r sin sin sin. (11) 3 Leonhard Euler ( ), švajcarski matematičar 5

4 r 3r r r sin sin sin r sin sin sin sin sin sin a odavde zbog (1): r 9 sin sin sin. (1) Vrijedi jednakost ako i samo ako je 6 (jednakostranični trougao). Napomena 1: Vidimo da je desna strana u nejednakostima () i (1) ista, tj. 9. Postavlja se očekivano pitanje koja od ove dvije nejednakosti je bolja (jača)? Koristeći dobro pozatu nejednakost: dobijamo x +y +z xy+yz+zx (x,y,z ) 9 sin sin sin sin sin sin sin sin sin slijedi da je nejednakost (1) bolja (jača) od nejednakosti (). Primjer. Dokazati da važi nejednakost gdje su,, unutrašnji uglovi trougla 3 cos cos cos cos cos cos, (13) ABC. Dokaz: U [3], s.55 je dokazano da su cos,cos,cos korijeni jednačine: 3 t r t s r t r s. (1) Na osnovu Vietovih formula slijedi iz (1): r cos cos cos, (15) 6

5 cos cos cos cos cos cos r s, (16) Sada iz (16) i (3) slijedi: cos cos cos s r. (17) r r 3r cos cos cos cos cos cos r r cos cos cos cos cos cos r r cos cos cos cos cos cos, a odavde zbog (1), tj. r 1 : 3 cos cos cos cos cos cos. Vrijedi jednakost u (13) ako i samo ako je 6 ; ( r ), tj. ako je u pitanju jednakostranični trougao. Posljedica. Iz identiteta cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sada dobijamo: cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos a odavde zbog (15) i (16):, r r s cos cos cos r r s cos cos cos Iz (3) imamo s r 3r, odnosno: 6 r r s cos cos cos. (18) s r 3r. (19) 7

6 Sada iz (18) i (19) dobijamo: 6 r r r 3r cos cos cos a odavde zbog (1), tj. tj. r cos cos cos cos cos cos 1 r 1 r 1 : r 1 cos cos cos 1, 3 cos cos cos., Vrijedi jednakost ako i samo je 6 (jednakostranični trougao). Primjer 3. Ddokazati da važi nejednakost gdje su,, unutrašnji uglovi trougla 1 5 r sin sin sin sin sin sin, () ABC. Dokaz: U [3], s. 57, dokazano je da su sin,sin,sin korijeni jednačine: 3 16 r 8 r t s r 8r t r. (1) Na osnovu Vietovih formula slijedi iz (1): r sin sin sin, () s r 8r sin sin sin sin sin sin 16. (3) Odmah vidimo da zbog r 1 1 r 3 dobijamo iz (): 8

7 3 sin sin sin, gdje jednakost važi ako i samo ako je 6 (jednakostranični trougao). Sada iz (3) i (3) slijedi: r 3r r 8r sin sin sin sin sin sin 16 r r sin sin sin sin sin sin 16 r r sin sin sin sin sin sin 1 r r sin sin sin sin sin sin 1, a odavde zbog r 1 r 1, tj. : 1 5 r sin sin sin sin sin sin. Jednakost važi ako i samo ako je 6 ; ( r ), tj. za jednakostranični trougao. Posljedica 3. Iz identiteta sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin koristeći () i (3) lako dobijamo sljedeću jednakost: 8 r s sin sin sin, 8 a odavde zbog (3), tj. s r 3r : 8 r r 3r sin sin sin 8 9

8 te zbog r 1 r 1 i r r sin sin sin 1 r r sin sin sin r 1 : 3 sin sin sin, 16 gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je 6 ; r, tj. ako je u pitanju jednakostranični trougao., LITEATUA [1] Š. Arslanagić, Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo, 5. [] O. Bottema,. Ž. Djordjević,.. Janić, D. S. Mitrinović, P. M. Vasić, Geometric Inequalities, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen (The Netherlands), [3] D. S. Mitrinović, J. E. Pečarić, V. Volenec, ecent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London,