UNIVERSITY OF NIŠ УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ДИГИТАЛНИ РЕПОЗИТОРИЈУМ УНИВЕРЗИТЕТА У НИШУ DIGITAL REPOSITORY OF THE UNIVERSITY OF NIŠ

Транскрипт

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ Универзитетска Библиотека "Никола Тесла" UNVERSY OF NŠ Uiveity Libay "Nioa ea" ДИГИТАЛНИ РЕПОЗИТОРИЈУМ УНИВЕРЗИТЕТА У НИШУ DGAL REPOSORY OF HE UNVERSY OF NŠ Библиотека Дисертације Ph.D. hee

2 UNVERZE U NŠU ELEKRONSK FAKULE m Nead N. Cvetović PRLOG MODELOVANJU UZEMLJVAČKH SSEMA U PRSUSVU POLUSFERČNE CLNDRČNE NEHOMOGENOS LA Dotoa dietacija Niš 8.

3

4 Mojim oditejima

5

6 PREDGOVOR Dotoe dietacije ugavom u ceii počitaju ii pegedaju amo oobe bio upućee u obat ojom e taav ad bavi. Sa duge tae pedgovo be iueta počitaju vi ojima ovaav tet dođe do uu. Zato ću ioititi ovaj poto da opišem to iade moje dotoe dietacije (be uažeja u u uotuče aaie) ieem deo vojih ičih amišjaja i ahvaim e pojediim oobama. Najpe ešto o tome ao je ve euo... Moj meto pofeo Pedag Račić i ja aadju mo apočei jauaa 5. godie. Pofeo Račić je a oovu vog itaživačog i patičog iutva ao i uvida u moj pethodi ad i ooti defiiao pve pobeme ojima je aše ajedičo itaživaje tebao da e bavi. U peiodu oji je uedio ao toga poitei u oeti eutati i pubiovao dvaaet adova baiaih a jima. Na oovu vega abojaog u jee 7. godie iitaiaa je i vaičo odeđea tema moje dotoe dietacije. Čijeica da mo i pofeo Račić i ja (vao u vom agu aavo) imai iutva u pou ojim e bavimo bia je u ajvećoj mei oašavajuća ooot. Sa duge tae oimooa pioda odoa meto-adidat oja podaumeva aadju u itovemeo upotavjeu hijeahiju ahteva ompomi čiji teet po ogici tvai pada više a tau adidata. Sažo am e tudio da voje potupe uadim a avedeom čijeicom. Ao eada i iam u potpuoti upeo u tome bia je to poedica mog tempeameta i ambicioog pitupa pobemu. Doa da to ije bio fatao po ajji cij jete oo što je iožeo u aedih gotovo to četdeet taica. U vaom učaju pofeo Račić je vojom pemošću da uoži voje veme i podei aje a mom aužio vu moju ahvaot i poštovaje. Piaću da eada ije bio jedotavo ipatiti toii etuijaam a pavi ači. Svom pofeou Dagutiu Mitiću ahvajujem e a tpjeju i bojim oiim avetima iožeim toom agovoa oje mo vodii toom poedje ti i po godie a veme iade dietacije. Zahvaot dugujem i šefu Katede a teoiju eetotehiu pofeou Savojubu Aeiću a epetau eiveu i ieu podšu. Pomoć pi pibavjaju iteatue atim aveti u vei iboa pubiacija u oje teba poati adove a objavjivaje ao i atad amo upute diuije o tučim pitajima četo u ajjem ihodu utiču a vaitet ada više ego što e to čii a pvi poged. Zato a adovojtvom hoću da abojim jude oji u a ei od abojaih ačia dai dopio vaitetu dietacije (edoed ije važa): aademi Gadimi Miovaović dopii ča SANU; pof. d Mae Zioowi i pof. d Hatmut Baue (obojica ehiči Uiveitet meau-nemača); pof. d va Yatchev i pof. d Kotadi Badiy (obojica ehiči Uiveitet Sofija-Bugaa); Duša Miošević pof. d Daga Kotić i d Nead Mihajović (iši đaci moji višedeceiji dugovi vi a ehičog Uiveiteta Ajdhove-Hoadija); pof. d Daga aić (Eetoi fautet u Nišu); pof. d Dagojub Poajac (moj duga i Voždove šoe ada a Džavom Uiveitetu Deave-SAD); pof. d Daga Poja (Fautet eetotehie tojatva i bodogadje u Spitu-Hvata); i pof. d Dagojub Deić (Gađevio-ahitetoi fautet u Nišu). Kažem hvaa i vojim oegama: Nebojši Raičeviću čije mi je poavaje baiče iteatue i više matematie uštedeo puo vemea; Vei Javo a atim i Miici Račić a fiao edigovaje egeih tetova; Dagai Živajević a pomoć toom pipeme adova u EX-u; i Mijai Peić ato što je počitaa pvu veiju ada i ipavia apue i pevide u ucaju. Ne aboavjam da je u jedom od adova oetuu egeog jeia uadia amaa Simoović moja pva pofeoa egeog jeia. Pomeuću i oegiice i oege i Laboatoije a teeomuiacije i epši deo moje Katede a teoiju eetotehiu u čije duštvo u paue u adu imae voj pavi miao ao i pijateje i Laboatoije a eetiče itaacije i ovetjeje Dagaa Vučovića Miodaga Stojaovića i i

7 Bojaa Đođevića a ojima am poveo puo vemea u pethodih eoio godia a da e ijedog teuta iam oetio ao got ii pidošica. Moj bat biaac Pepi (d Pedag Cvetović docet Pavog fauteta u Nišu) iščeivao je avšeta ove dietacije ito ao i ja. Njegova podša je uve bia poia oju je emoguće upiti i piviegija je poedovati je. Koačo piećam e vog poojog Pofeoa dugogodišjeg šefa Katede a teoiju eetotehiu Dagutia M. Veičovića pod čijim am metotvom uadio voj dipomi ad i magitau teu. Pofeo Veičović je čove od og am mogo aučio a ojim am aađivao peo devet godia i ooba oja je a mee otavia aža pečat ao u tučom tao i u oom običom judom miu. Voeo bih da je emejivo iutvo oje ad i dužeje a tavom ičošću oe ba deimičo ugađeo u adžaj teta pouđeog imeđu ovih oica. Na aju žeim da itaem da avšeta ovog poa i ipujeje važog cija a mee ičo pedtavjaju aj jedog i početa dugog puta u oviu epog aimaja ojim e bavim. U odou a oaj ojim am e do ada etao a tom ovom pavcu očeujem više iaova ahteva i odgovooti. Shodo toj čijeici i vojoj piodi adoao i a adošću tupam a jega. N. Cvetović ii

8 APSRAK Ramataje uticaja ehomogeoti poufeičog i ciidičog tipa a aateitie uemjivačih itema u vaitacioaom ežimu pedmet je itaživaja ove dotoe dietacije. Ovavi tipovi ehomogeoti iu etot u pai i od iteea je bio poučiti jihov uticaj a aateitie uemjivačih itema oji već ami po ebi pedtavjaju bita deo bojih tehičotehooših itema eetoeegetih potojeja teeomuiacioih itema ii itema a aštitu od atmofeih pažjeja. ao je u pethodim deceijama objavje ata boj adova oji e bavi aaiom uemjivačih itema adova oji u e bavii ciidičim ii poufeičim tipovima ehomogeoti poebo a ači ao što je to učijeo u ovoj dietaciji ije bio peviše u pubiacijama dotupim adidatu. Pimeom aičitih umeičih metoda odeđe je uticaj opiaih ehomogeoti a apodeu potecijaa i impedau uemjivačih itema. Ramatai u uemjivači itemi aičitih geometija pi čemu je aceat a aaii eaih uemjivačih tutua. Poaao je da uticaj aaiiaih tipova ehomogeoti potoji ai da e jegov tepe meja avio od tutue uemjivača. aođe ovaj uticaj ije iti a ve paamete oji aateišu uemjivači item. Kao dopio pimejiv u pai vajao bi itaći i aateiaciju uticaja emjovodog povodia a uemjivače iteme oji ije bio ujuče u aaie i itaživaja autoa adova oji u bii dotupi adidatu. Poaao e da ovaj uticaj ije beačaja ao a impedau tao i a apodeu potecijaa u ooii uemjeja. oom iade dietacije oja e bavi itaživajem patičog pobema iodii u e odeđei dopioi i a teoijom poju. ao je u adu pimeje ovi pibiži mode Giove fucije tačatog ivoa uuta/iva poupovode fee pedože od tae pofeoa Račića pi čemu je poteba a ovim modeom eutat pvih eutata oje je adidat otvaio a početu vojih itaživaja veaih a dietaciju. Pibiža mode a aaiu vetiae eetode meštee u ciidiču ehomogeot a odeđivaje uticaja betoog temeja a aateitie eetode pvi put je oišče u ovom adu. Koačo taođe ao teoiji dopio u dietaciji je poaaa i vea imeđu vaijacioog metoda i metoda edjih potecijaa i doaaa čijeica da je ovaj potoji amo poeba učaj vaijacioog metoda. Kjuče eči: Uemjivači item ehomogeot eetomageto poje umeiči metodi Giova fucija iii

9

10 ABSRAC he ifuece of the emi-pheicay ad cyidicay haped ihomogeeity o goudig ytem i quai-tatioay egime i aayed i thi Ph.D.hei. Such ihomogeeitie ae peet i pactice ad that i the eao fo impotace of etimatig thei ifuece o goudig ytem. hee ytem ae a igificat pat of may techica-techoogy ytem powe faciitie teecommuicatio ytem o ightig potectio ytem. Accodig to the autho` bet owedge ot too may of pape had emi-pheica o cyidica ihomogeeitie a a object of eeach epeciay with the appoach appied i thi pape athough thee have bee pety of wo pubihed i peviou decade deaig with goudig ytem aayi. Appyig vaiou umeica method the ifuece of aayed ihomogeeitie o potetia ditibutio i the goudig ytem viciity ad goudig impedace have bee detemied. Goudig ytem of diffeet geometie epeciay the oe eaied i the pactice have bee eeached. t ha bee how that thee i a igificat ifuece of aayed ihomogeitie. t eve deped o goudig ytem type ad it i ao diffeet fo diffeet goudig paamete. he aayi of the eathig coducto ifuece o goudig ca be emphaied a a pacticay appicabe cotibutio of the hei. A fa a the autho i awae thi matte ha bee uuay egected i peviouy pubihed pape. t ha bee how that thi ifuece ca be igificat o both goudig impedace ad potetia ditibutio i the viciity of the goudig. Duig the pepaatio of the hei ome theoetica cotibutio have ao bee achieved. he Gee` fuctio fo a poit ouce iide/outide the emi-coductig emi-phee popoed by pofeo Račić i appied i thi pape. he eceity fo geeatig thi mode i the outcome of the eay eut obtaied by hei` autho at the begiig of the hei` pepaatio. A appoximate mode fo aayig a vetica eectode i a cyidicay haped ihomogeeity ued fo detemiig the cocete foudatio appoximated by a cyide i fo the fit time appied i the pape. Fiay ao a a theoetica cotibutio a eatiohip betwee the vaiatioa ad the aveage potetia method i expaied i the pape ad it ha bee how that the ecod oe i oy a pecia cae of the vaiatioa method. Keywod: Goudig ytem ihomogeeity eectomagetic fied umeica method Gee` fuctio v

11

12 SADRŽAJ. UVOD. Liteatua 3. KVAZSACONARNO ELEKROMAGNENO POLJE 5. Maveove jedačie vaitacioaog eetomagetog poja 5. vođeje Giovih fucija 7.. Hecov dipo u homogeoj emji 7... Vetiai Hecov dipo... Hoiotai Hecov dipo Poivojo oijetiai Hecov dipo 4.. ačati tuji ivo u piutvu feiče ehomogeoti 4... Opi pobema 6... ačo ešeje-mode "Stato" Pibižo ešeje-mode "Veičović"...4 Pibižo ešeje -Mode "Račić" Aaia opiaih ešeja Poeđeje modea 8..3 ačati tuji ivo u piutvu poufeiče ehomogeoti ačati ivo iva poufeiče ehomogeoti ačati ivo uuta poufeiče ehomogeoti 34.3 Stutua EM poja i potecijaa Lieiči povodi u homogeoj emji Eetiči aa potecija Eetičo poje Mageto poje Lieiči povodi u piutvu poufeiče ehomogeoti Eetiči aa-potecija Eetičo poje Mageto poje Maiva počata eetoda u piutvu poufeiče ehomogeoti Eetiči aa-potecija 4.4 Liteatua 4 3. PREGLED KORŠĆENH NUMERČKH MEODA Metod momeata Gaeiov metod Metod podešavaja u tačama Metod odečaa Metod ceodomee apoimacije Vaijacioi metod Metod edjih potecijaa Metod evivaete eetode Liteatua UZEMLJVAČK SSEM U HOMOGENOJ ZEMLJ 5 4. Uamjea pava ieiča eetoda 5 vii

13 4.. Kotata tuja oticaja- Metod podešavaja u tačama Kotata tuja oticaja- Metod edjih potecijaa Metod odečaa Poioma apoimacija tuje Numeiči eutati Pteata uemjivača eetoda-uemjivači item tuba Numeiči eutati Uemjivači item ačije od taatih eetoda-aati uemjivač Vaijacioa fomua Fomiaje fucioaa Metod podešavaja u tačama Numeiči eutati Povoda fea i ieiči obuč Numeiči eutati Liteatua UZEMLJVAČK SSEM U PRSUSVU CLNDRČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS LA Pocedua a defiiaje evivaetih paametaa a učaj ciidiče poupovode ehomogeoti Numeiči eutati 7 5. Uemjivači item tuba ivede a jedom pteatom eetodom Eetiči aa potecija Sitem itegaih jedačia Soptvee i međuobe impedae Numeiči eutati Uemjivači item tuba ivede a dve pteate eetode Eetiči aa potecija Sitem itegaih jedačia Numeiči eutati Sitem ieičih povodia Numeiči eutati Liteatua 9 6. UZEMLJVAČK SSEM U PRSUSVU POLUSFERČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS LA 9 6. Uamjei ieiči povodi Odeđivaje impedae i aateiacija uamjee ieiče eetode Eetiči aa potecija Poioma apodea ogitudiae tuje-metod podešavaja u tačama Numeiči eutati Lieiča eetoda iva poupovode ehomogeoti Lieiča eetoda uuta poupovode ehomogeoti Lieiča eetoda oja podie poufeiču poupovodu ehomogeot Uemjivači item ačije od po jede ieiče eetode uuta i iva poufeiče ehomogeoti 98 viii

14 6.. Numeiči eutati Uamjei ieiči obuč u ooii ehomogeoti 6.3. Numeiči eutati 6.4 Uemjivači item ačije od ieiče eetode uuta poufeiče ehomogeoti i obuča iva poufeiče ehomogeoti Numeiči eutati Uamjea počata eetoda u ooii poufeiče ehomogeoti Odeđivaje eetičog aa potecijaa i impedae počate eetode Numeiči eutati Uemjivači item ačije od pave ieiče eetode uuta i počate eetode iva poufeiče ehomogeoti 6.6. Numeiči eutati 6.7 Sitem ieičih povodia iva poufeiče ehomogeoti Numeiči eutati Sitem ieičih povodia uuta poufeiče ehomogeoti Numeiči eutati Liteatua 6 7. ZAKLJUČAK 9 7. Liteatua 8. PRLOZ 3 e η α α b R 3 PRLOG - Ležadovi poiomi 3 PRLOG 3 - Uticaj eative dieetiče otate ta a vaitacioao EM poje 4 PRLOG 4 - Evivaeti poupeči avog taatog povodia 5 PRLOG 5 - Evivaeti poupeči tae ciidiče tae 5 PRLOG -Оdeđivaje itegaa J ( αρ) d α α b PRLOG 6 - Odeđivaje itegaa x m dx 6 a ax a x PRLOG 7 - Peciiji ia a odeđivaje tuje oticaja a aju ieičog povodia 7 PRLOG 8 - Potecija u ooii ieičog obuča opticaog tacioaom tujom 8 PRLOG 9 - Odeđivaje evivaetog poupečia povodia pavougaoog popečog peea 9 PRLOG - Odeđivaje evivaetog poupečia itema žičaih povodia 3 PRLOG - Lieiči povodi u piutvu ehomogeoti etoaog tipa 3 8. Liteatua 3 9. LERAURA 33 ix

15

16 . UVOD Uemjivači itemi pedtavjaju eiotavi deo aičitih tehičo-tehooših itema ujučujući imeđu otaih eetoeegeta potojeja teeomuiacioe iteme ao i iteme a aštitu od atmofeih pažjeja. Zato ije čudo da aaia i modeovaje ovih itema pedtavjaju obat iteeovaja veiog boja itaživača u peiodu dužem od jedog vea. taživaja čiji u to i eutati iožei u ovom adu imaa u a cij da daju dopio u ešavaju jede gupe pobema ove vte. Dugi i godia aaia uemjivačih itema je u ajvećem boju adova imaa vaitacioaa aate. oom pethode dve deceije pubiova je veii boj adova u ojima e aaia ieičih uemjivačih itema aiva a tv. ateom modeu i Zomefedovoj (Sommefed) fomuaciji tutue eetomagetog (EM) poja. Matematiči modei oišćei u ovim itaživajima fomiai u u petpotavu da e ehomogea emja apoimia ao homogea i iotopa edia poatih eetičih paametaa ii e ehomogeot ta modeuje a više homogeih i iotopih hoiotaih ii vetiao ožeih ojeva ([.]-[.3]). Jeda deo ada poveće je aaii uemjivačih itema fomiaih od jede ii više eetoda aičitih obia (ieiči počati poufeiči) mešteih u ehomogeoj emji apoimiaoj pomoću homogee i iotope edie. Pi tome u a ešavaje pomeutih pobema oišćei aičiti metodi i jihove ombiacije. Na pvom metu to je metod momeata (Momet method-mom ([.3])) i metod odečaa ao jegov pecijaa učaj ao i metod podešavaja u tačama (Poit Matchig Method-PMM) ([.4]-[.8]). U adu je oišće i vaijacioi metod ([.7]- [.8]) metod edjih potecijaa (metod Hove (Howe) ii Aveage Potetia Method-APM) ([.] [.9]-[.]) ao i metod evivaete eetode (MEE) ([.3]-[.5]). Poed uticaja ehomogeoti ta tadadog ojevitog ii etoaog tipa u adu u pimeom odgovaajućih modea aaiiai uemjivači itemi oji ujučuju i uticaj poupovode ehomogeoti poufeičog tipa. Ramatai u učajevi ada e uemjivači item ii jeda jegov deo aae uuta poufeiče ehomogeoti tа ao i pobemi od ojih e uemjivači item aai u jeoj ooii. Kaateiacija ovavih itema ima patiča ačaj a aaiu temejog uemjivača tuba čiji e temej tetia ao poufeiča ehomogeot ta ao i a modeovaje uemjivačih itema u ooii veiih baa ii jeea u čijoj e ooii uemjivači item aai. U gaičom učaju ada e poufea mata ideao povodom mode e može pimeiti i a aaiu uemjivačih itema u ooii ioa ii eevoaa čije do ima poufeiči obi. Od ačaja je agaiti da u aaia i modeovaje EM poja aičitih žičaih tutua (ieiče atee žičai aejači ieiči uemjivači peoi vodovi i d.) u piutvu ehomogeih poupovodih edia bii i još uve u pedmet iteeovaja i itaživaja autoa a Eetoog fauteta u Nišu (Kateda a teoiju eetotehiu i Kateda a idutiju eegetiu). Na ovaj ači pomatao ešavaje pobema čija aaia čii adžaj ovog ada pedtavja atava pomeutih itaživaja oja u šiem oviu pipadaju ečemu što pojedii od iuih i piatih oega aivaju "pom šoom eetomagetie". Pi fomiaju tutue ada težio e tome da e u ajvećoj mogućoj mei obebedi jegovo paćeje a što aši i jedotaviji ači. Sam tet je podeje a uupo 9 pogavja ujučujući a tutuu teta ove vte tadade eemete Uvod (Pogavje ) Zajuča (Pogavje 7) Pioge (Pogavje 8) i Liteatuu (Pogavje 9) do u oova teoija amataja i eutati iožei

17 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta u pogavjima -6. Pojedia pogavja podejea u pema potebi a više odgovaajuće oačeih pododejaa. Pi tome e pojedia amataja i aaie poavjaju u više avata u aičitim deovima teta što omogućava paćeje teta u vaom pogavju poaoob a eveiim bojem poivaja a adžaj pethodih pogavja. Raog a to je čijeica da je u adu pimeom više aičitih metoda aaiia e mai boj pobema pa bi peviše poivaja a pethodi tet od čitaoca po mišjeju adidata ahtevao i peviše apoa. Naavo u ve to adidat e tudio da očuva jeditveu tutuu teta. Sadžaj Pogavja čie oove jedačie vaitacioaog magetog poja i ivođeje Giovih (Gee) fucija a Hecov (Het) dipo u homogeoj iotopoj poupovodoj emji ([.6]) odoo tačati ivo u ooii feiče ehomogeoti. Od ačaja je agaiti da je u učaju dugopomeute Giove fucije poed tačog ešeja peuetog i [.7] i pibižog ešeja i efeeci [.] i [.8] pedožeo taođe pibižo ešeje ([.9]) oje je pateći eutat iicijaih itaživaja veaih a ovaj ad. Koišćejem pomeute dve Giove fucije odeđea je i Giova fucija a tačati tuji ivo u piutvu poufeiče ehomogeoti ta. Koačo a oovu pethodo odeđeih Giovih fucija opiaa je geeaa tutua EM poja ieičog povodia u homogeoj emji i u piutvu poufeiče ehomogeoti odoo počate eetode u meštee u ooii poufeiče ehomogeoti. Peged i opi metoda oišćeih a modeovaje i aateiaciju uemjivačih itema aaiiaih u adu peetovai u u Pogavju 3. Reutati dobijei aaiom oetih uemjivačih itema mešteih u homogeoj emji pedtavjaju adžaj Pogavja 4. Odeđee u impedae uemjivačih itema apodea tuje oticaja ao i apodea eetičog aa potecijaa a povšii ta. Aaiiai u uemjivači itemi fomiai od jedog ii više ieičih povodia apajaih ioovaim i/ii eioovaim povodiom. Poed ieičih povodia (ujučujući i otue eetode) pomatai u i uemjivači itemi oji ao atavi deo ujučuju i povodu poufeu. Na oovu iožeih eutata veifiovai u metodi pimejei u aijem tetu a aaiu uemjivačih itema u piutvu ciidiče odoo poufeiče ehomogeoti ta. Naedo peto pogavje povećeo je eutatima aaie uemjivačih itema u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti. Pi tome u opiai i patiči pobemi a čije e ešavaje mogu ioititi otvaei eutati. Na iča ači u šetoj gavi iožei u eutati dobijei modeovajem uticaja poufeiče poupovode ehomogeoti ta a oete uemjivače iteme. Kao i u pethodoj gavi odeđee u impedae uemjivačih itema apodea tuje oticaja i potecijaa a povšii ta. Koačo poed ajuča (Pogavje 7) i ompete iteatue avedee po abučom edoedu (Pogavje 9) u ad u ujučei i pioi (Pogavje 8) čiji adžaj po uveeju adidata omogućava jedotavije i aše aumevaje i paćeje oovog teta be eophodoti da bude ujuče u jegovu oovu tutuu. itog aoga a aju vaog pogavja po edoedu citiaja avedea je iteatua oišćea pi jegovoj iadi. Rad e atoji od 6 ia 49 fomua i 8 tabea. Sie i tabee umeiae u a vao pogavje poebo do u jedačie ao i eveii boj fuota umeiae a vai pododeja (dugi ivo) poebo. Fomue u umeiae i avođee u maim a efeece u edjim (ugatim) agadama. Svi eophodi poačui uađei u pomoću pogama apiaih u FORRAN-u. Koača viuea foma ada eutat je pimee aičitih veija pogama i pogamih paeta Micooft Wod CoeDRAW Adobe Acobat Mathematica i Micoca Oigi.

18 .Uvod. LERAURA [.] В. В. Бургсдорф А. И. Якобс Заземляющие устройства-електроустановок Енергоатомиздат Москва 987. [.] R. J. Hеppe Step potetia ad body cuet ea goud i two-aye eath EEE a. of PAS Vo. 98 No. 979 pp [.3] J. Nahma "Digita cacuatio of eathig ytem i o-uifom oii" Achiv fü Eetotechi Vo pp 9-4. [.4] P. D. Račić L. V. Stefaović Đ. R. Đođević "A ew mode of the vetica goud od i two-aye eath EEE a. o Magetic Vo. 8 No. 99 pp [.5] P. D. Račić L. V. Stefaović Đ. R. Đođević D. J. Gobović "A ew mode of the hoiota ie goud wie i two-aye eath" 9th Cof. o the Computatio of EM Fied COMPUMAG'93 Miami Foida USA Oct. 3 - Nov Poc. pp -3. [.6] P. D. Račić S. Z. Đoić Z. P. Stajić "Vetica goud od (VGR) i ihomogeeou eath of ectoa type" E. Lette Vo. 3 No pp [.7] P. D. Račić L. V. Stefaović Đ. R. Đođević "A impoved iea goudig ytem aayi i two-aye eath" EEE a. o Mag. Vo. 3 No pp [.8] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 3-6. [.9] P. D. Račić Z. P. Stajić "Počata uemjivača eetoda u ehomogeoj emji etoaog tipa" XX Simpoijum JUKO - CGRE '95 Secija -Vodovi i Potojeja Vjača Baja Jugoavija -7. Maj 995 Zboi adova t. R3-3/-8. [.] P. D. Račić Z. P. Stajić Đ. R. Đođević B. S. ošić "Aayi of iea goud eectode paced i vetica thee-aye eath" EEE a. o Magetic Vo. 3 No pp [.] P. D. Račić M. O. Veeiović Z. P. Stajić Đ. R. Đođević "Aayi of two couped goudig ytem: iea goudig ytem ad pate goud eectode" t. Symp. o Eectomagetic Compatibiity EMC '96 Roma tay Sept Poc. pp [.] M. Nieg Edugaage i Schichtböde Eectica Egieeig Vo. 8 No pp [.3] J. Haeie K.. Nioie. V. Lide "Eectotatic image theoy fo two aiotopic haf-pace" Eectica Egieeig Voume 88 5 pp -. [.4] R. F. Haigto Fied Computatio by Momet Method he Macmia Compay New Yo 969. [.5] R. Mita (Ed.) Compute echique fo Eectomagetic Pegamo Pe Oxfod-New Yo-ooto-Sidey-Bauchweig 973 pp 5-3. [.6] C. Baai Advaced Egieeig Eectomagetic Joh Wiey & So New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 989 pp [.7] R. C. Botto J. Computatioa Method fo Eectomagetic ad Micowave Joh Wiey & So c. New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 99 pp 3-9. [.8] M. N. O. Sadiu Numeica echique i Eectomagetic Secod Editio CRC Pe Boca Rato-Lodo-New Yo-Wahigto D.C. Chapte 5. [.9] V. A. Govoov Электрические и Магнитние полей Eegia 68 Mova. [.]. N. Giao M. P. Sama "Effect of two aye eath o the eectic fied ea HVDC eectode" Vo. PAS 9 No

19 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [.] D. M. Veičović "Numeiči i pibiži metodi a ešavaje pobema eetotatie" Jugooveo avetovaje o tatičom eeticitetu ELEKROSAKA 78 otoba 978 Beogad Zboi adova t. -4. [.] H. Uhma (Ed.) D. M. Veičović K. Badiy R.D. Statcheva H. Baue Fudameta of Mode Eectomagetic fo Egieeig-extboo fo Gaduate Studet Pat : Static ad Statioay Eectica ad Magetic Fied echica Uiveity meau/gemay 5 pp [.3] D. M. Veičović "Equivaet eectode method" Scietific Review Begade 996 pp [.4] D. M. Veičović "he equivaet eectode method" 34. t. Sympoium heoetiche Eetotechi 6-3. Oct. 98 meau DDR Poc. Vo. pp 5-8. [.5] D. M. Veičović "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 5-3. [.6] P. D. Račić "Oovi iai a iačuavaje tutue EM poja poivojo potavjeog Hecovog dipoa u ehomogeoj emji oja je apoimiaa a N homogeih i iotopih ojeva-vaitacioaa aaia" ehiči iveštaj EH-RP-EM-b Laboatoija a Eetiče itaacije i Ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu Jaua 998. [.7] J. A. Statto Eectomagetic theoy Mc Gow-Hi Boo Compay New Yo /Lodo 94 pp -5. [.8] D. M. Veičović "Gee' fuctio of pheica body" Euo Eectomagetic EUROEM '94 May 3 Jue Bodeaux Face Cof. Poc. Hp-9-4. [.9] P. D. Račić "A poit goud eectode i the peece of pheica goud ihomogeity: aayi of two appoximate coed fom outio fo eectica caa potetia" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poc. of Pape pp 3-3 dotupo a: 4

20 . KVAZSACONARNO ELEKROMAGNENO POLJE. МAKSVELOVE JEDNAČNE KVAZSACONARNOG ELEKROMAGNENOG POLJA Eetomageto (EM) poje je poebo fiičo taje edie u ooii aeetiaih tea povodia opticaih tujom i taih mageta oje e maifetuje u pojavi mehaiče ie a aeetiaa tea povodie opticae tujom i tae magete uete u poje ao i u pojavi iduovaog eetomagetog poja u teima oja e aae u poju pomejivom u vemeu odoo oja e eću o poto u ome potoji poje ([.]). Da bi e u potpuoti opiao eetomageto poje eophodo je odediti uupo šet vetoih veičia ([.]). o u: - veto jačie eetičog poja E ; - veto eetiče iducije D ; - veto jačie poaiacije P ; - veto jačie magetog poja H ; - veto magete iducije B ; i - veto gutie magetog mometa M. Pethodo abojae veičie poveuju dve otitutive vee D ε E P i (..) B μ H M (..) 9 ( ) gde u ε 36π 8.85 F/m i μ 4π H/m dieetiča otata odoo mageta poputjivot obodog potoa. Kao je uupa boj epoatih veičia šet poed dve goe avedee otitutive vee potuia je i u teoijoj fiici dobo poat item od četii Maveove (Maxwe) jedačie čiji je oai (difeecijai) obi ot H J t J g J od J ov J dp J dp (pva Maveova jedačia); (..3) ot E B t (duga Maveova jedačia); (..4) div B (teća Maveova jedačia); i (..5) div D ρ. (četvta Maveova jedačia) (..6) Redoed avođeja ije uopšteo uvoje tao da e u iteatui eću i dugačije pobojae Maveove jedačie. U iaima ( ) poed u pethodom tetu defiiaih veičia figuišu i oae a - veto gutie totae tuje J t ; - veto gutie tuje pojašje pobude J g ; 7 Ovo je po aju adidata ajčešće oišćea defiicija EM poja mada ei autoi možda i opavdao iotavjaju deo "... u ooii aeetiaih tea povodia opticaih tujom i taih mageta..." 5

21 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta - veto gutie oducioe tuje J od ; - veto gutie ovecioe tuje J ov ; - veto gutie tuje dieetičog pomeaja u obodom potou J dp ε E t ; - veto gutie tuje poaiacije J dp P t ; i - apemiu gutiu obodih aeetiaja ρ. aima (..-..6) teba pidužiti i jedačiu otiuiteta (Pvi Kihofov (Kichoff) ao) u oaom obiu div J t odoo div J ρ / t (..7) ao i oau fomu Omovog (Ohm) aoa J od σe (..8) gde je σ oaa a pecifiču povodot. U uovima vemei pomejive potopeiodiče pobude uže učetaoti ω mogu e uveti odgovaajuće ompee pedtavie pa jedačie (..-..8) a homogeu iotopu i ieau ediu dobijaju obi D ε E P εe (..9) B μ ( H M ) μh (..) ot H J t J g J od J ov J dp J dp jωd jωεe ; (..) ot E jωb jωμh ; (..) od div B ; (..3) div D ρ ; (..4) div J t ; i (..5) J od σe. (..6) U pethodim iaima ε i μ u oae a eetiču odoo magetu poputjivot edie. Uoio e adi o poupovodoj edii o oju itovemeo potiču oducioe tuje tuje poaiacije i tuje dieetičog pomeaja u obodom potou može e piati J J od J dp J dp σe jω( ε E P) σe jωd σe jωεe ( σ jωε) E σe (..7) gde je σ σ j ωε ompea pecifiča povodot. ao je u uovima potopeiodiče pobude moguće tetiati poupovodu ediu ao ideao povodu pi čemu e umeto pecifiče povodoti σ oiti ompea pecifiča povodot σ. Pi ešavaju pobema eetomagetog poja u iotopim ieaim i homogeim ediama uvode e fucije eetičog aa potecijaa ϕ i magetog veto potecijaa A. Pi tome e veto eetičog poja i magete iducije u ompeom domeu a potopeiodiču pobudu odeđuju a oovu aeda dva iaa E gad ϕ jωa i (..8) B ot A. (..9) U dajem tetu ompee veičie oim oaa a paamete edie eće biti podvačee. 6

22 . Kvaitacioao eetomageto poje Četo e umeto magetog veto potecijaa A oiti Hecov (Het) veto Π ([.3] t. 547) defiia ao Π μσ A. (..) Na oovu pethodog iaa i jedačie (..8) može e iveti jedačia E gad ϕ jωμσπ gadϕ γ Π (..) gde je γ jωμσ ompea otata potiaja. iaa (..) (..9) i (..) fomia e ia a odeđivaje vetoa jačie magetog poja H σ ot Π. (..) Smeom iaa (..-) u pvu Maveovu jedačiu (..) pi čemu e uima u obi da je ΔΠ gaddiv Π otot Π dobija e J t ΔΠ γ Π gad( ϕ divπ). (..3) σ Kada e ioiti Loecov (Loet) uov epeidoti potecijaa ϕ div Π (..4) jedačia (..3) dobija obi poat ao Hemhocova (Hemchot) difeecijaa jedačia a Hecov veto J t ΔΠ γ Π. (..5) σ U domeu idutijih fevecija je γ << pa e pobemi ojima e ovaj ad bavi u ajvećem boju učajeva mogu tetiati ao vaitacioai. Naped avedea Hemhocova difeecijaa jedačia (..5) tada dobija fomu J t ΔΠ (..6) σ do ia a eetičo poje (..) potaje E gad ϕ. (..7). ZVOĐENJE GRNOVH FUNKCJA Za aaiu uemjivačih itema oji u amatai u ovom adu eophodo je poavati Giove fucije a oete eetode iteme ujučujući i geometiju i paamete ooe edie. U tetu oji edi opiao je ivođeje i dati u iai a Giove fucije Hecovog dipoa u homogeoj emji odoo tačati tuji ivo mešte uuta/iva poupovode feiče ehomogeoti. Kombiacijom pethodo pomeutih iaa i vaitacioae teoije iova u avom ogedau ivede je i ia a Giovu fuciju tačatog ivoa mešteog uuta odoo iva poupovode poufeiče ehomogeoti... Hecov dipo u homogeoj emji Da bi e ivea Giova fucija a potecija Hecovog dipoa mešteog u homogeoj emji pomata e tuji eemet poivojo oijetiaog mometa p e( ) x xˆ y yˆ ˆ apaja tujom idutijih fevecija ([.4] [.5]). 7

23 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta σ ε μ σ ε μ y p e Stuji eemet mešte je u poivojoj tači u emji (S..). Rava dei poto a dva poupotoa. Poupoto defiia a je vaduh do je emja apavo poupoto defiia a. Zemja je u opštem učaju ehomogea i iotopa edia do je toom ove aaie tetiaa ao homogea iotopa edia paametaa σ ε μ S.. - Hecov dipo u homogeoj emji. σ σ jωε γ (jωμ σ) (pecifiča povodot dieetiča otata mageta poputjivot ompea pecifiča povodot i ompea otata potiaja epetivo) 3. de "" piduže je edii oja e aai iad ta (vaduh) tao da u jee aateitie opiae pomoću paametaa σ ε i μ. tegacijom itema Maveovih jedačia moguće je odediti eetičo E i i mageto poje H ij oje u edii oačeoj ideom i (-vaduh -emja) tvaa tuji eemet mešte u homogeoj emji (edia ) 4. Stutua vetoa eetičog i magetog poja ujučujući i eetiči aa potecija ϕ i i može e odediti i peo Hecovog vetoa pimeom defiicioih iaa (..) (..) i (..4) oji u oetom učaju dobijaju fomu Ei gadϕi jωμi σiπ i gaddivπ i γ Π i i (..) Hi σi ot Πi i (..) ϕ Π i. (..3) i div i Da bi e pimeii pethodi iai očigedo je eoophodo ajpe odediti Hecov veto Π i. Ovo je moguće učiiti itegacijom itema Hemhocovih difeecijaih jedačia Je ΔΠi γ Π i i δ i. (..4) σ U pethodom iau je: e ( Je p ) δ( ) δ( ) δ( x x ) δ( y y ) δ( ) -Diaova (Diac) potoa fucija (četo avaa i "deta" potoa fucija) i δ i -Koeeov (Koece) imbo ("Koeeova deta"). Nepoate otate oje e javjaju pi itegaciji jedačia (..4) odeđuju e i opštih gaičih uova oje ompoete Hecovog vetoa moaju da adovoje a povšii diotiuiteta (u ovom učaju ta). Ovi uovi hodo pidužeom oodiatom itemu a S.. imaju obi x Π η γ Π η / γ η x y (..5) Πη Π η σ σ η x y (..6) σ Π σπ i (..7) divπ divπ. (..8) 3 U efeecama [.4] i [.5] detajije je opiao ivođeje a učaj ehomogee emje apoimiae a uupo N homogeih ojeva pi čemu je ioišćea čijeica da e aateitie emje ugavom mejaju po dubii odoo da je jea ehomogeot fucija amo -oodiate oodiatog itema a S... 4 Ovaj ači obeežavaja idea biće i adaje oišće u tetu i poeada će e be epicitog oačavaja podaumevati da je vedot idea i. 8

24 . Kvaitacioao eetomageto poje U domeu idutijih fevecija oji je od iteea a obat ojom e ovaj ad bavi je γ i i pa e item Hemhocovih difeecijaih jedačia (..4) vodi a item Puaoovih (Poio) odoo Lapaovih (Lapace) difeecijaih jedačia pe ξ( ) ΔΠξi δ( ) δi ξ x y (..9) 4πσ gde je p e ξ( ) e ( )(ˆ ξˆ) d - pojecija tujog eemeta (čiji je me defiia otom ) a ξ ou ξ x y. Difeecijae jedačie date iaom (..9) ešavaju e u pomoć paa Fuijeovih (Foie) tafomacija α x α y f x y ~ j( α α x y ) ( ) f ( x y )e d α x d α y i (..) π ~ j( α x α y f ( α α π f x y x y x y ) ( )e ) d xd y (..) ~ gde je f ( α x α y ) ivea fucija fucije f ( x y ) u Heeovom (Hae) domeu. Kada e (..) pimei a potou δ fuciju dobija e pa je a oovu (..) δ( x y ) π ~ j( α x ( ) e x α y y δ α ) x α y δ( ) (..) π δ( - )e π j( α x ( x- x ) α y ( y- y )) aođe a oovu (..) ompoete Hecovog vetoa mogu e iaiti ao Π ξ i dα x dα y. (..3) ~ j( α x xα y y) ( x y ) Πξ i( α x α y )e dα x dα y ξ x y i. (..4) π Smeom (..3) i (..4) u item difeecijaih jedačia (..9) dobija e item ehomogeih odoo homogeih difeecijaih jedačia dugog eda a ompoete Hecovog vetoa u Heeovom domeu obia ~ α Π i( α x α y ) P δ( ) δ i ξ ξ ξ x y i (..5) pe ξ ( ) j( α x xα y y ) gde je Pξ e ξ x y i α α x α y. 4πσ Rešeje difeecijaih jedačia oje čie item opia pethodim iaom petpotavja e u edećoj fomi α α C e C e a i ~ Πξ i ~ > ~ > ~ > (..6) Π Π Π ξ ξ hom ξ pat a i ~ < ~ < ~ < Π Π Π ξ ξ hom ξ pat 9

25 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta gde oae "hom" i "pat" oačavaju homogei i patiuai deo ešeja epetivo. Homogei deo ešeja oji e pojavjuje u iau (..6) a i ima obi ~ > α α Πξ C C hom e a i (..7) ~ < α α Π C e C hom e a (..8) do je patiuai deo ešeja ξ α( ) α( ) [ e ] ~ > Pξ ξpat Pξ δ( )i[jα( )]d e jα α ~ < Pξ α( ) α( ) ξpat Pξ δ( )i[jα( )]d e e jα α Π a (..9) [ ] Π a. (..) Na oovu pethodih iaa potpui obi ešeja a i oji ujučuje i patiuai i homogei deo može e apiati u obiu ~ > Pξ α( ) α α Πξ e Ae Be a i (..) α ~ < Pξ α( ) α α Πξ e Ae Be a ξ x y (..) α gde u A A B i B ove otate. uova epeidoti Hecovog vetoa i jegovog ivoda po -oi ~ > ~ < Πξ Πξ Δ odoo (..3) Δ Δ ~ Π im Δ > ξ ~ Π im Δ Δ < ξ Δ P (..4) dobija e da je A A i B B pa e ešeje (..6) oačo dobija jeditvei obi ~ Pξ α peξ ( ) α α ~ j( αxxα y y ) Π ξi [ δi e Aξie Bξie ] fξi( α x α y )e gde je α 4πσ ~ f ξi ( α x α y δ ) i e α A α ξie α B α ξie. ξ (..5) U pethodom iau A ξ i i B ξ i i ξ x y u ove otate. uova da Hecov veto u vaduhu (edia i ) i u emji ( i ) a ± ima oaču vedot dobija e B ξ A ξ. Peotae otate itegacije odeđuju e i opštih gaičih uova ( ) oji u Heeovom domeu imaju opšti obi ~ ~ γ Π η γ Π η η x y (..6) ~ ~ Πη Πη σ σ η x y (..7) ~ ~ σ Π σπ i (..8) ~ ~ ~ ~ Π ~ ~ Π j αxπ x jα yπ y jαxπ x jα yπ y i. (..9)

26 . Kvaitacioao eetomageto poje Rešeja a otate itegacije očigedo u fucije paametaa edie pomejivih α x i α y. Čiioci j α x i j α y u Heeovom domeu mogu e pema (.4) ameiti ivodom x i y u potoim oodiatama pa e a oovu (.4) i (.5) može e piati p ( ) eξ ~ j[ α x ( xx ) α y ( y y )] Πξi( x y ) fξi( αx α y )e d αx d α y. (..3) 4πσ π Uvođejem u pethodi ia mea dobija e Π αx αcoβ α y αiβ taβ α y αx d αx d α y αd αdβ (..3) ρ ( x x ) xˆ ( y y ) yˆ ρ coδxˆ ρ i δyˆ i ta δ ( y y ) ( x ) x ( βδ) dβ p π eξ( j ) peξ( ) ~ jαρ ξ ξ ξ α α co i( x y ) f i( x y ) f i( ) πσ πσ e d 4 4 α π β π d π β jαρ Kao je ( ) ( βδ αρ co ) e α. (..3) J β po defiiciji Beeova (Bee) fucija pve vte utog eda oačo ešeje a ompoete Hecovog vetoa može apiati u obiu p ( ) eξ ~ Πξi ( ) ( ) d 4 fξi α αj αρ α ξ x y i. (..33) πσ α U tetu oji edi detao je opia potupa a odeđivaje otati oje figuišu u avijeoj fomi iaa (..33). Pi tome u odvojeo amatai vetiai (S..a) i hoiotai (S..b) Hecov dipo do u iai oji e odoe a poivojo oijetia dipo (S..c) fomiai upepoicijom dobijeih ešeja. e eη... Vetiai Hecov dipo ( p ( ) p ( ) η x y Na oovu pethodo iožee aaie opšte ešeje (..5) u učaju vetiaog Hecovog dipoa mešteog u tači defiiaoj vetoom poožaja x xˆ y yˆ ˆ (S..a) dobija obi 5 ~ P α d Π Ae i (..34) α ~ Π P α α e B e. (..35) α d ) a) b) c) S.. - Hecov dipo u homogeoj emji: a) vetiai; b) hoiotai; c) poivojo oijetia. 5 Upotebjava e difeecija ompoeti je e adi o tačatom ivou.

27 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Pethodim iaima u ideu je dodato još jedo "" ao bi bio agašeo da e adi o -ompoeti oja potiče od vetiae -ompoete ivoa. Poed je potoji i -ompoeta Hecovog vetoa oja je poedica hoiotaih η- ompoeti η x y. Shodo tome eutujuća - ompoeta Hecovog vetoa u opštem učaju odeđuje e upepoicijom ovih ešeja što će biti detajije objašjeo aije piiom aaie uamjeog hoiotaog Hecovog dipoa u homogeoj emji. Kotate A i B odeđuju e i gaičih uova datih iaima (..8) i (..9) 6. ao e dobija σ α α A e e i (..36) σ σ α B e R σ σ σ σ α e. (..37) U iau (..36) odoo (..37) pojavjuju e oeficijet efeije R i tamiije defiiai ao σ σ R R. (..38) σ σ Kada e otate date iaima (..36) i (..37) mee u (..34) i (..35) a ovi u opšte ešeje (..33) dobija e d Π p e ( ) α( ) e J( αρ) d 4πσ α p e ( ) α α ( ) d Π e R e J( αρ) d 4πσ α ( x x ) ( y y ) gde je ρ. Koišćejem idetiteta ([.6] ia.4.39) α b e α iai (..39) i (..4) potaju pe ( ) d Π 4πσ d Π p e ( ) 4πσ ρ ( ) Oae i u pethoda dva iaa J ( αρ)d α ρ ( ) ρ ρ R ( ) b pe ( ) 4πσ α i (..39) α (..4) b R (..4) pe ( ) R 4πσ ρ ( ) ( x x ) ( y y ) ( ) i (..4). (..43) (..44) ρ ( ) ( x x ) ( y y ) ( ) (..45) obeežavaju atojaja vetiaog Hecovog dipoa (tača ( x y ) ) i jegovog ia u avom ogedau (tača ( x y ) ) od tače odeđivaja Hecovog vetoa (tača ( x y ) ) epetivo. 6 Kod gaičog uova (..9) teba voditi ačua o au iaa -' ada e taži ivod po.

28 . Kvaitacioao eetomageto poje e eη... Hoiotai Hecov dipo ( p ( ) p ( ) η x y Pomata e hoiotai Hecov dipo (S...b) mešte u tači defiiaoj vetoom poožaja x xˆ y yˆ ˆ. Pema opštem ešeju (..5) ada je pe ( ) odgovaajuća vetiaa -ompoeta taođe je jedaa ui. Međutim tada e bi bio moguće adovojiti gaiči uov (..9). Za adovojeje pomeutog uova eophodo je potojaje vetiae -ompoete Hecovog vetoa i u učaju hoiotaog dipoa čija je vetiaa ompoeta jedaa ui. Ova "eudaa" ompoeta objašjava e iduovaim tujama a advojoj povšii oje tvaa poje hoiotaog Hecovog dipoa. U adu a pethodom diuijom ompoete Hecovog vetoa petpotavjaju e u obiu ~ Pη α d Πη Aηe (..46) α ~ Pη α α Π η e Bη e (..47) α d ~ P α e i (..48) α η d Π η Aη ~ Pη α d Π η Bηe η x y. (..49) α Na oovu gaičih uova ( ) a epoate otate u iaima ( ) dobija e σ α A η ηe (..5) σ α B R e (..5) η η jαη α e i (..5) α σ γ A η η σ γ jαη α e η x y. (..53) α γ Bη η γ / U pethoda četii iaa γ (jωμi σi ) i pedtavja ompeu otatu potiaja a vaduh ( i ) odoo emju ( i ) do je oeficijet pethodo defiia ia- i om (..38). Sa R η i η oačei u oeficijeti efeije odoo tamiije a hoiotae ompoete odeđei a oovu iaa μ R η Rη η η x y μ μ μ η. (..54) Suceivom meom iaa ( ) u petpotavjea ešeja ( ) i ia (..33) dobija e p eη( ) σ α Πη ( ) d ηe J( αρ ) d α 4πσ σ α (..55) p eη( ) α α η ( ) d Π η e R e J( αρ ) d α 4πσ (..56) α ) 3

29 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 4 d Π d Π peη( ) σ γ jαη α η ( ) η ( αρ ) πσ σ e J d 4 α α γ peη( ) γ jαη α η ( ) η ( αρ ) πσ e J d 4 α α γ Koišćejem idetiteta (..4) i jedaoti ([PRLOG ]) η α α b e α J ( αρ) dα [ ( b ρ b )] a ompoete Hecovog vetoa oačo e dobija peη( ) σ d Πη η 4πσ σ peη( ) d Πη Rη 4πσ pe ( ) η d γ σ η Π η 4πσ σ η γ pe ( ) η γ η Π η ( 4πσ η γ η α α i (..57) η x y. (..58) b R η x y (..59) (..6) (..6) [ ( )] [ )] d i (..6) η x y. (..63) Pi ivođeju pethodih iaa oišćea je čijeica da e j αη u Heeovom domeu meja ivodom η u potoom domeu η x y. Ratojaja i ao i u učaju vetiaog Hecovog dipoa pedtavjaju vetoe poožaja tače u ojoj e odeđuje Hecov veto u odou a dipo i jegovog i epetivo (iai (..44) i (..45)....3 Poivojo oijetiai Hecov dipo ( p ( ) ξ x y ) e ξ Uoio Hecov dipo ima i vetiau ( ) i hoiotau ( η x y ) ompoetu (S...c) hodo picipu upepoicije -ompoete Hecovog vetoa mogu e iaiti ao dπ dπ dπ dπ η dπ dπ η i (..64) η x y (..65) gde u dπ dπ η dπ i dπ η pedtavjei iaima (..4) (..6) (..43) i (..63) epetivo. Hoiotae ompoete ompoete dπ η i d Π η η x y date u iaima (..6) odoo (..6)... ačati tuji ivo u piutvu poupovode fee Shodo vti pobema ojima e ad bavi ao i pimejeim metodima od iteea je poavati Giovu fuciju a tačati ivo u piutvu poupovode fee. Sam pobem aateiacije uticaja fee ačijee od homogeog mateijaa a tutuu poja tačatog ivoa još od edie XX vea pedmet je itaživaja u aičitim obatima teoije fiie. Čijeica da e u adu aaiiai pobemi vaitacioaog eetomagetog poja uticaa je a ibo iteatue i pouđeih ešeja avedeih i diutovaih u tetu.

30 . Kvaitacioao eetomageto poje Za ešavaje pobema oji ujučuju feu ehomogeot adidatu u a apoagaju bii modei a odeđivaje uticaja feih povodih ([.7] [.8]) i dieetičih tea ([.9]-[.7]). Ao e adi o tatičom tacioaom ii vaitacioaom poju u adovima oji u bii dotupi adidatu tačim ešejem ovog pobema be iueta mataju e iai oje je poudio Stato (Statto) u ef. [.9] 94. godie. Pomeuto ešeje dobijeo je itegacijom Puaoove odoo Lapaove difeecijae jedačie a tačato aeetiaje mešteo u ooii fee ačijee od homogeog dieetia. Pi tome u u potpuoti adovojei gaiči uovi a potecija i omau ompoetu vetoa eetiče iducije. Koiteći dugačiju matematiču tehiu Lide (Lide) je u adu [.] dobio ešeje idetičo oom i [.9] do je pobem tačatog ivoa uuta dieetiče fee u fomi ičoj ešeju i [.9] iti auto ešio u [.]. Gotovo idetičo ešeje itog pobema dobijeo ešavajem Puaoove odoo Lapaove jedačie metodom vaijacije otati može e aći u [.]. U adu [.3] pedožeo ešeje dobijeo detajom aaiom i pimeom teoije iova ujučuje i beoače ume aičitim tehiama tafomiae u itegae oji e u opštem učaju e mogu odediti u atvoeom obiu. Pobem feiče ehomogeoti i tačatog opteećeja aaiia je i u efeecama [.4] i [.5] pi čemu je oišće Keviov fato iveije i uvede i oji odgovaa otiuaom iijom ivou. Dobijeo ešeje odgovaa oom i [.3]. Zajedičo a va abojaa ešeja je da je jihova pimea u aaii (ajčešće amataih) ieičih i počatih eetoda aičitih geometija opčaa a odeđivajem vedoti uma oje adže beoača boj čaova. Pomeuta čijeica pedtavja obija i četo ože pobem u pimei opiaih modea a aaiu eaih eetodih itema. Pibiži iai a potecija tačatog tujog ivoa mešteog iva odoo uuta homogee poupovode fee pedožei u u [.6] i [.7]. Rešeje je ajpe petpotavjeo u fomi oja ujučuje potecija ivoa i itema iova u feom ogedau pi čemu je u obi ueta i eutaot fee (uupo opteećeje fee (ii tuja oticaja a fee) jedaa je ui). U ovom obiu ešeje u potpuoti e adovojava gaiči uov a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje pa je bog toga pošieo beoačom umom ičog obia ao i uma oja e pojavjuje u tačom ešeju i [.9]. Pimeom teoije Ležadovih (Legede) poioma odeđee u otate i abaa piuta uma a beoačim bojem čaova a pošiei obi opiaog ešeja pedtavje je u atvoeoj fomi. Na opiai ači fomiao pibižo ešeje adovojava gaiče uove a povšii fee ai e i Puaoovu odoo Lapaovu difeecijau jedačiu a potecija oje u adovojee amo deimičo. Koačo toom iade amog ada avijeo je i pedožeo još jedo pibižo ešeje a pobem tačatog tujog ivoa mešteog iva odoo uuta fee ačijee od homogeog poupovodog mateijaa ([.8]). Poaeći od tačog ešeja datog u [.9]-[.] i og u idvojei čaovi oji odgovaaju iovima u feom ogedau fomiai u u atvoeom obiu iai oji potpuo adovojavaju Puaoovu odoo Lapaovu difeecijau jedačiu ao i gaiči uov a potecija do je gaiči uov a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje deimičo adovoje. U tetu oji edi detajije će biti aaiia mode oji je uvoje a tača i pedože u [.9] odoo [.] atim mode opia u [.6] i [.7] oji je oišće od amog početa itaživaja veaih a ovaj ad ao i mode edavo avije i iože u [.8]. Na oovu imea autoa citiaih adova u dajem tetu ovi modei biće avođei i oačavai ao modei "Stato" "Veičović" i "Račić" odoo "S" "V" i "R" mode epetivo. Od ačaja je apomeuti da je većia u pethodom tetu abojaih modea u ivoom obiu ivedea a tačato opteećeje i homogeu dieetiču feu. Kao e adi o tacioaom ežimu oišćejem fomaih aaogija imeđu eetotatičog poja i tacioaog tujog poja ([.3]) dobijei iai mogu e pimeiti i a tačati tuji ivo i feu oače pecifiče povodoti. Pi tome dieetičoj otati vetou eetiče iducije i aeetiaju tačatog i- 5

31 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta voa od eetotatičog poja u aaii tacioaog tujog poja odgovaaju pecifiča povodot veto gutie totae tuje i tuja tačatog ivoa epetivo. Svi pedožei iai mogu e pimeiti i u ompeom domeu u učaju vaitacioae potopeiodiče pobude ada je fea ačijea od homogeog poupovodog mateijaa pecifiče povodoti σ i dieetiče otate ε. Pi tome e u pedožea ešeja umeto pecifiče povodoti σ mešta ompea pecifiča povodot σ σ j ωε gde je ω uža učetaot potopeiodiče pobude. Modei "Veičović" i "Račić" u ao što je to već ečeo u ivoom obiu fomiai a ešavaje pobema vaitacioaog tujog poja.... Opi pobema Pomata e fea poupečia ačijea od ieaog iotopog i homogeog poupovodog mateijaa poatih eetičih paametaa σ ε εε i μ μ gde u σ -pecifiča povodot ε ε ε - pemitivot (dieetiča otata) i μ μ - pemeabiot. Sedia u ojoj je meštea fea je taođe ieaa iotopa i homogea paametaa σ ε εε i μ μ. Pobemu je piduže odgovaajući Deatov (Decate) odoo fei oodiati item a cetom mešteim u cetu fee. Poožaj tačate eetode (tača P ) defiia je vetoom pi čemu eetoda može da bude meštea iva ( > ) S..3a ii uuta fee ( < ) S..3b. Eetoda e peo ioovaog povodia apaja potopeiodičom tujom jačie i ie uže učetaoti ω (vaitacioai ežim). Na Sici.3 e može videti da je u oba učaja ˆ što e utiče a opštot amataja. ača P u ojoj e odeđuje eetiči aa potecija može biti meštea uuta ii iva fee i je poožaj defiiše veto. Poožaj ia tačatog ivoa u feom ogedau (tača P S..3) odeđe je vetoom ˆ gde je Keviov (Kevi) fato iveije a feo ogedao. Ratojaje tače P od tače P odoo P oačeo je vetoima i epetivo. Na itoj ici uočava e da je u oetom učaju coθ i coθ gde u i θ oodiate pidužeog feog oodiatog itema. σ ε μ P' ' σ ε μ P" P' σ ε μ P" " x σ ε μ ' P x y y a) b) S..3 - ačati tuji ivo: a) iva poupovode fee; b) uuta poupovode fee. Kao što je to učijeo i u učaju Hecovog dipoa u homogeoj emji (odeja..) a / σ σi j ωεi γ (jωμi σi ) i edom u oačei ompea pecifiča povodot i i i 6

32 . Kvaitacioao eetomageto poje ompea otata potiaja ta ( i ) odoo fee ( i ). Sa γ γ biće obeeže ompei ide efacije. aođe će u tetu oji edi biti oišćee i oae a oeficijete efeije R i tamiije 7 defiiae ao S/V/R ij σ σ R R. (..66) σ σ Na ači aaoga oom u odeju.. potecija će biti oače a dva idea od ojih pvi defiiše ediu u ojoj e aai tača P do je dugi odgovaa edii u ojoj e aai tačati ivo tj. tača P. ao e potecija u i -toj edii oji potiče od ivoa mešteog u j -toj edii oačava ao ϕ i j. Goji ide pojavjuje e u tetu po potebi i defiiše mode oišće a odeđivaje Giove fucije a eetiči aa potecija ("Stato"-S "Veičović"-V i "Račić"-R).... ačo ešeje-mode "Stato" a) ačati ivo iva poupovode fee Potecija u itemu a S..3a adovojava Puaoovu (a > ϕ ) odoo Lapaovu difeecijau jedačiu (a < ϕ ). Uimajući u obi čijeicu da e adi o pobemu aijao imetičom u odou a - ou u pidužeom feom oodiatom itemu ove jedačie imaju obi ϕ δ ϕ ( ) δ( θ) i θ > i (..67) i θ θ θ πσ i θ ϕ ϕ i θ i θ θ θ <. (..68) U iau (..67) a δ je obeežea Diaova (Diac) "deta" fucija. Pimeom metoda advajaja pomejivih ([.3] t. 6-65) opšte ešeje avedeih difeecijaih jedačia petpotavjeo je u obiu ϕ [ ( B )] i i i P (coθ) A i (..69) gde je P (coθ) Ležadov poiom -tog tepea pve vte. oom ešavaja opiaog pobema oiti e Ležadova difeecijaa jedačia ([.6] ia 8..) P (coθ) i θ ( )i θp (coθ) (..7) θ θ i jedaot ([.6] iai i 8.4.) π m P (coθ) Pm (coθ)i θdθ (..7) m. Potecija iva fee ( > ) odeđuje e upepoicijom potecijaa pimaog ivoa i potecijaa iduovaog opteećeja a advojoj povšii oji je petpotavje u geeaoj fomi datoj iaom (..69). Potecija uuta fee ( < ) adovojava Lapaovu jedačiu i jegova opšta foma odgovaa iau (..58). Kada e u pethodo avedee petpotave u aaiu uju- 7 Nadaje će u iagaju biti iotavjea oaa "" u ideu oeficijeata. 7

33 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta či i uov da potecija moa da ima oaču vedot u oodiatom početu ( ) odoo tačama u beoačoti ( ) a potecija iva odoo uuta fee dobija e ϕ C P (coθ) 4πσ > i (..7) ϕ P (coθ) D <. (..73) Nepoate otate C D... odeđuju e i gaičih uova a epeidot potecijaa i omae -ompoete vetoa gutie totae tuje a povšii fee ( ) Za ϕ ϕ σ ( ) ϕ ( ) i (..74) ϕ σ je odo < pa je a oovu avoja (8..) i PRLOGA P θ θ co ( ) ( )co Smeom pethodog iaa u (..7) gaiči uovi ( ) potaju C P ( θ) θ θ co P (co ) D P (co ) 4πσ Koačo e a otate ( ) C. (..75) ( coθ) P ( coθ) σ (coθ) σ (coθ 4π ) P D P C D... dobija. (..76) i (..77). (..78) ( σ σ ) C P (coθ) i (..79) 4πσ σ ( ) σ ( ) σ P (coθ) D.... (..8) 4πσ σ ( ) σ Sada e potecija po modeu "Stato" može iaiti u obiu ϕ σ σ S ( ) P θ (co ) > i (..8) 4πσ σ σ ( ) ( ) ϕ ( ) σ S P (coθ) σ σ ( ) <. (..8) ai ( ) biće peetovai u fomi oja će u dajem tetu omogućiti jedotavije poeđeje a duga dva pibiža modea ([.8]) ϕ R S R P 4πσ ( ) ( co θ) > i (..83) ϕ S R R πσ ' ' 4 P ( co θ) <. (..84) 8

34 . Kvaitacioao eetomageto poje Piiom tafomacije iaa ( ) u ( ) oišće je idetitet P ( x) ([.3]). Koeficijeti efeije R i tamiije oji figuišu u pethode dve fomue već aije u defiiai iaom (..66) do oaa "S" aocia a mode "Stato". b) ačati ivo uuta poupovode fee Pobem tačatog ivoa uuta poupovode fee (S..3b) moguće je ešiti a ači aaoga pocedui pimejeoj a učaj ada e ivo aai iva fee opiaoj u pethodom tetu. Potecija uuta i iva fee ada adovojava Lapaovu i Puaoovu jedačiu epetivo tj. ϕ ϕ i θ i θ θ θ ϕ i θ θ ϕ i θ θ πσ > i (..85) δ( ) δ( θ) i θ <. (..86) gde je ao i u pethodom učaju δ oaa a Diaovu "deta" fuciju. Opšte ešeje opet ima fomu datu iaom (..69). Sada e potecija uuta fee ( < ) odeđuje upepoicijom potecijaa pimaog ivoa (mešteog uuta fee) i potecijaa iduovaog opteećeja a advojoj povšii čiji je obi dat iaom (..69). Potecija u tačama iva fee ( > ) adovojava Lapaovu jedačiu i hodo pethodoj aaii jegova opšta foma odgovaa iau (..69). Uimajući u obi eophodot da potecija u vim tačama ima oaču vedot iai a potecija iva odoo uuta fee imaju obi C ϕ P (coθ) > i (..87) ϕ D P (coθ) 4πσ Kao i u učaju tačatog ivoa mešteog iva fee epoate otate <. (..88) C D... odeđuju e i gaičih uova a epeidot potecijaa i omae ompoete vetoa gutie totae tuje a povšii fee Sada je a ϕ ϕ σ ( ) ϕ ( ) i (..89) ϕ σ. (..9) odo maji od jediice pa e oovu avoja (8..) i PRLOGA dobija P ( coθ). (..9) coθ ( ) ( )coθ U ovom učaju i gaičih uova dobijaju e jedačie C P θ ( θ) θ (co ) P co (co ) D P 4πσ i (..9) σ ( ) C ( ) P θ ( θ) σ θ (co ) P co (co ) D P 4π Na oovu pethoda dva iaa otate C D... odeđee u u obiu. (..93) 9

35 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta ( ) C P (coθ) i (..94) π σ ( ) σ 4 ( )( σ σ) D P (coθ).... (..95) 4πσ σ ( ) σ Potecija po modeu "Stato" a item a S..3b ada je ϕ ( ) S P (coθ) 4π σ ( ) σ ϕ S 4πσ ( )( σ σ) ( ) σ ( ) σ > i (..96) P (coθ ) <. (..97) itog aoga i a ači aaoga oom u učaju aaie itema a S..3a pethode dve jedačie peueđee u u obi ϕ S R R P 4πσ ' ( co θ) ( ) S R R ϕ R πσ P 4 Koeficijeti efeije R i tamiije i defiiai u iaom (..66)....3 Pibižo ešeje-mode "Veičović" a) ačati ivo iva poupovode fee > i (..98) ( coθ). (..99) U adovima [.6] i [.7] Giova fucija a potecija tačatog tujog ivoa mešteog iva poupovode fee S..3a petpotavjea je u obiu gde u C C ϕ > i (..) 4πσ C ϕ 3 C4 coθ i coθ. < (..) Kotate u iaima (..) i (..) odeđuju e i gaičih uova a potecija (..74) i omau ompoetu vetoa gutie totae tuje (..75). Kao je a ( ) gaiči uov a potecija može e apiati u fomi C C 4πσ uova eutaoti poupovode fee dobija e C pa e ijedačavajem oeficijeata u (..) dobija C C 3 C. (..) 4 (..3) C i (..4) 4 C

36 . Kvaitacioao eetomageto poje 4πσ C C. (..5) Ao je << odo teži jediici pa je u tači θ im im tj. 3 im ϕ ( C θ ) 3 (..6) Gaiča vedot (..6) odgovaa vedoti potecijaa u pomataoj tači dobijeom pimeom teoeme ia u modifiovaom avom ogedau ([.7]) σ ϕ( θ ) σ σ 4πσ π Na bai pethode aaie i (..6) i (..7) dobija e ( σ σ ). (..7) C 3. (..8) π( σ σ ) Smeom pethodog iaa u (..5) odeđei u oeficijeti oeficijet C i C C (..3) σ σ C C (..9) 4πσ σ σ do je a oovu (..4) C σ σ C4. (..) 4πσ σ σ Koačo iai a potecija e u ovom oau mogu e apiati u obiu σ σ ϕ > i (..) 4πσ σ σ ϕ σ σ σ πσ σ σ σ σ 4 <. (..) U pethodoj aaii ioišće je amo gaiči uov a potecija (..74). Da bi bio adovoje i dugi gaiči uov a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje (..75) pethodim iaima dodaje e ieaa ombiacija fucija oje ujučuju i Ležadove poiome P (coθ). Fucije ovog tipa e iače pojavjuju u opštem ešeju Puaoove i Lapaove jedačie u feom oodiatom itemu što je viđeo i u aaii modea "Stato" odeja... Petpotavjee fome iaa a potecija ada u gde je ( coθ) σ σ ϕ A P co 4πσ σ σ ϕ A 4πσ σ σ σ σ σ σ σ P ( θ) ( coθ) > i (..3) <. (..4) P Ležadov poiom pve vte. Nepoati oeficijeti A... odeđuju e i jedačie fomiae a oovu gaičog uova a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje (..75) i iaa a potecija (..3) i (..4) u tačama a povšii fee. Nao ivšeih jedotavih agebaih tafomacija ova jedačia može e iaiti u obiu